Los Ángulo y sus Medidas

Everis Aixa Sánchez

Estandar: Funciones

• ES.F.28.1 Reconoce que la medida de un ángulo en radianes es igual a la longitud del arco que subtiende ese ángulo sobre el círculo unitario y utiliza este argumento para la solución de problemas.

Estandar: Numeracion y Operacion

• ES.N.2.1 Define cantidades adecuadas con el fin de hacer modelos descriptivos.

• ES.N.2.2 Escoge el grado de precisión adecuado a las restricciones de medición al reportar cantidades.

Estandar: Geometría

• ES.G.34.1 Al usar semejanza, encuentra el hecho de que la longitud del arco intersecado por un ángulo es proporcional al ángulo, y define la medida del ángulo en radianes como la constante de proporcionalidad; aplica la fórmula para hallar área de un sector circular.

Fundamentos básicos de ángulos y medidas

Nombre Medida del ángulo Ejemplos

Angulo agudo Entre 0° y 90°

Angulo recto Exactamente 90°

Angulo obtuso Entre 90° y 180°

Angulo rectilíneo Exactamente 180°

Fundamentos básicos de ángulos y medidas

Nombre Definición Ejemplos

Ángulos complementarios

Angulo suplementarios

La suma de las medidas dos ángulos es 180°.

Ejemplo

Diga cual es el complemento y el suplemento de 50°.

Complemento

90° – 50° = 40°

Suplemento

180° – 50° = 130°

Ángulos en trigonometría En el estudio de la trigonometría, un ángulo

se forma al rotar un rayo alrededor de su punto final. En la posición inicial, el rayo se llama lado inicial del ángulo, una vez rotado es el lado terminal del ángulo. El punto final del rayo es el vértice.

Ángulos en trigonometría

Nombre Definición Ejemplos

Ángulos positivo Son aquéllos que abren en sentido opuesto a las manecillas del reloj.

Angulo negativo Son aquéllos que abren conforme el sentido de las manecillas del reloj.

Ángulos en trigonometría

Nombre Definición Ejemplos

Posición estándar Su vértice se halla en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial se encuentra sobre el eje positivo de las x.

Angulo cuadrantales

Ángulos en posición estándar que tienen sus lados terminales sobre el eje de x ó y , como aquellos que miden 90, 180. 270, etc.

Ángulos en trigonometría

Nombre Definición Ejemplos

Ángulos coterminales

Tienen el mismo lado inicial y lado terminal, pero cantidades diferentes de rotación.

Ejemplo Para los siguientes ángulos, encuentre los mas pequeños

posibles con medida positiva y coterminales.

908°

908° - 2 · 360°

= 908° - 720 °

= 188 °

Hay que sumar y restar 360° tantas veces como sea necesario para obtener un ángulo que mida

mas de 0° pero menos de 360°.

El ángulo de 188° es coterminal con uno de 908°.

Ejemplo Para los siguientes ángulos, encuentre los mas pequeños

posibles con medida positiva y coterminales.

- 75°

Utilice una rotación de 360° + ( - 75° ) = 285°.

Ejercicios

Proporcione (a) el complemento, y

(b) el suplemento de cada ángulo.

1. 30°

2. 60°

3. 45°

4. 55°

5. 89°

6. 2°

7. Si un ángulo mide x grados, como se

representa su complemento?

8. Si un ángulo mide x grados, como se

representa su suplemento?

Para los ángulos que se indican, encuentre los ángulos coterminales que tengan las medidas positivas más pequeñas.

1. -40°

2. -98°

3. -125°

4. -203°

5. 539°

6. 699°

7. 850°

Dibuje cada ángulo en posición estándar. Agregue una flecha que represente la cantidad de rotación correcta. Obtenga la medida de otros dos ángulos, uno positivo y otro negativo, que sean coterminales con el ángulo que se da. Menciona el cuadrante de cada lado.

1. 75°

2. 174°

3. 300°

4. -61°

5. -159°

Medidas en grados y radianes

Medidas en grados, minutos y segundos (grados sexagesimales)

Por tradición, las partes de un grado se miden en minutos y segundos.

Un minuto, que se escribe como 1’, es 1/60 de un grado

Un segundo, 1”, es 1/60 de un minuto.

La medida 12° 42’ 38”representa 12 grados, 42 minutos, 38 segundos.

Ejemplo

Realice los cálculos que se piden.

a. 51° 29’ + 32° 46’

Se suman por separado los grados y los minutos 51° 29’ + 32° 46’ 83° 75’

Como 75’= 60’+ 15’= 1° 15’, la suma queda 83° + 1° 15’ 84° 15’

Ejemplo

Realice los cálculos que se piden.

b. 90° - 73° 12’’

Se escribe 90° como 89° 60’’. Por tanto, 89° 60’’ - 73° 12’’ 16° 48’’

Medidas en grados y radianes

Grados Decimales

Debido a que las calculadoras son parte integral del mundo de hoy, es común que los ángulos se midan en grados decimales. Por ejemplo 12.4238° representa

Ejemplo

a. Convertir 74° 8’ 14” a grados decimales. Redondee al

milésimo mas cercano de un grado.

Como

(con redondeo)

Ejemplo

b. Convertir 34.817° a grados, minutos y segundo.

Medida en radianes

Grados a radianes y radianes a grados

Hay dos formas de conversión:

Ejemplo

Conversión de grados a radianes

Convierte cada ángulo dado de grados a radianes.

(a) 60°

(b) 45°

(c) 30°

Conversión de radianes a grados

Convierte cada ángulo dado de radianes a grados.

(a)

(b)

(c)