Los centros del triángulo: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentroComenzamos la serie de artículos dedicados a los centros del triángulo con la

presentación de los que posiblemente sean los más conocidos para todos, ya

que se definen de manera muy sencilla y se estudian en niveles relativamente

bajos de nuestra vida académica. Vamos con ellos.

Incentro

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo

que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha

circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las

bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo

una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por

lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres

bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas. En la

imagen siguiente podéis verlo:

Baricentro

El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de

intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el

segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por

ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres

medianas y localizar el punto en el que se cortan. Esta figura muestra el

baricentro de un triángulo:

Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia

circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices

es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de

intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta

perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por

tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres

mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas. Puede

verse el circuncentro de un triángulo en la siguiente imagen:

Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres

alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un

vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para

representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres

alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. En esta

figura puede verse el ortocentro de un triángulo:

En la entrada de presentación de esta serie de artículos comenté que

intentaría en la medida de lo posible ilustrar cada uno de ellos con algo

de GeoGebra. Como lo prometido es deuda, ahí va un applet de GeoGebra en

el que se aparecen los cuatro puntos descritos. En él podéis ver cada uno de

ellos por separado o varios de ellos a la vez y jugar con el tamaño y la forma

del triángulo moviendo los vértices del mismo, además de una sorpresa:

Bueno, en realidad la sorpresa seguro que no es desconocida para muchos de vosotros, ya que corresponde con la línea de Euler que ya vimos hace un tiempo gracias a nuestro gran colaborador fede. Aunque en cierto modo sí es sorprendente que haya una recta a la que pertenezcan el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo.