M2B 97884481 ud 05 - Amazon Web...

LA INTEGRAL

05

Com podem calcular àrees o volums de fi gures que no tenen els costats rectes? O de fi gures que, a més de no tenir els costats rectes, no podem relacionar amb un cercle o amb una esfera? Què passa si són fi gures o cossos irregulars que no podem descompondre en fi gures més senzilles i conegudes, de les quals sí que tenim la fórmula per calcular-ne l’àrea o el volum?

BLOC 1

M2B_97884481_ud_05.indd 139 21/11/08 12:12:21

140 BLOC 1. FUNCIONS05

j 5.1 El problema de l’àreaEn la figura 5.1 hi ha representada una funció f (x) contínua en un interval tancat [a, b]. La figura limitada per la gràfica de la funció en aquest interval, les ordenades corres-ponents als extrems de l’interval i el segment de l’eix OX corresponent a l’interval, no és una figura geomètrica coneguda. Com se’n calcula l’àrea?

Per calcular l’àrea A procedirem per aproximació.

Posem condicions prèvies:

1a: f (x) contínua i monòtona, creixent o decreixent, en tot l’interval [a, b].

2a: f (x) no negativa per a tot x [a, b].

Considerem f (x) creixent en aquest cas. Valdria un rao-nament semblant al que fem a continuació si f (x) fos decreixent.

Una primera aproximació de l’àrea es pot obtenir se-guint el procediment següent:

Dividim l’interval [a, b] en 4 parts iguals, o subin-tervals, i considerem cadascun d’aquests subintervals iguals com a base els rectangles i, com a altura, el va-lor més petit de f (x) (fig. 5.2). La suma de les àrees d’aquests rectangles és una aproximació per defecte de l’àrea A.

Aquesta suma d’àrees l’anomenem suma inferior i la representem per si. Així:

s x x f x x x f x x x f x xi 1 0 0 2 1 1 3 2 2 44 3 3x f x

De manera semblant podem considerar la suma de les àrees dels rectangles que estan per sobre de la corba (fig. 5.3). Tenen la mateixa base que els anteriors però l’altura és el valor més gran de f (x) en cada subinterval. La suma de les àrees d’aquests rectangles és una aproximació per excés de l’àrea A.

Fig. 5.3

Aquesta suma d’àrees l’anomenem suma superior i la representem per Ss. Així:

S x x f x x x f x x x f x xs 1 0 1 2 1 2 3 2 3 44 3 4x f x

Evidentment, l’àrea A que busquem es troba entre aquestes dues sumes:s

i A S

s

Fig. 5.1

Fig. 5.2

L’àrea A indica l’àrea sota la gràfi-ca de la corba f (x) entre a i b.

M2B_97884481_ud_05.indd 140 20/11/08 10:15:03

141LA INTEGRAL 05

Com podem millorar l’aproximació de si i S

s a l’àrea A?

Si fem una partició més fina de l’interval [a, b], obtindrem unes sumes d’àrees de rectangles, per defecte i per excés, que seran una millor aproximació al valor de l’àrea que es vol obtenir. Si observem la figura 5.4, podrem entendre aquest raonament.

Fig. 5.4

Com que augmenta el nombre de subdivisions de l’interval, la suma de les àrees dels rectangles corresponents consta de més sumands. Una manera d’expressar aquestes sumes és la següent:

s x x f x S x x fi i i

i

n

i s i ii

n

11

1 11

i xx x a x bi n

on i0

Evidentment, l’àrea que estem buscant verifica:

x x f x A x x f xi i

i

n

i i ii

n

i11

1 11

Si ara considerem que el nombre de divisions tendeix a infinit, és a dir:

n ∞, aleshores xi

xi 1 0 i a efectes de representació ho escriurem com a dx.

Els valors de la funció f (xi 1) i f (xi

) són gairebé iguals, per la continuïtat de f (x). És a dir:

A x x f xn i i

i

n

ilim

∞ 11

Aquest límit se sol representar amb la notació: f x xa

b

d . Per tant,

A x x f x f x xn i i

i

n

i

b

lim∞

d11

a

on a

b

indica el límit de la suma amb els valors de x que varien des de x a fins a x b,

a i b són els extrems de l’interval i dx ens indica la variable de la funció f (x).

En els gràfics de les figures que hem considerat fins ara, f (x) era creixent en l’interval [a, b]. Si f (x) és decreixent en aquest interval, també es verifica que S

s s

i i l’àrea que cal calcular verifica:

si A S

s i els raonaments fets fins ara són igualment vàlids. Pots veure-ho en la figura 5.5.

Encara que la funció f (x) contínua a [a, b] no sigui monòtona en tot l’interval (fig. 5.6), es podria fer un raonament semblant al descrit anteriorment prenent els subintervals necessaris per tal que en cadascun d’ells es defineixi l’altura màxima o mínima del rectangle considerat per obtenir les sumes superior i inferior.

Vegem tot seguit amb un exemple com es troba una aproximació de l’àrea sota una corba com la que acabem de considerar.

Fig. 5.5

Fig. 5.6

La partició d’un segment o inter-val és la divisió del segment en un nombre de subintervals o parts. Es diu que una partició és més fina que una altra si està formada per un nombre més gran de divisions.

i

n

1representa la suma de n

termes en els quals i varia de i 1, en el primer sumand, fins a i n en l’últim.

M2B_97884481_ud_05.indd 141 20/11/08 10:15:07


EXEMPLE 1

Troba una aproximació de l’àrea sota la corba

f xx2

21 (fig. 5.7) en l’interval [0, 3]

fent una partició de l’interval en 6 subinter-vals.

Resolució

La funció f xx2

21 és creixent en l’in-

terval [0, 3]. L’àrea A verifica: si A S

s.

Calculem aquestes sumes tenint en compte que si dividim l’interval en 6 subintervals iguals es verifica que:

x xi i 1

3 06

12

Així:

s f f f fi

12

012

12

12

112

32

12

ff f212

52

12

1 1 125 1 5 2 125 3 4, , , ,1125 6 4375

12

12

12

112

32

2, u

S f f fs

12

212

52

12

3

12

1 125 1

f f f

, ,, , , , ,5 2 125 3 4 125 5 5 8 6875 2u

Per tant, 6,4375 u2 A 8,6875 u2.

Podem fer una estimació del valor de l’àrea tot calculant la mitjana aritmètica de si

i Ss:

6 4375 8 68752

7 56252 2

2, ,,

u uu

Podem dir que A 7,5625 u2.

Si la partició de l’interval fos de 12 subintervals, per exemple, la diferència entre les sumes superior i inferior seria més petita i podríem afinar una mica més en el valor de l’àrea A.

Fig. 5.7

1> Representa gràficament la funció f (x) x2 8x en l’interval [0, 4]. Calcula les sumes inferior i superior per estimar l’àrea sota la corba en aquest interval. Pots prendre n 8.

2> Calcula, en l’interval [0, 4], l’àrea sota la gràfica de la funció f (x) x 5. Fes-ne una gràfica i justifica per què pots calcular exactament aquesta àrea.

3> Considera la funció:

f xx2

21

de l’exemple 1. Fes una partició de l’interval [0, 3] en 12 subintervals. Calcula la suma de les àrees inferior i superior.

Comprova que l’estimació feta abans és correcta.

ACTIVITATS

M2B_97884481_ud_05.indd 142 20/11/08 10:15:09

143LA INTEGRAL 05

j 5.2 La integral definidaEn l’expressió A f x x

a

b

( )d que hem obtingut en l’apartat anterior, hem considerat f (x) positiva.

Es tractava de calcular l’àrea, que és un nombre positiu, i per tant, si tots els termes de la suma són positius, també ho és aquesta.

Podem generalitzar l’expressió anterior per una funció f (x) contínua en un interval tancat [a, b]. Així definim el nombre:

I f x xa

b( )d

on I s’anomena la integral definida de la funció f (x) entre a i b.

El nombre I f x xa

b

( )d coincideix amb l’àrea si f (x) és no negativa en tot l’interval [a, b] i

A I I si f (x) és negativa en tot l’interval [a, b].

j Propietats

a) f x x f x xa

b

b

a

( ) ( )d d

En l’interval [b, a] es verifica xi x

i 1 (xi 1 x

i ). És a dir, tots i cadascun dels sumands

canvien de signe, per tant, la suma també.

b) f x x f x x f x x c a ba

b

a

c

c

b

( ) ( ) ,d d sid

Observa la figura 5.8 per interpretar aquesta propietat.

c) k f x x k f x xa

b

a

b

( ) ( )d d on k és una constant.

d) f x g x x f x x g x xa

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )d d d

Observa que les propietats c) i d) són les propietats lineals que, de manera semblant, hem vist per a les derivades i les primitives.

e) g x xa

a

( )d 0, ja que és una suma d’un sol terme amb longitud de l’interval zero.

Fig. 5.8

ACTIVITATS

4> Representa gràficament la funció següent: f (x) ex. Expressa la integral definida de f (x) en l’interval [0, 1].

Encara que no sabem calcular la integral e d ,x

0

1x

coincideix aquesta integral amb l’àrea entre la corba i l’eix OX en el mateix interval? Raona la teva resposta.

5> Utilitza les propietats lineals c) i d) de la integral

definida per expressar 35

232

0

3x

xxd com a

suma d’integrals.

6> L’expressió dx

x1

1 no és una integral, encara que ho

sembli. Explica el perquè d’aquesta afirmació.

7> Raona la certesa o no de cadascuna de les sumes següents:

a) x x x x x x x x2

2

2 2

3

3 2

4

4 2

2

4d d d d

b) x x x x x x x x2

2

2 2

2

3 2

3

4 2

2

4d d d d

M2B_97884481_ud_05.indd 143 20/11/08 10:15:14


j 5.3 La funció integralEn l’apartat anterior hem definit la integral I f x

a

b

com un nombre.

Considerem ara que l’extrem b de l’interval pren diferents valors. És a dir, considerem intervals amb l’extrem inferior fixat i l’altre variable. Serien intervals del tipus [a, x]. En aquests intervals considerem la funció f (t) amb t [a, x] no negativa en tot l’interval.

Observa la figura 5.9.

Per a cada valor de x tenim un valor de I.

Per exemple, per a x 3, I f t Fa

33dt .

Per a cada x [a, b] podem definir la funció:

F x f t dta

xque s’anomena la funció integral.

F (x) és una funció contínua. És derivable?

Per veure-ho caldrà aplicar la definició de derivada:

F xF x h F x

hhlim

0

Si aquest límit existeix, serà la derivada de F (x). Calculem-lo.

F xF x h F x

h

f t t f t

h hlim lim

0 0

d dtt

ha

x

a

x h

Aplicant les propietats de la integral, tenim:

F xf t t f t t f t t

h

a

x

x

x h

a

x

lim0

d d d

hh

f t t

hh

x

x h

lim0

d

Per calcular aquest límit ens fixem en la integral f t tx

x h

d i la podem afitar entre els valors

màxim i mínim que pot prendre en l’interval [x, x h], ja que hem considerat f (x) monòtona creixent (fig. 5.10). Així, podem escriure:

f x h f t t f x h hx

x h

d

Dividint els tres termes d’aquestes desigualtats per h 0, tenim:

f xf t t

hf x hx

x h

d

lim lim limh h

x

x h

hf x

f t t

hf x h

0 0 0

d

Per la continuïtat de la funció f (x), tenim: limh

f x h f x0

i, per tant:

F xf t t

hf x

h

x

x h

lim0

d

És a dir, F ’(x) f (x).

Fig. 5.9

Fig. 5.10

M2B_97884481_ud_05.indd 144 20/11/08 10:15:19

145LA INTEGRAL 05

Acabem de demostrar el teorema fonamental del càlcul, que podem enunciar així:

Si F (x) f t ta

xd , la derivada F ’(x) f (x). O el que és el mateix, F (x) és una

primitiva de f (x).

Per exemple, si F x t t , F x f x x F xxx 2

2

23

3 33

3d i xx C

Hem trobat una expressió de la funció integral F (x) tot calculant una primitiva de f (x).

j 5.4 La fórmula de BarrowEn l’apartat anterior hem vist que F x f t t

a

x

( ) ( )d és una primitiva de f (x) ja que

F ’(x) f (x). Però cal recordar que una mateixa funció té infinites primitives, tals que la diferència entre cada dues d’elles és una constant.

Així, si G(x) és una primitiva qualsevol de f (x), es verifica: F (x) G(x) C; per tant, podem escriure:

f t t G x Ca

x

d

Si fem x a f t t G a Ca

a

, d i0 .

Per tant, f t t G x G aa

x

d .

Si ara fem x b, tenim, f t t G b G aa

b

d .

Canviant el nom de la variable t per x, tenim, per acabar:

f x x G b G aa

b

d , essent G(x) una primitiva de f (x)

que s’anomena la fórmula de Barrow.

Acabem de trobar un procediment per calcular la integral. En la pràctica, aquest càlcul s’expressa de la manera següent:

f x x F x F b F aa

b

a

bd on F (x) és una primitiva de f (x)

La integral no depèn de la primitiva triada, ja que si G(x) és una altra primitiva, és tal que

G x F x C G b F b C

G a F a C

Restant membre a membre obtenim: G (b) G (a) F (b) F (a), que ens demostra que la integral no depèn de la primitiva triada per fer-ne el càlcul.

ACTIVITATS

8> Troba la derivada de cadascuna de les funcions següents:

F x t t t G x t t H x t t

x x3

0

2

2

2

25 3d d dcos

xx

xJ x

t

t

d2

3

1

M2B_97884481_ud_05.indd 145 20/11/08 10:15:22


j 5.5 El càlcul integralEl càlcul integral es redueix a trobar la primitiva de la funció que es vol integrar i restar dos valors numèrics d’aquesta primitiva aplicant la fórmula de Barrow. En la unitat anterior ja vam calcular força primitives que ara ens serviran per calcular integrals.

Com hem vist, la primitiva que calculem pot ser una qualsevol de les possibles. Per facilitar el càlcul integral, triarem la primitiva que té C 0.

Vegem amb uns exemples com es poden calcular diferents integrals.

Per calcular primitives ja hem

utilitzat el símbol f x x( )d .

Observa que es tracta d’una integral sense límits numèrics. S’anomena integral indefinida.

EXEMPLE 2

Calcula xx

x3

1

1

32 d

Resolució

Comencem per buscar la primitiva de la funció:

f x xx3

32, amb C 0.

Aquesta primitiva és:

F xx x

x4

4 62

2

Apliquem la fórmula de Barrow. El càlcul el disposem de la manera següent:

xx

xx x

x

F

3

1

14 2

1

1

32

4 62

1

d

F 114

16

214

16

2 4

EXEMPLE 3

Calcula les integrals següents:

a) sin x xd0

b) 2

1 21

1

xxd c)

dx

x12

4

Resolució

a) sin cos cos cosx x xd0 0

0 1 1 2

b) 2

12 2 1 2 1

21

1

1

1

xx xd arc tg arc tg arc tg

24

24 2 2

c) dx

xx

11 3 1 3

2

4

2

4ln ln ln ln

M2B_97884481_ud_05.indd 146 20/11/08 10:15:26

147LA INTEGRAL 05

EXEMPLE 4

Calcula x xxe d2

3.

Resolució

La primitiva de la funció que es vol integrar no és immediata. Com que és un pro-ducte de funcions, podem provar el procediment d’integració per parts. Calculem la primitiva:

x x x e x x C x Cx x x x x xe d e d e e e 1

Tenim ja la primitiva i procedim al càlcul de la integral:

x x xx xe d e e e ee2

3

2

3 3 2 31 2 3 2322

EXEMPLE 5

Calcula 1 2

0

1x xd

Resolució

La primitiva de la funció que es vol integrar no és immediata. Caldrà fer un canvi de variable per trobar-la.

Fem el canvi: x sin t i, per tant, dx cos t dt.

1 11 2

22 2 2x x t t t t t

td d d dsin cos cos

costt t

tC

12

22

sin

Cal tenir en compte que els valors 0 i 1 que figuren a la integral corresponen a valors de la x, i ara han de ser valors de la nova variable t que figura en la primitiva obtinguda. Veiem quins valors corresponen:

0 0 12

sin sint t t t

La integral que s’ha de calcular és:

112

22

2 2

0

1

0

2x x t t tt

d dcossin

0

2 12 2 4

També es pot desfer el canvi en la primitiva obtinguda i aplicar la fórmula de Barrow per als valors de la x.

ACTIVITATS

9> Calcula les integrals següents:

a) x x16

0

2d b)

dx

x22

1 c) x xx2

1

0e d d) sin2

2

2 x xd

e) tg dx x0

4 f) x

xx

2 12

4

d g) x

xx

1 21

1

d h) x

xx

3

2 12

4

d

R: a) 21867

b) ln 4 c) 25e

d) 0

e) 0,346 f) 0,8 g) 0 h) 6,8

M2B_97884481_ud_05.indd 147 20/11/08 10:15:32


j 5.6 El càlcul d’àreesHem començat la unitat plantejant el problema de calcular l’àrea sota una corba en un interval tancat. Ara el resoldrem.

Considerem la funció f xx2

21 en l’interval [0, 3] de l’exemple 1. Com que la funció és posi-

tiva en tot aquest interval, l’àrea coincideix amb la integral. Així, podem escriure i calcular

Ax

xx

x2

0

33

0

3

2

21

692

3152

d u

Acabem de calcular l’àrea sota la corba limitada per la gràfica de la funció, l’eix OX i les orde-nades corresponents als punts x 0 i x 3, extrems de l’interval.

j Àrea compresa entre la gràfica d’una funció i l’eix OX

Vegem un cas més general. Observa la figura 5.11. Es tracta de calcular l’àrea compresa entre la gràfica de la funció f (x) i l’eix OX en l’interval [a, b].

En aquest interval, la funció no manté el mateix signe. En l’interval [a, c1] la funció no és nega-tiva, igual que en el [c2, b]. En canvi, manté el signe negatiu al [c1, c2]. L’àrea coincideix amb la integral si la funció és positiva. Si la funció és negativa, l’àrea serà el valor absolut de la integral. Tenint en compte aquestes consideracions, podem expressar l’àrea:

A f x x f x x f x xa

c

c

c

c

b1

1

2

2

d d d

L’àrea s’expressa com a suma de tantes integrals com intervals defineixi la funció en tallar l’eix OX i es considera el valor absolut de la integral en l’interval en què la funció és negativa.

Per tal de calcular l’àrea compresa entre f (x) i l’eix OX a l’interval [a, b], cal esbrinar si en aquest interval f (x) canvia de signe i, per tant, els punts en què la gràfica de la funció talla l’eix. Aquests punts definiran subintervals de [a, b]. L’àrea s’expressa com a suma d’integrals o dels seus valors absoluts, segons el signe de f (x), en cadascun dels intervals obtinguts.

j Àrea compresa entre les gràfiques de dues funcions

Per calcular l’àrea entre les gràfiques de les funcions f (x) i g(x) de la figura 5.12 cal observar la gràfica detingudament.

Observem que a i b corresponen a les abscisses dels punts d’intersecció de les dues funcions. És a dir, els valors de x que s’obtenen en resoldre l’equació f (x) g(x).

L’àrea que s’ha de calcular és la diferència entre l’àrea corresponent a g(x) en l’interval [a, b] i l’àrea corresponent a f (x) en el mateix interval: A A

g A

f . Expressat en termes d’integrals:

A g x x f x xa

b

a

b

d d

que, tenint en compte les propietats de la integral, podem escriure:

A g x f x xa

b

d

Fig. 5.11

Fig. 5.12

Hem posat u2 per indicar que es tracta d’una àrea i, per tant, es mesura en unitats quadrades.Observa que la mesura obtinguda no és gaire diferent de la que hem estimat en l’exemple 1.

Cal resoldre l’equació f (x) 0 per trobar els punts de tall de la gràfi-ca de la funció amb l’eix OX.

M2B_97884481_ud_05.indd 148 20/11/08 10:15:35

149LA INTEGRAL 05

Aquesta igualtat correspon a la gràfica de la figura 5.12, ja que g(x) f (x) en tot l’interval i la diferència és positiva i, per tant, la integral coincideix amb l’àrea. Si no fos així, caldria calcular el valor absolut de la integral.

En general, si no es coneix la relació d’ordre entre les dues funcions, expressarem l’àrea amb el valor absolut de la integral:

A f x g x xa

b

d

Es pot pensar que per calcular l’àrea de la figura 5.13 cal utilitzar un procediment diferent ja que hi ha part de l’àrea en la regió negativa de les funcions. Però si observes la figura 5.14, l’àrea que s’ha de calcular no varia si es traslladen les dues funcions de manera que les dues siguin positives en tot l’interval. Les funcions serien:

f x h g x hi

i la seva diferència: f x h g x h f x g x

Aquesta igualtat ens permet afirmar que l’àrea compresa entre els gràfics de dues funcions és independent del signe que prenen aquestes en l’interval considerat.

Vegem alguns exemples de com s’efectua el càlcul d’àrees.

EXEMPLE 6

Calcula l’àrea entre la corba f (x) sin x i l’eix OX en l’interval [0, 2 ].

Resolució

Si observem la representació gràfica de la funció f (x) sin x en l’interval [0, 2 ] (fig. 5.15), hi ha un punt d’intersecció amb l’eix OX.

Aquest punt es troba resolent l’equació sin x 0. Aquesta equació, en l’interval considerat, té com a solució x .

En l’interval [0, ] la funció no és negativa i en l’interval [ , 2 ] no és positiva.

Expressem i calculem l’àrea:

A x x x x x xsin sin cos cosd d0

2

0

2

cos cos cos cos0 2 2 2 4 2u

Si, com passa en aquest cas, les dues àrees que calculem són iguals, se’n pot calcular una i multiplicar per dos:

A x x x2 2 2 0 2 2 40 0

sin cos cos cosd uu2

Observa que si es calcula la integral sin x xd0

2, no s’obté el mateix resultat. Fixa’t que sin x xd

0

20.

Efectua els càlculs per comprovar-ho.

Fig. 5.15

Fig. 5.13

Fig. 5.14

M2B_97884481_ud_05.indd 149 20/11/08 10:15:38


EXEMPLE 7

Calcula l’àrea compresa entre la corba f (x) x3 3x2 x 3 i l’eix OX en l’interval [ 2, 1].

Resolució

En primer lloc, cal veure si en aquest interval la funció talla en algun punt l’eix OX. Això es pot saber buscant els punts de tall amb l’eix. És a dir, resolent l’equació:

x3 3x2 x 3 0

Aquesta equació és de tercer grau. Busquem si existeix alguna solució entre els divi-sors del terme independent 3; x 1 ho és. Per tant, el polinomi x3 3x2 x 3 és divisible per x 1. Podem fer la divisió pel mètode de Ruffini i tenim:

x3 3x2 x 3 (x 1) (x2 2x 3) 0

Queda per resoldre: x2 2x 3 0, que és una equació de segon grau que té les solu-cions: x 1 i x 3.

En conclusió, la gràfica de f (x) x3 3x2 x 3 talla l’eix de les abscisses en els punts x 1, x 1 i x 3; d’aquests, x 1 és interior a l’interval [ 2, 1]. Per calcu-lar l’àrea, caldrà considerar els dos intervals [ 2, 1] i [ 1, 1]. L’àrea serà el resultat de la suma de dues integrals que expressarem en valor absolut, ja que no coneixem el signe de la funció en cadascun dels intervals.

Tenint en compte tot això, l’expressió de l’àrea és:

A x x x x x x x x3 2

2

1 3 2

1

13 3 3 3d d

xx

xx

xx

xx

43

2

2

1 43

2

4 23

4 23

1

1

294

474

94

414

u

EXEMPLE 8

Calcula l’àrea entre la gràfica de les funcions

f xx

x2

23 i g(x) x 3.

Resolució

En la figura 5.16 hem representat les dues funcions i la regió de la qual cal calcular l’àrea.

Començarem per trobar els punts d’intersecció de les dues gràfiques. D’aquests ens interessa el valor de l’abscissa per determinar l’interval on s’ha de calcular la integral. N’hi ha prou d’igualar les dues expressions i resoldre l’equació:

xx x

xx x x

2 2

1 223 3

22 0 0 4i

Fig. 5.16

M2B_97884481_ud_05.indd 150 20/11/08 10:15:40

151LA INTEGRAL 05

L’expressió de l’àrea l’escriurem tenint en compte que la funció g(x) té valors més grans que f (x) en aquest interval i, per tant, la seva diferència és positiva. Si no fos així, o no coneguéssim la posició de les dues funcions, caldria expressar la integral en valor absolut.

L’expressió de l’àrea és:

A g x f x x0

4d

g x f x xx

xx

x32

32

22 2

que substituïm en la integral:

Ax

x xx

x2

0

43

2

0

4

22

6323

1d 66163

2u

ACTIVITATS

10> Calcula cos x xd0

i l’àrea sota la corba de la funció f (x) cos x en l’interval [0, ]. Coincideixen els dos resultats? Raona la teva resposta.

11> Expressa i calcula l’àrea entre la gràfica de la funció f (x) (x 1) (x2 x 6) i l’eix OX.

R: 25312

u2

12> Calcula l’àrea entre la gràfica de la funció f (x) x3 3x i l’eix OX.

R: 92

u2

13> Calcula l’àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions f (x) x2 i g(x) x2 8.

R: 643

u2

14> Representa gràficament les funcions f (x) x2 4x i

g xx32

. Calcula l’àrea de la regió compresa entre

les dues gràfiques.

R: 12548

u2

15> Representa gràficament la funció f (x) ln x en l’interval [1, e]. Calcula l’àrea sota aquesta corba en aquest interval.

R: 1 u2

16> La funció f (x) x2 x4 presenta simetria parella en la seva gràfica. Pots comprovar-ho. Calcula l’àrea sota aquesta corba i l’eix OX. Pots fer-ho calculant només una integral? Fes-ho així i t’estalviaràs càlculs.

R: 415

u2

17> Calcula l’àrea ombrejada de la figura 5.17. Les fun-cions representades són:

f xx

g x x x2

22

2

2i

R: 2625

u2

Fig. 5.17

M2B_97884481_ud_05.indd 151 20/11/08 10:15:44


j 5.7 El càlcul de volums de cossos de revolució

Considera en la figura 5.18 el segment AB que gira 360° a l’entorn de l’eix de les abscisses. En aquest gir genera un cilindre de radi r i altura b a. Com ja deus recordar, el volum d’aquest cilindre es calcula multiplicant l’àrea de la base per l’altura:

V r 2(b a)

Considerem una funció f (x) contínua, monòtona i derivable en un interval [a, b]. Si la gràfica d’aquesta funció gira 360° a l’entorn de l’eix de les abscisses, genera un cos el volum del qual podem calcular si seguim un procediment semblant al que hem utilitzat per calcular àrees.

Observa la figura 5.19.

Fig. 5.19

Cadascun dels rectangles que hem dibuixat, en dividir l’interval en 4 subintervals, genera un ci-lindre. La suma dels volums d’aquests cilindres dóna una aproximació per defecte del volum que es vol calcular. Ho podem expressar així:

V f x x x f x x x f xd 0

2

1 0 1

2

2 1 2

22

3 2 3

2

4 3x x f x x x

Si considerem dividit l’interval [a, b] en n subintervals iguals, podem escriure l’expressió del volum:

Vb a

nf x f x f x f x

n n0

2

1

2

2

2

1... -

2

El límit de Vn quan tendeix n a infinit ens donarà el volum buscat.

Quan nb a

n∞, 0. Amb una notació semblant a la que hem utilitzat per al càlcul d’àrees

podem expressar:

V f x x f x x f x xa

b

a

b

a

b2 2 2d d d

Aquesta integral permet calcular el volum generat per la gràfica d’una funció en girar 360° entorn de l’eix de les abscisses en l’interval [a, b].

Fig. 5.18

Es podria haver calculat el volum per excés, tal com hem fet per a les àrees. Com que el raonament és força semblant, no l’hem repe-tit aquí.

M2B_97884481_ud_05.indd 152 20/11/08 10:15:46

153LA INTEGRAL 05

EXEMPLE 9

Demostra que el volum d’una esfera de radi r (fig. 5.20) és: V r43

3.

Fig. 5.20

Resolució

Considerem una circumferència centrada en l’origen de coordenades i de radi r.

La seva equació és x2 y2 r2. Si considerem la funció y r x2 2 en l’interval [ r, r] tenim una semicircumferència que en girar a l’entorn de l’eix OX genera una esfera de radi r.

Apliquem l’expressió del volum obtinguda anteriorment:

V r x x r xx

rr

r

r

2 2 23

33

3

3

-r

rd

rr r

r33 3

3

343

43

Utilitzem directament l’expressió de y2 tot i que cal tenir en compte que la funció és

y r x2 2 , és a dir, només es considera l’arrel positiva.

Acabem de demostrar que el volum d’una esfera de radi r es pot calcular amb

l’expressió: V r43

3.

ACTIVITATS

18> Calcula el volum que genera la paràbola y x2 en girar a l’entorn de l’eix OX en l’interval [0, 3]. Fes-ne la representació gràfica.

R: 2435

u3

19> Dibuixa la gràfica de la funció f (x) sin x en l’interval [0, ]. Calcula el volum del cos que genera en girar a l’entorn de l’eix de les abscisses.

R: 2

2u3

20> Considera la recta d’equació y 2x en l’interval [0, 2]. Si gira a l’entorn de l’eix de les abscisses, quin cos genera? I si consideres que ho fa en l’interval [1, 3], de quin cos es tracta? Calcula el volum de cadascun d’aquests cossos.

R: 323

1043

u u3 3;

21> Expressa i calcula el volum del cos generat per una circumferència de centre (3, 0) i radi 5.

R: 500

3u3

M2B_97884481_ud_05.indd 153 20/11/08 10:15:49


Punt final

Mètode numèric per calcular una integralEl càlcul d’una integral implica sempre el càlcul d’una primitiva. Això no sempre és fàcil, o no sempre és possible.

Per poder calcular f x xa

b

d cal trobar una primitiva de f (x), és a dir una funció F (x) tal que

F ’(x) f (x). Quan F (x) no es pot trobar, cal recórrer a mètodes de càlcul aproximat.

En el primer apartat d’aquesta unitat ja hem vist el mètode dels rectangles per trobar una aproximació de l’àrea sota una corba f (x). Veiem ara un nou mètode que utilitza trapezis rectangles per trobar un valor més aproximat de l’àrea que cal calcular.

Una aproximació de f x xa

b

d , considerant f (x) 0, serà el resultat de la suma de

les àrees dels trapezis rectangles que podeu observar en la figura 5.21.

L’àrea d’un trapezi es pot calcular multiplicant l’altura per la meitat de la suma de les bases. L’altura és la longitud de cadascun dels subintervals iguals en què s’ha dividit l’interval [a, b] i les bases són els respectius valors de la funció en cadascun dels extrems del subinterval.

La suma de les àrees dels 4 trapezis de la figura és:

Ab a f x f x f x f x f x f x

4 2 20 1 1 2 2 33 3 4

0 1

2 2

82 2

f x f x

b af x f x f x22 3 42 f x f x

Amb aquest procediment, en augmentar el nombre de subintervals, s’obté una aproximació a l’àrea o la integral que es vol calcular.

Calculem sin x

xx

1

3d . La funció f x

x

x

sin té per gràfica la de la figura 5.22. És una

funció que no està definida en el punt x 0, on presenta una discontinuïtat que no és

asimptòtica, ja que limsin

x

x

x01.

En l’interval [1, 3] la funció és contínua i f (x) 0 en tot l’interval. La integral que es vol calcular coincideix amb l’àrea sota la corba en aquest interval.

No podem trobar una primitiva de f xx

x

sin, però sí que podem aplicar el mè-

tode dels trapezis per calcular la integral.

Dividim l’interval [1, 3] en 4 subintervals i apliquem la fórmula que hem obtingut en el cas general:

sin x

xx f f f f

1

3 28

232

2 2 252

d 1 f 3 0 94, ...

Acabem d’aplicar un mètode numèric per calcular una integral, de manera força aproxi-mada, quan de la funció que es vol integrar no en coneixem una primitiva.

Amb un programa d’ordinador hem obtingut 0,9025… Això vol dir que hem comès un error absolut de 0,94 0,90 0,04. L’error relatiu que hauríem comès seria 0,04: 0,90 0,044… o, el que és el mateix, 4,4… %.

Et proposem millorar l’aproximació utilitzant 8 subintervals iguals, és a dir, n 8. Cal-cula l’error absolut i el relatiu pel resultat que has obtingut.

Fig. 5.21

Fig. 5.22

M2B_97884481_ud_05.indd 154 20/11/08 10:15:52

155LA INTEGRAL 05

Activitats finals

1> Calcula la derivada de F x t t tcos 21

3d .

R: 0

2> Calcula F9(1) si F t t tx

x cos 21

3 1d .

R: 0

3> Tenim una funció y f (x) de la qual l’única cosa que sabem és que la seva gràfica és aproximadament la que s’indica a la figura 5.23. Fes un esquema senzill de la gràfica de la funció: g x f t t

x

0d

Raona molt detalladament la resposta.

Fig. 5.23

4> Calcula les integrals següents:

a) x

xx

21

1

1d b) 2 3

5

0

2x xd

c) 312

4

xxd d)

x

x1 40

1dx

R: a) 0; b) 224; c) 3 ln 3; d) 8

5> Calcula: x xx2

2

1e d . Per trobar una primitiva és neces-

sari que apliquis el mètode d’integració per parts dues vegades.

R: ee

–10

2

6> Troba una primitiva de la funció f xx

x

3

2 i calcula

la integral d’aquesta funció en l’interval [3, 5].

R: 1703

8 3ln

7> Calcula 4 2

0

2x xd utilitzant el canvi de variable:

x 2 sin t.

R:

8> Fent el canvi de variable u(x) ex, calcula la integral: e e dx x xsin

ln

ln

2

R: 1

9> Calcula l’àrea compresa entre la gràfica de la funció

f xx

1, l’eix de les abscisses i les ordenades corres-

ponents a x 1 i x 2.

R: ln 2 u2

10> En una comarca un riu adopta la forma de la funció

f x x x x14

3 2 (fig. 5.24) i és tallat per un camí

que té la direcció positiva de l’eix OX. Prenent com a unitat el km, calcula el valor del camp comprès entre el riu i el camí si el preu és de 300 € l’hectàrea.

Fig. 5.24

R: 10 000 €

11> Calcula l’àrea limitada per la gràfica de la funció següent y x2 3x i l’eix OX.

R: 92

2u

12> Calcula l’àrea determinada per la funció f (x) x3 x i l’eix de les abscisses.

R: 12

2u

13> Troba els punts de tall amb l’eix de les abscisses de la funció f (x) x3 2x2 5x 6 i expressa i calcula l’àrea compresa entre la gràfica de la funció i aquest eix.

R: 25312

u2

14> Representa gràficament la funció f (x) (x 2) ex en l’interval [2, 3]. Calcula l’àrea sota aquesta corba en aquest interval.

R: e2 u2

15> Fes la gràfica de la funció f (x) sin x en l’interval [0, 2 ] i calcula l’àrea compresa entre aquesta gràfica i

les ordenades corresponents a x x4

34

i .

R: 2 2u

16> Calcula l’àrea entre la corba f xx

x1 4 i les rectes

x x012

, i l’eix OX.

R: . 0,122 u2

17> Considera la funció f (x) ln x. Calcula l’àrea sota aquesta corba en l’interval [1, 2]. Pots fer el mateix en l’interval [0, 2]? Raona’n la resposta.

R: > 0,386 u2

M2B_97884481_ud_05.indd 155 20/11/08 10:16:00


18> Calcula l’àrea entre la gràfica de la funció f (x) 2x ln x en l’interval [a, 1]. Pot ser a un nombre negatiu? I a 0? Per què?

19> Representa gràficament la funció f (x) sin x en l’inter-

val , . Raona quin és el valor de la integral

sin x xd sense calcular-la.

20> Demostra que no és necessari calcular la primitiva de la

integral següent: x x xxe d2

2 01

1sin

Estudia la simetria que pot presentar la gràfica de la funció que s’ha d’integrar.

21> Demostra que l’àrea d’un cercle de radi r és donada per A r2. Per fer-ho considera una circumferència centrada a l’origen de radi r de la qual només tindràs en compte la semicircumferència positiva. Calcula l’àrea sota aquesta corba i tindràs l’àrea del semicercle de radi r.

22> Determina els valors de a, b i c en el polinomi P(x) ax2 bx c si verifica P(1) 4, P’(1) 8 i P(2) 15P(0) 0. Representa la funció i calcula l’àrea compresa entre la corba i l’eix OX.

R: a 3; b 2; c 1; 3227

2u

23> Troba l’àrea de la zona limitada per les funcions f (x) x3 i g(x) 2x. Fes-ne una gràfica.

R: 2 u2

24> Troba l’àrea compresa entre les funcions

y x y x2 i .

R: 13

2u

25> Representa les funcions y sin x i y cos x en una

mateixa gràfica en l’interval 02

, . Calcula l’àrea

compresa entre les dues funcions en aquest interval.

R: 2 2 2u

26> Representa les funcions y ex i y e x en una mateixa gràfica. Calcula l’àrea limitada per les dues corbes i la recta x 1.

R: > 1,086 u2

27> Calcula l’àrea del recinte limitat per les dues paràboles d’equacions: y x2 2x i y x2 4x

Fig. 5.25

R: 9 u2

28> Troba el valor de a 0 si sabem que l’àrea entre la parà-bola y x2 ax i la recta y x 0 és 36 u2.

R: a 5

29> Calcula l’àrea del recinte limitat pels gràfics de les dues funcions següents (fig. 5.26): f (x) x3 2x, g(x) x2, quan considerem només valors de x 0.

Fig. 5.26

R: 512

2u

30> Considera un recinte tancat limitat per la paràbola d’equació y x2 1 i la recta horitzontal d’equació y a (fig. 5.27), on a és un número més petit que 1. Determina el valor de a per tal que l’àrea d’aquest

recinte valgui 8 2

32u .

Fig. 5.27

R: a 1

31> Calcula el volum de l’el·lipsoide generat per l’el·lipse

d’equació x y2 2

16 91 en girar a l’entorn del seu eix

major. R: 48 u3

32> Calcula el volum generat per la funció f (x) x3 1 en girar a l’entorn de l’eix OX en l’interval [0, 2].

R: 1987

u3

33> Considera la corba d’equació 4x2 y2 1. Defineix la funció y f (x) associada a aquesta funció. Quin és el seu domini? En aquest domini, calcula el volum del cos que genera en girar a l’entorn de l’eix OX.

R: V 23

u3

M2B_97884481_ud_05.indd 156 20/11/08 10:16:05

157LA INTEGRAL 05

1> Calcula 2 3

1

ln x

xx

e

d

2> Considera la regió S del pla limitada per la paràbola y 3x2 i la recta y 3 representada en l’esquema següent:

Fig. 5.28

Siguin A i B els punts d’intersecció de la recta i la paràbola, i T el triangle que té per vèrtexs A, B i l’origen de coordenades (0, 0). Calcula l’àrea de la regió que resulta quan es treu el triangle T a la regió S.

3> Considera la funció f (x) de la figura definida a l’interval [0, 2].

Fig. 5.29

a) Calcula la funció derivada f ’(x) a l’interval (0, 2)

b) Hi ha algun punt de (0, 2) en el qual f ’(x) no existeixi?

c) Calcula f x x( )d0

2

Raona totes les respostes.

4> Considera la funció f x x mx m( ) ,3 2 1 0.

a) Calcula el valor de m per tal que l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció, l’eix OX i les rectes x 0 i x 2 sigui de 10 u2.

b) Per a m 1, indica el punt o els punts on la recta tangent a la gràfica de la funció forma un angle de 45° amb el semieix positiu de OX.

Avaluació

M2B_97884481_ud_05.indd 157 20/11/08 10:16:07

M2B 97884481 ud 05 - Amazon Web...

Documents

Transcript of M2B 97884481 ud 05 - Amazon Web...