Los Numeros y Sus Relaciones IV Sem

INDICE

Introduccion……………………………………………………………………………………………………………………………… 3

Organización de los contenidos………………………………………………………………………………………………. 4

Significado de las operaciones y sus relaciones…………………………………………………………………….. 4

Orientaciones didacticas………………………………………………………………………………………………………….. 6

Evaluacion………………………………………………………………………………………………………………………………… 8

Propositos generales……………………………………………………………………………………………………………….. 10

Bloque I

Aspectos Historicos De los Sistemas Numericos……………………………………………………………………..

11

Bloque II

Los Numeros Enteros………………………………………………………………………………………………………………..

13

Bloque III

Numeros Racionales………………………………………………………………………………………………………………….

18

Bloque IV

Proporcionalidad………………………………………………………………………………………………………………………..

27

MATERIALES DE APOYO

Bloque I

Aspectos historicos de los sistemas numericos I…………………………………………………………………….

31

La intervencion de las cifra<s

Ifrah, Georges…………………………………………………………………………………………………………………………..

31

La numeracion de los sacerdotes mayas

Op cit. Pp 235-246……………………………………………………………………………………………………………………

70

A que se debe el enumaralismo

John allen paulos……………………………………………………………………………………………………………………….

83

Evocacion de anumerismos pasados

Op cit Pp 114-120…………………………………………………………………………………………………………………….

84

La educacion secundaria y la universitaria

Op cit Pp 120-126…………………………………………………………………………………………………………………….

88

La angustia matematica

Op cit Pp 137-139…………………………………………………………………………………………………………………….

90

Bloque III

Numeros Racionales………………………………………………………………………………………………………………….

92

Politica Economica y nacional

Paulos john allen……………………………………………………………………………………………………………………….

92

2

Lani guinier, la reina de los porcentajes

Paulos john allen……………………………………………………………………………………………………………………….

94

Las fracciones diferentes interpretaciones

Salvador linares Ciscar y Ma. Victoria Sanchez Garcia……………………………………………………………

98

La relacion parte de todo y medica

Op cit Pp 55-62…………………………………………………………………………………………………………………………

102

Las fracciones como cociente

Op cit Pp 63-67…………………………………………………………………………………………………………………………

108

La fraccion como razon

Op cit Pp 67-72…………………………………………………………………………………………………………………………

113

Las fracciones y los operadores

Op cit Pp 72-74…………………………………………………………………………………………………………………………

117

Una vision global de las fracciones

Op cit Pp 75-78………………………………………………………………………………………………………………………..

120

Bloque IV

Razones y proporciones…………………………………………………………………………………………………………….

124

Aspectos didacticos

Salvador linares Ciscar y Ma. Victoria Sanchez Garcia……………………………………………………………

124

3

INTRODUCCIÓN

La naturaleza misma de las matemáticas tiene como punto de partida los números y sus

operaciones; de hecho, a las matemáticas se les solía definir como "la ciencia del número y la

magnitud". Esto justifica que, desde sus orígenes y en los diferentes niveles educativos, el

curriculum de matemáticas se haya organizado en torno a las propiedades y el estudio de los

números.

La importancia de los números en la vida del ser humano es manifiesta pues, entre otras cosas, en

que le permiten cuantificar las múltiples actividades que realiza diariamente. Dichos números

también pueden ayudar al individuo en actividades no tan prácticas, como cuantificar distancias

astronómicas o cantidades de años que nos remiten al origen del hombre.

En general, podemos afirmar que, para el hombre de nuestros días, los números son

imprescindibles y su entendimiento y uso, esenciales.

El programa de Los números naturales y sus relaciones tiene la intención de hacer reflexionar al

profesor estudiante con aquellos problemas que le permitan detener su camino y lejos de grabar

en sus procesos las propiedades de los números, las ponga en juego para resolver una situación

como: Ejemplo para caso de razonamiento el tendero que cobra $ 1 234.50 por la mercancia de su

cliene, ante el contar por cinco ocasiones del pago, el cliente replica y pregunta que si todo está

bien, la respuesta del tendero es “mas o menos”, como puede advertirse, el campo de las

matemáticas no puede ni debe remitirse a este tipo de declaración, otro ejemplo que también

puede servir para los propósitos de este programa, es aquel que tiene que ver con la numeración

de las placas de algún vehículo, como DVD 1729; en la búsqueda de las relaciones que guardan los

dígitos de que se compone el número 17291 se encuentra que puede ser expresado como la suma

de dos cubos de dos maneras diferentes; de modo que estos y muchos otros problemas de la vida

normal de todo sujeto, pueden servir de base para el despliegue de la materia, objeto de estudio.

1 Existen dos posibilidades, una de ellas se represetna por 103 + 93 ¿podría Ud. encontrar la segunda?

4

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS

Teniendo como antecedente lo anterior y partiendo de que los números y sus operaciones tienen

relevancia, lo mismo en actividades prácticas que teóricas, se sugiere que el estudio de los

números y sus relaciones se haga tomando en cuenta los siguientes aspectos fundamentales.

SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS, DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTADOS,

RELACIONES ENTRE ELLOS Y LOS SISTEMAS NUMÉRICOS.

En el proceso de entender el significado de los números, los estudiantes deben diferenciar y dar

sentido a números muy pequeños o muy grandes, ya que ambos se usan con frecuencia en la

información que aparece en los medios de comunicación referida a la población, la economía o la

ciencia. Para lo que en las diferentes interpretaciones de los números racionales (fracciones,

decimales, porcentajes, etc.) y se sugiere que su representación en una recta numérica lo que

ayudará a entenderlos de mejor manera.

Otro aspecto del proceso de entender los sistemas numéricos se relaciona con las propiedades de

los números enteros, tales como la divisibilidad, la descomposición en factores primos y las

propiedades de números primos. Un elemento adicional de mucha son las relaciones entre los

elementos del sistema.

En el caso de los números reales, la comprensión de la relación de orden es fundamental para

abordar una variedad amplia de problemas, que van de lo práctico a lo teórico, y es la base para

discutir las ideas fundamentales de lo que suele llamarse "matemáticas superiores", tal es el caso

de la relación que guardan las series para la determinación del enésmo número o la suma de dicha

serie, etcétera.

SIGNIFICADO DE LAS OPERACIONES Y SUS RELACIONES.

La comprensión del significado de las operaciones en los sistemas numéricos es el fundamento

para estudiar otras áreas de las matemáticas como el álgebra, la geometría y el cálculo, entre

otras, esto permitirá operar con otros sistemas algebraicos de gran utilidad, como pueden ser los

vectores, las matrices, etcétera.

En los aspectos prácticos, la comprensión de las propiedades de las operaciones tiene gran

utilidad. Por ejemplo, se puede usar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la

suma para simplificar o transformar cálculos (utilizar una doble distribución ayuda a comprender

5

mejor esta propiedad). También se puede usar e interpretar el sentido inverso de la suma y la

resta o de la multiplicación y la división para resolver problemas.

CALCULAR CON FLUIDEZ Y HACER APROXIMACIONES RAZONABLES.

Un aspecto de gran importancia al resolver problemas de matemáticas es poder decidir con "buen

criterio" si un determinado problema requiere de una solución más o menos precisa y cómo

obtenerla. También es importante poder desentrañar entre el uso de cálculos mentales, con

calculadora o computadora o usando solamente papel y lápiz. Por ejemplo, se requiere calcular

mentalmente, con fluidez y cierto grado de precisión, cuando hay que tomar decisiones, para hacer

alguna compra u otro tipo de operación.

El programa del curso se ha organizado en cuatro bloques temáticos que cuentan con actividades

sugeridas que los profesores responsables de conducirlo pueden enriquecer con base en su

experiencia.

6

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

LA IDEA DE PROBLEMATIZAR EL ESTUDIO DE LA DISCIPLINA

Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en

un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la

disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el

estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se

presentan de cierta forma. Lo anterior significa que las actividades deben presentarse en forma de

problemas o preguntas en los que el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y

resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta

perspectiva, tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver

incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.

Por consiguente Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de

clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En

esta dinámica, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a

resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación.

Aparte al docente le corresponde analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el

potencial particular o general de éstos. Realizar actividades que ayudan a construir y mantener

una actitud crítica en el salón de clase. De tal manera que el papel del maestro es seleccionar y

presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. Asi

como tener considerar los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes. Y por

consiguiente no olvidar que aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere

una reflexión y acción continua acerca del que hacer o actividad matemática. Algunas preguntas

que llegan a ser rutina, en un curso que valore la resolución de problemas, y que juegan un papel

central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes.

Cabe entonces hacerse algunos cuestionamientos de reflexion:

¿He usado o identificado la información importante en el problema?

¿Estoy convencido de la forma de solución del problema?

¿Puedo convencer a otros compañeros?

¿He resuelto totalmente el problema?

¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución?

¿Se puede generalizar este resultado?

Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar

justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender

7

incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas y de los resultados de sus

indagaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y

respondan adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.

Otro aspecto de suma importancia es la forma de plantear los problemas y de organizar la

actividad de los alumnos influye directamente en las habilidades y capacidades que los estudiantes

desarrollan hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las

matemáticas, los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia

práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y

avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes en dicha problematizacion participan en una

búsqueda reflexiva y a su vez desarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático.

Por lo tanto se recomienda que los temas no se presenten de manera separada, por el contrario,

se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo

los sistemas numéricos y, en general, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las

diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la

misma disciplina.

8

EVALUACIÓN

LOS NÚMEROS NATURALES Y SUS RELACIONES

Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los

contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro grandes

categorías:

a) El desempeño actitudinal del participante

b) El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje

c) El diseño del curso

d) El desempeño del maestro estudiante durante las clases presenciales

En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del maestro estudiante, como: la

disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y

juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su

participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras.

En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente

programa de Los números naturales y sus relaciones, como; la capacidad de análisis y síntesis, las

habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras.

En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos

de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no

solo del maestro estudiante, sino también del profesor responsable del despliegue de la disciplina,

este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de intenciones por

parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, si presenta los

propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento,

habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos

implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al

alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y todos aquellos

aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la reorientación y

planificación de actividades que tengan mayor consistencia.

Finalmente, en el último aspecto sugerido para la evaluación, conviene incorporar reflexiones que

tiendan a evaluar la asistencia y participación del maestro alumno, como: si las tareas solicitadas

se realizan en tiempo y forma; si el maestro alumno asiste a la clase presencial con los materiales

analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros; si hace

9

contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene dominio sobre la información

que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedoso y relevante en las discusiones

generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica proposicional, etcétera.

Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al docente como al maestro

estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones

pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.

10

PROPÓSITOS GENERALES

Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes

normalistas:

a) Adquieran bases sólidas en correspondencia con el estudio de los números y sus

relaciones, tanto para abordar los siguientes cursos de la especialidad como para realizar

un trabajo docente de calidad.

b) Adquieran elementos para analizar situaciones de estudio relacionadas con el significado de

los números, sus relaciones y operaciones, que resulten adecuadas para los estudiantes de

secundaria.

c) Desarrollen habilidades para resolver problemas en diferentes contextos, con base en el

conocimiento de los números y sus relaciones.

11

BLOQUE I

ASPECTOS HISTÓRICOS DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS

PROPÓSITOS

a) Discutir y analizar el concepto de número.

b) Establecer las relaciones de los números, el lenguaje y origen del conteo

c) Establecer las propiedades de la composición de las cifras

d) Revizar la evolución de sistemas de numeración, como: el sistema de numeración romano

y sus propiedades de escritura y lectura, así mismo, el sistema de numeración egipcio y los

símiles que guardan con el sistema de numeración decimal y aquellos sistemas de

numeración que dierón su origen, como el Sistema Babilónico y Maya, respectivamente

TEMAS

1. Origen del concepto de número.

2. Números, lenguaje y el origen del conteo y las cifras.

3. Sistemas de numeración (romano, decimal, egipcio, babilónico y maya): su evolución.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Ifrah, Gerard. Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza Editorial, (1988)

Paulos, John Allen. El hombre anumérico, el anafabetismo matemático y sus consecuencias,

Tusquets Editorial, España 2000

Alarcón, J. et al., Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP, (2002)

SEP, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México, (2001)

ACTIVIDADES SUGERIDAS

Los estudiantes pueden formar equipos para leer los capítulos del libro de Ifrah. En el salón de

clase, los equipos reportarán sus trabajos y señalarán las cuestiones relevantes vinculadas con los

temas propuestos. Pueden abordar preguntas como las siguientes:

¿Cuáles son las ventajas de calcular en base 10 en relación con otros sistemas? ¿Cuál es la

representación de 12 345.75 en el sistema binario?

12

Organizados en pequeños grupos colaborativos, resuelvan el tema I de primer grado del Fichero de

actividades didácticas, página 10 – 11.

Agrupados en pequeños grupos colaborativos, pueden analizar las lecturas correspondientes a

John Allan Paulos; tales como:

a) ¿A qué se debe el anumerismo?

b) Evocación de anumerismos pasados

c) La educación secundaria y la universitaria

d) La angustia matemática

Se tienen dos números, tales que al sumar

las cifras del cuadrado de uno da como

resutltado 13 y la suma de las cifras del

cuadrado del otro es 16, ¿cuáles son los

números?

Luego de discernir el contenido de las lecturas, discutan las conclusiones obtenidas respecto de los

elementos relevantes que hacen que el hombre adquiera la característica de anumérico presente al

grupo la relevancia de los temas estudiados.

De acuerdo con las lecturas de Paulos, redacte una propuesta que favorezca:

a) La epistemofilia de las

matemáticas

b) La concepción del

número

c) La certidumbre en el

planteamiento de un

problema

Justifique las siguientes sumas utilizadas por un sistema de pago de

una deuda de $ 50.00:

Pagó 20 y quedó debiendo 30

“ 15 “ 15

“ 10 “ 5

“ 5 “ 0

Suma 50 Suma 50

Pagó 20 y quedó debiendo 30

“ 18 “ 12

“ 3 “ 9

“ 9 “ 0

Suma 50 Suma 51

13

BLOQUE II

LOS NÚMEROS ENTEROS

PROPÓSITO

Al término de las actividades propuestas en el presente bloque, el profesor estudiante será capaz

de:

a) Establecer el concepto de número y sus propiedades

b) Relacionar el concto de número y sus propiedades a las operaciones básicas

c) Analizar el Teorema fundamental de la aritmética, tal que permita abordar los princios de

divisivilidad, MCD, mcm, múltiplos, y lo relacionado con los números primos

d) Establezca el comportamiento para llegar a criterios de divisibilidad relaciondados con 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8 y 10

e) Compare el comportamiento general de los números naturales para el establecimiento del

orden y comparación de los mismos y,

f) Concluya con los principios básicos de conteo (diagrama de árbol y arreglos rectangulares)

TEMAS

1. Los números enteros y las propiedades de las operaciones

de suma y producto.

2. Divisibilidad, máximo común divisor, mínimo común

múltiplo, números primos y el Teorema Fundamental de la

Aritmética.

3. Algunos criterios de divisibilidad (divisibilidad por 2, 3, 5,

11).

4. Los enteros en la recta numérica.

5. Orden en los números enteros.

6. Algunos principios de conteo.

Exprese los números

enteros consecutivos, 1, 2,

3, … con solo cuatro cuatros

14


Alarcón, J. et al. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP.

SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.


1. Una propiedad importante de los

números enteros es el concepto de

números consecutivos, que son aquellos

cuya diferencia es 1 o -1. Por ejemplo, 10

y 11 son consecutivos; -110, -111. Con

esta idea se pregunta: ¿es 4 suma de dos

números consecutivos? Para contestar se

puede empezar ensayando algunos casos,

por ejemplo: 1 y 2 no suman 4; 2 y 3

tampoco. ¿Podemos concluir que 4 no es

la suma de dos números consecutivos?

¿Por qué? ¿Será un número par la suma

de dos números consecutivos? Dos

números consecutivos tienen la propiedad

de que uno es par y el otro es impar, por

lo que al sumarlos se obtiene un número

impar. De esta discusión se tiene que los

números pares no son la suma de dos

números consecutivos. Se formula la

misma pregunta para números impares.

Un número impar es de la forma 2n+1 y

ésta representación es claramente la

suma de dos consecutivos. Con esta

misma idea se pregunta: ¿es un número

impar la suma de tres consecutivos? La

suma de tres números consecutivos es de

la forma n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3

(n+1). De este modelo se tiene que para

En las ralaciones de los números, se

considera que un “número perfecto” es aquel

que al sumar sus divisores, excluyendo el

número, tiene como resutlado el mismo

número, de modo que 6, por ejemplo es un

“número perfecto” ya que la suma de sus

divisores 1, 2 y 3 tiene como resultado el 6,

es decir, 1 + 2+ 3 = 6.

¿Podría citar los número perfectos que se encuentran del 1 al 500? Y explicar la estrategia que siguió para la búsqueda de ésos

15

que un número sea la suma de tres

consecutivos se requiere que lo divida la

cifra 3. ¿Qué condición se requiere para

que un número entero sea la suma de 4,

5, 6, etcétera, números consecutivos?

¿Puede un número dado ser la suma de 2,

3, 4, 5 números consecutivos?

Los estudiantes pueden formar equipos

para hacer una discusión de las preguntas

planteadas. El profesor puede guiar la

discusión para profundizar en el estudio

de propiedades de divisibilidad y

factorización de enteros en primos

haciendo preguntas como las siguientes:

a) ¿Cuántos factores primos puede

tener un número menor que 100?

b) ¿Cuáles son los números menores

que 100 cuyos factores primos

son todos diferentes?

c) ¿Habrá un número primo que sea

mayor que todos los otros

números primos?

Si el número 2n +1 es primo,

a) ¿tendrá n factores impares

diferentes de uno?

2. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Encontrar dos factores de 100 tales

que ninguno sea divisible por 10. Una forma de abordar el problema es encontrando diferentes

factores de 100, por ejemplo 2 y 50, pero uno de ellos no cumple las condiciones pedidas. Otros

posibles factores son 4 y 25, los cuales sí satisfacen las condiciones deseadas. Se debe notar que

al factorizar 100 como producto de números primos se tiene: 100 = 22 * 52. Con esta

16

representación, la solución al problema planteado se puede dar casi directamente. El problema se

puede extender al caso 1 000 000.

3. El profesor puede pedir a los estudiantes que formulen problemas que extiendan al anterior. Por

ejemplo, el número 1 296 es divisible por 6 y justificar su respuesta. La respuesta debe ser dada

sin hacer la división. ¿Puede encontrar dos factores que dividan a 1 296 y que no sean divisibles

por 6? ¿Cómo se formula un problema en donde intervengan los primos 2 y 7?.

Para abordar estos problemas, los estudiantes se pueden auxiliar de alguna calculadora que

factorice enteros, también puede pedirles a los estudiantes que registren una cantidad compuesta

por 3 cifras cualesquiera, que las repitan y justifiquen por qué esa cantidad es divisible por 7, 11 y

13, de modo que si la cantidad es 467, al repetirla se construye otra: 467 467 tal que 467 467 ÷ 7

= 66 781; 467 467 ÷ 11 = 42 497; 467 467 ÷ 13 = 35 959; encontrar el modelo que da

respuesta a este tipo de relaciones funcionales enriquece el concepto de número y por otro lado,

están presentes las propiedades de divisibilidad.

4. Resuelvan los siguientes problemas del Libro para el maestro de matemáticas: problemas 2 y 9

(p. 92) y problemas 6 y 7 (p. 95).

5. En relación con los problemas que involucran a los números enteros, se tienen aquellos en

donde se aplican propiedades que derivan de dividir enteros y dejan resto. Estos problemas dan

origen a lo que se llama "aritmética modular". Un par de buenos ejemplos que ilustran esto son los

problemas 8 y 10 (p. 95) del Libro para el maestro.

6. Con frecuencia se encuentran situaciones en que se debe determinar el número de posibles

formas de agrupar objetos o personas de una manera determinada. Por ejemplo:

se tiene un grupo de cinco personas de las cuales se han de elegir un presidente y un secretario

que los representen semanalmente. ¿De cuántas formas se pueden nombrar los representantes?

¿Cuántas semanas habrán transcurrido antes de que se repitan los mismos representantes?

Posibles formas de solución. Los estudiantes pueden simular la situación y elegir algunas formas

de representar la información. Por ejemplo:

Se pueden formar parejas con las iniciales de los nombres, con facilidad pueden suponer que las

iniciales son: A, B, C, D y E. Ahora, ilustrar en una tabla las diferentes parejas posibles que se

forman y, a la vez, una forma eficiente de contarlas.

17

(A, B) (A, C) (A, D) (A, E)

Ss (B, C) (B, D) (B, E)

Ss Ss (C, D) (C, E)

Ss Ss Ss (D, E)

Si ahora se tiene un grupo de n personas y a los miembros del grupo se les asigna un número del

1 hasta n y se pregunta: ¿de cuántas formas se pueden nombrar a los representantes?

Notemos que el número 1 puede formar pareja con 2, 3,..., n, de lo cual contamos n-1 parejas, el

2 forma pareja con 3, 4, 5,... n (el 1 ya fue incluido antes). Con el auxilio de una tabla se puede

"ver" que el número de parejas es (n-1) + (n-2) + ... + 1. ¿A qué es igual esta suma? ¿Encuentra

una forma isomorfa de este problema? Esta actividad se puede extender al caso en que se tenga

que elegir k representantes de un total de n.

7. (Cálculo de cuadrados.) Con cierta frecuencia se requiere calcular el cuadrado de números

enteros que terminan en cinco. Por ejemplo 152, 252, etcétera. Calculando estos cuadrados se

observa que el resultado termina en 25, es decir 152 = 225, 252 = 625. ¿Hay una regla que ayude

a determinar los cuadrados de números enteros que terminan en 5?; discutir con el grupo de

estudiantes si esta regla permite el cálculo de cuadrados en otros contextos, es decir, para

cualquier número, incrementa el acervo y permite la concresión de las reglas de las probabilidades

El profesor puede pedir a los estudiantes que experimenten con más enteros del tipo pedido para

observar el comportamiento. Una vez hecho esto, puede preguntar si es posible formular y probar

el resultado que han observado. (Sugerencia: un entero que termina en 5 es de la forma 10n+5).

8. Realicen las actividades del tema 3 y del tema 4 de primer grado del Fichero de actividades

didácticas (Pp. 14 – 17)

18

BLOQUE III

NÚMEROS RACIONALES

PROPÓSITO


de:

a) Analizar el comportamiento de los números decimales como resultado de la comparación

de dos enteros y concluir con la lectura y escritura de los mismos

b) Operar con la represetnación comparativa de dos enteros en formabásica, asociada a

contextos de la vida real

c) Asociar el comprtamiento de los números decimales en otros contextos, como: operador,

parte todo, razón interna, y por ciento

d) Establecer el criterio para el orden y comparación de la razón interna de varios números

enteros, así como sus propiedades

e) Establecer el cirterio para las diferentes representaciones de los números decimales y,

f) Comprender y aplicar la distribución sencilla y doble para la simplicación de cálculos

asociados a las representaciones de las fracciones decimales

TEMAS

1. Lectura y escritura de números decimales y su representación en la recta numérica.

2. Operaciones con decimales (cálculo mental, algoritmos y aproximaciones).

3. Decimales periódicos.

4. Diferentes representaciones de los números racionales: decimales, cociente de enteros y

por ciento.

5. Propiedades de las operaciones en los números racionales.

6. Orden en los números racionales.

7. Uso de números racionales para representar cantidades en la recta numérica.

8. Uso de las propiedades asociativa y distributiva de las operaciones para simplificar

cálculos.

19




Llinares, S. y V. Sánchez (1988), "Las fracciones: diferentes interpretaciones", en Fracciones,

Madrid, Síntesis, pp. 51-78.


Antes de iniciar con el trabajo propio del bloque, se recomienda el anális de las lecturas de John

Allen Paulos, Política, economía y nacional además, Lani Guinier, la reina de los porcentajes, el

propósito es entrar en materia de análisis de los diferentes contrextos de las fracciones y las

interpretaciones que nos ofrece, así mismo, los beneficios que reporta trabajar con este tipo de

análisis.

El profesor puede pedir a los estudiantes que redacten un informe en el que consignen los aspectos

más relevantes que toca John Allen Paulos (individual o por pequeños grupos de trabajo).

1. Coméntese en el grupo el contenido de las lecturas de Salvador Llinares Ciscar y Ma. Victoria

Sánchez García:

a. La existencia de diferentes interpretaciones de las fracciones

b. La relación parte-todo y medida

c. Las fracciones como cociente

d. La fracción como razón

e. Las fracciones como operadores

f. Una visión global de las fracciones

El profesor puede pedir a los estudiantes que redacten un informe en el que destaque, explicitando

los puntos centrales de cada una de las lecturas

2. La comprensión de las diferentes representaciones de los números es fundamental para que los

estudiantes puedan comunicar e interpretar con el lenguaje matemático y resuelvan una variedad

de problemas. Cada representación puede ofrecer ventajas o desventajas para analizar o entender

situaciones. Así, los estudiantes deben utilizar diversos tipos de representación de fracciones,

decimales y porcentajes. Por ejemplo, el profesor puede plantear preguntas como las siguientes:

20

a) ¿Cómo es más conveniente escribir 50

11

100

22u en un cheque?

b) ¿Puede explicar por qué las siguientes representaciones 20

3,

100

15, 0.15 y 15% corresponden

al mismo número?

c) ¿Puede identificar problemas o situaciones en las que el uso de cada una de estas

representaciones sea la más adecuada?

d) ¿Cómo se expresa la probabilidad de sacar una bola blanca de una bolsa que contiene 20

bolas con igual probabilidad?

e) ¿Cómo representa el descuento que tiene un determinado producto?

3. Los modelos que involucran áreas pueden ser de utilidad para que los estudiantes visualicen el

sentido de los números. En las siguientes representaciones se observa que las fracciones 3

2

12

8y

son equivalentes y pueden representar áreas. ¿Cómo se explica esto geométricamente? En la

multiplicación (1.2) x (1.4),

• ¿Cuál es el significado geométrico?

• ¿Cómo se puede representar gráficamente el 80% de 20?

4. De la siguiente lista, seleccionen aquellos números que sean racionales. Expliquen por qué:

1.3434; - 5.6; 1.121121112î...; 3

2; 0; 25%;

)39(7

2−;

5. En una gran variedad de problemas reales se requiere obtener respuestas aproximadas. Para

comentar este aspecto, el profesor puede plantear los siguientes problemas:

21

Las dimensiones de un terreno rectangular son 40.15 y 60.25 metros.

• ¿Cuál es el área aproximada del terreno?, también puede hacer la pregunta ¿cuál es la

mayor área que alcanza dicho terreno?, (con la respueta se va induciendo al alumno hacia

la razón de cambio)

• ¿Cuál es el resultado aproximado de sumar 1516

87

y ?

• ¿Cuál es el valor aproximado de la diagonal de un cuadrado de lado 4?

• ¿Dicha diagonal, es >, ≥, <, ≤ ó = que 6?

Al contestar a las preguntas planteadas, el maestro puede orientar una revisión de las propiedades

y operaciones con fracciones, áreas de cuadrados y el teorema de pitágoras. Y comprobar que el

modelo para el cálculo de la diagonal de cualquier cuadrilátero, representa un patrón numérico

operacional y cumple con la condición esperada: por ejemplo, analizar el teorema de pitágoras en

diferentes contextos como:

o en su defecto el cálculo de las diagonales de cualquier cuadrilátero, como:

22

6. Otra situación en donde los métodos de aproximación juegan un papel importante es la

siguiente:

• ¿Qué proceso se puede utilizar para estimar 64.6 x 0.16?

Una forma de realizar esta estimación es observar que los números 64 y 16 se pueden expresar

como potencias de 2 y aprovechar esta propiedad para operar con 26 x 24 = 210 y, después, al

resultado (1 024) colocarle el punto decimal en el lugar correspondiente 10.24.

¿Cómo se aproxima 482 x 50.2? Aquí, por ejemplo, se puede aproximar usando la operación: 482

x 2

1 x 100 de lo que resulta 24 100.

El redondeo, la distributividad y el uso de potencias de dos son las estrategias que ayudaron a

realizar las operaciones anteriores.

La estimación es una habilidad fundamental que los estudiantes deben desarrollar y forma parte de

las propiedades de los números.

El contexto de la pregunta o problema desempeña un papel importante en la forma de estimar. Por

ejemplo:

Si han de comprarse 35 artículos a un precio de $45 pesos cada uno y se desea saber si se tiene

suficiente dinero para comprarlos, entonces el número 40 x 40 = 1 600 da una idea de la cantidad

de dinero que se necesita.

Otra situación análoga a la anterior puede ser: Si se va a pintar una superficie de 35 x 45 metros,

entonces 1 600 sería una buena estimación.

En general, para estimar el resultado de alguna operación se realiza un cálculo mental teniendo en

cuenta números aproximados a los originales. Aquí es importante discutir lo razonable de la

respuesta. Otra variante de la estimación se relaciona con el proceso de estimar mediciones, es

decir, llegar a una medición sin utilizar herramientas para medir, por ejemplo, la estimación del

área de una habitación.

23

El tema de aproximaciones está lleno de ejemplos de la vida diaria. Por ejemplo,

• ¿Cuánta basura se recolecta en tu casa cada semana?

• ¿Cuánta agua se consume diariamente en tu casa?, etcétera.

Nótese que, en estas situaciones, el estudiante tiene que aportar cierta información y asumir una

serie de condiciones que le permitan plantear y llevar a cabo un plan de solución (una estrategia

de solución). Estos problemas se pueden abordar de distintas maneras y una forma de evaluar la

respuesta es comparando (con sus compañeros) las soluciones que se obtengan en esos diversos

caminos.

7. El maestro debe utilizar actividades de estudio en las que los estudiantes exploren propiedades

de los números. A continuación se presentan algunos aspectos que son importantes durante el

proceso de resolver problemas:

• Usar diferentes representaciones de los números y reconocer cuando una representación

es más útil que otra. Por ejemplo, observar que 12 x 15 puede fácilmente operarse como 6

x 30, o que 12 x 25 puede calcularse como un cuarto de 12 y multiplicar el resultado por

100 (ya que 25 es 4

100).

• Reconocer la magnitud relativa de los números. Por ejemplo, saber que 3

1 es mayor que

4

1

y que la diferencia entre 3 y 5 es la misma que la diferencia entre 123 y 125;

relativamente, cuando los números son más grandes, el significado de la diferencia puede

variar.

• Usar números de referencia para comparar cantidades. Por ejemplo, puede usar el 1 como

referencia para reconocer que la suma de 8

7 y

10

9 debe ser un poco menos que 2, ya que

cada fracción es un poco menos que 1.

• Conectar entre los números, operaciones y relaciones entre símbolos. Por ejemplo:

reconocer que 365 ÷ 0.69 será un número mayor que 365, o que la diferencia entre $6 y

$2.85 se puede encontrar restando 2 (que da 4) y quitando otros 85¢ o sumando 85¢ a

$2.85, y sumarlos a $3.00

24

• Reconocer los efectos de las operaciones. Por ejemplo, explicar qué le ocurre a un número

cuando se multiplica por 0.5 o cuando se divide por un número entre 0 y 1. O con la

información representada en la recta, ¿qué número (de los allí representados) está más

cerca de: ab, f

1, h y e?

• Reconocer cuando una estimación es apropiada. Por ejemplo, explicar si la suma de dos

números de dos dígitos es más o menos que 100. ¿Cuántas cifras o dígitos contienen dos

números consecutivos cuyo producto sea 4 160?

• Utilizar diferentes estrategias para aproximar resultados. Por ejemplo, ¿aproximadamente

cuántas personas caben en la Plaza de Armas de la Cd. de Chihuahua? Es una pregunta

que puede ser contestada a partir de estimar las dimensiones de la Plaza y dividirla en

cuartos, y estimar esa porción para después multiplicar ese número por cuatro. Otra

estrategia podría ser la estimación de cuantas personas entran en alguna fila en un lado de

la plaza y después estimar el número de filas. La idea de utilizar diversas estrategias ayuda

a contrastar las respuestas que se obtengan.

8. Resolver las actividades del tema 6 (Pp. 20 – 21) y del tema 8 (Pp. 24 – 25) de primer grado

del Fichero de actividades didácticas.

9. Orden y comparación. Una de las propiedades más importantes en los números (enteros,

racionales y reales) es la relación de orden. Con las propiedades de ésta se puede abordar una

gama muy amplia de problemas prácticos y teóricos (usualmente hay que comparar para tomar

decisiones). Para abordar este aspecto, el maestro puede plantear los siguientes problemas:

Si a es un número positivo, ¿qué tan pequeño es S = a + a1

?

Posible forma de solución:

Para darnos una idea de la posible respuesta tomemos algunos casos particulares. Por ejemplo, si

a = 1, S = 2.

25

Si a = 3

1, S =

3

1+ 3 2.

Si a = 4

5, S =

4

5 +

5

4 = 1 +

4

1 +

5

4 1 +

5

1 +

5

4 = 2.

Con estos datos se puede conjeturar que S 2 para todo a positivo.

¿Cómo se puede justificar la conjetura?

Notemos que:

S = a + a1

= a

a 12 + y la conjetura equivale a:

aa 12 +

2

Como a es un número positivo, la última desigualdad es equivalente a: a2 + 1 2a, y esto a la

vez equivale a: a2 + 1 - 2a = (a-1)2 0, lo cual es cierto.

Otros problemas:

¿Cuál de los siguientes números 1011 u 1110 es mayor?

De la cual pueden partir algunas condiciones para que satisfacer la otra situación por considerar es

comparar números muy pequeños.

Por ejemplo, ¿Cuál de los siguientes números es más pequeño?: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

33

1,

152

1.

Dos pasteles idénticos han sido divididos en 5 y 9 partes iguales. Se te propone decidir entre

recibir tres pedazos del que ha sido dividido en 5 partes o 4 pedazos del que se dividió en 9 partes.

¿Qué parte seleccionarías? (Argumenta tu respuesta)

10. Números racionales. Cuando se toma una unidad de medida se divide ésta en b partes iguales

y se toma algún número a de esas b partes de la unidad, entonces se puede hablar de una de esas

partes de la unidad dada. La expresión b

a es una forma de escribir el número racional formado por

algún número de subunidades.

Nótese que 2

π no es un número racional (pues no es cociente de enteros) pero puede ser escrito

como una fracción.

26

Para abordar este aspecto se plantea los siguientes problemas.

Tome como unidad, u = 3

1 represente en la recta numérica

2

5 de u. ¿Cuál es la diferencia

geométrica entre tomar u = 3

1 y u = 1 al representar

2

5 de u?

Usando la siguiente figura u otra similar, el maestro pedirá a los alumnos que expliquen por qué

cada una de las partes sombreadas representa 4

1.

Deben notar que sin importar el tamaño de las piezas, sus colores, formas, arreglos o cualquier

otra característica física, 4

1 representa la parte sombreada. La actividad puede ser extendida

usando otro tipo de representaciones tanto gráficas como numéricas.

11. Organizados en equipos, leer el artículo que se sugiere en la bibliografía y tratar de establecer

las características de cada una de las cuatro interpretaciones de la fracción que en él se sugieren.

Por equipos, diseñen cuatro problemas en los que se pueda distinguir el uso de las fracciones como

expresión de una cantidad, como operador, como cociente y como razón. En trabajo colectivo,

analicen los problemas diseñados.

27

BLOQUE IV

PROPORCIONALIDAD

PROPÓSITO


de:

a. Encontrar las regularidades que ofrece la geometría para el comprtamiento de las razones

en la medición dadas en diferentes contextos, como, la economía, la Biología, la Física,

etcétera

b. Establecer el principio fiundamental de la proporcionalidad, como resultado de las razones,

como: propocionalidad sencilla y múltiple.

c. Analizar la variación en el comportamiento geométrico como corolario de la

proporcionalidad, así como la conclusión de que la proporcionalidad represetna una línea

recta en el plano

TEMAS

1. Razones y medición.

2. Proporcionalidad y variación.


Fiol Mora, María Luisa y Fortuny Aymemí, Josep María. Proporcionalidad directa. La forma y el

número. Ed. Síntesis, Madrid 1990.

Escareño, Fortuny y Rojano, Teresa. Álgebra. Editorial Iberaamericana, México, 2003.



28


1-RAZONAMIENTO PROPORCIONAL

Seis albañiles construyen una barda en tres días. Si todos trabajan con la misma rapidez:

a) ¿cuántos albañiles más se necesitan para construir la misma barda en un día?

b) ¿Cuál es la razón de hombres a mujeres en un pueblo donde 2/3 de los hombres están

casados con 3/4 de las mujeres?.

Se asume que los matrimonios se permiten solamente entre un hombre y una mujer.

Para el primer problema se observa que al aumentar el número de albañiles, el número de días

para la construcción de la barda disminuye. Si todos trabajan con la misma rapidez, entonces un

albañil realiza cada día 1/8 del trabajo. Por lo tanto se necesitan 18 albañiles para terminar la

barda en un día.

El segundo problema se puede representar de la siguiente manera:

Los alumnos pueden usar diferentes representaciones para ilustrar el manejo de la información.

Por ejemplo, una figura como la siguiente les permite analizar la segunda pregunta planteada

arriba.

Se observa que la razón de mujeres a hombres es de 9

8 o de hombres a mujeres es de

9

8

29

2- Una fábrica de componentes de computadoras produce 100 000 piezas con 10 máquinas

trabajando 8 horas diarias durante 7 días. Si se incorporan 6 máquinas a la producción, ¿en cuánto

tiempo se producirán las 100 000 piezas?

El total de horas que trabaja cada máquina es 8 x 7 = 56 horas, y cada máquina produce 10

000100

= 10 000 piezas.

Con esta información se tiene que cada máquina produce 56

00010 piezas por hora.

Las 16 máquinas producen 56

00010 piezas por hora. Si t denota el tiempo que tardan las máquinas

en producir 100 000 piezas se debe tener: 56

00010t = 100 000.

De esto último se tiene que el valor de t = 35 horas.

El profesor puede utilizar el problema anterior para hacer una discusión con los estudiantes en

donde se planteen situaciones como la siguiente:

Una compañía, para transportar una cierta cantidad de materia prima utiliza 3 camiones y le toma

7 días (sólo puede hacer un viaje por día cada camión). En condiciones de emergencia solamente

dispone de 3 días. ¿Cuántos camiones del mismo tipo son necesarios para transportar la materia

prima?.

Estas situaciones ocurren con cierta frecuencia. Por lo tanto es recomendable que el profesor pida

a los estudiantes que ellos propongan problemas análogos.

3- Resolver los problemas del tema 13 para primer grado del Fichero de actividades didácticas.

30

MMAATTEERRIIAALL

DDEE

AAPPOOYYOO

31

BLOQUE I

ASPECTOS

HISTÓRICOS

DE LOS SISTEMAS

DE NUMÉRICOS

LA INVENCIÓN DE LAS CIFRAS2

Ifrah, Georges3.

n la historia de la humanidad se han

producido dos acontecimientos tan

revolucionarios como el dominio del

fuego, el desarrollo de la agricultura o la

eclosión4 del urbanismo y de la tecnología,

nos referimos a la invención de la escritura y

a la del cero y de las llamadas cifras árabes

pues, como las otras, estas invenciones han

cambiado por completo la existencia de

losnvenciones han

2 En Ifrah, Georges. Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza Editorial, (1988), Pp. y 125 – 171 (SUGERENCIA PARA EL PROFESOR ESTUDIANTE leer la obra completa) 3 Doctor en Matemáticas originario de Francia, Paris, autor de varias obras que tienen que ver con la invención de las cifras, como: La saga du calcul, de primirif a la calculatrice programmable revolutionnarie 4 f. Galicismo por brote, relativo a nacimiento o aparición

cambiado por completo la existencia de los

seres humanos.

La escritura no ha sido solo inventada para

responder a las necesidades de

representación visual y de memorización del

pensamiento (experimentadas por cualquier

individuo que viva en un grupo social

avanzado), sino también, y principalmente,

para anotar el lenguaje articulado.

En efecto, la escritura es un notable medio

de expresión y de comunicación duraderas,

que ofrece a cada usuario la posibilidad de

mantener un testimonio permanente de una

o varias palabras ausentes. Es, como decía

Volataire, la pintura de la voz.

Pero la escritura es mucho más que un

instrumento. “Al reproducir la palabra muda ,

no solo la conserva, sino que además plasma

E

LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS

Ifrah, Georges3

LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS__________________________________________

32

el pensamiento que, hasta ahí, no era más

que mera probabilidad. Los trazaos más

sencillos dibujados por el hombre en la

piedra o en el papel no son tan solo un

medio, sino que también se encierran y

resucitan su pensamiento en todo momento.

La escritura, por encima de una forma de

inmovilización del lenguaje, es un nuevo

lenguaje, mudo desde luego, pero que al

transcribir el pensamiento lo disciplina y

organiza. La escritura no solo es un

procedimiento destinado a fijar la palabra y

un medio de expresión permanente, sino que

también da directamente acceso al mundo de

las ideas; reproduce el lenguaje articulado y

permite además aprehender el pensamiento

y hacerle atravezar el espacio y el tiempo

(Ch. Higounet5)

Esta invención ha hecho posible que en la

actualidad pasemos infinidad de datos sobre

determinadas culturas enterradas en las

noches de los tiempos, y que la palabra o el

pensamiento –extinguidos para siempre- de

alguno de nuestros predecesores nos hayan

llegado a través de cientos o miles de años

de historia y de civilizaciones.

En cuanto a la segunda invención, ha sido

hecha para permitir una notación

perfectamente coherente de todos los

numeros, y para que cualquiera (incluso las

mentes menos dotadas para la aritmética)

pueda efectuar cualquier tipo de cálculos sin

5 L´Ecriture. “Que sais-je?”, num. 653. Presses Universiataires de Francia, París, 1969

recurrir a auxiliares como la mano, el

marcador o la tabla de calcular. El cero y

nuestras cifras modernas figuran, al igual que

la escritura, entre las mas poderosas

herramientas intelectuales de que dispone

hoy el hombre. Gracias a esos

descubrimientos se han podido realizar

algunos cálculos que durante milenios fueron

irrealizables y desde ese momento quedó

abierto el camino para el desarrollo de las

matemáticas, de las técnicas y de todas las

demas ciencias.

Pero, por supuesto, este descubrimiento

fundamental no surgió de repente, cual un

presente ofrecido por un Dios civilizador o un

héroe. Tiene un origen y una larga historia.

Apareció poco a poco, tras varios milenios

plagados de ensayos y tanteos, de

fulgurantes avances y estancamientos, e

incluso de retrocesos y de revoluciones. Todo

ha transcurrido como si , a lo largo de los

siglos y a través de las distintas

civilizaciones, la humanidad hubiera

experimentado con las diferentes soluciones

al problema de la representación y del

manejo de los números, antes de seleccionar

aquella que resultase ser la más perfecta y

eficaz posible.

Esta historia empezó hace algo más de cinco

mil años en algunas sociedades avanzadas y

en plena expansión que se vieron abligadas a

realizar operaciones económicas demasiadas

numerosas y variadas como para confiarlas

únicamente a la memoria humana. Estas

sociedades, que habían utilizado


33

procedimientos concretosy arcaicos y que

desde hacía algún tiempo necesitaban

retener en la memoria de forma duradera los

recuentos, comprendieron que era necesario

encontrar un método totalmente distinto. Y

que para ello, se les ocurrió representar los

números mediante signos gráficos:

inventaron las cifras.

Una vez más los guijarros han desempéñado

un papel importantisimo en esta historia.

Cuando se adquirió el uso de la base diez,

por ejemplo, se cogieron guijarros de

dimensiones variadas y según su tamaño se

les atribuyeron distintos ordenes de unidad:

una piedrecilla para la

unidad, un guijarro algo mayor para la

decena, otro mucho mayor para la centena y

un guijarro aún mayor para el millar, y asi

sucesivamente. Seguidamente, para

representar los números intermedios se

limitaron a los guijarros-patrones que fuesen

necesarios, por ejemplo, para el número 486,

cuatro grandes, ocho medianos y seis

pequeños.

Era un método práctico, pero todavía

insuficientemente adaptado, porque no

siempre es fácil encontrar guijarros de

tamaños y formas regulares.

Por tanto, el sistema se fue perfeccionando.

En lugar de coger guijarros, algunos pueblos

utilizaron tierra blanda. Para representar los

distintos órdenes de unidades de sus

sistemas de numeración, modelaron

pequeños objetos de tamaños y formas

geométricas variadas: Pequeños conos o

bastoncillos de arcilla, para las unidades del

primer orden, bolas para las de segundo

orden, discos o conos grandes para las del

tercer orden, esferas para las del cuarto, etc.

Estas fichas de arcilla (que los especialistas

designan normalmente con el nombre latino

de calculi) han sido halladas en numerosos

yacimientos arqueológicos del Cercano

Oriente (de Jartum a Jericó y de Turquía a

Irán). Corresponden a un período que se

extienden desde el lx al ll milenio antes de

nuestra era.

Pero si este sistema ha satisfecho las

necesidades numéricas puramente

operacionales, esto en modo alguno ha

bastado para satisfacer las múltiples

necesidades creadas por la creciente

industria ganadera y agricola, por el

desarrollo de las artesanía o incluso por los

intercambios comerciales cada día más

numerosos.

Los responsables de las antiguas

civilizaciones sumeria y elamita elaboraron,

a mediados del lV milenio antes de J.C., un

sistema contable que les permitió superar las

dificultades por algún tiempo...

Nos

encontramos

cerca del golfo

arábigo-pérsico,

aproximadamen

te hacia el 3


34

500 antes de J.C., en dos regiones vecinas

situadas respectivamente en Irak y en Irán:

los paises de Sumer y de Elam. Son

civilizaciones semejantes pero rivales,

avanzadas y ya muy urbanizadas. Los

intercambios económicos son cada día más

numerosos, y cada vez se experimenta una

mayor necesidad de conservar de forma

durdera de las cuentas, inventarios, ventas,

compras y repartos que se llevan a cabo

diariamente.

Para ello se utiliza un sistema contable

derivado del método de <<los guijarros-

fichas>> al que nos referimos.

Los Sumerios (que contaban en base

sexadecimal, con la

decena como unidad

auxiliar) representaron:

(vista satelital de la

NASA, asentamientos de

la Cultura Sumeia)

- una unidad simple por un cono

pequeño;

- una decena por una bola;

- una sesentena por un cono grande;

- el número 600 (= 60 x 10) por un

cono grande perforado;

- el número 3 600 (= 60 x 60 = 602)

por un esfera;

- el número 36 000 (= 602 x 10) por

un esfera perforada.

Como se aprecia en la siguiente figura:

He aquí una idea que ya era abstracta para la

época: la multiplicación por diez del valor de

una ficha está representada aquí por la

perforación de dicho objeto; haciendo una

pequeña marca circular (verdadero símbolo

gráfico que representa a la bola de la

decena) en el cono que vale 60 o en la esfera

que vale 3 600, se obtienen las

representaciones respectivas de los números

600 (= 60 x 10) y 36 000 (= 3 600 x 10).

Partiendo de estos calculi, se representan los

números intermedios reproduciendolos tantas

veces como sea necesario. Para 223, por

ejemplo, se toman tres conos grandes,

cuatro volas y tres conos pequeños, como se

aprecia en la siguiente figura:

Los elamitas, por su parte, contaban por

decenas para los númros usuales, y mediante

un “compromiso” entre las bases diez y

sesenta para las unidades de ordenes

superiores. Utilizaban un palito para una

unidad simple, una bola para el 10, un disco

para 100, un cono para 300 (= 60 x 5), y un

cono grande perforado para 3000 (= 300 x

10 = 60 x 5 x 10), tal como se aprecia en el

siguiente esquema:

1cono

10bola

60Cono

grande

60Cono

Grande perforado

3 600esfera

36 000Esfera

perforada

1cono

10bola

60Cono

grande

60Cono

Grande perforado

3 600esfera

36 000Esfera

perforada


35

Para representar el número 223, tienen que

reproducir dos discos, dos bolas y tres

palitos, como se aprecia en el siguiente

esquema:

Estas fichas de arcilla de valor convencional

(cuyo manejo está en cierto modo

relacionado con el de nuestras monedas

actuales o con el de nuestros patrones de

peso)son encerradas seguidamente en una

bola esférica u ovoide, hueca, en cuya

superficie aparecen uno o dos sellos

cilíndricos para garantizar su origen y su

integridad, tal como se puede apreciar en el

siguiente esquema:

Bola esférica de contabildad cuya cara

externa está cubiertap por sellos cilíndicos.

Documeto encontrado en Susa (hacia 3 500

– 3 300 antes de J. C.)

En las regiones de Sumer y de Elam, los

hombres de determinada condición social

poseían cada uno su propio sello, una especie

de pequeño cilindro de piedra, más o menos

preciosa, con una imagen simbólica en hueco

grabado. El sello cilíndrico (cuya invención

se remonta hacia el 3 500 antes de J. C.)

representa a la persona de su poseedor y

está vinculado a todas las actividades,

económicas o jurídicas, que se relacionan con

él. El poseedor de un sello, a modo de firma

o marca de propiedad, desenrrollando el

cilindro en torno a su eje, transfiere lo que

está grabado en él a cualquier objeto de

arcilla correspondiente a alguna operación o

transacción… tal como se puede apreciar en

el siguiente esquema:

Marcas de sellos cilíndricos elamitas (3 500 – 3 000 antes de J.

C.)

Vayámos a Susa, capital de Elam. Un pastor

se dispone a llevar a pastar durante algunos

meses a un rebaño de 299 ovejas

pertenecientes a un rico ganadero de la


36

región. Antes de salir, el pastor y su patrón

se presentan ante un contable de la ciudad,

administrador de los bienes del propietario,

para contabilizar el número total de ovejas.

El contable procede a contar las cabezas del

rebaño, entonces, con su pulgar fabrica una

bola de arcilla hueca en forma de esfera de

unos siete centimetros de diámetro, es decir

apenas un poco mayor que una pelota de

tenis. Seguidamente, una vez formada la

bola y por la abertura dejada por el pulgar,

introduce dos discos de tierra cruda que

simbólizan cien ovejas, nueve bolas que

corresponden cada una a una decena de

animales y nueve palos que a su vez

corresponden cada uno a una cabeza de

ganado.

El contenido total será de: doscientas

noventa y nueve unidades.

Despues el funcionario cierra la abertura de

la bola y, para garantizar el origen del

documento contable que acaba de crear,

impríme el sello cilíndrico del propietario en

la cara externa de dicho documento,

convirtiéndolo en algo equivalente a nuestros

documentos oficiales. Por último, para

autentificarlo, imprime su propio sello. De

esta manera, queda excluida cualquier

confunsión con otras bolas semejantes a

cualquier posibilidad de falsificación, tal como

se puede apreciar en el siguiente esquema:

Esquema de una bola contable

intacta tal como puede verse en

una fotografía de rayos X

Terminada esta operación, el contable seca la

arcilla y guarda la bola con otros documentos

parecidos. Dicha bola, con las fichas que

contiene, es tanto para el dueño del rebaño

como al pastor la garantía de la cuenta que

acaba de ser efectuada y registrada. Cuando

el pastor esté de regreso, este sistema

permitirá comprobar si ha traído todo el

rebaño: se rompera la bola, y gracias a los

calculi correspondientes, la comprobación

será más sencilla…

Nos encontramos ahora en el mercado de la

ciudad real de Uruk, capital de Sumer.

Tras laragas discusiones, un ganadero y un

agricultor acaban de cerrar un trato: cambiar

quince bueyes por setecientas noventa y

cinco medidas de trigo.

Pero, en ese momento, el ganadero sólo

dispone de ocho animales y el agricultor no

ha llevado más que 500 sacos de grano. De

todos modos realizan el intercambio, pero

para que la venta sea equitatíva “firmarán”


37

un contrato. El primero se compromete al

entregar el segundo siete bueyes más a fin

de mes y el otro a facilitarle los 295 sacos

que faltan al término de la cosecha.

Para concretar el acuerdo, el ganadero

confecciona una bola de arcilla hueca, e

introduce en ella siete conos pequeños

asociados cada uno a un animal. Luego cierra

la bola e imprime su sello cilindríco en la

superficie a modo de firma.

Por su parte el agricultor, introduce dentro de

su saco de arcilla cuatro conos grandes que

simbólizan cada uno 60 sacos de trigo, 5

bolas correspondiente cada una a10 de esos

sacos y 5 conos pequeños correspondientes a

los 5 sacos sobrantes. Luego imprime su sello

en la arcilla.

A continuación un testigo pone su “firma” en

los dos documentos, certificando así la

conformidad y la integridad de la transacción.

Tras lo cual, ambos contratantes

intercambian sus respectivas bolas y se

marchan…

Aunque entonces no se conocia todavía la

esccritura, este sistema posee para estas

gentes el mismo valor jurídico que tiene para

nosotros los más serios compromisos

escritos.

En aquella época, cuando las ciudades no

estaban todavía superpobladas y la economia

estaba en sus comienzos, las personas que

mantenían las relaciones comerciales se

reconocían y se diferenciaban anten sus

socios por sus sellos cilindricos. Asi mismo, la

naaturaleza de una transacción comercial

materializada mediante una bola estaba

implícitamente indicada por la marca del sello

correspondiente: según fuera el motivo

impreso se podía identificar al ganadero,

agricultor, artesano, ceramiseta, molinero o

panadero de que se tratase. En cuanto a la

cantidad de seres u objetos implicados en la

operación, quedaba claramente precisada en

esos documentos mediante conos, bolas o

esferas.

En estas condiciones, resulta impsible negar

una deuda o modificar fraudulentamente su

importe: el acreedor poseía la bola de su

deudor con su firma y un número preciso de

calculi.

EL NACIMIENTO DE LAS CIFRAS MÁS

ANTIGUAS DE LA HISTORIA

o obstante este sistema de

contabilidad resulta algo incomodo

porque hay que romper la bola cada

vez que se quiere conocer su contenido total.

En la siguiente etapa de su historia, hacia el

año 3 300 antes de nuestra era, los

contables sumerios y elamitas fueron

concientes de ello.

Esto lo hemos sabido gracias a los recientes

descubrimientos de la Delegación

Arqueológica francesa en Irán (D.A.F.I.) en

la cantera de la Acropolis de Susa donde han

sido halladas, en su conjunto, las etápas de

esta evolución.

N


38

En esta segunda etápa, a los contables se les

ocurrió simbolizar las fichas encerradas en

las bolas mediante una serie de incisiones de

diferentes formas grabadas en la parte

externa de cada bola. Los sumerios crearon

los siguientes simbolos:

- El cono pequeño para la unidad,

mediante una muesca fina;

- La bola para la decena, mediante una

pequeña marca circular;

- El cono grande de la sesentena,

mediante una muesca gruesa;

- El cono grande perforado que vale

600, mediante una muesca gruesa

con una pequeña marca circular;

- Ls esfera por valor de 3 600,

medanteuna una gran marca circular;

- La esfera perforada que representa

al número 36 000 mediante una gran

marca circular provista de otra

pequeña;

Estos simbolos se pueden apreciar en el

siguiente esquema:

Los elamitas simbolizan el palo que

representa a la unidad mediante una muesca

más o menos alargada, la bola de la decena,

mediante una pequeña marca circular, el

disco de la centena mediante una gran marca

circular, el cono por valor de 300 mediante

una muesca gruesa y el cono grande

perforado que vale 3 000 mediante una

muesca gruesa provista de una pequeña

marca circular, tal como puede apreciarse en


1

muesca

fina y

alargada

10

pequeña

marca

circular

100

gran

marca

circular

300

muesca

gruesa

3000

muesca

gruesa

perforada

Es como una especie de “resumen” o más

bien una simbolización gráfica del contenido

de cada documento contable.

Por ejemplo, una bola elamita con tres discos

y cuatro palitos (ers decir un total de 3 x 100

+ 4 = 304 unidades) llevará ahora por

fuerza, junto a la marca de los sellos

cilíndricos y cuatro muescas finas.

A partir de ese momento, ya no será

necesario romper la bola para llevar a cabo

una comprobación o hacer un inventario.

Bastará con “leer” las informaciones en la

superficie de los documentos. Los sellos

cilíndricos indican el origen de la bola, al

tiempo que garantizan su autenticidad

mientras que las incisiones señalan el

número de seres u objetos implicados en la

operación.

Estas incisiones son auténticos signos

numéricos porque cada una es un símbolo

gráfico que representa un número.

Constituyen ya un verdadero sistema de


39

numeración escrita: el nacimiento de las

cifras más antiguas de la historia, como

puede apreciarse en el siguiente esquema:

BOLAS

CALCULI

CONTENIDOS

EN LAS

BOLAS

CIFRAS

CORRESPONDIENTES

Bolas elamitas con sus contenidos y cifras

(hacia el 3 300 antes de J. C.)

Pero entonces, ¿por qué seguir utilizando

esas fichas numéricas, introduciéndolas en

las bolas, cuando es tan sencillo representar

sus valores mediante incisiones en la arcilla?

Esto es lo que se preguntaban los contables

mesopotámios y elamitas, que rápidamente

tomaron conciencia de que ambos sistemas

eran redundantes. Desde aproximadamente

el año 3 250 a. de J. C. se suprimieron los

calculi y las bolas huecas fueron sustituídas

por tablillas de arcilla, que primero tuvieron

una forma toscamente redondeada u

oblonga(a imitación de las bolas esféricas u

ovoides) para irse haciendo prgrosivamente

más fina y rectangular.

LOS CONTABLES INVENTAN LA

ESCRITURA

o obstante, estas tablillas contables

no llevan todavía signos de escritura

y los datos corresponientes son,

como en las bolas, exclusivamente simbólicos

y numéricos, como se puede apreciar en el

siguiente esquema:

Paneles de arcilla con datos estrictamente

numéricos (hacia el 3 250 antes de J. C.)

Las cosas implicadas en las operaciones solo

están designadas por sus respectivas

cantidades, pero no por signos específicos

que permitan determinar su naturaleza.

Además la operación en sí misma no figura

en absoluto: nun ca sabremos si se trata de

una operación de venta, una compra, un

contrato matrimonial, un reparto o

simplemente el inventario de los bienes de

algún propietario. En cuanto a los propios

N


40

contratantes, jamás sabremos ni su nombre,

ni su función, ni su lugar de trabajo, ni

siquiera cuántos eran. Solo los indiviuduos

implicados en la operación en el momento

podían comprender por entero el documento

correspondiente.

En la siguiente etapa las cosas se van

concretando algo más y pronto se producirá

una innovación que provocará grandes

cambios tanto en Elam como en

Mesopotamia.

Hacia el año 3 200 antes de J. C. van

apareciendo poco a poco nuestros signos en

las tablillas junto a las cifras sumerias o

elamitas, mientras que los sellos cilíndricos

van desapareciendo progresivamente.

Esta etapa señala el nacimiento de la

contabiliadad escrita, ya que dichos signos

(dibujos más o menos esquemáticos que

representan seres u objetos de todo tipo)

están destinados a presisar la naturaleza de

los productos o mercancias aplicados a

alguna transacción, como puede apreciarse

en el siguiente esquema.

Ejemplo: 691 cántaris”

Sin embargo, al principio, el sistema todavía

es muy rudimentario, pues los documentos

sólo contienen un tipo de enumeración a la

vez: se confecciona una tablilla para anotar

el resultado del recuento de 23 jabalíes, por

ejemplo, otra para 187 borregos y otra para

567 sacos de trigo, etcétera.

Pero hacia el 3100 antes de J.C., las

transacciones económicas y las operaciones

de distribuciones de bienes de consumo se

multiplican y diversifican considerablemente,

hasta el punto de que los inventarios y

recuentos son muy numerosos y variados en

cada operación.

También los dibujos y las cifras

correspondientes ocupan en las tablillas,

desde esta época, una superficie cada vez

más extensa. En un mismo panel de arcilla,

se consignaba, por ejemplo, un inventario de

equinos diferenciando las categorías:

sementales con las crines hacia atrás, yeguas

con crines caídas y potros sin crines. En la

misma tablilla aparece también el resumen

de una operación de contabilidad agrícola

distinguiendo los lotes y las especies; o el

recuento de las cabezas de un rebaño con


41

todos los detalles pertinentes (borregos,

borregos cebados, corderos, corderillos,

ovejas, cabaras, cabritos, cabritas, o cabritos

casi adultos…).

En Elam, las diversas enumeraciones se

disponen en varias líneas horizontales y se

leen de derecha a izquierda. Pero los

contables sumerios prefirieron disponerlos

en casillas consecutivas delimitadas, en cada

tablilla, por una o varias bandas horizontales,

que a su vez están cortadas por trazos

verticales.

Además inventaron la factura: a partir de

ahora, se escribe en ambas caras de cada

tablilla, consignando en el “anverso” los

detalles de una operación de contabilidad, y

en el “reverso” el total y los “títulos”

correspondientes.6

6 Los especialistas han logrado decifrar las cifras sumarias, desaparecidas hace casi cuatro mil años, al descubrir la costumbre de los escribas sumarios de consignar en el reverso de las tablillas el total de los recuentos o inventarios correspondientes. Al comprobar, por ejemplo, que en el anverso de una tablilla, había diez muescas finas repartidas aquí y allá, y en el reverso, una única marca circular de pequeñas dimensiones, y al ver corroborado esto por un número de muescas y de marcas lo suficientemente numeroso, comprendieron que la muesca fina designaba la unidad y que la marca circular simbolizaba la decena. Yo mismo, al observar una costumbre parecida entre los escribas del país de Elam, y haciendo comprobaciones metódicas sobre los totales facilitados por multitud de facturas elamitas actualmente conservadas en el Museo de Louvre y en Teherán, llegué a decifrar los principales signos de la numeración de esta civilización (véase sobre ella mi Histoire universelle des chiffres, págs. 197-212)

SUMERIA ELAMITA

3 2

00 –

3 1

00

av J

. C.

3 1

00 –

3 0

00 a

v J.

C.

3 0

00 –

2 9

00 a

v J.

C.

Los documentos escritos más antiguos de la

historia 3 100 - 1 900 antes de J. C.

La idea fue tomando cuerpo y

perfeccionándose poco a poco, y el nuevo

sistema demostró ser de gran utilidad, como

se aprecia en la siguiente figura:


LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS________________

42

FACTURA TRADUCCIÓN

ANVERSO

REVERSO

“Factura” sumeria descubierta en Uruk (hacia 2

800 antes de J. C.)

En Uruk, en el año 2 850 antes de J.C. se

está realizando una petición de matrimonio, y

el padre de la joven acaba de ponerse de

acuerdo con el padre del futuro esposo sobre

el “precio de la novia”. Tras la ceremonia, el

primero recibirá del segundo 15 sacos de

cebada, 30 sacos de trigo, 60 sacos de

judías, 40 sacos de lentejas y 15 aves. Pero,

como la memoria humana a veces falla, y

para evitar ulteriores reclamaciones, los dos

hombres acuden a una de las autoridades de

la ciudad para que tome nota del contrato

como es debido y legalizar el compromiso.

Después de conocer todos los elementos del

contrato matrimonial, el notario confecciona

una tablilla de arcilla más o menos

rectangular, y seguidamente toma sus

“herramientas para grabar”, como se

muestra en el siguiente esquema:

Cálamo de corte pequeño

Estilete para

imprimir números

Punta para trazar

pictogramas

Cálamo de corte grande

Los primeros utensilios para escribir de los

escribas sumerios

Para escribir el contrato, el notario utiliza dos

barras de marfil de diferentes diámetros, uno

de cuyos extremos es puntiagudo y el otro

una especie de estilete cilíndrico. Las puntas

servirán para realizar los trazos o también

para dibujar pictogramas en la arcilla

húmeda de las tablillas. Los “calmos de corte

circular” se emplearán para realizar las cifras

por presión sobre un ángulo dado en

relación con la superficie de la tablilla. El

trazo que se obtenga sobre la arcilla blanda,

según la inclinación que se dé al estilete,

será una muesca o una marca circular cuya

dimensión variará evidentemente en función

del diámetro del cálamo empleado, como se

aprecia en el siguiente esquema:

43

Trazado con punta

de arcilla blanda de

los Pictogramas

de la cultrua

sumeria arcaica

- una muesca fina o gruesa, según se

apoye el estilete pequeño o grande

sobre un ángulo de 30° a 45°;

- y una huella circular de pequeño o

gran diámetro hundiendo el cálamo

adecuado perpendicularmente a la

superficie.

Tal como se aprecia en el siguiente esquema:

CÁLAMO

DE

CORTE

PEQUEÑO

Muesca

fina

Marca

circular

pequeña

CÁLAMO

DE

CORTE

GRANDE

Muesca

grande

Muesca

circular

grande

Impresión sobre arcilla blanda de los

diferentes signos de la numeración sumeria

arcaica

Luego, el funcionario, cogiendo la tablilla

oblicuamente a la ancho, traza cuatro trazos

verticales sobre la arcilla todavía húmeda.

Configura así cinco casillas sobre la tablilla:

una para cada uno de los bienes de consumo

a que se refiere el contrato. Abajo, en la

primera casilla de la derecha, dibuja un “un

saco de cebada”, un “saco de trigo” en la

segunda, un “saco de judías” en la siguiente,

un “saco de lentejas” en la cuarta y por

último el pictograma de un “ave” en la

última. Después especifica las cantidades

correspondientes: encima de la primera

casilla, imprime una pequeña maraca circular

que simboliza el número 10 y cinco muecas

finas que valen cada una de ellas una unidad,

señalando así el total de sacos de cebada; en

la segunda, 30 mediante tres maracas

circulares; en la tercera, señala el número 60

mediante una muesca gruesa; y así

susesivamente.

Sobre el reverso de la tablilla, indica

seguidamente el “resumen”, es decir, el total

del inventario notificado en el anverso, o sea:

“145 sacos diversos” y “15 aves”, como

puede apreciarse en el sifuiente esquema:

FACTURA TRADUCCIÓN

ANVERSO


44

REVERSO

“Factura” sumeria descubierta en Uruk (hacia 2

800 antes de J. C.)

Una vez terminada esta operación, los dos

hombres firman debajo de la tablilla pero ya

no imprimen como antes un sello cilíndrico

sino que trazan con el punzón verdaderos

signos convencionales que los caracterizan

respectivamente. Después se marchan tras

de haber dado el documento al notario, quien

lo conserva en sus archivos.

El sistema pictográfico, junto a los signos de

numeración, responde muy bien a las

necesidades económicas y jurídicas del

momento.

Sin embargo, estos dibujos aún no son más

que “imágenes signos” cuya función es la de

significar lo que se representa visualmente.

Todavía no se trata de escritura en el sentido

extricto de la palabra.

Pero en la etapa siguiente, estos signos

tienen un valor pictórico más amplio. Ya no

estan limitados a su significación visual

directa. Pueden representar también acciones

o ideas parejas. Es lo que se llama ideofrafía.

Así pues, la imagen de una pierna humana

además del significado de “pierna” tiene

también el de “andar”, “ir”, “estar de pie”,

“correr” o “huir”. Asimismo, la imagen del

disco solar también puede significar el sol, el

día, el calor o la luz. La mano puede indicar

tanto la idea de coger, como la de dar y

recibir. El arado puede ser empleado tanto

para expresar los verbos, “sembrar”, “labrar”

o “trabajar la tierra” como para significar

“quien maneja el arado”, “el labrador” o el

“agricultor”.

En su calidad de ideogramas, estos signos

gráficos incluyen interpretaciones sujetas a

todas las variantes que pueden darse en los

giros lingüísticos.

El contenido de las imágenes - signos se ve

enriquecido por el uso –ya antiguo- del

simbolismo de las convenciones sociales. Dos

trazos paralelos traducen la idea de amigo o

amistad, y dos trazos cruzados la de

enamistad u hostilidad. La mujer está

represenado por el dibujo del triángulo

púbico y el verbo fecundar por el de un pene

como lo muestra el siguiente esquema:


45

Pictograma de la Cultura Sumeria arcaica

También se amplían las posibilidades de

significación de los dibujos combinados dos o

varios para representar ideas nuevas o

conceptos díficilmente representables. El

grupo boca + pan, señala la idea de “comer”,

el conjunto de boca + agua, la de “beber”, y

el grupo de boca + mano la de la “oración”

(según el ritual sumario) y el conjunto de ojo

+ agua el de la “lagrima”. Asimismo un

“huevo” junto a un “ave” sirve para suguerir

la idea de “engendrar” y unos trazos bajo un

semicírculo la de la “obscuridad que cae de la

bóveda celeste” (y por extensión la de la

”noche”). Por último, en ese país de llanura

baja en donde la montaña es sinónimo de

“país extranjero” el grupo mujer+ montaña

no sirve para señalar a la “montañesa”, ni

siquiera a la “extranjera”, sino a “la mujer

traída del extranjero”, como botín de guerra,

dicho de otro modo, a la “esclava del sexo

femenino”.

Pero en esta fase, los signos todavía no

expresan los sonidos del lenguaje articulado.

Estamos, por decirlo así, en la prehistoria

de la escritura.

No obstante, esta etapa es la última antes

del descubrimiento de la escritura

propiamente dicha, como lo muestra el

siguiente esquema:

COMER

DEVORAR BEBER ORAR

LAGRIMA

LLORAR

SIERVA

ESCLAVA

ESCLAVO

(MASCULINO)

NOCHE

-

NEGRO

ENGENDRAR

Algunos ejemplos de composiciones evocadoras

(o “conglomerados lógicos”), empleados por la

escritura sumeria arcaica

A partir del 2 800 – 2 700 antes de J.C., el

sistema pictográfico sumerio y su homólogo

elamita realizaban los pasos decisivos en el

sentido de la claridad, la precisión y la

universalidad: se les relaciona con la lengua

hablada, el medio más perfecto de analizar y

comunicar lo real. Y para ello, se tiene la idea

de utilizar imágenes - signos, no ya por su

valor pictórico o ideográfico sino más bien

por su valor fonético relacionado con la

lengua sumeria (o elamita).

Ocurre un poco como en los jerolíficos de

nuestros pasatiempos: la imagen de un dado

(en francés, dé) seguida de la de una torre

(francés, tour), por ejemplo, no está

relacionado ni con el juego cúbico ni con la


46

construcción; esta sucesión, expresa más

bien la palabra francesa détour (rodeo).

En las tablillas sumerias, la imagen de horno,

por ejemplo, ya no está empleada para

significar exactamente un “horno”, sino para

expresar el sonido NE, pues la palabra

sumeria para indicar ese objeto es

precisamente NE. Asimismo, la imagen de la

flecha cuyo nombre es TI en esa lengua, a

partir de ahora se utiliza para expresar el

sonido TI; y como en sumerio la “vida”

también se dice TI, el mismo objeto servirá

pues para representarla fonéticamente.

Se ha hecho un progreso considerable: el

sistema permite anotar diversas

particularidades gramaticales (pronombres,

artículos, prefijos, sufijos, etc.) de los verbos,

nombres y fraces, así como todo tipo de

matices y precisiones difíciles, por no decir

imposibles, de señalar de otra manera.

Acaba de nacer la escritura por primera vez

en la Historia, y posiblemente han sido los

contables quienes, para responder a

necesidades fundamentalmente económicas,

la inventaron.

Procedente del sistema de los calculi y de las

bolas de arcilla, la transcripción gráfica de los

números ha precedido a la del lenguaje

articulado. Dicho de otro modo, las cifras se

inventaron mucho antes que la escritura.

Pero en esa primera etapa, dicha invención

no sirvió para hacer operaciones aritméticas:

las cifras solo fueron utilizados para

memorizar cantidades y recuentos, pues los

cálculos se realizaban en aquella época de

una manera concreta.

UNA DIVISIÓN CON CUARENTA Y

SEIS SIGLOS DE ANTIGÜEDAD.

os encontramos en el año 2 650,

aproximadamente, antes de

Jesucristo, en la ciudad de sumeria

de Shurumppak (hoy día, Fara, en Irak).

En la escuela de escribas y contables, el

maestro acaba de dar a sus alumnos una

lección sobre la manera de efectuar las

divisiones. Al pasar a la lección práctica les

planteó el problema siguiente:

Varios hombres se han repartido un

“granero” de cebada habiendo recibido cada

uno 7 sila de cebada. Dígame ¿cuántos

hombres hay en ese grupo? y ¿cuánta cebada

a quedado después de dicha distribución?

La “sila” y el “granero” son unidades

sumarias de medida de capacidad. La

primera equivale aproximadamente a 0.842

litros nuestros actuales, y la segunda vale

1 152 000 sila (es decir, alrededor de 969

984 litros).

Se trata de distribuir 1 152 000 sila de

cebada entre cierto número (que hay que

determinar) de personas, dando a cada uno

un saco de 7 sila de cebada. Para ello hay

que dividir 1 152 000 entre 7; el número de

hombres de que se trate nos lo proporcionará

N


47

el cociente y el excedente de sila de cebada,

el resto.

En aquella época, para efectuar las sumas,

sustracciones, multiplicaciones o divisiones,

los mesopotamios seguían utilizando los

viejos calculi de antaño, esas “fichas” de

arcilla con incisiones y formas geométricas

que simbolizan las diferentes órdenes de

unidad de la numeración sumeria. Este

procedimiento concreto, periclitado hace ya

mucho tiempo en el sistema de registro de

los documentos contables procedentes de

operaciones económicas o administrativas,

seguía siendo, sin embargo, el preferido para

las operaciones aritméticas porque las cifras

sumerias nunca permitieron la práctica de un

“cálculo escrito”.

En el primer caso, el método consiste en

hacer intervenir susecivamente esferas

perforadas, esferas, conos, conos perforados,

etcétera, y en “amonedar” cada vez cualquier

agrupación de fichas cuyo número sea

inferior a divisor.

He aquí como resolvieron el problema los

alumnos.

Como el dividendo y el divisor de la

operación eran iguales respectivamente a

1 152 000 (= 32 x 36 000) y a 7,

primeramente han considerado 32 esferas

perforadas por valos de 366 000 unidades

cada una y las han distribuido en grupos de

7.

Y como el cociente de esta división es igual a

4 (corresponde a los cuatro grupos de 7

esferas perforadas), entonces han llegado a

la conclusión de que 4 veces 36 000 personas

ya habian recibido su parte, es decir 7 silas.

Pero, al acabar este primer reparto, quedan 4

esferas perforadas, por tanto quedan 4 x

36 000 sila de cebada por distribuir, como lo

muestra el siguiente esquema:

36 000

Primer

resto

4 g

rupos

Para poder proseguir la operación ha habido

que convertir ese resto en múltiplos de 3

600 (el orden de unidades inmediatamente

inferior en el sistema sumerio), puesto que

ha sido imposible dividirlo directamente por 7

de esta forma.

Cada esfera perforada de “36 000” equivalen

a 10 esferas simples de “3 600”, por tanto

han “hecho moneda” con las cuatro esferas

perforadas que constituyen el primer resto,

tomando 40 esferas. Después la han

repartido como se indica más arriba en

grupos de 7.



48

Al encontrar que esos grupos son 5, han

deducido que 5 veces 3 600 hombres de

más, habían recibido su parte.

Pero este segundo reparto les ha dado un

nuevo resto: quedan sin distribuir 5 esferas

que corresponden a 5 x 3 600 sila de cebada

y las han convertido al orden

inmediatamente inferior (el de los múltiplos

de 600), como lo muestra el siguiente

esquema:

Cada esfera de “3 600” vale seis conos

perforados de “600”, por tanto han “hecho

moneda” con ese resto considerando 5 x 6 =

30 conos perforados, que han repartido en

grupos de 7.

Al final de esta tercera división parcial, se

han obtenido 4 grupos de 7 conos

perforados: por tanto, 4 veces 600 personas

de más habían recibido su parte. Pero han

quedado dos fichas de esta categoría, como

se muestra en la siguiete figura:

Siguiendo el mismo procedimiento han

convertido los dos conos perforados que

quedaban (que correspondían a 2 x 600 sila

de cebada sin distribuir todavía) en 2 x 10 =

20 conos simples, por valor de 60 unidades

cada uno, luego lo han dispuesto en grupos

de 7, como se pressenta en el siguiente

esquema:


49

Como el número de grupo de 7 que se

pueden formar con esos veinte conos es igual

a dos, al finalizar esta cuarta división parcial

han sido servidas 2 x 60 personas de más. El

resto de la división en este caso, ha sido seis

conos de “60”.

Entonces, los han convertido, a su vez, en 6

x 6 = 36 bolas por valor de 10 unidades

cada una y las han repartido en grupos de 7.

Entonces han obtenido 5 grupos (hay 5 x 10

hombres de más en el reparto) con un resto

de tan solo una bola , de acuerdo con el

siguiente esquema:

Ya sólo les ha quedado convertir esa bola en

10 pequeños conos con valor de unidad y,

luego, restar 7 de 10 para acabar la

operación, de acuerdo al siguiente esquema.

Al acabar esta sexta división parcial, la última

persona relacionada con la operación ha

celebrado su parte (el cociente

correspondiente es igual a 1) y han quedado

3 sila de cebada que ya no es posibloe

distribuir.

El cociente final de la división (es decir el

número total de las personas que han

cobrado 7 sila de cebada a partir de 1 152

000 sila de cebada) han sido obtenidas

añadiendo sucesivamente:

- los 4 x 36 000 encontrados en la

primera etapa.

- los 5 x 3 6 00 encontrados en la

segunda etapa.

- los 4 x 600 encontrados en la tercera

etapa.

- los 2 x 60 encontrados en la cuarta

etapa.

- los 5 x 10 encontrados en la quinta

etapa.

- 1 a la persona determinada en la

última etapa.

Concretamente, el número buscado ha sido

obtenido guardando 4 esferas perforadas en

la primera división parcial, después 5 esferas

en la segunda, 4 conos perforados en la

tercera, 2 conos en la cuarta, 5 bolas en la

quinta y un cono pequeño en la última;

resultado 164 571, como lo muestra el

siguiente esquema:


50

Para poder recordar de forma duradera esta

operación los alumnos han consignado por

escrito los datos y los resultados sobre una

tablilla de arcilla dividida en dos registros

asimismo subdivididos en vasrias casillas.

En el registro superior, de derecha a

izquierda, marcaron en la primera casilla una

muesca fina que significaba “uno” y un signo

de escritura que quiere decir “granero de

cebada”. En la segunda casilla indicaron el

signo del sila y luego el número 7. En la

tercera casilla reprodujeron dos signos, uno

que queria decir “cada hombre” y otro algo

así como “en mano recibe”. Por último

superior maracaron la frase “estos hombres

son”. Representaron así los datos del

problema:un grano de cebada; 7 sila; cada

hombre en mano recibe; esos hombres son:

Después, en la primera casilla del registro

inferior de la tablilla presentaron el cociente

d la división mediante cifras sumerias,

reproduciendo para ello:

- 4 grandes marcas ciculares de la

división provistas cada una de una

marca pequeña (réplica inmediata de

las cuatro esferas perforadas de “36

000”);

- 5 grandes marcas circulares(que

recordaban las cinco esferas de “36

000”);

- 4 muescas gruesas provistas cada

una dee una pequeña marca circular

(que simbolizan los cuatros conos

perforados de “600”);

- 2 muescas gruesas (recuerdo de los

dos conos de “60”);

- 5 pequeñas marcas circulares (que

corresponden a las cinco bolas de

“10”);

- Y una muesca fina (que recuerda al

cono peqwueño de la unidad)

En cuanto al resto de la división indicaron en

la segunda casilla la frase : “3 sila de cebada,

quedan”.

La casilla que acbamos d “recontruir” existe

en la realidad: está actualmente en el Museo

Arqueológico de Estabul y proviene de las

excavaciones de Schuruppak. Esta tablilla,

que se remonta al 2 650 antes de J. C.,

aproximadamente, constituye el testimonio

arquelógico más antiguo conocido de la

práctica de una división y nos da una prueba

más del alto grado intelectual que los

aritméticos del país de Sumer llegaron a

alcanzar en aquella época, como puede

apreciarse en el siguiente esque y su

respectiva traducción:


51

Lectura

de

derecha

a

izquierd

a

TRADUCCIÓN

REGISTRO

SUPERIOR

REGISTRO

INFERIOR

1ª casilla; =

1 granero de

cebada

2ª casilla; =

7 sila (de

cebada)

3ª casilla; =

“cada

hombre en

mano recibe”

4ª casilla; =

Esos

hombres

(son)*

1ª casilla; = 164

571 = (número

exopresado

mediante cifras

sumerias)

2ª casilla; = sila de

cebada, quedan 3

Pero si bien este documento (que podía

haber correspondido a una especie de

“página escolar” o a un documento

administratvo que resumiera una operación

de distribución de granos) nos da las

caractrísticas de la división aritmética, por el

contrario, no nos proporciona ninguna

indicación sobre la técnica empleada. La

reconstrucción anterior (que me parece más

que probable) permite hacerse una idea de

los procedimientos de cálculo empleados por

los contables sumerios y elamitas de la

época. Subraya el carácter estático de las

cifras sumerias o elamitas, que no fueron

signos operacionales sino abreviaturas

destinadas a expresar por escrito los

resultados de un cálculo efectuado

previamente según un método concreto…

LAS CIFRAS EN LA ÉPOCA DE LOS

FARAONES

os egipcios también inventaron una

escritura y un sistema de numeración

escrita. Esto ocurrio alrededor del año

3000 antes de J.C., es decir, casi al mismo

tiempo que en Elam y Mesopotamia.

Pero no vayamos a creer que tomaron

prestado a los sumerios (oa los elamitas) sus

cifras y sus pictogramas para forjar sus

propios sistemas.

Los “jerolíficos” egipcios han sido todos

sacados de la flora y de la fauna del Nilo y los

instrumentos o utensilios que esta escritura

ha “copiado” se utilizaban en Egipto al menos

desde principios del IV milenio antes de

nuestra era. Los pictogramas y la forma de

los dibujos también varían considerablemente

de un sistema a otro desde la época arcaica e

incluso para signos que se supone

representaban las misma cosas, como o

muestra el siguiente esquema:

L

LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS_________________

52

Adorar Falo Codorniz Pájaro

volando Pez Uráseu

Mujer Toro Lechuza Escarabajo Serpiernte Junco

florido

Mujer

embarazada Liebre Halcón Abeja

Víbora

cornuda Loto

La numeración jeroglífica egipcia también es

diferente a la de los sumerios. No sólo en un

plano gráfico sino también desde un punto de

vista matemático: la primera está basado en

una base estrictamente decimal mientras que

la otra está en una base sexadecimal.

Los soportes materiales empleados también

son diferentes. Los sumerios realizan sus

cifras y sus signos de escritura

imprimiéndolos o trazándolos casi

exclusivamente sobre paneles de arcilla,

mientras que los egipcios reproducen los

suyos grabándolos o esculpiéndolos por

medio de un cincel y un martillo sobre

monumentos de piedra, o trazándolos sobre

pedazos de roca, trozos de cerámica u hojas

de papiros con un junco con la punta

aplastada y mojado en una materia

colorante.

Las cifras de los jeroglíficos egipcios han

nacido in situ y son producto exclusivo de la

civilización egpcia.

En los egipcios, en los albores del III milenio

antes de nuestra era, también estaban en

condiciones iniciales psicológicas, sociológicas

y económicas completamente favorables a la

invención de las cifras y de la escritura.

En realidad, esta civilización estaba ya muy

avanzada, fuertemente urbanizada y en

plena expansión hacia el año 3000 antes de

J.C.. Por razones estrictamente utilitarias,

motivadas en particular por necesidades de

tipo administrativo y comercial, fue poco a

poco cobrando conciencia de las limitadas

posibilidades del hombre-memoria y del

“agotamiento” de su cultura exclusivamente

oral. Esta civilización, que necesitaba cada

vez más memorizar el pensamiento y la

palabra, así como recordar de forma

duradera los números, comprende desde ese

momento que necesita una organización del

trabajo totalmente distinta. Y como la

necesidad crea el órgano, para superar la

dificultad descubre la idea de lo escrito y la

de la notación gráfica de los números.

Desde su aparición, la numeración egipcia

permitió la representación de números que

podían llegar hasta el millón e incluso

superarlo: poseía un jeroglífico especial para

indicar la unidad y cada una de las 6

potencias de 10 siguientes (10, 100, 1 000,

10 000, 100 000, 1 000 000).

La cifra de la unidad es un pequeño trazo

vertical. La de la decena es un signo de

forma de asa parecido a una herradura de

caballo dispuesta como una especie de “U”

mayúscula invertida. La centena está


53

representada por una espiral más o menos

enrollada, como la que se puede realizar con

una cuerda. El millar está representado por

una flor de loto con su tallo, la decena de mil

por el dibujo de un dedo levantado y

ligeramente inclinado, la centena de mil por

una rana o un ranacuajo con el rabo caido y

el millón por un hombre arrodillado con los

brazos levantados al cielo, como lo muestra


10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

Las cifras jeroglíficas egipcias

En Hierakónpolis (antiquísima ciudad situada

en la orilla izquierda del Nilo, a 100 kms.,

aproximadamente, de la primera catarata) se

ha encontrado una maza que contiene cierto

número de datos. Esta constituye uno de los

más antiguos testimonios arqueológicos

conocidos de la escritura y de la numeración

jeroglífica egipcias. Había pertenecido a

Narmer, rey que unificó el Bajo y Alto Egipto

hacia el año 2900 antes de J.C.: como se

muestra en el esquema:

Maza del rey Narmer (Pricipios del III

milenium antes de J. C.)

Además del nombre de Narmer, que está

inscrito en ella fonéticamente, esta maza

incluye representaciones numéricas que

corresponden al importe del botín en cabezas

de ganado y al número de prisioneros que se

suponía que dicho soberano había traído de

sus victoriosas expediciones. Enumeración

(probablemente fantasiosa y exagerada,

para glorificar al rey Narmer) cuya cuenta

esta hecha de la manera que lo muestra el

siguiente esquema.

Toros Cabras Prisioneros

400 000 1 422 000 120 000

Otro ejemplo nos lo ofrece una estatua

encontrada también en Hierakónpolis y que


54

se remota al año 2 800 antes de J.C.

aproximadamente, da a la escritura siguiente

para el número 47 209 de enemigos matados

por ese soberano, como lo muestra el

siguiente esquema.

47 209

Para representar un número los egipcios se

limitaban a repetir la cifra de cada clase

decimal tantas veces como fuera necesario.

Para ello procedían en el orden de los

valores decrecientes a partir de la cifra de

mayor potencia de diez contenida en dicho

número: empezaban reproduciendo las

unidades del ordendecimal más elevado,

luego las de orden inmediato inferior y así

sucesivamente hasta las unidades simples.

Al principio, esta representación ha sido

arcáica, tanto los dibujos como las

agraupaciones de las cifras eran bastante

primitivas en su conjunto (observe el

esquema anterior, la representación del dedo

que valía 10 000 y la de la flor de loto que

valía 1 000; también hay que notar el

alineamiento de las nueve barras de unidades

así como el agrupamiento de las cifras del

millar).

Pero a partir del siglo XXVII antes de J.C. el

dibujo de estos jeroglíficos se irá haciendo

más minucioso y más regular, y para evitar

la acumulación sobre una misma línea de

varias cifras de una misma clase de unidades

y para facilitar tamabién al lector la suma de

los valores correspondientes, se formarán

muy frecuentemente dos o tres líneas

superpuestas de pequeños grupos de dos,

tres o cuatro signos idénticos.

De acuerdo al esquema:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Para el número 243 688, por ejemplo, a

partir de ahora se reproducirán en este orden

y según la disposición siguiente: dos veces la

cifra de 100 000, cuatro veces la de 10 000,

tres veces la de 1000, seis veces la de 100,

ocho veces la de 10 y ocho veces la de 1,

como se muestra enseguida en el esquema:

243 688


55

Extracto de los anales

de Tutmés III (1 490

– 1 436 antes de J. C)

que entierra el botín

del año 29º del

reinado de este faraón

Bajorrello en gres

procedente de Karnak

Esta notación numérica no ha sido en el

fondo más que una manera de traducir por

escrito el resultado de un método concreto

de enumeración. Método que los egipcios

emplearon sin duda en las épocas arcaicas y

que debía de consentir en representar un

número dado por alineamiento o por

acumulación de todos los patrones que

hiciesen falta (piedras, conchas, bolas, palos,

discos, anillos, correspondientes cada uno de

ellos a un orden de unidad de un sistema de

numeración).

Pero, contrariamente a las cifras sumerias

cuyo grafismo denota claramente su origen

material, los signos de esta numeración

escrita no permiten en absoluto imaginar los

objetos concretos que les han precedido en el

arte del cálculo figurado de las épocas

anteriores a la invención de la escritura.

¿Por qué los números 1 000 y 10 000 por

ejemplo, han sido representados

respectivamente por una flor de loto y un

renacuajo? ¿Sería que concretamente en

aquella época se contaba mediante esas

flores y esas ranas? Esto parece poco

probable.

¿Por qué razón la espiral y el dedo humano

han sido escogidos para representar la

centena y la decena de mil? ¿Y por qué al

hombre arrodillado con los brazos levantados

al cielo se le ha atribuido el valor de un

millón? Preguntas todas estas que la

arqueología de momento no ha sabido

responder.

A mi entender, el origen gráfico de las cifras

egipcias ha sido mucho más complejo que el

de las cifras sumerias o elamitas. Los

inventores de esta numeración recurrieron

sin duda a varios principios a la vez.

A este respecto las siguientes hipótesis me

parecen plausibles, aun que no dispongo de

ninguna prueba formal.

El origen de la cifra 1 podría haber sido

“natural”: la barra vertical es el símbolo

gráfico más elemental que pueda imaginar el

ser humano para representar la unidad. Los

hombres prehistóricos ya la utilizaban hace

más de treinta mil años en sus huesos

tallados y sabemos que gran cantidad de

pueblos le han atribuido este valor a través

de la historia.

También se puede pensar que esta cifra,

junto con la de la decena (el signo en forma

de asa), ha constituido en la escritura

jeroglífica egipcia el vestigio de una de esas

antiguas enumeraciones concretas a las que

acabamos de referirnos. El primero podría

haber corresponndido a la simbolización

gráfica de un palito, sinduda empleado

antaño para el valor de una unidad simple.

56

En cuanto al segundo, podría haber sido el

dibujo del cordón que antaño debió servir

para atar dichos palitos y formar un paquete

de 10 unidades; dibujo que la escritura

egipcia estilizó hasta llegar a esa especie de

“U” mayúscula invertida.

En lo que respecta a las cifras 100 y 1 000

(la espiral y la flor de loto) se puede pensar

que sus inventores recurrieron a lo que se

podría llamar “préstamos fonéticos”.

Para poder comprenderlo no me parece inútil

destacar uno de los principios fundamentales

de la escritura egipcio.

Imaginémonos que los francófonos

estuviesen forzados a emplearsolamente un

sistema de imágenes-simbolos para

transcribir las palabaras de su lengua.

Para representar la palabra orange (naranja),

por ejemplo, la primera idea sería la de

dibujar este fruto. Decimos entonces que

dicha palabra esta representada por un

pictograma.

Pero, si bien esta representación visual evoca

directamente la idea, sin embargo presenta

el inconveniente de ser independiente de la

lengua en que se pronuncia. Además, dicho

sistema no permite expresar ideas abstractas

o acciones ni formar frases como ocurre en la

lengua hablada.

Pero en una segunda fase se nos ocurre lo

siguiente: en lugar de utilizar las imágenes

por su sentido pictórico completo vamos a

emplearlas por su valor fonético. La imagen

de un hombre corriendo por ejemplo, ya no

será empleada para significar visualmente lo

que representa sino para expresar el sonido

“CORRE”. Y el de una haya expresará el

mismo sonido “HAYA”. Para representar la

palabra francesa orange bastará con

reproducir una imagen que evoque la idea or

(oro) y acompañarla de la de ange (ángel),

como en el siguiente esquema:

Al pronunciar esta sucesión de imágenes

obtendremos el sonido de OR-ANGE que

evocará a nuestro oído lo que intentábamos

expresar fonéticamente.

Así, para escribir el verbo francés détouner

(desviar) nos bastará con descomponerlo en

tres elementos fonéticos y dibujar

sucesivamente un dé (dado), una tour

(torre), nez (nariz), como lo muestra el

esquema siguiente:

Al leer el conjunto obtendremos el sonido DE-

TOUR-NEZ7 completamente análogo al verbo

de que se trata.

7 En francés la gran mayaoría de las consonantes finales no se pronunciaban, como en este caso


57

Las pictografías arcaicas llegaron a la fase del

fenetismo por este procedimiento y

merecieron el nombre de “escritura” Como

estas últimas no permitian la transcripción

del discurso hablado y no dependían de una

lengua determinada, se resolvió el problema

inventando el principio del préstamo fonético

más conoido con el nombre de jeroglífico se

han descompuesto las palabras en abstractas

en tantos elementos como se podían

representar mediante seres u objetos y cuya

pronunciación en una lengua determinada

reproducía aproximadamente las mismas

articulaciones que dichas palabras.

Esto es lo que hicieron los egipcios con las

palabras de su propia lengua cuando

inventaron su escritura jeroglífica.

Lo veremos, por ejemplo, en la maza del rey

Narmer. El nombre de este rey que en

egipcio se decía N’R-MR se ha escrito

yuxtaponiendo el jeroglíco del pez (que dcía

N’R) a la imagen de la tijera que se

pronunciaba MR, como se puede apreciar en


Cabe suponer que, en su origen, las palabras

egipcias para decir “espiral” y “flor de loto”

correspondían respectivamente a los mismos

sonidos que “cien” y “mil” y que al querer

representar gráficamente eswtos dos

nombres se adoptaron entonces la imagen de

la espiral y la de la flor de loto para sus

sonisos respectivos, independientemente de

su sentido visual directo.

En muchos otrsos pueblos se han proiducido

casos parecidos. En la antigua escritura

china, por ejemplo, el número 1 000 tenía la

misma representación gráfica que el hombre.

Sus nombres respetivos prtobablemente se

pronunciaban de la misma manera en la

época arcaica.

Por su parte, el jeroglífico de la decena de mil

(que representa precisamente un dedo

levantado y ligeramente inclinado) podría

haber constituído una supervivencia del

recuento manaual que los egipcios

empleaban desde la época más remota y que

permitía contar hasta 9 999 gracias a sus

diferentes posturas de los dedos (véanse Pp.

85 – 87).

La cifra para 100 000 podrá tener su origen

en una razón puramente simbólica: evoca el

“croar” de los renacuajos en el Nilo y la gran

fecundidad primaveral de dichos batracios.

En cuanto al jeroglífico del millón, su origen

podría haber sido de orden psicológico. Los

egiptólogos que decifraron por primera vez

este ideograma creyeron que se trataba de

un hombre asustado por la enorme

importancia del número que tenía que

expresar. En realidad ese jeroglífico (que no

solo designaba el valor del millón, sino que

también poseía el sentido de “millones de

años” o de “eternidad”) representaba, ante

todo, a los ojos de los egipcios, un genio que

sostenía la bóveda celeste. En su origen, en

esta imagen-signo hubo probablemente un

hombre (posiblemente un sacerdote o un

astrónomo) que contemplaba las estrellas del

58

firmamento y tomaba entoncs conciencia de

su proliferación.

CÁLCULOS A LA SOMBRA DE LAS

PIRÁMIDES

stamos en el año 2000 a. de J. C. en

las tierras de un cultivador de

cereales de la región de Menfis. Al

acabar la cosecha, un funcion ario del fisco

acude a su casa para controlar la situación de

la producción y fijar el importe de la trasa

anual.

Este último encarga a alguno de sus obreros

que midan el grano y que lo embalen en

sacos por celemines.

La cosecha de ese año ha dado dos tipos de

trigo: almidonero y menor, así como cebada

vulgar.

Para no equivocarse sobre la variedad de

cereales, los obreros reparten trigo

almidonero en hileras de 12 sacos, el trigo

menor en hileras de 15 y la cebada en grupos

de 19 sacos. Estos grupos corresponden

respectivamente a los números 128, 84 y

369.

Al acabar esta operación, el funcionario coge

un pedazo de roca que le va a servir de

“borrador” y realiza algunos cálculos

mediante cifras jeroglíficas.

A a pesar del rudimentario carácter de su

numeración escrita los egipcios han sabido

realizar desde hace mucho tiempo

operaciones aritméticas con sus cifras.

La suma y la resta no representaba ninguna

dificultad: por ejemplo, para la primera basta

yuxtaponer o sobreponer las

representaciones cifradas de los números que

hay que sumar y después agrupar

(mentalmente) las cifras idénticas,

sustituyendo cada 10 signos de una categoría

por las d laclase decimal inmediatamente

superior.

Para sumar los números 1 729 y 696, por

ejemplo, primero se sobreponen como

veremos ahora:

1 729

+ 696

= 2 425

Las representaciones cifradas

correspondientes. Seguidamente se agrupan

amentalmente las barras verticales, las asas,

las espirales y las flores de loto. Después se

sustituyen cada 10 trazos por un asa. 10

asas por una espiral, 10 espirales por una flor

de loto y así sucesivamente. Una vez

acabado todo esto se obtiene el resultado de

la operación.

E







59

Los egipcios también saben obtener

inmediatamente el resultado de la

multiplicación o de la división de un número

por 10: les basta con sustituir, en la escritura

del número de que se trate, cada símbolo por

la cifra de su décuplo en el primer caso y por

la décima parte en el segundo.

Multiplicando por 10, el número (= 1 464)

queda automáticamente sustituído por el

siguiente (= 14 640)

Para multilicar y dividir los demás números

los egipcios preoceden de otra manera: como

solo saben multiplicar y dividir directamente

por dos, generalmente hacen duplicaciones

sucesivas, es decir, series de multiplicaciones

por dos.

Volvamos con el “recaudador de impuestos”,

que en su momento está estableciendo el

monto total del sacos de trigo almidonero

multiplicando 128 por 12. para ello, procede

de la siguiente manera:

Con sus cifras jeroglíficas inscribe el

multiplicador 12 en la columna de la derecha

y a su lado, en la columna de la izquierda el

número 1, seguidamente duplica

sucesivamente cada uno e los dos números

hasta que en la columna de la izquierda

aparezca el multiplicando 128. el número 1

536 que corresponde a 128 en la columna

de la derecha, constituye el resultado de esta

operación: 128 x 12 = 1 536

Para determinar el número de sacos de trigo

menor multiplica 84 x 15 y dispone su

operación como hizo antreriormente.

En la columna de la derecha inscribe el

multiplicador 15 y a su lado, en a columna de

la izquierda, el número 1. seguidamente

duplica cada uno de los números. Pero como

el multiplicando 84 esta vez no aparece en la

columna de la izquierda, prosigue la

duplicación hasta que obtiene el número

mayor contenido en ese multiplicando. Se

detiene en el 64, en a columna de la

izquierda, y busca en éste los números cuya

suma sea igual a 84. después señala

mediante un pequeño trazo los números que

ha ido seleccionando (aquí serían los

números 64, 14 y 4), y con una barra oblicua

los correspondientes en la columna de la

derecha (es decir 960, 240 y 60), como se

observa a continuación:

1 15

2 30

4 60 /

8 120

16 240 /


60

32 480

64 960 /

Sumando los números marcados con la barra

oblícua, obtiene el resultado:

84 x 15 = 960 + 240 + 60 = 1 260

Por último, para determinar el número de

sacos de cebada, multiplica 396 x 19, para

ello procede de la misma manera,

escribiendo el multiplicado 19 en la columna

de la derecha y, a su lado, en la columna de

la izquierda el número 1. seguidamente

duplica sucesivamente ambos números. Pero

se detiene en el 256, en la columna de la

izquierda, porque la duplicación siguiente

sería 512 que sería superior al multiplicando

369, como se muestra a continuación:

1 19

2 38

4 76 /

8 152

16 304 /

32 608

64 1 216 /

128 2 432

256 4 864

Seguidamente busca en en esa msma

columna los números cuya suma suma de

369, los números que consigue son 256, 64,

32, 16 y 1 y la suma de los números

correspondientes a la columna de la derecha

le da entoncs el resultado que busca:

369 x 19 = 4 864 + 1 216 + 608 + 304 + 19

= 7 011

La cosecha ha dado 1 536 sacos de trigo

almidonero, 1 260 sacos de trigo menor y

7011 sacos de cebada. El funcionario

redondea el primer resultaddo hastra 1 530 y

el terco hasta 7 010 como tiene que recoger

el décimo del rpoducto total de la cosecha,

fija el impuesto en 153 sacos de trigo

almidonero, 126 sacos de trigo menor y 701

sacos de cbada.

La multiplicación egipcia es pues

relativamente simple y puede hacerse sin

tener que recurrir a las tablas de

multiplicación.

La división también se hace por duplicaciónes

consecutivas pero el procedimiento se

efectúa en sentido inverso.

Cerca de Tebas, en el Valle de los Reyes, en

la época del faraón Ramsés II (1290 – 1224

a. J. C.), unos profanadores de tumbas

desvalijaron la tumba real de un soberano de

la dinastía precedente. Se llevaron diademas,

pendientes, dagas broches, dijes, etcétera,

todos ellos de oro con vidrio incrustado.

El número de objetos que se llevaron era de

1476 y el jefe de los ladrones propuso

repartir el botín entre sus 11 hombres. Tomó

un pedazo de arcilla e hizo la división 1476 ÷

12. la operación la plateó como si tuviera que

hacer una multiplicación por 12 escribiendo el

número 1 en la columna de la izquierda y 12,

el divisor, en la columna de la derecha;

después duplicó sucesivamente cada uno de

estos números:

/ 1 12

/ 2 24

LA INTERVENCION DE LAS CIFRAS_____


61

4 48

/ 8 96

/ 16 192

/ 32 384

/ 64 768

Pero se detuvo en 768, en la columna de la

derecha, porque la duplicación siguiente

daría un número superior al dividendo 1 476.

al llegar aquí buscó en la columna de la

derecha (y no en la de la izquierda) los

números que sumados darían ese dividendo.

Consiguió los números 768, 384, 192, 96, 24

y 12 (cuya suma es precismanete 1 476) y

puso junto a ellos una raya horizontal. Al

sumar los números correspondientes de la

izquierda (es decir, 64, 32, 16, 8, 2 y 1)

obtuvo con bastante facilidad el resultado de

la división.

1476 ÷ 12 =64 + 32 + 16+ 8+ 2 + 1 = 123

Un manuscrito matemático (cuero), redactado en caracteres hieráticos egipcios. Se

trata de una tabla de conversión de fracciones en sumas de fracciones con

numerador igual a 1, que los escribas calculadores empleaban frecuentemente en

sus diferentes operaciones aritméticas

Cada ladrón consiguió entonces 123 objetos

preciosos y el grupo se dispersó.

Naturalmente eswte método solo puede

aplicarse cuando el dividendo es un múltiplo

del divisor. Pero cuando la división no es

exacta, los egpcios recurrieron a las

fracciones de números según unos

procdimientos que sería demasiado

complicado explicar aquí.

Los métodos de cálculo cifrado del Egipto de

los faraones también tuvieron el mérito de

evitar que los calculadores hubieran de

recurrir a la memoria: para multiplicar o

dividir bastaba con sumar y multiplicar por

dos. Sin embargo, les faltó agilidad y unidad

y fueron lentos y muy complejos en

comparación con nuestros métodos actuales.

LAS HERMANAS DE LA NUMERACIÓN

EGIPCIA


62

nce o doce siglos después del Egipto

faronónico, otra civilización muy

avanzada se encontró situada en

condiciones iniciales favorables para la

invención de las cifras y de la escritura. Es

aquella que se desarrolló en la isla de Creta

entre 2 200 y 1 400 aproximadamente antes

de nuestra era y a la que los arqueólogos

llaman la civilización minica (con el nombre

del legendario rey Minos. Primer soberano de

la isla, según la mitología griega)

Al principio del II milenio antes de la era c

ristiana, los cretenses experimentaron una

transformación radical a su modo de vida

tradicional en un marco social y político

nuevo, revelado por la amplitud de las

construcciones d esa época y en particular

por la impresionante construcción de los

primeros palacios fortificados de Cnoso, Festo

y Maliná.

La artesanía (fabricación de joyas, objetos de

arte, cerámica, armas, etcétera) tuvo un

esplendor considerable. El comercio se hizo

muy floreciente y el desarrollo de la riqueza

creció sin cesar. A partir de ese momento los

inventarios, recuentos, notas de entrega, las

operacioneseconómicas y las distribuciones

de víveres y de suministros se hicieron cada

día más numerosas. Por lo tanto fue cada vez

mayaor la anecesidad de memorizar los

números y de fijarlos. Para responder a tales

necesidades los responsables de la

administración “burocratizada” (que sin duda

nación en los primeros palacios de esta

civilización) inventaron una escritura y un

sistema de numeración hacia el año 2 000 a.

de J. C..

Los cretenses van a dar sucesivamente tres

tipos bien diferenciados de escritura:

− La llamada jeroglífica, cuyos signos

serán imágenes más o menos

realistas que representan seres u

objetos de todo tipo;

− La llamada lineal A, derivada de la

primera, pero cuyos signos son

dibujos mucho más esquemáticos.

− Y por último la llamada lineal B, que

procede de una reelaboración de la

antrerior y que sirve para anotar, no

la lengua minoica, sino un dialecto

griego arcaico (el micénico)

La primera será empleada casi

exclusivamente en los palacios desde el año

2000 hasta el año 1 600 a. de J. C.

aproximadamente.

CARA I CARA II

CARA III CARA IV

O

63

Diversas caras escritas en una barra de

arcilla que contiene signos y cifras de la

escritura jeroglífica cretense. Palacio de

Cnoso, 1ª mitad del II milenium antes de J.

C.

La segunda aparece en Creta entre 1 700 y 1

400 antes de nuestra era y se extendió entre

todos los medios administrativos y religiosos

como entre los particulares.

En cuanto a la última, la utilizaron entre 1

350 y 1 200 a. de J. C., después de la

desaparición definitiva de la civilización

minoica y a raíz de las invasiones de la isla

por los micenios. No solo se difundió en Creta

sino también en el continente helénico.

Los sabemos gracias a las excavaciones

arquelógicas que se realizaron a finales del

siglo pasado en Cnoso, Maliná, Festo y Hagia

Tríada, así como en los emplazamientos

griegos de Micenas, Tirinto y Pilo.

Durante este período, como lo atestiguan

numerosas barras y tablillas de arcilla

contables que se descubrieron en dichos

emplazamientos, la notación numérica

cretense experimentó también algunas

modificaciones. Pero estas no consiguieron

modificar la estructura matemática porque

solo afectaron a las grafías de las cifras

correspondientes.

Hay que destacar que este sistema era

totalmente semejante a la numeración

egipcia porque, como ella, en una base

estrictamente decimal y solo atribuía una

cifra particular a la unidad y a cada una de

las potencias del diez.

Tablilla cretense con

cifras y signos de la

llamada escritura

“lineal A”, en hoja

triada, Siglo XVI

antes de J. C.

Tablillas cretenses

con cifras y signos de

la llamada escritura

“lineal B”, Siglos XIV

o XIII antes de J. C.

Al principio los cretenses representaron:

- El número 1 mediante un arco

pequeño de círculo orientado de

forma variada;

- El número 10 mediante una pequeña

marca circular análoga a la cifra

sumeria o elamita del mismo valor;

- El número 100 mediante un gran

trazo oblícuo

- El número 1000 mediante un rombo

Por alguna razón, todavía oscura,

sustituyeron poco a poco estos signos por

otras cifras. A partir del año 1700 a. de J. C.,


64

sustituyeron progresivamente la antigua cifra

de la unidad por un pequeño trazo vertical, la

marca crcular, que valía 10, por un trazo

horizontal, y el gran tazo oblicuo de la

centena por un círculo y el rombo del millar

por una figura circular con algún rasgo

particular.

Después, los micenios conservaron estos

signos, pero introdujeron una cifra

suplementaria para 10 000. El signo

correspondiente lo forjaron según una

combinación multiplicativa, deduciendo de la

cifra para 1000, añadiendo en su centro un

trazo horizontal que simbolizaba una decena,

como se muestra a continuación


65

1 10 100 1 000 10 000

Sistema

jeroglífico

Primera mitad del

II milenium antes

de J. C.

Las cifras

cretenses

Sistema lineal

“A” de 1 700

aproximadamente

hacia 1 400 antes

de J. C.

Sistema “lineal

B” 1 350

aproximadamente

1 200 antes de J.

C.

Sistema “jeroglífico

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Representaciones cretenses de los primeros nueve números

Pero dejando a un lado estas modificaciones

gráficas, el principio de la numeración

cretense ha permanecido idéntico. Partiendo

de las cifras de alguna de las series, los

números intermedios siempre se han

Sistema “jeroglífico

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Representaciones cretenses de los primeros nueve números


66

expresado repiténdose cuantas veces fuera

necesario. Además la escritura de cada

número se hizo generalmente en el orden de

los valores decreciente a partir de las cifras

que representaba la mayor potencia del diez

Representaciones cretenses de los

nueve primeros números

Representación del número 46 568

“lineal”

Dejando a un lado las grafías de las cifras,

esta notación numérica era idéntica a la

numeración jeroglífica egipcia.

En la otra punta del mundo, pero treinta y

cinco siglos después, la civilización azteca

llegó a los mismos resultados. Esta

civilización se desarrolló en México entre los

siglos XIV y XVI de nuestra era, antes de la

llegada de los conquistadores españoles. En

condiciones inicilaes totalmente análogas a la

de los minoicos, también se dieron una

escritura y un sistema de cifras.

Lo sabemos gracias a cierto número de

manuscritos que los especialistas llaman

codex y que en su mayor parte han sido

redactados después de la conquista

española. Uno de los más notables de estos

documentos es el denominado Codex

Mendoza (nombre del primer Virrey de Nueva

España, don Antonio de Mendoza, que ordenó

a los escribas indígenas que resumieran la

historia y la vida cotidiana de los aztecas y

transcribieran los registros de los tributos

recogidos por el Imperio de aquella época

entre las ciudades sojuzgadas por la guerra,

acompañando a cada uno de los detalles

correspondientes con un comentario en la

lengua española)

La escritua azteca era figurativa: sus

caracteres constituían en dibujo realistas que

reproducían seres u objetos de todo tipo. No

obstante, constituyó una especie de

compromiso entre una notación ideográfica y

una notación fonética. Algunos de sus signos

tenían la misión de representar ideas o de

significar visualmente lo que representaban y

otros anotaban sonidos de la lengua azteca

según un principio parecido al de los

jeroglíficos de nuestros pasatiempos. El

nombre de la ciudad de Iztlán estaba

representado por el dibujo de una “lámina de

obsidiana” (que expresaba la palabra Izttli)

seguido de un “diente” (que decía tlán); así

mismo el nombre de la ciudad Coatlán se

representaba mediante un jeroglífico d la

“serpiente” (coatl) y del “diente” (tlán);

etcétera, como se puede apreciar en el

siguiente gráfico:

ITZTLAN COATLAN COATEPEC


67

A su vez, la numeración Aztreca era de base

20 y solo poseía cuatro cifras:

- Un punto o un redondel para la

unidad;

- Una especie de hacha para la

veintena

- Una pluma para el número 400 (=

202)

- Un saco lleno de grano para el 8

000 (= 203)

Las cifras aztecas

Una página del

“Codex

Mendoza” en

el que se

enumera el

tributo que 7

ciudades

mexicanas

debían

proporcionar a

los notables de

la ciudad de

Tenochtitlán

Los funcionarios del imperio azteca

expresaban por escrito los resultados de sus

inventarios y recuentos, reproduciendo cada

cifra tantas veces como necesario fuera junto

a los pictogramas apropiados.

El escriba que redactó el Codex Mendoza

consignó así el tributo de las ciudades

mexicanas conquistadas por el ejército azteca

debían entregar cada una, dos o cuatro veces

al año a los señores de la ciudad de

Tenochtitlán, capital del Imperio, situada en

el México actual. La página que reproducimos

enumera de la marca siguiente el tributo que

debía recogerse una vez al año en las siete

ciudades de una misma provincia.

1. En la columna de la izquierda, los nombres

de las siete ciudades de que se trata,

representados cada uno por una combinación

de dibujos que se leen según el siguiente

jeroglífico:

2. En la primera línea de arriba:

Un lote de 400 capas de tejido

cuadriculado negro y blanco;

Un lote de 400 capas de tejido

ricamente trabajado en rojo y blanco

(que llevaban los señores de

Tenochtitlán);

Un lote de 400 taparrabos;

Dos lotes de 400 capas grandes de

color blanco de 4 “brazas” (unidad de

longitud representada mediante los

dedos)


68

3. En la segunda línea:

Dos lotes de 400 capas rayadas de

naranja y blanco de 8 “brazas” cada

una;

Un lote de 400 capas de color blanco

de 8 “brazas” cada una;

Un lote de 400 capas multicolores de

2 “brazas” cada una;

Un lotede 400 túnicas y faldas de

mujer

4. En la tercera línea:

Tres lotes de 80 capas ricamente

trabajadas (que llevaban los

dignatarios de la capital)

Dos lotes de 400 sacos de pimienta

(una de cuyas aplicaciones consistía

en servir de castigo a los jóvenes

infractores de las normas)

5. En la cuarta línea:

Dos trajes de ceremonias, 20 sacos

de plumón blanco y dos hileras de

perlas de jade;

6. Y en la última línea:

Dos escudos, una hilera de turquesas

y dos platos ricamente incrustados

con turquesas...


69

Los sistema egipcio, cretense, hetita y

azteca: numeraciones hermanas

La numeración azteca presenta una

indudable identidad intelectual con el

sistema de numeración egipcio. Porque como

él, se basaba en el principio aditivo (regla

según la cual el valor de una representación

cifrada se obtiene sumando los valores de las

cifras que contiene) y solo atribuía a un signo

especial a la unidad y a cada una de las

potencias de su base. La única diferencia con

el sistema de numeración egipcio reside en el

dibujo de las cifras y en que su base era

vigesimal en lugar de ser decimal.

Llama la atención ver como unos hombres

tan alejados en el tiempo y en el espacio,

han utilizado algunas veces los mismos

cambios para llegar a resultados

completamente similares en sus

invesigaciones y tanteos. Pero sería absurdo

pensar que estos pueblos han podido

copiarse entre sí: como se ha visto,

simplemente estaban en unas condiciones

iniciales rigurosamente idénticas. Esto explica

que sociedades que nunca han estado en

contacto, que hayan llegado

simultáneamente o en épocas diferentes, a

resultados similares: la conquista del fuego,

el descubrimiento de los números, el

florecimiento del urbanismo y de la

tecnología, el desarrollo de la agricultura, el

trabajo y la aleación de los metales, la

invención de la rueda o del arado.


70

Op Cit Pp. 235 – 246

Historia

os orígenes de la civilización maya son

objeto de discrepancias académicas en

virtud de las contradictorias

interpretaciones de los hallazgos

arqueológicos. El periodo formativo comenzó,

cuando menos, hacia el 1 500 a.C. Durante el

periodo clásico, aproximadamente entre el

300 y el 900 d.C., se propagó por todo el

territorio maya una civilización más o menos

uniforme. Se construyeron entonces los

grandes centros ceremoniales como

Palenque, Tikal y Copán. Los centros maya

fueron abandonados de forma misteriosa

hacia el año 900 y algunos individuos

emigraron al Yucatán.

En el periodo postclásico, desde el 900 hasta

la llegada de los españoles en el siglo XVI, la

civilización maya tenía su centro en Yucatán.

Una migración o invasión tolteca procedente

del valle de México impactó fuertemente en

sus estilos artísticos. Chichén Itzá y Mayapán

fueron ciudades esplendorosas. La liga de

Mayapán preservó la paz durante algún

tiempo, pero tras un periodo de guerra civil y

de revolución, las ciudades quedaron

abandonadas. Los españoles vencieron con

facilidad a los grupos mayas más

importantes, pero el gobierno mexicano no

logró subyugar las últimas comunidades

independientes hasta 1901. A finales del siglo

XX, los mayas forman la mayoría de la

población campesina en sus países de origen.

Independientemente de cualquier influencia

extranjera, algunos siglos más tarde y en el

otro extremo del mundo, en América Central,

los sacerdotes y astrónomos mayas hicieron

los mismos descubrimientos.

De todas las culturas precolombianas de

América Central, la civilización maya era la

que más prestigio tenía. La influencia que

ejerce4ra sobre las demás (en particular

sobre los aztecas) fue comparaqble a la delos

griegos sobre los romanos de la Antigüedad.

Durante el primer milenio de la era cristiana,

mientras los pueblos occidentales estaban en

pleno desorden político, recesión económica

y oscurantismo, los maas llegaban a las más

altas cimas en los más variados ámbitos:

arte, cultura, arquitectura, educación,

comercio, maqtemáticas y astronomía…

L

LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS

LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS________________________________

71

Por ejemplo, en Astronomía, los mayas

tuvieron una idea muy precisa de los

movimientos del sol, de la luna, de Venus y

posiblemente tamién de los planteas Marte,

Mercurio, y Júpiter. Sus descubrimientos

astronómicos, su cómputo del tiempo, su

calendario y la abundante documentación

que reunieron sobre los fenómenos celestes,

speran por una asombrosa precisión, a

muchas observaciones y cálculos realizados

en Europa en la misma época. Por ejemplo,

estimaron la revolución sinódica de Venus en

548 días, lo cual es un error mínimo porque

este ciclo centa en realidad con 583.92 días.

También se dieron cuenta de que el año de

365 días correspondía de manera muy

imperfecta a la realidad y que, si no se

corregía, se llegaría rápidamente a

importantes diferencias entre el calendario y

el verdadero año solar. Entonces llegaron a la

conclusión de que el año solar contaba en

realidad con 365,242 000 días. Resultando

mucha más exacto que el de nuestro

calendario gregoriano. Los cálculos más

recientes dan 365,242 198 días para el año

solar verdadero; sin embargo, el año

gregoriano tiene 365,242 500 días, lo que

constituye un error de + 3,02 diezmilésimas

frente a un error de aproximadamente +

1.98 diezmilésimas del año maya.

Los maya también fueron muy precisos en lo

que respecta a la duración media de una

lunación. Los cálculos contemporáneos,

efectuados con los más perfeccionados

instrumentos, dan un valor de 29,53 059

días. Pues bien, los astrónomos de la ciudad

de Copán encontraron que 149 lunaciones

equivalían a 4 400 días, lo que para una sola

lunación da la cantidad de 29,53 020 días.

Los astrónomos de la cidudad de Planeque (a

la decha) hicieron el mismo cálculo sobre 81

lunaciones y encontraron un resultado mucho

más preciso tadavía; 2 392 días, es decir,

29,53 083 días para una lunación media.

Además, parece que los mayas llegaron a

hacerse una idea de un tiempo infinito e

ilimtado. En Quirigua, se ha descubierto una

inscripción que detalla un período de más de

300 000 000 de años con indicación muy

precisa de los días que inaugura y concluyen

este período, de acuerdo con los calendarios

civiles y religiosos de dicha civilización.

Lo más asombroso, es que los instrumentos

con que disponían los sabios mayas eran de

lo más rudimentario. No conocía el vidrio, ni

por tanto, ninguna forma de óptica; tampoco

conocían los relojes de arena, clepsdras,

todos esos instrumentos que sirven para

registrarr períodos de tiempo inferiores a los

días (horas, minutos, segundos, etcétera) sin

los que parece imposible poder deteminar los

datos astronómicos.

Además, conocían

por completo la

noción de

fracción.


72

En realidad, la unidad de tiempo más

pequeña de estos astrónomos era el día.

Medían el día solar auténtico (es decir, el

lapso de tiempo que transcurre entre los

pasos consecutivos del sol por el meridiano

del lugar que sirve de observatorio (a la

izquierda), con nun instrumento muy simple:

el gnomon, especie de cuadrante solar muy

rudimentario. Sabemos que efectuaban las

obnservaciones astronómicas mediante dos

tiras de mada cruzadas sobre las que

reposaba un largo tubo de jadeíta que

permitía la visibilidad.

Pero la astronomía no era la única ciencia en

la que los mayas nos causan admiración. En

el terreno de las matemáticas llegaron a unos

resultados no menos importantes porque

descubrieron el principio de posición e

inventaron el cero.

1 11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

0

Otras variantes gráficas

1 5

En efecto, en los (raros) manuscritos mayas

que poseemos, especialmente el Codex de

Dresde (un tratado de astronomía y de

adivinación que había sido copiado, en el

siglo IX de nuestra era, de un original

redactado tres o cuatro siglos antes)

podemos encontrar testimonio de esto. Dicho

manuscrito revela que entre los sacerdotes

mayas existía un sistema de base veinte

(20), con un cero, donde el valor de las cifras

estaba determinado por su posición en la

escritura de los números, para lo cual usaron

solamente tres grafías:

1 5 cero8

8 El símbolo ha sido estilizado por el coordinador de la Licenciatura de Matemáticas, Lic. Juan Manuel Alvídrez Villarreal


73

Las unidads de primer orden de esta

numeración vigesimal, diecinueve en total,

estaban representados por símbolos muy

simples: puntos y trazos. De uno a cuatro

puntos para las cuatro primeras unidades; un

trozo horizontal o vertical para cinco; uno,

dos, tres o cuatro puntos colocados al lado

do sobre el trazo, para los números 6, 7, 8 y

9; dos trazos para 10; y así sucesivamente.

Seguidamente, se escribía cada número

superior a veinte sobre una columna vertical

que contenía tantos pisos como órdenes de

unidades.

Para los números compuestos de dos

órdenes, se colocaba la cifra de las unidades

simples en el piso inferior y la cifra de las

veintenas en el segundo. Así, 21 (= 1 x 20 +

1), se escribía de la siguiente manera:

1

1

y 79 (= 3 X 20 + 19)

3

19

Normalmente, el piso inmediato superior (la

tercera posición de ese sistema de base

veinte) hubiera debido corresponder a

valores 20 veces superiores a las del 2º. Así,

entre nosotros el 3º orden corresponde a las

centenas ( es decir, a los múltiplos de 20 x

20 = 400.

Pero aquí, encontramos una curiosa

irregularidad cuya causa vermos más

adelante: para los sabios mayas el tercer

piso indicaba en realidad los múltiplos de 360

Por ejemplo, la escritura siguiente:

3

19

12

correspondía a:

12 x 360 + 3 x 20 + 19

y no a:

12 x 202 + 3 x 20 + 19= 12 x 400 + 3 x 20

+ 9

Para las posiciones siguientes se volvió a una

utilización estricta de la base 20; cada piso, a

partir del cuarto, vale 20 veces más que el

piso inmediatamente inferior. Debido a la

irregularidad del tercer orden, la 4ª posición

corresponde a los múltiplos de 7 200, = 20 x

360 y no a los de 8 000 = 20 x 20 x 20, la

quinta, a los mútiplos de 144 000 = 20 x 7

200 y no a los 160 000 = 20 x 20 x 20 x 20 y

así sucesivamente.

Tras multiplicaciones y una suma, permitian

leer una representación de cuatro cifras como

la siguiente:

8

15

19

1

= 1 x 7 200 + 17 x 360 + 8 x 20 + 15 = 7

200 + 6 120 + 160 + 15 = 13 485


74

¿Glifos representando conchas?

¿Glifos representando conchas de

caracol?

Otras

formas

Y para que cada cifra se quedase en su piso,

en el caso de que llegasen a faltar las

unidades de algún orden, los sabios mayas

inventaron un cero. A este concepto le dieron

(por razones que desconocemos) una forma

bastante semejante a la de una concha o

caparazón de caracol.

Ejemplo:

0

12

0

16

= 16 x 7 200 + 0 + 0 + 12

Tenemos dos pruebas indiscutibles del genio

matemático de los astrónomos mayas:

Elaboraron una numeración de

posición

Inventaron el cero

Estos descubrimientos escaparon a la

mayoría de los pueblos, en particular a los

pueblos occidentales, que tuvieron que

esperar a la Edad Media para que este

principio y este concepto les llegara a través

de los árabes, quienes a su vez lo habían

recibido de los sabios de la India.

Sin embargo, todavía nos queda una

dificultad por dilusidar: ¿Por qué este

sistema no ha sido estricatamente vigesimal

cuando la numeración oral de los mayas lo

era? En lugar de proceder por potencias

sucesivas de 20 (1, 20, 202 = 400, 203 = 8

000, etcétera), ha dado a sus graducaciones

consecutivas los valores: 1, 20, 18 x 20

(=360), 18 x 202 (= 7 200), etcétera.

En una palabra, ¿por qué razón la tercera

posición de esa numeración la han integrado

a los múltiplos de 360 y no a los múltiplos de

400?

Esta anomalía hizo que el codice maya

craciera de cualquier posibilidad operacional.

En nuestra numeración actual, el cero

desempeña un papel de operador aritmético:

el valor del número 460 = 4 x 100 + 6 x 10

+ 0, a cuya escritura se ha ido añadiendo un

cero al final de la representación del número

46, es decir, 4 x 10 + 6, que es el producto

de 46 por la base 10, es decir, 460 = 46 x 10


75

Si la numeración maya hubiese sido

estrictamente vigesimal, su cero hubiera sido

operacional: al añadirse un cero al final de

una representación cifrada, se hubiera

multiplicado por la base 20 el valor del

número correspondiente. Esto no ha sido así,

como podemos comprobar en el ejemplo

siguiente:

2

0

0

2

0

= 2 x 20 + 0 = 40

= 2 x 360 + 0 x 20 + 0 = 720 = 40 x 20

Esta irregularidad ha impedido a los sabios

mayas aprovechar al máximo todos sus

escenciales descubrimientos en el ámbito del

cálculo de la aritmética abstracta.

Las matemáticas al

servicio de la

astronomía.

Los nueve períodos

del tiempo maya

conocidos, con sus

correspondientes

glifos. Kin era un

día; uinal, 20 días

o un mes, tun, 360 días; katun, 20 tuns, y

así se proseguía hasta alautun.

KIN..........UINAL..........TUN............KATUN..

.........BAKTUN.......PICTUN

.....CALABTUN...KINCHILTUN..ALAUTUN

"No se esconde ni aparta tanto el sol de esta

tierra de Yucatán, que vengan las noches,

jamás a ser mayores que los días; y cuando

mayores vienen a ser, suelen ser iguales

desde San Andrés a Santa Lucía (Del 30 de

noviembre al 13 de diciembre-Genet) que

comienzan a crecer los días. Regíanse de

noche para conocer la hora que era por el

lucero y las cabrillas y los astillejos. De día,

por el medio día, y desde él al oriente y

poniente, tenían puestos a pedazos nombres

con los cuales se entendían y se regían por

sus trabajos."

"Tenían su año perfecto como el nuestro, de

366 días y 6 horas. Divídenlo en dos maneras

de meses, los unos de a 30 días que se

llaman U, que quiere decir luna, la cual

contaban desde que salía nueva hasta que no

parecía."


76

"Otra manera de meses tenían de a 20 días,

a los cuales llaman UINAL HUNEKEH (Uinal

Hunelk'ech. De Uinal, el mes de 20 días, y de

Hunel-Solo-Solamente, y K'ech-Ladearse,

referencia clara a las posiciones de la Luna);

de estos tenía el año entero (HAAB), 18, más

los 5 días y seis horas. De estas seis horas se

hacía el año de 366 días. Los ados de 360

K'ines o días, se denominan TUNES; 20

Tunes, es un K'atun, o sean 20 años de 360

días (7,200 días). Luego sigue el BAK'TUN, o

sean 20 K'ATUNES, o sean 400 Tunes, de

360 Kines, equivalente a cantidad de

144,000 días. Sigue el P'ICTUN, o sean 20

BAK'TUNES con la suma de 2.880,000 Kines

o días; el CALABTUN, 20 P'ictunes, o

57.600,000 K'ines o días; el K'INCHILTUN, o

sean 20 Calabtunes, o 1,152,000.000, luego

el ALAUTUN, 20 K'inchiltunes, equivalente a

23,040.000,000 K'ines, o días.

Esta forma de expresar lo relativo a los

períodos de tiempo, para formular su

cronología que llevaron a cifras tan enormes,

como nunca pueblo alguno se atrevió a

hacerlo ¡364,440 años! de tal manera que

asombra tal capacidad intelectual para haber

realizado semejantes cálculos, lo cual prueba

abundantemente el alto nivel cultural del

pueblo maya, que en su época de oro se

entregó a las altas matemáticas, lo cual les

permitió manejar varios cómputos

cronológicos a un mismo tiempo, hasta llegar

a formular un cómputo sobre las famosas

Manchas Solares, con una rueda Cronológica

de 23 Dientes, de acuerdo con los ciclos de

menor y mayor incidencia de las mismas en

la esfera solar.

Los cronólogos mayas efectuaron una serie

de investigaciones, como no las realizaron los

chinos ni los egipcios, ni asirios ni babilonios,

que los capacitó a corregir tanto los años

solares, como los lunares, razón ésta que les

permitió manejar perfectamente bien sus

complicados cálculos sobre los años bisiestos,

miles de años antes que los romanos siquiera

intuyeran estas disciplinas, al grado de lograr

indicar (el día) con verdadera exactitud

dentro de un período de cerca de 19,000

años (Morley).

LOS DÍAS MAYAS

os mayas llaman K'IN al día, K'IN al

Sol, K'IN a la época, así como

titulaban K'IN al Sacerdote Solar.

Los Meses llamados UINALES se componían

de 20 días, o sean 20 K'INES

respectivamente, nominados así:

1. IMIX.- De IM, seno, y de IX apócope de

IXIM, maíz.

2. IK'.- Espíritu, viento, aire.

3. AK'BAL.- Anochecer (se ha interpretado

como Verde).

4. K'AN.- Amarillo. estar en sazón, maduro.

L


77

5. CHICCHAN.- Precerse (traducido como

rebajarse, empequeñecerse).

6. CIMI.- Muerte, Mortal.

7. MANIK.- De MAAN-Pasar, y de IK'-Viento,

aire, espíritu.

8. LAMAT.

9. MULUC.- De MUL, Mulcintal, hacer

montones, amontonar.

10. OC.-Entrar. Pie. Puñado.

11. CHEN.- Traducido por pozo. Pozo es

CH'EEN.

12. EB.- Escalera.

13. BEN.- De Been beetah, hacer con

lentitud.

14. IX.- Traducido como HIIX-frotar, bruñir.

15. MEN.- De Mentah, hacer una cosa.

16. CIB.- Vela, cera, candela.

17. CABAN.- De Cab, tierra, y de An, ruido.

18. EZNAB.- Traducido por Edznab, asentarse

sobre cimientos.

19. CAUAC.- De Ca partícula duplicativa, y

uac sacar una cosa dentro de otra.

20. AHAU.- Rey. Traducido como de Ah,

calidad, pertenencia, A eufónica y U Luna,

perla.

NOTA: Hay que advertir que hasta la

presente fecha no se han definido los

verdaderos significados de estos jeroglíficos

mayas.

LOS MESES MAYAS. (UINALES)

os meses mayas 18 de a 20 K'INES, o

días, más el UAYEYAB o sean los 5

días aciagos, que completan los 365

días del HAAB, ya que el TUN solamente

abarca 360 K'INES, o días. Los nombres de

los Meses son estos:

1. POOP.- Estera. Petate.

2. UOH.- Letra. Signo.

3. ZIP.- Pecado. Culpa.

4. ZODZ.- Murciélago.

L


78

5. TZEC.- Sermón, prédica. (El nombre

correcto es TZEEC).

6. XUL. Límite, final, remate, fin.

7. YAAXK'IN.- Sol verde. De YAAX-VERDE, y

K'IN-Sol.

8. MOL.- Recoger.

9. CHEN.- Solamente. (Traducido como

CHE'EEN-POZO).

10. YAX.-Primero. (Traducido como YAAX-

Verde y azul. Verde y azul, es YAAXNIC.

11. ZAC.- Blanco.

12. KEH.- Venado.

13. MAC.- Tapa, tapar, cubrir.

14. KANK'IN.- Sol amarillo, De K'AN-Amarillo,

y K'in-sol.

15. MUAN.- De MOAN tiempo nublado y

lloviznoso.

16. PAX.- Música. Tocar.

17. KAYAB.- Muchos Cantos. K'AY-Canto, y

YAAB-Mucho.

18. CUMKU.- De CUM, detenerse, y de K'U-

Dios. Pararse el Dios.

19. UAYEB o UAYEYAB.- Días aciagos (son 5

estos días).

NOTA: Los jeroglíficos de los nombres de los

días como de los meses, no se definen

propiamente dicho, ya que los mayistas

difieren acerca de la traducción apropiada.

20 kines

18 uinales

20 tunes

20 katunes

20 baktunes

20 pictunes

20 calabtunes

20 kinchiltunes

= 1 uinal, o 20 días

= 1 tun, o 360 días

= 1 katún, o 7,200 días

= 1 baktún, o 144,000

días

= 1 pictún, o 2.880,000

días

= 1 calabtún, o

57.600,000 días

= 1 kinchiltún, o

1,152.000,000 días

= 1 alautún, o

23,040.000,000 días

Encontramos numerosos ejemplos en las

magníficas inscripciones cronológicas que

adornan una serie de estelas mayas

rebosantes de representaciones fantásticas.

He aquí uno sacado de la “estela E” de

Quiriguá


79

KATUN BAKTUNKIN..... ..... UINAL.......... TUN............

Jeroglíficos mayas de unidades de tiempo

Estela A de Quiriguá. En este monumento,

erigido en el 775 de la era cristiana, los

dioses han sido esculpidos delante y detrás,

y los glifos (calendarios astronómicos y otro

tipo de calendarios) en los lados

La fecha de erección de la estela se inicia en

la línea de arriba con dos grupos jeroglíficos:

el primero, está compuesto la cifra 9 y una

cabeza de divinidad que representa al

baktun y el otro por la cifra 17 y una cabeza

de divinidad que representa el katun.

Continua inmediatamente en la línea inferior

por otros dos grupos que significan

respectivamente “cero tun” y “cero uinal”. Y

en la línea de abajo se acaba por un grupo

que quiere decir “cero kin”, como se muestra

en el siguiente esquema:

17 KATUNES17 X 7 200 días122 400

9 BAKTUNES9 X 144 000 DÍAS

1 296 000 DÍAS

O UINAL0 x 20 días0 días

0 TUN0 X 360 DÍAS

0 DÍAS

0 KIN0 x 1 día

0 días

Quienes edificaron la estela expresaron el

número de días transcurridos desde el

principio de la era maya hasta el día cuya

fecha había querido iniciar. La fecha de

erección del monumento también se

interpreta numéricamente de la siguiente

manera:

9 baktunes 9 x 144 000

d

1 296 000

días

17 b

katunes

17 x 7 200 d 122 000 días

0 tun 0 x 360 d 0 días

0 uinal 0 x 20 d 0 días

0 kin 0 x 1 d 0 días

TOTAL 1 418 400

días

Habían transcurrido un millón cuatrocientos

dieciocho mil cuatrocientos días desde el

principio de la era maya hasta el día de que

se trata. Tras una operación de conversión

bastante simple, se deduce que la estela E de

Quiriguá fue erigida el 24 de enero del 775

después de J. C. de nuestro calendario

gregoriano.


80

Este ejemplo demuestra que los mayas

simbolizaban en sus inscripciones

cronológicas la ausencia de las unidades de

tiempo de algún orden mediante un

jeroglífico con los más diferentes aspectos.

Forma jeroglífico-cero de las estelas mayas

Entonces, ¿por qué utilizaron un jeroglífico

particular que funcionaba realmente como

cero en un sistema donde un concepto como

ese era necesario matemáticamente?.

¿Por qué indicaron la fecha anterior bajo la

forma:

9 baktunes, 17 katunes, 0 tunes, 0 unional y

0 kin?

Habría sido más simple y más rápido anotarla

de la siguiente manera:

9 baktunes y 17 katunes

en realidad los mayas no omitieron el

jeroglífico de una unidad de tiempo mpor

razones de tipo gráfico y religioso.

En el plano religioso, cada una de estas

unidades estaba concebida como un saco que

llevaba a sus espaldas el dios guardián del

tiempo. Al acabar una de ellas, la divinidad a

la que el calendario maya atribuía el número

siguiente se hacía cargo del tiempo futuro.

En la fecha 9 baktunes, 11 katunes, 7 tunes,

7 uinales y 2 kines , por ejemplo, la divinidad

que presidía los días llevaba al dios del

número 2, la encargada de los meses, al dios

del número 5, la encargada de los años, al

dios del número 7 y así sucesivamente.

Dios

portador

Dios

portador

Dios

portador

Dios

portador

Dios

portador

de los de los de los de los de los

BAKTUNES KATUNES TUNES UINALES KINES

Remitiéndonos a nuestro propio caendario, es

como si hubieran habido 6 divinidades

portradoras para el día 31 de diciembre de

1899:

Una portadora del número 31 para el

día;

Una portadora del número 12 para el

mes;

Y otra portadora del número 9 para el

año;

Finalmente, otra portadora para el

número 9 para la década; y asi

sucesivamente

Al acabar ese día, esta sucesión de

divinidades, habría marcado una pequeña

pauta antes de reanudar su curso, pero el día


LA NUMERACIÓN DE LOS SACERDOTES MAYAS_______

81

siguiente, ue también sería el día primero de

mes del año siguiente, tanto el dios portador

de los meses, estarían encargados del

número 1. co el cambio del siglo (paso del

año 1899 al 1900), los dioses portadores de

los años y las décadas, estarían

momentáneamente descargados de sus

respectivos sacos, mientras que la divinidad

portadora de los siglos habría recibido el peso

del número 9. el dios de los milenios

conservaría intacto lo que llevaba sobre sus

hombros desde el año 900.

Ahora bien, razonando según el pensamiento

místico de los mayas y volviendo a la fecha

“9 baktunes, 17 katunes, 0 tunes, 0 uinales y

0 kin”, ¿cómo habrían relacionado los dioses

de los kines, los uinales y los tunes si

hubieran suprimido sus esfinges de una

estela cnmemorativa?

Los escultores y los modeladores mayas no

podían correr el riesgo de irritarles.

Adeas, las unidades de tiempo se sucedían

en un orden inmutable y constantemente

repetido. Estaban inscritas en la rigurosa

progresión de los valores decrecientes, de

arrba hacia abajo y empezando por la más

elevada. Así, si no hubiese introducido el uso

de un signo especial para señalar la ausencia

de unidad de tiempo de determinado orden,

se habría roto la ordenada disposición sobre

la estela de los jeroglíficos correspondiente.

La preocupación estética, el temor místico,

así como el carácter solemne y las exigencias

de una “compaginación” particularmente

cuidada de las estelas mayas, hicieron que la

invención del cero fuera totalmente

necesaria.

Pero este sistema se inscribía también en una

línea evolutiva que conducía inevitablemente

al descubrimiento del principio de posición.

Con tanto rigor como sobre una “tabla de

contar”, estas unidades de tiempo eran

colocadas en el orden de su progresión

matemáticapor el hábil cicel de las

estructuras.

Las ventajas aritméticas de una presentación

de este tipo no pasaron desapercibidas a los

sacerdotes-astrónomos mayas. Llevados por

un afán de simplificación de las expresiones

de sus fechas cualquier mención de los

jeroglíficos indicadores de las unidades de

tiempo en sus manuscritos, y solo dejaron,

en definitiva, las series de los coeficientes

correspondientes. A partir de ese momento

se conformaron con escribir, en el sitio

correcto, el cero o una de las cifras del 1 al 9.

En lugar de indicar la fecha “8 baktunes, 11

katunes, 0 tunes, 14 uinales y 0 kines”, de

esta manera:

. .........KIN UINAL.......... TUN..... .......

BAKTUNKATUN

Lo expresaron de esta manera:

82

014

11

8

0

Po supuesto, la omisión de los glifos

indicadores de las unidades de tiempo no

debió de plantear ningún problema en el

plano religioso porque esos manuscritos no

tenían el carácter solemne y sagrado de las

estelas conmemorativas.

Parece evidente que el uso del cero seguia

siendo necesario aunque, en esta ocasión, lo

era por razones de índole matemática.

Los astrónomos mayas, libres ya de

contingencias místicas o teológicas, llegaron

a poseer una notable numeración escrita de

posición con un verdadero cero y, por lo

tanto, potencialmente aplicable a cualquier

tipo de cálculo.

Esta numeración, que estaba calcada en el

sistema de expresión de las fechas y

concebida únicamente para satisfacer las

necesidades de la astronomía y del cálculo

del tiempo, siguió conservando para su

tercera posición el valor de la tercera unidad

de tiempo. En lugar de indicar en dicha

posición los múltiplos de 20 x 20 = 400, solo

expresaron 18 x 20 = 360. Esto,

desgraciadamente, la incapacitó para realizar

operaciones y para cualquier desarrollo

matemático.


83

¿A QUÉ SE DEBE EL ANUMERISMO9?

John Allen Paulos10

xperiencia personal creciente en una

cafetería suburbana: pido una

amburgesa, patatas fritas y una

cocacola. La cuenta sube a 2.01 dólares y la

cajera, que lleva varios meses trabajndo allí,

maneja torpemente una tbabla donde, junto

al precio marcado por la registradora, figura

el impuesto que hay que añadir, el 6 %,

hasta encontrar la línea que dice 2.01

dólares, 0.12 dólares. En atención al

anumerismo de sus empleados, las grandes

concesionarias tienen ya cajas registradoras

con teclas que llevan dibujados los artículos y

que añaden el impuesto.

Según un estudio reciente, que un

departamento exija o no cierto nivel en

matemáticas o estadística es determinante

cuando una mujer elige dónde matricularse

en el tercer ciclo de Ciencias Políticas.

Cuando oí al sabio astrónomo, cuyas

lecciones despertaban tanta admiración en el

9 PAULOS, John Allen, en El hombre anumérico, Turquets Editores, Barcelos 2000, Pp.113 – 128 10 John Allen Paulos, de origen neoyorkino, es doctor en matemáticas para la Universidad de Wisconsin y enseña esta disciplina de en la Template Univerity de Filadefua, además de colaborar en la prensa de su pais

aula Que inexplicablemente pronto empecé a

sentirme cansado y hastiado.

Walt Whitman

E

A QUE SE DEBE EL ENUMERALISMO

John Allen Paulos

A QUE SE DEBE EL ENUMERALISMO________________________________

84

Op cit Pp. 114 – 120

Por qué el anumerismo está tan

extendido entre personas que, por otra

parte, son insustituidas? Siendo un

tanto simplistas, diremos que las razones son

una educación insuficiente, cierto bloqueo

psicológico y falsas ideas románticas acerca

de la naturaleza de las matemáticas. Mi

propio caso es la excepción que confirma la

regla. El recuerdo más antiguo que tengo de

haber querido ser matemático corresponde a

mis 10 años de edad, cuando calculaba que

determinado lanzador suplente de los

Milwaukee Braves de aquella época tenía una

media de carreras ganadas (MCG) de 135

(para los aficionados del bésibol: dejaba que

le marcaran cinco carreras y solo eliminaba a

un bateador) Impresionado con un MCG tran

extraordinariamente malo, se lo expliqué

tímidamente a mi maestro, que me pidió que

lo explicara en clase. Como yo era muy

tímido, lo hice con una vocecita temblorosa y

rojo como un tomate. Cuando hube

terminado, dijo que yo estaba

completamente equivocado y que me

sentara. Los MCG, dijo con autoridad, nunca

pueden ser superiores a 27.

Al acabar la temporada , The Milwaukee

Journal publicó las medias de todos los

jugadores de la Major Leagues y, como aquel

lanzador no había vuelto a jugar, su MCG era

135, el mismo que yo había calculado.

Recuerdo que tuve la sensación de que las

matemáticas eran un protector omnipotente.

Con ellas uno podía demostrar cosas a otras

personas y éstas le había de creer, tanto si

les gustaba como si no. Así que, picado aún

por la humillación que había sentido, llevé el

periódico a la escuela para enseñárselo al

maestro. Me echó una mirada horrible y me

volvió a ordenar que me sentara. Al parecer,

la idea que tenía él de impartir una buena

educación consistía en asegurarse de que

todo el mundo permaneciera sentado.

Aunque no esté ordenada por ordenancistas

como mi maestro, la enseñanza elemental de

las matemáticas es generalmente pobre.Las

escuelas primarias consiguen, por lo general,

enseñar las operaciones elementales de

sumar, restar, multiplicar y dividir y también

los métodos para manejar fracciones,

decimales y porcentajes. Por desgracia, no

son tan eficaces a la hora de enseñar cuánto

hay que sumar o restar, cuánto multiplicar o

dividir, o cómo convertir fracciones en

decimales o porcentajes. Rara vez se

trabajan los problemas aritméticos: cuándo,

a qué distancia, cuántos años tiene, cuántos.

En parte, el temor que sienten los

estudiantes mayores ante ciertos problemas

de enunciado se debe a que, cuando estaban

¿

EVOCACIÓN DE ANUMERISMOS PASADOS

EVOCACION DE ANUMERALISMOS PASADOS________________________________

85

en los niveles elementales, no les pidieron

que encontraran la respuesta a preguntas

cuantitativas como éstas.

Muy pocos estudiantes aprueban la

enseñanza básica sin saber las cuatro reglas

de la aritmética, pero muchos pasan sin

entender que si uno va a 50 km/h durante 4

horas, recorrerá 200 kilómetros en total; que

si los cacahuates cuestan 40 centavos la

onza y una bolsa cuesta 2.20 dólares,

entocnes la bolsa contiene 5.5 onzas de

cacahuate; que si ¼ de la población mundial

son chinos y 1/5 del resto son indios,

entonces 203 o el 15 por ciento de los

habitantes del mundo son indios. Esta clase

de comprensión no es, naturalemente, tan

simple como saber que 35 x 4 = 140, que

(2.2)(0.4) = 5.5, o que 1/5(1 – ¼) = 203 =

0.15 = 15 por cien. Y como muchos de los

estudiantes de los niveles elementales no

llegan a ello de un modo natural, hay que

insistir platicándoles muchos problemas,

algunos prácticos y otros imaginarios.

En general, aparte de unas pocas lecciones

sobre redondeo de números, tampoco se

enseña a hacer cálculos. Y raramente se

enseña que el redondeo y las estimaciones

razonables tengan algo que ver con la vida

real. No se pide a los estudiantes de la

escuela primaria que hagan un cálculo de

cuántos ladrillos en na pared de la escuela,

de la velocidad a que es capaz de correr el

más rápido, del porcentaje de estudiantes

cuyos padres son calvos, del cociente entre la

circunferencia de la cabeza de alguien y su

estatura, de cuántas monedas de cinco

centavos hacen falta para hacer una torre de

la altura del Empire State Building, o si

dichas monedas cabrían en el aula de

estudio.

Casi nunca se enseña a razonar

inductivamente, ni se estudian los fenómenos

matemáticos con vistas a captar las reglas y

propiedades más relevantes. Las discusiones

de lógica informal son tan frecuentes en los

cursos de matemáticas elementales como las

discusiones de las sagas de Islandia. No se

comentan enigmas, juegos o adivinanzas … y

estoy convencido de que en muchos casos se

debe a que los alumnos brillantes podrían

superar muy fácilmente a sus maestros. En

sus encantadores libros de divulgación

matemática y en sus columnas de Sientific

American Martín Gardner ha explorado de un

modo sumamente atractivo la íntima relación

que hay entre esos juegos y las matemáticas.

Dichos libros, lo mismo que How to Solve It

(cómo resolverlo), o matematics and

Plausible Reading (Matemáticas y lectura

posible), del matemático George Polya,

serían una lectura recomendada muy

estimulante para los estudiantes de

bachillerato o para los primeros cursos de la

Universidad (bastaría con que se los

recomendaran)

Un libro encantador con un sabor parecido al

de los anteriores, pero en un nivel más

elemental, es I Hate Matematics (odio las

matemáticas), de Marilyn Burns. Está lleno

de lo que no suele haber en los libros de

texto de mates elementales: indicaciones


86

heurísticas11 para la solución de problemas e

imaginación.

En cambio, demasiados libros de texto se

dedican aún a presentar listas de nombres y

palabras y las ilustraciones, cuando las hay,

son pocas. Señalan, por ejemplo, que la

suma tiene la propiedad asociativa pues (a +

b) + c = a + (b + c). Pero raramente se cita

alguna operación que no lo sea, con lo que,

en el mejor de los casos, la definición parece

innecesaria. Y en cualquier caso, ¿qué puede

hacer con este fragmento de información?.

Parece también como si otros términos se

introdujeran con la única razón fundamental

de que, impresos en negritas y enmarcados

en un recuadro en medio de la pagina,

quedan bonitos. Satisfacen la idea que

mucha gente tiene del conocimiento, como

una especie de botánica general en la que

hay un lugar para cada cosa y cada cosa

tiene su lugar. La matemática como

herramiento útil,como modo de pensar o

como fuente de placer es algo

completamente ajeno a la mayoría de

programas de la educación elemental (incluso

de aquellos que usan libros de texto

adecuados).

Puede pensarse que a estas alturas ya

tendríamos que disponer de material

informático que facilitara la enseñanza de los

fundamentos de la artimética y sus

aplicaciones (problemas de enunciado,

estimaciones, etcétera). Por desgracia los

programas que tenemos en la actualidad son

11 Disciplina que trata de establecer las reglas de la investigación

demasiado a menudo, simples simples

transcripciones, a monitor de televisión, de

listas poco imaginativas corresponidentes a

ejercicios rutinarios sacadas de un libro de

texto. No sé de ningún problema que ofrezca

un enfoque efectivo, coherente e intergado a

la aritmética y sus aplicaciones en la

resolución de un problemas.

Parte de la culpa de la pobre instrucción que

se recibe en la escuela primaria recae en los

maestros poco competentes y que en el

fondo tienen poco interés en las

matemáticas. Y, a su vez, la culpa de que

esto ocurra la tienen las escuelas del

magisterio que en sus cursos de formación

del profesorado insisten poco en la

importancia de las matemáticas, si es que lo

hacen. Según mi propia experiencia, los

estudiantes que se preparan para enseñar

mates en las secundarias (contrariamente a

lo que ocurre con los estudiantes de la

licenciatura de matemáticas) son

generalmente los peores que asisten a mis

clases. El bagaje matemático de los futuros

maestros de escuela primaria es peor aún, y

en muchos casos, inexistente.

Una solución parcial prodíra consistir en

contrastar uno o dos matemáticos para cada

escuela primaria, que fueran pasando por las

distintas clases y reforzaran (o se hicieran

cargo de) de la enseñanza de las

matemáticas. A veces pienso que podría ser

una buena idea que los profesores de mates

y los maestros de primaria cambiaran sus

puestos durante unas semanas al año. Estar

en manos de maestros de primaria no


87

supondría ningún perjuicio para los futuros

licenciados y doctores en matemáticas (de

hecho,aquellos podrían aprender algo de

éstos) y en cambio, para los alumnos de los

ciclos medio y superior de la primariasería

provechoso aprender acertijos y juegos

matemáticos presentados por gente

competente.

Y ahora una pequeña digresión. Esta

conexión entre los acertijos y las

matemáticas se mantiene incluso en el nivel

universitario, tanto en la docencia como en la

investigación, y lo mismo cabría decir del

humor. En mi libro Mathematics and Humor

(Matemáticas y humor) intenté demostrar

que ambas actividades son formas de juego

intelectual que a menudo confluyen en

rompecabezas, acertijos, juegos y paradojas.

Tanto la matemática como el humor son

combinatorios, uniendo y separando ideas

por mera diversión: yuxtaponiendo,

generalizando, iterando o invirtiendo

(AIXELSID). ¿Qué pasa si se relaja esta

condición y aquella se hace más restrictiva?

¿Qué tiene en común esta idea, los

trenzados, por ejemplo, con aquella, que

aparentemente pertenece a un campo muy

dispar, las simetrías de cierta figura

geométrica, por ejemplo? Naturalmente, esta

faceta de la matemática no es muy conocida,

ni siquiera para quienes tienen cierta cultura

numérica, pues para poder jugar con los

conceptos matemáticos, hace falta tenerlos

previamente muy claros. Son muy

importantes también, tanto para las

matemáticas como para el humor, la

ingenuidad,cierto sentido de economía en la

expresión y capacidad para detectar lo

absurdo.

Los matemáticos tienen, como se puede

apreciar, un sentido de humor carácterístico,

que podría ser fruto de su preparación.

Suelen tomar las experiencias al pie de la

letra, y en ese sentido literal es a menudo

incongruente con la corriente, y de ahí su

comicidad. Encuentran place en la reducción

al absurdo, la práctica lógica de llevar una

premisa a sus últimas consecuencias, y en

diversas clases de juegos de combinación de

palabras.

Si la formación de palabras comunicara esta

faceta lúdica del tema, ya sea formalmente,

a los nivbeles de enseñanza, primario, medio

o universitario, o informalmente en libros de

divulgación, no creo que el anumerismo

estuviera tan extendido como está.


88

Op cit Pp.120 – 126

uando los estudiantes llegan al

bachillerato, el problema de la

capacidad del profesor es ya más

crítico. La industria de los ordenadores la

banca u otros campos de la misma

naturaleza absorven una parte tan

importante de los pocos matemáticos bien

preparados, que pienso que solo se podrá

evitar que empeore la situación en nuestros

institutos con incentivos salariales

sustanciosos para los profesores de

matemáticas bien cualificados. Como en este

nivel no es tan importante haber recibido un

gran número de curss pedagógicos como

cierta maestría en las mateáticas escenciales,

podría ser provechoso dejar la enseñanza de

las matemáticas en manos de los ingenieros

retirados y otros profesionistas científicos. En

la situación actual, en muchos casos no se

consigue que los estudiantes adquieran los

elementos básicos de la cultura matemática.

En 1579 Vieta empezó a usar las variables

“x, y, z, etcétera” para simbolizar cantidades

dsconocidas. La idea es simple, y sin

embargo muchos estudiantes de bachillerato

de hoy son incapaces de seguir este método

de razonamiento que ya ha cumplido los

cuatrocientos años: sien do “x” una

incógnita, encontrar la ecuación que ha de

satisfacer “x” y despejarla para determinar el

valor que buscamos.

Incluso cuando las incógnitas están

presentadas convenientemente y se puede

plantear la ecuación, con demasiada

frecuencia las manipulaciones necesarias

para su resolución solo se comprende

vagamente. Ojalá me dieran cinco dólares

popr cada estudiante que, teniendo aprobado

el álgebra del bachillerato, escribe en una

prueba de acceso a la universidad que (x +

y)2 = x2 + y2.

Aproximadamente cincuenta años después de

que Vieta introdujera el uso de las variables

albegraicas, Descartes ideo un modo de

asociar a cada punto del plano un par

ordenado de números reales y, de este

modo, relacionar las ecuaciones algebraicas

con las curvas geométricas. El campo de las

matemáticas que resultó de esa idea tan

fundamental es la geometría analítica,

escencial para entend el cálculo: sin

embargo, nuestros estudiantes salen de los

institutos sin saber representar gráficamente

rectas ni parábolas.

En la escuela secundaria ni tan solo se

enseña eficazmente la idea griega (que ya

tiene 2 500 años) de la geometría

axiomática: partiendo de unos pocos axiomas

evidentes que se dan por sentados, deducir

los teoremas, con la única ayuda de la lógica.

C

LA EDUCACIÓN SECUNDARIA Y LA UNIVERSITARIA

LA EDUCACION SECUNDARIA Y LA UNIVERSITARIA____________________________

89

¡Uno de los libros más usados en las clases

de geometría de la escuela secundaria

emplea más de 100 axiomas para demostrar

un número similar de teoremas! Con tántos

axiomas los teoremas son superficiales,

carecen e profundidad y bastan tres o cuatro

pasos para demostrarlos.

Además de alcanzar cierto nivel de

comprensión del álgebra, la geometría y la

geometría analítica, los estudiantes de

bachillerato deberían oir hablar de las ideas

principales de lo que se conoce como

matemáca infinita. La combinatoria (que

estudia los diversos modos de contar las

permutaciones y combinaciones de objetos),

la teoría de los grafos (que estudia redes de

líneas y vértices, así como los fenómenos que

se pueden modlizar con estas técnicas), la

teoría de los juegos (teoría de las

matemáticas de los juegoos de toda clase), y

en especial la probabilidad, son cada vez más

importantes. De hecho, la reforma

consistente en enseñar cálculo en algunos

institutos me parece perversamente

equivocada si significa que los temas de

matemática finita que he citado hayan d

eliminarse. (Estoy refiriéndome ahora a un

programa de estudios ideal para instituto.

Según el último “Mathematics Report Card”

del Educactional Testing Service, la mayoría

de los estudiantes norteamericanos de

bachillerato apenas si saben resolver los

problemas elementales de que se habla unas

páginas atrás)

El instituto es el lugar idóneo para llegar a los

estudiantes. Cuando han accedido a la

universidad ya es demasiado tarde para

ellos, pues carecen de la base adecuada en

álgebra y geometría analítica. Y aún los

estudiantes con una base matemática

razonable no son siempre conscientes de

hasta qué punto otros campos del

conocimiento se están “matematizando”, con

lo que también ellos eligen un mínimo de

matemáticas en la universidad.

Las mujeres, en particular, pueden ir a parar

a campos poco provechosos porque hacen

todo lo posible por ahorrarse un curso de

química o de economía en los que se pida un

nivel previo de matemáticas o de estadística.

He visto demasidas mujeres brillates que

iban a parar a sociología y a demasiados

hombres mediocres que iban a económicas, y

la única diferencia era que los hombres

habían logrado aprobar por los pelos un par

de asignaturas de matemáticas en la

universidad.

Los estudiantes de la licenciatura de

matemáticas, que reciben los cursos de

fundamentos de ecuaciones diferenciales,

cálculo superior, álgebra abstracta, álgebra

lineal, topología, probabilidad y estadística,

análisis real y complejo, etcétera, tienen

muchas opciones, además de matemáticas e

informática, en una variedad creciente de

campos que emplean las matemáticas.

Incluso, en la prospectiva para empleos …

LA EDUCACION SECUNDARIA Y LA UNIVERSITARIA____________________________

90

Op cit Pp. 137 – 139

na causa del anumerismo más

común que las ilusiones

psiocológicas es lo que Sheila Tobias

llama angustia matemática. En Overcoming

Math Anxierty (Superando la angustia

matemática) describe el bloqueo que tienen

muchas personas (especialmente las

mujeres) ante las matemáticas de cualquier

tipo, incluos la aritmética. Las mismas

personas que pueden entender los matics

emocionales más sutiles de una

conversación, las tramas más entreversadas

en literatura y los aspectos más intrincados

de un asunto legal, parecen incapaces de

captar los elementos básicos de una

demostración matemática.

No parece tener ningún marco de referencia

matemático ni unos conocimientos

fundamentales sobre los que construir.

Tienen miedo. Un miedo que les han metido

los maestros autoritarios y a veces sexistas,

y otras personas que probablemente padecen

también a su vez de angustia matemática.

Los infames problemas de términos les

aterrorizan, están convencidos de que son

estupidos. Tienen la sensación de que hay

mentes bien dotadas para las matemáticas y

otras que no lo están, y que, mientras las

primeras siempre llegan enseguida a la

respuesta correcta, las otras son

irremediablemente impotentes.

No ha de sorprendernos pues que estos

sentimientos constituyan un obstáculo

formidable para el numerismo. Sin embargo,

algo se puede hacer por aquellos que lo

padecen. Una técnica muy simple y que da

unos resultados sorprendentes consiste en

explicar claramente el problema a una

tercera persona. Si el supuesto alumno

escucha esta explcación, puede pensar sobre

el problema un rato suficientemente largo

para darse cuenta de que, pensando un

poquito más, acabaría llegando a algunos

resultados. Otras posibles técnicas son: usar

números más pequeños estudiar problemas

más sencillos relacionados con el que nos

ocupa; recoger información relacionada con

el problema; recorrer el camino inverso a

partir de la solución; hacer dibujos y pintar

diagramas; comparar el problema o partes

del mismo con problemas que ya se

comprenden bien y, sobre todo, estudiar el

mayor número posible de problemas y

ejemplos, cuidando de no caer el formulismo.

El tópico de que se aprende a leeer leyendo y

a escribir escribiendop vale también para

aprender a resolver problemas matemáticos

U

LA ANGUSTIA MATEMÁTICA

LA ANGUSTIA MATEMATICA____________________________

91

(y hasta para aprender a hacer

demostraciones matemáticas).

Al escribir este libro he llegado a entender un

modo en el que yo, y probablemente los

matemáticos en general, podmos estar

contribuyendo sin querer al anumerismo. Me

resulta difícil escribir largas parrafadas sobre

cualquier cosa. Ya sea por mi formación

matemática o por mi temperamento innato,

tiendo a destilar los puntos cruciales y a no

entretenerme (quisiera decir “perder el

tiempo“) en temas o contextos colaterales, ni

en los detalles bibliográficos. El resultado de

ello es, me parece, una exposición nítida, que

sin embargo puede ser intimidatoria para

aquellas personas que preferirían un enfoque

más pausado. La solución sería que personas

con formación muy variada escribiera sobre

matemáticas. Como se ha dicho ya, las

matemáticas son demasiado importantes

para dejárselas a los matemáticos.

Otro fenómeno, distinto de la angustia

matemática y mucho más difícil de tratar, es

el letargo intelectual que afecta a un número

pequeño, aunque cada vez mayor, de

estudiantes que parecen tan faltos de

disciplina mental o de motivación que no les

entra nada.los caracteres obsesivo-

compulsivos son suceptibles de

desentumecerse y las personas que padecen

de angustia matemática pueden aprendr

modos de aquietar sus miedos, pero, ¿qué se

puede hacer con los estudiantes que no se

esfuerzan en concentrar ni una pizca de sus

energías en cuestiones intelectuales? A veces

les reconvienes. La respuesta no es “x” sino

“y”. Te haz olvidado de tener en cuenta esto

o aquello. Y la única respuesta es una mirada

vaga o un “ah, sí” sin ningún interés. Sus

problemas solo son de un orden más serio

que la angustia matemática.

LA ANGUSTIA MATEMATICA____________________________

92

BLOQUE III

NÚMEROS

RACIONALES

Política, Economía y Nacional12

Solo se puede predecir lo que ya ha

sucedido

Eugene Ionesco

Paulos, John Allen13

esultan asfixiantes esos escritos con

una sola tesis que se formula al

principio y que no hace más que

repetirse y ampliarse del modo más

previsible. Me recuerdan esas fiestas en que

un invitado, no necsariamente del sexo

masculino, nos acorrala con anécdotas

aburridas e interminables, sin querer omitir

ningún detalle ni desviarse de su consagrado

método de exposición. Por el contrario, parte

del atractivo que tienen para mi los

periódicos se basa en su heterogeneidad y en

sus aleatorias vías de acceso. Si quiero

comprobar la sección de libros, los artículos

de firma célebre, las noticias médicas o las

12 Paulos Allen John. “En Un matemático lee el periódico”, Tusquets Editores, España 2002 Pp.21 – 25 13 John Allen Paulos, Doctor en Matemáticas por la Universidad de Wisconsin. Enseña esta disciplina en la Temple University de Filadelfia

crónicas de sucesos antes de enterarme de

que el Banco Mundial ha subido los tipos de

interés, puedo hacerlo sin ningún problema.

Al fin y al cabo, el periódico es mío porque yo

lo he comprado. Pues bien, he organizado

este libro de modo semejante para que

puedan hacer lo mismo los lectores que

gustan de hechar una ojeada a las restantes

secciones antes de volver a la primera plana.

Los asuntos que trato en esta primera

sección se refieren a la economía (sobre todo

a la ridícula suposición de que su complejidad

no lineal puede predecirse con exactitud), la

guerra, las supuestas conspiraciones, el

cuento chino de las grandes inversiones, y el

poder político y sus malos usos. También

analizo el lenguaje ambiguo, la estructura

piramidal invertida de las noticias, propongo

unos cuantos detalles psicológicos de interés

y, como es natural, explico un poco de

matemáticas.

Comienzo por ciertos temas relacionados con

la toma de decisiones sociales. ¿Cómo

R

POLITICA ECONOMICA Y NACIONAL

POLITICA ECONOMICA Y NACIONAL_________________________________________

93

juzgamos las alternativas? ¿Cómo decidimos

los temas por votación? ¿Cómo repartimos

los bienes de consumo? La inevitabilidad de

tales opciones se deriva, entre otras cosas,

del hecho de que dos de nuestros ideales

políticos básicos, la libertad y la igualdad, son

incompatibles en su forma más pura. La

libertad total se traduce en desigualdad y la

igualdad dogmática conduce a la pérdida de

la libertad. Los titulares del New York Times

de hoy, EL DERECHO A LA VIVIENDA ECHA

UN PULSO A LA LIBERTAD DE EXPRESIÓN, lo

atestiguan en forma muy oportuna. El

reparto proporcional de juicios de valor entre

grupos enfrentados en otro problema clásico

que se refleja generosamente en la prensa.

ALBOROTO PÚBLICO POR LA

HURBANIZACIÓN HARRIMAN es un ejemplo

reciente.

Pede detectarse un destello de los aspectos

matemáticos en esos asuntos en el chiste de

los hermanos que discuten por un pastel de

chocolate. El hermano mayor lo quiere todo;

el menor se queja de que no es justo y dice

que el pastel debía partirse por la mitad.

Llega la madre y les impone el término

medio, da tres cuartas partes al hermano

mayor y el cuarto restante al menor. La

anécdota adquiere ecos sombríos si

identificamos al hermano mayor con Serbia,

y al menor con Bosnia y a la madre con las

potencias occidentales.

Para repartir con justicia un pastel hay un

método mejor: que un hermano parta el

pastel y el otro elija la parte que quiera. La

madre no hace ninguna falta. Esta solución

no se aplicaría ni a Bosnia ni a Nueva York,

pero si es posible que el lector, para calentar

el cerebro, antes de abordar este bloque, se

pregunte cómo podría generalizarse el

procedimiento. Imaginemos que la madre

prepar un pastel y llama a su hambrienta

prole. ¿Cómo se las apañarían sus cuatro

hijos, George, Martha, Waldo y Myrtle, para

repartirse el pastel con ecuanimidad sin su

intervención14?

14 George corta un trozo que cree equivalente a un cuarto de pastel. Si Martha estima que es la cuarta parte o menos, no toca el pedazo; pero si piensa que es más de la cuarta parte, le quita el trozo que sobra. Waldo deja en paz el pedazo, o le quita otro trozo en el caso de que piense que aún contiene más de la cuarta parte. Myrtle, por último, tiene las mismas oportunidades: reducirlo si lo ve grande o dejarlo intacto en caso contrario. El último a quien le toca el turno se queda con el pedazo. (¿Pero qué impide que cada uno corte un pedazo demasiado pequeño o demasiado grande?) Acabado el primer reparto, quedan aún tres personas para repartirse equitativamente el resto del pastel, hay que seguir el mismo procedimiento. La primera persona corta lo que considera es la tercera parte del pastel restante (y que ha de equivaler a la cuarta parte del pastel entero) y así sucesivamente. De este modo, todos estarán convencidos de que han quedado con un cuarto de pastel.

POLITICA ECONOMICA Y NACIONAL_________________________________________

94

Lani Guinier, la reina de los porcentajes15

Votaciones, poder y matemáticas

Paulos, John Allen16

ifamada como “reina de los

porcentajes” y aclamada como

“superwoman” militante, parece que

Lani Guinier ha sido más noticia por esto que

si el senado le hubiera ratificado el cargo de

ayudante del fiscal general para los derechos

civiles para el que la propuso del presidente

Clinton. A casi todos nos habría costado lo

suyo proponer el nombre de la persona que

ocupa actualmente el cargo. Yo simpatizo con

(casi todos) los objetivos de la Ley de

Derechos del Voto. Aunque me opongo

enérgicamente a los porcentajes (llámese así

o de otro modo); pero en vez de actualizar

las consecuencias del efrentamiento político,

describiré la sencilla idea matemática que

motiva algunos de los escritos de la profesora

Guinier. Se trata del índice Banzhaf de poder,

denominado así por el abogado John F.

Banzhaf que lo indujo en 1965.

15 Paulos Allen John. En “Un matemático lee el periódico”, Tusquets Editores, España 2002 Pp.26 – 30 16 John Allen Paulos, Doctor en Matemáticas por la Universidad de Wisconsin. Enseña esta disciplina en la Temple University de Filadelfia

Imaginemos una pequeña empresa con tres

accionistas. Supongamos que poseen,

respectivamente el 47, el 44 y el 9 por ciento

de las acciones, y que basta una mayoría

simple del 51 % para aprobar cualquier

medida. Me parece a mí que está claro que,

aunque uno de los tres accionistas pueda

conducir un todoterreno, los tres tienen el

mismo poder. Y es así porque bastan dos

cualesquiera para aprobar una medida.

Pensemos ahora en una empresa de cuatro

accionistas que poseen, respectivamente, el

27, el 26, el 25 y el 22 por ciento de las

acciones. Una vez más basta la mayoría

simple para aprobar cualquier medida. En

este caso, dos accionistas cualesquiera de los

tres primeros pueden aprobar una medida,

mientras que el voto del último nunca será

decisivo para ningún resultado. (cuando el 22

% del último accionista se suma al

porcentaje de cualquiera de los tres

primeros, el resultado siempre es inferior al

51 % por lo que las coaliciones decisivas no

necesitan el 22 % en cuestión) El último

accionista es un figurante, un comparsa cuyo

voto nunca hará ganar a una coalición

perdedora ni al revés. El comparsa no tiene

poder; los otros tres accionistas tienen el

mismo poder. (Por cierto, el Wall Street

Journal, que orquestó el ataque contra la

señora Guinier, debería haber tomado nota

D

LANI GUINIER, LA REINA DE LOS PORCENTAJES

Paulos, John Allen

LANI GUINIER, LA REINA DE LOS PORCENTAJES_______________________________

95

del predominio de las formas ortodoxas de

votar en el mundo económico)

Otro ejemplo, antes de la definición.

Imaginemos que los diputados de la

Asamblea Nacional del recién fundado país

del Perplejistán se organiza en cuatro grupos,

basándose en criterios étnicos: 45, 44, 7 y 4

por ciento respectivamente. De los tres

primeros grupos, dos cualesquiera podrían

formar una coalición mayoritaria, pero el

grupo menor será siempre un comparsa. Así,

que a pesar de que la reprentación del tercer

grupo es muy inferior a la de los dos

primeros y solo un poco superior a la del

último, tiene tanto poder como los dos

primeros, mientras que el último no tiene

ninguno.

El índice Banzhaf de poder de un grupo,

partido o persona, se define como la

cantidad de formas en que un grupo, partido

o persona pueda convertir en ganadora a una

coalición perdedora o viceversa. Solo he

analizado casos donde las partes que tenían

algún poder tenían el mismo, pero cabe

estudiar casos más complejos con la

definición en la mano17

17 Pensemos en una empresa o un cuerpo político con cuatro partidos, seamos románticos y llamémoslos A, B, C, y D, que poseen el 40, 35, 15 y 10 por ciento de los votos, respectivamente. Si caltalogáramos metódicamente todas las situaciones posibles (A, C, D, a favor, B en contra; B y D e a favor, A y C en contra, etcétera)veríamos que hay diez en que el voto de A es un voto bisagra (vuelve perdedora una coalición ganadora y al revés), seis en los que el voto de B y de C, y sólo dos en que es bisagra el voto de D. Así pues, el índice de poder de estos grupos es, respectivamente, 10, 6, 6 y

Ha habido muchas propuestas para

garantizar que el poder de los grupos, tal

como viene dado el índice de Banzhaf, refleje

con mayor exactitud su porcentaje de votos.

La cosa puede llegar a preocupar cuando los

intereses de una minoría son diferentes a los

de una mayoría homogénea que acapara

todo el poder en un distrito determinado.

Para este caos, la modalidad propuesta por la

señora Guinier concede a cada votante una

cantidad de votos igual a la cantidad de votos

de escaño en disputa. Con este

procedimiento, llamado de votación

acumulativa, el votante puede repartir sus

votos entre los candidatos, distribuyéndolos

o concentrándolos en uno solo. Aunque

inspirada por el deseo de fortalecer la Ley de

Derechos del Voto y facilitar la elección de los

candidatos de las minorías, esta propuesta

no tiene necesidad de recurrir a parámetros

raciales y contribuiría a que los grupos

marginales se organizaran, formaran

coaliciones y consiguieran algún poder.

Imaginemos unas elecciones municipales en

que se disputan cinco escaños y a las que se

presentan muchos candidatos. En vez de

echar mano del procedimiento habitual,

consiste en dividir el municipio en distritos

para que cada distrito elija a su

representante en la junta municipal, la

votación acumulativa da a cada votante cinco

votos que puede repartir entre los candidatos

como mejor le parezca. Un grupo de votantes

2, lo que quiere decir que el partido A es diez veces más poderoso que el partido D, y que los partidos B y C tienen idéntico poder y sólo son tres veces más poderosos que el partido D. Aquí no hay comparsas.


96

con la cohesión y el empeño necesarios

podría concentrar los cinco votos de cada

votante en el candidato cuyos intereses

reflejen los suyos. Se ha sugerido una

propuesta así en sustitución de los distritos

parlamentarios delineados racialemte para

permitir la elección de diputados de origen

africano. Un artículo aparecido en el New

York Times de abril de 1944 sugirió un modo

de reemplazar esta fea balcanización.

Carolina del Norte, sede del escurridizo

Distrito parlamentario 12, podría plantearse

en serio la división de un territorio, según el

relieve geográfico, la meseta interior de

Piedmont y el Oeste. El voto acumulativo,

podría instituirse en estas tres regiones, que

en la actualidad tienen cuatro, cinco y tres

diputados, respectivamente.

Estos remiendos y chapuzas no son tan

insólitos. En varios condados de Nueva York,

por ejemplo, hay sistemas de votación en

que los votos de los candidatos se han

calculado para que tengan mayor o menor

peso según la población y para garantizar

que ningún elegido sea de comparsa en

sentido técnico. (la modalidad habitual es

más difícil de eliminar) El reciente intento de

poner límites a los mandatos parlamentarios

es otro ejemplo, como también lo son las

eliminatorias de diversas clases, los

requisitos para la formación de mayorías

aplastantes y los llamados recuentos de

Borda, en que los votantes clasifican a los

candidatos y concedan una creciente

cantidad de puntos a los situados en los

puestos superiores. (Los partidos del cambio,

a veces enfocan trendenciosamente el asunto

diciendo que el 51 % de los votos equivale al

100 % del poder. Los enemigos nunca

proponen los sistemas parlamentarios

vigentes en Europa e Israel, que con

frecuencia permiten que el 1 % de los votos

decida la suerte de un escaño en disputa)

La votación aprobadora es otro sistema que

podría ser útil en determinadas situaciones,

en concreto, en las elecciones de los Estados

Unidos se denominan primarias, en este

caso, el votante elige, o aprueba, a tantos

candidatos como quiera. el principio de un

“ciudadano, un voto” se sustituye por el de

“un candidato, un voto”, y el candidato que

obtiene mayor número de aprobados se

declara vencedor. No se darían así esas

situaciones en que, por ejemplo, dos

candidatos liberales dividen el voto liberal y

dejan que un candidato conservador gane

con el 40 % del electorado. (¿Ve algún

inconveniente en la votación aprobadora?,

justifique su respuesta)

El senado estadounidense, donde el

desproporcionado paso de los estados menos

poblados constituye una significativa aunque

casi invisible desviación de la norma de la

mayoría pura, no es inmune a tales

anomalías. La verdad es que todos los

sistemas de votación tienen consecuencias

indeseables y líneas defectuosas (incluso hay

al respectoun teorema matemático formal qe

debemos al economista Kenneth J. Arrow) El

problema no es si somos demócratas, sino

cómo serlo, y abordarlo con mentalidad

abierta y experimental no está reñido con un

firme compromiso con la democracia. Los


97

políticos que salen ganando con un sistema

electoral concreto se envuelven, como es

lógico, en el manto de la democracia, lo

mismo hacen los presuntos reformistas. Los

escritos de Lani Guinier, las raíces

matemáticas de los cuales se remontan al

siglo XVIII, nos recuerdan que este manto

puede confeccionarse de muchos estilos

distintos, todos son retales.

Terminaré con un tema secundario sugerido

por ciertos artículos que comentaban los

recientes nombramientos para el Tribunal

Supremo. Estos artículos han especulado a

menudo con la posibilidad de que se formara

un bloque de centro capaz de imponer

decisiones de cuerpo. La verdad es que,

aunque cada juez del Tribunal Supremo tiene

el mismo poder, un grupo cohesionado de

cinco jueces podría determinar todas las

cuestiones judiciales, neutralizar a los otros

cuatro, y convertirlos en comparsas. Bastaría

con que los cinco votaran en secreto,

decidieran qué piensa la mayoría del

grupúsculo, acordaran mantener la alianza y

votaran como un bloque en el grupo mayor.

¿Se le ocurre a alguien alguna idea para que

tres de los cinco jueces controlen las

decisiones del cuerpo18?

18 Si tres de los miembros de la camarilla (una subcamilla, si se quiere decir), se reúnen de antemano en secreto, deciden por mayoría qué piensa la subcamarilla y acuerdan mantener la alianza y votar en bloque dentro de la camarilla, pueden controlar las decisiones del grupo mayor, que, a su vez, controlará las decisiones de todo mcuerpo jurídico.


98

LAS FRACCIONES: DIFERENTES

INTERPRETACIONES19

Salvador Llinares Ciscar y Ma. Victoria

Sánchez García20

LA EXISTENCIA DE DIFERENTES

INTERPRETACIONES DE LAS

FRACCIONES

a idea de fracción, o mejor aun, la

palabra “fracción” indicando un par

ordenado de números naturales

escritos de la forma ba

, es utilizado en

contextos y situaciones que muchas veces

puede parecer que no tengan nada en

común. Por ejemplo:

19 En Fracciones, Volumen 4, Salvador Lliares Ciscar y Ma. Victoria Sánchez García, Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Editorial Síntesis, Madrid, 1988; Pp. 51 – 78 20 Salvador Lliares Ciscar y Ma. Victoria Sánchez García son profesores titulares de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Didáctica de las Ciencias de la Universidad de Sevilla

a) Para indicar la relación que existe

entre la parte sombreada y un “todo”,

“tres de las cinco partes”, 53

b) Si Un litro de cerveza vale sesenta

pesetas, ¿cuánto valdrán tres

quintos?

c) En Un grupo de niños y de niñas hay

diez niñas y cinco niños. En un

momento determinado alguien dice:

“Hay la mitad de niños que de

niñas” (hay doble niñas que niños).

La expresión mitad esta empleada

en esta situación para describir una

relación entre dos partes de un

conjunto. Se ha realizado una

comparación parte-parte y como

resultado de esta comparación Se

utiliza una fracción para cuantificar

la relación.

Sin embargo Si estamos utilizando el mismo

“ente matemático” para referirnos a dichas

situaciones, es de suponer que tengan algo

en común. Desde una perspectiva escolar nos

L

LAS FRACCIONES DIFERENTES INTERPRETACIONES

LAS FRACCIONES DIFERENTES INTERPRETACIONES____________________________

99

podríamos plantear la siguiente situación: si

identificamos uno de los contextos en el que

la idea de fracción tiene sentido (Contexto

significativo) y desarrollamos el proceso de

enseñanza (concepto, relaciones,

equivalencia y orden, operaciones significado

y algoritmos) con dicha interpretación ¿cabría

esperar que los niños fueran capaces de

trasladar esa comprensión y destrezas

conseguidas a interpretaciones y contextos

diferentes?

Parece ser que la capacidad de “trasladar esa

comprensión” a situaciones distintas no es

del todo clara: es decir, puede ser que el que

el niño tenga claro el significado de una

fracción en una situación, sabiendo realizar

su representación con diagramas y de forma

numérica, así como reconocer el significado

de las diferentes operaciones en dicho

contexto y esto no implica que sepa utilizar la

misma “herramienta” en contextos distintos,

aunque también conlleven implícitamente la

idea de fracción.

Además los resultados de numerosas

investigaciones (BEHR, et al., 1983;

KERSLASKE, 1986; LESH, et al., 1983)

relativas al proceso de enseñanza-

aprendizaje de las ideas de “fracción” han

empezado a indicar que para que el niño

pueda conseguir una comprensión amplia y

operativa de todas las ideas relacionadas con

el concepto de fracción se deben plantear las

secuencias de enseñanza de tal forma que

proporcionen a los niños la adecuada

experiencia con la mayoría de sus

interpretaciones (KIEREN, 1976; DIENES,

1972).

De todas maneras el alcanzar el concepto de

fracción con todas sus relaciones conlleva un

proceso de aprendizaje a largo plazo. La

variedad de estructuras cognitivas a las que

las diferentes interpretaciones de las fraccio-

nes están conectadas condiciona este

proceso de aprendizaje. En otras palabras, al

concepto global de fracción no se llega de

una vez totalmente. Desde las primeras

experiencias de los niños con “mitades” y

“tercios” (relación parte-todo) vinculadas a la

habilidad de manejar el mecanismo de dividir

(repartir), y la habilidad de manejar la

inclusión de clases, hasta el trabajo con las

razones y la proporcionalidad de los jóvenes

adolescentes, vinculada a la habilidad de

comparar y manejar dos conjuntos de datos

al mismo tiempo, y del desarrollo del

esquema de la proporcionalidad, existe un

largo camino que recorrer.

Los profesores debemos tener en cuenta

todas estas características, es decir:

- las muchas interpretaciones, y

- el proceso de aprendizaje a largo

plazo

cuando pensemos en el desarrollo de

secuencias de enseñanza que pretendan el

aprendizaje de nociones relativas a las

fracciones. De la misma forma también existe

un largo camino desde el primer contacto

intuitivo de los niños con las fracciones

(relación parte-todo, “mitades”, “tercios”...)

hasta afianzar el conocimiento de carácter


100

algebraico asociado a las fracciones. Con el

conocimiento de carácter algebraico nos

referimos, por ejemplo, a la interpretación de

la suma de fracciones como

bdbcad

dc

ba +

=+

o que la solución de la ecuación (es decir, el

número que en el lugar de la “x” satisface la

igualdad)

53 =• X

es x = 35

, o también x = 9

156

10 = ...; es

decir, poder ver al conjunto de las fracciones

(números racionales) formando un sistema

numérico, cerrado para ciertas operaciones y

con unas propiedades determinadas.

Puede ser que alguna de las dificultades que

plantea la enseñanza-aprendizaje de las

fracciones, en alguno de sus aspectos, venga

determinada por encontrarnos tan

rápidamente con su carácter algebraico en la

secuencia cirricular. Esto es debido a que

muchas veces se empieza a trabajar con

reglas de carácter algebraicas, sin tener

previamente un trasfondo concreto

desarrollado ampliamente, en razón de La

“atracción” que puede proporcionar el

comenzar a trabajar rápidamente con

símbolos cuando nos enfrentamos a las

fracciones, por la relativa facilidad que

pueden proporcionar para resolver

situaciones.

Es decir, hay que considerar (DICKSON,

1984) el equilibrio que debe existir entre:

- el significado de las fracciones en

contextos concretos prácticos (situa-

ciones problemáticas), y

- en situaciones más abstractas-cálculo

sin contexto (carácter algebraico).

Las destrezas que se pueden conseguir en el

manejo de los símbolos relativos a las

fracciones y a las operaciones con fracciones,

no son fáciles de retener si no hemos sido

capaces de crear un esquema conceptual a

partir de situaciones concretas. La

comprensión operativa del concepto de

fracción (número racional) debe proporcionar

la fundamentación en la que se apoyen las

operaciones algebraicas que se van a

desarrollar posteriormente. Un buen trabajo

con las fracciones puede contribuir a que

estas operaciones algebraicas no se con-

viertan en algo sin sentido para los niños.

Llegados a este punto se nos presenta la

necesidad de plantear los procesos de

enseñanza-aprendizaje de las fracciones

desde todas sus perspectivas, en todas sus

interpretaciones posibles, para que un

trabajo continuado con dichas

interpretaciones ayude al niño a conseguir

una comprensión conceptual (operativa) de

La idea de fracción, sin crear “agujeros

conceptuales”.

Una vez determinada esta necesidad se

plantea la tarea de identificar las diferentes

interpretaciones, contextos, en los que

aparezca el concepto fracción: La fracción

como un megaconcepto.


101

La sección siguiente se va a centrar en la

identificación y la caracterización de los

contextos que hacen significativa la noción de

fracción (interpretaciones o subconstructos

del megaconcepto). Esta identificación de las

interpretaciones principales del número

racional ha sido realizada teniendo en cuenta

los trabajos de T. KIEREN (1916), BEHR, et

al. (1983) y DICKSON, et al. (1984).

Las diferentes interpretaciones que se van a

describir son:

a) La relación parte-todo y la medida.

a. 1. Representaciones en

contextos continuos y discretos.

a.2. Decimales.

a.3. Recta numérica.

b) Las fracciones como cociente.

b.1. División indicada.

b.2. Como elemento de un cuerpo

cociente.

c) La fracción como razón.

c. 1. Probabilidades.

c.2. Porcentajes.

d) La fracción como operador.


102

Op cit Pp. 55 - 62

e presenta esta situación cuando un

“todo” (continuo o discreto) se divide

en partes “congruentes”

(equivalentes como cantidad de superficie o

cantidad de “objetos”). La fracción indica la

relación que existe entre un número de

partes y el número total de partes (que

puede estar formado por varios “todos”).

El todo recibe el nombre de unidad. Esta

relación parte-todo depende directamente de

la habilidad de dividir Un objeto en partes o

trozos iguales. La fracción aquí es siempre

“fracción de un objeto”.

Sobre esta interpretación Se basan

generalmente las secuencias de enseñanza

cuando se introducen las fracciones

(normalmente en su representación

continua). Parece ser que tiene una

importancia capital para el desarrollo

posterior de la idea global de número

racional. El estudio de esta relación se

realizará con detalle en el capitulo siguiente.

Para una comprensión operativa de este

subconstructo Se necesita previamente el

desarrollo de algunas habilidades como:

− tener interiorizada La noción de

inclusión de clases (según La

terminología de PLAGET);

− La identificación de la unidad (que

“todo” es el que se considera como

unidad en cada caso concreto);

− La de realizar divisiones (el todo se

conserva aun cuando lo dividamos en

trozos, conservación de la cantidad),

y

− manejar la idea de área (en el caso

de las representaciones continuas).

Las representaciones de esta relación que

vamos a describir son las desarrolladas en

contextos continuos, discretos y mediante la

utilización de la recta numérica.

REPRESENTACIONES CONTINUAS

(ÁREA) Y DISCRETAS

n un contexto continuo, en el que las

representaciones más frecuentes

suelen ser diagramas circulares o

rectangulares (dos dimensiones):

a)

«De las cinco partes del todo se han

sombreado tres»;

“3 de las 5”; «3/5.»

b) o bien

S

E

LA RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA

LA RELACION PARTE TODO Y MEDIA________________________________________

103

“De las cinco partes del todo, se han

sombreado tres”,

“3 de las 5”; «3/5.»

c) Si la unidad la representamos por

entonces,

“431 es la parte sombreada, siendo

431 la

forma mixta

Si utilizáramos para los diagramas La

magnitud longitud, al dividir un segmento en

partes iguales

La fracción indica las partes que se toman en

relación al número de partes en que se ha

dividido el segmento.

En un contexto discreto se puede representar

aquí el «todo» esta formado por el conjunto

global de las cinco bolas, tres de las cuales

son negras “3/5”; indica la relación entre el

numero de bolas negras y el número total de

bolas.

Si por otra parte representamos el todo por

entonces en la situación

“2 1/3 representa la parte sombreada”.

Es interesante resaltar que si se utilizan

contextos discretos se fuerza a que el niño

amplíe su esquema de La relación parte-todo

ya que en este caso, cuando usamos un

conjunto de objetos discretos como unidades,

por ejemplo

Si queremos representar la fracción 3/5 (tres

quintos) (dividir el conjunto en cinco partes y

tomar tres) los subconjuntos que resultan

también están formados cada uno de ellos

por varios objetos (en este caso por dos)


104

en contraposición al contexto continuo en

que las partes están formadas por trozos

simples.

Lógicamente la dificultad aumenta si se toma

como unidad

y se piden los 3/5, es decir, situaciones en

las que la fracción no se puede aplicar.

En La caracterización de la relación parte-

todo se habla de “partes congruentes” lo que

no indica necesariamente partes de la misma

forma. En La figura siguiente la relación entre

las partes sombreadas y el número de partes

también se puede representar por 3/5 (tres

quintos).

La noción de “partes congruentes» es de vital

importancia para poder justificar que en la

siguiente figura

no podemos indicar por 3/5 (tres quintos) la

parte sombreada, al no estar formada por

partes congruentes. Esto es debido a que

entendemos por 3/5: “La figura tiene

sombreada los tres quintos de su superficie”.

DECIMALES

na estandarización de la relación

parte todo, junto con las

características de nuestro sistema de

numeración decimal, dan pie a la

introducción de los decimales (fracciones

decimales). Por ejemplo, utilizando la

representación continua y el modelo

rectángulo, considerando la unidad como un

rectángulo y dividiéndolo en diez partes.

Cada una de las partes es en relación al todo

(unidad) 1/10, una de las diez (una décima).

Si cada «parte» (decimal) la dividimos en

otras diez partes, obtenemos “una de diez de

una de diez”, 1/10 de 1/10 (una centesimal).

Queremos indicar con esto, que los decimales

(la notación decimal de algunas fracciones)

están vinculados a la relación más general

“parte-todo”. Así concebidas, las fracciones

como decimales forman una extensión

natural de los números naturales. (Para un

estudio más detallado del caso de los

decimales podernos consultar el tomo 5 de

esta colección, DECIMALES de JULIA

CENTENO).

U


105

LAS FRACCIONES COMO PUNTOS

SOBRE LA RECTA NUMÉRICA

n esta situación se asocia la fracción

a/b con un punto situado sobre La

recta numérica en la que cada

segmento unidad se ha dividido en b partes

(o en un múltiplo de b) congruentes de las

que se toman “a”. También se puede

considerar corno un caso particular de La

relación parte-todo.

Se destaca esta interpretación ya que aquí

implícitamente se realiza la asociación de un

punto a una fracción.

1 + 3/5 = 1 3/5

en este caso se puede pensar que La fracción

no Se asocia a una parte de una figura o aun

subconjunto de objetos, Si no que se reduce

a un número abstracto; así como el 3/5 es un

número entre el cero y el uno, el 3/2 es un

número entre el uno y el dos.

Esta representación hace que se pueda

pensar en las fracciones como números

parecidos al 1, 2, 3, 4, … y que se pueden

colocar entre ellos.

Aunque esta forma de representar las

fracciones provoca algunas dificultades a

algunos niños (8 -12 años), también presenta

algunas ventajas (DICKSON, 1984):

− hace que las fracciones impropias

(fracciones mayores que la unidad)

aparezcan de forma mucho más

natural, así como La notación como

números mixtos;

− hace hincapié en el hecho de que el

conjunto de las fracciones forma una

extensión del conjunto de los

números naturales (las fracciones

rellenan «huecos» entre los

naturales);

− tiene conexiones con la idea de

medida (uso de escalas).

Pero, como decíamos, su utilización puede

presentar algunos problemas. Los resultados

de algunas investigaciones sugieren que la

interpretación de las fracciones mediante la

recta numérica es especialmente difícil para

los niños (NOVILUS, 1977).

Uno de los problemas que se pueden plantear

es la identificación del segmento unidad

cuando la recta numérica se ha extendido

más allá del uno:

Si se les pide señalar el 3/5 los niños suelen

indicar el punto donde está el tres, sin

embargo esta dificultad no se presenta si se

les proporciona la representación siguiente:

También se plantean problemas cuando el

segmento unidad está dividido en un múltiplo

del denominador. Por ejemplo:

E


106

“Señala el 3/5”

La recta numérica sirve también como una

buena representación de la interpretación de

las fracciones como medida

Identificada una unidad de medida

(segmento), admite subdivisiones con-

gruentes. El numero de “adiciones iterativas”

de la parte resultante de la subdivisión que

«cubren» el objeto, indica la medida del

objeto (proceso de contar iterativo del

número de unidades, subunidades, que se

han utilizado en cubrir el objeto).

¿Cuánto mide esta cuerda?

3 + 1/2 = 3 1/2 = 3 + 0.5 = 3.5

Así, desde esta perspectiva más general, en

un contexto de medida, este modelo viene

caracterizado por la elección de una unidad

arbitrarla y sus subdivisiones (la unidad debe

ser invariante bajo las divisiones) (KIEREN,

1980), significando la tarea de medir, la

asignación de un numero a una «región» (en

el sentido general).

Al considerar las fracciones (numero racional)

en la interpretación de medida, Se

proporciona el contexto natural para la

“suma” (unión de dos medidas), y para la

introducción de los decimales (notación

decimal) (KIEREN, 1980).

Además, el manejo de la representación de

las fracciones a través de La recta numérica

debe ayudar al niño a “conceptuar” las

relaciones parte-todo en un contexto y

reconocer contextos equivalentes que

proceden de nuevas divisiones de la unidad.

Es decir, el manejo con La recta numérica

(contextos de media) puede ser una buena

introducción a La noción de equivalencia: la

misma parte de La unidad recibe nombres

diferentes en función del número de

divisiones.

Un adecuado recurso didáctico para

desarrollar estas ideas que relacionan las

fracciones y la noción de medida lo pueden

constituir Los Números en Color.

Este material está formado por regletas de

madera de diferentes colores y diferentes

longitudes,

on estas regletas, la pregunta ¿qué es la

regleta roja de la blanca?; tiene una

traducción en términos de medida que indica

“qué mide la regleta roja tomando la blanca

corno unidad”.

Para contestar a esta cuestión, hacemos un

“tren” de regletas blancas de la misma

longitud que la regleta roja dada, tal y como

indica La figura:

“La roja es dos veces la blanca”


107

Si la pregunta fuera ¿qué es la blanca de la

roja? (¿qué mide La regleta blanca cuando

tomamos la roja corno unidad?), entonces la

“blanca es una de las dos que cubre a la

roja”. Entonces la relación entre la blanca y

la roja es de 1/2.

b = 1/2 x r

En este caso se dice que la regleta blanca es

un medio de la roja.

Esta situación se puede generalizar. Si

consideramos como unidad la regleta

amarilla y preguntarnos: ¿qué mide la verde

clara?, entonces se puede volver a la regleta

blanca y se tiene,

“Cinco veces la blanca es una amarilla”

la regleta blanca es una de las cinco que

cubren a La amarilla; así, utilizando la misma

notación anterior

b = 1/5 x a

Luego la verde clara que esta formada por

tres blancas, será

v = 3 x b = 3/5 x a

es decir, la verde clara es los tres quintos de

la amarilla.

En general, podemos indicar que la relación

parte todo (tanto en su representación

continua como discreta), constituye el

fundamento de la interpretación de las

fracciones como medida.

(Para un estudio más detallado del problema

de la medida recurrir al tomo 17 de esta

misma colección El problema de la medida,

de Chamorro y Belmonte)


108

Op cit, Pp. 63 - 67

n esta interpretación se asocia la

fracción a La operación de dividir un

numero natural por otro (división

indicada a ÷ b = a/b). Dividir una cantidad

en un número de partes dadas. T. E. KIEREN

(1980) señala la diferencia de esta

interpretación con la anterior indicando que,

para el niño que está aprendiendo a trabajar

con las fracciones, el dividir una unidad en

cinco partes y coger tres (3/5) resulta

bastante diferente del hecho de dividir tres

unidades entre cinco personas, aunque el

resultado sea el mismo.

En esta interpretación se considera que las

fracciones tienen un doble aspecto:

a. Ver a la fracción 3/5 como una

división indicada, estableciéndose la

equivalencla entre 3/5 y 0,6 en una

acción de reparto, y

b. Considerar las fracciones (números

racionales) como los elementos de

una estructura algebraica; es decir,

como los elementos de un conjunto

numérico en el que se ha definido

una relación de equivalencia, y en el

conjunto conciente resultante unas

operaciones -suma y multiplicación-

que cumplen ciertas propiedades de

tal forma que dotan a dicho conjunto

de una estructura algebraica de

cuerpo conmutativo.

Debido a que bajo esta interpretación se

concibe a las fracciones (números racionales)

pertenecientes a un sistema algebraico

abstracto donde las relaciones entre los

elementos son de índole deductiva, esta

interpretación debe tener un carácter

globalizador y ser posterior en la secuencia

de enseñanza a las demás interpretaciones.

En las secciones siguientes vamos a intentar

desarrollar ambos aspectos de esta

interpretación.

DIVISIÓN INDICADA (REPARTO)

a interpretación de la fracción

indicando una división de dos números

naturales (3/5 = 3 ÷ 5) aparece en un

contexto de reparto:

“Tenemos tres barras de chocolate y hay que

repartirlas de forma equitativa entre cinco

niños, ¿cuánto Ie tocará a cada uno?

E

L

LAS FRACCIONES COMO COCIENTE

LAS FRACCIONES COMO COCIENTE________________________________________

109

Según los trabajos de la profesora HART

(1980) sólo la tercera parte de los niños de

doce y trece años eran capaces de darse

cuenta que dos números naturales se pueden

dividir uno por otro pudiéndose expresar el

resultado exacto mediante una fracción.

La resistencia de los niños a ver 3 ÷ 5 como

3/5 puede ser debido a que muchos de ellos

se encuentran familiarizados con la

interpretación parte-todo para las fracciones

y por tanto ven los 3/5 como la descripción

de una situación (de cinco partes hay tres

sombreadas), mientras que por otra parte, la

división indica un proceso, precisamente eI

proceso de repartir 3 pasteles entre cinco

niños.

No hay que olvidar tampoco que muchos

niños (incluso en el Ciclo Superior), debido al

manejo de los números naturales, dicen que

la división 3 ÷ 5 no se puede realizar cuando

se les presenta de forma aritmética.

Sin embargo, a pesar de esto, existen

opiniones (STREEFLAND, 1984) que centran

el desarrollo de las secuencias de enseñanza

de las fracciones alrededor de esta

interpretación, indicando que la dificultad que

presenta la enseñanza de las fracciones en la

escuela, consiste en que se tiende

rápidamente a centrarse en un tratamiento

formal y algorítmico de estas ideas.

La alternativa consistiría en buscar

situaciones de la vida real, diaria de reparto y

de medida que conllevarán al trabajo con las

fracciones y, apoyados en el conocimiento

informal que sobre éstas llevan los niños

cuando entran en La escuela, potenciar a

través de estas situaciones la “construcción”

del concepto, las operaciones y las relaciones

en las fracciones por los propios niños.

L. STREEFLAND al destacar esta

interpretación (situaciones de reparto medida

en las que están implicadas las fracciones)

marca la diferencia con otras aproximaciones

indicando que ante la situación

“En un restaurante, hay que repartir tres

pizzas entre cinco niños ¿cuánto corresponde

a cada uno?

el resultado 3/5 aparece a partir de un

proceso de diferenciar, dividir, abreviar,

representar, simbolizar,... indicando mucho

más que la simple representación del

diagrama.

Además, la secuencia que se deriva de

plantear la situación anterior, se apoya en los

procesos de verbalización que realizan los

niños de los pasos realizados.


110

De forma esquemática los principios de

enseñanza de las fracciones defendidos por

este autor con esta aproximación son (L.

STREEFLAND, 1984):

Lo que es importante es la

«construcción» de las operaciones

con las fracciones por los propios

niños;

− construcción basada en la

propia actividad de los niños:

estimación, desarrollo de

cierto sentido del orden y

tamaño...;

− La valoración del trabajo de

los niños, sus métodos y

procedimientos, aunque

difieran de las

aproximaciones formales;

− el énfasis se traslada a la

verbalización de los niños,

verbalización del

conocimiento adquirido, ser

capaz de formular una regla,

comprender el poder de las

generalizaciones...;

− Se utiliza el conocimiento

informal de los niños como

bases para empezar la

secuencia de enseñanza

(ideas relativas a mitades,

tercios,... los procesos

básicos de dividir,

repartir,...).

Desarrollo de situaciones de comprar

y ordenar en las que los niños

construyan procedimientos de

solución mediante procesos de

dividir, ordenar, medir, componer,...

Utilización de modelos de apoyo

(regiones o segmentos, recta numéri-

ca, tablas de razones,...) y

situaciones problemáticas

(situaciones de la vida diaria) que

sirvan de “puente” (conexión) entre

las situaciones problemáticas en

diferentes contextos y el trabajo

numérico.

Bajo esta perspectiva el significado de

fracción y las operaciones están conectados

de tal: forma que se desarrollan al mismo

tiempo.

Defiende la idea de que son los niños que

tienen que “construir” y no los profesores.

Sin embargo al desarrollo de las secuencias

de enseñanza con la interpretación de la idea

de cociente (reparto) se le puede plantear

algunas matizaciones según se utilicen en

contextos discretos o continuos (área,

longitud) (BEHR et a!., 1983).

Dado un contexto discreto:

“Repartir veinte cartas entre cinco buzones”

o contexto continuo:

“tenemos una cinta de 22 cm. Hay que

repartirla entre 4 niños ¿cuánto le toca a

cada uno?

los niños realizan considerablemente mejor

las tareas de reparto en contextos discretos


111

que en contextos continuos. Se ha señalado

la explicación de que en el caso continuo los

niños necesitan un “esquema anticipatorio

bien desarrollado, es decir, “plan de acción”

previo a la realización de la tarea, mientras

que en el caso discreto se puede realizar

mediante procedimientos directos. Entonces

como señala M. BEHR et al. (1983):

Debido a que las

estrategias empleadas por

los niños para las tareas

con cantidades discretas

son tan diferentes a las

empleadas en tareas con

cantidades continuas, se

puede asumir que la

estructura cognitiva

implicada en resolver una u

otra tarea son diferentes.

Ante los dos ejemplos anteriores, en el

contexto discreto, el proceso de solución se

puede realizar simplemente empezando a

repartir las cartas (proceso directo). El

resultado de cuatro cartas por buzón puede

ser visto por los 4/5 del estado unidad

descrito por las veinte cartas del principio.

En el contexto continuo no existe ese proceso

tan directo. Un procedimiento de estimación

o de tanteo, o una operación aritmética

pueden ser necesarios para acercarnos a La

solución.

Sin embargo la necesidad de un “plan de

actuación” previo para realizar la tarea, que

aumenta la dificultad de realización por parte

del niño, no sólo esta vinculada al contexto

continuo o discreto de la tarea a realizar sino

también al tipo de tarea de que Se trate.

Como veremos en el próximo capítulo,

cuando la tarea no es de “división-reparto”

sino de ordenación de fracciones, parece ser,

según señala el profesor T. R. POST (1985)

que es el contexto discreto el que parece

exigir la existencia de un “esquema

anticipatorio (plan) para realizar con éxito la

tarea”

Atendiendo a esto, no se puede generalizar la

dificultad que presenta un tipo de contexto

(discreto o continuo) frente a otro sin

vincularlo de antemano a un tipo de tarea.

De todas maneras, en esta interpretación de

“división-reparto”, la principal habilidad que

se refleja es la de dividir un objeto u objetos

en un número de partes iguales.

Retomando el ejemplo del principio de esta

sección:

“Repartir tres barras de chocolate entre cinco

niños de forma equitativa”

los procesos de solución (división-reparto) y

las simbolizaciones representaciones de estos

procesos que se pueden acometer aquí se

convierten en el trabajo previo

(preactividades) a la resolución de

ecuaciones. En este caso:

5 • x = 3

siendo “x” la cantidad de barra de chocolate

que le corresponderla a cada niño. Es decir,

este tipo de actividades se pueden convertir

en los pilares sobre los que se fundamenten


112

el trabajo con los números racionales como

precursor del álgebra.

Para finalizar, podemos considerar que, en

esta interpretación de las fracciones como

cociente y en las situaciones de división-

reparto en las que una cantidad se divide en

un número de partes dadas, se pueden

distinguir dos aspectos:

a) Cuando nos proporcionan la

cantidad y el número de partes en

las que hay que dividirlo y nos

piden lo que vale cada parte

(reparto).

“Tres pizzas entre cinco niños”

b) Cuando nos proporcionan la

cantidad y lo que vale cada parte

y nos piden el número de partes

(medida).

“Tenernos tres pizzas y a cada niño le ha

correspondido los 3/5 de una pizza. ¿A

cuántos niños hemos podido dar pizza?”

LAS FRACCIONES COMO ELEMENTOS

DE UNA ESTRUCTURA ALGEBRAICA

omo hemos indicado, las actividades

en situaciones de reparto-medida

constituyen el sustrato sobre el que

se construye la interpretación de las

fracciones como elementos de un cuerpo

conmutativo (estructura algebraica). Se

conciben las fracciones (números racionales)

como elementos de La forma a/b, siendo a y

b naturales (para Q +) (b ≠ 0) que

representan la solución de la ecuación

b • x = a

(Para un desarrollo detallado de las

relaciones, y propiedades que se dan en el

conjunto Q, se puede recurrir a cualquier

libro de Álgebra Elemental).

De forma clara “esta interpretación de las

fracciones (números racionales) como

elementos de un cuerpo (estructura

algebraica) no esta estrechamente vinculada

al pensamiento natural del niño al

desarrollarse de forma deductiva las

operaciones y propiedades” (KIEREN, 1975).

C


113

Op cit Pp. 67 - 72

n las secciones anteriores Se han

caracterizado las fracciones en situa-

ciones de comparación parte-todo,

pero algunas veces las fracciones son usadas

como un “índice comparativo” entre dos

cantidades de una magnitud (comparación de

situaciones). Así nos encontramos con el uso

de las fracciones como razones. En este caso

no existe de forma natural una unidad (un

“todo”) como podía ocurrir en los otros casos

(podíamos entender esto como que la

comparación puede ser bidireccional)

En esta situación, la idea de par ordenado de

números naturales toma nueva fuerza. En

este caso normalmente la relación parte-

parte (o La relación parte-todo) se describe

con a ÷ b.

Algunos ejemplos en diferentes contextos

pueden ayudarnos a clarificar esta

interpretación (subconstructo) de las

fracciones:

a)

La relación entre los puntos de A y de B es de

3/5: (3 ÷ 5).

La relación entre los puntos de B y de A es de

5/3): (5 ÷ 3).

b)

La altura del muñeco A es 3/5 de La de B: (3

÷ 5).

La altura del muñeco B es 5/3 de la del A: (5

÷ 3).

c) Las escalas en los dibujos de mapas,

planos,

d)

E

LA FRACCIÓN COMO RAZÓN

LA FRACCION COMO RAZON_______________________________________________

114

A es los 3/5 de B: (3 ÷ 5)

B es los 5/3 de A: (5 ÷ 3)

e) Las recetas de comidas, las mezclas de

líquidos, las aleaciones,...

Las comparaciones realizadas en los ejemplos

anteriores describen una relación “conjunto a

conjunto” (todo-todo), aunque las fracciones

como razones también aparecen cuando se

describen comparaciones “parte-parte”.

EJEMPLO 1

la relación (razón) entre bolas negras y

blancas es de tres quintos (3/5).

EJEMPLO 2.

La relación de niños y niñas en este grupo es

de tres quintos (3/5).

EJEMPLO 3

La razón entre los círculos y los cuadrados es

de tres quintos (3/5), (3 ÷ 5).

Algunos autores utilizan contextos cotidianos

para dotar de significado a la idea de razón.

El particular, L. STREEFLAND (1984) utiliza la

“situación del restaurante” para

contextualizar (dotar de contexto como un

modelo de comprensión) la proporcionalidad

(igual de razones) cuando se interpretan las

fracciones como razones.

“En un restaurante donde existen mesas de

diferentes tamaños y en los que se colocan

cantidades diferentes de bocadillos los niños

se distribuyen por mesas”

Se pretende que los niños a través del

trabajo en esta situación se den cuenta de la

equivalencia de situaciones (en relación al

número de bocadillos que le corresponde a

cada niño), además de iniciar una

esquematización progresiva de esta relación.

Evidentemente podemos mantener la

estructura de estas situaciones variando el

contexto. Se puede aplicar a la relación entre

cantidades de puntos conseguidos por un

equipo de niños y el número de niños de

cada equipo. Se determina la relación niños

÷ puntos.

Realmente la operación que estamos

realizando (establecer una relación) se puede

representar mediante una aplicación que

asocie cada grupo de tres bocadillos con un

grupo de cuatro niños, según indica DIENES (

1972).


115

Otro contexto “natural” para esta

interpretación de las fracciones como razones

lo podemos encontrar en la relación entre

cantidades de una magnitud (o de

magnitudes diferentes) (contextos

particulares, mezclas, aleaciones...).

Si denominamos por Ml y M2 a las

magnitudes y por a1 a las cantidades de Ml y

b1 a las cantidades de M2

La relación entre las cantidades de Ml y M2

(a1 ÷ b1) puede no tener dimensión (cuando

Ml y M2 son la misma magnitud) o puede

tener dimensión, lo que ocasiona que

aparezca otra magnitud. Un ejemplo lo

tenemos al comparar longitudes, como en el

caso de la altura de los muñecos, ejemplo b)

anterior, en donde la relación que aparece es

sin dimensión, y otro caso aparece cuando

compramos longitudes (metros) con tiempo

(segundos) para hablar de velocidades

(metros/segundos).

Este camino conduce a situaciones en las que

se tienen que comparar razones,

Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5

minutos. Un coche B recorre un trayecto de 4

km en 6 minutos. ¿Que coche lleva una

velocidad mayor?

Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas.

Otro niño compra 4 caramelos par 6 pesetas

¿quién ha comprado los caramelos más

baratos?

o a buscar valores adicionales a las razones

que se pueden construir (problemas de regla

de tres),

Un coche A recorre un trayecto de 3 km en 5

minutos ¿Cuanto tardará en recorrer un

trayecto de 4 km?

Un niño compra 3 caramelos por 5 pesetas.

¿Cuánto pagará par 4 caramelos?

que constituyen un marco natural para las

proporciones (igualdad de razones-

equivalencia de fracciones) con esta

interpretación.

(Para un estudio más detallado de las

razones y las proporciones, recurrir al tomo

20 de esta colección PROPORCIONALIDAD de

MA. LUISA FIOL y J. M. FORTUNY)

Otras interpretaciones de las fracciones como

razón aparecen asociadas a otros contextos

corno son la representación de la

probabilidad y los porcentajes.

Mostramos a continuación algunos ejemplos

de estos aspectos.

LA PROBABILIDAD

e todos es conocida la dificultad que

presenta el estudio de las probabi-

lidades en los niveles superiores,

desconectada de cualquier otro tópico de La

enseñanza primarla. La utilización de las

fracciones en este contexto se le da un

D


116

carácter de cálculo (aritmético) sin pensar

que La estructura cognitiva subyacente a las

relaciones implícitas en contextos de

probabilidad está vinculada a la red de

relaciones establecida para los números

racionales.

Podernos considerar algunos ejemplos de su

utilización, en los que se establece una

“comparación” todo-todo entre el conjunto de

casos favorables y el conjunto de casos

posibles, como en:

En una bolsa hay tres bolas negras y dos

blancas sacamos aleatoriamente una bola.

¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?

Al lanzar un dado cuál es la probabilidad de

obtener un Seis

PORCENTAJES

a relación de proporcionalidad que se

establece entre un número y 100 (ó

1000) recibe el nombre particular de

porcentaje. Por regla general los porcentajes

tienen asignado un aspecto de “operador”, es

decir, al interpretar “el 60 % de 35” se

concibe “actuando La fracción 60/100 sobre

35” (hacer 100 partes de 35 y coger 60). (La

interpretación de las fracciones como

operador será descrita en la sección

siguiente.)

Utilizando el lenguaje de aplicaciones, los

porcentajes se puede entender como el

establecimiento de “relaciones” entre

conjuntos (razones), estableciéndose

subconjuntos de cien partes. Por ejemplo

cuando se establecen las rebajas del 15 %,

estamos estableciendo una relación “de 15 es

a 100” que para una cantidad de 300 pesetas

vendría representado por:

entonces existe la “misma relación”

(definiendo La “relación” en el sentido de la

aplicación biunívoca entre subconjuntos)

entre “15 es a 100” como en “45 es a 300”.

De todas formas la diferencia entre estas dos

interpretaciones de las fracciones como

razones (probabilidad y porcentajes) y la

relación parte-todo descrita en la primera

sección de este capitulo puede resultar

bastante sutil.

L


117

Op cit P. 72 - 74

ajo esta interpretación las fracciones

son vistas en el panel de

transformaciones: “algo que actúa

sobre una situación (estado) y la modifica)”.

Se concibe aquí la fracción como una

sucesión de multiplicaciones y divisiones, o a

la inversa.

Por ejemplo Si en un contexto discreto

tomarnos como una situación de partida

(estado-unidad) el conjunto formado por los

36 niños de una clase, el efecto de la

aplicación del operador 2/3 (dos tercios) se

puede representar por,

ESTADO

UNIDAD

(SITUACIÓN)

OPERADOR ESTADO

FINAL

36 niños

Dividir por 3

Multiplicar

por 2

24 niños

al estado final “24 niños” también recibe el

nombre de estado “dos tercios” como La

descripción de un estado de cosas.

En un contexto continuo, por ejemplo cuando

actúa la fracción 2/3 considerada como

operador sobre un segmento de longitud

dada, se obtiene otro segmento de longitud

2/3 del original.

De nuevo hay que insistir en que el operador

lleva implícito un convenio: primero actúa la

división y luego la multiplicación,

identificándose así con la interpretación

parte-todo. También se puede invertir el

convenio y actuar siempre la multiplicación

en primer lugar y luego la división.

Hay que observar que, bajo esta

interpretación, las fracciones se utilizan en un

doble aspecto:

a) describiendo una orden, una

acción a realizar (operador), y

b) describiendo un estado de cosas,

es decir, describiendo una situación.

En el ejemplo anterior utilizando el contexto

discreto se mostraban los dos aspectos de la

utilización de las fracciones bajo esta

interpretación.

De forma esquemática, Si representamos el

estado unidad por uno, el resultado de

aplicarle el operador “dos tercios” nos

proporciona el estado final 2/3.

ESTADO OPERADOR ESTADO

1 x(2/3) 2/3

B

LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES

LAS FRACCIONES Y LOS OPERADORES______________________________________

118

Este doble aspecto de las fracciones en esta

interpretación predetermina un poco el

estudio que se pueda realizar. En este caso,

por ejemplo, podemos establecer de dos

formas la equivalencia de fracciones:

i) Equivalencia de operadores.

Operadores fraccionarios

diferentes, que al actuar sobre el

mismo estado-inicial dan el

mismo estado final


12

12

12

x(2/3

x(4/6)

x(8/12)

8

8

8

ii) Equivalencia de estados. Un

mismo operador que al actuar

sobre estados unidad diferentes

produce La misma

transformación (comparando el

estado inicial y final en el sentido

descrito en la sección anterior

sobre la “razón”), lo que nos

introduce de forma natural a la

noción de proporción.


12

15

24

x(2/3

x(4/6)

x(8/12)

8

10

16

La relación entre el estado inicial y el estado

final siempre es “dos a tres”. Esta

interpretación enfatiza el papel de las

fracciones (números racionales) como

elementos del álgebra de funciones

(transformaciones) al mismo tiempo que

conduce a la idea de que los números

racionales forman un grupo (estructura

algebraica) con la multiplicación.

Encontramos así un contexto natural para la

composición de transformaciones (funciones,

operador), La idea de inversa (el operador

que reconstruye el estado inicial), la idea de

identidad (el operador que no modifica el

estado inicial).

Este aspecto de las fracciones ha sido tratado

con detalle por Z. P. DIENES al desarrollar

una aproximación estructuralista en la

enseñanza de las Matemáticas (en la

aproximación estructuralista la actividad del

niño Se dirige hada la construcción de

estructuras matemáticas formales). En pala-

bras del propio Z. P. DIENES (1972, pág.

111):

Se observará que todas estas diferentes

facetas del estudio de las fracciones (razón,

porcentajes, decimales, etcétera) pueden ser

comprendidas dentro de un esquema de la

estructura operacional de las matemáticas si

consideramos una fracción como la sucesión

de una partición y una operación de

multiplicar...

Como resultado de este método de

tratamiento, deberá también constatarse que

el estudio de las fracciones forma parte de un

estudio mucho más amplio y general sobre

los estados y los operadores. Esta

constatación se confirmará cuando se aborde

el estudio de la geometría, donde las


119

transformaciones son los operadores y las

distintas posiciones de las figuras los estados

y en el campo del álgebra donde los vectores

serán los estados y las matrices los

operadores, etcétera pág. 112).


120

Op cit Pp. 75 - 78

RELACIONES ENTRE LAS DISTINTAS

INTERPRETACIONES

n las secciones previas hemos

descrito las diferentes

interpretaciones que se pueden

asociar a la idea de fracción,

caracterizándolas en sus rasgos más

relevantes.

Debido a las diversas perspectivas con las

que se puede concebir el concepto fracción,

algunos autores lo consideran un

megaconcepto (refiriéndose al numero

racional como sintetizador de todas las

interpretaciones descritas) constituido

(construido) por diferentes subconceptos (lo

que nosotros hemos denominado

interpretaciones).

Los rasgos generales de cada interpretación

señalados en las secciones anteriores

muestran que el ser “hábil” en dichas

interpretaciones conlleva el dominio de

diferentes estructuras cognitivas entendidas

como esquemas de pensamiento subyacente

a las acciones necesarias para desarrollar

tareas que implican la idea de número

racional en cualquiera de sus interpretaciones

que se dan en el niño en diversas épocas de

su desarrollo, lo que condiciona las

secuencias de enseñanza en un momento

determinado.

Además, desde una perspectiva de

enseñanza no es posible aislar por completo

cada una de las interpretaciones de las

demás. Algunas de ellas tienen vinculaciones

“naturales” que no se pueden ignorar, y

hacen que al tratar un determinado aspecto

del número racional, implícitamente están

presentes otros aspectos.

Estas relaciones han sido conceptualizadas

para la enseñanza a través del siguiente

esquema (BEHR, M. J. et al., 1983, pág.

100).

los autores indican mediante flechas

continuas las relaciones establecidas y

mediante flechas discontinuas las relaciones

que se conjeturan.

Las recientes investigaciones sobre el

aprendizaje de los conceptos relativos a las

E

UNA VISIÓN GLOBAL DE LAS FRACCIONES

UNA VISION GLOBAL DE LAS FRACCIONES___________________________________

121

fracciones han señalado algunas de estas

dependencias, así como la aproximación de

unas interpretaciones a otras cuando nos

introducirnos en contextos “más abstractos”

Por ejemplo, cuando se utiliza La relación

parte-todo en contextos discretos, las

situaciones numéricas puede conducirnos a la

idea de operador o de porcentaje (razón).

“3/5 de 20” puede ser interpretado como una

fracción actuando sobre un número

(operador), es decir, una acción más que la

descripción de una situación; o cuando

empleamos para describir esta situación el

lenguaje de porcentajes “60 % de 20”, el 60

por ciento de veinte, estamos comunicando

que existe La misma “relación”: (en el

sentido de razón) “tres de cinco” que en

“sesenta de cien”.

Por otra parte, en la sección Las fracciones

y los operadores, de este mismo capítulo se

mostraba la relación existente entre la

interpretación de la fracción como operador o

como razón, cuando se describía la

equivalencia de estados.

Además, como señala el propio Z. P. DIENES,

la conexión entre la interpretación de la

fracción como operador y la idea de medida

se encuentra en un contexto natural en la

realización de mapas y planos (la utilización

de escalas).

Para intentar clarificar estas últimas

relaciones podríamos indicar que las

“paredes” que pueden separar las distintas

interpretaciones del número racional se van

haciendo más “finas” según subimos por el

edificio matemático, hasta que llega un

momento que en “contextos abstractos”

(trabajo algebraico con números y

ecuaciones) pasamos de una interpretación a

otra sin impedimentos “conceptuales”. El

poder de generalización y síntesis de las

Matemáticas se muestra para ayudarnos a

desenvolvernos con facilidad.

Con todas las caracterizaciones anteriores,

hemos pretendido mostrar que el concepto

“fracción” (número racional) es muy

complejo; formado por diversas

interpretaciones e interrelaciones entre ellas;

por eso, no podernos más que hacernos eco

de La sugerencia de SUYDAM (1979) que,

después de haber hecho una revisión de los

proyectos de investigación desarrollados

hasta 1979, en relación a la enseñanza de las

ideas relacionadas con el número racional

señala que conviene:

− considerar objetivos a largo y corto

plazo en relación a cada una de las

interpretaciones;

− seleccionar las interpretaciones

apropiadas para desarrollar esos

objetivos, teniendo en cuenta las

estructuras cognitivas necesarias;

− proporcionar secuencias de

enseñanza (actividades) que

contribuyan al crecimiento de estas

estructuras.


De todas formas, y como habíamos señalado

al principio de esta sección, manejar las

diferentes interpretaciones viene vinculado al

dominio (posesión) de determinadas

estructuras cognitivas (lo que condiciona el

momento de “ver” en la escuela estas

interpretaciones). De forma esquemática,

tenemos:

La necesidad de que el niño desarrolle la

comprensión del numero racional en todas

sus interpretaciones, así como plantear las

relaciones entre estas interpretaciones

diferentes ya ha sido defendida por algunos

educadores matemáticos, como hemos

señalado en el primer capitulo (véase la

opinión de KIEREN, DIENES,...).

El estudio pormenorizado, las

caracterizaciones y las implicaciones en el

proceso de enseñanza de algunas

interpretaciones, en particular decimales,

medida, razón, operador, se sale fuera de

este libro y ya ha sido estudiado por otros

autores.

PAPEL DESTACADO DE LA RELACIÓN

PARTE-TODO

hora bien, parece ser que la

interpretación parte-todo, tanto en

contextos continuos como discretos

(caracterizado en la sección (La relación

parte-todo y medida) constituye la piedra

angular sobre la que se van a desarrollar

algunas de las restantes interpretaciones, tal

y como se indica en el diagrama anterior.

Esta “naturalidad” del concepto parte-todo se

ve reflejada en la gran atención que

normalmente recibe en el desarrollo de las

matemáticas escolares.

Además, existen opiniones (ELLERBRUCH,

PAYNE, 1978) que defienden la idea de que

para realizar la introducción al concepto de

fracción se debe usar una interpretación

simple (contexto de área, continuo),

indicando que la relación parte-todo es la que

constituye la interpretación mas natural para

los niños (además de constituir un buen

modelo para dotar de significado a la suma

de fracciones).

Sin embargo estas introducciones unívocas

tienen que ser completadas a lo largo de la

enseñanza con otras interpretaciones del

concepto de fracción para intentar evitar las

posibles limitaciones conceptuales que se

podrían derivar. Una excesiva asociación de

la idea de fracción a la interpretación parte-

todo (contexto continuo) podrían plantear

dificultades ante cuestiones como la siguiente

(HART, 1981):

A


123

“María y Juan tienen dinero en el bolsillo.

María gasta ¼ del suyo y Juan ½ ¿Es posible

que maría haya gastado más que Juan?

De todas formas no hay que olvidar que las

nociones matemáticas no se desarrollan

todas de una vez y al mismo nivel de

“manejabilidad” (operatividad), tanto porque

hay que aceptar que los niños puedan

desarrollar una noción de fracción vinculada a

la relación parte-todo en un momento de la

enseñanza, y al ampliar el concepto de

fracción a otros ámbitos (a otras

interpretaciones) esta noción primitiva de

reconceptualizará (readaptará)

modificándose.

De esta forma concebimos el “paso” de las

diferentes interpretaciones de la idea de

fracción por la secuencia de enseñanza,

permitiéndose que al final la construcción del

concepto d número racional tenga como

subconceptos las diferentes interpretaciones

que ha ido adaptando a los largo de su

formación (aplicabilidad a diferentes

interpretaciones).

Vamos a desarrollar la relación parte-todo en

los próximos capítulos, intentando trasladar

las consecuencias del análisis teórico de la

relación a situaciones de clase.

De forma aleatoria se establecerán

conexiones con las otras interpretaciones de

tal forma que se puedan empezar a delinear

la futura “tela de araña” de relaciones que

constituye las ideas relativas al número

racional.


124

BLOQUE IV

RAZONES Y

PROPORCIONES

¿Que es el tiempo? Si me lo preguntáis lo se;

si lo quiero explicar, no lo sé.

(San Agustín)

Salvador Llinares Ciscar y Ma. Victoria

Sánchez García21

¿POR QUÉ ENSEÑAR LA

PROPORCIONALIDAD?

esde la didáctica de las

matemáticas hay dos preguntas

básicas que se nos plantean cada

vez de forma más acuciante:

1. ¿Qué procedimientos espontáneos

utilizamos para matematizar?

2. ¿Cómo hacer matemáticas de forma

que sea un lenguaje semántico, o sea

que digan algo, que nos dé

información sobre el mundo que nos

rodea?

21 Salvador Lliares Ciscar y Ma. Victoria Sánchez García son profesores titulares de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Didáctica de las Ciencias de la Universidad de Sevilla

Son preguntas que sirven como marco de

reflexión.

La primera incide en los métodos que de

forma espontánea, natural, utiliza el niño y

utilizamos muchas veces nosotros para

resolver problemas.

La segunda quiere hacernos reflexionar sobre

las matemáticas como un lenguaje. Pero,

debemos ser prudentes puesto que esta

expresión se ha interpretado muchas veces

de forma errónea.

Hemos vivido, mejor dicho padecido tantas

veces las Matemáticas como un juego de

lenguaje sintáctico y vacío de sentido o sea

que “no interesa sobre que habla”, sólo

atenta a sus propias leyes de estructura

interna que cuesta hacer otro tipo de lectura

de la palabra lenguaje. Sin embargo, nos

referimos aquí a las matemáticas como un

lenguaje en el más elemental y cotidiano

sentido de la palabra: un lenguaje que dice

algo, que nos dice algo, que es transmisor de

ideas, imágenes, etcétera, en fin, a un

lenguaje de relación a un lenguaje

semántico.

D

ASPECTOS DIDACTICOS

ASPECTOS DIDACTICOS__________________________________________________

125

Tomando como referencia estas reflexiones,

podemos justificar la importancia de la

Proporcionalidad en la enseñanza por las

siguientes razones:

1. Desde la Enseñanza de las

Matemáticas y desde finales de la primaria y

en todo el periodo de Secundaria, se puede

considerar que el tema de la proporcionalidad

es núcleo a partir del cual se unifican las

líneas básicas de nociones como:

− Razón y proporción.

− Fracción y número racional.

− Numero decimal y problema de la

medida,

− Cambio de unidades, cambio de

escalas.

− Problemas de repartos

proporcionales.

− Problemas “clásicos” de regla de tres.

− Probabilidad.

− Graficas de funciones lineales.

− Teorema de Thales.

− Semejanza de figuras.

− Problemas de mezclas y aleaciones.

− Escalas, mapas y maquetas.

− Funciones trigonométricas.

− El numero �.

2. En las Ciencias y la Técnica la

proporcionalidad es uno de los instrumentos

más importantes. Nos encontramos con que

frecuentemente muchos de los conceptos de

Física y Química son en realidad nombres

dados a relaciones de proporcionalidad, como

por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la

densidad, la presión, las concentraciones, las

dilataciones... o la formulación de leyes como

la ley de Ohm, la ley de Hooke o la ley de

Proust.

Incluso es la idea de proporcionalidad entre

magnitudes la que da lugar a buena parte de

los instrumentos de medida utilizado en estas

Ciencias.

3. Además el concepto de

proporcionalidad aparece incluso a finales de

Primaria en el curriculum de Ciencias Sociales

bajo distintas formas: densidad de población,

tasa de natalidad, así como en la lectura de

mapas y de diversos tipos de gráficos.

4. Pero la proporcionalidad no es

importante solo desde el punto de vista de

las Ciencias, sino que también tiene una

importancia fundamental desde el punto de

vista del desarrollo de la inteligencia. Así la

epistemología genética la considera uno de

los esquemas operativos fundamentales del

estadlo de las operaciones formales (Inhelder

y Piaget, 1955).

5. Aparte de estas consideraciones, hay

un hecho evidente: el niño ya desde los

primeros años de su vida, para moverse en

su entorno físico, utiliza la noción de

proporcionalidad, así en: estimar el tamaño

real del objeto que está lejos o en interpretar

imágenes tan cotidianas como dibujos, fotos,

cine, posters, carteles, etc. Y esto no solo a

nivel cualitativo, sino que también y muy

pronto aparecen intentos de cuantificación.

He aquí unas anécdotas sobre esta cuestión:

Freudenthal (1983) cuenta conversaciones

con su nieto.


126

En uno de sus paseos el pequeño (5 años)

señala unas nubes y dice que son de lluvia.

Freudenthal le dice que no, que las nubes

que ve están muy altas y que las nubes de

lluvia están mis bajas (dando una altura

aproximada). El niño, que entiende la

respuesta, hace con las manos una

reproducción de la situación a escala.

Años después y durante otro paseo el niño (7

anos y medio) pregunta por la altura de una

torre. Al principio intenta dar el mismo una

respuesta a la pregunta y estima que la

altura de la torre es de 100 metros.

Freudenthal le dice que no, que ni la torre de

la catedral tiene esa altura y para ayudar en

el círculo se sitúa el al pie de la torre pegado

a la pared. Pero este método sugerido, por

comparación directa, no va bien al niño.

Finalmente, y después de una pequeña

conversación en que se sugiere la utilización

de un palo, el pequeño es capaz de plantear

el problema (Fig. 6.1) Apoyando el palo

sobre un muro bajo y calculando la distancia

en pasos del muro a la torre se contesta a la

pregunta: 40 m aproximadamente.

Otra situación familiar: un domingo por la

mañana la madre se encuentra en casa con

dos de sus hijos. Kepa (7 años) mide a su

hermana pequeña. Ha hecho que se ponga

en el suelo la mide con los pies y dice: “6

pies y medio de Kepa”.

Fig. 6.1

Más tarde en la terraza juegan y toman el

sol. De repente Kepa que está mirando la

calle dice: “La calle es un pulgar (siguiente

figura) y luego insiste: “... es un pulgar... y

la ventana una uña y aquella ventana una

uña del dedo meñique...”

Fig 6.2

Van den Brink y Streefland (1979) cuentan

la conversación de un niño llamado Coen

también de 7 años con su padre. Están en la

habitación del pequeño mirando unas repro-

ducciones de barcos. Coen pregunta por las

dimensiones de la hélice y el padre Ie

contesta: “no cabria aquí dentro”. Entonces

Coen muy contento dice: ¡Si! En un libro que

he visto en el colegio hay una foto de una

hélice (señala con los dedos unos 3 cm) y al

lado se ve un hombre pequeño así (1 cm)”

Figura 6.2

Pero continuando con Frendenthal (1983)

éste afirmaba que “El niño adquiere muy

pronto la capacidad de identificar:


127

Objetos o

signos de la

misma forma

que se

diferencian

por

sus

dimensiones.

W w

El mismo

objeto a

distancias

diferentes.

Un objeto de

su imagen a

cualquier

escala.

Dos

imágenes del

mismo

objeto a

escalas

diferentes.

Este es, por tanto, un concepto utilizado en

nuestro entorno cotidiano, pero que presenta

muchas dificultades a nivel de aplicación y

formulación como han comprobado diversos

investigadores, como por ejemplo: Piaget y

otros (1968), Limmat (1974), Karplus y otros

(1977), Wollman and Lawson (1978),

Vergnaud (1983), Hart (1984), etcétera, y

seguramente la mayoría de nosotros en

nuestro trabajo en la escuela y en general en

nuestro entorno.

PROPUESTA DIDÁCTICA PARA

TRABAJAR LA PROPORCIONALIDAD

sta propuesta fue diseñada y

ampliamente experimentada por un

grupo de profesores formado por los

propios autores y los maestros: Adolf Almató,

Ignasi Hosta y Joan Valldaura (véase A.

AImató, 1985).

El trabajo está planteado con un doble

objetivo:

1) Introducir a los alumnos en un tema

esencial en E.G.B. a través de una

metodología experimental.

2) Ofrecer a los profesores una serie de

materiales de trabajo fáciles de

manejar, que les permita:

a) Crear un ambiente de trabajo

estimulante.

b) Situarse como observador de

esta situación de aprendizaje.

Esta situación del profesor,

que provoca una nueva

interrelación niño - adulto es

la base para facilitarnos (a los

investigadores) la información

deseada; los métodos de

resolución utilizados por los

alumnos.

Los puntos básicos del método son:

a) Trabajar el concepto de

proporcionalidad a partir de nociones

geométricas, especialmente en la

introducción.

b) Y a nivel de la clase y el laboratorio

partir de la manipulación de material

E


128

y el trabajo en grupo para favorecer

el intercambio de ideas entre los

componentes del mismo y la

descripción. Los alumnos tienen que

hablar, escribir, buscar esquemas,

etcétera.

Partimos del hecho de que el alumno de 12 a

14 años tiene múltiples experiencias físicas

del concepto. Incluso algunas veces lo utiliza

de forma espontánea para resolver

determinados problemas, pero no sabe

generalizar, no puede aplicarlo a diversas

situaciones.

Nuestra hipótesis es que el trabajo en grupo

junto con una buena utilización del material,

que debe pasar por el esfuerzo de dar una

buena descripción de la experiencia, y por

tanto, en buscar esquemas cada vez más

adecuados, ayuda a interiorizar el concepto.

La estructura del trabajo sigue, en general, el

siguiente modelo:

Se presenta a los alumnos un material y unas

fichas. En las fichas se detalla:

1) El material que va a necesitar.

2) Cuál es el trabajo que debe realizarse

y finalmente se le pide que

3) Describa lo que ha encontrado, sus

descubrimientos y/o explique como

ha llegado a solucionar el problema.

Un aspecto muy importante de la propuesta

es su ordenación, la graduación de las fichas

y materiales teniendo en cuenta los distintos

niveles de dificultad.

La propuesta didáctica está dividida en dos

grandes bloques: Introducción y aplicaciones

(véase la siguiente figura) que se presentan

divididas en total en ocho talleres distintos,

tal como se indica:


129

PARTIENDO DE ASPECTOS

GEOMÉTRICOS

omo decía Fredenthal en el III JAEM

de Zaragoza (1983). “... Estoy

convencido que es por culpa de una

enseñanza mal organizada que han recibido.

A la edad en que se es más sensible a la

Geometría, no se le enseña más que calculo

aritmético. Se ha ignorado la fuente

geométrica, el origen de la proporcionalidad y

se ha perdido la ocasión de hacer explicito y

de verbalizar este tesoro implícito e

inconsciente de las ideas geométricas”

Claro que Freudenthal se refiere al decir eso

al currículum escolar. Antes había insistido en

que Ia apreciación de relaciones

proporcionales es realizada por el niño desde

edades muy tempranas a nivel de visualizar

el mundo que lo rodea.

Además está el trabajo efectuado por Piaget

e Inhelder (1948). En su estudio de su

interpretación del espacio por el niño,

establecen interrelaciones entre el

razonamiento proporcional numérico con la

identificación de figuras semejantes en el

plano. Primero a partir de dibujar o aparejar

triángulos semejantes y más adelante

rectángulos semejantes.

Por ello creemos que es aconsejable empezar

la propuesta didáctica utilizando figuras

geométricas.

El objetivo es que el alumno utilice material

geométrico estructurado de gran sencillez y

que a partir de el y de las ideas que el propio

niño ya posee a nivel intuitivo pueda ir

concretando, ampliando y enriqueciendo su

lenguaje matemático.

A partir de ahí y como centro de nuestro

trabajo nos interesa especialmente conocer

los métodos de resolución que de forma

espontánea utilizan los alumnos de estas

edades. Algunas veces, sobre todo al

principio sugeríamos algún método de

resolución, pero la mayoría de las veces

acabaron por sorprendernos con otros

métodos diversos e imprevisibles.

FAMILIA DE RECTÁNGULOS

l primer material que se da a los

alumnos es una colección de

rectángulos (siguiente figura). Se les

C

E


130

pide que los apareen de forma que, aunque

tengan distinto tamaño tengan la misma

forma. Aunque se habla de semejanza, no

hay una definición del término y lo que se

espera es que el alumno agrupe los

rectángulos de dos en dos según su

percepción visual.

Este apareamiento no es trivial. Es curioso

observar que, ya que el método que nosotros

proponemos sostener el rectángulo grande

con la mano izquierda y el brazo extendido e

intentar taparlo exactamente con el otro

rectángulo sostenido con la mano derecha,

no es fácil de aplicar, van apareciendo poco a

poco y por tantee nuevos me todos.

Al pasar a la cuantificación la relación que

nos interesa es

Puesto que las figuras recortadas se mueven,

superponen, etcétera, convenimos en llamar

“largo” al lado de mayor longitud y “ancho” al

lado más corto.

Esta comparación entre dos lados distintos de

un mismo rectángulo nos permite trabajar, a

partir de fracciones equivalentes, lo que

llamamos una familia de rectángulos

La acción de dividir los rectángulos de una

misma familia por una de sus diagonales y

situar una de cada mitad sobre unos ejes de

coordenadas cartesianas (siguiente figura)

lleva de forma natural a una primera

aproximación de la función lineal. Además

provee a! alumno de un método fácil para

construir otros rectángulos de la misma

familia que los dados en el origen de este

problema


131

COMPARAR OTRAS LONGITUDES

l pasar del estudio manipulativo de

las dos variables consideradas en los

rectángulos: lo largo y lo ancho a la

representación gráfica sobre unos ejes de

coordenadas, nos encontramos con que las

dos variables representadas por dos lados

distintos de los rectángulos coinciden con

valores de la abscisa y la ordenada (en el

fondo representar las dos variables es copiar

su tamaño y posición relativa que ya tenían

en el rectángulo). Para pasar a una mayor

generalización se presenta el siguiente

material: palillos. Estos deberán ser

preferentemente planos y en todo caso

pueden ser substituidos por tiras de igual

longitud de cartón, cartulina o varillas de

plástico.

Con este material se realiza un doble trabajo:

1) La relación que se estudia es

lado/perímetro, y por tanto, estas

son las dos variables que se

representan sobre los ejes de

coordenadas.

2) Además y puesto que el material lo

permite se trabaja la idea de adición

relacionada con la proporcionalidad.

Se intenta aquí, que el alumno compruebe

que si tiene un rectángulo (x, y) = (largo,

ancho), para construir un rectángulo

semejante (x', y') no es un método

generalizable sumar una unidad a cada uno

de los lados.

Pensar que la relación de proporcionalidad se

mantiene si a las variables se les suma la

misma cantidad es un tipo de error

frecuentemente detectado (véase Piaget y

Inhelder, 1967; Karplus y Peterson, 1970,

Suárez y Rhonheimer, 1974, etc.), y tan

común que representa cerca de un 30 por

100 del total de alumnos en la resolución de

algunos problemas (véase por ejemplo Hart,

1984).

A


132

El PROP

on el aparato PROP (siguiente figura)

Se pretenden visualizar diferentes

relaciones entre segmentos. Las

ventajas del PROP son: que es fácil de

construir y fácil de utilizar en clase.

A

pesar de esto hay que señalar que, a lo largo

de la experiencia se ha visto que la utilización

de material lleva aparejadas algunas

dificultades. En efecto, no es lo mismo “la

idea matemática” que los datos que

obtenemos trabajando con material en el

laboratorio.

Especialmente en este caso, trabajando con

el PROP aparece de forma inevitable la

cuestión de la medida aproximada. Aunque

los que manejen el material se esfuercen

mucho, el margen de error es grande.

Pero es muy curioso porque pueden verse

alumnos redondeando lecturas numéricas o

cálculos numéricos de forma rápida y a otros

que buscan aproximaciones hasta límites no

esperados.

Quizás es este un buen momento para insistir

en la noción de medida y la noción de

aproximación, o sea en el hecho de que toda

medida “real”, que realizamos realmente, es

aproximada y lo que esto significa.

Actualmente en las orientaciones especificas

dadas desde los Diseños Curriculares Base se

insiste en que debe trabajarse junto a la

exactitud, la estimación en los cálculos y

medidas. Lo realmente complejo resulta ser

el mantener un equilibrio eficaz y claro entre

las dos. La exactitud, cuándo y cómo es

necesaria y explicable y el cálculo

aproximado que permite cálculos mentales a

veces por tanteo difícilmente explicables.

En cuanto al aparato PROP (siguiente figura)

y en un principio, un alumno miraba la

variable AB desde el punto 0 de la escala

horizontal C mientras que un compañero(a)

iba moviendo el dedo sobre la escala vertical.

Hasta que el dedo y la punta de la varilla (B)

se velan sobre la misma visual.

Al considerar que los márgenes de error de

los resultados que así se obtenían eran

demasiado grandes, substituimos el hecho de

mirar por colocar y tensar un hilo elástico

desde C hasta D pasando por B lo que

permitió actuar con una mayor precisión.

Finalmente ayuda el hecho de reproducir el

aparato PROP a escala sobre papel

milimetrado así como las distintas varillas, y

estudiar lo que ocurre con las medidas en el

dibujo.

C


133

APLICACIONES

1. PORCENTAJES

cabada la introducción del concepto

interesa relacionarlo con aplicaciones

del mismo que reciben distintos

nombres, y sobre todo, que en el currículum

han sido tradicionalmente tratados de forma

aislada.

Uno de ellos es la noción de porcentajes.

Después del trabajo con el PROP resulta fácil

conectar con una primera aplicación del

concepto de proporcionalidad: el trabajo con

el tanto por ciento.

Esto queda concretado con una máquina

calculadora del % (véase Laboratorio de

proporcionalidad) fácil de utilizar y que

comporta la aplicación de las propiedades k-

lineales.

2. ESCALA

l trabajar la lectura de mapas lo

hacemos a tres niveles.

1º Ver que lo que nos interesa ahora no es la

relación entre las longitudes de dos

segmentos de una misma figura, sino

comparar la longitud por ejemplo expresada

en cm) de un segmento dado sobre un dibujo

y la longitud “real” de un objeto dado

(expresada también en cm).

Hay que tener en cuenta que ya en el PROP

se ha estudiado Ia relación entre la longitud

de la proyección o “sombra” de la varilla y la

propia varilla.

Ahora empezamos comparando las

longitudes de segmentos tomados sobre eI

dibujo reducido de una cassette y los

correspondientes sobre una cassette real.

2º Esto se concreta utilizando una escala

grafica.

3º Hay que acabar prescindiendo de las

unidades de longitud para hablar de lo que se

llama escala (o escala numérica).

3. k2

Trabajar con distintas figuras planas en el

PROP puede resultar bastante complejo.

Conviene que se disponga de una colección

de figuras planas semejantes dos a dos

(siguiente figura). Un ejercicio que puede

resultar rentable a nivel didáctico es empezar

par preguntarse como dada una figura plana

se puede construir (recortar) otra semejante.

A

A


134

Si se impone la restricción de que no sobra

papel (sqsp) el ejercicio resulta más ameno.

Son ejemplos:

Dado un triangulo por ejemplo rectángulo y

escaleno.

a) Recortar otro triangulo máS pequeño

y semejante al dado.

b) Recortar cuatro triángulos iguales

más pequeños y semejantes al dado (sqsp)

Dado un folio (rectángulo)

a). Recortar un rectángulo semejante al

dado (que no sea la cuarta parte).

b) Recortar dos rectángulos semejantes

al dado y dos que no lo sean (sqsp).

c) Recortar tres triángulos rectángulos

semejantes entre si (sqsp).

Es importante estudiar métodos de

ampliación y reducción de figuras también a

través de dibujos. Insistir en los

procedimientos de resolución va válidos para

un caso de figuras, pero que no son

generalizables (siguiente figura).

Procedimiento Triángulo

Trazar una

paralela a uno

se sus lados

si

no

no

Trazar paralelas

a cada uno

de sus lados

si

no

no

Trazar rectas

desde un

vértice

del polígono,

punto exterior o

punto interior

hacia los

vértices

y …

si

si

si

4. DENSIDAD


ASPECTOS DIDACTICOS_________________________

135

s frecuente que magnitudes que se

estudian en Física, Química e incluso

en Biología sean el nombre dado a la

relacion proporcional entre dos magnitudes

distintas, tal es el caso de la densidad. Esta

se estudia a partir de una manipulación muy

sencilla hecha en el laboratorio.

Como en el caso del PROP que

comentábamos antes aquí también aparece

la noción de medida y aproximación de esta

medida.

Es un buen momento para insistir en la

reflexión.

5. GULLIVER

n “los Viajes de Gulliver” de Jonathan

Swift, el protagonista es Samuel

Gulliver.

Justo al empezar sus aventuras y después de

un naufragio Gulliver llega a Liliput. En este

país se encuentra con Ia sorpresa de que

todos sus habitantes son 12 veces más

pequeños que el, por lo que, si consideramos

1,72 m como altura de Gulliver, un

liliputiense “medio” medirá 15 cm.

Además y como afirma J. Swift... “existe una

exacta proporción entre los demás animales

y plantas...”. Así un caballo mide unos 12 cm

de altura, una oveja 4 cm, etcétera.

En realidad tanto en Liliput como en otro

reino, Blefuscu, situado a 700 metros de

distancia y también sobre una isla, todo es

igual que en nuestro mundo solo que

reducido en la escala de una pulgada a un pie

(así que todo es 12 veces más pequeño).

En Un segundo viaje Gulliver naufraga de

nuevo y aparece en las de Brobdingnag.

En este país pasa

exactamente al revés:

Gulliver es un enano. La

escala de todas las cosas es

de un pie a una pulgada, por

tanto, Gulliver es 12 veces

menor que un habitante “medio” de este país

(ver figura derecha).

Así, al describir el primer hombre gigante que

ve, Gulliver dice: “Parecía tan alto como un

campanario corriente y avanzaba unos 9

metros en cada paso, según mi cálculo más

aproximado”. ¡Un gigante de unos 20 metros

de altura! Esta aventura fantástico-satírica

fue escrita a principios del siglo XVIII

Sin duda, cuando J. Swift creaba un perso-

naje que resultaba engrandecido o

empequeñecido respecto a su entorno,

tendría más que motivos científicos: motivos

de fábula y simbólicos.

Es de suponer, de todas formas, que no le

molestaría el hecho de que nos apropiemos,

por un momento de Gulliver, para que nos

ayude a contestar a algunas de las preguntas

que hemos formulado.

Casi dos siglos antes (siglo

XVI) de que J. Swift

escribiese su novela,

Galileo ya había afirmado que los modelos

E

E

136

ampliados o reducidos de un hombre no son

posibles. Así en una de sus obras “Dos

nuevas ciencias” uno de sus personajes dice:

“Ahora como, ... en geometría, el simple

tamaño no influye en las figuras, no veo que

las propiedades de los triángulos, círculos,

conos y demás figuras sólidas puedan

cambiar con su tamaño...”; pero otro

personaje físico le contesta: “La opinión

vulgar en este caso es totalmente errónea”.

Veamos por qué.

Hay que considerar, en primer lugar, que la

resistencia a la rotura de una cuerda,

alambre o columna es proporcional a la

sección recta (ver figura derecha). Luego la

resistencia de los huesos de las piernas es

proporcional al área de la sección recta.

Veamos que ocurrirá en el gigante de

Brodingnag que es 12 veces más alto. Tal

como lo describe Swift los dos tienen igual

constitución. En realidad los dos cuerpos son

semejantes en sección y forma

La relación de las longitudes es:

Como la resistencia de los huesos de las

piernas es proporcional al área de su sección

recta, la relación de resistencia es:

Por tanto, las piernas del gigante son 144

veces más resistentes que las piernas de

Gulliver.

Pueden, pues, aguantar más peso. ¿Pero,

cuánto más peso?

Debemos tener ahora en cuenta que el peso

que las piernas deben soportar es

proporcional a la cantidad de materia

(carne, huesos...) que lo forman, por tanto,

es proporcional al volumen.

La relación de los pesos es:

Así que mientras la resistencia del gigante ha

aumentado 144 veces, su peso ha sufrido un

aumento de 1 728 veces. ¡Su resistencia es

12 veces menor que la de Gulliver! o dicho

de otra forma, el hombre de Brobdingnag

para aguantar su propio peso deberá hacer

un esfuerzo análogo al que tendríamos que

hacer nosotros caminando con 11 personas

sobre los hombros (ver figura derecha).

Galileo había escrito: “... Si se

quisiera mantener en un gigante la

misma proporción de miembros de

un hombre normal o habría que

utilizar un material más duro y fuerte

para formar los huesos, o habría que

admitir una disminución de su resis-

tencia en comparación con la de un

hombre de estatura mediana...”

Esta claro pues, que si pensamos en

un gigante con la misma

configuración que un hombre normal habría

que utilizar un material más resistente para

formar sus huesos. En caso contrario, al


137

disminuir su resistencia al aumentar la

altura, acabaría quedar aplastado sobre si

mismo.

Tenemos diversos ejemplos en la naturaleza:

elefante tiene sus miembros muy gruesos y

una ballena que es el más grande de los

animales, no tiene los huesos proporcional-

mente gruesos, vive soportada por el agua,

su medio natural y en el caso de quedar

varada en la playa, muere bajo su propio

peso.

Si por otra parte, nos fijamos en los edificios,

estos pueden ser construidos muy altos

porque, entre otras consideraciones sus

materiales son más resistentes que los

nuestros. Pero, así y todo no se puede

construir, por ejemplo un edificio de 6 km de

altura, como una montaña. Éstas son

macizas y Un material tan resistente para

realizar esta hazaña todavía no es conocido.

Tampoco son viables las arañas u otros tipos

de insectos gigantes como los que salen a

veces en películas fantásticas. Si, por

ejemplo, una araña aumentase en 100 veces

su altura, su peso aumentara' en 1003 o sea

que se haría un millón de veces mayor, sin

embargo, como la sección transversal de sus

patas aumentaría en solo 1002, o sea se

haría diez mil veces mayor, la araña tendría

muchos problemas, incluso para ponerse de

pie porque en realidad su fuerza relativa

habría disminuido nada menos que 100

veces.

De momento hemos visto que ocurre cuando

el tamaño aumenta, ¿y si disminuye?

Volviendo a Gulliver. Al naufragar la primera

vez se encuentra frente a los liliputienses que

son personas 12 veces más pequeñas.

¿Cómo serian estos en caso de existir? (ver

la siguiente tabla).

Ejemplo

Razón k K2 K3

Liliput 1 :

12

1: 144 1 : 1 728

Brodingnag 12 :

1

144 : 1 1 728 : 1

Volviendo a Gulliver. Al naufragar la primera

vez se encuentra frente a los liliputienses que

son personas 12 veces más pequeñas.

¿Cómo serían éstos en caso de existir? (ver

la tabla anterior)

Los animales pequeños nos dan la impresión

que se mueven mucho y que comen mucho

también. ¿Qué comida necesitaría un

liliputiense? El cuerpo humano y todo animal

de sangre caliente desprenden calor

especialmente a través de la piel. Y podemos

considerar que sus necesidades de alimento

son proporcionales a su desprendimiento de

calor, por tanto, proporcional al área de la

superficie de su cuerpo.

Hagamos la hipótesis de que Gulliver puede

vivir con un pollo al día. El liliputiense

necesitara una cantidad de comida

proporcional a su superficie, y lo por tanto,

necesitara una cantidad de comida 144 veces

menor que Gulliver pero un pollo en la escala

de liliput pesará 1 728 veces menos que el

138

pollo que se coma Gulliver. Así pues el

pequeño liliputiense para saciar su hambre

necesitara nada menos que 12 pequeños

pollos.

Si, en un día de calor, Gulliver y un

liliputiense van a bañarse a la playa. ¿Que

ocurrirá? Tengamos en cuenta que, cuando

salimos del mar chorreando agua, Se puede

considerar que la película que rodea el

cuerpo es uniforme.

Así que el agua que sacamos del mar es

proporcional a la superficie de nuestro

cuerpo. Ya estamos de nuevo frente a

diferencias importantes la cantidad de agua

que nosotros sacamos del mar no nos pesa,

no la notamos en este sentido, o sea que

tampoco Gulliver lo notaría ¿pero, que le

ocurre al hombre de Liliput?

Las relaciones a considerar son:

o sea que la relación entre el peso del

liliputiense y el peso del agua que saca es:

Considerando la misma relación en Gulliver

como 1/1 para el liliputiense el agua que

lleva encima es como 12 veces mayor. Si

tomamos, por ejemplo, que Gulliver saca un

cuarto de litro de agua, el peso del agua que

será el liliputiense será 12 veces mayor, y

por tanto: 3 kilos.

Ejemplos en la naturaleza hemos visto

seguramente varios. Basta recordar lo que

ocurre cuando una mosca o una abeja se

mojan. Parece que han quedado atrapadas

en el agua.

Esto nos lleva a imaginar que los liliputienses

(y las liliputiensitas también) serian gente

muy hambrienta, estilizados, ágiles y fuertes

ya que al tener los huesos muy resistentes

podrían aguantar fácilmente varias veces un

peso igual al suyo sobre si mismos (¡harían

magníficos castellets!) pero que sentirían

muy poca afición por la natación.

Si exageramos un poco más y nos

imaginamos una raza humana del tamaño de

una hormiga. Las “desventajas” aumentarían,

así:

No podrían encender fuego, ya que

una mínima llama estable es mucho

mayor que ellas.

No podrían servirse de herramientas.

Un martillo en miniatura tiene una

energía cinética incapaz de clavar

una tachuela.

No podrían fabricar libros, pues las

fuerzas intermoleculares no permi-

tirían ni mover las hojas

No podrían ducharse. Parecido a lo

que hemos dicho antes, por una

parte, las gotas de la ducha

golpearían a los hombres-hormiga

como proyectiles y por otra parte si

se sumergen en una gota, la tensión

superficial les haría muy difícil salir

de nuevo.

ASPECTOS DIDACTICOS_________________________

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Por el contrario y como contrapartida:

Podrían levantar pesos muy

superiores al suyo propio.

Podrían caer de grandes alturas sin

hacerse daño. Nosotros les parece-

ríamos seres medio adormecidos,

casi paralizados.

Vemos, pues, que el supuesto cambio de

tamaños en animales que son

geométricamente semejantes lleva a grandes

cambios.

Algunos de estos cambios dependen de la

longitud -l- aunque la mayor parte depende

del área, y por tanto, de la longitud al

cuadrado –l2- y unos cuantos del volumen, o

sen, del cubo de la longitud –l3-

Pero esto, evidentemente, no ocurre solo en

el cambio de tamaño de animales, sino

también en el cambio de tamaño de

estructuras no vivas. Su estudio, por

ejemplo, desde ingeniería, plantea problemas

similares.

No puede, pues, considerarse que el estudio

de la proporcionalidad acaba cuando se han

estudiado los cambios lineales, sino que

habrá que incidir especialmente en la

repercusión que estos cambios lineales

producen sobre la relación entre las áreas y

los volúmenes.

Así y todo, esto no es suficiente. Como

acabamos de ver, uno es el comportamiento

matemático de las variables y otro el

comportamiento de las variables físicas o

químicas al interactuar según modelos

lineales.

Será necesario relativizar el modelo

matemático, poner ejemplos concretos. De

estos, la variación en el tamaño de los

animales con su influencia en la estructura,

comportamiento o incluso posibilidades de

subsistencia, es rico en matices y

sugerencias.

He aquí un punto que precisa un tratamiento

de confluencia en el aula entre las

Matemáticas y las Ciencias.

Los Numeros y Sus Relaciones IV Sem

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