MA1003 C alculo III Tema 02: Derivadas parciales y ... … · Jesus S anchez Guevara ( U.C.R. )...
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MA1003 Calculo IIITema 02: Derivadas parciales y aplicaciones
Parte 03: Extremos de funciones
Profesor Jesus Sanchez Guevara
U.C.R.
I Semestre 2020
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 1 / 20
En esta clase
1 Extremos de funciones escalares.
2 Extremos condicionados.
3 Multiplicadores de Lagrange.
Introduccion
¿Cual es la importancia del estudios deextremos?
1 Extender las herramientas de calculo alanalisis de problemas de optimizacion paraproblemas complejos en varias variables.
2 Se incrementan los tipos de problemas quese pueden resolver en aplicaciones reales.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 2 / 20
Extremos de funciones escalares
Maximos y mınimos
Una funcion escalar f : Rn Ñ R alcanza unmaximo en un punto P0 P Rn, si para todos lospuntos P ‰ P0 de un vecindario abiertoalrededor de P0 se cumple que f pP0q ą f pPq.P0 es un mınimo si en cambio f pP0q ă f pPqpara todos los puntos P ‰ P0 de un vecindarioabierto alrededor de P0. A los valores maximoso mınimos de f se les valores extremos de f .
¿Como buscar los estos puntos?
Geogebra 3D: z= (x^(2)+y^(2)) ((x-2)^(2)
+ (y-1)^(2)-1) (-x^(2)- (y-1)^(2))
Geogebra 3D: z=sin(x)+sin(y)
Propiedad
Si P es un punto extremo de f entonces
∇f pPq “ pfx1 pPq, . . . , fxn pPqq “ ~0
En particular:
Propiedad
Si P es un punto extremo de z “ f px , yq,entonces el plano tangente a la superficie en elpunto P es horizontal.
Recuerde: ∇f pPq “ pfx , fy qpPq “ p0, 0q y~NpPq “ pfx , fy ,´1qpPq “ p0, 0,´1q.
Definicion
1 Si P satisface ∇f pPq “ ~0, entonces P sedice punto crıtico (o punto estacionario)de f .
2 Un punto crıtico P se dice punto deensilladura si no es ni maximo ni unmınimo (explicar).
Geogebra: y=x^3
Geogebra 3D: z=x^2-y^2, 1=x^(2)+y^(2)+z^(2)
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Aplicacion
Ejemplo, recta de mejor ajuste
Se quiere encontrar la recta de mejor ajuste
y “ ax ` b
para un conjunto de datos px1, y1q, . . . , pxn, ynq.
Hay que encontrar a y b tal que:
1 Las desviaciones yi ´ paxi ` bq seanmınimas.
2 Minimizar la funcion:
Dpa, bq “nÿ
i“1
pyi ´ paxi ` bqq2
Se resuelve:
"
Da “ 0Db “ 0
Se obtiene el sistema:
"
přn
i“1 x2i qa` p
řni“1 xi qb “
řni“1 xiyi
přn
i“1 xi qa` nb “řn
i“1 yi
Finalmente:
pendiente “ a “nřn
i“1 xiyi ´ přn
i“1 yi qpřn
i“1 xi q
npřn
i“1 x2i q ´ p
řni“1 xi q
2
y
b “přn
i“1 yi qpřn
i“1 x2i q ´ p
řni“1 xi qp
řni“1 xiyi q
npřn
i“1 x2i q ´ p
řni“1 xi q
2
Ya se han visto estas formulas en el laboratoriode fısica 1.
Ahora veremos una tecnica para verificar que unpunto crıtico sea mınimo local, maximo local opunto de ensilladura.
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Criterios para extremos de funciones
Criterio de la segunda derivada para funcionesde dos variables
Sea P “ pa, bq punto crıtico de z “ f px , yq,suponga que f tiene derivadas parciales deprimer y segundo orden continuas en algunvecindario de P. Considere:
1 ∆1 “ fxx pa, bq.
2 ∆2 “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
fxx pa, bq fxy pa, bqfxy pa, bq fyy pa, bq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
fxx pa, bqfyy pa, bq ´ pfxy pa, bqq2.
Entonces,
1 Si ∆1 ă 0 y ∆2 ą 0, entonces P es unmaximo local de f .
2 Si ∆1 ą 0 y ∆2 ą 0, entonces P es unmınimo local de f .
3 Si ∆2 ă 0, entonces P es un punto deensilladura de f .
4 Si ∆2 “ 0, no se sabe. Hay que seguirinvestigando.
Ejemplo
En el ejemplo anterior se tiene que el punto esun mınimo ya que:
Daa “∆1 “
nÿ
i“1
x2i ą 0
∆2 “DaaDbb ´ pDabq2
“ npnÿ
i“1
x2i q ´ p
nÿ
i“1
xi q2 ą 0
La ultima desigualdad queda como ejercicioopcional.
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Ejemplo
Determine y clasifique los puntos crıticos de
f px , yq “ x3 ` 3xy2 ´ 15x ´ 12y
1 Se resuelve:
"
fx “ 0fy “ 0
ñ
"
3x2 ` 3y2 ´ 15 “ 06xy ´ 12 “ 0
2 Se obtienen los puntos crıticos p1, 2q,p2, 1q, p´1,´2q y p´2,´1q.
3 Se calculan las dobles derivadas de f :fxx “ 6x , fyy “ 6x y fxy “ 6y .
4 Se hace una tabla para los valores de∆1 “ fxx y ∆2 “ fxx fyy ´ f 2
xy .
P∆1
“ fxxfyy fxy ∆2 Max/Min
p1, 2q 6 6 12 -108 sillap2, 1q 12 12 6 108 min
p´1,´2q -6 -6 -12 -108 sillap´2,´1q -12 -12 -6 108 max
Geogebra 3D: z=x^3+3xy^2-15x-12y
para visualizar mejor:
Geogebra 3D: z= ((x)/(10))^(3)+
(3x)/(10) ((y)/(10))^(2)-
(15x)/(10)- (12y)/(10)
Ejercicio
Determine y clasifique los puntos crıticos de:
f px , yq “ e2x`3y p8x2 ´ 6xy ` 3y2q
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La matrix Hessiana
Definicion
Si f : Rn Ñ R funcion escalar con todas susderivadas de orden n definidas, entonces sumatrix Hessiana en el punto P “ px1, . . . , xnqes la matriz simetrica H “ paij q, donde:
aij “Bf
BxiBxjpPq
para todo 1 ď i , j ď n.
Ejemplo
Para f px , yq,
H “
ˆ
fxx fxyfxy fyy
˙
Ejemplo
Para f px , y , zq,
H “
¨
˝
fxx fxy fxzfxy fyy fyzfxz fyz fzz
˛
‚
Definicion
Si H “ paij q es una matriz simetrica de tamanon ˆ n, se escriben los determinantes de las nsubmatrices cuadradas desde a11 hasta ann,como:
∆1 “ˇ
ˇa11
ˇ
ˇ “ a11
∆2 “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a11 a12
a21 a22
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
∆3 “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
... hasta ∆n “ detpHq
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Criterio de la segunda derivada para funcionesde tres variables
Sea P “ pa, b, cq punto crıtico dew “ f px , y , zq, suponga que f tiene derivadasparciales de primer y segundo orden continuasen algun vecindario de P. Considere ∆1pPq,∆2pPq y ∆3pPq,
1 Si ∆1 ą 0, ∆2 ą 0 y ∆3 ą 0, entonces Pes un mınimo local de f .
2 Si ∆1 ă 0, ∆2 ą 0 y ∆3 ă 0, entonces Pes un maximo local de f .
3 Cualquier otro patron de signos, P espunto de silla de f .
4 Si ∆3 “ 0, no se sabe. Hay que seguirinvestigando.
Para el caso general el enunciado es similar.
Criterio de la segunda derivada para funcionesde n variables
Sea P punto crıtico de f px1, . . . , xnq, supongaque f tiene derivadas parciales de primer ysegundo orden continuas en algun vecindario deP. Considere ∆1pPq, . . . ,∆npPq,
1 Si ∆1 ą 0, ∆2 ą 0, ∆3 ą 0, ∆4 ą 0, . . .entonces P es un mınimo local de f .
2 Si ∆1 ă 0, ∆2 ą 0, ∆3 ă 0, ∆4 ą 0, . . .entonces P es un maximo local de f .
3 Cualquier otro patron de signos, P espunto de silla de f .
4 Si ∆n “ 0, no se sabe. Hay que seguirinvestigando.
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Ejemplos
1 Libro Pita, ejemplo 1, pagina 366, PDF.
Geogebra 3D: z=2(x-1)^2+3(y-2)^2
2 Libro Pita, ejemplo 2, pagina 367, PDF.
3 Libro Pita, ejemplo 3, pagina 367, PDF.
4 Libro Pita, ejemplo 4, pagina 367, PDF.
oTambien se pueden usar aproximaciones porpolinomios de Taylor para entender lanaturaleza de un punto critico.
Polinomio de Taylor, una variable
f pxq “ f paq `f p1qpaq
1!px ´ aq `
f p2qpaq
2!px ´ aq2`
¨ ¨ ¨ `f pnqpaq
n!px ´ aqn ` Rnpxq
Suponga que f px , yq tiene en un vecindario deP “ px , yq todas sus derivadas de orden n ` 1continuas, entonces:
Polinomio de Taylor, dos variables
f px , yq “ f pa, bq `1
1!pBx px ´ aq ` By py ´ bqq f pa, bq`
`1
2!pBx px ´ aq ` By py ´ bqq2 f pa, bq`
¨ ¨ ¨ `1
n!pBx px ´ aq ` By py ´ bqqn f pa, bq ` Rnpx , yq
Si escribimos los incrementos como h “ x ´ a yl “ y ´ b,
f pa` h, b ` lq “ f pa, bq `1
1!pBxh ` By lq f pa, bq`
`1
2!pBxh ` By lq
2 f pa, bq`
¨ ¨ ¨ `1
n!pBxh ` By lq
n f pa, bq ` Rnpx , yq
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El resto Rnpx , yq es descrito por la formula deLagrange:
Rnpx , yq “
1
pn ` 1q!pBxh ` By lq
pn`1q f pa` θh, b ` θlq
Donde 0 ă θ ă 1.
Polonimio de Taylor, grado 2
f pa` h, b ` lq “
f pa, bq `1
1!pBxh ` By lq f pa, bq`
`1
2!pBxh ` By lq
2 f pa, bq ` R2px , yq
“f pa, bq ` phfx pa, bq ` lfy pa, bqq`
`1
2ph2fxx pa, bq ` 2hlfxy pa, bq ` l2fyy pa, bqq ` R2px , yq
Si P “ pa, bq punto crıtico de f px , yq, entonces:
f pa` h, b ` lq “ f pa, bq`
1
2ph2fxx pa, bq ` 2hlfxy pa, bq ` l2fyy pa, bqq ` R2px , yq
Escriba I ph, lq “12ph2fxx pa, bq ` 2hlfxy pa, bq ` l2fyy pa, bqq.
Propiedad
1 Si para todo h, l cercanos a cero,I ph, lq ą 0, entonces P es un mınimo.
2 Si para todo h, l cercanos a cero,I ph, lq ă 0, entonces P es un maximo.
3 Si siempre existen h, l tan cercanos comose quiera a cero, tal que I sea positivo yotras veces negativo, entonces P es puntode ensilladura.
4 Si I ph, lq “ 0, no se sabe.
Nota: Si sucede lo ultimo, puede recurrir a lospolinomios de Taylor de grado mayor con unrazonamiento similar.
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Ejemplo
Clasifique los puntos crıticos p1, 2q y p2, 1q de
f px , yq “ x3 ` 3xy2 ´ 15x ´ 12y
Usando su polinomio de Taylor de orden 2.
Se tiene que: fxx “ 6x , fyy “ 6x y fxy “ 6y , porlo tanto:
f pa` h, b ` lq “ f pa, bq`
1
2ph2fxx pa, bq ` 2hlfxy pa, bq ` l2fyy pa, bqq ` R2px , yq
“ f pa, bq `1
2p6ah2 ` 12bhl ` 6al2q ` R2px , yq
“ f pa, bq ` 3ah2 ` 6bhl ` 3al2 ` R2px , yq
ñ I ph, lq “ 3ah2 ` 6bhl ` 3al2
1 Para P “ pa, bq “ p1, 2q:
I ph, lq “ 3ah2 ` 6bhl ` 3al2
“ 3h2 ` 12hl ` 3l2
1 Si l “ ´h, entoncesIph, lq “ 3h2
´ 12h2` 3h2
“ ´6h2ă 0.
2 Si l “ h, entoncesIph, lq “ 3h2
` 12h2` 3h2
“ 18h2ą 0.
Por lo que es un punto de ensilladura.
2 Para P “ pa, bq “ p2, 1q:
I ph, lq “ 3ah2 ` 6bhl ` 3al2
“ 6h2 ` 6hl ` 6l2
Y esta expresion siempre es positivacuando h, l ‰ 0 (¿por que?), ası, el puntoes un mınimo.
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Analisis de formula de Taylor para camposescalares
Formula de Taylor
Si f : Rn Ñ R es una campo escalar con todaslas derivadas parciales necesarias continuas enun vecindario V de un punto P P Rb, entoncespara todo ~h “ ph1, . . . , hnq P Rn tal que
P ` ~h P V , se tiene que:
f pP ` ~hq ´ f pPq “
∇f pPq~h `1
2!~hHpPq~ht ` εpPq
donde εpPq Ñ 0 cuando }h} Ñ 0
o ~hHpPq~ht es una forma cuadratica y tieneformula:
~hHpPq~ht “nÿ
i“1
nÿ
j“1
hihjB2f
BxiBxjpPq
Teorema
Sea A “ paij q una matriz n ˆ n simetrica y sea
Qp~hq “ ~hA~ht , entonces
1 Qp~hq ą 0 para todo ~h ‰ ~0 ô todos losvalores propios de A son positivos (en talcaso se dice que A es definida positiva).
2 Qp~hq ă 0 para todo ~h ‰ ~0 ô todos losvalores propios de A son negativos (en talcaso se dice que A es definida negativa).
Teorema
Sea P punto crıtico de f : Rn Ñ R y sea H sumatriz hessiana.
1 Si HpPq es definida positiva entonces P esun mınimo local de f .
2 Si HpPq es definida negativa entonces Pes un maximo local de f .
3 Si HpPq tiene algunos valores propiosnegativos y otros positivos, entonces P esun punto de ensilladura de f .
4 Si todos los valores propios de HpPq soncero, entonces no se sabe.
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Ademas,
Propiedad
1 Si HpPq es definida positiva ôsi ∆1 ą 0, ∆2 ą 0, ∆3 ą 0, ∆4 ą 0, . . ..
2 Si HpPq es definida negativa ôsi ∆1 ă 0, ∆2 ą 0, ∆3 ă 0, ∆4 ą 0, . . ..
Maximos y mınimos absolutos
Teorema
Toda funcion escalar diferenciable definidasobre una region cerrada y acotada D, alcanzasu valor maximo y su valor mınimo en un puntointerno de la region o en un punto de su borde.
Nota: Bajo estas condiciones, puede sucederque aunque el valor maximo y mınimo de lafuncion esten en el borde, estos no sean puntoscrıticos.
Ejemplo
f pxq “ x3 definida en D “ r´1, 1s. Su mınimoesta en x “ ´1 y su maximo en x “ 1 (bordesde D), pero no son puntos crıticos. Su unicopunto crıtico esta en x “ 0.
Ejemplo
Halle los extremos en el primer cuadrante de lafuncion f px , yq “ x2 ` y2 cuando x ` y “ 1(y “ ´x ` 1).
Geogebra z=x^2+y^2, x+y=1
La region donde se buscan los extremos de f esla lınea recta y “ ´x ` 1, por lo tanto:
f px , yq “ x2 ` y2
ñgpxq “ f px ,´x ` 1q “ x2 ` p´x ` 1q2
gpxq “ 2x2 ´ 2x ` 1
Ası, se analiza gpxq cuando x P r0, 1s.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 13 / 20
Continuacion de ejemplo:Ası, se analiza gpxq “ 2x2 ´ 2x ` 1 cuandox P r0, 1s.
1 Puntos crıticos:g 1pxq “ 0 ñ 0 “ 4x ´ 2 ñ x “ 1{2.
2 Solo hay un punto crıtico en x “ 1{2.
3 Por criterio de segunda derivada,g2pxqq “ 4 ñ g2p1{2q “ 4 ą 0, es unmınimo.
4 El valor mınimo de g es gp1{2q “ 1{2
5 Finalmente se evalua g en el borde:gp0q “ 1 y gp1q “ 1.
Por lo tanto g toma su valor mınimo enx “ 1{2 y su valor maximo en x “ 0 y x “ 1.En terminos de f , significa que:
1 Sobre la lınea x ` y “ 1, f px , yq “ x2 ` y2
toma su valor mınimo en p1{2, 1{2q.
2 f toma su valor maximo en el borde de lalınea, es decir, en los puntos p0, 1q y p1, 0q.
Multiplicadores de Lagrange: obtener lospuntos crıticos para funciones de 2 o 3 variablessujetos a una o dos condicion mediante elmetodo de Lagrange y clasificarlos usando laformula de Taylor.
Lagrange con 1 condicion, 2 variables
Se quiere estudiar los extremos de f px , yq sujetaa la condicion gpx , yq “ 0.
1 Se forma el Lagrangiano:Lpx , y , λq “ f px , yq ´ λgpx , yq.
2 Se calculan los puntos crıticos de L,resolviendo ∇L “ ~0.
3 Para cada punto crıtico P se usa elcriterio:
1 Si d2LpPq ą 0, entonces P es un mınimo.
2 Si d2LpPq ă 0, entonces P es un maximo.
3 Si d2LpPq ą 0y ă 0, entonces P es unpunto de ensilladora.
En este caso
d2LpPq “ Lxx pPqpdxq2 ` Lyy pPqpdyq
2
`2Lxy pPqpdxqpdyq
y se hace varian dx y dy alrededor de 0para usar el criterio.
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Lagrange con 1 condicion, 3 variables
Se quiere estudiar los extremos de f px , y , zqsujeta a la condicion gpx , y , zq “ 0.
1 Se forma el Lagrangiano:Lpx , y , z, λq “ f px , y , zq ´ λgpx , y , zq.
2 Se calculan los puntos crıticos de L,resolviendo ∇L “ ~0.
3 Para cada punto crıtico P se usa elcriterio:
1 Si d2LpPq ą 0, entonces P es un mınimo.
2 Si d2LpPq ă 0, entonces P es un maximo.
3 Si d2LpPq ą 0y ă 0, entonces P es unpunto de ensilladora.
En este caso
d2LpPq “
Lxx pPqpdxq2 ` Lyy pPqpdyq
2 ` Lzz pPqpdzq2
` 2Lxy pPqpdxqpdyq ` 2Lxz pPqpdxqpdzq
` 2Lyz pPqpdyqpdzq
y se hace varian dx , dy y dz alrededor de 0para usar el criterio.
Lagrange con 2 condicion, 3 variables
Se quiere estudiar los extremos de f px , y , zqsujeta a las condicion gpx , y , zq “ 0 yhpx , y , zq “ 0.
1 Se forma el Lagrangiano: Lpx , y , z, λ, βq “f px , y , zq ´ λgpx , y , zq ´ βhpx , y , zq.
2 Se calculan los puntos crıticos de L,resolviendo ∇L “ ~0.
3 Los puntos crıticos se clasifican como en elcaso anterior.
Nota:
1 Si Lpx , y , z, λ, βq “f px , y , zq ´ λgpx , y , zq ´ βhpx , y , zq,entonces
∇L “ ~0 ñ
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Lx “ 0Ly “ 0Lz “ 0Lλ “ 0Lβ “ 0
ñ
$
’
’
’
&
’
’
’
%
fx ´ λgx ´ βhx “ 0fy ´ λgy ´ βhy “ 0fz ´ λgz ´ βhz “ 0
g “ 0h “ 0
Similar para los otros casos. Y en todos sid2LpPq “ 0, el criterio no decide.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 15 / 20
Ejemplo
Use multiplicadores de Lagrande para obtenerlos puntos crıticos de f px , yq “ x2 ` y sujeta ala conficion gpx , yq “ y ´ x2 “ 0. Clasifiquetales puntos crıticos usando la formula deTaylor.
1. En este caso el Lagrangeano es Lpx , yλq “f px , yq ´ λgpx , yq “ x2 ` y ´ λpy ´ x2q.2. Se buscan los puntos crıticos.
∇L “ ~0 ñ
$
&
%
Lx “ 0Ly “ 0Lλ “ 0
ñ
$
&
%
fx ´ λgx “ 0fy ´ λgy “ 0
g “ 0
ñ p˚q
$
&
%
2x ` 2xλ “ 0 p1q1´ λ “ 0 p2q
´py ´ x2q “ 0 p3q
De p2q, λ “ 1, en p1q implica que x “ 0 ysustituyendo en p3q, y “ 0. Por lo tanto, solohay un punto crıtico P “ px , y , λq:
P1 “ p0, 0, 1q
4 Se clasifica P1. Para esto se calcula,
d2LpPq “
Lxx pPqpdxq2 ` Lyy pPqpdyq
2 ` 2Lxy pPqpdxqpdyq
"
Lx “ 2x ` 2xλλLy “ 1´ λ
ñ
$
&
%
Lxx “ 2` 2λLyy “ 0Lxy “ 0
Ahora:
d2LpP1q “ 4pdxq2
Esta expresion siempre es positiva paratodo valor de dx , por lo que P1 debe serun mınimo.
Geogebra, z=x^2+y, y-x^2=0
Explicar la razon del metodo con este dibujo:En un punto crıtico D~uf “ ~0, entonces∇f ¨ ~u “ 0, en particular en la velocidad de lacurva, la cual es a su vez perpendicular a ∇g ,por lo tanto ∇f es paralelo a ∇g .
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 16 / 20
Ejemplo
Use multiplicadores de Lagrande para obtenerlos puntos crıticos def px , y , zq “ xy ` 3xz ` 3yz sujeta a la conficiongpx , y , zq “ 2x2 ` 2y2 ´ 3z2 ´ 4 “ 0. Clasifiquetales puntos crıticos usando la formula deTaylor.
1. En este caso el Lagrangeano esLpx , y , z, λq “ f px , y , zq ´ λgpx , y , zq “xy ` 3xz ` 3yz ` λp2x2 ` 2y2 ´ 3z2 ´ 4q.2. Se buscan los puntos crıticos.
∇L “ ~0 ñ
$
’
’
&
’
’
%
Lx “ 0Ly “ 0Lz “ 0Lλ “ 0
ñ
$
’
’
&
’
’
%
fx ´ λgx “ 0fy ´ λgy “ 0fz ´ λgz “ 0
g “ 0
ñ p˚q
$
’
’
&
’
’
%
y ` 3z ´ 4xλ “ 0 p1qx ` 3z ´ 4yλ “ 0 p2q
3x ` 3y ` 6zλ “ 0 p3q´p2x2 ` 2y2 ´ 3z2 ´ 4q “ 0 p4q
1 De (2)-(1) tenemos:
px ´ yq ´ 4yλ` 4xλ “ 0
ñpx ´ yqp1` 4λq “ 0 p5q
Se tienen dos casos x “ y y λ “ ´1{4.Cada uno se trata por separado.
2 Caso x “ y , se sustituye en p˚q:
ñ p˚q
$
&
%
3z ` p1´ 4λqx “ 0 p6qx ` zλ “ 0 p7q
4x2 ´ 3z2 ´ 4 “ 0 p8q
De p7q, x “ ´zλ, se sustituye en p6q:
3z ` p1´ 4λqp´zλq “ 0 ñ 3z ´ zλ` 4zλ2 “ 0
ñ zp3´ λ` 4λ2q “ 0 ñ z “ 0_ 3´ λ` 4λ2 “ 0
Si z “ 0, entonces x “ 0, por p8q, setendrıa ´4 “ 0, contradiccion. Ası queesto no puede pasar.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 17 / 20
Ahora, 3´ λ` 4λ2 “ 0, tampoco sucedeporque ∆ “ p´1q2 ´ 4 ¨ 4 ¨ 3 “ ´47 ă 0. Asıque en este caso no hay puntos crıticos.
3 Caso λ “ ´1{4, se sustituye en p˚q:
ñ p˚q
$
&
%
y ` 3z ` x “ 0 p9qx ` y ´ 1
2z “ 0 p10q
2x2 ` 2y2 ´ 3z2 ´ 4 “ 0 p11q
De p9q ´ p10q tenemos 72z “ 0 ñ z “ 0.
ñ p˚q
"
y ` x “ 0 p12qx2 ` y2 ´ 2 “ 0 p13q
De p12q, y “ ´x , sustituyendo en p13q,tenemos x2 “ 1 ñ x “ ˘1. Ası, tenemos dospuntos crıticos P “ px , y , z, λq en este caso:
P1 “ p1,´1, 0,´1{4q
P2 “ p´1, 1, 0,´1{4q
4 Se clasifican P1 y P2. Para esto se calcula,
d2LpPq “
Lxx pPqpdxq2 ` Lyy pPqpdyq
2 ` Lzz pPqpdzq2
` 2Lxy pPqpdxqpdyq ` 2Lxz pPqpdxqpdzq
` 2Lyz pPqpdyqpdzq
$
&
%
Lx “ y ` 3z ´ 4xλLy “ x ` 3z ´ 4yλLz “ 3x ` 3y ` 6zλ
ñ
$
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
%
Lxx “ ´4λLyy “ ´4λLzz “ 6λLxy “ 1Lyz “ 3Lxz “ 3
Ahora:
d2LpP1q “ d2LpP2q “ pdxq2 ` pdyq2 `
´3
2pdzq2
` 2pdxqpdyq ` 6pdxqpdzq ` 6pdyqpdzq
Esta expresion varıa de signos(sidx “ dy “ 0 es negativa, si dz “ dy “ 0es positiva), por lo que P1 y P2 son puntosde ensilladura.Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 18 / 20
Ejemplo
Use multiplicadores de Lagrande para obtenerlos puntos crıticos de f px , y , zq “ x ` y ` zsujeta a las conficionesgpx , y , zq “ x2 ` y2 ´ 2 “ 0 yhpx , y , zq “ x ` z ´ 1 “ 0. Clasifique talespuntos crıticos usando la formula de Taylor.
1. En este caso el Lagrangeano esLpx , y , z, λq “f px , y , zq ´ λgpx , y , zq ´ βhpx , y , zq “x ` y ` z ´ λpx2 ` y2 ´ 2q ´ βpx ` z ´ 1q.2. Se buscan los puntos crıticos.
∇L “ ~0 ñ
$
’
’
’
&
’
’
’
%
Lx “ 0Ly “ 0Lz “ 0Lλ “ 0Lβ “ 0
ñ
$
’
’
’
&
’
’
’
%
fx ´ λgx ´ βhx “ 0fy ´ λgy ´ βhy “ 0fz ´ λgz ´ βhz “ 0
g “ 0h “ 0
ñ p˚q
$
’
’
’
&
’
’
’
%
1´ 2xλ´ β “ 0 p1q1´ 2yλ “ 0 p2q
1´ β “ 0 p3qx2 ` y2 “ 2 p4qx ` z “ 1 p5q
Al resolver este sistema se obtienen los puntoscrıticos P “ px , y , z, λ, βq:
P1 “ p0,?
2, 1, 1{p2?
2q, 1q
P2 “ p0,´?
2, 1,´1{p2?
2q, 1q
Las derivadas dobles del Lagrangiano sonLxx “ Lyy “ ´2λ y Lzz “ Lxy “ Lxz “ Lyz “ 0.Por lo tanto:
d2LpPq “ ´2λpdxq2 ´ 2λpdyq2
Esta expresion cumple con:
1 d2LpP1q ă 0 por lo que es un maximo.
2 d2LpP2q ą 0 por lo que es un mınimo.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 19 / 20
F I N
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P03 derivadas parciales I Semestre 2020 20 / 20