Manu1 u2 Ea Crab
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8 Análisis Numérico I Unidad 2. Sistemas numéricos Evidencia de Aprendizaje. Sistemas Numéricos. 1. Contesta las siguientes preguntas sobre Sistemas de Punto Flotante a) ¿Qué es el épsilon de la máquina ? b) Escribe las expresiones para calcular c) Error absoluto d) Error relativo e) Condicionamiento f) Describe con detalle los conceptos de condicionamiento y estabilidad. ¿Qué describe cada uno? 2. Escribe todos los elementos del conjunto de punto flotante así como los valores de y ? 3. La media de una muestra de datos se define por la expresión Y la varianza para la misma muestra se define por: Pero una forma equivalente de calcular la varianza y que es muy útil para calcularla para muestras grandes es la siguiente Y que se encuentra en muchos libros de estadística. Esta expresión es más cómoda porque se pueden recorrer los datos una sola vez en vez de dos veces como lo implican las primeras dos expresiones (una vez para la media y otra para la varianza). Argumenta que algoritmo es más estable y por qué. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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Análisis Numérico IUnidad 2. Sistemas numéricos
Evidencia de Aprendizaje. Sistemas Numéricos.
1. Contesta las siguientes preguntas sobre Sistemas de Punto Flotante
a) ¿Qué es el épsilon de la máquina ?
b) Escribe las expresiones para calcularc) Error absolutod) Error relativoe) Condicionamientof) Describe con detalle los conceptos de condicionamiento y estabilidad. ¿Qué
describe cada uno?
2. Escribe todos los elementos del conjunto de punto flotante así como
los valores de y ?
3. La media de una muestra de datos se define por la expresión
Y la varianza para la misma muestra se define por:
Pero una forma equivalente de calcular la varianza y que es muy útil para calcularla para muestras grandes es la siguiente
Y que se encuentra en muchos libros de estadística. Esta expresión es más cómoda porque se pueden recorrer los datos una sola vez en vez de dos veces como lo implican las primeras dos expresiones (una vez para la media y otra para la varianza).
Argumenta que algoritmo es más estable y por qué.
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1.
a) Se define como como el error máximo al cual puede llegar el error relativo y
determina la exactitud de nuestro sistema de punto flotante, el cual se calcula por:
Si utilizamos redondeo truncando posiciones:
Si utilizamos redondeo al dígito más próximo:
Alternadamente, se puede definir como el número más pequeño tal que
c) El error absoluto, se define como la diferencia entre el valor real y el valor por redondeo al normalizarlo a un determinado sistema de punto flotante, y está dado por:
d) En cuanto al error relativo, se calcula como el cociente del error absoluto y el valor real:
El cual por definición, nunca puede ser mayor al error de máquina:
e) El número de condicionamiento, nos establece la sensibilidad que tenemos a los cambios de los resultados de cómputo al normalizar un número a un valor de punto flotante específico, y se calcula por la siguiente ecuación:
f) Como se mencionó anteriormente el número de condicionamiento nos indica la sensibilidad de una función a los cambios de los argumentos que se proporcionan al ser normalizada, se dice que un problema es buen condicionado si un cambio en los datos
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reales es proporcional a su valor normalizado, como se observa en la ecuación previa, si el número de condicionamiento es una constante, entonces las variaciones son proporcionales, y debido a ello se dice adicionalmente que este sistema es estable, si por el contrario el número de condicionamiento varía con la variable independiente, se dice que el sistema es inestable ya que las variaciones no son proporcionales.
2. Para el cálculo de todos los elementos del conjunto utilizamos la siguiente formula:
Así que para tendríamos:
Ahora para los límites inferiores y superiores:
Y tomando en cuenta esta cantidad de elementos y los limites, podemos obtener los elementos del conjunto, con la fórmula:
=0.5+((7-0.5)/32*(A2-1))
Tabulando los valores tenemos los siguientes valores:
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3. Empezamos calculando los valores para diferentes cantidades de muestras, suponiendo que se utiliza una normalización a punto flotante con 4 digitos significativos:
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Graficando los errores relativos y trazando una tendencia para ambos cálculos de varianza tenemos:
Por esta gráfica se observa que conforme se incrementan las muestras se decrementa el error relativo en la version alterna a comparación de la versión tradicional.
Por lo que se deduce que el algoritmo es más eficiente conforme se incrementan las muestras.
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Referencias:
Floating-Point Numbers – Curso FMN140fecha de consulta: 04 de diciembre de 2014http://www.maths.lth.se/na/courses/FMN140/FMN140-05/float.pdf
1.3.1 Definición de error: error absoluto y relativo. – Tecnológico de Tuxtla Gutiérrezfecha de consulta: 05 de diciembre de 2014https://sites.google.com/site/khriztn/1-3/1-3-1
TEMA 2. ARITMETICA FLOTANTE Y ANÁLISIS DE ERRORES - Francisco R. Villatorofecha de consulta: 05 de diciembre de 2014http://www.lcc.uma.es/~villa/tn/tema02.pdf
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