M etodos de Investiga˘c~ao Operacionalsweet.ua.pt/crequejo/teach/mio_or.pdf · 2019. 12. 10. ·...

Métodos de Investigação Operacional

Cristina Requejo

gabinete: 11.3.11 email: [email protected]

MIO 2019-2020

C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO 2019-2020 1 / 138

Otimização em Redes

Otimização em Redes


Problema de Transportes




Dados

m pontos origem, cada um com ai (i = 1, . . . ,m) unidades dum certoproduto;

n pontos destino, cada um requerendo bj (j = 1, . . . , n) unidades domesmo produto;

cij custo unitário de transporte entre cada origem i e cada destino j .

Pretende-se determinar a forma admisśıvel de transportar o produto entreas origens e os destinos com custo ḿınimo.



Sendoxij n

o de unidades transportadas entre a origem i e o destino j .e assumindo que (com ai e bj não negativos)

m∑i=1

ai =n∑

j=1

bj

se∑m

i=1 ai >∑n

j=1 bj cria-se um destino fict́ıcio;se

∑mi=1 ai <

∑nj=1 bj cria-se uma origem fict́ıcia;

em ambos os casos os custos de transporte associados serão nulos.



A formulação em P.L. do problema de transportes (P.T.) é:

minm∑i=1

n∑j=1

cijxij

s. a:n∑

j=1

xij = ai , i = 1, . . . ,m

m∑i=1

xij = bj , j = 1, . . . , n

xij ≥ 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n



em notação matricial é:

min cxs. a:

Ax = bx ≥ 0

em quex = (x11, . . . , x1n, x21, . . . , x2n, . . . , xmn)

t

c = (c11, . . . , c1n, c21, . . . , c2n, . . . , cmn)

b = (a1, . . . , am, b1, . . . , bn)t



A é uma matriz (m + n)× (mn) em que cada coluna (i , j) éAij = ei + em+j , i.e. tem a forma especial

A =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1I I · · · I

em que1 é um vector linha de 1′s com dimensão n0 é um vector linha de 0′s com dimensão nI é a matriz identidade n × nQualquer submatriz básica de A é triangular



Exemplo

Consideremos um P.T. com 3 origens e 4 destinos, com

a = [ai ] = [6 8 10],

b = [bj ] = [4 6 8 6]

e os custos unitários de transporte dados por C = [cij ] =

1 2 3 44 3 2 00 2 2 1



omitindo os zeros a matriz A tem a forma

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

e b =

68

104686



minx11 + 2x12 + 3x13 + 4x14 + 4x21 + 3x22 + 2x23 + 2x32 + 2x33 + x34s. a: x11 + x12 + x13 + x14 = 6

x21 + x22 + x23 + x24 = 8x31 + x32 + x33 + x34 = 10

x11 + x21 + x31 = 4x12 + x22 + x32 = 6x13 + x23 + x33 = 8x14 + x24 + x34 = 6

xij ≥ 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n



Propriedades do Problema de Transportes

O problema de transportes tem sempre uma solução admisśıvel(xij =

aibj∑ai

=aibj∑

bj)

Tem-se 0 ≤ xij ≤ min{ai , bj}, ∀i , jDos dois items anteriores resulta que o P.T. tem sempre soluçãoóptima limitada

A matriz A tem caracteŕıstica igual a m + n − 1A matriz A é totalmente unimodular (o det. de qq submat. quadradatem valor 0, 1 ou −1)Se os ai (∀i) e os bj (∀j) são inteiros, então qualquer solução básicaadmisśıvel tem valores inteiros



o prob. de transportes é facilmente representado pelo quadro seguinte comm linhas e n colunas para além da coluna dos ai e da linha dos bj

x11 x12 · · · x1j · · · x1n a1x21 x22 · · · x2j · · · x2n a2

......

......

xi1 xi2 · · · xij · · · xin ai...

......

......

xm1 xm2 · · · xmj · · · xmn amb1 b2 · · · bj · · · bn



Representação e caracterização de uma base

Sendo B uma submatriz básica de A, como A é totalmente unimodulardet(B) = ±1, det(B−1) = ±1 e os elementos de B−1 são todos 0, 1 ou−1.

Deste modo, qualquer coluna actualizada do quadro do simplex B−1Aj temapenas os elementos 0, 1 ou −1 e, portanto, qualquer uma destas colunaspode ser obtida pela simples adição e subtracção de colunas básicas.

Esse facto pode ser visto no quadro do P.T. através de um ciclo.



No quadro do P.T. um ciclo é uma sequência de variáveis tais que

cada par de variáveis adjacentes está na mesma linha ou na mesmacoluna;

nenhum conjunto de 3 ou mais variáveis consecutivas está na mesmalinha ou na mesma coluna;

a primeira e a última variável da sequência estão na mesma linha ouna mesma coluna.

• • • •• •

• •• •

(1,2),(1,4),(3,4),(3,2) (1,1),(1,4),(2,4)(2,6),(4,6),(4,1)



Qualquer ciclo tem um número par de variáveis.

Se T for um subconjunto das colunas da matriz A, as colunas de Tsão linearmente dependentes se e só se as var. corresp., ou umsubconj. delas, formam um ciclo.

Uma base pode ser representada por uma árvore de suporte (grafoconexo e sem ciclos) com pelo menos uma célula em cd linha e cdcoluna.

B B B B B B B BB B B BB BB B B B

base 1 base 2



a cada célula básica no quadro corresponde um arco no grafo do P.T.

Uma base possui m + n − 1 arcos básicos ou cél. e não possui cicloscada célula não básica forma um ciclo com um subconjunto de cél.básicas

as células básicas desse ciclo podem ser usadas para representar a nãobásica (nem sp são necess. todas as cél. bás. desse ciclo, apenas os’cantos’)Ex: base 1: a32 = a36 − a16 + a12

base 2: a32 = a22 − a24 + a34as cél. básicas podem ser representadas por uma árvore de suporte



O problema dual

max∑

i aiui +∑

j bjvjs. a:

ui + vj ≤ cij , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

ui , vj livres, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

As condições de complementaridade de slacks são

(cij − ui − vj)xij = 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

Se determinarmos um par de sol. admisśıveis para o primal e dual, queverifiquem as cond. de complementaridade, elas serão óptimas.



O método simplex para o P.T.

1 Determinar uma sol. bás. admiss. inicial.

2 Testar a optimalidade da sol. actual.Para isso calcular os custos reduzidos zij − cij para cada var. nãobásica. Se todos zij − cij ≤ 0, então STOP a sol. é óptima, casocontrário continuar no Passo 3.

3 Seleccionar as variáveis de entrada e de sáıda da base.

4 Obter a nova sol. bás. admiss. e repetir o Passo 2.



Passo 1. Obtenção de uma sol. bás. admiss. inicial

Como escolher o valor para exactamente m + n − 1 var. bás. ?

1. Método do canto superior esquerdo ou do canto noroeste (NW)

tornar bás. a var. x11 atribuindo-lhe o maior valor posśıvelx11 = min{a1, b1} esgotando ou a origem 1 ou o destino 1no caso 1, a linha 1 deixa de ser considerada e tornamos bás. a var.x21 atribuindo-lhe o maior valor posśıvel x21 = min{a2, (b1 − x11)}esgotando ou a origem 2 ou o destino 1

no caso 2, a coluna 1 deixa de ser considerada e tornamos bás. a var.x12 atribuindo-lhe o maior valor posśıvel x12 = min{(a2 − x11), b2}esgotando ou a origem 1 ou o destino 2



em cd passo do mét. esgotamos ou uma origem ou um destino econtinuamos no caso 1 na mesma coluna e linha seguinte, no caso 2na mesma linha e coluna seguinte

no máx. obtemos n + m − 1 var. positivas que não formam ciclose esgotarmos simultaneamente uma origem e um destino, podemosatribuir um zero à próxima var. da mesma linha ou da mesma colunae continuar como anteriormente

Desvantagem: não tem em conta a matriz dos custos.



Exemplo

5 3 2 100

4 2 1 50

80 30 40



2. Método do ḿınimo da matriz de custosem cd passo do mét. torna-se bás. a var. a que corresponde omenor custo da matrizconsidere o exemplo anterior

3. Método de VögelEm cada passo do mét. torna-se bás. a var. a quecorresponde o menor custo da linha ou coluna associada àmaior das diferenças entre os dois menores custos de cadalinha e cada coluna.



Exemplo

8 3 5 9 200

1 7 4 6 700

3 8 2 4 100

250 350 200 200



Passo 2. Testar a optimalidade da sol. bás. admiss. actual

cálculo dos custos reduzidos zij − cij para cd var. não básicase zij − cij ≤ 0 para todas as var., STOP a sol. actual é óptima, senãocontinuar no Passo 3.

há dois modos de cálculo dos custos reduzidos

(use o exemplo usado no mét. de Vögel, mas det. a sol. bás. admiss. inicialatravés do mét. canto noroeste)



1. Método de Stepping-Stonebaseia-se no mét. simplex

construção do ciclo associado a cd var. não bás.cálculo dos custos reduzidos zij − cij para cd var. nãobásica em que

zij − cij =∑

xk1k2v .b.ciclo

−(⊕/ ck1k2)− cij



2. Método de Dantzigbaseia-se nos resultados da dualidade

construir um vector (u, v) que verifique as cond. decomplement. de slacks para isso

const. um sist. com m + n − 1 equações: se xij é var.bás. então ui + vj = cijcomo uma das m + n rest. do prob. primal éredundante, este sistema é indeterminado, pelo que sefixa o valor de uma das var. duais a zeroresolução do sist.

cálculo dos custos reduzidos zij − cij para cd var. nãobásica em que

zij − cij = ui + vj − cij



Passo 3. Seleccionar as var. de entrada e sáıda na base

escolher a var. a entrar na base: determinar xkl tal que

zkl − ckl = max{zij − cij , zij − cij > 0}

construir o ciclo correspondente à var. de entrada na base xkl

escolher a var. a sair da base: determinar

θ = min{xij , xij tem sinal no ciclo de xkl}



Passo 4. Obter a nova sol. bás. admisśıvel

alterar apenas o valor das var. no ciclo da var. xkl que entra na base

x ij =

{xij + θ se xij tem sinal ⊕ no cicloxij − θ se xij tem sinal no ciclo

novo valor da f.o. éz = z − θ(zkl − ckl)



Degenerescência - Método da Perturbação

a degenerescência no P.T. é frequente e manifesta-se sp que surjamempates no processo de obtenção de uma sol. bás. admiss. inicial ouquando da escolha da var. a ser substitúıda na base

em caso de empate a escolha pode ser arbitrária, contudo existe a técnicada perturbação que permite identificar as var. a tomar como básicas deforma a evitar a posśıvel entrada em ciclo



o mét. da perturbação consiste em formular um novo P.T. semdegenerescência, modificando ligeiramente os valores de ai e bj da seguinteforma

ai = ai + � i = 1, . . . ,mbj = bj j = 1, . . . , n − 1bn = bn + m�

para � > 0 e arbitrariamente pequeno, para que a sol. obtida seja muitopróxima da sol. correcta.

Nota: tb podemos usar

ai = ai i = 1, . . . ,m − 1am = am + n�bj = bj + � j = 1, . . . , n



considere o seguinte exemplo de um P.T.

4 3 1 6 1 700

1 3 2 1 5 400

2 3 1 2 4 300

500 200 300 300 100

e aplique o mét. canto noroeste para obtenção de uma sol. bás. admiss.inicial.


Problema de Transhipment





o P.T. pode ser visto como um caso particular do prob. geral que é oprob. de Transhipment (transfega, trans-expedição)

considerando uma rede com n nodos que podem ser

origens (1 ≤ i ≤ r)destinos (r + 1 ≤ i ≤ s)entrepostos (s + 1 ≤ i ≤ n)

a soma total das disponibilidades nas origens é igual à soma total dasnecessidades nos destinos

qualquer que seja o nodo é posśıvel transportar o produto de e paraele




se o nodo é

origemquant. dispońıvel = quant. sai - quant. entra

destinoquant. necessária = quant. entra - quant. sai

entrepostoquant. sai = quant. entra

resolução através da sua transformação num prob. transportes

como transformar?




seja

ai = disponibilidade na origem i (1 ≤ i ≤ r)bi = necessidade no destino i (r + 1 ≤ i ≤ s)xij quant. a transportar de i para j , i 6= j

então∑j 6=i

xij −∑j 6=i

xji = ai origem i (1 ≤ i ≤ r):∑j 6=i

xji −∑j 6=i

xij = bi destino i (r + 1 ≤ i ≤ s):∑j 6=i

xij −∑j 6=i

xji = 0 entreposto i (s + 1 ≤ i ≤ n):

xij ≥ 0




considerando

cij = custo unitário de transporte de i para jci = custo unitário de transhipment em iti = quant. sujeita a transhipment em i

a f.o. ficamin

∑i

∑j ,j 6=i

cijxij +∑i

ci ti

(o último termo é um modo de penalizar o que não é necessário:se é origem: porque entra?

se é destino: porque sai?)




temos

origem i (1 ≤ i ≤ r):ti =

∑j 6=i

xji

destino i (r + 1 ≤ i ≤ s):ti =

∑j 6=i

xij

entreposto i (s + 1 ≤ i ≤ n):

ti =∑j 6=i

xij =∑j 6=i

xji




definindo {xii = C − ticii = −ci

para i = 1, . . . , n e onde C é uma constante arbitrariamente grande quegaranta xii ≥ 0

podemos usar esta def. para eliminar ti nas expressões anteriores

a nova f.o. ficamin

∑i

∑j

cijxij −∑i

ciiC



Problema de Transhipmentorigem i (1 ≤ i ≤ r):

∑j 6=i

xij −∑j 6=i

xji = ai ⇔{ ∑

j 6=i xij + xii = ai + C∑j 6=i xji + xii = C

destino i (r + 1 ≤ i ≤ s):

∑j 6=i

xji −∑j 6=i

xij = bi ⇔{ ∑

j 6=i xji + xii = bi + C∑j 6=i xij + xii = C

entreposto i (s + 1 ≤ i ≤ n):

∑j 6=i

xij −∑j 6=i

xji = 0 ⇔{ ∑

j 6=i xij + xii = C∑j 6=i xji + xii = C

xij ≥ 0


Problema de Afectação (Assignment)

Problema de Afectação(Assignment)




Dados

n indiv́ıduos

n tarefas

e sendo cij o custo de afectar o indiv́ıduo i à tarefa j

pretendemos afectar cada indiv́ıduo a uma e uma só tarefa de forma a queo custo total de execução das tarefas seja ḿınimo.



A formulação em P.L. do problema de afectação (P.A.) é:

minn∑

i=1

n∑j=1

cijxij

s. a:n∑

j=1

xij = 1, i = 1, . . . , n

n∑i=1

xij = 1, j = 1, . . . , n

xij ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n



em notação matricial é:

min cxs. a: Ax = 1

xij ∈ {0, 1}

em quex = (x11, . . . , x1n, x21, . . . , x2n, . . . , xnn)

t

c = (c11, . . . , c1n, c21, . . . , c2n, . . . , cnn)

1 é um vector de 1s com 2n componentes

A é uma matriz (2n)× (n2) em que cada coluna (i , j) é aij = ei + en+j



Exemplo

Consideremos uma Fábrica com 3 secções (montagem (M), pintura (P) eembalagem (E))e 3 candidatos (C1, C2, C3)

e os custos de afectação dados por

M P E

C1 4 5 3C2 1 4 2C3 3 1 5



min4x11 + 5x12 + 3x13 + x21 + 4x22 + 2x23 + 3x31 + x32 + 5x33s. a: x11 + x12 + x13 = 1

x21 + x22 + x23 = 1x31 + x32 + x33 = 1

x11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1

xij ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , 3, j = 1, . . . , 3



Propriedades do Problema de Afectação

o politopo do P.A. possui n! pontos extremos; cd sol. inteira admiss. éuma afectação e cd afectação é um ponto extremo

trata-se de um problema de P.L. com variáveis 0− 1para cd afectação escolhemos as correspond. var. xij com valor 1 comovar. bás., obtemos n var. bás. com valor unitário; para completar abase precisamos de escolher mais n − 1 var. (degeneradas)é um caso particular do P.T. em que m = n e ai = bj = 1, como talqq sol. bás. admiss. tem valores inteiros e podemos substituir as cond.de integralidade por simples cond. de não negatividade



O problema dual (com xij ≥ 0)

max∑

i ui +∑

j vjs. a:

ui + vj ≤ cij , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n

ui , vj livres, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n

As condições de complementaridade de slacks são

(cij − ui − vj)xij = 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n



Se determinarmos um par de sol. admisśıveis para o primal e dual, queverifiquem as cond. de complementaridade, elas serão óptimas.

uma sol. admiss. para o dual é

{ūi = minj cij i = 1, . . . , nv̄j = mini{cij − ūi} j = 1, . . . , n

e seja x̄ definido por x̄ij =

{1 se ūi + v̄j − cij = 00 se ūi + v̄j − cij 6= 0

se x̄ for admisśıvel para o primal, então é uma sol. óptima e (ū, v̄) éóptima do dual



Algumas considerações

o problema de afectação fica completamente determinado pela suamatriz de custos

num prob. afectação em que todos os custos são não negativos, seexistir uma afectação admisśıvel com custos nulos, trata-se daafectação óptima

TeoremaSe adicionarmos uma constante a cada linha e/ou coluna da matriz decustos de um prob. de afectação, o problema obtido tem a mesma soluçãoóptima que o problema original.



vamos usar este resultado de duas formas

1 se a matriz tiver elementos negativos, somamos um valorsuficientemente grande de modo a obtermos apenas custos nãonegativos

2 escolhendo adequadamente os valores a somar às linhas/colunas,podemos introduzir zeros na matriz de custos e procurar umaafectação de custo nulo que será óptima



os valores subtráıdos às linhas/colunas podem ser interpretados comouma sol. dual

o elemento (i , j) da matriz do P.A. diz-se afecto se o correspondentevalor de xij for 1

uma sol. admisśıvel para o P.A. diz-se uma afectação completa

uma afectação completa consiste num e um só zero afecto em cdlinha e cd coluna

uma afectação diz-se maximal se não é posśıvel afectar mais zeros namatriz



TeoremaSe k é o número máx. de zeros afectáveis, então existe um conjunto de kriscos que cobrem todos os zeros da matriz, de forma que nenhum zeroafecto está na intersecção de dois riscos.

se k = n temos a sol. do problema

se k < n vamos introduzir mais zeros na matriz



TeoremaSupondo que os zeros da matriz de custo são cobertos por k < n riscos,seja θ o ḿınimo dos elementos não cobertos. Se subtrairmos θ a todas aslinhas não cobertas e somarmos θ a todas as colunas cobertas, obtém-seuma nova matriz de custos cuja soma de todos elementos é inferior emθn(n − k) à soma de todos os elementos da matriz anterior.

a convergência finita do algoritmo húngaro (Kuhn, 1955/56) que vamosdescrever resulta do teorema anterior



Método húngaro, Kuhn (1955)

Passo 1 Redução da matriz de custos: reduzir a matriz de custos demodo a que todos os elementos sejam não negativos e cdlinha e cd coluna contenha pelo menos um zero

1 subtrair aos elementos de cada linha da matriz de custoso ḿınimo dessa linha

2 na matriz resultante, subtrair a cada coluna o respectivoḿınimo



Passo 2 Determinar uma afectação maximal associada apenas a zerosna matriz de custos

1 desenhar o número ḿınimo de traços que cobrem todosos zeros da matriz, seja k o número ḿınimo de traçosque cobrem todos os zeros (ou o número de zerosafectos)

2 se k = n, STOP a afectação óptima foi encontrada,enquadrar n zeros, um por linha e um por coluna

3 se k < n, então efectuar a redução da matriz de custos

1 seja θ o ḿınimo dos elementos não riscados2 subtrair θ a todos os elementos não riscados3 somar θ a todos os elementos duplamente riscados4 considerar de novo todos os zeros livres e voltar ao

Passo 2.



Interpretação do algoritmo

No final do Passo 1 uma sol. admiss. inicial para o dual é obtida daseguinte forma{

ūi = minj cij i = 1, . . . , nv̄j = mini{cij − ūi} j = 1, . . . , n

a correspondente solução primal pode também ser determinada

Os Passos 2.1 e 2.2 correspondem à verificação da optimalidade da solução



O Passo 2.3 corresponde à actualização da solução, a solução dual podeser actualizada da seguinte forma{

ūi = ūi + θ, ∀i linha não cobertav̄j = v̄j − θ, ∀j coluna coberta

exemplo

5 4 2 6

3 5 4 1

7 8 6 2

2 1 1 3



Passo 11.

3 2 0 4

2 4 3 0

5 6 4 0

1 0 0 2

u1 = 2u2 = 1u3 = 2u4 = 1

2.2 2 0 4

1 4 3 0

4 6 4 0

0 0 0 2

v1 = 1v2 = 0v3 = 0v4 = 0



a solução primal pode também ser obtida tentando ”enquadrar”um zero emcada linha e em cada coluna

por exemplo, ”enquadrar”os zeros nas posições

(1, 3), (2, 4), (4, 2)

ainda não foi posśıvel ”enquadrar”n = 4 zeros, por isso a solução aindanão é óptima



Passo 21. desenhar traços sobre a linha 4, a coluna 4 e a coluna 32 2 0 4

1 4 3 0

4 6 4 0

0 0 0 2

2. foram apenas usados 3 traços (notar que foram também apenas”enquadrados”3 zeros)portanto, ainda não obtivemos uma afectação completa



3. determinar θ o menor dos elementos não riscados, i. e.

θ = min{2, 2, 1, 4, 4, 6} = 1

e actualizar

a solução dual passa a seru1 = 2 + 1 v1 = 1u2 = 1 + 1 v2 = 0u3 = 2 + 1 v3 = 0− 1u4 = 1 v4 = 0− 1



a matriz é actualizada para1 1 0 4

0 3 3 0

3 5 4 0

0 0 1 3

podemos ”enquadrar os zeros nas posições (1, 3), (3, 4), (4, 2), (2, 1)já obtivemos uma afectação completa, portanto a solução já é óptima ouentão (no Passo 2.1) desenhar traços sobre a linha 4, a coluna 4, a coluna3 e a linha 2,foram desenhados 4 traços, portanto a solução já é óptima


Problema da Árvore de suporte de custo ḿınimo

Problema da Árvore desuporte de custo ḿınimo



Topologias de ligação para diversos tipos de redes

Diversos tipos de redes:de telecomunicações, de transportes, de electricidade, de gás

Diversas topologias de ligação:



Dados

um grafo G = (V ,E ) sendo

V = {1, 2, . . . , n} o conjunto de vértices;E = {{i , j}, i , j ∈ V } o conjunto de arestas;cij o custo unitário associado a cada aresta {i , j} ∈ E .

0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8



Árvore de suporte

Uma árvore de suporte T de G é o menor subgrafo conexo e aćıclico (semciclos) com todos os vértices de G .

0

1

2

6 3

4

5



Árvore de suporte de custo ḿınimo (ASCM)

árvore - o menor subgrafo conexo sem ciclos - cujo custo total das arestasé o menor posśıvel

0

1

2

6 3

4

5

custo = 20



Árvore de suporte de custo ḿınimo (ASCM)

árvore - o menor subgrafo conexo sem ciclos - cujo custo total das arestasé o menor posśıvel

0

1

2

6 3

4

53

2

1

5

45

custo = 20



Seja T = (V ,ET ) uma árvore de suporte.

Ciclo numa árvore

Seja a uma qualquer aresta “não na árvore”, isto é, a ∈ E\ET .Juntando a a T formamos um único ciclo C .Se, de seguida, removermos qualquer outra aresta de C formamos umaoutra árvore de suporte.

0

1

2

6 3

4

5




Ciclo numa árvore


0

1

2

6 3

4

5

C = { {0, 1}, {0, 6}, {1, 5}, {2, 6}, {2, 5}}C. Requejo (UA) Métodos de Investigação Operacional MIO 2019-2020 69 / 138



Ciclo numa árvore


0

1

2

6 3

4

5




CORTE numa árvore

Seja {i , j} uma qualquer aresta na árvore, isto é, {i , j} ∈ ET .Removendo a aresta {i , j} da árvore T , formamos duas componentesconexas com conjuntos de vértices S e V \S .As arestas que unem vértices de S a vértices de V \S formam um corteCORTE (S ,V \S).

0

1

2

6 3

4

5




CORTE numa árvore

Seja {i , j} uma qualquer aresta na árvore, isto é, {i , j} ∈ ET .Removendo a aresta {i , j} da árvore T , formamos duas componentesconexas com conjuntos de vértices S e V \S .As arestas que unem vértices de S a vértices de V \S formam um corteCORTE (S ,V \S).

0

1

2

6 3

4

5

CORTE ({0, 1, 5, 6}, {2, 3, 4}) ={{0, 2}, {1, 3}, {5, 2}, {5, 3}, {6, 2}, {6, 4}}



Condições de Otimalidade

Condições de Otimalidade de CORTE

Para qualquer aresta {i , j} na árvore T , isto é, {i , j} ∈ ET , temos cij ≤ ck`para qualquer aresta {k, `} do corte formado quando se remove a aresta{i , j} de T .

0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8




Condições de Otimalidade de CAMINHO

Para toda a aresta {k, `}“não na árvore”T , isto é, {k, `} 6∈ ET , temoscij ≤ ck` para toda a aresta {i , j} do CAMINHO formado pelas arestas{i , j} de T que unem o vértice k ao vértice `.

0

1

2

6 3

4

5






0

1

2

6 3

4

5

C = [2, 6, 0, 1, 5]






0

1

2

6 3

4

5

3

2

1

5

7



Teoremas de Otimalidade

Otimalidade de CORTE

Uma árvore de suporte T é uma árvore de suporte de custo ḿınimo se e sóse satisfaz as condições de otimalidade de CORTE.

Otimalidade de CAMINHO

Uma árvore de suporte T é uma árvore de suporte de custo ḿınimo se e sóse satisfaz as condições de otimalidade de CAMINHO.



problema de optimização combinatória

algoritmos de resolução polinomiais

1 Algoritmo de Kruskal

2 Algoritmo de Prim

→ algoritmos ’greedy’ (gulosos)

estes algoritmos satisfazem as condições de optimalidade do corte edo caminho



Algoritmo de Kruskal

1 Ordenar as arestas por ordem não decrescente do seu custo

2 Inicializar T := {}3 Enquanto E 6= {}, fazer

1 seleccionar uma aresta a = {i , j} ∈ E2 se T ∪ {a} não formar um ciclo, então T := T + {a}3 E := E − {a}

Nota: também podeŕıamos continuar o ciclo ”Enquanto |T | < n − 1”



Determine a árvore de custo ḿınimo para o seguinte exemplo.

0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8




0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

1




0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

1

2




0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

1

2

3




0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

1

2

3

4




0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

1

2

3

4

5




0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

1

2

3

4

5

5



Algoritmo de Prim

1 Inicializar T := {} e S = {1}2 Enquanto S 6= N, fazer

1 determinar a aresta a = {i , j} de menor custo cij de S para N\S(i ∈ S , j ∈ N\S)

2 T := T + {a}3 S := S + {j}



Representação poliédrica em PLI

caracterizar um conjunto de arestas satisfazendo uma determinadapropriedade

Como?

formulações naturais e estendidas



Formulação natural

conjunto de variáveis uij , para toda a aresta {i , j} ∈ E , ou xij , para todo oarco (i , j) ∈ A, que caracterizam o objeto combinatório

uij =

{1, se aresta {i , j} está na solução0, c.c.

ou

xij =

{1, se arco (i , j) está na solução0, c.c.

+conjunto de restrições nas variáveis uij ou xij



Formulação estendida

conjunto de variáveis que caracterizam o objeto combinatório+

conjunto de variáveis ”adicionais”+

conjunto de restrições nas variáveis ”naturais”+

conjunto de restrições nas variáveis ”adicionais”+

conjunto de restrições de ligação das variáveis



Formulação não orientada - Modelo de SUBCIRCUITOS

Uma árvore de suporte

tem n-1 arestas/arcos não tem ciclos

(USUB)

∑{i ,j}∈E uij = n − 1

∑{i ,j}∈E(S) uij ≤ |S | − 1

∀S ⊆ V , |S | ≥ 2

uij ∈ {0, 1}



Formulação não orientada - Modelo de SUBCIRCUITOS



(USUB)

∑{i ,j}∈E uij = n − 1

∑{i ,j}∈E(S) uij ≤ |S | − 1

∀S ⊆ V , |S | ≥ 2

uij ∈ {0, 1}

(USUBL) ⇒ uij ∈ [0, 1]



Formulações orientadas

Orientar o grafo:

cada aresta e = {0, j} de E é substitúıda pelo arco (0, j)

cada aresta e = {i , j} de E (i 6= 0) é substitúıda por dois arcos, arco(i , j) e arco (j , i)

cada arco herda os valores (custo, peso, . . .) associados a cada aresta

grafo orientado completo G = (V ,A), |V | = n, eA = {(i , j), i ∈ V , j ∈ V \ {0}, i 6= j}



Modelo de SUBCIRCUITOS



(SUB)

∑(i ,j)∈A xij = n − 1

∑(i ,j)∈A(S) xij ≤ |S | − 1

∀S ⊆ V , |S | ≥ 2

xij ∈ {0, 1}



Modelo de SUBCIRCUITOS



(SUB)

∑(i ,j)∈A xij = n − 1

∑(i ,j)∈A(S) xij ≤ |S | − 1

∀S ⊆ V , |S | ≥ 2

xij ∈ {0, 1}

(SUBL) ⇒ xij ∈ [0, 1]



Modelo de CORTES


tem n-1 arestas/arcos é um grafo conexo

(CORTE)

∑(i ,j)∈A xij = n − 1

∑(i ,j)∈A(S,S) xij ≥ 1

∀S ⊂ V , V 6= ∅, 0 ∈ S

xij ∈ {0, 1}



Modelo de CORTES


tem n-1 arestas/arcos é um grafo conexo

(CORTE)

∑(i ,j)∈A xij = n − 1

∑(i ,j)∈A(S,S) xij ≥ 1

∀S ⊂ V , V 6= ∅, 0 ∈ S

xij ∈ {0, 1}

(CORTEL) V xij ∈ [0, 1]



Proposição

o conjunto de soluções admisśıveis de (SUBL) e o conjunto de soluçõesadmisśıveis de (CORTEL) caracterizam o envolvente convexo associado aASCM

Teorema

Os pontos extremos do poliedro definido quer pela relaxação linear domodelo (SUB) quer pela relaxação linear do modelo (CORTE) são osvectores de incidência da árvore de suporte.



Modelo de fluxos

o facto de uma árvore ser um grafo conexo é tratado de uma formadiferente

consideramos o fluxo de uma comodidade do nodo 0 para cada umdos restantes nodos do grafo

usamos variáveis orientadas de fluxo ykij representam a quantidade defluxo enviada pela raiz que passa no arco (i , j) e tem como destino onodo k



Modelo de fluxos

(MFLUXOS)∑(i ,j)∈A xij = 1, ∀j ∈ V \ {0}

∑i∈V y

kij −

∑i∈V y

kji =

−1, j = 00, j ∈ V \ {0, k}1, j = k

, k ∈ V \ {0}

ykij ≤ xij , ∀i , j , k ∈ V , j , k 6= 0, i 6= kxij ∈ {0, 1}ykij ≥ 0



Árvore com restrições adicionais

melhorar o desempenho da rede e que cumpram os requisitos de algunsdispositivos instalados

restrições de atraso máximo e restrições de fiabilidade da rede demodo a evitar a degradação da qualidade do sinal da rede

−→ restrições de salto limitam o comprimento do caminho do nodo 0para todos os restantes nodos

−→ restrições de diâmetro limitam o comprimento do maior caminhoda árvore



Árvore com restrições adicionais

melhorar o desempenho da rede e que cumpram os requisitos de algunsdispositivos instalados

restrições de capacidade de certos dispositivos instalados em algunsnós−→ restrições de capacidade limitam o número de nodos de qualquersubárvore da raiz−→ restrições de grau limitam o número de ligações dos nodos daárvore

restrições nos custos de instalação−→ restrições de peso (ou saco-mochila como também sãoconhecidas) limitam o peso da árvore


Problema do caminho mais curto

Problema do caminhomais curto



Dados

um grafo orientado G = (V ,A) sendo

V = {1, 2, . . . , n} o conjunto de vértices;A = {(i , j), i , j ∈ V } o conjunto de arcos;cij o custo unitário associado a cada arco (i , j) ∈ A.

0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8



Caminho

Um caminho é uma sequência de vértices [v1, v2, . . . , vk ],v1, v2, . . . , vk ∈ V de tal forma que (vi , vi+1) ∈ A, i = 1, . . . , k − 1,, i.e.um vértice e o seu sucessor na sequência são adjacentes, sem qualquerrepetição de vértices.

0

1

2

6 3

4

5



Caminho


0

1

2

6 3

4

5

exemplos de passeios: [0,1,5,3]



Caminho


0

1

2

6 3

4

5

exemplos de passeios: [0,1,5,3][0,2,6,4]



Caminho mais curto (CMC)

caminho cujo custo total das arestas é o menor posśıvel

caminho mais curto ≡ caminho de menor custo

0

1

2

6 3

4

5






0

1

2

6 3

4

5

10

5

[0,2,3] custo 15






0

1

2

6 3

4

53

9

[0,1,3] custo 12






0

1

2

6 3

4

53

1

8

[0,1,5,3] custo 12



Grande variedade de caminhos mais curtos

de um vértice espećıfico para outro espećıfico

de um vértice espećıfico para todos os outros

de cada um dos vértices para todos os outros

de um vértice espećıfico para outro espećıfico, mas passando por umdeterminado conjunto de vértices

...



Requisitos para o problema

Topologia da rede: consideramos apenas grafos/redes orientadose se não for?

Origem: consideramos que existe um caminho (orientado) da origempara cada um dos restantes vérticese se não tiver?

Custos/Comprimentos: consideramos apenas custos/comprimentos inteirose se não tiver?

Ciclos: consideramos que a rede não possui ciclos negativos




caracterizar um conjunto de arcos satisfazendo uma determinadapropriedade

Propriedade:

caminho mais curto entre os vértices s e t

usamos variáveis binárias orientadas de fluxo yij que representam aquantidade de fluxo enviada pela raiz que passa no arco (i , j) e tem comodestino o vértice t

yij =

{1, se no arco (i , j) passa fluxo de s para t0, c.c.



Modelo para o problema do CMC

CMC entre o vértice s e o vértice t

min∑

(i ,j)∈Acijyij

∑i∈V

yij −∑i∈V

yji =

−1, j = s0, j ∈ V \ {s, t}1, j = t

yij ∈ {0, 1}




Propriedade:

caminho mais curto entre o vértice s e todos os restantes vértices

usamos variáveis inteiras orientadas de fluxo fij que representam aquantidade de fluxo enviada pela raiz que passa no arco (i , j)

fij =

{quantidade de fluxo que passa no arco (i , j)0, se não passa fluxo

usamos também variáveis binárias orientadas xij que indicam se o arco(i , j) está ou não na solução

xij =

{1, se o arco (i , j) está na solução0, c.c.




CMC entre o vértice s e todos os restantes vértices

min∑

(i ,j)∈Acijxij

∑i∈V

fij −∑i∈V

fji =

{−(|V | − 1), j = s1, j ∈ V \ {s}

fij ≤ (|V | − 1)xij , (i , j) ∈ Afij ≥ 0xij ∈ {0, 1}




CMC entre o vértice s e todos os restantes vértices

min∑

(i ,j)∈Acij fij

∑i∈V

fij −∑i∈V

fji =

{−(|V | − 1), j = s1, j ∈ V \ {s}

fij ≥ 0

neste modelo o valor da f.o. é a soma dos custos (comprimentos) de todosos caminhosno modelo anterior o valor da f.o. dá-nos o valor da soma do custo dosarcos na solução (o custo de cada arco é contabilizado apenas uma vez)



Algoritmo de Dijkstra

Requisitos:

Custos inteiros e não negativos

Existe um vértice origem s

Existe um caminho orientado do vértice origem para todos os outrosvértices

Objectivo

Encontrar o caminho mais curto do vértice origem para cada um dosoutros vértices




Etiquetas:

Vamos considerar que etiquetamos os vértices

Designamos por d() o vetor das etiquetas

d(i) é a etiqueta do vértice i

d(i) é a distância/comprimento/custo de algum caminho do vérticeorigem para o vértice i

pred() é o vetor dos predecessores, no caminho, de cada vértice




Passo chave

Passo chave nos algoritmos para o CMC é a actualização das etiquetas

O procedimento Etiquetar(i) actualiza a etiqueta dos vértices jadjacentes a i :

Etiquetar(i)

1 para cada (i , j) ∈ A(i) fazer2 se d(j) > d(i) + cij , então d(j) := d(i) + cij e pred(j) := i

As etiquetas não podem aumentar de valor quando se executa umEtiquetar. Só podem diminuir.

Apenas executamos novamente Etiquetar(i) se d(i) diminuir de valor.




O algoritmo de Dijkstra determina o caminho mais curto entre umvértice s e todos os outros vértices num grafo com custos nãonegativos.

A ideia base consiste em começar no vértice origem s e ir etiquetandoos vértices, a partir de s, com os respectivos custos/distâncias.

Sempre que se tem a certeza de que a etiqueta marca o caminho maiscurto, a etiqueta deixa de ser temporária e passa a ser permanente.

a etiqueta permanente d∗(j) é o valor da distância/custo do caminhomais curto do vértice s para o vértice j

o algoritmo de Dijkstra determina d∗(j) para cada j , aumentando asdistâncias desde o vértice origem s.

S designa o conjunto de vértices permanentemente etiquetados:d(j) = d∗(j) para j ∈ S .T designa o conjunto de vértices temporariamente etiquetados:d(j) ≥ d∗(j) para j ∈ T .




1 S := {s}, d(s) := 0, pred(s) := −12 T := V − {s}, d(j) =∞, pred(j) :=∞ para j ∈ T3 Etiquetar(s)4 Enquanto S 6= V , fazer

1 seleccionar um vértice i ∈ T tal que d(i) = min{d(j), j ∈ T}2 S := S ∪ {i}, T := T − {i}3 Etiquetar(i)



0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

d = [ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ]Etiquetar(0) d = [ × 3 10 ∞ ∞ ∞ 2 ]Etiquetar(6) d = [ 3 7 ∞ 10 ∞ × ]Etiquetar(1) d = [ × 7 12 10 4 ]Etiquetar(5) d = [ 7 12 10 × ]Etiquetar(2) d = [ × 12 10 ]Etiquetar(4) d = [ 12 × ]Etiquetar(3) d = [ × ]

pred = [ −1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ]Etiquetar(0) pred = [ × 0 0 ∞ ∞ ∞ 0 ]Etiquetar(6) pred = [ 0 6 ∞ 6 ∞ × ]Etiquetar(1) pred = [ × 6 1 6 1 ]Etiquetar(5) pred = [ 6 1 6 × ]Etiquetar(2) pred = [ × 1 6 ]Etiquetar(4) pred = [ 1 × ]Etiquetar(3) pred = [ × ]




Porque é que o algoritmo de Dijkstra funciona?

1 Se j ∈ S , então d(j) é a distância/custo mais curta do vértice s parao vértice j .

2 Se i ∈ S e j ∈ T , então d(i) ≤ d(j).3 Se j ∈ T , então d(j) é o custo do caminho mais curto do vértice s

para o vértice j ∈ S ∪ {j}.

Complexidade do algoritmo: O(|V |2)



Algoritmo de Bellman, Moore & FordPermite a existência de custos negativos nos arcos

Mas não pode ter ciclos com custo negativo

As etiquetas apenas se tornam permanentes no final do algoritmo.

No alg. Dijkstra quando uma etiqueta é tornada permanente, já não pode ser modificada(caso do nodo 2), no entanto a etiqueta pode não representar o custo do caminho maiscurto

1

2

3

4

2 1

5 3

6−4

Notação: d(j) = ”etiqueta de custo temporária”

a cada iteração, é o custo de um caminho (ou passeio) do vértice spara o vértice jno final do algoritmo, d(j) é o custo ḿınimo de um caminho do vértices para o vértice j



Algoritmo de Bellman, Moore & Ford

1 d(s) := 0, pred(s) := −12 d(j) =∞ para j ∈ N − {s}3 Enquanto algum arco (i , j) satisfizer d(j) > d(i) + cij , fazer

1 d(j) := d(i) + cij2 pred(j) := i



0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

d = [ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ](0, i) d = [ 3 10 2 ](1, i) d = [ 12 4 ](2, i) d = [ 14 ](5, 3) d = [ ](6, 4) d = [ 10 ]

pred = [ −1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ](0, i) pred = [ 0 0 0 ](1, i) pred = [ 1 ](2, i) pred = [ 2 2 ](5, 3) pred = [ ](6, 4) pred = [ 10 ]



Algoritmo de Bellman, Moore & Ford

O que acontece se existirem ciclos com custo negativo?O algoritmo pode deixar de ser finito, podemos ter d(j) a decrescerpara −∞contudo podemos parar de d(j) < −nC uma vez que desta formagarantimos a existência de um ciclo com custo negativo

algoritmo tipo ”label correcting”, enquanto que o alg. Dijkstra é tipo”label setting”

Complexidade do algoritmo: O(|V ||A|) no melhor dos casos, mas pode serpior pois pode examinar um arco várias vezes



Algoritmo Floyd-Warshall

Podemos considerar arcos com custos negativos

Obtemos uma matriz de caminhos mais curtos.

Denotamos por d(i , j) o custo do caminhos mais curto do vértice i aovértice j .

Mais precisamente dk(i , j) é o custo do caminho mais curto dovértice i ao vértice j , podendo apenas usar os vértices 1, 2, . . . , k − 1.Propriedade: dk+1(i , j) = min{dk(i , j), dk(i , k) + dk(k, j)}



Algoritmo de Floyd-Warshall

1 Para todos os pares de vértice [i , j ] ∈ V × V fazerd(i , j) :=∞ e pred(i , j) := 0

2 Para todos os vértices i ∈ V fazerd(i , i) := 0

3 Para cada arco (i , j) ∈ A fazerd(i , j) := cij e pred(i , j) := i

4 Para k := 1 a n fazer1 para cada par de vértices [i , j ] ∈ V × V , se d(i , j) > d(i , k) + d(k, j)

fazer2 d(i , j) := d(i , k) + d(k, j)3 pred(i , j) := pred(k, j)



exemplo: inicialização e iteração 1, k = 1

d =

∞ 9 ∞ 15 ∞ ∞∞ ∞ 2 4 ∞ ∞∞ 2 ∞ ∞ ∞ 7∞ ∞ 3 ∞ 35 ∞∞ ∞ 6 16 ∞ 21∞ ∞ ∞ ∞ 5 ∞

pred =

0 1 0 1 0 00 0 2 2 0 00 3 0 0 0 30 0 4 0 4 00 0 5 5 0 50 0 0 0 6 0



exemplo: iteração 2, k = 2

d =

∞ 9 11 13 ∞ ∞∞ ∞ 2 4 ∞ ∞∞ 2 4 6 ∞ 7∞ ∞ 3 ∞ 35 ∞∞ ∞ 6 16 ∞ 21∞ ∞ ∞ ∞ 5 ∞

pred =

0 1 2 2 0 00 0 2 2 0 00 3 2 2 0 30 0 4 0 4 00 0 5 5 0 50 0 0 0 6 0




d =

∞ 9 11 13 ∞ 18∞ 4 2 4 ∞ 9∞ 2 4 6 ∞ 7∞ 5 3 9 35 10∞ 8 6 12 ∞ 13∞ ∞ ∞ ∞ 5 ∞

pred =

0 1 2 2 0 30 3 2 2 0 30 3 2 2 0 30 3 4 2 4 30 3 5 2 0 30 0 0 0 6 0




d =

∞ 9 11 13 48 18∞ 4 2 4 39 9∞ 2 4 6 41 7∞ 5 3 9 35 10∞ 8 6 12 47 13∞ ∞ ∞ ∞ 5 ∞

pred =

0 1 2 2 4 30 3 2 2 4 30 3 2 2 4 30 3 4 2 4 30 3 5 2 4 30 0 0 0 6 0




d =

∞ 9 11 13 48 18∞ 4 2 4 39 9∞ 2 4 6 41 7∞ 5 3 9 35 10∞ 8 6 12 47 13∞ 13 11 17 5 18

pred =

0 1 2 2 4 30 3 2 2 4 30 3 2 2 4 30 3 4 2 4 30 3 5 2 4 30 3 5 2 6 3




d =

∞ 9 11 13 23 18∞ 4 2 4 14 9∞ 2 4 6 12 7∞ 5 3 9 15 10∞ 8 6 12 18 13∞ 13 11 17 5 18

pred =

0 1 2 2 6 30 3 2 2 6 30 3 2 2 6 30 3 4 2 6 30 3 5 2 6 30 3 5 2 6 3



Como detectar ciclos de custo negativo?Se d(i , j) < 0 então existe um ciclo de custo negativo passando pelovértice i

Se fizer a inicialização d(i , i) =∞ é posśıvel a identificação de ciclos,com a inicialização d(i , i) = 0 apenas identifico ciclos de custonegativo.

Complexidade do algoritmo: O(|V |3)


Problema do fluxo máximo




Dados


V = {1, 2, . . . , n} o conjunto de vértices;A = {(i , j), i , j ∈ V } o conjunto de arcos;uij capacidade associado a cada arco (i , j) ∈ A;nodo s origem do fluxo e nodo t destino do fluxo

s

1

2

6 t

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8



Dados


V = {1, 2, . . . , n} o conjunto de vértices;A = {(i , j), i , j ∈ V } o conjunto de arcos;uij capacidade associado a cada arco (i , j) ∈ A;nodo s origem do fluxo e nodo t destino do fluxo

s

1

2

6 t

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8

s t



Objectivo

Numa rede com capacidades nos arcos pretendemos

maximizar o fluxo que sai de s e tem o nodo t como destino

exemplo: s = 0 e t = 3

0

1

2

6 3

4

5

3

10

2

1

5

4

5

7

8

9 8



Objectivo




0

1

2

6 3

4

5

10

2

5

4

5

7

8

93, 1

1, 1

8, 1

exemplos de caminhos e seus fluxos: [0,1,5,3] fluxo = 1



Objectivo




0

1

2

6 3

4

5

10

2

1

5

4

5

7

8

83, 3 9, 3

exemplos de caminhos e seus fluxos: [0,1,5,3] fluxo = 1 ×[0,1,3] fluxo = 3



Objectivo




0

1

2

6 3

4

5

2

1

4

5

7

8

83, 3 9, 3

10, 5

5, 5

exemplos de caminhos e seus fluxos: [0,1,5,3] fluxo = 1 ×[0,1,3] fluxo = 3[0,2,3] fluxo = 5



Objectivo




0

1

2

6 3

4

5

2

1

4

5

7

8

83, 3 9, 3

10, 5

5, 5

exemplos de caminhos e seus fluxos: [0,1,5,3] fluxo = 1 ×[0,1,3] fluxo = 3[0,2,3] fluxo = 5fluxo total de s = 0 para t = 3 é de 8




caracterizar um conjunto de arcos satisfazendo uma determinadapropriedade

Propriedade:

fluxo que sai de s = fluxo que entra em te

para i ∈ V \{s, t}, fluxo que entra em i = fluxo que sai de i

usamos variáveis orientadas de fluxo yij que representam a quantidade defluxo que passa no arco (i , j)



Modelo para o problema do fluxo máximo

Modelo para o fluxo máximo entre o vértice s e o vértice tmax v∑i∈V

yij −∑i∈V

yji =

−v , j = s0, j ∈ V \ {s, t}v , j = t

0 ≤ yij ≤ uij para todo (i , j) ∈ A



Fluxos

Fluxo admisśıvel

Referimo-nos a um fluxo y admisśıvel como sendo a quantidade de fluxoque atravessa um arco e não ultrapassa o valor da capacidade do arco.

um arco diz-se saturado se yij = uij

um caminho diz-se saturado se pelo menos um dos seus arcos estásaturado

um fluxo diz-se saturante se todo o caminho entre s e t está saturado

Fluxo máximo

Referimo-nos a um fluxo y como sendo máximo se for admisśıvel emaximizar a quantidade v que é enviada de s para t.



Fluxos

Objectivo

No problema do fluxo máximo, o objectivo é o de determinar o maior fluxoposśıvel, o fluxo máximo, de s para t.

s

1

2

t

10, 8

6, 5

1, 1

8, 7

10, 6

exemplo de um fluxo não óptimo, num problema de fluxo máximo



Rede Residual

s

1

2

t i juij , yij

10, 8

6, 5

1, 1

8, 7

10, 6

s

M etodos de Investiga˘c~ao Operacionalsweet.ua.pt/crequejo/teach/mio_or.pdf · 2019. 12. 10. ·...

Documents

Transcript of M etodos de Investiga˘c~ao Operacionalsweet.ua.pt/crequejo/teach/mio_or.pdf · 2019. 12. 10. ·...