I.E.T. ALBERTO SANTOFIMIO CAICEDO

TRABAJO SOBRE LA “LÓGICA MATEMÁTICA”

PRESENTADO POR: ALEJANDRA HENAO RÍOS

PRESENTADO A: JAVIER FRANCISCO GÓNGORA

GRADO: 10-01 J.T

ÁREA: LÓGICA MATEMÁTICA

IBAGUÉ-TOLIMA

2017

LÓGICA MATEMÁTICA

1). Concepto de Lógica Matemática.

R/:

También llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal, o logística,1 es parte tanto de la lógica y como de la matemática, y consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. Estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal. Se suele dividir en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente. La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera es la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento matemático y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal.

2). Definición y clases de proposiciones.

R/:

Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para

LÓGICA MATEMÁTICA

LÓGICA MATEMÁTICA

demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

CLASES DE PROPOSICIONES

Existen dos clases de proposiciones:

PROPOSICIONES SIMPLES: También denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Carecen de conjunciones gramaticales típicas conectivas (“y”, “o”, “sí…entonces”, “sí y sólo sí”) o del adverbio de negación NO. Pueden ser Predicativas o Relacionales.

Ej: -El 9 y el 27 son factores del 81. -Los números pares son divisibles por dos.

-La tierra es plana. -El número 1 es un número natural.

PROPOSICONES COMPUESTAS: También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Contienen alguna conjunción

gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo “NO”. Estas se clasifican en: Conjuntivas, Disyuntivas, Condicionales y Bicondicionales.

Ej: -La suma de los cuadrados de ambos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, si se trata de un triángulo rectángulo.

-El 9 es divisor del 45, y el 3 es divisor del 9 y del 45. -El número 6 es mayor que el 3 y menor que el 7.

3). Conectivos lógicos en proposiciones compuestas.

R/: Son, Negación ( ), Disyunción (∨), Conjunción (∧), Condicionante (→) y Bicondicionante (↔).

NEGACIÓN: La negación de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor de verdad opuesto a la proposición original. Es decir, si el valor de verdad de una proposición p es verdadero, entonces el valor de verdad de p es falso.

p p

V F

F V

DISYUNCIÓN: La disyunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ∨∨.

Esta proposición compuesta de denota por p pppk∨∨ q y se lee p o q.

p q ∧ p∨q

V V V

V F V

F V V

F F F

CONJUNCIÓN: La conjunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ∧∧.

Esta proposición compuesta de denota por ∧ p∧q y se lee p y q.

p q ∧ p∧q

V V V

V F F

F V F

F F F

CONDICIONANTE: La condicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo →→. Esta proposición compuesta de denota por →p→q y se lee p implica q.

En esta proposición compuesta, la proposición simple p se llama antecedente, mientras que la proposición simple q se llama consecuente.

p q →p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

BICONDICIONANTE: La bicondicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo ↔↔.

Esta proposición compuesta se denota por p↔q y se lee p si y solo si q.

p q ↔p↔q

V V V

V F F

F V F

F F V

4). Proposiciones condicionales.

R/:

El condicional, es un operador que opera sobre dos valores de verdad devolviendo el valor de verdad falso solo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa y verdadera en cualquier caso.

Se interpreta de la siguiente manera:

p→q

Su tabla de verdad es:

p q p→q

0 1 10 1 10 1 00 1 1

PROPOSICIONES

5). Proposición bicondicional.

R/:

Es un operador que funciona sobre 2 valores de verdad de 2 proposiciones devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad y falso cuando sus valores de verdad difieren.

Se interpreta de la siguiente manera:

p↔q

6). Tautología, equivalencia y contradicción.

R/:

Repetición innecesaria de un pensamiento usando las mismas o similares palabras y que, por tanto, no avanza información; fórmula bien formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. La construcción de una tabla de verdad es

Su tabla de verdad es:

p q p↔q

0 0 10 1 01 0 01 1 1

TAUTOLOGÍA

PROPOSICIÓN

un método efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.

EQUIVALENCIA

Relación de igualdad en cantidad, función, valor, potencia o eficacia entre personas o cosas; En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos. La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como ≡ p≡q, Epq, o ⟺ p⇔q. Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto.

CONTRADICCIÓN

Acción de contradecir o contradecirse; En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.

En lógica proposicional, una contradicción se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. Por ejemplo, la siguiente tabla demuestra una contradicción:

7). Leyes notables en lógica.

R/:

LEY DE DOBLE NEGACIÓN: afirma que "Si un enunciado es verdadero, entonces no es el caso de que la declaración no es cierta." Esto se

expresa diciendo que una proposición A es lógicamente equivalente a no (no-A), o por la fórmula A≡~ (~A) donde el signo ≡ expresa equivalencia lógica y el signo ~ expresa negación. Esto es la negación de la negación de una proposición.

Ej: Se puede colocar a A con el valor verbal de “es de día”. Colocándola en función de la fórmula de doble negación se tendría entonces la siguiente lógica:A = Es de día~A = no es de día, es de noche~ (~A) = resulta falsa la proposición “no es de día, es de noche” por lo tanto es de día.Entonces se tendría:Es de día ≡ ~ (~no es de día, es de noche)Es de día ≡ no es de noche (Lo cual se leería: la proposición “es de día” resulta lógicamente equivalente a resulta falso que sea de noche, es de día).

LEYES DE IDEMPOTENCIA: la idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente.

Ej: los dos únicos números reales que son idempotentes, para la operación producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).

LEYES ASOCIATIVAS: establecen que cuando se suma o se multiplica cualesquiera tres números reales o más, la agrupación o el orden de los números no altera el resultado; (a + b) + c = a + (b + c).

Ej: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 (5 + 2) + 3 = 7 + 3 = 10

LEYES CONMUTATIVAS: establecen que el orden en el cual se suma o se multiplica dos números reales, no altera el resultado; a + b = b + a.

Ej: 3 + 5 = 5 + 3 = 8

20 + (–3) = (–3) + 20 = 17

LEYES DISTRIBUTIVAS: Expresa que se obtiene la misma respuesta cuando multiplicas un conjunto de números por otro número que cuando se hace cada multiplicación por separado.

Ej: (2 + 4) × 5 = 2×5 + 4×5. 30 = 30

Como se puede ver al realizar los cálculos 6 × 5 = 30 y 10 + 20 = 30.Entonces, el "2+4" puede ser "distribuido" entre "por 5" así: 2 por 5 y 4 por 5.

LEYES DE DE MORGAN: son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.

(4 x 2) x 7= 56(7 x 2) x 4 = 56(4 x 7) x 2 = 56

4 x 5 = 20

5 x 4 = 20

Las reglas se pueden expresar en español como:-La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.-La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.

O informalmente como:-"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"

Y también,-"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"

Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:

¬ (P∧Q )⟺ (¬P )∨ (¬Q )¬

¬ (P∨Q )⟺ (¬P )∧ (¬Q )

Dónde,

¬ es el operador de negación (NO) ∧∧ es el operador de conjunción (Y) ∨∨ es el operador de disyunción (O) ⟺ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en

una prueba lógica".

8). Métodos de demostración.

R/: Existen 3 métodos de demostración que son:

MÉTODO DIRECTO: Consiste en partir de las premisas (datos) del teorema y aplicando las reglas de la lógica y la teoría desarrollada, obtener o llegar a la tesis (conclusión) del teorema después de un número finito de pasos.

El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado: Modus Ponens [P∧ (P→Q ) ]→QQue significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la conclusión Q entonces la conclusión Q es verdadera.

MÉTODO INDIRECTO: Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda de las reglas de la lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción respecto a las premisas, una proposición verdadera o respecto a la suposición. Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración, puesto que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí se concluye que la tesis del teorema es verdadera.

Para demostrar un teorema se hace necesario identificar las premisas y la tesis del teorema; luego si se quiere demostrar una proposición si es posible, ya que no siempre se puede, expresar está en la forma de una implicación, lo que permitirá de una manera más fácil obtener las premisas y la tesis de la proposición a demostrar.

Existen métodos indirectos por contrapositiva y por reducción al absurdo.

Por Contrapositiva: Tiene como fundamento la equivalencia lógica entre las proposiciones P→Q y Q→ P; se toma como hipótesis la negación de la conclusión escrita como Q para obtener como conclusión la negación de la hipótesis escrita como P, ello se puede generalizar para el caso que se tengan varias premisas.

Por Reducción al Absurdo: Se atribuye al filósofo griego Zenón de la Elea. Para demostrar indirectamente una proposición de la forma (P1∧P2∧…∧Pn )→Q consiste en 1). Asumir que la condicional es falsa, luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y Q, son verdaderas. 2). Se debe llegar a una contradicción, por lo que la condicional tiene que ser verdadera.

Aristóteles fundamentó lógicamente la demostración por reducción al absurdo en dos principios: Principio de no contradicción ( p∧ p), que significa que una proposición no es verdadera y falsa simultáneamente y el principio del tercero excluido ( p∨ p), que significa que una proposición es verdadera o falsa. Si estos no son aceptados, el método de reducción al absurdo carece de fundamento lógico.

MÉTODO POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA: es un principio universalmente válido en matemáticas y es fundamentalmente uno de los axiomas de los números naturales construidos por el matemático italiano G. es utilizado para demostrar la veracidad de proposiciones p(n) donde n es un número natural mayor que un valor inicial n0, el principio de inducción matemática consiste en:

I)- Inicialmente se verifica que la proposición p(n) es verdadera para n=n0 es decir p (n0) es verdadera.

II)- Se enuncia la hipótesis de inducción: p (k) es verdadera para el número natural k.III)- Usando la hipótesis de inducción enunciada en (II) y otras proposiciones verdaderas demostradas anteriormente se demuestra que p (k+1) es verdadera.IV)- La conclusión consiste en que p(n) es verdadera para toda n≥n0

MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO: Se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un “cuantificador universal”. Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una preposición que tenga una conclusión referida para “todos los elementos de un cierto conjunto”.

Ej: