Lugar Geometrico de Raices 15087
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Sistemas Automticos
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Tema 5Lugar de las RacesContenido Respuesta dinmica de un sistema Respuesta dinmica de un sistema en bucle cerrado Definicin de Lugar de las Races (LR) Ecuacin Caracterstica Criterio del Argumento Criterio del Mdulo Reglas de Trazado del Lugar de las Races Ejemplo
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El comportamiento dinmico de unsistema viene dado por los polos dela f.d.t. (races de la ecuacincaracterstica)
y(t)
Los ceros tambininfluyen a travs de loscoeficientes (pesos) delos modos transitorios
Respuesta Dinmica de un Sistema
-
Captador
+
-
U(s)C(s) (s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
H(s)
G(s)
Respuesta Dinmica de un Sistemaen Bucle Cerrado
La dinmica del sistemaviene dada principalmente porlas races de la ec. caracterstica
Problemas: Difcil si el orden de la
ec. caract. >=3 Habitualmente,
necesario recalcularlosen funcin de unparmetro (ej.: K)
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Definicin de Lugar de las Races (LR)
Definicin:El L.R. es el lugar geomtrico en elplano complejo que ocupan las racesde la ecuacin caracterstica cuandovara el parmetro K
Captador
+
-
U(s)C(s) (s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
K=5 K=10 K=16 K=20
-
El mtodo del L.R. parte de la ecuacin caracterstica factorizada de lasiguiente forma:
Ecuacin Caracterstica
-
Criterio del Argumento
-
Criterio del Mdulo
-
s-
p
1
s-p4 s-p3 s-z1s-p2
p3p4 p2 p1z1
s
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
pi
Todo punto s del LR debesatisfacer esta condicingeneral.
Ejemplo:
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
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Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
1 2
3
4
Ramas Independientes
Lugar en el eje real
Simetra respecto aleje real
Puntos decomienzo del LR
Puntosfinales del LR
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
pi
p2
z1p1
p1
p2
z1
Re
Im
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
-
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
-
Captador
+
-
U(s)C(s) (s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
Funcin de transferencia en bucle abierto:
-
-2-5-7-10-20
2
3
14
-
-2-5-7-10-20
-
-2-5-7-10-20
-
-2-5-7-10-20
Centroide, Asntotas y Punto de Dispersin
centroidec=10
Asntotas
Pto. dispersin
-
Lugar de las Races final
-2-5-7-20 -10
+j14.439
-j14.439
-
Lugares de las Racesbsicos
-
LR bsicos: 1 polo real
-
LR bsicos: 2 polos reales
-
LR bsicos: 2 polos complejos
-
LR bsicos: 3 polos reales
-
LR bsicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)
-
LR bsicos: 4 polos
-
LR bsicos: 1 polo + 1 cero
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LR bsicos: 2 polos + 1 cero
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LR bsicos: 3 polos + 2 ceros
-
LR bsicos: 3 polos + 1 cero
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LR-i bsicos: 1 polo
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LR-i bsicos: 2 polos reales
-
LR-i bsicos: 3 polos reales
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LR-i bsicos: 1 polo real + 2 polos complejos
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LR-i bsicos: 2 polos reales + 1 cero
-
LR-i bsicos: 3 polos reales + 1 cero
-
Captador
+
-
U(s)C(s)
(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
Determinar el comportamiento del sistema realimentado en funcinde la constante de tiempo, , del captador para K=1
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Solucin:
La ecuacin caracterstica ser:
Reordenando trminos
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El problema queda planteado en trminos de un LR:
El LR tiene 3 ceros
y dos polos
pequeas:comportamientooscilatorio
=0.688:polo dobleamort. crtico =1:
3 polos realessobreamort.T = 2.6 seg
=10:3 polos realessobreamort.muy lentoT = 32 seg.
ConclusinVemos cmo un captador lentoinfluye negativamente en elcomportamiento del lazoralentizndolo