Manual de Soluciones Mate II 11 Abril 1

ndice de ejercicios Introduccin..1 Captulo 1. Integral definida Ejercicio 1.1 Antiderivada4 Ejercicio 1.2.1 Integrales de la forma 14 Ejercicio 1.3.1 Integrales de la forma

.17

Ejercicio 1.3.2 Integrales de la forma .20 Ejercicio 1.3.3 Integrales de la forma .21 Ejercicio 1.3.4 Integrales de funciones trigonomtricas..22 Ejercicio 1.3.5 Integrales de funciones hiperblicas...23 Ejercicio 1.3.6 Integrales que dan como resultado funciones j trigonomtricas Inversas e hiperblicas inversas....25 Ejercicio 1.4 Notacin sigma..33 Ejercicio 1.5 Integral definida.36 Ejercicio 1.6 Teorema fundamental del clculo...39 Captulo 2. Mtodos de integracin Ejercicio 2.1 Integracin por partes47 Ejercicio 2.2 Integracin de potencias de funciones trigonomtricas ....54 Ejercicio 2.3 Sustitucin trigonomtrica..64 Ejercicio 2.4 Integracin de funciones racionales79 Captulo 3. Aplicaciones de la integral definida Ejercicio 3.1 rea entre dos curvas .103 Ejercicio 3.2 Volumen de un slido de revolucin ..........................120 Ejercicio 3.3 Longitud de arco .130 Ejercicio 3.4 Trabajo137 Captulo 4. Integracin mltiple Ejercicio 4.1 Integrales iteradas ..144 Ejercicio 4.2 Integrales dobles..148 Ejercicio 4.3 Integrales triples..154

ndice de actividades Actividad 1 .2 Actividad 2 9 Actividad 3 .11 Actividad 4 ..12 Actividad 5 ..28 Actividad 6 .30 Actividad 7 .32 Actividad 8 ..35 Actividad 9 ..38 Actividad 10 .43 Actividad 11 46 Actividad 12 .52 Actividad 13 62 Actividad 14 63 Actividad 15 71 Actividad 16 .74 Actividad 17 78 Actividad 18 88 Actividad 19 93 Actividad 20 98 Actividad 21 ..101 Actividad 22 ..117 Actividad 23 .128 Actividad 24 .136 Actividad 25 .142 Actividad 26 .153 Actividad 27 .159

1

Introduccin

La Facultad de Ingeniera Mecnica y Elctrica de la Universidad Autnoma de Nuevo Len brind su apoyo a la Coordinacin de la Divisin de Ciencias Bsicas para organizar el Curso Taller de Elaboracin de material de apoyo para la unidad de aprendizaje de Matemticas II, dirigido a los docentes que imparten su ctedra en el rea de matemticas de dicha facultad.

Durante este Curso Taller se elabor el Manual de soluciones para

Matemticas II, el cual contiene los diversos procedimientos para resolver los ejercicios y las actividades propuestas en el Manual de Matemticas II por competencias, as como sus soluciones, con el fin de facilitar la tarea al docente al momento de evaluar el desempeo acadmico de los estudiantes.

La unidad de aprendizaje de Matemticas II forma parte de la currcula

en todos los programas educativos de la FIME. Los docentes que colaboraron en la elaboracin de este manual son:

Santiago Neira Rosales, Patricia Rodrguez Gonzlez, Miguel ngel Patln Rodrguez, Laura Garca Quiroga, Miguel Mata Prez. Jess Ricardo Villarreal Lozano, Herlinda Mara Delgadillo Guerra, Mario Carrizales Lpez, Csar Sordia Salinas, Jess Renato Colunga de la Garza y Gustavo Adolfo Snchez Ruiz. Es muy importante el cuidado y el buen uso que se le d a este material, ya que conlleva a mejorar la calidad educativa en la imparticin de esta ctedra. POR NINGN MOTIVO, este material debe caer en manos de los estudiantes, ya que anulara en trabajo y el tiempo invertido en su elaboracin.

2

Actividad No. 1 Conocimiento previo Individual extra aula Propsito: Aplicar detalladamente las reglas de derivacin y expresar el resultado en diferenciales. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga la solucin correcta de los ejercicios Tiempo estimado para la actividad: 20 minutos Descripcin de la actividad: Aplicar las reglas de derivacin dadas (paso por paso), en cada uno de los ejercicios propuestos y expresar el resultado en diferenciales como se muestra en el ejemplo.

Reglas de derivacin ( en donde: = constante ( [ ( ( ] [ ( ] [ ( ] [ ]= [ ] [ ] en donde: U Y V son funciones de x

[

]

[ ] [ ]

[ ] (

Ejemplo: Calcular el diferencial de la siguiente funcin: ( ( Primero calculamos su derivada.

=(2x+3) (x-1)+(x-1) (2x+3)

=(2x+3)(1)+(x-1)(2)

=2x+3+2x-2

=4x+1

( Respuesta: (

Ejercicio propuesto. Calcular el diferencial en cada una de las siguientes funciones: 1)

2) 3) ( (

4)

(

Solucin: 1)

(

(

3

2) (

( (

( (

3) ( (

( ( ( ( ( ( ( (

( 4)

( ( ( (

(

( ( ( (

(

(

(

[

( ]

( (

( ( ( ( ( (

(

(

[

( ]

4

Ejercicio 1.1. Antiderivada I. Encuentra la antiderivada ms general de cada funcin, aplicando paso por paso las reglas arriba mencionadas y expresar el resultado sin exponentes negativos y sin fracciones en el denominador. 1) (

( .

/ .

/

2) (

(

(

.

/

.

/

(

3) (

( .

/

(

4) (

(

(

)

(

)

5

5) (

(

(

)

(

)

(

6) (

(

(

)

(

)

(

(

)

II. Resuelva cada una de las siguientes antiderivadas y expresar el resultado sin exponentes negativos y sin fracciones en el denominador: 7) 8)

9)

(

) (

) (

)

10) ( (

)

11) ( (

)

6

.

/ .

/ .

/ .

/

12)

.

/ .

/

13) (

) (

(

) (

)

14) (

)

( (

(

15) ( ( (

(

) (

)

16)

( (

(

) (

) (

)

(

)

7

17) ( (

(

) (

)

18) ( (

(

) (

)

III. Resuelva los siguientes problemas: 19) Crecimiento de rboles. Un vivero suele vender cierto arbusto despus de 5 aos de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 5 aos, est dada por: dh/dt = 1.5t + 6, donde t es el tiempo en aos y h es la altura en centmetros. Las plantas de semillero miden 13 cm de altura cuando se plantan (t=0) a) Determinar la altura despus de t aos. b) Qu altura tienen los arbustos cuando se venden? Solucin: Condiciones iniciales: Cuando ( En donde: t es el crecimiento en aos y h(t) es la altura a los t aos.

( Ecuacin diferencial dada

( Despejando los diferenciales ( Integrando ambos lados de la ecuacin ( Resolviendo las integrales Sustituyendo las condiciones iniciales para calcular C, resulta: ( ( , despejando , por lo tanto: a) La altura despus de t aos est dada por: ( Para (tiempo que debe transcurrir para su venta), b) ( ( (

8

20) Cada libre. Sobre la luna, la aceleracin de la gravedad es de . En la luna se deja caer un objeto desde un peasco y golpea la superficie de la misma 10 segundos despus. Desde qu altura se dej caer el objeto?, Cul era su velocidad en el momento del impacto? Condiciones iniciales: Cuando ( ( En donde: t es el tiempo en segundos, V0 es la velocidad inicial en metros por segundo, S(t) es la altura a los t segundos en metros y V(t) es la velocidad a los t segundos en metros por segundo. Considerando que:

Ecuacin diferencial

Despejando los diferenciales Integrando ambos lados de la ecuacin ( Resolviendo las integrales Sustituyendo las condiciones iniciales, cuando t = 0, V0(0)=0 y despejando C, entonces C = 0, por lo tanto, la velocidad del objeto est dada por: ( El impacto se produce a los 10 segundos, entonces su velocidad al momento del impacto es: ( ( Considerando que: (

Ecuacin diferencial

( Despejando los diferenciales Sustituyendo V(t) Integrando ambos lados de la ecuacin ( Resolviendo las integrales Sustituyendo las condiciones iniciales, cuando t = 10, S(10)=0 y despejando C, entonces C = 80, por lo tanto, la altura del objeto est dada por: ( La altura del objeto cuando se dej caer (t = 0) es: ( (

9

Actividad No. 2 Desarrollo Individual extra aula Propsito: Aplicar correctamente las reglas bsicas para resolver integrales indefinidas. Criterio de evaluacin: Se evaluar el listado que contenga los errores presentados en la solucin de cada integral indefinida, as como su justificacin para corregirlos. Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos Descripcin de la actividad:

I. En esta actividad se te presentan 3 integrales indefinidas resueltas que presentan errores en su solucin, debes encontrar dichos errores y describir cmo se pueden corregir.

Solucin: 1) ( (

)

( (

)

Error: No se puede sacar el 2 como constante, sino separar el integrando como una suma de integrales. Solucin correcta

(

2)

(

)

(

)

Error: Mal multiplicado (3)(3) = 9. Solucin correcta:

.

/

10

3) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

Error 1: Cambio de signo Error 2: En la 2 integral se saca

, no 4.

Solucin correcta:

(

)

(

)

(

)

11

Actividad No. 3 Desarrollo Individual extra aula Propsito: Aplicar correctamente las reglas bsicas para resolver integrales indefinidas. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga la identificacin correcta de la o las reglas bsicas de integracin aplicada en cada paso. Tiempo estimado para la actividad: 10 minutos Descripcin de la actividad: Descripcin de la actividad: I. En esta actividad se te presentan integrales indefinidas resueltas en donde debes identificar la o las reglas bsicas aplicadas en cada paso y escribirla al lado derecho.

(

Regla 4. [ ( ( ] ( ( Regla 3. ( (

(

) (

) Regla 5.

Regla 1.

.

/ .

/

II. Retroalimentacin

12

Actividad No. 4 Conocimiento previo Individual extra aula Propsito: Aplicar las reglas para derivar funciones trascendentales. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga los procedimientos y solucin correcta a cada ejercicio propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripcin de la actividad: Deriva y simplifica cada una de las siguientes funciones, si es necesario aplica las propiedades de los logaritmos y las identidades trigonomtricas.

(

)

(

(

(

(

( (

(

(

(

(

)

(

) (

)

(

)

(

( ( (

( (

( (

(

(

(

( (

(

13

(

(

(

(

(

(

( (

( (

(

(

(

(

(

(

(

14

Ejercicio 1.2.1. Integrales de la forma Resuelve las siguientes integrales y simplifica sus resultados:

1) (

(

2) ( )

(

)

( )

3) ( ) [ (

) (

) ] *

+

[ ]

4) ( ) (

(

)

(

)

(

)

( )

( )

5) ( *

+

*

+

(

(

)

(

)

(

(

6) ( )

( )

15

7) (

(

8) (

(

9) (

(

(

10)

(

(

11)

(

)

(

12)

(

(

)

(

13) Flujo de efectivo Ecuacin diferencial Condiciones iniciales

(

(

(

16

Separando las diferenciales La ecuacin que expresa la ( la cantidad que queda para ser desembolsada al tiempo Integrando ambos lados t es: ( (

(

Para t= 50 Sustituyendo t=100 y Q=0 (

(

(

entonces C=0 ( La ecuacin toma la forma

(

Sustituyendo t=0 Q=2 000 000

(

17

Ejercicio 1.3.1. Integrales de la forma

Resuelva cada una de las siguientes integrales

1)

| |

| |

2)

| |

| |

3)

(

(

)

| | ( )

4)

(

( (

| |

5)

*

+

| |

| |

6)

(

)

| |

|

|

|

|

7)

| | | |

8)

| |

| | | |

(

18

9) ( (

| |

| ( |

(

10)

(

| | ( ) | | ( )

( )

11)

(

(

| |

( | | | | | |

12) Crecimiento de poblacin: Una poblacin de bacterias cambia a un ritmo

Donde t es el tiempo en das. La poblacin inicial (cuando t = 0) era 1 000 bacterias. Escribir una ecuacin que describa la poblacin en cualquier instante t y calcular la poblacin cuando han transcurrido 3 das.

Ecuacin diferencial Condicin inicial

Despejando los diferenciales

Integrando ambos lados

(

19

| | | | Sustituyendo la condicin inicial y despejando C | |

La ecuacin que representa a la poblacin de bacterias en el tiempo t es:

( | |

| ( ( |

| |

(

20

Ejercicio 1.3.2. Integrales de la forma Resuelva cada una de las siguientes integrales

1)

2)

3) ( ( ( )

4)

( )

5) (

6) ( )( (

7) ( ) (

(

(

(

21

Ejercicio 1.3.3. Integrales de la forma Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1)

2) (

) (

) (

)

( )

( )

( )

( )

3)

( (

) (

)

4)

5) ( [ ( ]

(

) (

)

(

22

Ejercicio 1.3.4. Integrales de funciones trigonomtricas Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1)

2)

3)

(

4) (

| |

(

| |

O bien

| |

| |

5)

| |

| | | |

6) (

) (

)

7) ( ( ) (

(

8)

| |

9)

| | | |

10)

(

)

( | |

| |

| |

23

Ejercicio 1.3.5. Integrales de funciones hiperblicas Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1)

2)

3) ( 4) 5)

6) (

Solucin al ejercicio 1.3.5

(

(

(

| |

| |

24

(

)

(

25

Ejercicio 1.3.6. Integrales que dan como resultado funciones trigonomtricas Inversas e hiperblicas inversas. Resuelva cada una de las siguientes integrales:

(

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) .

/

.

/

26

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

.

/

( )

(

) (

)

(

) .

/

.

/

27

(

( (

(

)

(

(

( (

[( ] (

( ( (

(

)

( (

28

Actividad No. 5 Desarrollo En equipo- extra aula Propsito: Identificar la frmula de la integral que involucra el cambio de variable y funciones trascendentales. Criterio de evaluacin: Se evaluar al equipo que exponga la respuesta correcta. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora clase. Descripcin de la actividad: Determina la frmula que corresponde para resolver cada integral propuesta e identifica u en cada una. (No resuelvas la integral).

Integral Frmula u 1) (

2)

3) (

(

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) (

14)

15)

16) (

17)

29

18)

19)

20)

30

Actividad No. 6 Desarrollo En equipo- en el aula Propsito: Seleccionar el mtodo de integracin. Criterio de evaluacin: Rapidez de respuesta de los equipos, argumentacin por equipo y contenido del reporte por equipo. Tiempo estimado para la actividad: 50 minutos. Descripcin de la actividad: 1) Formar equipos de 4 estudiantes en una sesin de clase. 2) Se entrega la actividad por equipo estipulando un tiempo de 20 minutos para resolver el problema I de la actividad propuesta. 3) En los siguientes 5 minutos, hacer una discusin para comparar las soluciones y estar de acuerdo en las correctas. 4) Se contina con la actividad dando 10 minutos para resolver el problema II de la actividad propuesta. 5) En los siguientes 5 minutos, mediante una lluvia de ideas propiciar que el estudiante llegue a conclusiones, distinguiendo las estrategias matemticas con las que puede contar. 6) Retroalimentacin.

I. Evale cada una de las siguientes integrales: 1)

(

)

2) ( ( )

(

(

( *

+

( *

+

( (

31

3)

(

)

| |

| |

Despus de realizar los procedimientos de cada integral, seleccione el inciso que corresponde a la solucin. Solucin del 1) a) b)

Esta es la solucin correcta

c) Solucin del 2)

a) ( (

b) (

(

c)

( ( Esta es la solucin correcta

Solucin del 3) a)

| | Esta es la solucin correcta

b) | | c) | |

II. Analizar los procedimientos y expresar qu los distingue. Los distingue el cambio de variable, en el problema 1 solo se aplica la sustitucin directa, en el problema 2 se debe agregar un despeje mientras que en el problema 3 se debe aplicar primero una identidad.

32

Actividad No. 7 Conocimiento previo Individual - extra aula Propsito: Evaluar lmites al infinito. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga los procedimientos y soluciones correctas. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos. Descripcin de la actividad: Calcula el lmite de cada funcin dada, si es que existe: (

) =

+ 4= 0 + 4 = 4

2) (

)=

-

-5= -5

3) (

) =

=

=

= -2

4) *( (

+=

= (

)

5) (

)= ( = No existe

33

Ejercicio 1.4. Notacin Sigma I. Expresa en notacin sigma las siguientes sumas: 1)

2) ( ( Frmula de una progresin aritmtica ( ( (

3) Suma de los primeros 50 nmeros pares consecutivos

II. Calcula las sumas indicadas, si es necesario utilice los Teoremas de la Sumatoria. 4) 5) ( 6)

( (

( (

7) (

(

( (

8) (

)

(

( (

9) ( ( (

(

10) (

34

11) ( 12) ( (

( ( (

35

Actividad No. 8 Desarrollo En equipo en el aula Propsito: Aplicar la notacin sigma y sus teoremas en el clculo de sumas. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga los procedimientos correctos. Tiempo estimado para la actividad: 10 minutos. Descripcin de la actividad: 1) En equipos de 3 estudiantes como mximo se reflexionar sobre el procedimiento requerido para resolver las sumatorias propuestas.

a) (

Se evala la sumatoria desde i=1 hasta 50 y se le suman los valores correspondientes a i=0; i=-1; i=-2 e i=-3

( (

(

( (

b) (

Se evala la sumatoria desde i=1 hasta 60 y se le restan los valores correspondientes a i=1; i=2; e i=3. (

( ( (

( (

(

c) ( )

(

) = (

)

2) Se comentarn las conclusiones en el aula. 3) Retroalimentacin.

36

Ejercicio 1.5. Integral definida Evaluar cada una de las integrales definidas aplicando la definicin, utilizando una particin regular y observar su interpretacin geomtrica. (

(

En donde:

( (

) (

( (

) (

) (

)

*

* (

)

( (

++

*

( *

++ *

+

2.

(

En donde:

( (

) (

)

.

/ (

)

0

( (

1

*

( + *

+

x

y

-1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,80

1

2

3

4

37

3. (

(

En donde:

( ( )

(

0.

/ (

)1

0.

/1

*

+ *

( (

(

+

*

( )

+ *

+

4. ( (

En donde:

( ( )

(

[(

) (

)]

[(

)]

*

+ *

(

(

)+

*

(

+ *

+

x

y

-1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8

-1

0

1

2

3

x

y

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

38

Descripcin de la actividad. Evala cada una de las siguientes funciones: 1) (

9) ( (

(

(

( (

) (

) (

2) ( 10) ( (

( ( ( ) (

) (

)

3) ( 11) (

( (

( 4) ( ( 12) ( ( ( ( (

5) ( ( 13) ( ( ( ( ( 6) ( ( 14) ( (

( (

)

7) ( ( 15) ( (

( (

) (

8) ( (

(

) (

) 1

Actividad No. 9 Conocimiento previo Individual extra aula Propsito: Evaluacin de funciones algebraicas y trascendentales. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga los procedimientos y la solucin correcta a cada ejercicio propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora.

39

Ejercicio 1.6. Teorema fundamental del clculo Resuelva cada una de las siguientes integrales definidas:

1) (

)

[ ] 0

1

0

1 *

+ [ (

( ] [ ]

2) (

)

( ( )

(

+

+ *

( + *

( +

3) ( (

+

*

+ *

+

4)

| |]

5)

| |]

6)

+

[ ]

[ ]

[ ]

7) | |]

* | (

) (

)|+ * |

|+

40

* |

|+ * |

|+ | | | |

8) (

) ] * (

) (

)+

[ ]

9)

(

)+

(

)+

( )

10) | |

( (

| | { ( (

+

+

*

+ *

+ *

+ *

+

11) Probabilidad: La probabilidad de que una persona recuerde entre a y b porciento del material aprendido en un experimento es:

Donde x representa el porcentaje recordado. Cul es la probabilidad de que un individuo elegido al azar recuerde entre 50 y 75% del material?

(

41

( )

0

1

*

+

,*

(

( + *

(

( +-

,*

(

)

(

)+ *

(

( +-

*

+

[ ]

12) Experimento de la aguja de Buffon: Sobre un plano horizontal se trazan rectas paralelas separadas por una distancia de 2 pulgadas. Una aguja se lanza aleatoriamente sobre el plano. La probabilidad de que la aguja toque una recta est dada por:

Donde es el ngulo entre la aguja y cualquiera de las rectas paralelas. Determinar esta probabilidad.

( ]

*

+

[ ]

13) Temperatura: La temperatura en grados Fahrenheit en una casa est dada por:

0 (

1

Donde t es el tiempo en horas, con t = 0 representando la media noche. El costo horario de refrigeracin de una casa es de 0.10 dlares por grado.

a) Encontrar el costo C de refrigeracin de la casa si el termostato se ajusta en 72F calculando la integral

42

[ [ (

] ]

0 (

1

*

(

+

(

(

)

[ ]

[ ]

[ ]

(

b) Encontrar el ahorro al reajustar el termostato en 78F calculando la integral

[ [ (

] ]

* * (

+ + [ *

(

+]

(

)

[ ]

[ ]

[

] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

43

Actividad No. 10 Integradora Individual extra aula Propsito: Aplicacin de integrales indefinidas y definidas en problemas de ingeniera. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga los procedimientos y la solucin correcta a cada ejercicio propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripcin de la actividad: Resolver los siguientes problemas: 1. Tiro vertical hacia arriba. Con qu velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde el nivel del suelo) para que su altura mxima coincida con la parte superior del Faro del Comercio, situado en la Macroplaza de la Cd. de Monterrey? El Faro del Comercio tiene una altura aproximada de 70.6 metros.

Condiciones iniciales: Partiendo de: analizando

Despejando los diferenciales Despejando los diferenciales y sustituyendo V de la Ec.1

( Integrando ambos lados Integrando ambos lados ( (

Cuando t=o V= ( Cuando t=0 s=0 Se genera la Ec. 1 por lo tanto c=0 ( Se genera la Ec. 2 ( Despejando de la Ec. 1y sustituyendo en la Ec. 2 ( ( ( ( Cuando s=70.6 v=0 Tomamos el valor positivo de t

Cuanto t=3.79 v=0 s=70.6 Sustituyendo en ( ( (

44

2. Ciclo respiratorio. Despus de hacer ejercicio durante un tiempo determinado, una persona tiene un ciclo respiratorio para el cual la tasa de admisin de aire est dada por: (

) .

Calcular el volumen, en litros, del aire inhalado durante un ciclo, integrando la funcin sobre el intervalo minutos. Solucin: Como la tasa de admisin de aire est dada en litros por minuto, se expresa como:

Despejando los diferenciales y sustituyendo

(

)

Integrando para Lmites de integracin (

)

(

)

[ ]

[

]

[ ]

3. Precio medio. La ecuacin para la demanda de un producto est dada por: (

. Si el precio

medio est dado por

(

, determinar su precio medio en el intervalo

[ ]. Sustituyendo a=30 b=40 y P(x)

| |]

[ ] (

)

[ ]

45

4. Probabilidad. El tiempo medio de espera x (en minutos) en una tienda de autoservicio est dado por la solucin de la ecuacin

. Resuelva la ecuacin.

]

[ ]

Aplicando logaritmos naturales a ambos lados de la ecuacin, resulta:

46

Actividad No. 11 Conocimiento previo Individual extra aula Propsito: Anlisis de las caractersticas del mtodo de integracin por partes, como introduccin al tema. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga los procedimientos y la solucin correcta a cada ejercicio propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripcin de la actividad: Selecciona correctamente u y dv para las funciones polinomiales, exponenciales, trigonomtricas, inversas y logartmicas. Argumente la seleccin de u y dv en cada situacin.

Integral u dv Integral u dv

exCosxdx

x3dx

47

Ejercicio 2.1. Integracin por partes Resuelva las siguientes integrales 1) (

Haciendo:

(

| |)

| |

2) (

Haciendo:

(

)

(

)

3) (

)

Haciendo:

4) ( ( (

Haciendo: ( (

(

( ) (

5) (

)

Haciendo: (

)

(

( )

(

)

48

(

6) (

) (

) ( (

)

Haciendo: (

) (

)

.

/ ( )

(

) (

) | |

7) (

(

)

Haciendo:

integrando otra

vez por partes

[

(

) ]

*

+

8) ( ( Haciendo:

Integrando nuevamente por partes:

[ ( ]

Volviendo a integrar por partes

49

[ ( ( ]

( ( 9) ( Haciendo:

Integrando por partes otra vez:

[ ]

(

10) ( ) Haciendo:

Integrando de nuevo por partes:

[ ( ( ( )]

50

[ ( ( ( )]

(

11) Resolver la ecuacin diferencial dada, haciendo y = dy/dx ; Partiendo de la ecuacin diferencial dada

Se despejan los diferenciales Integrando ambos lados de la ecuacin, resulta:

12) Si el rea de la regin mostrada en la figura est dada por:

. Calcular dicha rea

Integrando por partes, en donde:

51

0

1

[ ]

[ ( ]

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

y = 0

y = x e^x


52

Actividad No. 12 Conocimiento previo Individual en el aula Propsito: Analizar las condiciones para aplicar cada uno de los casos trigonomtricos, como introduccin al tema. Criterio de evaluacin: Reporte que muestre la redaccin correcta y concreta de la estrategia requerida. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora clase. Descripcin de la actividad: 1. Explica cul es tu estrategia para evaluar integrales que contienen senos o cosenos: a) Con la potencia de la funcin seno impar positiva Expresar como: Caso I Utilizar: b) Con la potencia de la funcin coseno impar positiva Expresar como: Caso I Utilizar: c) Si las potencias de ambos son pares y positivas Utilizar: Caso III

y

2. Describir cmo integrar para cada condicin a) m es positivo e impar Expresar: Caso II Utilizar: Sustituir el y multiplicarlo por el e integrar cada trmino como b) Si n es positivo e impar Expresar: Caso II Utilizar: Sustituir el y multiplicarlo por el e integrar cada trmino como c) m y n son positivos e impares Expresar el impar menor como: Caso II

53

Utilizar: Sustituir en la integral y al multiplicar e integrar cada trmino como 3. Describir como integrar para cada condicin. a) m es impar positivo - Si n es impar expresar como: Caso VIII Utilizar: - Si n es par Integrar por partes. b) n es positivo e impar -Si m es par expresar la como: Caso VII (

y multiplicarlo por la y cada

integral resultante se resuelve por . -Si m es impar expresar como: Caso VIII Utilizar: c) n es positivo y par y no hay factor secante Expresar como: ( d) m es positivo e impar y no hay factor tangente Integrar por partes Expresando en donde dv = y u =

54

Ejercicio 2.2. Integracin de potencias de funciones trigonomtricas Resuelve las siguientes integrales: 1) Caso I ( ( Usando: ( ( (

( ( (

(

) ( (

( )

*

+

(

(

2)

Caso III Identidad

=

[ (

)]

(

)

*

(

+

(

(

Aplicando Caso III a la 3. Integral, en donde:

55

3) Caso II Usar la identidad: de manera similar al Caso I, por lo tanto: ( ( ( (

( ( [ ( ] ( ( ( ( ( (

( ) ( (

( )

(

)

(

)

(

(

4) ( Aplicando Caso III, utilizando una de las identidades de ngulo doble y sustituyendo, resulta: (

(

(

) (

(

( ( (

(

(

( (

(

( (

( )

(

)

(

)

(

(

56

5) ( ( Caso IV

[ ( ( ]

( ( [ ( ( ]

( ( [ ]

( (

[ ]

(

6) ( ( Caso IV

[ ( ( ]

( ( [ ( ( ( ]

( ( [ ]

( (

[ ]

(

7) Caso V Identidad:

57

[ ( ] (

( *

( + ( (

[ ( ] (

*

+ ( ( (

( (

( (

)

(

(

*

+

| |

(

(

| ( |

8) Resolviendo por el mtodo de integracin por partes, en donde: ( ( ( (

(

Por lo tanto:

(

( (

( (

(

( ( ( (

Sustituyendo

( ( ( ( Caso V

( (

58

(

( ( (

(

( ( ( (

Despejando del lado derecho de la ecuacin, resulta: (

( (

| ( ( |

(

( (

| ( ( |

9) ( ( Caso 7 Escribir ( como Caso VI ( [ ( ] ( ( ( ( [ ( ] (

( ( ( (

( *

( + ( *

( +

Haciendo ( (

(

*

+

*

+

*

+

*

+

(

(

10) Caso 8 Identidad: ( ( ( ( (

( ( ( [ ( ] ( (

59

( ( ( ( (

( ( ( ( ( ( ( ( ( Haciendo ( ( ( , despejando dt y sustituyendo, resulta: ( ( (

( ( ( ( (

( (

( ( (

( (

*

+

*

+

(

(

(

11) Resolviendo por el mtodo de integracin por partes, en donde: ( ( ( (

(

( ( *

( +

(

( ( ( (

Haciendo ( ( y sustituyendo resulta:

( ( ( [ ( ]

(

( ( ( (

Simplificando

(

( ( (

Sustituyendo el resultado de ( del problema 8) de este ejercicio, queda:

60

(

( (

( (

| ( ( |

(

( (

( (

| ( ( |

12) Utilizando: ( ( Ecuacin 1) Resolviendo por el mtodo de integracin por partes, en donde: ( ( (

(

(

)

( (

(

Haciendo

(

Simplificando, sumando integrales semejantes

(

(

Sustituyendo en la ecuacin 1

61

Sumando integrales semejantes

Sustituyendo el resultado del problema 8) y del problema 11) en la integral correspondiente, resulta:

| |

| |

| |

62

Actividad No. 13 Desarrollo Individual extra aula Propsito: Analizar las frmulas de los casos trigonomtricos para determinar las condiciones de aplicacin. Criterio de evaluacin: Llenado correcto de la tabla. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos. Descripcin de la actividad:

1) Llena la tabla propuesta, indica el caso que resolver a cada integral propuesta y justifica. (Ver ejemplo)

Integral Caso trigonomtrico Justificacin

( Caso I Porque el integrando contiene la funcin seno elevado a un exponente impar positivo.

( ( Caso IV

Porque el integrando contiene un producto de seno por coseno con ngulos diferentes

( Caso V

Porque el integrando contiene a la funcin tangente elevada a un exponente entero positivo.

( Caso VI

Porque el integrando contiene a la funcin cosecante elevada a un exponente entero par positivo.

(

) Caso III

Porque el integrando contiene a la funcin coseno elevada a un exponente entero par positivo.

Caso VII

Porque el integrando contiene un producto de Tangente por Secante con exponente par positivo

Caso VIII

Porque el integrando contiene un producto de Cotangente por Cosecante, en donde el exponente de la Cotangente es entero impar positivos.

(

) Caso I

Porque el integrando contiene la funcin Coseno elevado a un exponente impar positivo.

Caso VIII

Porque el integrando contiene un producto de Tangente por Secante, en donde el exponente de la Secante es entero par positivo

Caso VII Porque el integrando contiene un producto de Tangente por Secante, en donde el exponente de la Tangente es entero impar positivo.

( No tiene caso

Porque se integra por partes

Caso II

Porque el integrando contiene un producto de seno por coseno y al menos un exponente es entero impar positivo

63

Actividad No. 14 Conocimiento previo Individual extra aula Propsito: Recordar el teorema de Pitgoras y las funciones trigonomtricas en tringulos rectngulos. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga la descripcin correcta a cada enunciado. Tiempo estimado para la actividad: 20 minutos. Descripcin de la actividad: I. Para el siguiente tringulo rectngulo, determinar:

a) La longitud de cada uno de sus lados ; ; ; b) Las siguientes funciones trigonomtricas para cada uno de sus ngulos agudos. Sen A =

Sen B =

Cos A =

Cos B =

Tan A =

Tan B =

Cot A =

Cot B=

Sec A =

Sec B =

Csc A =

Csc B =

64

Ejercicio 2.3. Sustitucin trigonomtrica I. Resuelva las siguientes integrales: 1)

Por cambio de variable haciendo ;

.

/

Por el mtodo de sustitucin trigonomtrica: Sustituyendo ; ;

(

Despejando Tan de la sustitucin trigonomtrica para trazar el tringulo rectngulo.

Se determina la a partir del tringulo

Sustituyendo en el resultado de la integral, queda:

(

)

Nota: Recordemos que los mtodos de integracin se aplican cuando la integral no se puede resolver por una sustitucin directa, como en este caso, con la primera sustitucin se resuelve.

2)

(

(

65

Haciendo la sustitucin de ; ; y el cambio de lmites, o sea, si

y si resulta:

(

[ ]

( )

3)

Haciendo la sustitucin trigonomtrica de ; ;

Se traza el tringulo rectngulo a partir de la sustitucin trigonomtrica.

Se determina a partir del tringulo y se sustituye en el resultado de la integral, resulta:


4)

(

( )

Haciendo la sustitucin de ; ; resulta:

66

(

(

Se traza el tringulo rectngulo a partir de la sustitucin trigonomtrica.



5)

Por cambio de variable, en donde:

(

) (

)

De forma equivalente, se puede expresar como:

| | | |

Nota: Por sustitucin trigonomtrica da el mismo resultado

6)

Haciendo la sustitucin trigonomtrica de ; ;

(

67

( Se traza el tringulo rectngulo a partir de la sustitucin trigonomtrica.



(

)

7)

Haciendo la sustitucin trigonomtrica de:

(

| | Trazando el tringulo rectngulo a partir de la sustitucin trigonomtrica para calcular:

Sustituyendo en el resultado, queda:

68

|

| .

/

|

|

8)

Haciendo cambio de variable, en donde: , resulta:

(

)

(

)

En forma equivalente:

|

|

9)

Haciendo la sustitucin trigonomtrica de:

( (

Utilizando el Caso III, en donde se sustituye

, resulta:

(

)

Sustituyendo la identidad de ngulo doble:

Trazando el tringulo rectngulo a partir de la sustitucin trigonomtrica para calcular:

69

Sustituyendo en el resultado, queda:

(

) (

) .

/ (

)

10)

Haciendo la sustitucin trigonomtrica de: , resulta:

( (

Utilizando el Caso IV para resolver la integral resultante: (

(

(


.

/

( Trazando el tringulo rectngulo a partir de la sustitucin trigonomtrica para calcular:

Sustituyendo en el resultado de la integral, resulta:

70

.

/ 0

1 .

/

(

71

Actividad No. 15 Desarrollo Individual en el aula Propsito: Desarrollo de conceptos. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga la descripcin correcta a cada enunciado. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos. Descripcin de la actividad: 1. Decidir que sustitucin trigonomtrica habra que hacer suponiendo que la integral a resolver contiene el radical dado, con a > 0. Explicar el razonamiento.

a) b) c)

2. Enunciar el mtodo de integracin para realizar cada integracin. Explicar por qu se eligi ese mtodo. No integrar.

a) b) a) Por porque se puede completar el diferencial. b) Por sustitucin trigonomtrica 3. Evaluar la integral

usando a) la sustitucin trigonomtrica y b)

cualquier otra sustitucin. Discutir los resultados. a) Por sustitucin trigonomtrica

( )

Sustituyendo en la integral

(

| |

72

Calculando la a partir del tringulo

Sustituyendo en la solucin de la integral resulta.

| | |

| | |

b) Por cambio de variable: Completando el diferencial:

| |

| |

4. Evaluar la integral

usando a) la sustitucin trigonomtrica y b)

efectuando la operacin algebraica y luego integrando. Discutir los resultados. a) Sustitucin trigonomtrica

( )

( (

( ( Evaluando a partir del tringulo

73

Sustituyendo en la solucin de la integral

(

)

b) Por operacin algebraica

Divisin de polinomio

|

La integral se puede reexpresar como:

Haciendo cambio de variable, en donde:

(

) (

)

(

)

74

Actividad No. 16 Desarrollo Individual extra aula Propsito: Resolucin de las integrales propuestas. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga la solucin correcta a las integrales propuestas. Tiempo estimado para la actividad: 90 minutos Descripcin de la actividad: Identifica la sustitucin trigonomtrica adecuada dependiendo del tipo de integrando y emplala para resolver los problemas propuestos. Si alguna de las integrales pudiera resolverse por algn mtodo visto anteriormente, indique cual. 1)

Sustitucin trigonomtrica:

(

) (

(

)

Sustitucin trigonomtrica

75

(

.

/ Por cambio de variable, en donde:

.

| |/

.

/ 3.

Por sustitucin trigonomtrica

.

/ Por cambio de variable, en donde:

.

/

76

4.

Por sustitucin trigonomtrica


(

)

(

)

5.

( )

(

(

(

)

77

6.

Por sustitucin trigonomtrica:

(

)

(

.

/

(

)

.

/

(

(

(

(

78

Actividad No. 17 Conocimiento previo Individual extra aula Propsito: Recordar el proceso de factorizacin y aplicarlo a diferentes funciones polinomiales. Criterio de evaluacin: Se evaluar la tabla que contenga la informacin correcta para cada polinomio dado. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos Descripcin de la actividad: El estudiante llenar la tabla propuesta factorizando e identificando los tipos de factores encontrados en cada polinomio dado.

Forma del factor Nombre del factor ax+b lineal distinto

(ax+b)k lineal repetido ax2+bx+c cuadrtico distinto

(ax2+bx+c)k cuadrtico repetido Polinomio Factores Lineales

distintos Lineal repetido

Cuadrtico distinto

Cuadrtico repetido

(x+1)(x-1) XX 4x2 9

(2x+3)(2x-3) X X

X2 + x 2

(x+2)(x-1) X X

X2 + 4x + 3

(X+3)(x+1) X X

2x2 + x 1

(2x-1)(x+1) X X

X3 4x

x(x+2)(x-2) X XX

X2 2x 8

(x - 4)(x + 2) X X

X3 + x2

x(x + 1) X X

X3 4x2 + 4x

X(x - 2) X X

X3 + x2 x 1

(x+1) (x-1) X X

X3 + x

x(x+1) X X

X3 8

(x-2) (x+2x+4)

X X

X4 2x2 8

(x+2)(x-2) (x+2)

X X X

16x4 1

(2x+1)(2x-1) (2x-1)

XX X

X3 x2 + x + 3

(x+1) (x-2x+3)

X X

X4 + 6x2 + 9

(x+3) X

79

Ejercicio 2.4. Integracin de funciones racionales Resuelva cada una de las siguientes integrales:

Factorizando el denominador y expresando en las fracciones parciales que corresponden, resulta:

( (

Los valores de las constantes A y B se pueden encontrar por tres procedimientos diferentes. - Utilizando lmites

- Eliminando denominadores y dando valores. ( ( Para Para

( ( 4 A - Generando un sistema de ecuaciones lineales

( (

( ( Ec.1: ; Ec.2: Resolviendo el sistema, resulta: Formando una integral para cada fraccin parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

80

| | | | |(

( |


Encontrar los valores de las constantes A, B y C utilizando lmites.

( (

( (

(

( (

(

( (

Formando una integral para cada fraccin parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

| | | | | | | (

( |

81


(

Encontrar los valores de las constantes B y C utilizando lmites.

Generando un sistema de ecuaciones lineales: ( ( ( ( Ec. 1: Ec.2: Ec.3: Sustituyendo B=4 y C=5 resulta que A=3 Formando una integral para cada fraccin parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

(

(

| |

| | | (

|

82


(

(

Encontrar los valores de las constantes B y D utilizando lmites.

(

(

Generando un sistema de ecuaciones lineales

( ( ( ( ( (

( ( ( ( Ec.1: Ec.2: Ec.3: Ec.4: Sustituyendo B=2, D=1 y resolviendo para A y C, resulta: A=1 y C=-3 Formando una integral para cada fraccin parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

(

(

(

(

| |

| |

|

( |

83


Generando un sistema de ecuaciones lineales:

( ( ( ( ( Ec.1: Ec.2: Ec.3: Ec.4: Resolviendo el sistema, resulta que: C=2 y D=-1 Formando una integral para cada fraccin parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

| |

| |

(


( (

84

Generando un sistema de ecuaciones lineales. ( ( ( (

( ( ( ( Ec.1: Ec.2: Ec.3: Ec.4: Resolviendo el sistema generado, resulta que:


(

) | |

(

) (


( (

( Encontrar los valores de las constantes A y B utilizando lmites.

( (

( (

(

( (


85

( ( ( ( ( (

( ( ( Ec.1: Ec.2: ( Ec.3: Ec.4: Resolviendo el sistema generado, resulta: A=4; B=1; C=0 y D=3 Formando una integral para cada fraccin parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

(

(

| | | |

(

)

|

|

(

)

( (

Factorizando el denominador y expresando en las fracciones parciales que corresponden, resulta: ( (

(

(

( Encontrar el valor de la constante A utilizando lmites.

(


( ( ( ( ( (

86

( ( ( ( (

Ec.1: Ec.2: Ec.3: Ec.4: Ec.5: ( Resolviendo el sistema generado, resulta que: A=3; B=0; C=0; D=-2; E=0 Formando una integral para cada fraccin parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

( (

(

(

(

(

| |

|( |

Efectuando la divisin de polinomios, la integral al reexpresa como:

.

/

La segunda integral es la que se descompone en fracciones parciales:

( (

Encontrar los valores de las constantes A, B y C utilizando lmites.

( (

87

(

(

(

( Sustituyendo la fraccin por la suma de las fracciones parciales, queda:

| | | | | | |

( (

|


( (

Encontrar los valores de las constantes A, y B utilizando lmites.

(

(


* | |

| |+

0

1

88

Actividad No. 18 Desarrollo Individual extra aula Propsito: Repaso de los mtodos de integracin. Criterio de evaluacin: Se evaluar un reporte que contenga el cuadro sinptico contestado correctamente. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora.

Descripcin de la actividad: En cada una de las siguientes integrales: 1) Resuelve la integral 2) Escribe la estrategia o mtodo empleado para resolverla 3) Justifica la estrategia empleada, proporcionando la frmula que se genera o mencionando las caractersticas que observas en la integral para justificar el mtodo de integracin seleccionado. 1) Por Cambio de variable, en donde:

Por frmula directa

| |

| | Justificacin: La integral tiene una solucin obvia.

2) Por el mtodo de integracin por partes, en donde:

Justificacin: La funcin In x no cuenta con una antiderivada evidente, pero es sencillo de derivar. 3)

89

Identidad trigonomtrica:

Cambio de variable:

| |

| | Justificacin: La identidad trigonomtrica reduce la expresin a una integral conocida, aunado a un cambio de variable. 4) ( Por Cambio de variable, en donde:

(

(

( (

Justificacin: La integral cuenta con un factor que puede transformarse fcilmente en el diferencial del otro factor. 5) Por el mtodo de integracin por partes, en donde:

( Justificacin: El integrado est conformado por el producto de una funcin algebraica y una trascendente.

90

Por el mtodo de fracciones parciales

, en donde:

y

(

(

( (

Justificacin: El integrando se suma funcin racional que no cuenta con una sustitucin o reduccin evidente.

Por Cambio de variable, en donde:

Justificacin: El integrado tiene una sustitucin evidente. ( Por el mtodo de casos trigonomtricos: Caso I ( ( Usando: ( ( ( ( Por cambio de variable, en donde: (

Haciendo otro cambio de variable, en donde: y

91

(

(

(

( Justificacin: El integrado no tiene una sustitucin evidente, por esto se utiliza un mtodo de integracin.


(

)

(

) Justificacin: La integral se puede resolver mediante el cambio de variable.


(

) = (

) En forma equivalente:

| | Justificacin: Se puede resolver por el cambio de variable, por sustitucin trigonomtrica y da el mismo resultado.

( Por el mtodo de integracin por partes, en donde:

92

(

(

(

(

( (

) (

) (

(

( (

)

Justificacin: Es por partes porque el integrado no cuenta con una antiderivada evidente.

93

Actividad No. 19 Integradora En equipo extra aula Propsito: Resolver problemas de ingeniera utilizando los mtodos de integracin. Criterio de evaluacin: Se evaluar la presentacin oral que muestre el desarrollo claro, ordenado y coherente por parte del equipo. Tiempo estimado para la actividad: 50 minutos. Descripcin de la actividad: 1. Hacer una presentacin oral que muestre los planteamientos y la solucin a un problema elegido al azar por el docente. 2. Responder a los cuestionamientos de los compaeros de clase. Problemas propuestos: Integracin por partes 1. Valor actual. Encontrar el valor presente de un flujo de ingreso continuo en dlares por ao c(t) si:

(

Donde P es el valor presente, t1 es el tiempo en aos y r es la tasa de inters anual compuesto continuo. Para: c(t) = 100 000 + 4 000t; r = 5 %; t1 = 10 Solucin:

(

|

0

|

1

0

(

)1


94

( (

[ (

] [

]

( ( Potencias de funciones trigonomtricas 2. Volumen. El volumen de determinado slido que se genera al girar una regin con respecto al eje X, est dado por:

, en unidades cbicas.

Encontrar el volumen de dicho slido. Solucin: Aplicando el Caso III, el

y sustituyendo, resulta que el volumen del

slido es:

(

)

0

1

[

]

[

(

)]

(

)

Sustitucin trigonomtrica 3. Intensidad de campo. La intensidad de campo H de un imn en forma de barra con longitud 2L sobre una partcula a r unidades del centro del imn es:

(

Donde m es la distancia de cada polo al centro del imn. Encontrar la intensidad de campo media cuando la partcula se mueve de 0 a R unidades del centro evaluando la integral

(

95

Solucin: Integrando con respecto a r, resulta:

( )

Resolviendo la integral

( ) como una integral indefinida, por el mtodo de

sustitucin trigonomtrica, en donde: , resulta: Cambiar tringulo

( )

(

(

)

(

)

Por lo tanto:

[

]

[

]

(

)

Fracciones parciales 4. Modelo de epidemias Un solo individuo infectado entra en una comunidad de n individuos susceptibles. Sea x el nmero de individuos recientemente infectados en el momento t. El modelo de epidemias comn asume que la enfermedad se extiende a un ritmo proporcional al producto del nmero total infectado y al nmero no infectado todava. As, dx / dt = K (x+1)(n x) y se obtiene:

96

( ( (

Resolver para x como una funcin de t. Solucin: Condiciones iniciales: Resolviendo la integral del lado izquierdo de la ecuacin (1) por fracciones parciales, resulta:

( (

(

)

(

)

Por lo tanto:

( (

[ | | | |]

|

|

Sustituyendo en la ecuacin (1) y resolviendo la integral del lado derecho de la misma ecuacin, resulta:

|

| (

Sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuacin (2) se calcula el valor de la constante C y resulta:

[ (

)]

Sustituyendo el valor de C en la ecuacin (2), queda:

|

|

[ (

)] (

Multiplicando ambos lados de la ecuacin (3) por ( , resulta:

97

|

| ( (

)

Aplicando la funcin exponencial y su propiedad para simplificar, resulta:

(

Despejando x, queda: ( ( Agrupando trminos semejantes ( ( ( ( ) ( ( )

( (

(

98

Actividad No. 20 Conocimiento previo Individual extra aula Propsito: Trazado de grficas de funciones. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga el anlisis y grfico correcto de cada una de las funciones dadas. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripcin de la actividad: Para cada una de las siguientes funciones trazar su grfica, determinar su continuidad, y si es posible, expresarla como ( y como ( 1) 5) ( 2) 6) 3) 7) 4) Nota: Puedes usar software de graficacin. Solucin: 1) Grfica

2) Grfica

x

y

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

2

4

6

8

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-400

-200

0

200

400

Continuidad: (

(

(

Continuidad: (

(

(

99

3) Grfica

4) Grfica

5) ( Grfica

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Continuidad: [

(

(

Continuidad: (

(

Continuidad: (

( (

100

6) Grfica

7) Grfica

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-2

0

2

4

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-2

-1

0

1

2

Continuidad: (

(

(

Continuidad: [ ]

(

101

Actividad No. 21 Conocimiento previo Individual extra aula Propsito: Familiarizarse con un asistente matemtico y que lo utilice para preparar los grficos que posteriormente analizar en clase. Criterio de evaluacin: Se evaluar el reporte que contenga los grficos impresos. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripcin de la actividad. Grafica las siguientes regiones acotadas por las funciones dadas con ayuda de un asistente matemtico.

a) ,52 xxy el eje x y la recta x=2. b) 652 23 xxxy , el eje x y las rectas x=-1 y x=2. c) xxyxy 4, 22 d) 5,222 xyxy

Nota: Los grficos sern utilizados en el aula la sesin siguiente. Software sugerido: Derive, Graphmatica, Matlab, etc. (Consltalos en la Infoteca).

a) ,52 xxy el eje x y la recta x=2.

b) 652 23 xxxy , el eje x y las rectas x=-1 y x=2.

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.80

1

2

3

4

5

6

7

x

y

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-4

-2

0

2

4

6

8

102

c)

d)

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.80

1

2

3

4

5

103

Ejercicio 3.1. rea entre 2 curvas Calcular el rea de cada una de las regiones que se forman con las grficas de las funciones dadas: 1) Grfica

Los lmites de la regin estn dados por: a = 0 y b = 2 El rea de la regin est dada por:

[( ( ]

[( ( ]

( 0

1

[

( ( ] [ ]

2) Grfica

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

2

4

6

8

x=0

104

Los lmites se calculan por igualacin, es decir: Por lo tanto los lmites de la regin son: El rea de la regin est dada por:

[( ( ]

(

( 0

1

[

( ] [ ]

3) Grfica

Los lmites se calculan por igualacin, es decir:

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

1

2

3

4

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y=2

105

Por lo tanto los lmites de la regin son: El rea de la regin est dada por:

[( ( ]

(

0

1

[

( )

] [ ]

4) ( Grfica

Los lmites se calculan por igualacin, es decir: Por lo tanto los lmites de la regin son: El rea de la regin est dada por:

[( ( ]

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.5

0

0.5

1

1.5

106

( )

[

]

[( ( ]

( )

5) ( ( Grfica

Los lmites se calculan por igualacin, es decir: ( ( ( Por lo tanto los lmites de la regin son: El rea de la regin est dada por:

[( ( ]

[( ( ]

( 0

1

[

( ( ] [ ]

6)

Grfica

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

107

Los lmites de la regin estn dados por: a = 1 y b = 3 El rea de la regin est dada por:

[( ( ]

[(

) ( ]

(

) [ | |]

7) ( Grfica Los lmites de la regin estn dados por: a = 0 y b = 3 El rea de la regin est dada por:

[( ( ]

[( ( ]

( 0

1

[

( ] [ ]

8) ( ( Grfica

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

108

Los lmites se calculan por igualacin, es decir: ( ( ( ( Por lo tanto los lmites de la regin son: El rea de la regin est dada por:

[( ( ]

[( ( ]

( 0

1

[ (

(

( ] [ (

(

( ]

[

] [

]

9) ( ( Grfica

Manual de Soluciones Mate II 11 Abril 1

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