MANUAL DE PRÁCTICAS DE FÍSICA II - PRACTICAS DE FISICA ... · prácticas de laboratorio. ... La...

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Área de Óptica

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AG1008, EE1008, EM1008, EQ1008, ET1008

2º Semestre Curso 2012/2013

Grados en - Ingeniería Agroalimentaria y del Medio Rural - Ingeniería Eléctrica - Ingeniería Mecánica - Ingeniería Química - Ingeniería en Tecnologías Industriales

Manual de prácticas de Física II. Curso 2012/2013

GUIONES DE PRACTICAS

1.- Medidas en circuitos de corriente continua.

Comprobación de la ley de Ohm. 1

2.- El osciloscopio digital.

Análisis de señales eléctricas periódicas y transitorias. 7

3.- Campos magnéticos.

Determinación del momento magnético de un imán. 14

4.- Simulación de circuitos eléctricos.

Teorema de Thévenin. 21

5.- Medidas en circuitos de corriente alterna.

Determinación de ángulos de desfase. 28

1.- Medidas en circuitos de corriente continua 1

1. MEDIDAS EN CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

DESCRIPCIÓN DEL EXPERIMENTO 1) POLÍMETROS.

Un polímetro es un aparato que sirve para efectuar las medidas básicas en un circuito eléctrico, como son voltajes, intensidad y resistencias, funcionando como voltímetro, amperímetro u ohmímetro respectivamente. En teoría de redes, la presencia de un amperímetro se indica mediante el símbolo de la figura 1(a) y la de un voltímetro como el de la figura 1(b).

Figura 1.- Símbolos utilizados en teoría de circuitos para designar un

amperímetro (a) y un voltímetro (b). Dada una rama de un circuito por la que circula una corriente eléctrica I (figura 2), el amperímetro A debe ser colocado en serie con la rama para medir la intensidad que circula por ésta. Para medir la diferencia de potencial entre los bornes de un elemento X, el voltímetro V se conecta en paralelo entre dichos bornes, y la lectura indicada será la diferencia de potencial V

b-V

c.

Figura 2.- Colocación de un amperímetro y un voltímetro en una rama. Para usar el polímetro como ohmímetro y medir la resistencia de un elemento, basta con conectar las salidas correspondientes del polímetro a los bornes del elemento aislado (es decir, no formando parte de un circuito).

NOTA IMPORTANTE: Antes de conectarse un polímetro debe comprobarse con cuidado que su función se ha seleccionado correctamente para el modo de operación deseado. Asímismo, los fondos de escala de los polímetros deben ser los adecuados. Una utilización incorrecta del polímetro puede acarrear su rotura.

1.1.- Fuentes de error del polímetro. Como en cualquier otro instrumento de medida, el valor indicado por un polímetro (en cualquiera de sus modos de funcionamiento) viene acompañado de un cierto error. En polímetros digitales este error tiene dos orígenes distintos:

a) Error debido a la limitación de pantalla y a la precisión del polímetro. El origen de esta fuente de error se describe en los apuntes de teoría de errores del primer cuatrimestre de prácticas de laboratorio. Por ejemplo, para el multímetro Promax PD-751, el error de las medidas se extrae a partir de la resolución y precisión de las diferentes escalas de fondo, que se muestran en la tabla 2 del Apéndice 2.

b) Error debido a las perturbaciones que introduce el polímetro en el circuito. Una segunda fuente de error es la propia presencia de estos instrumentos en un circuito cuando están actuando como amperímetros o como voltímetros. Debido a que los polímetros tienen una cierta resistencia interna, intervienen en mayor o menor medida como elementos del propio circuito, introduciendo perturbaciones. Con objeto de minimizar estas perturbaciones, los amperímetros tienen una resistencia interna


RA pequeña, de modo que la caída de tensión "extra" V

a-V

b=IR

A que introducen en el circuito es muy pequeña.

Por el contrario, los voltímetros tienen una resistencia interna RV grande, de modo que "quitan" sólo una pequeña

intensidad IV de la rama en la que están midiendo (véase figura 3). Con todo, la conexión de uno de estos

instrumentos siempre perturba el circuito original, y es recomendable comprobar con cuidado qué es lo que realmente se está midiendo.

Figura 3.- La conexión de voltímetros y amperímetros reales en un circuito introduce perturbaciones en éste.

En este caso, las perturbaciones añadidas son la caída de tensión Va-Vb y la intensidad IV , que no existen en el circuito original.

2) LEY DE OHM EN CORRIENTE CONTINUA. Cuando en el interior de un cuerpo existen cargas libres, como electrones en un metal, sus movimientos son obstaculizados por la interacción con los iones que forman la red cristalina del metal. Debido a que los electrones se mueven en todas direcciones, no hay un transporte neto de cargas, o sea no hay corriente eléctrica. Sin embargo, si se aplica un campo eléctrico, un movimiento de arrastre se superpone al movimiento natural al azar de los electrones, resultando una corriente eléctrica. Parece natural suponer que la intensidad de la corriente debe estar relacionada con la intensidad del campo eléctrico, y que esta relación es una consecuencia directa de la estructura interna del metal. La ley de Ohm establece que, en un conductor metálico a temperatura constante, la diferencia de potencial V

b-V

c entre dos puntos es proporcional a la corriente eléctrica I que circula. Esta constante de proporcionalidad

se llama resistencia eléctrica R entre los dos puntos del conductor. Por lo tanto, podemos expresar la ley de Ohm por: V

b-V

c = IR . (1)

De esta forma, la relación existente entre la diferencia de potencial y la intensidad es una relación lineal, por lo que si medimos la diferencia de potencial entre los bornes de la resistencia para diferentes valores de la intensidad que la recorran, la pendiente de la recta resultado del ajuste lineal por mínimos cuadrados de la curva Voltaje-Intensidad (curva V-I) nos proporcionará el valor de la resistencia. Basados en este hecho, existen dos montajes básicos para la determinación experimental del valor de una resistencia desconocida a través de la ley de Ohm conocidos como montaje corto y montaje largo (ver figuras 4 y 5, respectivamente).

Figura 4.- Circuito para determinar el valor de la resistencia R en montaje corto.

Figura 5.- Circuito para determinar el valor de la resistencia R en montaje largo.

Si ignoramos los efectos introducidos por las resistencias internas de los instrumentos de medida (es decir, suponemos R

A=0 Ω y R

V=∞ Ω) ambos montajes proporcionarán el mismo resultado para la pendiente del ajuste

de la curva V-I. Sin embargo, como ya ha sido expuesto anteriormente estas resistencias afectan al circuito por lo que es necesario efectuar una primera corrección debido a su valor.


Así, la aplicación de la ley de Ohm al circuito del montaje corto revela que para el circuito de la figura 4, la pendiente del ajuste de la curva (V-I) realmente proporciona la resistencia equivalente de la asociación en paralelo de la resistencia desconocida y la resistencia interna del voltímetro; es decir dicha pendiente proporciona el valor R', tal que:

VR

1R1

'R1

+= . (2)

Por otra parte, la aplicación de la ley de Ohm al circuito del montaje largo indica que la pendiente del ajuste de la curva (V-I) es la resistencia equivalente de la asociación en serie de la resistencia desconocida y la resistencia interna del amperímetro, es decir: R' = R+R

A . (3)

3) PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Como introducción a esta práctica mediremos el valor nominal de una resistencia, que viene indicado por el código de barras de colores rotulado sobre la resistencia (véase Apéndice 1). Dicho valor se escribirá acompañado de su correspondiente error, indicado por la barra dorada (±5% del valor leído) o plateada (±10% del valor leído). Tanto la resistencia como su error se deberán presentar con el número de cifras correcto. En segundo lugar, se medirá directamente con el polímetro el valor de la resistencia desconocida. El error se calculará haciendo uso del Apéndice 2. A continuación, se procederá a la determinación de la resistencia problema mediante el ajuste de la curva V-I en montaje corto. Para ello, se montará el circuito de la figura 4 y se construirá la curva del voltaje medido por el voltímetro V frente a la corriente medida por el amperímetro A. La corriente que pasa por el circuito se variará con el mando correspondiente de la fuente de voltaje ε, comenzando con 1 V y acabando aproximadamente con 10 V. Se tomarán un total de 10 puntos para esta curva, variando el voltaje de 1 en 1 V. A partir de un ajuste lineal por mínimos cuadrados obtendremos el valor de la resistencia pedida. Se repetirá a continuación la determinación del valor de esa misma resistencia pero ahora mediante el ajuste de la curva V-I en montaje largo. El procedimiento experimental es idéntico al del montaje corto pero ahora se utilizará el circuito que se muestra en la figura 5.

Desarrollo del experimento paso a paso 1.- Determinad el valor nominal y el error de la resistencia problema mediante el código de colores normalizado para resistencias comerciales. 2.- Medid con el polímetro el valor, con su error, de la resistencia anterior. 3.- Utilizando el montaje corto, variad la fuerza electromotriz del generador desde 1 a 10 V de 1 en 1V. Construid la tabla de la diferencia de potencial en función de la intensidad. Ajustad por mínimos cuadrados para obtener, con su error, el valor de la resistencia. 4.- Empleando el montaje largo, repetid el apartado anterior para la misma resistencia problema.

NOTA: Los ajustes por mínimos cuadrados que permiten determinar el valor de la resistencia desconocida se realizarán en el ordenador habilitado para tal efecto.

CUESTIONES PARA LA DISCUSIÓN 1.- ¿Por qué las ecuaciones (2) y (3) proporcionan los valores de la resistencias medidas utilizando los montajes cortos y largos? Justificad por qué el valor obtenido mediante el montaje corto es siempre menor que el valor real de la resitencia problema mientras que el montaje largo proporciona un valor mayor al valor real.

2.-A partir de la discusión anterior, obtened un valor aproximado de la resistencia interna del voltímetro y del amperímetro.


APÉNDICE 1: Código de barras normalizado para resistencias comerciales.

En la tabla 1 se muestra el código de barras normalizado para resistencias comerciales. Los valores se leen en ohmios (Ω), colocando la resistencia de forma que la barra de tolerancia quede a la derecha (figura 7).

Fig. 7: Colocación de la resistencia para la lectura del código de barras.

La tolerancia se coloca a la derecha.

COLORES Banda 1 Banda 2 Banda 3 Multiplicador Tolerancia

Plata x 0.01 10%

Oro x 0.1 5%

Negro 0 0 0 x 1

Marrón 1 1 1 x 10 1%

Rojo 2 2 2 x 100 2%

Naranja 3 3 3 x 1000

Amarillo 4 4 4 x 10000

Verde 5 5 5 x 100000 0.5%

Azul 6 6 6 x 1000000

Violeta 7 7 7

Gris 8 8 8

Blanco 9 9 9

--Ninguno-- - - - 20%

Tabla 1. Código de colores internacional para resistencias.


APÉNDICE 2: Cálculo del error del polímetro. El polímetro PROMAX PD-751 presenta un error en sus medidas debido a la limitación de pantalla y a la precisión del mismo que se puede determinar a partir de la Tabla 1. Para un fondo de escala (máximo valor posible de la lectura) denotado por Range, el error vendrá dado como la suma de un tanto por ciento de la lectura más la multiplicación del número de dígitos que indica la tabla por la resolución (Resolution) del aparato en dicho fondo de escala. Es decir,

Error = ± ( % medida+nº de dígitos × resolución )

Por ejemplo, para calcular el error debido al polímetro de una medida de 165.2 mA de corriente continua (DC, de “Direct Current”), hace falta saber la resolución para esta medida en concreto. La resolución es de 100 μA (=0.1 mA), y la columna “DC Accuracy” de la Tabla 1 indica ±(1.2% meas+10dig). Así pues, el error de esta medida es 165.2×1.2/100 + 10×0.1 = 1.98+1 = 2.98 mA, y la medida se escribe I = (165±3) mA.

Tabla 2. Resolución y precisión de las diferentes escalas del multímetro PROMAX PD-751.


Tabla 3. Resolución y precisión de las diferentes escalas del multímetro PROMAX PD-132.

Tabla 4. Resolución y precisión de las diferentes escalas del multímetro PROMAX FP-2b.

2.- El osciloscopio digital. 7

2. EL OSCILOSCOPIO DIGITAL DESCRIPCION DEL EXPERIMENTO El osciloscopio es un instrumento de aplicación inmediata al cálculo de las magnitudes físicas asociadas a los circuitos eléctricos (ver Figura 1). Básicamente, un osciloscopio mide la diferencia de potencial entre dos puntos del espacio en función del tiempo, y es capaz de representar gráficamente esta señal en una pantalla. Ello permite medir no sólo voltajes, tiempos y frecuencias de las señales eléctricas analizadas sino también otras magnitudes físicas de los circuitos eléctricos que generan estas señales. Esta práctica servirá de introducción al manejo del osciloscopio. En ella veremos las principales funciones de este aparato, que son la medida de voltajes, tiempos y frecuencias, tanto de señales periódicas como de señales transitorias.

Figura 1.- Osciloscopio digital de la marca Agilent y sonda de osciloscopio.

1) INTRODUCCIÓN AL OSCILOSCOPIO

Con el fin de entender el funcionamiento del osciloscopio y adquirir destreza en su manejo, en primer lugar analizaremos las particularidades del proceso de medida con un osciloscopio. Como resultados de este apartado, se presentarán aquéllos que se piden explícitamente en cada proceso de medida. Además, se adjuntará un breve comentario de los fenómenos observados. 1.1- Configuración, escalas y factor de atenuación de la sonda (con la función 1 de la tarjeta generadora)

En primer lugar, mediremos una señal eléctrica proveniente de una tarjeta generadora de señales temporales como la que muestra la Figura 2. El anexo primero de este guión describe las diferentes señales que genera la tarjeta. Conectaremos la punta de la sonda del osciloscopio en la función 1 y la masa en la conexión a tierra.

Conexión a tierra Función 1

Figura 2.- Tarjeta generadora de señales temporales.


La manera más rápida de configurar el osciloscopio para observar la señal consiste en usar la tecla Auto-Scale, que busca automáticamente la configuración idónea del aparato. Debemos observar y apuntar la información que, con esta configuración, aparece en la pantalla:

- El número de voltios por división (V/div) de la escala vertical del canal de entrada que hemos conectado; escala que puede modificarse con el botón de ajuste de voltaje del canal correspondiente y que va desde 10 mV hasta 50 V cuando la sonda está conectada.

- El origen de tiempos, indicado por un pequeño triángulo (localizado en el eje horizontal superior y orientado hacia abajo), y el valor de la escala temporal o base de tiempos (en fracción de s/div). Esta escala se puede modificar con el botón de ajuste de tiempos que se encuentra en la parte superior izquierda del panel frontal de mandos y que va desde 5 ns hasta 50 s.

- El origen de referencia de la escala vertical, indicado por una flecha y el número del canal que se está empleando. Dicho origen de referencia se puede mover a lo largo del eje vertical rotando el botón que está debajo de la tecla del canal 1 (análogamente sucedería para el canal 2).

Al apretar la tecla Display aparece en el menu de la parte inferior de la pantalla la opción Grid indicando el tanto por ciento de la luminosidad de la retícula de la pantalla que se puede variar con el botón . El factor de atenuación de una sonda de tensión determina la proporción existente entre las amplitudes de las señales de entrada y de salida. Se puede ver este valor en el conector de la sonda (10:1). El osciloscopio se adapta automáticamente al tipo de sonda que se le haya conectado. Podemos comprobarlo apretando la tecla 1 (la del canal al que se haya conectado la sonda) y seleccionando la opción del menú que indica Probe. En la opción Units tendrá que estar activada la unidad “Volts”, ya que mediremos voltajes. Apuntad cuál es el factor de atenuación que está teniendo en cuenta el osciloscopio en las medidas con la sonda. 1.2- Medidas automáticas y manuales (con la función 1 de la tarjeta generadora)

A continuación utilizaremos el osciloscopio para hacer medidas de voltajes, tiempos y frecuencias, empleando de nuevo la función 1 de la tarjeta generadora de señales. Veamos cuáles son los pasos que se deben seguir: a) Medida automática de voltajes y tiempos. Apretando la tecla Quick Meas aparece en la parte inferior de la pantalla el menú con todas las posibilidades de que dispone. Al rotar el botón o con la opción Select se selecciona la magnitud que se desea medir: “Amplitude, Average, ....., Peak-Peak, Frequency,.....”, y seguidamente, para seleccionar esa medida, se aprieta en la tecla contigua la opción Measure. Siempre que se selecciona una medida automática aparecen en pantalla los cursores que se sitúan en la posición correspondiente a la lectura. En lo que respecta a la medida de voltajes, como resultado de este apartado, se presentará el valor obtenido automáticamente para el voltaje pico-pico (Peak-Peak), el valor medio (Average) y el valor eficaz (o valor cuadrático medio, RMS) de la señal de calibrado. En lo que respecta a medida de tiempos, se presentarán los resultados de la medida automática de la frecuencia, el periodo, el tiempo de subida (Rise Time) y el tiempo de bajada (Fall Time) de la señal. b) Medidas manuales de voltajes y tiempos. Apretando la tecla Cursors , y con el Mode Normal seleccionado, veremos el menú en el cual se indica el tipo de cursor activo (X o Y). Hay dos cursores de voltaje (Y1 e Y2) y dos de tiempo (X1 y X2), y la posición del cursor que está activado se puede variar de forma continua mediante el botón , situado a la izquierda de la tecla Cursors. Cuando se hayan seleccionado unos cursores, por ejemplo los de voltaje, la posición de cada cursor vendrá indicada en Y1 e Y2. La diferencia entre las dos lecturas aparecerá en ΔY. En cuanto a las medidas de tiempo, las lecturas de los cursores individuales aparecerán al presionar X1 y X2 y moverlos, así como la diferencia entre las lecturas, ΔX, y su inversa, 1/ΔX , o sea, la frecuencia. Se presentarán medidas manuales del voltaje pico-pico (VP−P), periodo (T) y frecuencia (ν) de la señal de calibrado. Para esto, los cursores X1, X2, Y1 e Y2 se han de posicionar tal como se muestra en la Figura 3. Estas medidas deben coincidir aproximadamente con las que se obtuvieron de forma automática en el apartado anterior.


X1 X2 Y1

Y2

ΔY = Y2 - Y1 = V P-P

ΔX = X2 - X1 = T 1/ΔX = ν

Figura 3.- Medida manual de voltajes y frecuencias.

1.3.- Modos de presentación por pantalla (con las funciones 1, 6 y 11 de la tarjeta generadora) La tecla Acquire permite determinar el modo de presentación por pantalla: Normal si se quiere presentar sólamente la señal que el osciloscopio está adquiriendo en ese momento y no las adquiridas con anterioridad. Peak Det si deseamos que aparezcan también los máximos y mínimos de la señal. Averaging en caso que nos interesen los valores medios de 2n, (2, 4, 8, 16,....) trazas, este número se selecciona con la ayuda del botón . Comentad qué pasa con la señal cuando se escogen los distintos modos de presentación por pantalla, empleando las funciones 6 y 11 de la tarjeta generadora de señales. Volviendo a emplear la función 1 de la tarjeta generadora de señales, la tecla Main/Delayed permite la observación de una parte de la señal alrededor de una zona de referencia que aparecerá señalada por dos barras verticales. Se ha de seleccionar en el menú correspondiente a esta tecla la opción Delayed. Como vemos, la pantalla se divide en dos partes: en la mitad superior aparece la onda cuadrada en la escala temporal normal y en la mitad inferior se observa el detalle ampliado de la parte de la onda que se encuentra entre las dos barras verticales. La anchura de esta zona de referencia se puede variar usando el botón que cambia la escala temporal o base de tiempos, que se encuentra a la izquierda de la tecla Main/Delayed, en la parte frontal del aparato. La localización de la zona de referencia varía al mover el botón que hay a la derecha de la tecla Main/Delayed. Se piden comentarios sobre la utilidad de estas funciones a la hora de analizar una señal. Otra función de la tecla Main/Delayed es cambiar el origen de tiempos, utilizando la opción Time Ref, que puede seleccionarse en el centro de la pantalla (“Center”), a la izquierda (“Left”) o a la derecha (“Right”), indicado en cada caso por el pequeño símbolo triangular que señala ese origen. Además, el origen de tiempos también se puede mover a cualquier otro punto del eje horizontal superior de la pantalla rotando el botón que hay a la derecha de la tecla Main/Delayed. 1.4.- La sincronía (con la función 12 de la tarjeta generadora) La sincronía de un osciloscopio tiene una doble función. Por una parte, ante la presencia de señales periódicas y por tanto de duración ilimitada, permite que las sucesivas representaciones de la señal se superpongan en la misma posición en la pantalla. Por otra, si la señal tiene una duración limitada, permite capturar la señal en el momento preciso en que ésta llega al osciloscopio para representarla adecuadamente. Básicamente, las funciones de sincronía o de disparo (“Trigger”) establecen qué condiciones debe satisfacer el voltaje de la señal de entrada para que el sistema de barrido del osciloscopio represente la señal en pantalla. Estas funciones se controlan con un conjunto de teclas que se encuentra enmarcadas por una línea verde en la parte derecha del osciloscopio. En general, es la propia señal que estamos analizando la que sirve para disparar el barrido del osciloscopio cuando su voltaje cumple unas características determinadas, tal como hemos mencionado anteriormente. Sin embargo, el menú activado al presionar la tecla Edge permite cambiar la fuente de disparo o sincronía. Conectemos la sonda a la función 12 de la tarjeta generadora de señales. En el modo de operación normal hay que seleccionar como fuente de disparo el mismo canal por el que entra la señal que queremos visualizar en el osciloscopio. Por ejemplo, si la señal a analizar está conectada al canal 1, seleccionando la opción “1” se indica que esta misma señal es la que elegimos para efectuar el trigger. Pero también podría seleccionarse el otro canal e incluso un tercer conector externo (opción “Ext”) para introducir una señal de sincronía diferente en el osciloscopio. Con el botón Level se indica al osciloscopio el nivel del voltaje de sincronía o de disparo, cuyo valor aparece iluminado en la esquina superior derecha de la pantalla. De este modo, la señal que llega al osciloscopio empieza a dibujarse en la pantalla, siempre empezando en el origen de tiempos, cuando su voltaje cruza por el nivel (“level”) de voltaje de disparo escogido. El menú de pantalla que aparece cuando se presiona la tecla Edge, permite también la elección del sentido de variación del voltaje de la señal al cruzar por este nivel de disparo,


pudiendo ser dicho sentido ascendente ( ) o descendente ( ). Observad qué le ocurre a la señal cuadrada al presionar los diferentes sentidos de variación. Con la tecla Mode/Coupling se abre un nuevo menu que indica el modo de sincronía. Existen diferentes modos automáticos de sincronía: “Auto Level”, “Auto” y “Normal”. Haced pruebas con los distintos modos de sincronía, girando también, con cada modo seleccionado, el botón Level, para descubrir las características de cada uno. Además existe un modo de sincronía adaptado para señales no periódicas de duración limitada, o sea señales denominadas transitorias o impulsivas que se controla con la tecla Single y el botón Level. Haced pruebas también con esta utilidad y observad cómo cambia el estado del osciloscopio entre RUN y STOP. 2) SEÑALES PROCEDENTES DE UN GENERADOR DE FUNCIONES

A continuación utilizaremos el osciloscopio para hacer medidas de voltajes, tiempos y frecuencias de una señal eléctrica procedente de un generador de funciones, similar al que se muestra en la Figura 4 (consultad el anexo segundo de este guión). Este generador permite cambiar la forma, la frecuencia y la amplitud de la señal eléctrica generada. El generador de funciones se conecta al osciloscopio usando un cable coaxial desde la salida de 50 Ω del generador al canal 1 de entrada del osciloscopio. En este caso, el factor de atenuación del cable coaxial es 1. a) Seleccionad una onda sinusoidal, cuadrada o triangular en el generador de funciones, con una frecuencia aproximada de 7 kHz. La forma de la onda se selecciona con las teclas azules en el caso del generador que se muestra en la Figura 4. La frecuencia se selecciona con una ruleta que va desde 2 hasta 20. Apretando las teclas grises se multiplica el valor anteriormente seleccionado por diversos factores de 10 en función de la tecla seleccionada. Medid con el osciloscopio, seleccionando de forma manual las escalas de voltaje y de tiempo, la frecuencia de la onda y el voltaje pico-pico. Comprobad que el valor medido coincide aproximadamente con la frecuencia que se ha seleccionado. b) La amplitud de la onda se varía con el botón AMPLITUDE del generador de funciones. Observad cualitativamente que un cambio de amplitud se aprecia en la señal registrada en el osciloscopio. Para que la señal quede centrada en la pantalla se puede cambiar manualmente la escala vertical con la ruleta de control de voltaje correspondiente al canal que se esté utilizando (el 1 en este caso). c) El generador permite también el cambio del nivel de continua, DC, de la señal que suministra. Si el botón DC OFFSET se encuentra en posición OFF, el nivel de 0 V coincide con el centro de la onda (aparecerá indicado por una flecha que se ve a la izquierda de la pantalla). Ahora bien, esto se puede modificar situándolo en un nivel negativo o positivo. Para cambiar el nivel de DC se gira el botón DC OFFSET y se observa cómo se desplaza la señal en la pantalla hacia arriba o hacia abajo respecto al nivel de 0 V. 3) ADQUISICIÓN DE SEÑALES TRANSITORIAS (con las funciones 9 y 10 de la tarjeta generadora)

Hasta ahora nos hemos ocupado de señales periódicas, esto es, señales que se van repitiendo a lo largo del tiempo (como las ondas sinusoidales o cuadradas extraídas del generador de funciones o las detectadas en el ambiente). La adquisición de este tipo de señales se efectúa de manera que el osciloscopio las registra continuamente (opción Trigger-Mode-Auto). Ahora bien, existe otro tipo de señales que se localizan sólo dentro de un cierto intervalo de tiempo, son las denominadas señales transitorias o impulsivas (medidas con la opción Trigger-Mode-Normal). Como ejemplo, veamos el comportamiento de un pulso o transitorio eléctrico que se origina con las funciones 9 y 10 de la tarjeta generadora de señales cuando apretamos el botón cercano a esas salidas. Previamente, habrá que configurar el osciloscopio, con la tecla Mode/Coupling, para que opere en el modo Normal. La escala de tiempos se ha de fijar en 20 µs y la escala de voltaje en 2 V/div. Para captar la señal transitoria es necesario que el comando Coupling esté en la opción DC. Conviene colocar manualmente el

Figura 4.- Generador de funciones.


origen de tiempos a la izquierda de la pantalla y el origen de voltajes por debajo del centro de la pantalla. Con el botón Level se selecciona un nivel de sincronía o disparo cercano a 1 V. La opción de la pendiente del Trigger se utilizará entonces para seleccionar el sentido ascendente ( ). De este modo el osciloscopio captura el pulso cuando el voltaje crece al cruzar por el nivel de disparo. Si la tecla RUN/STOP está iluminada en verde, el osciloscopio captura y dibuja la señal generada por el interruptor en la pantalla. Una vez capturado el pulso con el osciloscopio, medid manualmente su anchura temporal, con las opciones que ya se conocen de la tecla Cursors. ANEXO 1

TARJETA GENERADORA DE FUNCIONES HP54654A Self-Paced Training Kit for HP54600-Series Oscilloscopes

La tarjeta generadora de funciones proporciona las siguientes señales:


ANEXO 2

EL GENERADOR DE FUNCIONES

Un generador de funciones es un equipo que puede generar señales de voltaje variable con el tiempo para ser aplicadas posteriormente sobre un circuito. Las formas de onda típicas de las señales generadas son las triangulares, cuadradas y sinusoidales. En la Figura 5 se muestran dos de los generadores de funciones disponibles en nuestro laboratorio.

Figura 5.- Dos de los tipos de generadores de funciones en el laboratorio de Física de la UJI. A continuación describiremos los controles y funciones básicas de un generador de funciones genérico como el esquematizado en la Figura 6. Controles:

1.- Selector de funciones. Controla la forma de onda de la señal de salida. En general puede ser triangular, cuadrada o sinusoidal.

2.- Selector de rango. Selecciona el rango o margen de frecuencias de trabajo de la señal de salida. En general, su valor va determinado en décadas, es decir, de 1 a 10 Hz, de 10 a 100, etc.

3.- Control de frecuencia. Regula la frecuencia de salida dentro del margen seleccionado mediante el selector de rango.

4.- Control de amplitud. Mando que regula la amplitud de la señal de salida. 5.- DC offset. Regula la tensión continua de salida que se superpone a la señal variable en el tiempo de salida. 6.- Atenuador de 20 dB. Ofrece la posibilidad de atenuar la señal de salida 20 dB (100 veces) sobre la

amplitud seleccionada con el control número 4. 7.- Salida 600 Ω. Conector de salida que suministra la señal elegida con una impedancia de 600 Ω. 8.- Salida TTL. Proporciona una serie de pulsos TTL (0 - 5V) con la misma frecuencia que la señal de salida.

Figura 6.- Esquema de un generador de funciones típico.


El generador de funciones puede incorporar en ocasiones una pantalla en la que se indica el valor de la frecuencia seleccionada para la señal, como se observa en el primer generador de la Figura 5, así como otros mandos de control como, por ejemplo, un mando para controlar la simetría de la señal eléctrica.

Modo de operación:

En primer lugar es conveniente seleccionar el tipo de señal de salida que queremos generar con el dispositivo que, en general, será sinusoidal, cuadrada o triangular, tal como se muestra en la figura 7.

Figura 7.- Tipos básicos de señales suministradas por un generador de funciones: sinusoidal, cuadrada y triangular.

A continuación se debe fijar la frecuencia de trabajo utilizando los selectores de rango y mando de ajuste. El último paso será conectar la salida y fijar la amplitud de la señal, así como la tensión continua de offset, si es necesario.

3.- Determinación del momento magnético de un imán. 14

3. DETERMINACIÓN DEL MOMENTO MAGNÉTICO DE UN IMÁN. DESCRIPCIÓN DEL EXPERIMENTO En esta práctica generaremos campos magnéticos haciendo circular corrientes eléctricas por bobinas, mediremos el campo magnético generado por una corriente eléctrica que circula en las bobinas de Helmholtz, comprobaremos la uniformidad del campo en el centro de las bobinas, estudiaremos las propiedades de un imán permanente situado en un campo magnético uniforme y mediremos su momento dipolar magnético. 1) CAMPO MAGNÉTICO GENERADO POR LAS BOBINAS DE HELMHOLTZ Las fuentes del campo magnético son las cargas móviles o las corrientes eléctricas, del mismo modo que la carga eléctrica estacionaria es la fuente del campo electrostático. El campo magnético B

r generado cuando

una corriente eléctrica circula por un circuito filiforme puede obtenerse por medio de la ley de Biot y Savart. Consideremos el caso particular de una distribución de corrientes formada al colocar paralelamente dos bobinas de N espiras circulares separadas entre sí una distancia igual a su radio a. Por todas las espiras pasa una corriente i en el mismo sentido (véase la Figura 1). Esta configuración de corrientes recibe el nombre de Bobinas de Helmholtz. Teniendo en cuenta la ley de Biot y Savart puede demostrarse que en el punto medio entre las bobinas, es decir x = 0, el campo magnético lleva la dirección del eje de las bobinas y la magnitud del campo viene dada por la siguiente expresión:

2

35

8a

iNB oμ

= , (1)

que depende únicamente del valor del radio, la intensidad y el número de espiras de la bobina. La constante μ , denotada μo para el vacío, es una propiedad intrínseca del medio en el cual se encuentra el circuito denominada permeabilidad magnética (μo = 4π·10–7 N/A2). La unidad de medida del campo magnético en el sistema internacional es el Tesla (T). Otra unidad frecuente es el Gauss (G) relacionada con el Tesla del siguiente modo: 1T = 104 G. Es posible demostrar que el campo magnético en la región próxima al punto medio de las bobinas es prácticamente constante, por lo que esta configuración de corrientes es muy utilizada para la producción de campos magnéticos cuasi-uniformes. El valor del campo magnético así obtenido puede medirse directamente utilizando un teslámetro o indirectamente, mediante la ecuación (1), a partir de la medida de la corriente que circula por las bobinas de Helmholtz. 2) MOMENTO MAGNÉTICO DE UN IMÁN

Determinaremos el momento dipolar magnético de un imán mediante el método de las oscilaciones en un campo magnético homogéneo. El momento dipolar magnético del imán se representa por un vector m, cuyo módulo tiene dimensiones de intensidad de corriente multiplicada por área. Si el imán tiene la forma de una barrita delgada y alargada, el vector momento dipolar magnético tiene la dirección de la barrita y su sentido va del polo sur al polo norte, tal como se indica en la figura 2. Cuando el imán se introduce en un campo magnético uniforme B, se ejerce un par de fuerzas τ sobre él, que tiende a alinear m con B, tal y como se ilustra en la figura 3.

Fig. 1: Campo creado por las bobinas de Helmholtz.

Fig. 2: Momento magnético de un imán.

3.- Determinación del momento magnético de un imán.

15

Fig. 3: Imán en el interior de un campo magnético

El valor de dicho par viene dado por la expresión, τ = m x B (2) cuyo módulo es τ = m B senθ (3)

Si separamos el imán de su posición de equilibrio un pequeño ángulo θ, se ejerce sobre él el par recuperador dado por la expresión (2), que hace que el imán comience a oscilar alrededor de su posición de equilibrio o de alineamiento. Llamando I al momento de inercia del imán respecto al eje de oscilación, la ecuación de la dinámica de rotación conduce a

τ=θ2

2

dt

dI , (4)

El momento de inercia I del imán respecto al eje de oscilación es

12

)LR3(MI22 +

= (cilindro) o 12

)cM(bI22 +

= (paralelepípedo) (5)

donde M es la masa del imán, R y L son, respectivamente, el radio y la longitud del cilindro y b y c las dimensiones de la cara del paralelepípedo perpendicular al eje de rotación (véase el apéndice 1). Sustituyendo (3) en (4) se llega a

θdtθd

Bsen -m=I 2

2

. (6)

donde el signo "−" se debe a que τ se opone al desplazamiento angular θ. Como para pequeñas oscilaciones θ es pequeño, podemos hacer la aproximación: senθ ≅ θ, con lo que la ecuación (6) queda de la forma

θB -m=dt

θdI 2

2

, (7)

022

2

=+ θωθdtd , (8)

que es la ecuación de un movimiento armónico simple de frecuencia angular

I

mB2 =ω (9)

y período de oscilación

mB

I 2π=/2πT2/1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ω , (10)

que se puede escribir de la forma

B1

mI4π=T

22 . (11)

Dado que en nuestro experimento el campo magnético uniforme B se creará mediante unas bobinas de Helmholtz, si por éstas circula una intensidad i, dicho campo será el proporcionado por la ecuación (1). Por tanto, la ecuación (11) se puede reescribir como

i1

maI285098T2 = (12)


Si se cumplen las condiciones mencionadas de pequeños ángulos y campo uniforme, los períodos dados por la ecuación (11) serán los correctos. Estos períodos T son inversamente proporcionales a la raíz cuadrada del campo B (Nótese que I, momento de inercia, y m, momento magnético, son constantes). Variando B obtenemos distintos períodos T. Pero variar B es equivalente a variar la intensidad i que circula por las bobinas de Helmholtz. Por tanto, según la ecuación (12), podemos representar mediante una recta de ajuste los valores de T2 frente a 1/i. Entonces, la pendiente p del ajuste será

maI285098=p . (13)

Por tanto, el momento magnético m vendrá dado finalmente por

paI285098=m . (14)

RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1) GENERACIÓN Y MEDIDA DE CAMPOS MAGNÉTICOS

Se construirá el montaje de la figura 5, donde la fuente de alimentación ε ha de configurarse como fuente de corriente constante, indicándonos en la pantalla la corriente i que suministra, y que se puede modificar con la ruleta "current". De esta forma, las bobinas de Helmholtz proporcionan un campo magnético B aproximadamente uniforme en su parte central.

Fig. 5: Dispositivo experimental para generar y medir campos magnéticos.

1.- Se calibra el cero del teslámetro alejando previamente la sonda de cualquier fuente de campo magnético. 2.- Se mide el campo magnético en el centro de las bobinas utilizando la sonda cuando por las bobinas circula una corriente de 1 A. Dependiendo del tipo de teslámetro (véase Apéndice 2), la sonda ha de situarse con su extremo plano perpendicular o paralelo al campo magnético. Realizaremos una medida adicional girando la sonda 180º, de forma que se produzca un cambio de signo en la lectura del teslámetro. La medida experimental del campo será el promedio de las medidas anteriores en valor absoluto. 3.- Compararemos el valor obtenido experimentalmente con el que proporciona la ecuación (1). 2) MOMENTO MAGNÉTICO DE UN IMÁN

Se construirá el montaje de la figura 6 donde, de nuevo, la fuente de alimentación ε ha de configurarse como fuente de corriente constante.


17

Fig. 6: Dispositivo experimental para medir el momento magnético de un imán.

1.- El imán se suspende de su punto medio mediante un hilo, de modo que oscile en un plano horizontal, aproximadamente en la zona central del eje de las bobinas de Helmholtz. Las oscilaciones del imán tendrán lugar alrededor de un eje vertical que pasa por su centro de masas. 2.- Se conectan las bobinas de Helmholtz a la fuente de corriente como indica la figura 6. 3.- Se ha de calcular el momento de inercia del imán, I, con su error, a partir de la ecuación (5) y los datos del Apéndice 1. 4.- Se realizan pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio del imán para diferentes valores de la corriente (i = 0’75, 1, 1’25, 1’5, 1’75 y 2 A). 5.- Para cada intensidad de corriente i se medirá el período T de las oscilaciones. Para esto se cronometrará el tiempo t que el imán tarda en dar 20 oscilaciones completas y, obviamente, este tiempo dividido entre 20 proporcionará el valor del periodo T. Con las medidas construid una tabla donde figuren:

i (A) t de 20 oscil. (s) T=t/20 (s) T2 (s2 ) 1/i (A−1)

Con una hoja de cálculo se ajustará a una recta T2 frente a 1/i para calcular la pendiente p con su error. Puesto que ya se conoce el momento de inercia I del imán con su error, y el radio a de las bobinas con su error, de la ecuación (14) se deducirá el valor del momento magnético m con su error. CUESTIONES Explica desde un punto de vista microscópico cual es el origen del campo magnético generado por un imán. ¿Cómo puede hacerse que otros materiales se comporten como un imán?


APÉNDICE 1: Características del imán

Imán cilíndrico: Masa: M = (77’60 ± 0’10) 10−3 kg Longitud: L = (13’90 ± 0’10) 10−2 m Radio de la base: R = (4’95 ± 0’05) 10−3 m Imán en forma de paralelepípedo: Masa: M = (90± 2) 10−3 kg Longitud b: b = (15.26 ± 0.01) 10−2 m Longitud c: c = (1.03 ± 0.01) 10−2 m

APÉNDICE 2: USO DE UN TESLÁMETRO

Un teslámetro es un instrumento que posibilita la medida de la densidad de flujo magnético o inducción magnética. Para ello se emplea una sonda basada en el efecto Hall. Las sondas se pueden situar perpendiculares al campo magnético (es el caso de las sondas transversales del teslámetro de Phywe) o paralelas a él (sonda axial del teslámetro de Pasco). A2.1.- TESLÁMETRO DE PHYWE

Este equipo dispone de un módulo controlador portátil, que incluye un panel con mandos de control y la pantalla indicadora, al que se conectan las sondas. En el panel frontal encontramos los siguientes mandos e indicadores:

. Entrada de conexión de las sondas (esquina inferior izquierda). . Botón de ajuste burdo a cero. . Conmutador de selección del rango de medida (20, 200 ó 2000 mT) . Conmutador de selección de medida de campo continuo o alterno. . Botón de ajuste fino a cero. . Terminales de conexión para un aparato registrador (esquina inferior derecha).

Utilización de las sondas transversales. La sonda empleada en este equipo es de tipo transversal, y el elemento sensor se encuentra en el extremo (punto negro) de una lámina. Para realizar la medida, se debe situar la sonda de tal modo que la lámina sea perpendicular al eje de las bobinas. La sonda está protegida por un tubo metálico que hay que retirar para efectuar la medida.

Ajuste del punto cero. Solamente es necesario en medidas de campo continuo. La manera más sencilla es girar primero el botón rojo de ajuste burdo hasta que el teslámetro marque aproximadamente 0 y luego alcanzar el cero de modo más preciso con el botón negro de ajuste fino. Para realizar el ajuste hay que alejar la sonda de cualquier fuente de campo magnético. Es conveniente realizar el ajuste de cero situando la sonda en la misma posición en la que se medirá posteriormente el campo generado por las bobinas, pero sin hacer pasar corriente eléctrica por las mismas.

Medida de campo continuo. La medida es directa después de haber ajustado el cero y de haber seleccionado el rango adecuado. Habrá que colocar el conmutador en la posición de medida de campo continuo (hacia abajo).


19

Medida de campo alterno. El aparato tarda aproximadamente tres segundos en indicar las variaciones de campo magnético. Por esta razón, el instrumento proporciona el valor medio durante este intervalo de tiempo. La frecuencia de calibrado corresponde a 50Hz. Sin embargo, se pueden realizar medidas hasta 5KHz.

Utilización de la salida analógica. Sirve para llevar la evolución de la señal adquirida a un trazador de curvas, que ha de poseer una resistencia interna de, al menos, 20KΩ. A2.2.- TESLÁMETRO DE PASCO El teslámetro de Pasco funciona con una sonda longitudinal, esto es, se debe situar paralela al eje de las bobinas. La sonda se conecta a través de un puerto USB a uno cualquiera de los ordenadores de la sala. Al hacerlo, el ordenador detecta de forma automática el nuevo dispositivo y se abre el cuadro de diálogo que se muestra en la figura 8.

Figura 8.- Imagen del cuadro de diálogo en la pantalla del ordenador al conectar la sonda de campo magnético.

La forma más sencilla de tomar medidas con la sonda es ejecutar la aplicación EZ-SCREEN que aparece a la izquierda del cuadro de diálogo. En ese caso se abre una ventana de medida y control tal como la mostrada en la figura 9.

Figura 9.- Imagen del programa de medida EZ-SCREEN del teslámetro Pasco.


Antes de poner en funcionamiento la sonda, se puede elegir las unidades en que se va a medir el campo magnético (mT o gauss), haciendo click en la parte inferior derecha de la pantalla (sensor de campo magnético). Para empezar a tomar medidas, hay que pulsar el indicador de color verde que aparece en la parte superior izquierda. Los valores del campo magnético aparecen en el display situado en la parte inferior izquierda. Las medidas se toman en tiempo real, tal y como se puede observar en el gráfico que aparece en la parte central de la pantalla. Antes de realizar las medidas es necesario calibrar el cero del teslámetro. Para ello se apaga la fuente de alimentación que proporciona corriente a las bobinas y se anota el valor de campo magnético que aparece en pantalla. Este valor se debe restar a todas las medidas que se tomen a continuación. Si la sonda se gira 180º, de manera que cambia el signo del campo magnético, se debe repetir el calibrado de cero antes de realizar la siguiente serie de medidas.

4.- Simulación de circuitos eléctricos. Teorema de Thévenin 21

4. SIMULACIÓN DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS. TEOREMA DE THÉVENIN.

1.- INTRODUCCIÓN

En esta práctica se resolverán redes eléctricas sencillas de corriente continua de modo práctico y de modo simulado. Se dará el esquema de una red con todos los datos numéricos necesarios para los cálculos prácticos requeridos y para realizar el posterior montaje simulado. Red eléctrica o circuito eléctrico: conjunto de dispositivos o elementos de dos terminales interconectados entre si. Dichos elementos los clasificaremos en activos y pasivos. Los primeros suministran la energía necesaria para que la corriente eléctrica circule por la red y distinguiremos los generadores o fuentes de voltaje de las fuentes de corriente. En los elementos pasivos se consume o almacena la energía suministrada por los elementos activos. Dado que sólo trataremos redes eléctricas de corriente continua (magnitudes eléctricas constantes en el tiempo), el elemento pasivo que aparecerá en este tipo de redes es el resistor o resistencia. Los símbolos utilizados para representar todos estos elementos en un circuito son los siguientes:

Los circuitos los representaremos gráficamente mediante diagramas

Un Nodo del circuito es el punto donde confluyen, al menos, tres elementos del circuito (3 nodos en el ejemplo de la Figura 1). Rama es cualquier tramo del circuito entre dos nodos consecutivos (5 ramas en el circuito anterior). Malla es un recorrido cerrado a través del circuito, de tal modo que en el espacio interior delimitado por este recorrido no haya elementos del circuito (3 mallas en el ejemplo anterior). Lazo es cualquier recorrido cerrado a través del circuito.

Resolver un circuito significa determinar las intensidades de corriente que circulan por todas las ramas de la red y así, de forma inmediata, luego se podrá calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera del circuito que interesen específicamente.

Los distintos métodos existentes de resolución de circuitos se basan en las leyes de Kirchhoff, que veremos a continuación.

a b

I (A)G

Fuente de corriente

R ( )Ω

Resistencia

a b

ε (V)

Fuente de voltaje

5 Ω 2 Ω 4 Ω

6ΩJ1J2 J35Ω

30 V 20 V

Figura 1.- Geometría de una red eléctrica.


1) LEYES DE KIRCHHOFF

Ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC): La suma de todas las intensidades de corriente que confluyen en un nodo es cero.

Esta ley se basa en el principio de conservación de la carga. Normalmente, en el convenio de signos establecido para aplicar esta ley se consideran como positivas las intensidades que llegan al nodo y negativas las que salen, aunque no hay inconveniente en adoptar el convenio opuesto.

La segunda ley se basa en el principio de conservación de la energía.

Ley de Kirchhoff de las tensiones o voltajes (LKV): La suma de todas las diferencias de potencial, o caídas de tensión, a lo largo de cualquier recorrido cerrado dentro del circuito es cero.

La caída de tensión entre dos puntos “a” y “b” se representa como Vab y se trata de la diferencia de potencial entre “a” y “b” (Vab=Va-Vb). En el criterio de signos que se adopta para aplicar la ley se han de distinguir dos casos: 1.- En una resistencia la caída de tensión será positiva en el sentido en el que la intensidad de corriente atraviesa la resistencia. 2.- En una fuente de voltaje la caída de tensión será positiva en el sentido del terminal positivo al terminal negativo, independientemente del sentido en que la intensidad de corriente esté atravesando a dicha fuente. 2) MÉTODO DE LAS MALLAS

Consiste en asignar una intensidad de corriente a cada malla del circuito problema, Ji, con un sentido arbitrario (horario o antihorario, pero el mismo en todas las mallas), para, seguidamente, aplicar la ley de Kirchhoff de los voltajes en cada malla, teniendo en cuenta las intensidades de corriente de mallas vecinas que circulan por las resistencias pertenecientes a la malla en consideración, con el fin de conseguir el planteamiento de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, siendo n el número de mallas (una ecuación y una intensidad desconocida por cada malla).

Finalmente, el método de las mallas nos proporciona la regla o “receta” para plantear de modo directo e inmediato el sistema de ecuaciones en forma matricial

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

2

1

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

V...VV

J...JJ

R...............RR............................

R...............RRR...............RR

Siendo: Rii = Suma de resistencias pertenecientes a la malla i. Rij = Rji = Suma de resistencias comunes a las mallas i y j, pero cambiada de signo. Ji = Intensidad de la malla i. Vi = Suma de las fuerzas electromotrices de la malla i, cada fuerza electromotriz lleva el signo del polo por el que se sale de la fuente correspondiente al recorrer la malla.

Y, normalmente, resolveremos el sistema por el método de los determinantes de Cramer.

Llamamos

nn2n1n

n22221

n11211

R

R...............RR.................

R...............RRR...............RR

≡Δ

Con lo cual la intensidad Ji de la malla i será


R

nn1i,nn1i,n2n1n

n21i,221i,22221

n11i,111i,11211

iR.......RVR.......RR

....................................R......RVR.......RRR........RVR.......RR

JΔ

= +−

+−

+−

Es IMPORTANTE advertir que el método de las mallas sólo es aplicable cuando todas las fuentes que haya en el circuito sean fuentes de voltaje. 3) TEOREMA DE THÉVENIN

Cualquier circuito lineal activo con terminales de salida “a” y “b” es equivalente a un generador de fem εT y resistencia RT, donde εT es la diferencia de potencial entre “a” y “b” en circuito abierto y RT la resistencia equivalente de la red pasiva entre “a” y “b”.

Nota: se considera red pasiva a la red cuando 1/ las baterías están en cortocircuito, es decir, sus bornes están idealmente unidos por un conductor y no hay caída de potencial y 2/ las fuentes de corriente desaparecen.

2.- RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1) RESOLUCIÓN PRÁCTICA

En esta primera parte se procederá a la resolución práctica de una red eléctrica como la que se muestra en la Figura 2.

Figura 2.- Red eléctrica a resolver.

Redlinealactiva

a

b

Redlinealactiva

a

b

a

b

εT

RT

a

b

εT

RT

86V50V

30Ω

10Ω

20Ω6Ω

5Ω

2Ω4Ω

66V70V

a b


NOTA: La resolución del circuito de la Figura 2 se realizará mediante el método de las mallas.

Inicialmente, se obtendrán las tres corrientes de malla de este circuito para luego calcular el valor de la diferencia de potencial entre “a” y “b”, es decir el voltaje de Thévenin, Vab=εT. A continuación, cortocircuitando las fuentes de voltaje que haya en el circuito, se obtendrá una asociación de resistencias y se calculará la resistencia equivalente de la misma entre “a” y “b”, o sea la resistencia de Thévenin, RT.

2) RESOLUCIÓN SIMULADA

2.1) Dibujo de la red eléctrica y cálculo del voltaje de Thévenin.

Se ha de ejecutar el programa Electronics Workbench (EWB) haciendo un doble “click” sobre el botón izquierdo del ratón del ordenador cuando el puntero del mismo se halle sobre el icono correspondiente que se verá en la pantalla del escritorio del ordenador. Cuando el programa se haya “abierto” se verá una ventana tal como la que se muestra en la Figura 3. Al apretar el botón izquierdo del ratón cuando el puntero esté sobre cada uno de los botones que se observan en la parte superior de la ventana se despliega una subventana que muestra diversos elementos que pueden constituir parte de un circuito y que se hallan clasificados en diferentes tipos, tal como “Fuentes”, “Básicos”, etc.

Figura 3.- Vista de la ventana que se “abre” al ejecutar el programa Electronics Workbench.

El elemento que interese como parte del circuito eléctrico que vayamos a resolver se “arrastra”, con la ayuda del ratón, hacia el área blanca de la ventana, manteniendo apretado el botón izquierdo del ratón hasta que se alcance la zona donde se quiere colocar dicho elemento. Los distintos elementos se interconectan entre si al ir dibujando líneas rectas entre los extremos de dos elementos. Para trazar estas líneas rectas se ha de apretar el


botón izquierdo del ratón cuando el puntero señala el extremo de uno de los elementos y se mantiene apretado mientras se arrastra el ratón hasta que el puntero señale el extremo del otro elemento.

Si se desean cambiar las especificaciones o valores nominales de los elementos se ha de hacer un doble “click” en el botón izquierdo del ratón situando el puntero sobre el símbolo de cada elemento. Para completar la información acerca del manejo del programa se ha de consultar el APÉNDICE I que se incluye al final de este guión. Siguiendo las indicaciones anteriores, se tiene que dibujar la red eléctrica problema que se muestra en la Figura 2, con el propósito de resolverla con la ayuda del programa. Entonces se ha de tener en cuenta que para determinar la intensidad de cada malla es necesario ir intercalando sucesivamente amperímetros en los lugares apropiados para tal fin (esto lugares han de ser dilucidados por el estudiante). También se habrá de intercalar un voltímetro entre “a” y “b” para medir la diferencia de potencial entre estos puntos, Vab, o sea el voltaje de Thévenin, Vab=εT, que ha de coincidir con el calculado en el apartado de resolución práctica. Una vez completado el dibujo de la red, para obtener los valores de la lectura de amperímetros y voltímetro se ha de tener en cuenta que hay que activar el botón de ejecución del programa, o sea se ha de pasar a la posición “I” (permaneciendo en la posición “O” mientras se está dibujando la red). Dicho botón se encuentra situado en la esquina superior derecha de la ventana del programa, como se aprecia en la Figura 3. Cuando se haya ejecutado el programa se hará una impresión de los resultados obtenidos.

2.2) Dibujo de la asociación de resistencias y cálculo de la resistencia de Thévenin.

A continuación se ha de dibujar la red eléctrica pasiva correspondiente, es decir, partiendo de la red eléctrica problema original de la Figura 2 se han de cortocircuitar la fuentes de voltaje que halla en la misma y después dibujar con el programa la asociación de resistencias que resulte entre “a” y “b”. Finalmente, intercalando un ohmímetro entre los puntos “a” y “b” se obtendrá la lectura de la resistencia equivalente de dicha asociación, es decir la resistencia de Thévenin, RT, que ha de coincidir con la calculada en el apartado de resolución práctica. Al igual que en el apartado anterior, una vez completado el dibujo de la asociación de resistencias, para obtener el valor de la lectura del ohmímetro se ha de tener en cuenta que hay que activar el botón de ejecución del programa pasándolo a la posición “I” (permaneciendo en la posición “O” mientras se está dibujando la asociación de resistencias). Finalmente se hará una impresión de los resultados obtenidos. 3) EJERCICIOS

1.- Una vez calculado el equivalente de Thévenin, comprueba que, en efecto, es totalmente equivalente al circuito original. Para ello, construye el equivalente en el programa y conecta entre sus bornes “a” y “b” una resistencia de valor arbitrario (o un circuito simple). A continuación, conecta la misma resistencia (o el circuito simple) entre los bornes “a” y “b” del circuito original y comprueba que las intensidades de corriente y voltajes en la resistencia son los mismos en ambos montajes. 2.- El programa de simulación permite tener en cuenta la resistencia interna de los multímetros, tanto cuando trabajan como amperímetros como cuando lo hacen como voltímetros. Cambia el valor de la resistencia interna de algunos de los multímetros y observa como afecta este cambio a las medidas.


APÉNDICE I: EL PROGRAMA Electronics Workbench

Figura 4.- Vista de la ventana que se “abre” al ejecutar el programa Electronics Workbench.

En la Figura 4 se muestra la ventana que se “abre” al ejecutar el programa Electronics Workbench y donde también se observa una subventana desplegada que muestra diferentes componentes que pueden formar parte de un circuito. De todos los indicadores que aparecen en la parte superior del panel frontal, para construir redes eléctricas de corriente continua sólo se utilizarán los siguientes: . “Fuentes”. . “Básico”. . “Instrumentos”.

Fuentes de voltaje o batería. Al desplegar la subventana “Fuentes” aparece el símbolo de este dispositivo:

Resistencias. En los circuitos de corriente continua solamente es necesario utilizar este tipo de elemento pasivo, cuyo símbolo dentro del programa es:

Voltímetros, Amperímetros y Ohmímetros (Multímetros). Son los dispositivos de medida de las diferentes magnitudes relacionadas con las redes eléctricas (voltaje, intensidad y resistencia). Hay que insertarlos de modo distinto y en distintas partes del circuito para conocer aquellos valores numéricos que son necesarios para la resolución del mismo. Tanto el voltímetro como el ohmímetro se conectarán entre dos puntos (“a” y “b” en este caso) entre los cuales es necesario conocer la diferencia de potencial o la resistencia que existe, respectivamente. El amperímetro se conectará en serie dentro de una rama del circuito por la cual circula una intensidad de corriente que interesa conocer. Los tres instrumentos comparten el mismo símbolo en el programa, por tanto sólo se podrá


utilizar en un momento desempeñando una única función. Es decir, si en un circuito se desean medir diferentes intensidades y voltajes hay que ir haciéndolo secuencialmente. Para configurar el instrumento de tal modo que opere en la función específica que se desee en cada momento se hace un doble “click” en el botón izquierdo del ratón con el puntero sobre el símbolo.

En la Figura 5 se muestra un ejemplo sencillo de circuito de corriente continua en donde aparece el multímetro activado en la función de voltímetro.

Figura 5.- Ejemplo de circuito con Electronics Workbench.

5.- Medidas en circuitos de corriente alterna. Determinación del ángulo de desfase. 28

5. MEDIDAS EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA:

DETERMINACIÓN DEL ÁNGULO DE DESFASE DESCRIPCIÓN DEL EXPERIMENTO 1) LEY DE OHM EN CORRIENTE ALTERNA Una bobina de hilo conductor, que gira a una velocidad angular constante dentro de un campo magnético, desarrolla una f.e.m. inducida que varía con el tiempo de forma sinusoidal. La corriente así generada se denomina corriente alterna, y el dispositivo que la origina recibe el nombre de generador de corriente alterna o alternador. Consideremos un circuito, figura 1, formado por una resistencia, una bobina y un condensador asociados en serie que se encuentran conectados a un alternador u oscilador que mantiene entre sus bornes una diferencia de potencial alterna, ε . Ésta viene expresada por: ε ε ω= o tcos , (1)

donde εo es la f.e.m. máxima o amplitud de voltaje, ε la f.e.m. instántanea, y ω la frecuencia angular que se relaciona con la frecuencia a través de la expresión ω = 2πν.

~

R C L

ε

ν=50 Hz

A B

Figura 1.- Circuito RCL en serie en corriente alterna.

Cuando un generador de corriente alterna se conecta a un circuito, se producen corrientes transitorias. Éstas varían de acuerdo con una ley exponencial hasta que la corriente alcanza un estado estacionario. El estudio que consideraremos a continuación se aplica únicamente a la corriente estacionaria final. Admitiendo que la tensión aplicada en la entrada del circuito representado en la figura 1 viene dado por la ecuación (1), resulta que la intensidad que atraviesa el circuito RCL está desfasada respecto de la ε y que dicho desfase es producido por la existencia de los elementos L y C. Designando por I a la intensidad de corriente y por q la carga del condensador en un cierto instante, se verifica, de acuerdo con la figura 1 y aplicando la ley de Ohm a cada uno de los elementos pasivos, que:

tcosCq

dtdILIRV oAB ωε=++= , (2)

o bien:

ε( )t IR L dIdt C

Idt= + + ∫1 . (3)

Tal ecuación integro-diferencial puede escribirse, por simple derivación:

d tdt

R dI tdt

L d I tdt

I tC

ε( ) ( ) ( ) ( )= + +

2

2 . (4)

Conocidos R, L, C y la forma de ε(t), podemos determinar I(t) con la ecuación (4). La solución presenta dos términos: uno transitorio que desaparece con t → ∞ y el estacionario que es la solución que se busca. La representación compleja de la dependencia temporal armónica es:

tjoe)t( ωε=ε , (5)


donde la ecuación (1) representa a su parte real. Podemos suponer que la solución estacionaria para I(t) será del mismo tipo. Así pues, si la solución es:

tjoeI)t(I ω= , (6)

al sustituir (5) y (6) en (4) se deduce fácilmente que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=ε

C1LjR)t(I)t( , (7)

o bien: ε(t) = I(t) Z , (8) siendo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=

C1LjRZ , (9)

un número complejo que hace el papel de la resistencia en los circuitos de corriente continua y que se denomina impedancia. La parte real de la impedancia Z proviene de la resistencia del circuito. La parte imaginaria, a su vez, consta de dos términos: XL = L ω , (10) que se denomina inductancia , y:

ωC

X C1

= , (11)

que se denomina capacitancia. En general el término imaginario, X = XL − XC, recibe el nombre de reactancia, y de este modo: Z = R + X j . (12) Así pues, operar en corriente alterna es exactamente igual que en corriente continua pero sustituyendo las relaciones adecuadas entre números complejos en lugar de números reales, reemplazándose el concepto de resistencia por el más general de impedancia. El hecho de que la impedancia sea compleja significa que la corriente no está en fase con el voltaje aplicado. A veces resulta cómodo escribir la impedancia en forma polar:

φ= jeZZ , (13)

con un módulo expresado mediante

2

2

C1LRZ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+= , (14)

y un ángulo que viene dado por

R

C1L

RXtg ω

−ω==φ . (15)

El ángulo φ es única y exclusivamente función de la frecuencia angular de la tensión de entrada y de los elementos pasivos del circuito. Empleando esta forma de la impedancia, existirá, de acuerdo con la ecuación (8), un desfase φ entre la ε y la I producido por los elementos C y L, de modo que la parte real de la intensidad, al añadir este desfase, será: I = Io cos(ωt - φ), con Io = εo/|Z|. (16) Las impedancias y las f.e.m. pueden representarse en el plano complejo mediante los denominados diagramas fasoriales, tal como puede verse en la figura 2. Para aplicar las relaciones a un circuito en serie en el que

Figura 2.- Diagrama fasorial de impedancias

i


falta alguno de los elementos R, L ó C debe tenerse presente que la ausencia de alguno de los dos primeros (R ó L) se corresponderá con hacer nulo su valor en cada una de las expresiones anteriores, mientras que para expresar que un circuito carece de condensadores, hay que tomar su capacidad muy grande, para que así 1/Cω = 0. (Es decir, como si se tratara de un condensador plano, para el que C ~ 1/d, en el que al hacer d=0 resulta ser C=∞) Finalmente, de las ecuaciones (15) y (16) podemos deducir que: a) Si Lω<1/Cω→tgφ<0→φ<0 y la intensidad está adelantada respecto a la tensión. La asociación es capacitiva. b) Si Lω>1/Cω→tgφ>0→φ>0 y la intensidad está retrasada respecto de la tensión. La asociación es inductiva. c) Si Lω=1/Cω→tgφ=0→φ=0. El circuito entra en resonancia. 1.1. Valores eficaces. Debido a que tanto la f.e.m. como la intensidad de una corriente alterna obedecen a una variación sinusoidal, sus valores medios serán nulos. Esto conduce a que todo efecto producido por una corriente alterna, que sea proporcional a la intensidad, no se manifestará. Por ejemplo; en la electrólisis los iones son incapaces de seguir las alternancias rápidas de un campo alterno. Sin embargo, cuando el efecto es proporcional al cuadradado de la intensidad o de la f.e.m., como ocurre con el calor desprendido por efecto Joule, al ser la acción independiente del signo de la corriente, se pondrá de manifiesto. Esto permite definir los llamados valores eficaces de una corriente alterna (Ie, εe). Se define la intensidad eficaz, Ie , al valor de la intensidad de una corriente continua que con la misma resistencia y durante el mismo tiempo desprende la misma cantidad de calor que dicha corriente alterna. De manera similar se definiría εe . La mayor parte de los instrumentos de medida en corriente alterna se calibran para medir, no los valores máximos de intensidad o f.e.m. , sino su valor eficaz, que es la raíz cuadrada de su valor cuadrático medio. Es fácil demostrar que:

2

, 2

II oe

oe

ε=ε= (17)

1.2. Verificación experimental de la ley de Ohm. Para verificar experimentalmente la ley de Ohm en corriente alterna construiremos un circuito RLC en serie como el que se muestra en la figura 3, en donde, R, L, y C, representan, respectivamente, la resistencia, la autoinducción y la capacidad, introducida por los elementos pasivos con los que se realiza el montaje. Las conexiones del voltímetro en el circuito son variables según se trate de medir la diferencia de potencial VR en la resistencia (conexión entre los puntos 1 y 2), la diferencia de potencial VL en la bobina (conexión entre los puntos 2 y 3), la diferencia de potencial VC en bornes del condensador (conexión entre los puntos 3 y 4), o la diferencia de potencial total VT (conexión entre los puntos 1 y 4). Hay que comprobar que el valor nominal de los componentes del circuito es el siguiente: Capacidad C = 10 μF , Bobina L = 10 mH, Resistencia R = 10 Ω. Supondremos que C tiene un error de un 1%, y que L tiene un error de un 10%. Inicialmente procederemos a la comprobación de la ley de Ohm en el circuito RLC de la figura 3. Para ello, determinaremos los valores de la resistencia de los dos elementos resistivos —bobina y resistencia— de forma más exacta por medio del polímetro. La resistencia total del circuito se obtendrá como la asociación en serie de la resistencia obtenida para la bobina y la colocada en el circuito. Sobre la placa de conexiones montaremos el circuito de la figura 3. Como fuente de corriente alterna utilizaremos el generador de funciones, selecionando una señal sinusoidal de 300 Hz. Para una posición fija de la amplitud del generador de funciones, anotad los valores de la intensidad que recorre el circuito y la diferencia de potencial en la resistencia, VR, la bobina, VL, la capacidad, VC, y, por último, de la diferencia

~

A

ε

R

C

L

1

2

3

4

Generador de

funciones

Figura 3.- Verificación experimental de la ley de Ohm.


de potencial total, VT. A partir de estas medidas obtened el valor de la resistencia, la capacitancia del condensador y la inductancia de la bobina, así como la impedancia total del circuito y comparad ésta última con el valor teórico proporcionado por la ecuación (14). Como resultado de esta parte de la práctica se presentarán los valores de las cuatro cantidades mencionadas con sus respectivos errores. 2) SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES La figura 4 nos muestra que, cuando en un circuito de corriente alterna se alcanza el estado estacionario, las diferencias de potencial en la resistencia, condensador y bobina están desfasadas un cierto ángulo. En particular, la diferencia de potencial en un condensador, VC, (bobina, VL) está desfasada −π/2 (+π/2) respecto a la diferencia de potencial en la resistencia, VR. Además, la figura 3 también muestra que la diferencia de potencial total, VT, (entre todos los elementos del circuito: resistencia, condensador y bobina), está desfasada un ángulo φ respecto a la diferencia de potencial en la resistencia. De esta forma, podemos escribir para la caída de tensión en los diferentes elementos las ecuaciones:

( )( )( )

tcosV)t(V2/tcosV)t(V2/tcosV)t(V

tcosV)t(V

0,TT

0,LL

0,CC

0,RR

ω=

π+φ−ω=π−φ−ω=

φ−ω=

, (18)

donde el subíndice "0" hace referencia a los valores en t=0. Nos vamos a interesar a continuación en la determinación de estos ángulos de desfase por medio de un osciloscopio utilizando dos métodos: la visualización directa de dos señales en el osciloscopio, y la superposición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia en direcciones perpendiculares. Por último, calcularemos la frecuencia de resonancia del circuito, que es aquélla para la que la corriente está en fase con la diferencia de potencial aplicada. 2.1. Visualización directa de las dos señales. Para ello montaremos el circuito de la figura 3. Encenderemos el osciloscopio digital y conectaremos las dos sondas del mismo con el factor de atenuación correspondiente (presionando la tecla 1 ó 2 y poniendo probe a 10). Posteriormente, colocaremos la sonda correspondiente al canal 1 con la masa en el punto 1 y la punta de prueba en el punto 2, mientras que la sonda correspondiente al canal 2 la conectaremos con la masa en el punto 1 y la punta de prueba en el punto 4. Seleccionando la tecla 1 en on y la tecla 2 en off visualizaremos la diferencia de potencial en la resistencia (canal 1) y, al revés, la diferencia de potencial total (canal 2). Mediremos dichas diferencias de potencial utilizando los mandos de deflexión vertical del osciloscopio y las compararemos con la anotación del voltímetro cuando éste se encuentra conectado midiendo la diferencia de potencial en la resistencia y el total, respectivamente. ¿Coinciden los valores? Seguidamente, pondremos ambos canales en on para visualizar en la pantalla del osciloscopio ambas diferencias de potencial simultáneamente a partir del mismo instante temporal, lo que nos va a permitir determinar el ángulo de desfase entre ambas señales. Para separarlas verticalmente usad el mando position. Mediremos con los mandos de deflexión horizontal el intervalo temporal que transcurre entre la aparición de un máximo para el canal 1 y la aparición del mismo máximo para el canal 2, Δt1, y el intervalo temporal que transcurre entre la aparición de dos máximos sucesivos para uno cualquiera de los dos canales, Δt2, (este último período de tiempo es el mismo para ambos canales, ¿por qué?). El ángulo de desfase medido en grados se obtiene a partir de la relación:

φ = 360 1

2

ΔΔ

tt

. (19)

Comparad el valor obtenido experimentalmente con el valor teórico proporcionado por la ecuación (15) utilizando los valores de la resistencia y la capacidad del condensador determinados experimentalmente.

Figura 4.- Diagrama fasorial de voltajes

VC

VL

VR

VT

φ )

VL –VC


2.2. Observación de las figuras de Lissajous. Estamos ahora interesados en la superposición de dos movimientos armónicos simples de la misma frecuencia, diferente amplitud y un cierto desfase entre ellos, en direcciones perpendiculares. Es decir, estamos interesados en la superposición de dos vibraciones del tipo:

( )

tcosAytcosAx

2

1

ω=φ−ω=

. (20)

La superposición de dichas oscilaciones puede demostrarse (ved, por ejemplo, Optics, E. Hecht, pp. 273-274) que proporciona una elipse girada con respecto a los ejes cartesianos x e y. La ecuación de dicha elipse es:

φ=φ−+ 2

2122

2

21

2

sincosAAxy2

A

y

A

x , (21)

donde el ángulo α que la elipse está girada con respecto al eje x está relacionado con las amplitudes y el ángulo de desfase a partir de la relación:

22

21

21

AA

cosAA22tg−

φ=α , (22)

y su representación esquemática puede verse en la figura 5. Puede demostrarse, a partir de la figura 5 y la ecuación (21), que el seno del ángulo de desfase está relacionado con los segmentos AB y AC mediante la relación:

sin ABAC

φ = , (23)

lo que permite la determinación directa del ángulo de desfase. A continuación verificaremos experimentalmente este hecho. Seguiremos utilizando el esquema de la figura 3. La sonda del canal 1 del osciloscopio la conectaremos de forma que la masa haga conexión en el punto 1 y la punta de prueba en el punto 2 mientras que la sonda del canal 2 ha de conectarse con la masa en el punto 1 y la punta de prueba en el punto 4. Pulsad la tecla Main/Delayed del osciloscopio y la opción XY. Conectad los mandos de deflexión vertical del osciloscopio en la escala correspondiente para que aparezca una elipse en pantalla. A continuación procederemos a centrar la elipse sobre la pantalla y a la determinación experimental de los segmentos AB y AC. El ángulo de desfase se obtendrá a partir de la ecuación (23). Comprobad que su valor coincide con el obtenido de forma teórica a partir de la ecuación (15) y con el determinado experimentalmente mediante el método seguido en el apartado anterior. 2.3. Cálculo de la frecuencia de resonancia del circuito. Como hemos dicho anteriormente, a partir de la ecuación (15) se deduce que para el caso en que Lω = 1/Cω la tangente del ángulo de desfase es tg φ = 0, y, por tanto, el ángulo de desfase es nulo. Esto indica que la intensidad de corriente está en fase con la tensión del generador. La frecuencia angular ωr del generador que provoca este fenómeno se llama frecuencia angular de resonancia. Para nuestro circuito vendrá dada por:

CL

1r =ω . (24)

Para la frecuencia de resonancia la impedancia del circuito, Z, tiene un valor mínimo igual a R, y, por lo tanto, la intensidad de corriente alcanzará el mayor valor posible en el circuito. Un ejemplo de la utilidad de los circuitos resonanates son los receptores de radio, en donde se varía la frecuencia de resonancia del circuito variando la capacidad. Se produce resonancia cuando la frecuencia resonante del circuito se iguala a una de las frecuencias de radio recogidas por la antena. Calculad el valor de la frecuencia de resonancia a partir de la ecuación (24). Con el montaje del apartado 2.2 obtened el valor experimental de la frecuencia de resonacia, teniendo en cuenta la diferencia entre la frecuencia

α

A

AA

B

C

X

Y

1

2

Figura 5.- Superposición de dos movimientos armónicos

de igual frecuencia desfasados un ángulo φ.


y la frecuencia angular. Observad que, como para esta frecuencia el ángulo de desfase es nulo, la elipse pasa a ser una línea horizontal. Observad también con el amperímetro cómo la intensidad aumenta en la zona correspondiente a la frecuencia de resonanacia. CUESTIONES PARA LA DISCUSIÓN 1.- ¿Qué diferencia existe entre los valores asignados para el voltaje por el voltímetro y por el osciloscopio?. ¿Coinciden?

2.- ¿Qué ocurriría en el apartado 2.2 si las señales en los canales 1 y 2 fuesen de distinta frecuencia?.

3.- Justifica la ecuación (19). ¿Seguiría siendo válida esta ecuación si las dos señales fuesen de distinta frecuencia?

4.- Deducid la ecuación (23) a partir de la ecuación (21) y de la Figura 5.

5.- Demostrad que, en resonancia, la intensidad que recorre el circuito es máxima.

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