GE3002 Probabilidad y estadística matemática - 2010 - Matemática.pdf
MANUAL DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN ELEMENTOS DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA MANUAL 1
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES
DE FEBRERO
LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN
ELEMENTOS DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
MANUAL
AUTORA: SOFÍA FUHRMAN
1
ÍNDICE
Unidad 1: Campos numéricos y operaciones matemáticas
1. Campos numéricos 32. Repaso de operaciones básicas en el campo de los números
reales6
2.1. Suma y resta 62.2. Multiplicación 82.3. División 92.4. Cálculos combinados en 112.5. Cálculos combinados en 122.6. Potenciación 132.7. Radicación 162.8. Concepto de módulo o valor absoluto 232.9. Resolución de ecuaciones cuadráticas 242.10. Ecuaciones bicuadráticas 262.11. Logaritmos 272.12. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 292.13. Traducción de enunciados al lenguaje simbólico 322.14. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 33
Unidad 2: Matemática financiera
1. Concepto 351.1. Clasificación de las operaciones financieras 361.2. Tipos de interés 371.3. Capitales equivalentes 38
2. Régimen simple 392.1. Capitalización simple 392.2. Descuento simple 412.3. Aplicaciones del principio de equivalencia: sustitución de capitales
43
3. Régimen compuesto 473.1. Capitalización compuesta 473.2. Descuento comercial compuesto 523.3. Aplicaciones del principio de equivalencia: sustitución de capitales
54
Unidad 3: Estadística descriptiva
1. Estadística: definición y objeto 561.1. Definiciones básicas 571.2. Etapas de la estadística 60
Unidad 4: Probabilidad
1. Introducción 861.1. Espacio muestral 871.2. Suceso aleatorio 881.3. Definiciones del término probabilidad 91
2
UNIDAD I
CAMPOS NUMÉRICOS Y OPERACIONES MATEMÁTICAS
1) CAMPOS NUMÉRICOS
Los números son creaciones humanas, que fueron surgiendo de acuerdo
con las necesidades de las diferentes comunidades.
En primer lugar se creó el conjunto de los números enteros y positivos,
hoy llamado “Conjunto de los Números Naturales”. Los números naturales se
utilizaron en primera instancia para las actividades relacionadas con el
comercio. Pero este campo numérico no era útil para registrar deudas o déficit,
de modo que posteriormente se desarrolló el campo de los números enteros y
negativos. Los números naturales junto con los enteros negativos conforman el
campo de los Enteros.
Otro problema era el de registrar y operar con partes de una unidad, que
se resolvió a partir de la creación de los números fraccionarios, tanto positivos
como negativos.
A este gran conjunto, formado por los números enteros positivos y
negativos, y los fraccionarios también de ambos signos, se lo denominó
“Conjunto de los Números Racionales”. Cualquier elemento de este conjunto
puede expresarse como una fracción.
Por ejemplo:
Sin embargo, no todos los números pueden expresarse como una
fracción. Por ejemplo, : si se intenta calcular el resultado de esta operación,
se obtienen infinitos decimales diferentes. Es decir que no hay ninguna fracción
que equivalga a .
Este tipo de números, que no pueden expresarse como fracción o razón,
constituyen el campo de los Números Irracionales.
3
El conjunto formado por los racionales e Irracionales se denomina
“Campo de los Números Reales”, y es el que usamos habitualmente.
Sin embargo, queda aún un problema para resolver, que es el de las
raíces de radicando negativo e índice par.
Repasemos el concepto de radicación:
Es decir que para resolver una raíz, debo preguntarme qué número
elevado a la n da a como resultado. Al número que está dentro de la raíz (a) se
lo denomina radicando, y a n se lo llama índice.
Por ejemplo:
Si el radicando es negativo y el índice es impar, obtenemos un resultado
negativo:
Pero si el radicando es negativo y el índice es par, la operación no tiene
solución dentro del campo de los números reales, ya que cualquier número
elevado a un exponente par da un resultado positivo.
Por ejemplo, si queremos resolver , debemos obtener un número
que elevado al cuadrado dé como resultado -25, y esto no es posible, ya que:
Para resolver esta cuestión se crearon los números imaginarios.
Un número imaginario es un número real multiplicado por un elemento al
que se denomina i, y que tiene la característica de que elevado al cuadrado da
como resultado -1.
Entonces:
4
El conjunto de los números reales más los números imaginarios se
denomina “Campo de los Números Complejos”.
5
I
COMPLEJOS
IMAGINARIOS
NATURALES
ENTEROS
RACIONALES
REALES
2. REPASO DE OPERACIONES BÁSICAS EN EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Esta sección es un repaso de las propiedades y formas de operar con
los números estudiadas durante la escuela secundaria.
Seguramente muchos de ustedes las recuerdan, pero quizás hay
algunos que no trabajan con estas cuestiones hace mucho tiempo, por eso me
pareció oportuno refrescar estos conocimientos.
Si bien muchas de estas operaciones pueden resolverse fácilmente con
una calculadora, me parece importante entender el mecanismo de cada una de
ellas, ya que ésta es la base de los temas que desarrollaremos en las próximas
unidades.
2.1) SUMA Y RESTA
Siempre que tenemos dos números con el mismo signo, se suman, y el
resultado obtenido lleva el mismo signo que los sumandos.
Por ejemplo:
7+3 = 10
-7-3 = -10
La suma de dos números negativos puede pensarse como la suma de
dos deudas; lo que se obtiene es el monto total adeudado.
Si debemos sumar números con signos diferentes, se restan, y el
resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto. Aquí también es
útil pensar los números positivos como ingresos y los negativos como egresos.
Si los ingresos son mayores que los egresos, el resultado final es positivo; si
los egresos son mayores, el resultado de la operación es negativo.
6
-5 + 9 = 4
6 – 11 = -5
Para realizar una suma algebraica (una sucesión de sumas y restas),
sumamos todos los números positivos, luego sumamos todos los negativos, y
posteriormente a la primera cantidad le restamos la segunda:
- 8 + 6 + 5 – 10 – 4 = (6 + 5) – (8 + 10 + 4) = 11 – 22 = -11
7
2.2) MULTIPLICACIÓN
Regla de los signos:
El producto de dos números del mismo signo da resultado positivo
El producto de dos números de signos opuestos da resultado negativo
Propiedad Distributiva:
La multiplicación es distributiva respecto de la suma y de la resta
8
2.3) DIVISIÓN:
La división de dos números cualesquiera puede expresarse como una
razón o fracción. El número de arriba es el dividendo o numerador, y el de
abajo es el divisor o denominador.
Una restricción para esta operación es que el denominador debe ser
distinto de cero, ya que la división por cero no está definida en la matemática1.
Regla de los signos:
Es igual que en el producto: para dividendo y divisor del mismo signo, el
resultado (que se denomina cociente) es positivo, si tienen signos contrarios es
negativo.
Propiedad Distributiva:
En la suma y en la resta, puede distribuirse el numerador pero no el
denominador:
1 La razón por la cual esta operación no está definida es la siguiente: Si dividimos un número por una cantidad cada vez más pequeña, obtenemos un resultado cada vez más grande. Por ejemplo: 10:1=10; 10: 0,1= 100; 10: 0,001= 1000; 10:0,0001 = 10.000. es decir que si dividimos por un número que tiende a cero, el resultado tiende a infinito.
9
10
Para resolver cálculos combinados, se debe separar toda la expresión
en términos. Los términos se definen por los signos + y – que aparecen fuera
de los paréntesis.
Ejemplo:
Si aparecen paréntesis, corchetes y/o llaves, el orden de supresión es:
primero los paréntesis, luego los corchetes y por último las llaves.
Cuando delante de cualquiera de estos signos aparece un signo
negativo, se debe cambiar el signo del resultado de la operación que se
encuentra en su interior. Si el signo es positivo, se deja tal cual está.
Ejemplo:
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Suma y Resta de fracciones:
De igual denominador:
Se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo
denominador:
De distinto denominador:
Se debe calcular el denominador común:
Siempre que se pueda, simplificamos la fracción, para trabajar con
números más pequeños.
Multiplicación de fracciones:
Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí,
simplificando previamente, si es posible:
División de fracciones:
La división se transforma en una multiplicación, invirtiendo el divisor:
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2.6 POTENCIACIÓN
La potenciación consiste en multiplicar un número (la base) por sí mismo la cantidad de veces que indique el exponente
an= a.a .a … a multipicado por sí mismo n veces.
Regla de los signos
EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR EJEMPLO
BASE POSITIVA
RESULTADO POSITIVO
RESULTADO POSITIVO
32 = 933 = 27
BASE NEGATIVA
RESULTADO POSITIVO
RESULTADO NEGATIVO
(–4)2 = 16(–4)3 = –64
Signo del Exponente
Cuando el exponente es negativo, se invierte la base. Ejemplos:
Propiedad Distributiva
La potenciación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta.
(3+4)2 32+42
13
naBase
Exponente
72 9+16 49 25
La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y a la división.
(3.5)2 = 32.52
152 = 9.25225 = 225
Producto de Potencias de Igual Base
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la misma
base elevada a un exponente igual a la suma de los exponentes de los
factores.
Ejemplo:
43 . 42 = 43+2 = 45 = 1024
Cociente de Potencias de Igual Base
El cociente de dos potencias de igual base es igual a la misma base
elevada a un exponente que se obtiene restando los exponentes del dividendo
y el divisor
Ejemplo:67 : 65 = 67- 5 = 62 = 36
Potencia de Potencia
La potencia de otra potencia es igual a una potencia de la misma base
elevada al producto de los exponentes dados.
14
Ejemplo: (32)3 = 32.3 = 36 = 729
Cuadrado de un Binomio
Como la potenciación no es distributiva respecto de la suma ni de la
resta, para calcular el cuadrado de un binomio debemos multiplicar el binomio
por sí mismo.
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a2 + ab + ab + b2
Ejemplos:
(4x + 3y3)2 = (4x)2 + 2. 4x . 3y3 + (3y3)2
= 16 x2 + 24 x y3 + 9y6
(5x 4 – 2 x2) = (5x4)2 – 2 . 5x4 . 2x2 + (2x2)2
= 25 x8 - 20 x6 + 4x2
Cubo de un Binomio
Se calcula del mismo modo que el cuadrado. Las fórmulas resultantes
son las siguientes:
Ejemplos:
(3b + 4c5)3 = (3b)3 + 3. (3b)2 . 4c5 + 3. 3b. (4c5)2 + (4c5)3
= 27b3 + 108 b2 c5 + 144 b c10 + 64 c15
(z6 – z8)3 = (z6)3 – 3.(z6)2.z8 + 3. z6 . (z8)2 – (z8)3
= z18 – 3 z20 + 3 z22 –z24
2.7 RADICACIÓN
15
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a – b)2 = a2 – 2.a.b + b2
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3.a2.b + 3.a.b2 – b3
Definición:
a b b a
Ej
n n
. 83 2 2 83 n =índice a =radicando b =raíz
Regla de los Signos
Propiedad distributiva
La radicación no es distributiva respecto de la suma ni de la resta.
16 9 16 9
25
4 + 3
5 7
La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y la
división.
9 4 9 4
36 3 2
. .
.
6 = 6
Extracción de Factores fuera del radical
Para extraer factores fuera del radical, primero debemos factorizar el o
los radicandos.
Luego dividimos el exponente del radicando por el índice; el cociente de
esta división será el exponente del factor extraído, y el resto de la misma será
el exponente del factor que queda dentro del radical.
128 2 2 26 2 113 7 6 2 113 2 2 3 2 23a b c a b c a c b c
RADICANDO POSITIVO RADICANDO NEGATIVO
EXPONENTE PAR
RESULTADO POSITIVO 164 2
NO TIENE SOLUCIÓN dentro de los números
reales
EXPONENTE IMPAR
RESULTADO POSITIVO8 23
RESULTADO NEGATIVO 8 23
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Introducción de Factores Dentro del Radical
Se procede de modo inverso que en el caso anterior
Producto de Radicales de Igual Índice
an bn a bn
Ej
. .
: . .
83 1253 8 1253 10003 10
Para la división se procede del mismo modo que para la multiplicación.
Producto de Radicales de Distinto Índice
Para multiplicar dos o más radicales de distinto índice debe calcularse el
índice común, que será el mínimo común múltiplo de todos los índices.
Luego se calcula el exponente al cual se elevará cada radicando
dividiendo el índice común por cada uno de los índices.
Para la división se procede del mismo modo que para la multiplicación.
Suma o Resta de Radicales
Sólo pueden sumarse o restarse radicales semejantes.
5 8 5 9 5
8 200 18 2 2 10 2 3 2 9 2
3 3 3. .
Potenciación de Radicales
El exponente y el índice pueden simplificarse.
17
Ejemplo: a a68 34
Racionalización de Denominadores
Racionalizar significa eliminar las raíces del denominador.
Primer Caso: Denominador formado por una sola raíz
Se multiplica y se divide por una raíz del mismo índice que la del
denominador, cuyos factores deben tener como exponentes la diferencia entre
este índice y el exponente con que figuraban.
a
bcn
a
bcn
bn cn
bn cn
b
a b
b
a b
ab
ab
b ab
a b
b ab
ab
b ab
ab
5
12 235
22 3 232 32 23
2 32 235 18 23
23 33 3 335 18 23
2 3
5 18 23
6.
.
. . . . . .
Segundo Caso: Denominador formado por la suma o la resta de dos
raíces cuadradas o un número y una raíz cuadrada
En este caso, se multiplica y se divide por el conjugado del denominador
(que es igual al denominador, pero con el signo del segundo término
cambiado).
El denominador será siempre el cuadrado del primer término menos el
cuadrado del segundo término.
Potencias de Exponente Racional
Cuando el exponente es una fracción, el numerador es el exponente, y el
denominador es el índice.
18
Ejemplo 1
Resolvemos primero el numerador
Recordemos que porque al elevar cualquier número a un
exponente par obtenemos un resultado positivo.
Ahora resolvemos el denominador
19
(Como cualquier número elevado a cero)
(el exponente negativo indica que se debe intervenir
la base)
Resolvemos el ejercicio completo
Ejemplo 2
Resolvemos el numerador de la raíz cuadrada
Distribuimos la raíz y resolvemos
(el exponente negativo indica que se debe invertir la
base)
20
Se anulan porque su suma es 0.
Resolvemos el denominador de la raíz.
Restamos el otro miembro
Ejemplo 3
Para resolver una ecuación, primero intentamos simplificar todas las
expresiones
Resolvemos todo lo que no tiene x
21
Nuestra ecuación queda:
La raíz cuadrada pasa al otro miembro como cuadrado, y el cubo como
raíz cúbica
22
2.8 CONCEPTO DE MÓDULO O VALOR ABSOLUTO
El módulo o valor absoluto de un número es la cantidad que se expresa,
sin tomar en cuenta el signo.
El concepto de módulo está relacionado con el de la distancia entre dos
puntos. Por ejemplo, si viajamos de Buenos Aires a Mar del Plata, recorremos
una distancia de 400 km. Si realizamos el viaje desde Mar del Plata hacia
Buenos Aires, también recorremos 400 km.; no “- 400 km.”.
El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales:
Cuando debemos resolver una ecuación en la que figuran exponentes
pares afectando a la variable que debemos averiguar, obtendremos dos
resultados, ya que al pasar el exponente como índice, debemos agregar barras
de módulo:
Si reemplazamos en la ecuación, veremos que ambos resultados
satisfacen la igualdad:
23
2.9) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Se denominan ecuaciones cuadráticas a aquellas en las que el mayor
exponente de la variable a averiguar es 2.
Una ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma:
Si en la ecuación no figura el término lineal (bx), procedemos de la
siguiente forma:
Ejemplo:
Si el radicando queda negativo, la ecuación no tiene solución dentro del
campo de los números reales:
Si en la ecuación no figura el término independiente (c), sacamos x
como factor común:
Para que un producto dé como resultado cero, alguno de los factores
debe ser cero:
24
Ejemplo:
Para las ecuaciones cuadráticas completas debemos recurrir a la
fórmula de Bhaskara:
Ejemplo:
25
2.10) ECUACIONES BICUADRÁTICAS
Las ecuaciones bicuadráticas se caracterizan porque pueden llevarse a
la forma de las ecuaciones cuadráticas, mediante un cambio de variable.
Por ejemplo:
Hacemos un cambio de variable:
Reescribimos la ecuación en la nueva variable:
Y resolvemos mediante la fórmula de Baskara, con a = 1; b = -7 y c = 6:
Una vez que calculamos los valores de z, volvemos a nuestra variable original:
Si se reemplaza una variable con exponente par, se obtendrán hasta cuatro
resultados:
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Si alguno de los valores de z es negativo, los resultados obtenidos no estarán
dentro del campo de los números reales.
2.11) LOGARITMOS
Definición de logaritmo:
Para resolver un logaritmo, debo preguntarme: ¿a qué exponente hay
que elevar b para obtener a?
Por ejemplo:
Propiedades de los logaritmos:
1.º. No existen logaritmos de cero ni de números negativos
Esto se debe a que, de acuerdo con la definición, debería cumplirse:
, y dentro de los campos numéricos no existe
ningún par (a,b) que cumpla con esta condición. Lo mismo ocurre con los
números negativos.
2.º. El logaritmo de 1, en cualquier base, es cero
.
Esto se cumple para cualquier número que figure como base, excepto
para el cero; pero, por la primera propiedad, dicho número ya estaba excluido.
3.º. Si la base y el argumento son iguales, el resultado es 1.
4.º. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos
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5.º. El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los
logaritmos
6.º. El logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base
7.º. El logaritmo de una raíz es igual al producto del inverso del
índice por el logaritmo del radicando
8.º. Cambio de base
La regla para cambiar la base de un logaritmo es la siguiente:
Por ejemplo:
Las bases más utilizadas son el 10 y el número e
Los logaritmos de base 10 se denominan “logaritmos decimales”, y
habitualmente se omite la base en la notación.
Los logaritmos de base e se denominan logaritmos naturales o
neperianos, y se los indica como “ln”.
El número e es un número irracional, cuyo valor aproximado es 2,71822.
2 El número e es un elemento fundamental en el análisis matemático. En las próximas unidades profundizaremos en este tema.
28
2.12) ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
Cuando la variable a averiguar figura como exponente, debemos recurrir
a las propiedades de la potenciación y la logaritmación para poder resolver la
ecuación.
Ejemplo 1
En primer lugar aplicamos las propiedades del cociente y el producto de
potencias de igual base:
A continuación sacamos el factor que tiene la incógnita como factor
común:
Para averiguar el valor de x, expresamos los dos miembros de la
ecuación como potencias de igual base, en este caso la base es 2
Como las bases son iguales, los exponentes también deben serlo:
Ejemplo 2:
29
Cuando no es posible reducir los términos a potencias de igual base,
debemos recurrir a los logaritmos:
Ejemplo 3:
Como 2 y 10 no pueden expresarse como potencias de igual base,
aplicamos logaritmos en ambos miembros:
En las ecuaciones logarítmicas aplicaremos diferentes estrategias,
según los logaritmos estén en uno solo o en ambos miembros de la ecuación
Ejemplo 4:
log (x + 1) + log (x – 1) = log 8
30
De los dos resultados obtenidos, solo sirve el 3, ya que con -3 nos
darían logaritmos negativos, que no tienen solución.
Ejemplo 5:
Muchas veces para resolver ecuaciones de cualquier tipo debemos
recurrir a la forma cuadrática:
Ejemplo 6:
Esta ecuación tiene la forma de una cuadrática. Para resolverla hacemos
un cambio de variable:
Una vez resuelta la ecuación cuadrática, volvemos a reemplazar por la variable
original para averiguar el valor de x:
31
2.13) TRADUCCIÓN DE ENUNCIADOS AL LENGUAJE SIMBÓLICO
Para poder resolver un problema utilizando herramientas de la
matemática, primero debemos expresarlo en el lenguaje de esta disciplina.
Por lo general habrá uno o más elementos cuyo valor desconocemos. A
estos elementos, que son nuestras incógnitas, los vamos a simbolizar mediante
una letra (casi siempre usamos “x” o “y”).
Para que podamos averiguar el valor de la o las incógnitas, nos darán
relaciones que deberemos expresar en lenguaje simbólico.
Por ejemplo, si nos dicen: “El triple de un número es igual al doble de su
consecutivo, aumentado en 6 unidades”
Designamos “x” al número que no conocemos
El triple de ese número será “3x”
Su consecutivo será “x+1”, por lo tanto, el doble de su consecutivo es 2.
(x+1)
El doble de su consecutivo aumentado en 6 unidades será: 2.(x+1) + 6
Entonces, a partir del enunciado dado armamos una ecuación:
Resolvemos:
32
2.14) SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Consideremos el siguiente enunciado:
Un comerciante quiere preparar 10 kg de té para venderlo a $156 el kg.
Va a utilizar un té de $210 el kg, y otro de $120 el kg. Calcular cuántos kg de
cada clase de té debe colocar.
En este caso tenemos dos incógnitas: la cantidad de té de $210 el kg y
la cantidad de té de $120 el kg.
Si llamamos “x” a la cantidad de kg del té de $210 e “y” a la cantidad de
té de $120, podemos plantear las ecuaciones del siguiente modo:
La primera ecuación indica que la cantidad de té de $120 multiplicada
por su precio, más la cantidad de té de $210, multiplicada por su precio, debe
dar 10 por 156, el importe total que se espera obtener.
La segunda ecuación expresa que la cantidad total de té, entre ambas
calidades, debe ser 10 kg.
Para resolver estos sistemas hay varios mecanismos, nosotros veremos
dos:
Método de sustitución
Despejamos una variable en cualquiera de las dos ecuaciones, y luego
la reemplazamos en la otra:
De esta manera obtenemos una ecuación con una sola incógnita, que
podemos resolver:
33
Una vez que tenemos el valor de una de las incógnitas, reemplazamos
en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la otra:
Para comprobar que el sistema está bien resuelto, reemplazamos en el
sistema planteado y deben cumplirse ambas igualdades:
Método de Igualación
Otra alternativa es despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y
luego igualar las expresiones obtenidas:
Luego operamos igual que en el otro método: una vez obtenido el valor
de una incógnita, reemplazamos en cualquiera de las otras ecuaciones y
obtenemos el valor de la otra variable:
34
UNIDAD II
MATEMÁTICA FINANCIERA
1) CONCEPTO
Esta parte de la matemática tiene como objeto establecer modelos
matemáticos para las operaciones financieras.
Cuando se dispone de una cantidad de dinero (a la que llamaremos
capital), se puede optar entre gastarlo o invertirlo. La segunda opción se
tendrá en cuenta siempre y cuando que no haya un gasto perentorio, y que la
inversión respete un beneficio económico. El principio básico de la
preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad, los bienes más
cercanos en el tiempo son preferibles a aquellos que estén disponibles en
momentos posteriores.
Si bien esta preferencia por la liquidez es subjetiva, el mercado del
dinero le asigna un valor objetivo llamado interés. Se puede definir al interés
como el precio del dinero, es decir, la retribución que debe abonarse por usar
una cantidad de dinero durante un lapso determinado.
Se cobra interés por tres razones básicas:
- Por el riesgo que se asume
- Por la pérdida de disponibilidad (si presto un capital, no
puedo utilizarlo durante ese lapso)
- Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.
El monto de los intereses obtenidos (o abonados) dependerán de:
- El capital invertido o perdido.
- El tiempo que dura la operación.
- La tasa de interés.
35
Una operación financiera consiste en la sustitución de un capital por otro
equivalente, en distintos momentos, mediante la aplicación de una ley
financiera.
1.1) CLASIFICACIÓN DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS:
36
De acuerdo con su duración
A corto plazo
A largo plazo
Duración menor a un año
Duración superior al año
De acuerdo con el sentido de la ley financiera que opera
De acuerdo con la generación de intereses
Régimen de simple
Régimen de compuesta
De capitalización
De actualización o descuento
1.2) TIPOS DE INTERÉS
Interés simple
En este régimen los intereses se generan siempre sobre el capital
original (los intereses no se acumulan)
Por ejemplo, si se invierten $10.000 al 1% mensual, cada mes se
obtendrá un interés de $100. Si la operación dura cuatro meses, su desarrollo
será:
Capital Interés MontoMes 1 10.000 100 10.100Mes 2 10.000 100 10.200Mes 3 10.000 100 10.300Mes 4 10.000 100 10.400
Al finalizar el 4to mes se cobrarán $10.400.
Interés compuesto:
En este régimen los intereses se calculan sobre el monto acumulado.
Capital Interés MontoMes 1 10.000 100 10.100Mes 2 10.000 101 10.201Mes 3 10.000 102,01 10.303,01Mes 4 10.000 103,03 10.406,04
Al finalizar el 4to mes se cobrarán $10406,04.
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1.3) CAPITALES EQUIVALENTES
Dos capitales C1 y C2 con vencimientos en T1 y T2 respectivamente, son
equivalentes si se está de acuerdo en intercambiar uno por otro.
Que dos capitales sean iguales no significa que sean equivalentes.
Por ejemplo, un capital de $10000 al día de hoy no es equivalente con
un capital de $10000 dentro de tres meses. Para que sea equivalente, debe
incluir el interés generado en ese lapso.
Para que una operación financiera se realice es necesario que los
capitales que intercambian los sujetos intervinientes en la misma sean
equivalentes. El deudor y el acreedor deben acordar con qué capital se inicia la
operación y con cuál concluye, su duración y demás características. Éstas
quedan determinadas mediante una ley financiera, que es un modelo
matemático que establece las pautas de una operación financiera.
Las leyes financieras pueden ser:
De capitalización: se sustituye un capital por otro capital futuro.
De actualización o descuento: se sustituye un capital futuro por otro
capital presente.
38
2) RÉGIMEN SIMPLE
2.1) CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Es una operación financiera que consiste en la sustitución de un
capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la
aplicación de una ley financiera en régimen de interés simple.
Fórmula General
Cn = monto al final de n períodos.
Co = capital inicial.
n = número de períodos.
i = tasa de interés.
Ejemplo 1 (Cálculo del monto):
Calcular el monto obtenido al invertir $12.000 al 0,8% mensual
durante un año y medio.
Co = $12.000 i = 0,8 n = 1,5x12 = 18
Cn = 12.000
Ejemplo 2 (Cálculo de la tasa de interés):
Se depositan $24.000, y al cabo de 6 años se obtiene un monto de
$42.000.
Calcular la tasa anual de interés y los intereses obtenidos.
39
Equivalencia de tasas
Para el régimen simple, las tasas de interés equivalentes son
proporcionales
iA = tasa de interés anual.
ik = tasa de interés periódica
k = frecuencia de capitalización. Es el número de períodos que
entran en una año.
Por ejemplo para una tasa del 6% anual:
Tasa mensual:
Tasa bimestral:
Tasa cuatrimestral:
40
2.2) DESCUENTO SIMPLE
Es una operación financiera que consiste en sustituir un capital futuro
por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de
una ley financiera de régimen simple. Esta operación es la inversa a la
capitalización.
Existen dos tipos de descuento:
Descuento racional:
En este caso se calcula el ahorro de intereses tomando como dato el
monto de la operación. Utilizamos la misma fórmula que para calcular el
monto, pero ahora la incógnita será el capital inicial.
Ejemplo:
Un documento de valor nominal $56.000 se descuenta dos meses
antes de su vencimiento. Si se trabaja con una tasa de interés simple del
18% anual, calcular el dinero que se recibirá por el mismo
Descuento comercial
Los intereses generados en la operación se calculan sobre el capital
nominal (Cn) aplicando una tasa de descuento (d).
Ejemplo:
41
Se desea cancelar una deuda de $6.000 con vencimiento a 15 meses
a una tasa de descuento mensual de 0,9%. Calcular el capital inicial y el
monto de la operación.
El significado de esta operación financiera es el siguiente: un capital
de $6.000 a pagarse dentro de 15 meses es equivalente a un capital de
$5.190, pagado en el día de hoy, a una tasa de 0,9%.
Equivalencia entre las tasas de interés y de descuento
42
2.3) APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN
DE CAPITALES
Dijimos que dos capitales son equivalentes cuando, valorados en un
mismo momento, sus cantidades coinciden.
Si dos o más capitales son equivalentes, es posible sustituir uno por
otro sin afectar las condiciones de la operación financiera.
El momento fijado para establecer la equivalencia de los capitales se
denomina fecha focal. Los casos en los que se puede realizar una
sustitución de capitales son:
a) Determinación del capital común.
b) Determinación del vencimiento común.
a) Determinación del capital común
Un capital común es una cantidad de dinero que vence en un momento t,
y que sustituye a varios capitales que vencen en diferentes momentos.
Ejemplo:
Una persona tiene las siguientes deudas:
Deuda Plazo (Meses)
D1 $6.000 6
D2 $12.000 3
D3 $15.000 10
43
Desea sustituir las tres deudas por una sola, con vencimiento a los 7
meses.
Calcular el importe a pagar si la operación se acuerda al 1,2% de interés
simple mensual.
Debemos calcular los tres capitales equivalentes, tomando como fecha
focal el mes 7. Las dos primeras deudas deben capitalizarse, mientras que el
último debe descontarse.
D1 = debe capitalizarse un mes.
D2 = debe capitalizarse 4 meses
D3 = debe actualizarse 3 meses
b) Determinación del vencimiento común
44
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
$12.000 $6.000 $15.000
El vencimiento común es el momento de tiempo t en que vence un
capital único conocido, que sustituye a varios capitales.
El problema es similar al anterior, pero aquí conocemos el capital y
desconocemos la fecha de equivalencia.
Ejemplo:
Una persona tiene las siguientes deudas:
Deuda Fecha
1 $11.000 10 meses
2 $4.000 6 meses
3 $9.000 3 meses
Acuerda con su acreedor cancelar las tres deudas mediante un único
pago de $23.670
¿En qué momento debe realizar el pago? (La tasa de interés es de 0,9%
mensual)
Para resolver este problema, planteamos la línea de tiempo y
calculamos los capitales equivalentes en el momento t = 0
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.000 11.0009.000
El capital equivalente a los tres adeudados es la suma de
Ahora debemos calcular en qué momento este capital es equivalente a
otro de $23670
El momento de la cancelación de la deuda será el quinto mes.
46
3) RÉGIMEN COMPUESTO
En el régimen a interés compuesto, tal como ya definimos, los intereses
son “productivos”, es decir que se agregan al capital inicial, y produce intereses
en los períodos subsiguientes.
3.1) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Es la operación financiera en la cual un capital se sustituye por otro
equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de una ley
financiera de interés compuesto.
El capital final o monto se forma a partir de un capital que va variando de
un período a otro, ya que los intereses generados pasan a formar parte del
capital.
Fórmula general para la capitalización compuesta:
= capital inicial.
i = tasa de interés.
n = número de períodos
Ejemplo 1. Cálculo del monto.
Calcular el monto obtenido al invertir un capital de $17000 al 6,4% de
interés anual compuesto, durante 5 años.
47
Ejemplo 2. Cálculo del capital inicial.
Se invierte un capital en régimen compuesto al 0,72% mensual durante 1
año y medio y se obtiene al cabo de dicho lapso un capital de $17.068. ¿Cuál
fue el capital inicial?
Ejemplo 3. Cálculo de la tasa de interés.
Se deposita un capital de $21.000 durante 8 meses con un régimen de
capitalización mensual compuesta, y se obtiene un monto de $22.560,5.
Calcular la tasa de interés mensual.
48
Ejemplo 4. Cálculo del tiempo.
¿Cuánto tiempo debe dejarse invertido un capital al 15% de interés
anual (compuesto) para que el monto obtenido duplique al capital inicial?
Para “bajar” la incógnita, aplicamos logaritmos en ambos miembros.
Se debe dejar depositado durante 5 años.
Equivalencia de tasas en régimen compuesto
k es la frecuencia de capitalización.
Para una mejor comprensión, veremos un ejemplo:
Determinar el monto obtenido al depositar $10.000 al 16% anual durante
un año si la capitalización es:
a) Anual.
b) Semestral
49
c) Trimestral.
a)
b) Calculo de la i semestral
c) Cálculo de la i trimestral
Los montos son los mismos en todos los casos, debidos a que
estamos utilizando tasas equivalentes.
Tasa Nominal
Es una tasa teórica, que permite pasar fácilmente de su unidad
habitual (el año) a cualquier otra.
50
Relación de conversión de tasas
J = tasa nominal anual
i = tasa efectiva para un período k
Por ejemplo, para una tasa nominal anual del 8%, las tasas
semestrales, trimestrales y anuales serán:
51
3.2) DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO
El concepto es el mismo que en el descuento simple, es decir, que se
reemplaza un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente.
En este caso, el régimen es de interés compuesto.
Como en el caso anterior, el descuento puede ser comercial o
racional
Fórmula general para el descuento comercial compuesto:
El descuento obtenido se calcula como
Fórmula general para el cálculo del descuento racional compuesto:
Equivalencia entre tasa de interés y de descuento:
52
Ejemplo
Se desea anticipar el pago de una deuda de $24.000 que vence
dentro de 3 años, a una tasa del 5% anual compuesto. ¿Qué monto deberá
abonarse? (Descuento comercial)
53
3.3) APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN
DE CAPITALES
Ejemplo 1
Un cliente tiene con su banco las siguientes deudas.
Monto Fecha vencimiento
D1 7200 Mes 8
D2 4800 Mes 20
D3 5600 Mes 4
Se acuerda cancelar las tres deudas mediante un único pago en el mes 12.
La tasa es del 1,3% mensual (compuesto)
54
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5600 7200 4800
Ejemplo 2
Una persona tiene dos deudas pendientes: una de $8000, con vencimiento a 4
años, y una de $14000, con vencimiento a 9 años.
Si se acuerda cancelar ambas deudas mediante un único pago de $19734. ¿En
qué momento debe realizarse, si la tasa es del 16% anual compuesto?
55
8000 14000
4 t 90
UNIDAD III
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1) ESTADÍSTICA: DEFINICIÓN Y OBJETO
La palabra “estadística” se utilizó originariamente para designar el
conjunto de aquellos datos demográficos y económicos de importancia vital
para un Estado. En la actualidad se ha convertido en un método científico de
recolección y análisis de datos, que se aplica a todas las ciencias sociales y
naturales.
Existen múltiples razones por las cuales es prácticamente imposible
conocer la totalidad de un fenómeno.
Supongamos que queremos realizar un estudio acerca la parte del
ingreso total que cada familia de Argentina dedica a la cultura.
En primer lugar, debemos definir con precisión a qué denominamos
“gasto en cultura”: estableceremos como tal el dedicado a los espectáculos
(cine, teatro, circo, etc.); a la compra de libros y objetos de arte, a la visita a
exposiciones de arte y a los cursos extra escolares relacionados con el arte y la
cultura.
Una vez establecida la variable a analizar, nos encontraremos con el
problema de que es imposible realizar una encuesta en todos los hogares del
país, por razones de costo y de tiempo. De manera tal que se deberá
determinar una muestra o subconjunto de la población total en la que se
tomarán los datos; y a partir de esa información se extrapolarán los resultados
obtenidos al total de la población.
La estadística es la ciencia que brinda las herramientas necesarias para
establecer una muestra que sea representativa del total de la población, y para
extrapolar los datos con la mayor precisión posible.
56
1.1) DEFINICIONES BÁSICAS
Experimento y Unidad Experimental. Variables
El experimento es la observación sistemática de un fenómeno, con el
objetivo de conocer su dinámica.
La unidad experimental es cada uno de los elementos que se observan
en el experimento.
En nuestro ejemplo, el experimento será la realización de una encuesta
en cada uno de los hogares establecidos. La unidad experimental son los
hogares.
A cada unidad experimental se le asignará un valor determinado, de
acuerdo a lo observado y a las reglas preestablecidas. Ese valor se denomina
dato estadístico.
Si continuamos con nuestro ejemplo, los datos estadísticos que
recogeremos son números que indican el porcentaje de su ingreso que cada
familia dedica a la cultura.
Una variable es cualquiera de las características observables que posee
una unidad experimental.
En nuestro ejemplo, la variable en estudio es “porcentaje del ingreso
dedicado a la cultura”.
El recorrido de la variable es el conjunto de valores que la misma puede
asumir. De acuerdo con su recorrido, las variables se clasifican de la siguiente
manera:
57
Una variable cualitativa es aquella que asume valores que no se
expresan con números.
Si su escala es nominal, los valores no pueden ser ordenados de
acuerdo con un criterio de progresión. Por ejemplo, supongamos que la
variable en estudio es “ocupación laboral de los estudiantes de la UNTREF
Virtual”. Los valores que asumirá la variable serán: empleado bancario,
trabajador cuentapropista, ama/o de casa, profesor, etc. No es posible
establecer un criterio de ordenación progresiva de estos datos.
Si la escala es ordinal, puede establecerse una gradación en los valores
de la variable. Supongamos que estudiamos el nivel de satisfacción de los
clientes de un servicio determinado. Se realiza una encuesta, y las opciones de
respuestas ante el ítem “nivel de satisfacción” son: muy bajo – bajo – regular –
alto – muy alto. En este caso es posible establecer una escala comparativa
entre los distintos valores de la variable.
Una variable cuantitativa es aquella que asume valores que se
representan mediante números.
Una variable cuantitativa es discreta cuando no puede asumir como
valor a cualquier número real. Por ejemplo, si la variable en estudio es “número
de hijos”, tan solo puede adoptar valores enteros.
Una variable cuantitativa continua puede asumir como valor cualquier
número real positivo. Ejemplos típicos de variables cuantitativas continuas son
todas aquellas que se relacionan con peso, estatura, superficie, etc.
58
VARIABLES
CUALITATIVAS
CUANTITATIVAS
ESCALA NOMINAL
ESCALA ORDINAL
DISCRETAS
CONTINUAS
Universo: Es el conjunto de unidades experimentales que poseen
características susceptibles de ser observadas para obtener información.
Población: Conjunto de todas las mediciones realizadas acerca de una
variable en particular.
Si nuestro universo está formado por todos los hogares de Mendoza,
podemos realizar en ellos muchos estudios diferentes.
Si la variable a estudiar es “número de integrantes del grupo familiar”,
tendremos una población de datos. Si en cambio estudiamos “nivel de
instrucción de los adultos de cada hogar”, tendremos otra población de datos.
Es decir que de un mismo universo podemos obtener tantas poblaciones como
variables en estudio planteemos.
El universo está conformado por unidades experimentales, mientras que
la población está formada por datos.
Muestra: es un subconjunto de elementos de la población, a partir del
cual se infieren datos acerca del universo.
59
1.2) ETAPAS DE LA TAREA ESTADÍSTICA
60
¿Qué vamos a estudiar?Formulación del problema
Definición del universo
¿Sobre quién vamos a estudiar? (determinación de los individuos u objetos de nuestra investigación)
Determinación de los instrumentos de
medición
¿Qué medimos? ¿De qué manera?Se determinan las variables en estudio y se diseñan los cuestionarios a utilizar.
Se pueden recopilar datos del total del universo o de una muestra, de acuerdo con las características de cada investigación
Recopilación de datos
Ordenamiento y presentación de los datos
Los datos pueden presentarse en listas, tablas, cuadros, gráficos, etc.
Análisis estadístico de los datos
Análisis descriptivo: Se caracteriza el comportamiento de la variable en estudio mediante parámetros calculados a partir de los datos recopilados y ordenados.
Análisis Inferencial: Cuando la recopilación de los datos se realizó sobre una muestra, el análisis inferencial permite inducir valores poblacionales de la variable en estudio, a partir de los datos muestrales.
Interpretación de los resultados
Se establece la correspondencia entre los resultados obtenidos (expresados como parámetros estadísticos) y la variable en estudio.
Para comprender mejor todos estos conceptos, desarrollaremos un
ejemplo, al que iremos completando con cada uno de los conceptos a estudiar.
El Banco Esmeralda tiene 10 sucursales distribuidas entre las provincias
del Noreste argentino. Su directorio se propone lanzar una nueva línea de
créditos personales no hipotecarios. Para diseñar adecuadamente el producto,
solicita al Departamento de Estadística un estudio exhaustivo acerca de los
clientes que han tomado créditos personales durante los últimos años.
El Departamento de Estadística se propone estudiar las siguientes
variables, para establecer el perfil de los tomadores de créditos personales en
el banco:
1) Número de integrantes del grupo familiar
2) Ocupación del tomador del crédito
3) Nivel educacional del tomador del crédito
4) Ingreso mensual promedio del grupo familiar
5) Monto del crédito solicitado
6) Número de cuotas estipulado para la devolución del crédito
Se toma una muestra de 50 créditos otorgados a lo largo de los años
2009 y 2010.
A partir de estos datos, esbozaremos los primeros pasos de la tarea
estadística para esta investigación:
61
Recopilación de datos
Una cuestión muy importante en la tarea estadística es la metodología
que se utiliza para determinar el tamaño de la muestra a utilizar, y para
seleccionar las unidades experimentales que se incluirán en la misma.
Nosotros no analizaremos las formas de determinación del tamaño de la
muestra, ya que excede los objetivos de este curso introductorio.
Las diferentes técnicas de muestreo tienen como objetivo obtener una
muestra lo más representativa posible de la población.
Las técnicas más utilizadas son:
Muestreo aleatorio simple: Todas los individuos que integran la
población tienen la misma probabilidad de integrar la muestra.
62
Caracterización de los tomadores de créditos personales en el Banco Esmeralda durante los años 2007 y 2008
Formulación del problema
Definición del universo
Tomadores de créditos personales en el Banco Esmeralda durante los años 2009 y 2010
Determinación de los instrumentos de
medición
Se medirán las variables establecidas (1 a 6), de la manera que estableceremos en la próxima sección
Recopilación de los datos
Se tomará una muestra de 50 tomadores de créditos seleccionados al azar dentro del universo establecido.
Ordenamiento y presentación de los
datos
Los datos se presentarán en tablas, a partir de las cuales se construirán gráficas y se calcularán las medidas representativas para cada variable analizada.
Por ejemplo, supongamos que debemos seleccionar una muestra de 20
empleados de una empresa. Una alternativa sencilla es tomar una lista
numerada de los empleados y una tabla de números aleatorios. Elegimos a los
empleados cuyo número de lista coincide con alguno de los primeros 20
números de la tabla.
Otra manera de elegir en un muestreo aleatorio simple es la siguiente:
supongamos que la empresa tiene 440 empleados, y queremos elegir una
muestra de 20, es decir, un empleado cada 22. De una tabla de dígitos al azar
tomamos el primer número; por ejemplo, el 6. Seleccionamos al empleado que
tiene el número 6, y luego le vamos sumando 22: seleccionamos al que tiene el
número 28, al que tiene el 50, y así sucesivamente.
Muestreo Estratificado: Cuando en la población hay alguna
característica cuya variación se supone puede incidir en la variable en estudio,
se procede a realizar un muestreo estratificado.
Supongamos que estamos realizando un estudio acerca de un nuevo
plaguicida para un insecto que ataca al cultivo de trigo. Para realizar el ensayo
disponemos de un lote cuya fertilidad es muy despareja. Podemos sospechar
que la fertilidad del suelo puede incidir en la respuesta al plaguicida (por
ejemplo, que las plantas que están en un terreno más fértil sean más
vigorosas, y, por lo tanto, se recuperen mejor del ataque de los insectos,
independiente del producto aplicado). En este caso, podemos dividir al lote en
diferentes bloques de acuerdo con su fertilidad, y tomar una muestra de cada
bloque.
El muestreo estratificado se utiliza también en las encuestas previas a
las elecciones, en las que se divide a la población de acuerdo con diferentes
criterios: género, franja etaria, nivel socioeconómico, etc.
Muestreo por Conglomerados: En este caso, al contrario que en el
muestreo estratificado, se busca que cada conglomerado refleje toda la
heterogeneidad de la población.
63
Por ejemplo, para un estudio poblacional nos interesa saber cuál es la
composición más típica de las familias de una ciudad. Como no podemos
estudiarlas a todas, podemos elegir algunas manzanas de la ciudad. Luego, en
cada manzana, podemos realizar un muestreo aleatorio simple para
seleccionar las familias a entrevistar.
Ordenamiento y Presentación de los datos
En primer lugar, vamos a clasificar a las variables en estudio:
1) Número de integrantes del grupo familiar
Es una variable cuantitativa discreta. En nuestro caso, el recorrido de la
misma es de 1 a 6, es decir que las familias estudiadas tienen entre 1 y 6
integrantes.
2) Ocupación del tomador del crédito
Esta es una variable cualitativa nominal. A los efectos de este estudio,
se le asignarán los siguientes valores:
Trabajador/a independiente con profesión universitaria (TI-PU)
Trabajador/a independiente con profesión no universitaria (TI-PnoU)
Empleado/a no jerárquico (E no J)
Empleado/a jerárquico (EJ)
Ama/o de casa (AC)
3) Nivel educacional del tomador del crédito
Esta es una variable cualitativa ordinal, a la que se le asignaron los
siguientes valores:
Primaria incompleta (PI)
64
Primaria completa (PC)
Secundaria incompleta (SI)
Secundaria completa (SC)
Universitario incompleto (UI)
Universitario completo (UC)
4) Ingreso mensual promedio del grupo familiar
Esta es una variable cuantitativa continua.
Para poder ordenar los datos, se agruparon en intervalos de frecuencia
desde un valor mínimo de $3.000 hasta el máximo de $13.000, con una
amplitud de $2.000 por intervalo.
5) Monto del crédito solicitado
Esta también es una variable cuantitativa continua. Se ordenaron los
datos en intervalos de frecuencias desde un mínimo de $5.000 hasta un
máximo de $20.000, con una amplitud de $2.500 por intervalo.
6) Número de cuotas estipulado para la devolución del crédito
Variable cuantitativa discreta. Los valores que asumió en este estudio
fueron 6, 12, 18 y 24 (cuotas mensuales)
A continuación presentaremos los datos recopilados para cada una de
las variables analizadas.
65
1) X = NÚMERO DE INTEGRANTES
DEL GRUPO FAMILIAR
X F(X)
1 2
2 12
3 14
4 16
5 5
6 1
TOTAL 50
X representa los diferentes valores que asume la variable. F(x) indica la
frecuencia absoluta obtenida para cada uno de esos valores. De las 50 familias
encuestadas, 2 están integradas por una persona, 12 familias por dos
personas, 14 por 3, en 5 familias hay 5 integrantes, y hay solo una familia con 6
personas.2) X= OCUPACIÓN DEL TOMADOR
DEL CRÉDITO
X F(X)
TI-PU 5
TI-PnoU 14
E no J 11
EJ 16
AC 4
TOTAL 50
3) X= NIVEL EDUCACIONAL DEL
TOMADOR DEL CRÉDITO
X F(X)
PI 1
PC 4
SI 11
SC 21
UI 6
UC 7
TOTAL 50
66
Los corchetes invertidos indican que el límite superior del intervalo se
incluye en el intervalo inmediato inferior. En el primer intervalo se agrupan las
familias cuyo ingreso es inferior a $5.000. En el segundo, las familias cuyo
ingreso es igual o superior a $5.000 e inferior a $7.000
6) X= NÚMERO DE CUOTAS
X F(X)
6 9
12 16
18 6
24 19
TOTAL 50
4) X= INGRESO MENSUAL
PROMEDIO DEL GRUPO
FAMILIAR
X F(X)
[3.000 – 5.000[ 3
[5.000 – 7.000[ 11
[7.000 – 9.000[ 16
[9.000 – 11.000[ 10
[11.000 – 13.000[ 7
[13.000 – 15.000[ 3
TOTAL 50
5) X= MONTO DEL CRÉDITO
SOLICITADO
X F(X)
[5.000 – 7.500[ 6
[7.500 – 10.000[ 9
[10.000 – 12.500[ 12
[12.500 – 15.000[ 14
[15.000 – 17.500[ 7
[17.500 – 20.000[ 2
TOTAL 50
67
El primer ordenamiento de datos que se realiza es éste. Una tabla de doble
entrada es una herramienta útil para visualizar rápidamente los datos.
Otros parámetros que se calculan habitualmente son:
Frecuencia absoluta acumulada: Es la suma de las frecuencias absolutas
simples.
Tomemos como ejemplo la variable: ingreso mensual promedio del grupo
familiar:
La frecuencia acumulada absoluta es útil para visualizar rápidamente
cuestiones tales como:
¿Cuántas familias tienen un ingreso inferior a $9.000?
30 familias
¿Cuántas familias tienen un ingreso superior a $7.000?
50 – 14 = 36 familias
Frecuencia relativa simple: Se divide la frecuencia absoluta por el total de los
datos (en nuestro caso, 50)
La frecuencia absoluta simple nos da la proporción de la muestra en estudio
que asume un valor determinado de la variable.
4) X= INGRESO MENSUAL
PROMEDIO DEL GRUPO
FAMILIAR
X F(X) Fac(x)
[3.000 – 5.000[ 3 3
[5.000 – 7.000[ 11 14
[7.000 – 9.000[ 16 30
[9.000 – 11.000[ 10 40
[11.000 – 13.000[ 7 47
[13.000 – 15.000[ 3 50
TOTAL 50
68
Frecuencia relativa acumulada: Es la suma de las frecuencias relativas
simples.
Si continuamos trabajando con la variable “ingreso del grupo familiar”, tenemos:
INGRESO DEL GRUPO FAMILIAR
X F(x) Fac(x) fr (x) Fr (x)
[3.000 – 5.000[ 3 3 3/50= 0,06 0,06
[5.000 – 7.000[ 11 14 11/50=0,22 0,28
[7.000 – 9.000[ 16 30 16/50= 0,32 0,6
[9.000 – 11.000[ 10 40 10/50 = 0,2 0,8
[11.000 – 13.000[ 7 47 7/50 = 0,14 0,94
[13.000 – 15.000[ 3 50 3/50 = 0,06 1
TOTAL 50
La suma de las frecuencias relativas es siempre 1.
Si se multiplican las frecuencias relativas por 100, se obtienen los porcentajes
que corresponden a cada valor de la variable.
Por ejemplo:
¿Qué porcentaje de las familias en estudio tiene un ingreso mensual entre
$5000 y $11.000?
La respuesta es: (0,22 + 0,32 + 0,2) . 100 = 74%
Gráficos estadísticos
Los gráficos estadísticos son también una herramienta muy útil para visualizar
la distribución de la variable en estudio.
Gráficos para variables discretas
Gráfico de barras
Este tipo de gráficos se utilizan generalmente cuando la variable en estudio es
cualitativa. Sobre uno de los ejes se ubican las bases de las barras
69
(habitualmente en el eje x); y sobre el otro la frecuencia absoluta. La longitud
de cada barra es proporcional a la frecuencia absoluta para ese valor de la
variable.
Es muy sencillo realizar estos gráficos utilizando el programa Excel
(seguramente lo verán en Informática). Se copia la tabla en una hoja de cálculo
del programa, se la ilumina, y luego se aprieta “insertar gráfico”. Aparecerá un
asistente, en el que se puede seleccionar el tipo de gráfico y el formato.
Nosotros haremos como ejemplo el gráfico de barras de la variable “nivel
educacional del tomador del crédito”
3) X= NIVEL
EDUCACIONAL DEL
TOMADOR DEL
CRÉDITO
X F(X)
PI 1
PC 4
SI 11
SC 21
UI 6
UC 7
Gráfico Circular:
Se utiliza en los mismos casos que los gráficos de barras.
En este caso, se considera que el total de la circunferencia (360º) es el total de
los datos (en nuestro caso, 50). Cada valor de la variable quedará
representado por un sector circular proporcional a su frecuencia.
Por ejemplo, para el mismo ejemplo anterior, si queremos calcular el sector que
le corresponde a los tomadores de crédito con secundaria completa:
70
Los gráficos circulares o de torta también se confeccionan fácilmente con el
Excel.
Gráficos para variables Continuas:
Histograma:
Se utiliza para las variables continuas. Consiste en una serie de barras
adyacentes, cuyo ancho representa la amplitud del intervalo, y cuya altura es
proporcional a la frecuencia absoluta.
Para la variable “Ingreso del grupo familiar”, el histograma es el
siguiente
71
INGRESO DEL GRUPO FAMILIAR
02
46
810
1214
1618
1
[3.000 – 5.000[
[5.000 – 7.000[
[7.000 – 9.000[
[9.000 – 11.000[
[11.000 – 13.000[
[13.000 – 15.000[
Ingresos (en $)
F
Polígonos de Frecuencias:
Se obtienen uniendo los puntos medios de las columnas del histograma:
Ojiva de Frecuencia Acumulada:
Se utiliza también para las variables continuas.
En el eje de abscisas se colocan los extremos de los intervalos de
frecuencias, y en el eje de ordenadas los valores de la frecuencia acumulada
para cada intervalo.
Para la misma variable anterior, la ojiva toma esta forma:
72
INGRESO DEL GRUPO FAMILIAR
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1
[3.000 – 5.000[
[5.000 – 7.000[
[7.000 – 9.000[
[9.000 – 11.000[
[11.000 – 13.000[
[13.000 – 15.000[
Ingresos (en $)
F
Medidas de posición
Las medidas de posición son valores numéricos que caracterizan a una
distribución de frecuencias.
Media Aritmética:
Es el promedio de los datos de una distribución.
Para las variables discretas que no están agrupadas en intervalos de
frecuencias, se calcula mediante la siguiente fórmula:
Calcularemos la media aritmética de nuestra variable: “Número de
Integrantes del Grupo Familiar”
A la tabla original, le agregamos una columna cuyo contenido es el
producto de cada valor de la variable por su frecuencia absoluta
1) X= NÚMERO DE INTEGRANTES
DEL GRUPO FAMILIAR
XF(x)
Xi . Fi
1 2 2
2 12 24
3 14 42
4 16 64
5 5 25
6 1 6
TOTAL 50 163
La media aritmética es el cociente entre la suma de los productos
efectuados y el número total de datos:
73
A partir de este valor podemos tener una primera aproximación de la
distribución de nuestra variable: el promedio de integrantes del grupo familiar
es 3.
Para las variables continuas y las variables discretas agrupadas en
intervalos de frecuencias, el cálculo de la media aritmética es similar, pero en
vez de utilizar el valor puntual de la variable, calculamos el punto medio de
cada intervalo de frecuencias, tomando ese valor como el representativo de
cada intervalo:
El punto medio es la semisuma de los extremos de cada intervalo.
Para nuestra variable: “Ingreso Mensual del Grupo Familiar”:
4) X= INGRESO MENSUAL PROMEDIO DEL
GRUPO FAMILIAR
X PM F(x) PMi.Fi
[3.000 – 5.000[ 4.000 3 12.000
[5.000 – 7.000[ 6.000 11 66.000
[7.000 – 9.000[ 8.000 16 128.000
[9.000 – 11.000[ 10.000 10 100.000
[11.000 – 13.000[ 12.000 7 84.000
[13.000 – 15.000[ 14.000 3 42.000
TOTAL 50 432.000
Modo o Moda:
El Modo es el valor de la variable al que le corresponde la máxima
frecuencia; es decir que es el valor de la variable que más se repite.
74
Para las distribuciones de variables discretas sin agrupar, simplemente
se determina observando a qué valor de x le corresponde la mayor frecuencia.
Para nuestra variable “número de integrantes del grupo familiar”, el
modo es 4, lo que significa que, de las familias entrevistadas, las de cuatro
integrantes fueron las que aparecieron más veces.
Para las variables agrupadas en intervalos de frecuencias, el modo se
calcula mediante la siguiente fórmula:
Li = Límite inferior del intervalo modal (intervalo de máxima frecuencia absoluta)
frecuencia absoluta del intervalo modal menos frecuencia absoluta del
intervalo anterior
frecuencia absoluta del intervalo modal menos frecuencia absoluta del
intervalo posterior
a = amplitud del intervalo
4) X= INGRESO MENSUAL
PROMEDIO DEL GRUPO
FAMILIAR
X F(x) Fac(x)
[3.000 – 5.000[ 3 3
[5.000 – 7.000[ 11 14
[7.000 – 9.000[ 16 30
[9.000 – 11.000[ 10 40
[11.000 – 13.000[ 7 47
[13.000 – 15.000[ 3 50
TOTAL 50
En esta distribución, el intervalo modal es el comprendido entre $7000 y
$9000, cuya frecuencia absoluta es 16.
75
El modo se calcula como:
La información que nos brinda este valor es que el ingreso más
frecuente entre este grupo de familias es de $7910.
Mediana:
La mediana es el valor de la variable que divide a la distribución en dos
partes con igual número de datos.
Supongamos que en una escuela primaria seleccionamos al azar un
grupo de 9 chicos, y le preguntamos la edad a cada uno. Obtenemos los
siguientes datos:
7 – 8 – 12 – 11 – 10 - 9 - 8 - 9 - 13
Ordenamos a los alumnos del grupo desde el de menor edad al de más
edad:
76
La mediana de la distribución es 9
7 años 8 años 8 años 9 años 9 años 10 años 11 años 12 años 13 años
Para calcular la mediana en distribuciones de variables discretas sin
agrupar, calculamos primero la frecuencia acumulada absoluta. Luego nos
fijamos a qué valor de la variable corresponde el dato medio de la distribución.
1) X= NÚMERO DE INTEGRANTES
DEL GRUPO FAMILIAR
X F(x) Fac(x)
1 2 2
2 12 14
3 14 28
4 16 44
5 5 49
6 1 50
TOTAL 50
La tabla nos informa que hay dos familias con un solo integrante, 14
familias con dos o menos integrantes, 28 familias tienen hasta 3 integrantes, 44
tienen 4 integrantes o menos, 49 tienen hasta 5 y 50 familias tienen como
máximo 6 integrantes.
Como la mitad de la distribución es 25, la mediana es x = 3, ya que 28
familias (más de la mitad), tienen hasta 3 integrantes.
Para datos agrupados en intervalos de frecuencias, utilizamos la
siguiente fórmula para el cálculo de la mediana:
Li: límite inferior del intervalo que contiene a la mediana
n = número total de datos
Facn-1 = frecuencia acumulada del intervalo anterior al de la mediana
fm = frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana
a = amplitud del intervalo
77
4) X= INGRESO MENSUAL
PROMEDIO DEL GRUPO
FAMILIAR
X F(x) Fac(x)
[3.000 – 5.000[ 3 3
[5.000 – 7.000[ 11 14
[7.000 – 9.000[ 16 30
[9.000 – 11.000[ 10 40
[11.000 – 13.000[ 7 47
[13.000 – 15.000[ 3 50
TOTAL 50
En este caso, el dato número 25 corresponde al intervalo comprendido
entre $7.000 y $9.000.
De este dato podemos deducir que la mitad de las familias encuestadas
tienen un ingreso inferior a $8.375.
Medidas de concentración
Cuartiles:
Así como la mediana nos da la información acerca de cuál es el valor de
la variable por debajo del cual se encuentra el 50% de la muestra, los cuarteles
nos informan el valor de la variable por debajo del cual se encuentra el 25% de
la muestra, o el 75% de la muestra.
La forma de cálculo es semejante a la de la mediana.
Primer Cuartil (Q1):
Para variables sin agrupar, el primer cuartel es el valor de la variable por
debajo del cual se encuentra el 25% de los datos.
78
Para nuestra variable “integrantes del grupo familiar”, el 25% de los
datos equivale a 13 datos (12,5, que aproximamos a 13). El valor del Q1 es 2,
ya que hasta 14 familias tienen dos integrantes o menos.
Para calcular el tercer cuartil (Q3), calculamos el 75% de los datos, que
equivale a 38. El valor de Q3 es 4, ya que hasta 44 familias tienen 4 integrantes
o menos.
El segundo cuartil es la mediana.
Para datos agrupados, se utilizan las siguientes fórmulas:
Para la variable “Nivel de ingreso del grupo familiar”, los cuartiles son:
Es decir que el 25% de las familias encuestadas tiene un ingreso inferior
a $6723,3; y el 75% de las familias del mismo grupo tiene un ingreso inferior a
$10.500.
Deciles y Percentiles:
De manera similar, podemos calcular el valor de la variable que deja
debajo de sí a cualquier porcentaje de datos.
79
Los deciles se refieren al 10%, 20%, etc.; y los percentiles a cualquier
porcentaje.
Si queremos calcular, por ejemplo, cuál es el ingreso mínimo del 10% de
familias que tienen mayor ingreso, calcularemos el noveno decil:
El 90% de la distribución corresponde al dato número 45, con lo que el
intervalo del noveno decil es el comprendido entre $11.000 y $13.000.
El 10% de las familias de mayores ingresos reciben más de $12.428 por
mes.
Supongamos que el banco piensa otorgar un determinado crédito a
aquellas familias cuyos ingresos superen los $10.500. ¿Cuántas de las familias
encuestadas estarán en condiciones de recibirlo?
Para calcularlo, nos situamos en el intervalo que contiene a este valor,
que es el comprendido entre $9.000 y $11.000:
El 75% de las familias tiene un ingreso inferior a $10.500; por lo tanto
sólo podrá acceder a ese crédito el 25% de las familias, es decir, 13.
80
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión brindan información acerca del grado de
heterogeneidad de la muestra.
Supongamos que tenemos un taller de carpintería, y producimos sillas.
Para nuestras sillas necesitamos tornillos de 18 mm de longitud. Tenemos a
dos posibles proveedores de los tornillos, de precio similar. Para decidir cuál
nos conviene, tomamos una muestra de 10 tornillos de cada proveedor, los
medimos y calculamos la longitud media. En ambas muestras es de 18 mm,
pero sus configuraciones son las siguientes:
Aunque el promedio de las longitudes sea el mismo, las muestras son
muy diferentes entre sí, y no será lo mismo para nuestra producción de sillas
que nuestros tornillos sean de la empresa correspondiente a la muestra 1 o a la
de la muestra 2.
Para indicar el grado de variabilidad se utiliza el desvío standard o
desviación típica, que se calcula a partir de la varianza.
81
MUESTRA 1
MUESTRA 2
Cálculo de la varianza:
La varianza es la sumatoria de los desvíos cuadrados respecto de la
media aritmética. Para datos sin agrupar, la fórmula es la siguiente:
Cálculo del Desvío Standard o Desviación Típica:
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
La razón para elevar al cuadrado y luego calcular la raíz es que, si no se
elevan al cuadrado para eliminar el signo negativo, los desvíos respecto de la
media aritmética se anulan entre sí.
Ejemplificaremos con los datos para nuestras dos muestras de tornillos:
Muestra 1:
x
18 0 0
18 0 0
17,5 -0,5 0,25
19 1 1
18,5 0,5 0,25
18 0 0
19 1 1
18,5 0,5 0,25
16,5 -1,5 2,25
17 -1 1
TOTAL 0 6
82
Para la muestra 2:
x
16 -2 4
14 -4 16
19 1 1
23 5 25
16 -2 4
18 0 0
17 -1 1
15 -3 9
22 4 16
20 2 4
TOTAL 0 80
Para datos agrupados en intervalos de frecuencias, la forma de cálculo
es muy similar
Tanto la varianza como la desviación típica son muy útiles para
comparar dos muestras de objetos o individuos de la misma clase.
Cuando se necesita comparar la homogeneidad de dos muestras
respecto de diferentes parámetros, se utiliza el coeficiente de variación.
El coeficiente de variación indica la heterogeneidad relativa de una
muestra, en relación con la media aritmética.
83
Para ejemplificar, vamos a calcular la media, la desviación típica y al
coeficiente de variación para dos de nuestras variables analizadas en el caso
del banco: el número de integrantes del grupo familiar y el monto del ingreso
familiar.
Monto del crédito solicitado
X PM F(X)
[5.000 – 7.500[ 6.250 6 -5.650 191.535.000
[7.500 – 10.000[ 8.750 9 -3.150 89.302.500
[10.000 – 12.500[ 11.250 12 - 650 5.070.000
[12.500 – 15.000[ 13.750 14 1.850 47.915.000
[15.000 – 17.500[ 16.250 7 4.350 132.457.500
[17.500 – 20.000[ 18.750 2 6.850 93.845.000
TOTAL 50 560.125.000
84
Ingreso del grupo familiar
X PM F(x)
[3.000 – 5.000[ 4.000 3 - 4.640 64.588.800
[5.000 – 7.000[ 6.000 11 - 2.640 76.665.600
[7.000 – 9.000[ 8.000 16 - 640 6.553.600
[9.000 – 11.000[ 10.000 10 1.360 18.496.000
[11.000 – 13.000[ 12.000 7 3.360 79.027.200
[13.000 – 15.000[ 14.000 3 5.160 79.876.800
TOTAL 50 906.508.000
Observando los datos, podemos concluir que la distribución
correspondiente a la variable “monto del crédito solicitado” es más homogénea
que la correspondiente al ingreso del grupo familiar, ya que su coeficiente de
variación es significativamente menor.
Todas estos cálculos, que son tan trabajosos y aburridos, se ahorran con
una calculadora de mano, que puesta en modo estadístico calcula la media
aritmética, la varianza y el desvío standard.
85
UNIDAD IV
PROBABILIDAD
1) INTRODUCCIÓN:
La Teoría de la Probabilidad estudia los posibles resultados de los
experimentos llevados a cabo en el curso de una investigación. Definimos
como experimento a una acción determinada que produce un resultado único y
bien definido.
Los fenómenos a estudiar pueden ser de una tipología muy variada,
pero para simplificar su estudio, los clasificaremos en dos grandes grupos:
determinísticos y aleatorios.
Los fenómenos determinísticos son aquellos que se caracterizan por
dar el mismo resultado siempre que se lleven a cabo en las mismas
condiciones. Este tipo de fenómenos se corresponden con las leyes de la física
(por ejemplo, si se pone un recipiente con agua en el fuego, a una presión de
una atmósfera, el agua entrará en ebullición a los 100º C).
Para los fenómenos aleatorios, en cambio, no se puede predecir el
resultado, aunque se realicen en condiciones iguales. Por ejemplo, si tiramos
un dado equilibrado, no podemos predecir cuál es el número que saldrá.
Un experimento aleatorio es aquél que verifica las siguientes
condiciones:
a) Todos los resultados posibles son conocidos de antemano.
b) Cualquier realización del experimento da lugar a un resultado que no
es conocido de antemano.
c) El experimento puede repetirse bajo idénticas condiciones.
Los juegos de azar son ejemplos típicos de fenómenos aleatorios.
86
Ya que en estos fenómenos no puede predecirse el resultado, la Teoría
de la Probabilidad asigna a cada uno de los posibles resultados un valor que
establece la probabilidad de que el mismo ocurra.
1.1) ESPACIO MUESTRAL
El espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio es el
conjunto de todos los posibles resultados del mismo.
Por ejemplo, si nuestro experimento es lanzar la pelota en la rueda de la
ruleta y observar cuál es el número en que la misma cae, el espacio muestral
está conformado por los 36 números posibles.
Si con la misma ruleta nuestro experimento es observar a qué docena
corresponde el número que sale, el espacio muestral será
Si observamos si el número que sale es par o impar, el espacio muestral
será
El espacio muestral puede ser discreto o continuo.
Si es discreto, tiene un número finito de elementos (por ejemplo, para el
experimento tirar un dado, el espacio muestral consta de seis elementos, que
son los seis resultados posibles)
Un espacio muestral continuo tiene infinitos elementos. Por ejemplo,
para el experimento “medición de la estatura de los alumnos del curso de
estadística”, el espacio muestral es infinito, ya que la variable a medir es
continua.
87
1.2) SUCESO ALEATORIO:
Es cualquier subconjunto del espacio muestral determinado. Puede estar
formado por un solo elemento o por varios.
Operaciones con Sucesos Aleatorios
Tanto el espacio muestral como los sucesos aleatorios son conjuntos,
por eso para representarlos es útil recurrir a la simbología y forma de operar del
álgebra de conjuntos.
El espacio muestral es equivalente al conjunto universal (U), formado por
todos los sucesos posibles, que, en nuestro caso, representan a todos los
resultados posibles de nuestro experimento. Habitualmente se lo simboliza con
un rectángulo.
Supongamos que nuestro experimento consista en sacar una bolilla de
una bolsa en la que hay bolillas numeradas del 1 al 10. El espacio muestral
sería:
Un suceso se representa con una elipse dentro del conjunto universal.
Por ejemplo, el suceso: “número menor que 4”
88
1
2
3
45
6
78
9
10
4
56
7
8
9
101
32
S
Complemento de un suceso S:
Es el conjunto formado por todos los sucesos que no pertenecen a S. Se
lo simboliza habitualmente como .
En nuestro ejemplo:
Unión de sucesos A y B:
Es el conjunto formado por todos los elementos de A y de B.
Por ejemplo:
A = “Números menores o iguales que 5”
B = “Números pares”
Intersección de Sucesos A y B:
Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen
simultáneamente a ambos conjuntos.
En nuestro caso
89
1
3
5
6
78
9
10
24
Relaciones entre Sucesos
Inclusión:
Un suceso B está incluido en un suceso A si todos los elementos de B
pertenecen también a A.
Por ejemplo, para nuestro Universal ya definido:
A = “Números pares”
B = “Múltiplos de 4”
Entonces , ya que todos los elementos de B pertenecen también a A.
Sucesos Compatibles: Son sucesos que pueden presentarse en forma
conjunta. Por ejemplo, el suceso “sacar un número impar” y el suceso “sacar un
número mayor que 5” son compatibles, ya que, dentro de nuestro universo, el 7
y el 9 cumplen con ambos requisitos.
Es decir que dos sucesos son compatibles cuando su intersección no es vacía.
Sucesos Incompatibles o Mutuamente Excluyentes : Son aquellos que
nunca pueden presentarse en forma conjunta. En nuestro caso, los sucesos
“sacar un número par” y “sacar un número impar” son mutuamente excluyentes
o incompatibles.
Entre los sucesos compatibles siempre hay intersección, entre los
incompatibles, la intersección es vacía.
90
1 3
57
9
4
8
10
6
2
A
B
1.3) DEFINICIONES DEL TÉRMINO PROBABILIDAD
Definición Clásica.
La definición clásica de probabilidad se basa en el supuesto de que
todos los resultados de un experimento son igualmente probables. Desde este
punto de vista, la probabilidad de un suceso se calcula como el cociente entre
el número de resultados favorables y el número de casos posibles.
Por ejemplo, la probabilidad de que al tirar un dado perfectamente
equilibrado salga el número 2, será:
Ya que, de los seis casos posibles, solo uno representa un resultado
favorable.
La probabilidad de obtener un número par al tirar el dado, será:
Ya que, de los seis resultados posibles, tres (el 2, el 4 y el 6) son
favorables.
Probabilidad como frecuencia relativa
En este caso se calcula la probabilidad de ocurrencia de un evento
observando su frecuencia relativa.
Por ejemplo, queremos estudiar la probabilidad de que durante el año
2010 nieve en la ciudad de Buenos Aires. En los registros climáticos se
consigna que en los últimos dos siglos nevó tres veces en Buenos Aires. La
frecuencia de nevadas es, entonces, de 3/200.
Por lo tanto, la probabilidad de que nieve en Buenos Aires durante el año
2010 es de
91
Axiomas y Teoremas básicos para el cálculo de probabilidades
Sea un experimento aleatorio E y su espacio muestral U, y S un suceso
aleatorio contenido en U.
1.º) La probabilidad de ocurrencia de S es un número comprendido
entre 0 y 1.
Si la probabilidad de S es 0, el suceso es imposible; si es 1, es un
suceso cierto.
2.º) Si S1 y S2 son dos sucesos pertenecientes a U, y son
mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos
en forma conjunta es 0.
3.º) Si S1 y S2 son dos sucesos pertenecientes a U, y no son
mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra S1 o S2 es igual a la
probabilidad del primero más la probabilidad del segundo, menos la
probabilidad de intersección de ambos sucesos.
4.º) La probabilidad de ocurrencia de un suceso o su complementario
es 1.
5) Probabilidad Condicional: La probabilidad de que ocurra un suceso A
si antes ocurrió un suceso B se denomina probabilidad condicional.
P(A/B) se lee como “probabilidad de A si B”, e indica la probabilidad de
que ocurra el suceso A si antes ocurrió el suceso B.
La fórmula para el cálculo es:
92
Cuando calculamos una probabilidad condicional, restringimos el
espacio muestral.
Por ejemplo, si calculamos la probabilidad de que llueva un día
cualquiera en la capital de la provincia de Córdoba, recurrimos a los datos del
Servicio Meteorológico Nacional, y obtenemos la siguiente información: en
promedio se registran 92 días lluviosos por año.
Entonces la probabilidad de que llueva un día cualquiera es:
Si miramos la información con mayor detalle, veremos que en esa
provincia las lluvias ocurren generalmente en verano. De los 92 días lluviosos
que se registran, en promedio, por año, 75 corresponden a la temporada
primavera, verano, y el resto a otoño e invierno. Entonces la probabilidad de
que llueva un día de primavera o verano es muy superior a la de que llueva en
un día frío.
La probabilidad de que llueva en primavera o verano es:
Mientras que la probabilidad de que llueva un día cualquiera es:
Como vemos, la probabilidad de que llueva está condicionada por la
estación del año. En este caso decimos que las variables “lluvia” y “estación del
año” son dependientes.
Si en cambio pretendiéramos establecer una relación entre la
probabilidad de que llueva y el día de la semana, veríamos que no existe.
93
Llueve tanto un martes como un sábado. En este caso decimos que las
variables “lluvia” y “día de la semana” son independientes.
Si dos variables A y B son independientes:
6) La probabilidad de ocurrencia de dos sucesos en forma conjunta se
calcula como:
Si A y B son sucesos independientes, la probabilidad de B si A es igual a
la probabilidad de B. En ese caso
Ejemplo:
En una fábrica se desea investigar el funcionamiento de dos máquinas.
Se toma una muestra de las unidades producidas por cada una de ellas, y se
obtiene la siguiente información:
Se revisan 120 unidades producidas por la máquina A, de las cuales 24
están falladas.
De la máquina B se revisan 150 unidades, de las cuales 35 están
falladas.
Para poder ver la información de manera más clara, armamos un cuadro
de doble entrada:
MÁQUINA A MÁQUINA B TOTALES
SIN FALLA 96 115 211
FALLADOS 24 35 59
TOTALES 120 150 270
94
Si se toma una pieza al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B
y no esté fallada?
Esta es una probabilidad conjunta, es decir, debemos averiguar la
intersección de los dos sucesos:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, si se toma una que no está fallada,
haya sido fabricada por la máquina B?
Esta es una probabilidad condicional. Nuestro universo ya no es el total
de las piezas, si no solo aquéllas que no están falladas.
c) ¿Existe alguna relación entre la proporción de piezas falladas y la
máquina que las fabrica?
En este caso, lo que queremos saber es si los sucesos “pieza fallada” y
“pieza fabricada por A” o “pieza fabricada por B” son independientes o
dependientes.
Si dos sucesos son independientes, la ocurrencia de uno de ellos no
modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.
Es decir, si S1 y S2 son independientes:
95
En nuestro caso, para saber si son independientes, podemos calcular la
probabilidad de que una pieza esté fallada y la probabilidad de que esté fallada
si proviene de la máquina A.
Como los resultados son distintos, concluimos que los sucesos son
dependientes, por lo tanto existe relación entre la proporción de piezas falladas
y la máquina que las produce.
96
