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Análisis Numérico 1Unidad 2. Sistemas numéricos

Actividad 1. Sistemas de números y error.

En esta actividad vamos a practicar la estructura y representación de los sistemas de punto flotante así como analizar el error inducido al hacer operaciones

Recuerda que un conjunto de punto flotante está descrito por la tupla

Conjuntos de punto flotante

1) Considera los siguientes números definidos en él conjunto de punto flotante

descrito por

Realiza las siguientes operaciones

a) b) c) d)

2) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto ?

3) ¿Cuáles son los valores de y ?

4) ¿Cuánto vale ?

Tip: Recuerda que hay que desnormalizar los números para poder operar con ellos.

Error

5) Calcula el error relativo hacia adelante para las cuatro operaciones en a). Esto lo puedes hacer usando la fórmula (12).

Tip: Recuerda que el valor teórico de es el que obtienes al hacer las

operaciones con los número reales, los valores aproximados son los que

obtienes al trasladar ese resultado teórico a tu conjunto de punto flotante.

1. Como primer paso, procedemos a desnormalizar los números, ya que algunas operaciones requieren que los exponentes sean iguales para poder trabajar con ellos. Ya que los números se encuentran en base 10, solo es necesario recorrer las posiciones correspondientes al exponente para desnormalizar los números.

recorremos cuatro posiciones a la derecha quedando

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recorremos tres posiciones a la izquierda quedando

recorremos una posición a la derecha quedando

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Realizando las operaciones en forma tradicional:a)

Ahora normalizando el valor a

Recorriendo el punto decimal a la izquierda para que quede solo un dígito entero tenemos:

Por último, como se nos pide una precisión de 5 dígitos significativos, nos queda finalmente el valor normalizado:

b)

Normalizando el valor, tenemos:

c)

Normalizando el valor, tenemos:

d) Normalizando el valor, tenemos

2. Para el cálculo de la cantidad de elementos que tiene el conjunto utilizamos la siguiente ecuación:

Para lo cual, dados los valores propuestos para el conjunto de punto flotante, tenemos que:

, , ,

Así que sustituyendo tenemos:

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Lo que nos da un total de 14,400,001 elementos utilizando esta representación de punto flotante.

3. Para los cálculos de los límites del conjunto (UFL y OFL) tenemos las siguientes ecuaciones:

y

Sustituyendo los valores para obtener los resultados solicitados:

4. Para el cálculo de la precisión de máquina tenemos:

Esto es debido a que se han redondeado los valores truncando los decimales, y no al valor más cercano, cabe hacer mención que este es el valor máximo que puede existir de error relativo.

5. Para el caso del cálculo del error relativo tenemos que es equivalente a:

Calculando el error relativo para el inciso 1, realizado anteriormente:

a)

b)

c)

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d)

Como se observa, los errores relativos son menores que el valor de precisión de máquina.

Referencia adicional:

Floating-Point Numbers – Curso FMN140fecha de consulta: 04 de diciembre de 2014http://www.maths.lth.se/na/courses/FMN140/FMN140-05/float.pdf

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