Manual de Teoría de Máquinas y Mecanismos II - Estática
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TEORÍA DE MÁQUINAS Y
MECANISMOStomo II
Estática
Jesús Benet Mancho
Vicente Yagüe Hoyos
Marta Hernández Toledo
7/23/2019 Manual de Teoría de Máquinas y Mecanismos II - Estática
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ÍNDICE
Principios de la mecánica clásica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Estática del punto y de los sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Estática del sólido rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Estática analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Estática de hilos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Rozamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Problemas de estática del sólido rígido.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Problemas de estática analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Problemas de estática de hilos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Problemas de rozamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
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principios de la mecánica clásica
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PRINCIPIOS DE LA MECÁNICA CLÁSICA
1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA
2. CONCEPTO DE FUERZA. CLASIFICACIÓN
3. CAMPOS DE FUERZAS
4. TRABAJO ELEMENTAL Y TRABAJO TOTAL. POTENCIA
5. CAMPOS CONSERVATIVOS. FUNCIÓN DE FUERZAS. POTENCIAL
6. ENERGÍA. ENERGÍA POTENCIAL Y ENERGÍA CINÉTICA
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principios de la mecánica clásica
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1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA
La Mecánica es la ciencia que estudia las leyes generales del equilibrio o movimiento de los
cuerpos materiales y de las interacciones que se manifiestan entre los mismos en el transcurso de
este proceso.
En Mecánica, bajo el concepto de movimiento se sobreentiende movimiento mecánico, es decir,
un cambio de la disposición recíproca de los cuerpos en el espacio, que tiene lugar en el
transcurso del tiempo. La interacción mecánica tiene como resultado bien la variación del
movimiento o posición de los cuerpos (Mecánica del Sólido Rígido), bien la modificación de su
forma (Mecánica del Sólido Deformable). La magnitud que expresa de forma cuantitativa la
interacción mecánica se llama fuerza. El objeto de estudio de la asignatura Mecánica y Teoría de
Mecanismos I es la Mecánica del Sólido Rígido. El estudio de la Mecánica del Sólido Deformable
se contempla dentro de la materia conocida en ingeniería como Elasticidad y Resistencia de
Materiales.
Así pues, el objetivo fundamental de la Mecánica del Sólido Rígido es el estudio de las leyes del
movimiento y equilibrio de los cuerpos rígidos sometidos a la acción de las fuerzas, despreciando
las deformaciones y la posibilidad de rotura de los mismos. La Mecánica que desarrollaremos es
la denominada Newtoniana o Clásica, que proporciona resultados de gran precisión cuando se
aplica al estudio de problemas técnicos. La formulación de las leyes de la Mecánica Clásica, esta
basada en los principios de Newton-Galileo, estos principios carecen de demostración y resultan
de la observación de la naturaleza. Los enunciados de estos principios son los siguientes:
1) Principio de inercia: Todo punto material aislado (en ausencia de fuerzas actuantes) tiene
aceleración nula. En consecuencia, su estado será de reposo (velocidad nula) o de movimiento
rectilíneo y uniforme.
2. Principio de acción de fuerzas: La aceleración que adquiere un punto material es proporcional
a la fuerza que actúa sobre él, y de su misma dirección y sentido. La expresión matemática de este
principio constituye la ecuación fundamental de la Mecánica:
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(1)
Figura 1. Interacción entre dos puntos.(2)
La constante de proporcionalidad entre las magnitudes de la fuerza y de la aceleración es la masa
del cuerpo m. Como puede apreciarse el principio de inercia es en realidad un caso particular del
principio de acción de fuerzas, ya que para F=0, resulta a=0, y por tanto la velocidad es nula o
constante.
3. Principio de acción y reacción: Cuando dos puntos
materiales interaccionan en ausencia de cualquier
otra acción exterior, aparecen sobre ellos fuerzas
iguales y opuestas, en la dirección de la fuerza que
los une.
2 1 1 221 12Siendo: F fuerza de la partícula P sobre P , F fuerza de la partícula P sobre P .
4. Principio de independencia de acción de fuerzas: La acción de una fuerza aplicada no depende
de la existencia de otras fuerzas actuantes, ni del estado de reposo o movimiento del cuerpo. Lo
cuál equivale a decir que el efecto de un sistema de fuerzas sobre una partícula es igual a la suma
de los efectos que producen cada una de las fuerzas actuando aisladamente.
5. Principio de la relatividad de Galileo: La aceleración y demás magnitudes que intervienen en
la formulación de la ley del movimiento del punto son iguales en cualquier sistema de referencia
inercial. Por consiguiente para el estudio de los diferentes problemas mecánicos utilizaremos
siempre un sistema de referencia inercial. Los sistemas fijos cumplen esta propiedad ya que las
aceleraciones, fuerzas, etc, son siempre las mismas en cualquier sistema fijo.
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2. CONCEPTO DE FUERZA. CLASIFICACIÓN
Como hemos comentado, fuerza es la magnitud que expresa de forma cuantitativa las
interacciones que tienen lugar entre los cuerpos y se define como cualquier causa capaz de alterar
el movimiento de un cuerpo o de producir transformaciones en él. Las fuerzas que actúan sobre
un cuerpo pueden clasificarse como:
1. Fuerzas solicitantes o directamente aplicadas: producidas por un agente externo, como la
presión de un fluido sobre el recipiente que lo contiene, la acción del campo gravitatorio terrestre,
la acción de un campo magnético, etc.
2. Fuerzas de enlace: llamadas también reacciones, producidas por los enlaces o ligaduras a los
que está sometido el cuerpo, los cuales limitan sus posiciones o sus movimientos.
3. Fuerzas interiores: son las que produce cualquier parte del sistema material sobre otras partes
del mismo debido a las ligaduras internas. Por el principio de acción y reacción, las fuerzas
internas son parejas de fuerzas de igual módulo, dirección y línea de acción, pero de sentido
opuesto, por lo que constituyen un sistema nulo, esto es su resultante y momento resultante son
cero.
4. Fuerzas de inercia: son fuerzas sin existencia real pero que es preciso considerar cuando se
estudia el equilibrio o movimiento de un cuerpo. Las fuerzas de inercia son términos matemáticos
correspondientes a las masas y aceleraciones que aparecen en las ecuaciones dinámicas de los
cuerpos y que equivalen a una fuerza más. Así en la ecuación fundamental de la dinámica: F=m.a,
al término -m.a se le denomina también fuerza de inercia y la ecuación fundamental de la dinámica
se puede también escribir como F-m.a=0, esto equivale a decir que la suma de las fuerzas que
actúan sobre un punto ha de ser igual a cero, incluyendo la fuerza de inercia como una fuerza
actuante más.
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Figura 2. Trabajo de una fuerza.
(3)
3. CAMPOS DE FUERZAS
Se dice que en una región del espacio existe un campo de fuerzas cuando, por el hecho de colocar
el cuerpo en dicha región, aparece instantáneamente sometido a una fuerza. La fuerza a la que se
encuentra sometida el cuerpo, puede ser constante o variar según su posición en el campo y suele
ser proporcional a lo que se conoce como magnitud activa del campo. La constante de
proporcionalidad suele ser una propiedad interna del cuerpo. En el caso del campo gravitatorio
terrestre, el campo ejerce una fuerza sobre los cuerpos dirigida hacia el centro de la tierra, de
valor: F = m.g, en donde g es la aceleración de la gravedad y representa la magnitud activa del
campo, el valor de g es constante para todos los cuerpos, mientras que la constante de
proporcionalidad m es la masa del cuerpo que varía para cada cuerpo.
En general las fuerzas de campo son función de la posición, velocidad y del tiempo: F=F(r,v,t),
en el caso particular de que la fuerza de campo sea función de la posición: F=F(r), el campo de
fuerzas es un campo vectorial.
4. TRABAJO ELEMENTAL Y TRABAJO TOTAL. POTENCIA
Sea F una fuerza cuyo punto de aplicación
experimenta un desplazamiento elemental dr, se
denomina trabajo elemental dW de la fuerza F
correspondiente al desplazamiento dr al producto
escalar de F por dr, esto es:
Teniendo en cuenta las componentes de F y dr,
tenemos:
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(4)
(5)
Figura 3. Trabajo de rotación.
(6)
El trabajo total de una fuerza F correspondiente a un desplazamiento finito entre los puntos AB
de su punto de aplicación, a lo largo de una curva, viene dado por la integral de recorrido:
Si la fuerza se mantiene normal a la curva: F dr, el trabajo resulta nulo.
Supongamos que el punto de aplicación P de la fuerza
describe una trayectoria circular, como ocurre en el
caso de un sólido con movimiento de rotación. Sea
EE´el eje de rotación, O’ el centro de la circunferencia
de la trayectoria, y R=O’P el radio de la
circunferencia. En una rotación elemental dè, el punto
de aplicación de la fuerza experimenta un
desplazamiento dr cuyo módulo se puede considerar
equivalente a un arco elemental de circunferencia de
ángulo dè. El vector rotación elemental dè desliza
sobre el eje EE´, su sentido viene dado por la regla de
la mano derecha. El desplazamiento elemental dr se
puede expresar como:
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(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Teniendo en cuenta las propiedades del producto mixto de vectores, el trabajo elemental de la
fuerza F es:
Considerando la expresión del momento de la fuerza F, respecto de O :
ETeniendo en cuenta además que el vector unitario de eje de rotación es u , el vector rotación
Eelemental se puede expresar: dè=dè.u , resultando:
ESiendo M (F) el momento axial de la fuerza F respecto del eje EE. El trabajo total
1 2correspondiente a una rotación finita entre los ángulos è y è :
Se define la potencia como el trabajo desarrollado por unidad de tiempo. Si el punto de aplicación
de una fuerza F experimenta un desplazamiento Är, desarrollando un trabajoÄW en un intervalo
mde tiempo Ät, la potencia media N desarrollada en ese intervalo es:
Al límite de la potencia media cuando Ät tiende a cero se denomina potencia instantánea, o
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(12)
(13)
(14)
(15)
simplemente potencia:
Por lo tanto la potencia instantánea es la derivada del trabajo respecto del tiempo. Por otra parte,
dado que el trabajo elemental es dW=F.dr, se cumplirá:
Es decir la potencia instantánea de una fuerza móvil es igual al producto escalar de dicha fuerza
por la velocidad con la que se desplaza su punto de aplicación. En el caso de trabajo de rotación,
se tiene:
5. CAMPOS CONSERVATIVOS. FUNCIÓN DE FUERZAS. POTENCIAL
Se denominan campos de fuerzas conservativos o potenciales a aquellos en los que el trabajo
realizado por las fuerzas del campo en un desplazamiento cualquiera es independiente de la
trayectoria descrita por su punto de aplicación.
Para que un campo de fuerzas sea conservativo o potencial es condición necesaria y suficiente que
el trabajo elemental pueda expresarse como la diferencial total de una función uniforme
U=U(x,y,z) de las coordenadas de los puntos del campo. Dicho de otra forma, es necesario y
suficiente que exista una cierta función escalar de punto U=U(x,y,z) tal que verifique:
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(16)
(17)
(18)
Ya que de este modo, resulta:
Es decir, el trabajo desarrollado por las fuerzas del campo sólo depende de las posiciones inicial
y final de sus puntos de aplicación, siendo independiente de las trayectorias descritas por los
mismos. Evidentemente, en los campos conservativos, el trabajo desarrollado por las fuerzas del
campo cuando sus puntos de aplicación recorren trayectorias cerradas es nulo.
La función escalar de punto U=U(x,y,z), de la cuál deriva el campo de fuerzas conservativo, se
denomina función de fuerzas. Teniendo en cuenta que:
Comparando esta ecuación con la (15):
Lo cual equivale a:
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(19)
(20)
(21)
(22)
Es decir, el campo de fuerzas coincide con el campo de gradientes de la función de fuerzas. De
acuerdo con (18), se cumplirá también:
Y por el teorema de Schwartz de igualdad de las derivadas cruzadas:
Análogamente, se tiene que:
Las ecuaciones (21) y (22) son las condiciones necesarias y suficientes que deben de cumplir las
componentes de un campo de fuerzas para que éste sea conservativo.
A la función escalar de punto V(x,y,z)=-U(x,y,z) se le denomina función potencial del campo
conservativo. El valor de la función potencial en un punto cualquiera del espacio, se denomina
también energía potencial. El trabajo correspondiente a un desplazamiento finito entre dos puntos
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(23)
(24)
(25)
(26)
A y B, se puede expresar por:
Las superficies V(x,y,z)=cte, lugar geométrico de los puntos del campo que tienen igual potencial,
se denominan superficies equipotenciales. El campo de fuerzas se puede expresar:
Es decir, las fuerzas del campo están dirigidas en el sentido de los potenciales decrecientes.
Como ejemplos importantes de campos de fuerzas conservativos, podemos citar:
a) Campo gravitatorio: todo cuerpo situado en el campo gravitatorio terrestre, experimenta una
fuerza hacia el centro de la tierra igual a su propio peso. Si tomamos el eje z en la dirección de
la vertical ascendente, tenemos que:
El trabajo realizado por las fuerzas del campo:
Resultando:
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(27)
(28)
(29)
Figura 4. Fuerza y potencial elásticode un resorte.
(30)
(31)
Tomando el origen de potenciales en el plano z = 0, la función potencial resulta:
Si trabajamos en dos dimensiones, y tomamos el eje Oy como el de la dirección vertical
ascendente:
Las superficies equipotenciales son planos horizontales z = cte ó y = cte.
b) Campo de fuerzas elásticas producido por un
resorte. Un muelle atrae o repele a los puntos extremos
con una fuerza proporcional a su alargamiento o
acortamiento. Tomando como eje Ox el eje del muelle,
oque además tiene la dirección de la fuerza, sea x la
longitud muerta del resorte ( aquella para la que el
resorte no está deformado y por tanto no ejerce
ninguna fuerza ), se cumplirá:
El trabajo realizado por las fuerzas del campo:
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principios de la mecánica clásica
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(32)
(33)
(34)
Resultando:
oTomando el origen de potenciales la posición x = x , la función potencial resulta:
6. ENERGÍA. ENERGÍA POTENCIAL Y ENERGÍA CINÉTICA
Se define la energía como la capacidad de los cuerpos o de los sistemas físicos para producir
trabajo. La energía es, por tanto, una magnitud representativa del estado del sistema.
En general se utiliza como criterio para asignar el valor de la energía de un sistema, el trabajo
necesario para llevar el sistema al estado actual. Ello lleva implícito la elección de un estado del
sistema al que convencionalmente se le asigna energía nula.
CDesde el punto de vista mecánico existen dos tipos básicos de energía: cinética E y potencial
pE . La energía cinética es debida al estado del movimiento del cuerpo o sistema, la energía
potencial es debida a su posición en el sistema de referencia.
Entre las energías potenciales cabe distinguir la energía potencial de posición de un cuerpo o
p partícula en un campo de fuerzas conservativo, en este caso la energía potencial E se corresponde
como se ha comentado anteriormente, con la función potencial V para la posición del cuerpo, ya
que:
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principios de la mecánica clásica
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(35)
El signo negativo es debido a que la fuerza necesaria para transportar una partícula de O hasta
A es en todo instante igual y contraria a las fuerzas del campo.
En cuanto a la energía cinética de una partícula, su cálculo se realiza a partir del trabajo necesario
para dotar a la partícula de la velocidad que la anima:
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estática del punto y de los sistemas
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ESTÁTICA DEL PUNTO Y DE LOS SISTEMAS
1. CONCEPTO DE EQUILIBRIO
2. ENLACES O LIGADURAS
3. EQUILIBRIO DE UN PUNTO LIBRE
4. EQUILIBRIO DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS
5. EQUILIBRIO DEL PUNTO Y DE LOS SISTEMAS SOMETIDOS A ENLACES:
PRINCIPIOS DE AISLAMIENTO Y DE LA FRAGMENTACIÓN
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estática del punto y de los sistemas
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1. CONCEPTO DE EQUILIBRIO
Un punto material o un sistema material, inicialmente en reposo, se encuentra en equilibrio, bajo
la acción de un sistema de fuerzas, cuando se mantiene en reposo respecto de un sistema de
referencia inercial.
La Estática estudia las condiciones que deben cumplirse para que exista el mencionado equilibrio.
En Estática se presentan dos tipos de problemas:
1. Determinación de la posiciones de equilibrio, conocidas las fuerzas solicitantes.
2. Determinación de los valores de algunas fuerzas solicitantes, para que el sistema material esté
en equilibrio, en una determinada posición.
El equilibrio estático puede ser:
-Estable: si al introducir un pequeño desplazamiento en el sistema, las fuerzas lo llevan de nuevo
a la posición inicial de equilibrio.
- Inestable: si en el mismo supuesto las fuerzas separan aún más al sistema de su posición inicial.
- Indiferente: si cualquier posición próxima a la inicial es a su vez posición de equilibrio.
2. ENLACES O LIGADURAS
Todo punto o sistema de puntos al que se limitan las posiciones que puede ocupar en el espacio,
o se limitan los movimientos (posibilidades o maneras de moverse), se dice que está sometido a
enlaces o ligaduras.
Los enlaces que limitan las posiciones se denominan holónomos y se expresan analíticamente por
medio de igualdades o desigualdades entre las coordenadas de los puntos. Por ejemplo, si un
punto está obligado a permanecer sobre una superficie, las coordenadas del punto deben de
satisfacer la ecuación de la superficie (x,y,z)=0.
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estática del punto y de los sistemas
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(1)
1 2,Si a un sistema formado por dos partículas o puntos materiales P y P se le impone la condición
de que se mantengan siempre separadas una distancia d, (como si estuvieran separadas por una
varilla), las coordenadas de los puntos deberán verificar la siguiente condición:
Los enlaces que restringen los movimientos se denominan no holónomos y vienen expresados por
ecuaciones diferenciales complejas. Son ejemplos de enlaces no holónomos: imponer la condición
a un punto que se mueve en el espacio, de que su velocidad sea de módulo constante, o de que
se mueva según una trayectoria curvilínea con un radio de curvatura mayor en un valor prefijado.
En lo sucesivo nos referiremos siempre a enlaces holónomos.
Físicamente, un enlace produce unas fuerzas, llamadas reacciones de enlace, que son las que
obligan al sistema a permanecer en una determinada posición. En el caso bastante habitual que
el enlace obligue al sistema (un sólido rígido) a permanecer sobre una superficie, la fuerza de
reacción tiene siempre una componente normal a la superficie de enlace pudiendo existir en
ocasiones una componente tangencial, contenida en el plano tangente común a la superficie de
enlace y el sólido. A la componente tangencial de la reacción se le denomina fuerza de rozamiento
y su sentido es tal que se opone siempre al movimiento relativo entre el sólido y la superficie. A
la componente normal se le denomina simplemente fuerza o reacción normal. En principio
consideraremos que las fuerzas de reacción no tienen rozamiento, si bien el problema del
rozamiento será estudiado en un tema posterior.
3. EQUILIBRIO DE UN PUNTO LIBRE
Un punto material está en equilibrio, en un determinado sistema de referencia, si las fuerzas que
actúan sobre él cumplen la condición de tener su resultante nula, F=0, ya que entonces según la
ecuación fundamental de la Mecánica, resulta:
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20
(2)
(3)
(4)
(5)
Por tanto, la condición vectorial de equilibrio para un punto material o partícula, libre, es:
Esta ecuación vectorial, equivale a tres ecuaciones escalares, al proyectarla sobre los ejes,
obteniéndose sus componentes:
Conviene señalar que la condición de equilibrio no asegura que la partícula permanezca en reposo,
es decir es una condición necesaria para el reposo pero no suficiente, ya que desde el punto de
vista cinemático, la partícula en equilibrio presenta aceleración nula, lo cual implica que o bien
está en reposo o bien se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme.
En el caso especial de que las fuerzas que actúan sobre la partícula derivan de un potencial, la
resultante también derivará de un potencial que será igual a la suma de los potenciales parciales
de cada fuerza, la condición de equilibrio será:
iSiendo pues V=V , en este caso las ecuaciones escalares de equilibrio serán:
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estática del punto y de los sistemas
21
(6)
(7)
Estas condiciones constituyen la condición de valor extremo de la función potencial V, y por
tanto, puede expresarse que: “las condiciones de equilibrio se encuentran en los puntos que el
potencial tiene una valor extremo”, que constituye el teorema de Lejeune-Dirichlet. Debido al
convenio adoptado por el cual la fuerza va dirigida en sentido contrario al gradiente de potenciales
(F= - V), es decir hacia los potenciales decrecientes, resulta:
- En los mínimos de potencial, el equilibrio es estable.
- En los máximos de potencial, el equilibrio es inestable.
- En las zonas de potencial uniforme (superficies equipotenciales), el equilibrio es indiferente.
4. EQUILIBRIO DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS
En general, un sistema de puntos materiales estará en equilibrio respecto de un sistema de
referencia, cuando lo esté cada uno de los puntos que lo integran. Como un punto está en
equilibrio cuando es nula la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él, resulta: un sistema
de puntos está en equilibrio cuando es nula la resultante de las fuerzas que actúan sobre cada
punto, resultando pues que la condición de equilibrio para un sistema de n puntos:
i iDenominando como F a la resultante de las fuerzas interiores sobre el punto i genérico, y a Fin ex
a la resultante de las fuerzas exteriores sobre el punto i. La condición de equilibrio para el sistema
se podrá expresar como:
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estática del punto y de los sistemas
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(8)
(9)
Sumando las n ecuaciones, teniendo en cuenta que las fuerzas interiores, de acuerdo con el
principio de acción y reacción son parejas de fuerzas iguales y opuestas, se tiene:
Es decir si el sistema está en equilibrio, la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre
sobre el sistema ha de ser nula. Esta condición es una condición necesaria para que exista
equilibrio pero no es suficiente, ya que en general hace falta alguna condición más. Así, en el caso
de que el sistema sea un sólido rígido, como se comentará más adelante, las condiciones de
equilibrio, necesarias y suficientes, son que la resultante de las fuerzas exteriores sea nula y el
momento resultante de las fuerzas exteriores, sea también nulo.
5. EQUILIBRIO DEL PUNTO Y DE LOS SISTEMAS SOMETIDOS A ENLACES:
PRINCIPIOS DE AISLAMIENTO Y DE LA FRAGMENTACIÓN
El principio de aislamiento nos dice que todo punto material o sistema de puntos materiales
sometido a enlaces, puede considerarse como libre y suprimir los enlaces sin más que considerar
además de las fuerzas directamente aplicadas las acciones que los enlaces ejercen sobre él. De esta
manera, al estudiar el equilibrio de un punto o sistema sometido a enlaces, podemos considerar
dicho punto o sistema como libre considerando que sobre éste actuarán las fuerzas directamente
aplicadas y las fuerzas de reacción de los enlaces.
Para entender mejor esto, supongamos una partícula o punto material A de peso P, que está sujeto
1 2a dos puntos fijos O y O mediante cables, tal como se muestra en la figura. Los cables actuarán
como enlaces del punto impidiendo el movimiento de éste. Para analizar el equilibrio del punto,
consideraremos a éste como libre pero sometido a la fuerza directamente aplicada de su peso P
1 2y a las reacciones de los enlaces: T y T , las cuales son las tensiones en los cables respectivos,
la condición de equilibrio será:
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estática del sólido rígido
23
(10)
(11)
Esta ecuación vectorial se desdobla en las ecuaciones escalares:
2
Resultando un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas que nos permite determinar las tensiones en los
1 2cables T y T , estas tensiones son las reacciones de
enlace debidas al cable.
El principio de la fragmentación establece que: si un
sistema está en equilibrio y lo fragmentamos en varios
subsistemas, cada uno de ellos debe estar también en
equilibrio. Para ello las fuerzas exteriores que actúan
sobre cada subsistema deben de constituir un sistema
nulo, teniendo en cuenta que pasan a ser fuerzas exteriores del subsistema las fuerzas que, siendo
interiores en el sistema total, ejercen los fragmentos suprimidos sobre el considerado.
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estática del sólido rígido
24
ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
1. POSTULADOS FUNDAMENTALES
2. EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO LIBRE
3. EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO SOMETIDO A ENLACES. EQUILIBRIO DE
SISTEMAS DE SÓLIDOS
4. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
4.1. Método de los nudos
4.2. Ejemplo
5. ENTRAMADOS Y MÁQUINAS
6. FUERZAS DISTRIBUIDAS
6.1. Fuerzas distribuidas en vigas
6.2. Fuerzas distribuidas en superficies por acción de fluidos
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estática del sólido rígido
25
Figura 1. Principio de transmisibilidad.
1. POSTULADOS FUNDAMENTALES
Como sabemos un sólido rígido es un sistema material en el que la distancia entre dos puntos
cualesquiera permanece constante, ello equivale a aceptar que el sistema es indeformable. Aunque
los cuerpos reales se deforman bajo la acción de las fuerzas que le son aplicadas, tales
deformaciones son normalmente lo suficientemente pequeñas para no alterar el estado de reposo
o movimiento de los cuerpos.
La Estática del Sólido Rígido, se basa en los siguientes postulados, fundamentales:
1. Postulado de las dos fuerzas iguales y directamente opuestas: El estado de un sólido rígido no
se modifica si se aplican o se suprimen, dos fuerzas iguales y opuestas que tengan la misma línea
de acción.
De este postulado, consecuencia de la indeformabilidad del sólido rígido, se deduce el principio
de transmisibilidad: El efecto que una fuerza ejerce sobre un sólido rígido, no se modifica si se
traslada dicha fuerza a otro punto cualquiera de su línea de acción. En efecto, consideremos un
sólido rígido sobre el que actúa una fuerza F aplicada en el punto A. De acuerdo con el postulado
de las dos fuerzas iguales y directamente opuestas el estado del sólido no se modifica si
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estática del sólido rígido
26
introducimos dos fuerzas F y -F aplicadas en el punto B. Teniendo en cuenta que la fuerza F
aplicada en A y -F aplicada en B son iguales y directamente opuestas, pueden suprimirse sin que
se altere el estado del sólido. El resultado es equivalente a haber trasladado la fuerza F al punto
B, de su misma línea de acción.
El principio de transmisibilidad equivale a considerar que las fuerzas aplicadas a un sólido rígido
se comportan como vectores deslizantes.
2. Postulado de las fuerzas concurrentes: El efecto que produce en un sólido rígido la aplicación
de un sistema de fuerzas concurrentes en un punto, es equivalente al de una sola fuerza aplicada
en dicho punto, siempre que ésta sea la resultante de aquel sistema de fuerzas.
Obsérvese que, de acuerdo con el principio de transmisibilidad, la aplicación del postulado de las
fuerzas concurrentes no requiere exactamente que las fuerzas estén actuando sobre el mismo
punto, sino simplemente que sus líneas de acción sean concurrentes en un punto.
2. EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO LIBRE
Entendemos como grados de libertad (GDL) de un sistema a su capacidad de evolucionar o
moverse en el espacio. El concepto de grado de libertad del sistema está íntimamente relacionado
con el de coordenada generalizada (CG). Las coordenadas generalizadas de un sistema son una
serie de parámetros que nos permiten conocer la posición de éste en un determinado instante. El
número de grados de libertad de un sistema coincide con el número de coordenadas generalizadas
que necesitamos para conocer su posición. Se entiende siempre que este número es siempre el
mínimo necesario.
El sistema material más sencillo es el formado por una partícula o punto material. En el espacio
tridimensional, este sistema presenta tres grados de libertad (3 GDL), que corresponden al
movimiento en las tres dimensiones del espacio. Las coordenadas generalizadas que necesitamos
A A A para definir la posición una partícula A, son sus tres coordenadas A(x ,y ,z ).
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27
Figura 2. Sistemas rígidos formados por una partícula, dos partículas y tres partículas.
(1)
A A A B B BSupongamos a continuación un sistema formado por dos partículas A(x ,y ,z ) y B(x ,y ,z ),
1separados por una varilla rígida de longitud d . Este sistema presenta 5 GDL correspondientes a
las seis coordenadas cartesianas que necesitamos en principio para conocer la posición de los
puntos, a las que tenemos que restarle una, correspondiente a la restricción impuesta por el enlace
1de la varilla que obliga a las partículas a mantener siempre una distancia constante d . Esta
restricción se puede expresar matemáticamente mediante la siguiente ecuación:
Necesitaremos por tanto 5 CG para fijar la posición del sistema en el espacio que serán cualquiera
de las cinco coordenadas cartesianas entre las seis totales que tienen los dos puntos, ya que la
ecuación (1) nos permitirá conocer la sexta CG conocidas cinco coordenadas cartesianas.
A A A B B BSupongamos a continuación un sistema formado por tres partículas A(x ,y ,z ), B(x ,y ,z ) y
C C C 1C(x ,y ,z ), A y B están separados por una varilla rígida de longitud d , B y C están separados
2 3 por otra varilla de longitud d y C y A están separados por otra varilla de longitud d . El sistema
tendrá 6 GDL correspondientes a las nueve coordenadas cartesianas de los puntos menos, menos
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estática del sólido rígido
28
(2)
(3)
tres correspondientes a las restricciones impuestas por los enlaces de las varillas que obligan a las
partículas A, B y C a mantener siempre una distancia constante entre cualquier pareja de entre las
tres. Necesitaremos por tanto 6 CG para fijar la posición del sistema en el espacio que serán
cualquiera de las seis coordenadas cartesianas entre las nueve totales que tienen los tres puntos.
Para un número mayor de partículas, unidas rígidamente a las anteriores, el sistema presentará
siempre 6 GDL puesto que cada nueva partícula introduce tres nuevas coordenadas y 3 nuevas
restricciones o ecuaciones de enlace interno, pudiendo pues afirmar que un sólido rígido presenta
6 GDL, siendo necesario 6 CG para fijar su posición en el espacio.
Cinemáticamente hablando, los 6 GDL de un sólido rígido, pueden hacerse corresponder con tres
movimientos de traslación, según las direcciones de los tres ejes del sistema de referencia, y tres
movimientos de rotación, alrededor de los tres ejes. En consecuencia, las condiciones de equilibrio
del sólido rígido coinciden con la anulación de tales movimientos y vienen expresadas por:
x y zSiendo F , F y F las componentes de la resultante del sistema de fuerzas solicitantes que actúan
Ax Ay Azsobre el sólido y M , M y M las componentes del momento resultante del sistema respecto
de un punto cualquiera A.
Estas seis ecuaciones escalares de equilibrio, se pueden concentrar en dos ecuaciones vectoriales:
Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones universales del equilibrio del sólido rígido y nos
dicen pues que la condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido libre esté en equilibrio
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estática del sólido rígido
29
(4)
es que sean nulos la resultante y el momento resultante respecto de cualquier punto del espacio,
del sistema de fuerzas exteriores directamente aplicadas al sólido.
En el caso particular, pero bastante frecuente en la práctica, de trabajar en un sistema de ejes
bidimensional Oxy, las seis ecuaciones escalares de equilibrio se transforman en tres:
3. EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO SOMETIDO A EN LACES. EQUILIBRIO DE
SISTEMAS DE SÓLIDOS
En el caso de sólido rígido con enlaces o ligaduras, podemos aplicar el principio de aislamiento,
suprimiendo los enlaces y considerando las acciones que estos ejercen sobre el sólido. Al estudiar
el equilibrio, aplicaremos las condiciones de equilibrio del sólido rígido libre, teniendo en cuenta
las fuerzas directamente aplicadas y las fuerzas de reacción producidas por los enlaces. En la
figura (3) se muestran las características de las fuerzas de reacción para algunos tipos de enlace
frecuentes en la práctica.
En general, las fuerzas directamente aplicadas son conocidas, siendo las incógnitas las fuerzas de
reacción, cuando las ecuaciones de equilibrio son suficientes para determinar las reacciones,
decimos que el problema es isostático o que está estáticamente determinado. Por el contrario si
el número de incógnitas o reacciones es superior al de ecuaciones de equilibrio, decimos que el
problema está estáticamente indeterminado o es hiperestático. El estudio de los problemas
hiperestáticos se efectúa a partir de las condiciones de deformación impuestas por el enlace y su
estudio está fuera del ámbito de la Estática Teórica contemplándose dentro de la materia conocida
en ingeniería como Elasticidad y Resistencia de Materiales.
Consideremos a continuación el caso de un sistema formado por varios sólidos rígidos unidos
entre sí mediante enlaces. A partir de los principios de aislamiento y fragmentación, este problema
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estática del sólido rígido
30
Figura 3. reacciones en algunos tipos de enlace
se reduce a estudiar el equilibrio de cada uno de los sólidos que componen el sistema,
considerando que sobre cada uno de ellos actúan las fuerzas directamente aplicadas y las fuerzas
de reacción producidas por las acciones que el resto del sistema ejerce sobre cada sólido a través
de los enlaces.
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31
Figura 4. Estructuras articuladas.
(5)
4. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
4.1. Método de los nudos
Muchas de las construcciones que nos rodean, tales como puentes, grúas, cubiertas, etc,
constituyen ejemplos de estructuras articuladas, las cuales están formadas por barras unidas en
sus extremos mediante articulaciones o nudos.
Las estructuras articuladas pueden ser planas o espaciales. Por ser mas sencillo su tratamiento,
nos ocuparemos sólo de estas últimas, también conocidas como cerchas. Una estructura
articulada, se puede formar a partir de tres barras unidas por pasadores en sus extremos formando
un triángulo y añadiendo dos nuevas barras por cada nudo nuevo, de manera que es posible
establecer una relación sencilla entre el número de nudos n y el número de barras b :
Las estructuras articuladas así formadas tienen la particularidad de poderse estudiar aplicando las
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32
Figura 5. Fuerzas sobre un nudo.
ecuaciones de la estática, con objeto de determinar los esfuerzos en las barras y poder proceder
a su dimensionamiento, recibiendo el nombre de estructuras articuladas isostáticas.
Para el estudio de las estructuras articuladas isostáticas, supondremos que se cumplen las
siguientes condiciones:
1. Las barras están unidas en sus extremos mediante pasadores sin fricción.
2. Las cargas y reacciones están aplicadas en los nudos.
3. El eje de cada barra es recto, coincidiendo con la línea que une los centros de los nudos en cada
extremo de la barra. Las barras están en el plano que contienen las líneas de acción de todas las
cargas y reacciones.
El método de los nudos es un procedimiento para determinar las acciones que las barras ejercen
sobre los nudos, que serán iguales a las reacciones internas de los nudos sobre las barras pero de
sentido contrario, de acuerdo con el principio de acción y reacción.
Supongamos el nudo de la figura en el que concurren tres barras y hay una carga vertical exterior
1 2 3P, sean S , S y S , las fuerzas de reacción interna del nudo sobre las barras, el nudo estará en
1equilibrio sometido a la carga P y a las fuerzas o acciones de las barras sobre el nudo iguales a S ,
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33
(6)
2 3S y S en módulo pero con sentido opuesto.
Como convenio se ha supuesto inicialmente que las barras trabajan a tracción, es decir que cada
barra está sometida a dos fuerzas iguales y opuestas, dirigidas según la dirección de la barra, y que
tienden a estirar la barra. Al representar las fuerza sobre el nudo, la flecha tenderá a alejarse del
nudo, posteriormente una vez efectuados los cálculos se determinará el valor de cada fuerza con
el signo correspondiente. Si el signo es positivo, la barra trabaja efectivamente a tracción y si es
negativo la barra trabaja a compresión, en este caso las fuerzas en los extremos de la barra tienden
a comprimir ésta.
Tanto las barras como los nudos han de estar en equilibrio, en lo que respecta a las barras esto
significa como se ha explicado que las fuerzas que actúan sobre los extremos de la barra son
iguales y opuestos y orientados según la dirección de la barra.
En lo que respecta a los nudos, se cumplirán las condiciones de equilibrio estático para todas las
fuerzas que actúan sobre él: acciones internas de las barras concurrentes y fuerzas exteriores. Para
1 2 3el nudo de la figura, las fuerzas actuantes en módulo serán: P, S , S y S , de manera que las
condiciones de equilibrio, serán:
Aplicando estas ecuaciones a los n nudos de la estructura, tendríamos 2.n ecuaciones, cuyas
incógnitas serían los esfuerzos de las b barras. Como la estructura es isostática, el número de
barras es: b=2.n-3, disponiendo pues de 3 ecuaciones más que incógnitas, que podemos utilizar
como comprobación de los resultados obtenidos. Es conveniente comenzar el análisis de acuerdo
con un orden, empezando siempre con un nudo en el que concurran dos barras de forma que
podamos resolver directamente el sistema de dos ecuaciones.
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Figura 6. Estructura articulada. Diagramas de equilibrio de los nudos.
(7)
4.2. Ejemplo
Vamos a continuación a analizar la estructura de la figura. En primer lugar hay que determinar
las reacciones en los apoyos A y B. El apoyo A es articulado-fijo, de manera que existirá una
A Areacción con dos componentes H y V , mientras que el apoyo B es articulado móvil, existiendo
Búnicamente una reacción vertical V . Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
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35
(8)
(9)
(10)
(11)
De donde:
Para calcular el valor de los esfuerzos en cada una de las barras, podemos comenzar por el nudo
A o B, pues en ambos concurren dos barras. Comencemos por el nudo A:
A 1 2Como V es conocido, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (S ,S ),
resultando:
A continuación, podemos pasar al nudo D:
2Sustituyendo por el valor calculado de S , tenemos:
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(12)
(13)
(14)
Nos queda finalmente por determinar el esfuerzo en la barra 4, considerando el equilibrio del nudo
C:
1Sustituyendo el valor de S calculado anteriormente, resulta:
yLa otra ecuación que podríamos aplicar al nudo C: (ÓF = 0) y las dos ecuaciones de equilibrio
para B, nos servirán de comprobación.
5. ENTRAMADOS Y MÁQUINAS
Al estudiar las estructuras articuladas, se consideraba que las cargas exteriores estaban aplicadas
en las articulaciones, las cuales estaban situadas en los extremos de las barras, de esta manera, las
barras estaban sometidas únicamente a esfuerzos de tracción o compresión en sus extremos, esto
es a fuerzas iguales y opuestas que tienen la dirección de la barra y que tienden a estirar o
comprimir ésta.
Sin embargo, es frecuente el caso de estructuras cuyas barras están sometidas a fuerzas en algún
punto intermedio de las mismas, pudiendo ser dicha fuerza, bien exterior, o bien producida por
la unión de otra barra o elemento de la estructura. Cuando esto sucede aparecen solicitaciones
de flexión, a este tipo de estructuras se les conoce como entramados. Los entramados son pues
estructuras que se proyectan para soportar cargas y son normalmente sistemas mecánicos fijos.
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estática del sólido rígido
37
Figura 7. Análisis de un entramado. Diagramas de fuerzas de las diferentes piezas.
Las máquinas son sistemas mecánicos que se proyectan para transformar y modificar fuerzas,
presentando piezas móviles. Al igual que ocurre en los entramados, en las máquinas pueden
también aparecer piezas sometidas a fuerzas en puntos intermedios.
Para analizar estáticamente estos sistemas, el procedimiento que se emplea es aislar cada una de
las piezas o barras aplicando las condiciones de equilibrio estático.
Consideremos el caso del entramado de la figura. El conjunto forma un entramado rígido
sometido a una carga exterior directamente aplicada W y las fuerzas de reacción en los apoyos
o enlaces. En este caso el conjunto está apoyado mediante un empotramiento en la base de la
A A A barra AC , apareciendo una reacción horizontal H , una reacción vertical V y un momento M ,
pudiendo plantear las ecuaciones de equilibrio del conjunto del entramado, resultado un sistema
de tres ecuaciones con tres incógnitas, que son las reacciones en los apoyos.
Una vez determinadas las fuerzas de reacción, conocemos todas las acciones exteriores y
podemos pasar a analizar cada pieza por separado. Sobre la barra AC actuarán las fuerzas en el
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estática del sólido rígido
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Figura 8. Análisis de fuerzas de una máquina alternativa.
A A A x yapoyo: H , V y M ya conocidas, las reacciones en el pasador B: B y B y la reacción debida
Ca la tensión del cable T , desconocida en módulo, pero conocida en dirección, establecida por el
cable. Al plantear las ecuaciones de equilibrio, tendremos un sistema de tres ecuaciones con tres
x y C,incógnitas: B , B y T que podemos resolver.
A continuación, podemos pasar a estudiar el equilibrio de la barra BD. La barra BD estará
x ysometida a la carga directamente aplicada W conocida, a las reacciones en el pasador B: B y B
Dconocidas, iguales y opuestas a las reacciones en B sobre AC, la tensión del cable en D: T , igual
C,y opuesta a T siendo pues todas las fuerzas conocidas, no obstante se pueden emplear las
condiciones de equilibrio de BD para comprobar los valores ya calculados de las fuerzas.
Las máquinas, como se ha comentado, están formadas por medio de barras y piezas mecánicas,
unidas mediante articulaciones, presentando además movilidad. La máquina alternativa de la figura
está formada por el conjunto pistón-biela-manivela. La manivela AB puede efectuar un giro
completo alrededor de A, mientras que el pistón C describe un movimiento alternativo de vaivén.
Suponemos que sobre el pistón C actúa una fuerza horizontalP, deseamos determinar el momento
M que hay que aplicar en el eje de la manivela en A para que el sistema esté en equilibrio, así
como el resto de las fuerzas en los pasadores y articulaciones.
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Si consideramos el equilibrio del conjunto, tendremos una fuerza directamente aplicada P sobre
C, conocida, un momento de giro M sobre la manivela AB, desconocido y las reacciones en la
x y yarticulación A: A , A desconocidas así como la reacción vertical sobre el pistón C: C , también
desconocida, de manera que si planteamos el equilibrio del conjunto tendremos un sistema de tres
ecuaciones con cuatro incógnitas, teniendo que pasar a estudiar cada pieza por separado.
Podemos comenzar estudiando el equilibrio del pasador C que une el pistón con la biela, sobre
yesta pieza actúa la fuerza exterior P conocida, la reacción vertical desconocida C del soporte y
BCla reacción de la barra F , desconocida en módulo pero que tiene la dirección de la barra, al no
estar ésta sometida a esfuerzos intermedios. Dado que se trata de una pieza puntual podemos
aplicar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, resultando un sistema de dos ecuaciones con dos
BC yincógnita: F y C , que podemos resolver fácilmente.
A continuación podemos pasar a estudiar el equilibrio de la barra BC, dado que se trata de una
barra articulada sin esfuerzos intermedios, estará sometida a dos fuerzas iguales y opuestas
aplicadas en las articulaciones cuya dirección será la de la barra. Así en C tendremos la fuerza
CB BC BCF igual y opuesta a F ya calculada y en B, tendremos la fuerza F .
A continuación podemos pasar a estudiar el equilibrio de la manivela AB: en B tendremos la
CB x yfuerza F , conocida, las reacciones en A: A y A , desconocidas y el momento M también
desconocido. Las tres condiciones de equilibrio estático, nos permitirán determinar estas fuerzas.
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Figura 9. Carga o fuerza distribuida sobre una viga.
6. FUERZAS DISTRIBUIDAS
6.1. Fuerzas distribuidas en vigas
Las fuerzas que actúan sobre sólidos pueden ser concentradas (cuando se pueden representar
mediante un vector deslizante) o repartidas. Cuando la fuerza es concentrada o puntual, está
aplicada en un punto del sólido, o punto de aplicación de la fuerza, el cual se puede trasladar a
cualquier otro sobre la línea de acción de la fuerza sin alterar su efecto; sin embargo cuando la
fuerza es de tipo distribuido, se aplica sobre una superficie o a lo largo de una longitud. Un caso
típico lo constituye una fuerza o carga distribuida sobre una viga, como se muestra en la figura.
En este caso p=p(x), representa una carga distribuida según la longitud de la viga, esta carga
corresponde a una fuerza por unidad de longitud, cuyo valor va variando según el punto o sección
considerado de la viga, definido por la abscisa x, que representa la distancia del punto o sección
al extremo izquierdo de la viga. La carga distribuida puede estar originada por un peso, la acción
del viento, la presión de un fluido, etc.
Una carga distribuida equivale a un sistema de infinitos vectores fijos paralelos, siendo el módulo
de cada vector la fuerza puntual elemental: dP=p(x).dx, la carga total sobre la viga será la
resultante del sistema cuyo módulo vendrá dado por la integral de la expresión anterior:
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41
(15)
(16)
Figura 10. Carga hidrostática sobre una superficie plana.
Esto equivale también a decir que la resultante o carga total equivale al área de la función de
distribución de presiones. Esta resultante estará aplicado en el cdg de la distribución de carga,
cuya posición viene dada por:
Las fuerzas distribuidas, no sólo pueden aparecer en el estudio de vigas, sino en otros muchos
casos, como superficies sumergidas en el interior de fluidos, tal como veremos en el subapartado
siguiente, o en el estudio de la mecánica de hilos, como veremos en un tema posterior.
6.2. Fuerzas distribuidas en superficies debidas a la acción de fluidos
Otra aplicación importante en mecánica de las fuerzas distribuidas son las originadas por la
presión hidrostática de un fluido sobre una superficie. De acuerdo con las leyes de la mecánica
de los fluidos, la presión hidrostática en un punto en el interior de un fluido, viene dada por la
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estática del sólido rígido
42
expresión: p = ñ.g.h, siendo ñ la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad y h la
distancia del punto considerado a la superficie del fluido.
Consideremos la superficie plana rectangular AB sumergida en el interior del líquido, para mayor
comodidad, supondremos que la anchura de esta superficie (medida perpendicularmente al plano
del papel) es la unidad, de manera la presión del líquido sobre la superficie varía linealmente desde
A A B B p = ñ.g.h en el extremo superior A, a p = ñ.g.h en el extremo inferior B, si multiplicamos la
presión por la anchura de la superficie obtenemos una fuerza de tipo distribuido similar a la que
se obtiene en una viga, con una distribución de tipo trapezoidal. La carga total sobre la superficie,
P, será la resultante de la fuerza, correspondiente a un sistema de vectores fijos paralelos, aplicada
en el centro del sistema, en este caso el cdg G del trapecio, siendo pues aplicables las fórmulas
ya vistas para el caso de cargas distribuidas en vigas, al punto de aplicación de la carga, se
denomina también centro de presiones. Por comodidad, la carga distribuida trapezoidal se puede
sustituir por dos cargas: una uniforme o rectangular y otra triangular, equivalentes a dos cargas
puntuales aplicadas en los cdg de las distribuciones respectivas, tal como se muestra en la figura.
El estudio de las fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva, presenta en principio una mayor
dificultad, ya que la presión y por tanto la fuerza correspondiente actúa perpendicularmente a la
superficie, no siendo admisible en este caso la hipótesis de un sistema de vectores fijos paralelos,
como en el caso de una superficie plana. En este caso el problema se puede estudiar de acuerdo
con el siguiente procedimiento: supongamos la superficie curva de anchura unidad AB, podemos
considerar en nuestro estudio el volumen ACB, de manera que AC es una superficie plana
horizontal y CB es una superficie plana vertical, si aislamos el fluido contenido en dicho volumen
y consideramos las fuerzas que actúa en las diferentes caras, tendremos que el efecto de la presión
sobre AB es equivalente al efecto de la presión sobre AC, el cual corresponde a una distribución
Auniforme vertical p , mas el efecto de la presión sobre CB, el cual corresponde a una distribución
A Btrapezoidal o lineal, horizontal, variando de p a p , mas el peso del fluido contenido en el
volumen ACB, tal como se muestra en la figura.
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estática del sólido rígido
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Figura 11. Carga hidrostática sobre una superficie curva.
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estática analítica
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TEMA: ESTÁTICA ANALÍTICA
1. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
2. PRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES
3. COORDENADAS GENERALIZADAS O LAGRANGIANAS
4. ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
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estática analítica
45
Figura 1. Desplazamiento virtual de un punto.
(1)
(2)
(3)
1. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
1,Consideremos un sistema de puntos materiales que en un instante dado ocupan las posiciones P
2 i nP , ..P ,....P , a todo posible desplazamiento del sistema a partir de la posición inicial, compatible
con los enlaces o ligaduras, se le denomina desplazamiento virtual del sistema. El desplazamiento
virtual es un desplazamiento hipotético y constituye simplemente una forma de razonar.
Un desplazamiento elemental virtual del sistema se obtiene dando a sus puntos desplazamientos
ielementales arbitrarios, que representaremos por är para distinguirlos de los desplazamientos
ielementales reales, representados por dr , si bien a efectos matemáticos el desplazamiento
i i i ielemental virtual equivale a un diferencial. Para el punto P (x ,y ,z ) el desplazamiento elemental
virtual viene dado por:
Consideremos un punto genérico del sistema
i iP y sea F la resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre dicho punto. Si el sistema
iestá en equilibrio, dicha resultante, como sabemos será nula: F = 0 y en consecuencia el trabajo
i i producido por F en su correspondiente desplazamiento virtual är , denominado trabajo virtual
será:
La suma de los trabajos para todos los puntos del sistema será:
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estática analítica
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(4)
(5)
La ecuación anterior constituye el principio de los trabajos virtuales: la condición necesaria y
suficiente para que un sistema material esté en equilibrio en una determinada posición es que para
todo desplazamiento virtual del sistema compatible con los enlaces, la suma de los trabajos
virtuales de las fuerzas actuantes sea nula.
La condición dada por la ecuación (3) es necesaria, ya que si el sistema está en equilibrio se tiene
ique cumplir que F = 0, i=1..n, y en consecuencia la suma de los trabajos virtuales es nula: äW=0,
i para cualquier desplazamiento virtual är .
La condición es así mismo suficiente, es decir si se cumple äW=0, el sistema se encuentra en
iequilibrio y en consecuencia F = 0, i=1..n, ya que de no ser así el trabajo virtual de las fuerzas
actuantes sería igual, por el teorema de la energía cinética, a la variación de la energía cinética del
sistema cuyo valor es forzosamente positivo:
iEsta conclusión está en contradicción con la hipótesis inicial äW=0, salvo que v =0, i=1..n, es
decir salvo que el sistema esté en equilibrio.
Tratemos a continuación de obtener un enunciado más específico del principio de los trabajos
virtuales cuando el sistema es un sólido rígido sometido a enlaces holónomos sin rozamiento. Las
ifuerzas que actúan sobre un punto del sistema material son: 1) fuerzas exteriores F , 2) fuerzasex
iinteriores F . Las fuerzas exteriores pueden ser a su vez :1.1) fuerzas solicitantes o directamentein
iaplicadas F , y 1.2) fuerzas de reacción producidas por los enlaces de acuerdo con el principios
ide aislamiento F . De manera que si el sistema está en equilibrio:r
Resultando la ecuación del principio de los trabajos virtuales:
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estática analítica
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(6)
(7)
Si los enlaces son holónomos y sin rozamiento, el trabajo virtual de las fuerzas de reacción es
nulo, äW =0, puesto que las reacciones son normales a los desplazamientos virtuales contenidosr
en las superficie de enlace, si el sistema es un sólido rígido se tiene además que äW =0, puestoin
que para cualquier desplazamiento virtual las fuerzas internas producen producen parejas de
trabajos iguales y opuestos. Por tanto para sólidos rígidos sometidos a enlaces holónomos y sin
rozamiento el principio de los trabajos virtuales queda reducido a la siguiente ecuación:
Lo cual nos permite enunciar el principio de los trabajos virtuales para este caso en particular: la
condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido (o sistema de sólidos rígidos) sometido
a enlaces holónomos y sin rozamiento esté en equilibrio en una determinada posición es que, para
cualquier desplazamiento virtual del sistema compatible con los enlaces, la suma de los trabajos
virtuales de las fuerzas solicitantes sea nula.
El principio de los trabajos virtuales nos permite determinar las posiciones de equilibrio de un
sólido rígido sin necesidad de tener que considerar las fuerzas de reacción, permitiendo una
aplicación en general más sencilla que mediante el método de las ecuaciones de equilibrio del
sólido, también denominado método de las reacciones.
2. PRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES
El principio de las potencias virtuales, también denominado de las velocidades virtuales, es otra
forma de expresar el principio de los trabajos virtuales para un sólido rígido y presenta un especial
interés en el estudio dinámico de sistemas mecánicos. Supongamos que el sistema experimenta
un desplazamiento elemental virtual en un intervalo de tiempo elemental ät. Dividiendo por ät la
ecuación del principio de los trabajos virtuales:
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(8)
(9)
(10)
iDenominando N a la potencia virtual del sistema yv * a la velocidad virtual de una partícula del*
sistema:
Resulta:
Esta expresión constituye el principio de las potencias virtuales, también llamado de las
velocidades virtuales: la condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido (o sistema de
sólidos rígidos) esté en equilibrio en una posición determinada es que la potencia virtual de las
fuerzas solicitantes en dicha posición sea nula para todas las velocidades virtuales compatibles con
los enlaces.
3. COORDENADAS GENERALIZADAS O LAGRANGIANAS
La aplicación del principio de los trabajos virtuales se simplifica notablemente con el uso de las
denominadas coordenadas generalizadas o lagrangianas. Las coordenadas generalizadas son los
parámetros mínimos que nos permiten determinar la posición de un sistema material en el espacio.
El número de coordenadas generalizadas coincide con el número de grados de libertad del sistema
que nos indica las posibilidades de evolución del sistema en el espacio.
En el sistema de la figura, se presenta una varilla homogénea AB de peso P y longitud l, en donde
los extremos A y B deslizan sobre los planos de la figura, horizontal y vertical. La varilla está
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estática analítica
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colgando de un resorte vertical fijado al
extremo B, de manera que el resorte no
presenta deformación cuando la varilla está
completamente vertical. La varilla está sometida
a dos fuerzas directamente aplicadas: el peso P
By la fuerza F del resorte. Se trata de un sistema
de un grado de libertad en donde una elección
adecuada de la coordenada generalizada puede
ser el ángulo è que define la inclinación de la
varilla respecto de la vertical. Resultando de
acuerdo con el principio de los trabajos
virtuales, suponiendo el sistema de ejes fijo o
inercial de la figura:
Aplicando el principio de los trabajos virtuales, obtenemos las condiciones de equilibrio:
Al término entre paréntesis de la condición de equilibrio que aparece multiplicado por äè, se le
denomina fuerza generalizada. Teniendo en cuenta que la condición de equilibrio se obtiene para
cualquier valor de la variación elemental de la coordenada generalizada äè, resultando dos
posiciones de equilibrio:
Figura 2. Coordenadas generalizadas.
(11)
(12)
(13)
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(14)
(15)
(16)
(17)
En un caso mas general de un sistema de m grados de libertad, tendremos m coordenadas
igeneralizadas, en este caso, las coordenadas generalizadas se suelen representar por q , i=1....m.
iDe acuerdo con esto el vector de posición de un punto P del sistema, se podrá expresar en
función de las coordenadas generalizadas:
El desplazamiento elemental virtual, teniendo en cuenta que equivale a un diferencial, se podrá
expresar:
Con lo que la ecuación del principio de los trabajos virtuales resulta:
A los coeficientes:
Se les denomina fuerzas generalizadas, con lo que el principio de los trabajos virtuales también
se puede expresar como:
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51
(18)
(19)
(20)
(21)
k Al ser las variaciones elementales de las coordenadas generalizadas äq independientes entre sí,
pudiendo tomar cualquier valor infinitesimal, teniendo pues un sistema de m ecuaciones, obtenido
al igualar a cero las fuerzas generalizadas, con m incógnitas, que son las coordenadas
generalizadas, lo cual nos permitirá determinar la posición de equilibrio del sistema.
4. ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
iSi la resultante F de las fuerzas que actúan sobre cada uno de los puntos del sistema deriva de
iun potencial V, podemos expresar dicho potencial en función de las coordenadas generalizadas:
Si el sistema se encuentra en equilibrio en una posición determinada y se consideran los
desplazamientos virtuales del sistema compatibles con las ligaduras, de acuerdo con los trabajos
virtuales, se tiene:
Al ser la variación del trabajo elemental igual a la variación del potencial con signo negativo;
isiendo ademas el potencial total la suma de los potenciales de las fuerzas V=V . Por otro lado,
la variación elemental del potencial se puede expresar a partir de los desplazamientos elementales
virtuales:
De manera que las condiciones de equilibrio se pueden expresar:
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(22)
Teniendo en cuenta que estas ecuaciones son igualmente las condiciones de valor máximo,
mínimo o estacionario de la función potencial, se concluye el teorema de Lejeune-Dirichlet: Las
posiciones de equilibrio de un sistema sometido a fuerzas de tipo conservativo, corresponden a
los máximos, mínimos y valores estacionarios del potencial. Este teorema es igualmente válido
para un sólido rígido o sistema de sólidos rígidos en el que las fuerzas directamente aplicadas
derivan de un potencial.
iiPuesto que las fuerzas van dirigidas en el sentido de los potenciales decrecientes, F = - V , los
mínimos del potencial, corresponden a las posiciones de equilibrio estable, los máximos a las
posiciones de equilibrio inestable y los valores estacionarios (potencial constante) a posiciones
de equilibrio indiferente.
En el caso de sistemas con un sólo grado de libertad, la función potencial dependerá de un sólo
parámetro o coordenada generalizada q, resultando V=V(q) y las condiciones de equilibrio estable
serán los mínimos de V(q):
Para el ejemplo de la varilla AB, la función potencial y la condición de equilibrio:
En donde la condición de equilibrio coincide con la obtenida aplicando el método de los trabajos
(23)
(24)
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estática analítica
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(25)
1 2virtuales. Para sistemas con dos grados de libertad, la función potencial será de tipo: V=V(q ,q )
1 2y las posiciones de equilibrio estable corresponden a las parejas de valores (q ,q ) que satisfacen
simultáneamente las condiciones:
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estática de hilos
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ESTÁTICA DE HILOS
1. INTRODUCCIÓN: CONCEPTO DE HILO. PRINCIPIO DE SOLIDIFICACIÓN
2. HILO SOMETIDO A CARGAS CONCENTRADAS
3. HILO SOMETIDO A CARGA VERTICAL DISTRIBUIDA POR UNIDAD DE
LONGITUD
3.1. Ecuación de equilibrio
3.2. Propiedades
3.3. Estudio de diversos casos prácticos
4. HILO SOMETIDO A CARGA VERTICAL DISTRIBUIDA POR UNIDAD DE
ABSCISA
4.1. Ecuación de equilibrio
4.2. Propiedades
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estática de hilos
55
(1)
Figura 1. Diagrama de sólido libre deun segmento de hilo
1. INTRODUCCIÓN: CONCEPTO DE HILO. PRINCIPIO DE SOLIDIFICACIÓN
Se denomina sólido funicular o hilo a todo sólido deformable cuya longitud es muy grande
comparada con las dimensiones de su sección transversal y tal que adopta configuraciones de
equilibrio en las cuales sus secciones transversales están sometidas únicamente a esfuerzos de
tracción, es decir su rigidez a flexión es prácticamente nula. En todo lo que sigue supondremos
que su rigidez a tracción es infinita, esto es que no experimentan alargamientos bajo solicitaciones
de tracción (son inextensibles). Responden a estas consideraciones los cables, cadenas, correas,
etc.
Para el estudio del equilibrio de los hilos estableceremos la hipótesis de que en la configuración
de equilibrio, se comportan como sólidos rígidos (principio de solidificación) y, en consecuencia,
deberán de satisfacer las condiciones de equilibrio de los sólidos rígidos:
Al analizar el equilibrio de un hilo es por tanto aplicable el
principio de fragmentación. Considerando una porción de
hilo de longitud s sometido a un sistema de fuerzas cuya
resultante sea F. Al aislar el elemento de hilo considerado,
1debemos introducir en sus extremos sendas fuerzas T y
2T de tracción que se denominan tensiones de hilo y son
tangentes a la curva de equilibrio del hilo en sus
correspondientes secciones. La ecuación de equilibrio de
fuerzas para un segmento de hilo de longitud s será:
(2)
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estática de hilos
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Figura 2. Diagrama de sólido libre de un hilo sometido a cargas concentradas
Figura 3. Diagrama de fuerzas de
un segmente de cable (3)
2. HILO SOMETIDO A CARGAS CONCENTRADAS
Consideremos un hilo de peso despreciable sujeto por sus
extremos a dos puntos A y B y sometido a un sistema de
1 2 3fuerzas concentradas coplanarias F , F y F . Planteando el
equilibrio de un segmento de hilo de comprendido entre los
puntos de aplicación i-j de dos cargas concentradas
consecutivas, se tiene:
Es decir que la tensión mecánica o esfuerzo de tracción en el segmento de cable comprendido
entre los puntos de aplicación de las cargas, también denominados nodos, es constante, de manera
que la curva de equilibrio del cable es una poligonal, tal como se muestra en la figura (2).
Las tensiones del hilo en los diferentes segmentos de la poligonal y la forma de la poligonal puede
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57
Figura 4. Configuración y diagrama de sólido libre de un hilo sometido a cargas concentradas
determinarse analíticamente a partir de las ecuaciones de equilibrio estático:
1, 2,...., nSea un hilo sujeto a dos puntos fijos A y B, cuya poligonal de equilibrio es A, P P P , B,
,1 2 nsometido a las cargas concentradas F F ,..., F , deseamos determinar la configuración de
1 2 3 nequilibrio, definida por los ángulos: á , á , á ,...., á , que forman los segmentos de la poligonal
,1 2 n n+1con la horizontal y la tensión mecánica en los segmentos de cable:T T ,..., T , T , resultando
un total de 2.n+1 parámetros a determinar o incógnitas.
1, 2,...., nComo existen n nodos intermedios: P P P , correspondientes a los puntos de aplicación de las
,1 2 ncargas puntuales: F F ,..., F , considerando la ecuación de equilibrio de fuerzas para cada nodo,
tendremos un sistema de 2.n ecuaciones, dado que es preciso determinar 2.n+1 incógnitas,
necesitamos una ecuación más, la cual se puede establecer si se conoce alguno de los siguientes
datos:
- Longitud total del hilo.
- Tensión mecánica en alguno de los tramos.
- Dirección de alguno de los tramos.
- Posición de equilibrio de algún punto del hilo.
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Figura 5. Hilo sometido a carga por unidad de longitud. Diagrama de sólido libre de una porción elemental.
(4)
3. HILO SOMETIDO A CARGA VERTICAL DISTRIBUIDA POR UNIDAD DE
LONGITUD
3.1. Ecuación de equilibrio
Consideremos un hilo suspendido entre dos puntos y sometido a una carga vertical uniforme por
unidad de longitud, esto equivale a decir que está sometido a la carga de su propio peso.
Tratemos en primer lugar de determinar la curva de equilibrio del hilo, para ello aislaremos un
segmento elemental de longitud ds, tal como se muestra en la figura, sea q la carga por unidad de
longitud de cable (o peso de cable por unidad de longitud). Las tensiones mecánicas en las
secciones extremas izquierda y derecha del segmento experimentarán una variación infinitesimal
valiendo T y T+dT, respectivamente, mientras que las tangentes respectivas a la curva formarán
un ángulo con la horizontal de è, y è+d è. Las ecuaciones de equilibrio serán:
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(5)
(6)
(7)
Tratemos de desarrollar las dos ecuaciones (4), para la primera ecuación, correspondiente al
balance de fuerzas horizontales, el término a la izquierda de la igualdad se puede expresar como:
En donde se ha efectuado la aproximación cos(dè)1, sen(dè)dè, habiéndose despreciado los
infinitésimos de segundo orden. La primera ecuación (4) correspondiente al equilibrio de fuerzas
horizontales, resulta:
Lo cual implica que la componente horizontal de la tensión mecánica en el cable es constante y
Osu valor lo designamos por T , este valor coincide con la tensión mecánica en el mínimo de la
curva. Consideremos a continuación la segunda ecuación (4), correspondiente al equilibrio de
fuerzas verticales. Los dos primeros términos a la izquierda de la igualdad, se puede expresar
como:
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(8)
Figura 6. Diferencial de arco decurva.
(9)
(10)
(11)
En donde hemos efectuado las mismas aproximaciones que en el desarrollo anterior, y además
Ohemos tenido en cuenta la ecuación (6): T.cosè=T , y que la derivada de la curva de equilibrio
es la pendiente de la tangente: y’= (dy/dx) = senè / cosè. Resultando la segunda ecuación (4)
correspondiente al equilibrio de fuerzas verticales:
Esta expresión, representa la ecuación diferencial de
equilibrio del cable, para proceder a la integración,
consideramos que el diferencial de arco ds, equivale a:
Resultando la ecuación de equilibrio del cable:
OHaciendo la constante T =q.a, siendo a una nueva constante, se tiene:
La ecuación diferencial (11) es del tipo de variables separadas, pudiendo integrarse directamente
cada lado de la igualdad de forma independiente:
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61
(12)
(13)
(14)
(15)
Que equivale a:
Volviendo a reagrupar la variables y volviendo a integrar:
Resultando:
Esta ecuación es conocida con el nombre de catenaria y corresponde a la ecuación de la curva que
forma un hilo colgado entre dos puntos y sometido a la acción del campo gravitatorio. A la
Oconstante a=T / q se le conoce como parámetro de catenaria, esta constante depende de la
tensión mecánica en el mínimo de la catenaria y es en principio desconocida, para su
determinación hace falta conocer algún dato adicional: tensión en algún punto del hilo, longitud
del hilo, etc.
1 2La determinación de las constantes de integración C y C se efectúa en base a las condiciones
de contorno. Con objeto de obtener una expresión lo más simplificada posible conviene elegir la
1 2 posición del sistema de referencia de forma que C = C = 0, para ello sea en principio Oxy el
1 1 1sistema de ejes general y O x y el nuevo sistema de ejes. En primer lugar situamos el nuevo
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Figura 7. Sistema de ejes para representar la catenaria.
(16)
(17)
(18)
1origen O a una distancia a del mínimo del punto mas bajo de la catenaria, de manera que se
cumplirán las siguientes condiciones:
1 1 1Con lo que la ecuación de la catenaria referida al sistema de ejes O x y será:
1 1 1En lo sucesivo expresaremos la catenaria en el sistema de ejes O x y que por brevedad
tomaremos como Oxy. Veamos a continuación algunas propiedades interesantes de la catenaria.
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63
Figura 8. Segmento de arco decatenaria.
(19)
(20)
(21)
3.2. Propiedades
a) Longitud del arco de catenaria: La longitud del
arco de catenaria comprendido entre el vértice C
(mínimo) y un punto cualquiera P(x,y), se obtiene
directamente integrando el elemento diferencial de
arco:
b) Relación entre el arco de catenaria y la ordenada del punto considerado: Teniendo en cuenta
la expresión obtenida del arco s y el valor de la ordenada para un punto genérico:
c) Tensión en un punto cualquiera del hilo: Consideremos el equilibrio de un arco de catenaria
comprendido entre el vértice y un punto P(x,y), podemos obtener una expresión la tensión T en
P a partir de las condiciones de equilibrio, de acuerdo con el polígono de fuerzas:
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64
Figura 9. Fuerzas sobre un arco de catenaria.
Figura 10. Fuerzas sobre un arco de catenaria. (22)
(23)
En este desarrollo hemos tenido en cuenta
Ola ecuación (20) y que T = q.a. De
acuerdo con la ecuación (21) cuanto mayor
sea la ordenada del punto P, mayor será la
tensión mecánica.
Dado que la determinación de la catenaria
que pasa por dos puntos requiere la
resolución de una ecuación transcendente,
estudiaremos a continuación la resolución
de dicha ecuación para una serie de casos
de especial utilidad práctica.
3.3. Estudio de diversos casos prácticos
a) Catenaria que pasa por dos puntos A y B
situados a la misma altura: datos luz l y
longitud de hilo L: De acuerdo con la
expresión de la longitud de arco de catenaria:
Esta ecuación permite obtener el parámetro a de la catenaria, dado que es una ecuación
trascendente hay que resolverla numéricamente, bien por algunos de los métodos conocidos:
Newton-Rapson, o mediante tanteos. Para proceder por tanteos, definimos la variable k=l / (2.a),
y la ecuación anterior se puede expresar:
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65
(24)
(25)
(26)
(27)
Esta ecuación se puede resolver por tanteos para el parámetro k, seguidamente se calcula
a=l/(2.k). Una vez conocido el parámetro a de la catenaria la curva está perfectamente definida.
La flecha máxima f, será:
b) Catenaria que pasa por dos puntos A y B situados a la misma altura: datos luz l y flecha
Amáxima f: De la relación entre la ordenada en el apoyo y y la flecha f, resulta:
Haciendo k=l / (2.a), la ecuación anterior se puede expresar como:
Ecuación que puede resolverse por tanteos para la variable k, posteriormente es posible
determinar el parámetro de la catenaria a=l / (2.k). La longitud total del hilo será:
c) Catenaria que pasa por dos puntos A y B a la misma altura: Datos luz l y la tensión máxima
maxT : Conocemos las siguientes relaciones:
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66
(28)
(29)
Figura 11. Fuerzas sobre un arco de catenaria. (30)
(31)
(32)
Siendo k=l / (2.a), resulta:
Resolviéndose por tanteos para la variable k, determinado después el parámetro a.
d) Catenaria que pasa por dos puntos A y B
situados a diferente altura: en este caso
conocemos el desnivel h entre los puntos A y
B así como su luz o distancia horizontal l: De
acuerdo con las ecuaciones de la catenaria:
Sumando y restando ambas expresiones, teniendo en cuenta que:
Resulta:
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(33)
(34)
Figura 12. Hilo sometido a carga por unidad de abscisa. Diagrama de sólido libre de una porción elemental.
Multiplicándose entre sí las dos ecuaciones:
Teniendo en cuenta que k=l / (2.a):
Ecuación que se resuelve por tanteos para la variable k.
4. HILO SOMETIDO A CARGA VERTICAL DISTRIBUIDA POR UNIDAD DE
ABSCISA
4.1. Ecuación de equilibrio
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68
(35)
(36)
(37)
(38)
Consideremos un hilo sujeto a dos puntos fijos A y B, cuyo peso es despreciable frente a una
carga vertical p uniformemente distribuida a lo largo de la proyección horizontal del hilo. Para
determinar la configuración del hilo en el equilibrio aislaremos una porción elemental de longitud
ds y estableceremos las condiciones de equilibrio. En este caso la situación es parecida al caso del
hilo sometido a la acción de su propio peso aunque la carga vertical sobre el cable es p.dx. Las
ecuaciones diferenciales correspondiente al las condiciones de equilibrio, son:
La primera ecuación (35) es idéntica a la primera ecuación (4) del caso anterior, resultando:
Es decir la proyección horizontal de la tensión del cable es siempre constante e igual a la tensión
absoluta en el mínimo. La segunda ecuación (35) es parecida a la segunda ecuación (4),
procediendo de forma similar:
OHaciendo T = p.a siendo a una constante, resultando:
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(39)
(40)
Figura 13. Hilo sometido a carga por unidadde abscisa. Diagrama de sólido libre de una
porción elemental.
(41)
Esta ecuación es muy fácil de integrar, resultando:
Esta ecuación corresponde a una parábola. Al parámetro a se le conoce como parámetro de la
1 2 parábola. La determinación de las constantes C y C se efectúa a partir de las condiciones de
contorno. Al igual que en el caso anterior consideremos una disposición del sistema de referencia
que nos permita obtener una expresión lo mas simplificada posible de la ecuación. Trasladando el
1 1 1origen del nuevo sistema de referencia O x y al mínimo de la parábola:
1La ecuación de la parábola referida al sistema O
1 1x y :
En lo sucesivo expresaremos la parábola en el
1 1 1sistema de ejes O x y que por brevedad
tomaremos como Oxy.
El presente caso es, con suficiente aproximación,
el de los cables de los puentes colgantes, líneas
eléctricas y, en general el de todos aquellos
problemas en que la luz es grade comparada con la flecha, en estos casos, el peso del cable se
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estática de hilos
70
(42)
Figura 14. Fuerzas sobre un arco decatenaria.
(43)
puede aproximar con bastante exactitud a una carga uniforme por unidad de abscisa, pudiendo
considerarse la curva de equilibrio como una parábola, que resulta una ecuación más sencilla y
manejable desde el punto de vista matemático, si bien la catenaria siempre representará con más
fidelidad la configuración de equilibrio.
Lo anterior, se comprueba desarrollando en serie la ecuación de la catenaria, referida a un sistema
de ejes con el origen en el vértice:
Si x / a es un valor pequeño, se puede emplear únicamente el primer término del desarrollo, que
equivale a la ecuación de la parábola, de igual parámetro que la catenaria.
4.2. Propiedades
A continuación, estudiaremos algunas propiedades
importantes de la parábola:
a) Longitud de un arco de parábola:
La longitud s de un arco de parábola contada desde su
vértice O hasta un punto genérico P(x,y), se obtiene
integrado la expresión de la longitud elemental de arco
ds:
Aunque es posible integrar la anterior función, el proceso resulta algo farragoso, por esta razón
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estática de hilos
71
(45)
Figura 15. Fuerzas sobre un arco de parábola.
(46)
(47)
es preferible efectuar la integración a partir del desarrollo en serie de la función, tomando los
primeros términos, resultando:
Esta expresión también puede escribirse, teniendo en cuenta que a=x / (2.y), en la forma:2
b) Tensión en un punto cualquiera del hilo:
considerando el equilibrio de la porción de
arco de parábola comprendido entre el
mínimo y un punto cualquiera P(x,y),
directamente del polígono de fuerzas de la
figura:
Es obvio que a mayor separación del punto P
del vértice de la parábola la tensión
aumentará de manera que:
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estática de hilos
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Nota: funciones hiperbólicas, propiedades: Las funciones hiperbólicas son funciones de tipo
exponencial y tienen unas características parecidas a las trigonometricas.
-Función seno y coseno hiperbólico:
Igualmente se pueden definir: función tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, etc..
-Derivadas de la función seno y coseno hiperbólico:
-Integrales función seno y coseno hiperbólico:
- Propiedad: es fácil de demostrar la siguiente propiedad:
- Existen también las funciones inversas: argsenhx, argcoshx, etc
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estática de hilos
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Figura 16. Representación gráfica función seno y cosenohiperbólico.
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rozamiento
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TEMA: ROZAMIENTO
1. INTRODUCCIÓN: TIPOS DE ROZAMIENTO
2. ROZAMIENTO AL DESLIZAMIENTO
3. ROZAMIENTO A LA RODADURA
4. ROZAMIENTO AL PIVOTAMIENTO
5. EFECTO DEL ROZAMIENTO EN ALGUNOS MECANISMOS
5.1. Planos inclinados
5.2. Cuñas
5.3. Cojinetes radiales
5.4. Correas de transmisión
5.5. Tornillos de potencia
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rozamiento
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Figura 1. Sólidos en contacto.
1.INTRODUCCIÓN: TIPOS DE ROZAMIENTO
Hasta ahora al establecer las ecuaciones de equilibrio de los sólidos se ha supuesto que las
reacciones de contacto entre sólidos eran normales a las superficies de contacto, sin embargo esto
no siempre es así, ya que en general las superficies no son lisas, presentando una cierta rugosidad
lo que supone la aparición de una nueva componente de la fuerza de reacción contenida en el plano
tangente común a las superficies conocida como fuerza o componente de rozamiento; esta fuerza
tiene la particularidad de oponerse siempre al deslizamiento entre las superficies.
Básicamente se distinguen tres tipos diferentes de rozamiento: rozamiento al deslizamiento,
rozamiento a la rodadura y rozamiento al pivotamiento. Para explicar estos tres tipos de
1 2rozamiento, consideremos los sólidos en contacto S y S , moviéndose entre sí, tal como se
1 2muestra en la figura (1); supongamos para simplificar que S permanece fijo y S se mueve sobre
1S . Sea P el punto de contacto entre ambos sólidos en un determinado instante, dicho punto en
1 1 2 2,realidad representa dos puntos superpuestos: P que pertenece a S y P y que pertenece a S el
2 1 2 2movimiento relativo de S respecto S se representa por el grupo cinemático de S en P :
- Velocidad de deslizamiento v .
- Velocidad de rotación o angular ù.
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rozamiento
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Figura 2. Rozamiento al deslizamiento.
La velocidad de rotación se puede descomponer a su vez en dos componentes:
r - Velocidad de rotación de rodadura ù contenida en el plano tangente común ð en P.
p-Velocidad de rotación de pivotamiento ù normal al plano tangente común.
2 1La fuerza de rozamiento que se opone al deslizamiento de S respecto de S se denomina
2rozamiento al deslizamiento, la fuerza de rozamiento que se opone a la rodadura de S respecto
1de S se denomina rozamiento a la rodadura, la fuerza de rozamiento que se opone al pivotamiento
2 1de S respecto de S se denomina rozamiento al pivotamiento.
2. ROZAMIENTO AL DESLIZAMIENTO
Para entender el rozamiento al deslizamiento supongamos el objeto de la figura que se apoya sobre
hun plano horizontal. El peso del cuerpo es P y está sometido a una fuerza horizontal F que tiende
a hacerlo deslizar sobre el plano. Como consecuencia de las acciones directamente aplicadas,
aparecerá una fuerza de reacción R igual y opuesta la resultante de las fuerzas directamente
haplicadas que representamos por F= P + F . La fuerza de reacción R tendrá una componente
normal al plano de apoyo N y otra componente tangencial contenida en el plano horizontal que
rserá la fuerza de rozamiento F . Mientras el cuerpo esté en reposo, se cumplirán las condiciones
de equilibrio estático y el sistema de fuerzas se reducirá a un sistema nulo, cumpliéndose:
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rozamiento
77
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
De donde obtenemos los valores de las fuerzas de reacción:
Y la posición x del punto de aplicación C de la fuerza total de reacción R :
hVeamos que sucede si la fuerza horizontal F va aumentando progresivamente: la fuerza de
hrozamiento se opondrá siempre a F manteniendo el equilibrio, sin embargo la fuerza de
rrozamiento F no puede crecer indefinidamente ya que su módulo no puede sobrepasar un valor
máximo definido de la siguiente forma:
ì es un parámetro conocido como coeficiente de rozamiento que depende de la rugosidad y tipo
de material de los cuerpos en contacto. La ecuación anterior fue establecida por primera vez por
Coulomb.
hSi la fuerza aplicada F supera la fuerza de rozamiento máximo, el cuerpo comenzará a deslizar
resultando la condición de deslizamiento:
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rozamiento
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(6)
Figura 3. Cono de rozamiento.
(7)
La condición de x0 implica que el punto C de aplicación de la fuerza de reacción R sobre el
cuerpo (o la intersección de la línea de acción de F yR ) ha de estar evidentemente en la superficie
de contacto.
Cuando se cumpla la condición:
Decimos que el cuerpo está en equilibrio pero en una situación de deslizamiento inminente.
Todo lo anterior presenta una sencilla interpretación geométrica, podemos pensar que el
coeficiente de rozamiento ì representa la tangente de un ángulo denominado ángulo de
rozamiento. Este ángulo define el denominado cono de rozamiento, que es un cono de vértice en
C y semiángulo =artang ì. Sea á el ángulo que representa la inclinación de la resultante de las
hfuerzas directamente aplicadas sobre el cuerpo F= P+F respecto de la vertical. Si el cuerpo está
en reposo, admitiendo siempre que x0, se cumplirá:
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rozamiento
79
(8)
Figura 4. Situación de vuelco inminente sin deslizamiento.
Es decir:
Lo cual equivale a decir que si la resultante F de las fuerzas directamente aplicadas está contenida
dentro del cono de rozamiento, el cuerpo estará en equilibrio, cuando esté sobre la superficie del
cono el cuerpo estará en una situación de deslizamiento inminente, y cuando esté fuera del cono
el cuerpo deslizará sobre el plano horizontal.
Existe además otra posibilidad de movimiento del cuerpo, diferente al deslizamiento: La fuerza
resultante de las acciones directamente aplicadas F ha de pasar siempre por G que es el punto de
h hconcurrencia de F y P, si F aumenta sin que la fuerza de rozamiento llegue a su valor máximo,
el ángulo de inclinación á de F aumenta existiendo la posibilidad de que el punto intersección de
la linea de acción de F esté fuera de la superficie de contacto entre el cuerpo y el plano, esto
equivale a decir que la posición de C esté a la derecha de B, sin embargo el punto de aplicación
de la fuerza de reacción R estará sobre la superficie común desplazándose lo más a la derecha
posible que será el punto B, esto equivale también a decir que la variable x dada por la ecuación
(3) es negativa. Cuando esto suceda no se podrán cumplir las condiciones de equilibrio puesto que
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rozamiento
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(9)
aunque R sea igual y opuesta a F sus lineas de acción serán diferentes no cumpliendose la
condición de equilibrio de momentos, existiendo pues un momento resultante diferente de cero
para el sistema de fuerzas que tiende a volcar el cuerpo alrededor de B. Al momento del par F,
R =- F, se denomina momento de vuelco. La condición de vuelco será pues:
En la situación de vuelco inminente x=0 y la linea de acción de F y R pasará por el punto C=B.
Cuando el cuerpo es cilíndrico o esférico el vuelco está relacionado con el movimiento de
rodadura, ya que en realidad éste consiste en un vuelco continuo como se explica en el apartado
siguiente.
Finalmente señalar que una vez el cuerpo ha comenzado a deslizar, el coeficiente de rozamiento
cdisminuye ligeramente, apareciendo el coeficiente de rozamiento cinético ì algo menor que el
coeficiente de rozamiento estático ì. Mientras no se especifique lo contrario se supondrá que nos
estamos refiriendo a rozamiento estático.
3. ROZAMIENTO A LA RODADURA
De acuerdo con lo explicado en el apartado anterior, el movimiento de rodadura es en realidad un
vuelco continuo del cuerpo cuando este presenta una simetría cilíndrica o esférica. La resistencia
o rozamiento a la rodadura se presenta como consecuencia de la deformación del cuerpo rodante
y de la superficie sobre la que rueda.
Consideremos el cilindro de la figura que soporta la carga vertical P aplicada a su eje de rotación,
esta carga puede representar bien el peso propio del cilindro o cualquier carga exterior aplicada
hsobre el eje, para que el cilindro gire aplicaremos una fuerza horizontal F , en una situación ideal
ni el cilindro ni el plano de rodadura se deformarán, y la resultante de las fuerzas directamente
h raplicadas F=P+F será contrarrestada por la fuerza de reacciónR =F +N pero ambas tendrán lineas
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rozamiento
81
Figura 5. Rozamiento a la rodadura.
(10)
de acción diferentes, existiendo un momento de vuelco que es imposible de compensar para
hcualquier valor de F .
Sin embargo la situación cambia cuando se tienen en cuenta las deformaciones elásticas en el
cilindro y el plano de rodadura, en este caso existirá una superficie de contacto entre el cilindro y
el plano. Si el cilindro está inicialmente en equilibrio y vamos aumentando progresivamente la
hfuerza F y ésta se mantiene por debajo de la fuerza de rozamiento máxima, llegará un momento
en el que la línea de acción de F cortará el plano fuera de la superficie de contacto, en ese
momento el cuerpo comenzará a rodar. La dimensión de la superficie de contacto viene dada por
el parámetro “a”. Las condiciones de equilibrio estático cuando el cilindro está a punto de rodar,
son:
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rozamiento
82
(11)
(12)
hEn la última ecuación (10) hemos supuesto que la distancia de la línea de acción de F al punto A
es prácticamente el radio r.
hAdmitiendo que no hay deslizamiento, si la fuerza F es pequeña, la linea de acción de las fuerzas
aplicadas F corta al plano de rodadura dentro de la superficie de contacto y el cilindro no se
hmueve, esto equivale a decir que el momento F .r es compensado por P.a en la ecuación de
equilibrio de momentos y el cilindro no rueda, sin embargo para un valor suficientemente grande
hde F el momento no puede compensarse y el cilindro comienza a rodar, en este caso la línea de
acción de F pasará a la derecha de A, mientras que la reacción R estará aplicada en A existiendo
hsiempre un momento F .r imposible de compensar totalmente.
La dimensión de la deformación cuando el cilindro está a punto de rodar viene dada por el
parámetro “a”, el cual depende de las propiedades elásticas del material. A este parámetro se le
r r denomina también coeficiente de rozamiento a la rodadura, y se le representa por ì ( ì =a). De
acuerdo con las ecuaciones de equilibrio, la condición de rodadura será:
El cilindro no deslizará, teniendose que cumplir además:
Las ecuaciones (11) y (12) representan las condiciones de rodadura sin deslizamiento.
4. ROZAMIENTO AL PIVOTAMIENTO
La resistencia o rozamiento al pivotamiento consiste en fuerzas tangenciales que se oponen al giro
relativo de cuerpos en contacto, produciendose dicho giro alrededor de un eje normal al plano
tangente común de los cuerpos en contacto. Al contrario que el rozamiento a la rodadura, este tipo
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83
Figura 6. Cojinete de empuje.
(13)
de rozamiento presenta una naturaleza similar al rozamiento al deslizamiento, pudiendo
considerarse como un caso especial de este. Este tipo de rozamiento se presenta en embragues y
cojinetes de empuje o chumaceras.
Supongamos un cojinete de empuje situado en el extremo inferior de un eje verical que se apoya
sobre un plano horizontal. El eje presenta un hueco en su extremo inferior, de manera que la
1 2superficie de apoyo es una corona circular de radio menor r y radio mayor r que coincide con el
radio del eje. El eje se apoya sobre un plano horizontal soportando una fuerza axial P que lo
comprime contra el mismo y un momento torsor T que tiende a hacer girar al eje sobre si mismo.
Si el momento T es pequeño el eje no podrá girar debido a la existencia de fuerzas de rozamiento,
pero si vamos aumentando el valor de T, llegará un momento que las fuerzas de rozamiento
alcanzarán su valor máximo y el eje girará.
Para analizar el equilibrio del eje suponemos
que la fuerza axialP provocará una reacción del
plano sobre el eje caracterizada por una
distribución uniforme de presión en el área de
contacto que representamos por p, existiendo
además una fuerza de rozamiento asociada por
unidad de área ì.p. Como la reacción es una
fuerza distribuida sobre la superficie de
contacto, consideraremos un área elemental en
forma de corona circular de radio r y espesor
dr, las condiciones de equilibrio las
estableceremos integrando sobre este elemento:
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rozamiento
84
(14)
(15)
De la primera ecuación podemos determinar la presión de contacto p:
Sustituyendo esta expresión de la presión de contacto p en la segunda ecuación (13), podemos
obtener a u vez el valor del momento torsor T necesario para hacer girar el eje:
Este momento T equivale también al momento resistente de pivotamiento cuando el eje está
girando.
5. EFECTO DEL ROZAMIENTO EN ALGUNOS MECANISMOS
5.1. Planos inclinados
Analicemos en primer lugar el equilibrio de un
cuerpo de peso W, situado sobre un plano
inclinado, con ángulo de inclinación á, y
sometido a una fuerza F que trata de subir el
cuerpo sobre el plano. Cuando el cuerpo está a
punto de deslizar hacia arriba, la fuerza de
r rozamiento será F = ì.N, orientada hacia abajo,
de acuerdo con la figura. Las ecuaciones de
equilibrio del cuerpo, serán: Figura 7. Cuerpo sometido a fuerzaascendente sobre un plano inclinado.
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rozamiento
85
(16)
Despejando N de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, se puede tener un expresión
de la fuerza F en función de parámetros conocidos: á, â, ì, W:
(17)
Supongamos a continuación que no actúa la fuerza F sobre el bloque, la única posibilidad der movimiento del bloque es deslizamiento hacia abajo, en este caso la fuerza de rozamiento F estará
orientada hacia arriba, en sentido contrario al de la figura. Cuando el bloque esté a punto de
r deslizar F = ì.N , las ecuaciones de equilibrio, serán:
(18)
Despejando la fuerza normal N de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtendremos
la condición de deslizamiento inminente del cuerpo:
(19)
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rozamiento
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Figura 8. Mecanismo de cuña.
(20)
es el ángulo de rozamiento, de manera que cuando á el cuerpo no desliza y cuando á > ,
el cuerpo desliza.
5.2. Cuñas
Las cuñas son cuerpos de forma generalmente triangular o trapezoidal que se utilizan para elevar
cuerpos pesados o realizar ajustes en la posición de los cuerpos. Su efecto está basado en el
rozamiento.
Supongamos que deseamos elevar un peso P
mediante el sistema de cuñas A-B, ejerciendo
una fuerza horizontal F sobre la cuña A.
Cuando la fuerza F es suficientemente
grande, el cuerpo A desliza entre el plano
horizontal y B y el cuerpo B desliza entre A
y el plano vertical. En todos los casos las
fuerzas de rozamiento se oponen al
movimiento.
Supongamos que deseamos conocer la fuerza
F para elevar el peso P, aplicando las
condiciones de equilibrio para el cuerpo B:
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Figura 9. Diagramas de sólido libre para los elementos de cuña cuando se eleva la carga.
(21)
(22)
2 3Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: N y N , de la primera ecuación
3 2 podemos obtener una expresión de N en función de N y sustituir en la segunda ecuación,
2resolviendo para N , resultando:
En lo que respecta al cuerpo A:
1 2De la segunda ecuación, podemos despejar N en función de N y sustituir en la primera ecuación,
2 pudiendo obtener una expresión de F en función de N :
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(23)
Figura 10. Diagrama de sólido libre para lacuña A cuando la carga P está a punto dedescender.
(24)
(25)
(26)
Una propiedad importante de los mecanismos
de cuña es la irreversibilidad: que consiste en
que si dejamos de ejercer la fuerza F en una
determinada posición el sistema permanece fijo
en esa posición. Cuando el sistema es reversible
tiene que estar actuando la fuerza F hacia la
derecha para que la carga P no descienda.
Supongamos que la carga P está a punto de
descender, las ecuaciones de equilibrio de A
serán:
De la segunda ecuación:
Sustituyendo en la primera ecuación (24):
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(27)
(28)
Si el sistema es irreversible F0, es decir:
1 1 2 2Teniendo en cuenta que ì = tang y ì = tang , la condición de irreversibilidad será:
5.3. Cojinetes radiales
Los cojinetes son elementos mecánicos que se utilizan como soportes o apoyos de ejes giratorios.
Los cojinetes transmiten las cargas de reacción sobre el eje, permitiendo además el giro o rotación
de los mismos. Cuando los ejes giran a gran velocidad los cojinetes están lubricados en aceite y su
estudio se realiza a partir de las ecuaciones de la mecánica de los fluidos. Cuando la velocidad de
Figura 11. Elevación de carga. Sistema cojinete fijo, eje-polea giratorios.
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90
(29)
(30)
(31)
giro no es muy elevada, la lubricación en aceite no es necesaria y el estudio puede realizarse a
partir de las ecuaciones de la estática y rozamiento.
Supongamos el sistema de la figura formado por un conjunto polea-eje en donde el eje puede rodar
sobre un cojinete fijo, el sistema trata de elevar la carga vertical P, mediante un momento torsor
gradual T. Conforme el par torsor va aumentando en magnitud, el eje rodará subiendo por la
superficie del cojinete sin deslizar hasta llegar un momento en que se produzca el deslizamiento.
oEl par torsor capaz de producir el giro con deslizamiento eje-cojinete lo representamos por T , el
o, punto A de contacto eje-cojinete se habrá desplazado del centro a la izquierda, una distancia r la
reacción R del cojinete sobre el eje, tendrá una componente normal a la superficie del cojinete en
A, N y una componente tangencial que será la fuerza de rozamiento máxima al haber
odeslizamiento, ìÍ . El valor del torsor T necesario para hacer girar al eje:
El ángulo que forma la componente normal N con R es el ángulo de rozamiento , este ángulo es
oen general muy pequeño, de manera que el desplazamiento horizontal r del punto de contacto A
respecto del centro del eje se puede expresar como:
oDe acuerdo la ecuación (29) el par torsor T necesario para hacer girar al eje tendrá de módulo:
Finalmente, señalar que en la práctica pueden darse dos disposiciones diferentes: sistema de
cojinete fijo con polea-eje giratorios y sistema de eje fijo con cojinete-polea giratorio. El esquema
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91
Figura 13. Correa de transmisión.
visto antes se correspondería con la primer caso. Para el caso de eje fijo y cojinete-polea giratorios,
el análisis sería similar, si bien la disposición de las fuerzas sería como se muestra en la figura:
5.4. Correas de transmisión
El efecto del rozamiento de una correa sobre
una polea o tambor constituye la base del
funcionamiento de diferentes mecanismos
con múltiples aplicaciones en la industria:
correas de transmisión, frenos etc.
En la figura (11) se muestra una transmisión
m por correa activada por un par motor T en
la polea motriz la cual mueve a la polea
rarrastrada venciendo un par resistente T . El
par motor tiene el mismo sentido de giro que
el movimiento de la polea, mientras que el
Figura 12. Caso de eje fijo con cojinete-polea giratorios.
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Figura 14. Fuerzas actuantes en ambos lados de la correa en una polea arrastrada con par resistente T.
(32)
par resistente presenta sentido de giro opuesto. Cuando la correa trabaje al máximo de su
capacidad estará a punto de deslizar sobre la superficie de la polea, de manera que cuanto mayor
sea el rozamiento, la capacidad de transmitir el par motor o vencer el par resistente será mayor.
Para analizar el efecto del rozamiento sobre una correa o banda de transmisión que conduce una
r polea con un par resistente T , supongamos que la polea de la figura (12) permanece inmovilizada,
1mientras un extremo se tensa con una fuerza F , en el otro extremo de la correa aparecerá un
2esfuerzo F , si la correa está apunto de deslizar hacia la izquierda, es posible encontrar la relación
1 2entre F y F . Considerando el equilibrio de una porción elemental de correa, el equilibrio de
fuerzas verticales y horizontales según el diagrama de sólido libre para una tira elemental de banda
representada en la figura:
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rozamiento
93
(33)
(34)
(35)
En la ecuación anterior, se han efectuado las siguientes simplificaciones, al tratarse de ángulos
muy pequeños:
Eliminando dN del sistema de ecuaciones:
1 2La ecuación anterior nos permite determinar F a partir de F y al revés. Esta ecuación es conocida
como ecuación de Euler para correas planas. Conocidas las fuerzas en los extremos de la banda,
se puede determinar fácilmente el momento que se puede transmitir:
1En la práctica la fuerza mayor F puede estar limitada por las propiedades resistentes del material
1 2de la correa, de manera que fijada F podemos conocer F a partir de la ecuación (30). Para un
1valor conocido de F , si la polea motriz tiene un ángulo de abrazamiento menor que la arrastrada,
2,el deslizamiento se producirá antes en esta polea y el valor de la tensión en el lado flojo F se
calculará aplicando la ecuación (34) para el ángulo de abrazamiento de la polea motriz.
5.5. Tornillos de potencia
Los tornillos de potencia son mecanismos ampliamente utilizados en la industria que sirven para
transformar un movimiento de rotación en un movimiento de traslación, logrando esto mediante
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rozamiento
94
Figura 15. Diagrama de fuerzas en el tornillo de potencia de rosca cuadrada.
(36)
la acción de la rosca. Los mecanismos de tornillo de potencia se emplean en gatos y sistemas de
elevación, prensas, mordazas, accionamientos de máquinas herramientas etc.
La rosca es una hendidura practicada sobre la superficie cilíndrica del tornillo describiendo una
curva de hélice que encaja dentro de otra rosca tallada en la pieza sobre la que está incrustada el
tornillo denominada tuerca. El sistema de rosca se utiliza también en tornillos de unión y sus
dimensiones están normalizadas. En tornillos de potencia se utilizan roscas cuadradas y
trapezoidales o ACME, aunque el presente estudio se centrará en la rosca cuadrada.
Los parámetros más importantes que definen los tornillos roscados son:
Paso p: distancia entro dos hilos de rosca consecutivos.
Número de hilos de roscas n tallados sobre el tornillo: pueder ser una rosca (tornillo de rosca
simple o sencilla), dos roscas (tornillo de rosca doble), tres roscas (rosca triple), etc..
Avance l: es la distancia axial recorrida por el tornillo cuando este gira una vuelta completa. El
avance está relacionado con el paso p y con el número de hilos de rosca:
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rozamiento
95
(37)
(38)
(39)
Diámetro mayor o nominal d: diámetro del tornillo medido entre las crestas de rosca. Este
diámetro suele coincidir con el diámetro inicial del cuerpo cilíndrico del tornillo antes de tallar la
rosca.
r Diámetro menor d : diámetro menor del tornillo medido entre las hendiduras de rosca.
mDiámetro medio d : valor medio de los anteriores.
Ángulo de avance ë : es el ángulo de inclinación del hilo de rosca:
El problema básico que se presenta en el estudio de estos mecanismos es encontrar el par torsor
T que hay que aplicar al eje del tornillo capaz de hacer avanzar una carga que ejerce una fuerza
F sobre el tornillo. Existen además dos situaciones diferentes según el sentido de avance de la
carga, así en el caso de un sistema de elevación como el de la figura no es lo mismo que la carga
F suba que descienda.
Suponemos en principio que la carga F está subiendo con el tornillo. Aunque la carga F sobre el
extremo del tornillo se transformará en una carga uniforme sobre las roscas, por comodidad
supondremos que se concentra en un punto. Si ì es el coeficiente de rozamiento en los hilos de
la rosca y P la fuerza hipotética horizontal para subir la carga F:
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rozamiento
96
(40)
(41)
(42)
(43)
Eliminando N de la segunda ecuación y despejando P de la primera:
El par necesario para elevar la carga se obtendrá multiplicando P por el radio medio del tornillo:
Para el caso en el que la carga desciende las ecuaciones de equilibrio estático:
Eliminando N y despejando P:
El par necesario para descender la carga se obtendrá multiplicando P por el radio medio del
tornillo:
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rozamiento
97
(44)
(45)
(46)
(47)
En algunas ocasiones para el caso de descenso de la carga, puede suceder que el ángulo de avance
sea muy elevado o que la fricción sea muy pequeña, resultando que el par T aplicado al tornillo
es de signo negativo, cuando esto sucede significa que la carga desciende por si sola siendo
necesario aplicar un par en sentido contrario al supuesto para evitar el descenso de la carga, en
este caso decimos que el tornillo es de tipo reversible. Si el par T es positivo decimos que el
tornillo es irreversible (o autoblocante o autoasegurante). La condición de irreversibilidad es:
La presencia de rozamiento implica una cierta pérdida de potencia, siendo importante conocer el
rendimiento del mecanismo. Si suponemos que el coeficiente de rozamiento ì=0, el par necesario
para hacer subir la carga:
El rendimiento del mecanismo es la relación de pares (o potencias) para el caso en que el
rozamiento es cero o tiene su valor real:
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problemas de estática del sólido rígido
98
PROBLEMAS DE ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
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problemas de estática del sólido rígido
99
1. Determinar las reacciones de la viga de
la figura.
Se trata de determinar las reacciones de la
viga en A y B. El apoyo en B es un rodillo, lo
que significa que su reacción tendrá
Vúnicamente una componente vertical, B ,
normal a la viga y al plano horizontal de
apoyo. El apoyo en A es una articulación, lo
que significa que su reacción tendrá una
Hcomponente horizontal, A , y una
Vcomponente vertical, A . Las fuerzas totales
que actúan sobre la viga, se representan en el
diagrama de sólido libre. Las condiciones de
equilibrio estático nos proporcionan un
V H Vsistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: B , A , A :
x HF = 0, A - 2000 . cos 60º + 3000. cos 45º -1500 . cos 80º = 0;
y v VF = 0, A + B -5000 - 2000 . sen 60º - 3000. sen 45º -1500 . sen 80º = 0;
A VM = 0, 5000 .2 + 2000 . sen 60º .6 +3000 . sen45º . 13 + 1500 . sen 80º .17 - B . 17 =
= 0
Resolviendo el sistema, nos sale:
H v VA = -860,8 N, A = 6031,6 N, B = 4298,9 N
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problemas de estática del sólido rígido
100
2. Determinar las reacciones de la viga
biapoyada de la figura, sometida a una
carga uniforme distribuida de p = 3kN/m.
El efecto total de la carga distribuida, equivale
a una fuerza puntual de valor la carga total,
aplicada en el cdg de la carga; como se trata
de una distribución uniforme, el cdg estará en
el punto medio.
Las fuerzas totales que actúan sobre la viga,
se representan en el diagrama de sólido libre.
Las condiciones de equilibrio estático nos
proporcionan un sistema de dos ecuaciones
A Bcon dos incógnitas: R , R :
y A BF = 0, R + R -3.8 = 0;
A BM = 0, -24 .8 +14.R = 0;
Resolviendo el sistema, nos sale:
B AR = 13,714 kN, R = 10,286 kN
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problemas de estática del sólido rígido
101
3. Determinar las reacciones de la viga
empotrada-libre de la figura, sometida a
una carga triangular distribuida.
El efecto total de la carga distribuida, equivale
a una fuerza puntual de valor la carga total,
aplicada en el cdg de la carga; como se trata
de una distribución triangular, la carga total
será el área del triángulo y su cdg G estará a
un tercio de la base y dos tercios del vértice.
La carga total, será:
P = (½).p.4= (½).3.4 = 6 kN.
La posición del cdg G de la carga, estará
situado a unas distancias:
a = (2/3).4 = 2,667 m, b = (1/3).4= 1,333 m
A ALas reacciones en el apoyo A, serán una fuerza R y un momento M . Las condiciones de
A Aequilibrio estático nos proporcionan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: R , M :
y AF = 0, R - 6 = 0;
A AM = 0, -6 .( 3 + 2,667) + M = 0;
Resolviendo el sistema, nos sale:
A AR = 6 kN, M = 34 kN
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problemas de estática del sólido rígido
102
4. Determinar las reacciones de la viga
biapoyada de la figura, sometida a la carga
Adistribuida trapezoidal, en donde p = 2
BkN/m, p = 5 kN/m.
El efecto total de la carga distribuida, equivale
a una fuerza puntual de valor la carga total,
aplicada en el cdg de la carga. En este caso
podemos aplicar momentos estáticos y
descomponer la carga total en dos cargas
parciales distribuidas, una de tipo uniforme, de
1valor p = 2 kN / m y otra triangular en donde
2la carga máxima sería p = 5-2 = 3 kN/m. Las
cargas totales serán:
1 1P = 4. p = 4.2 = 8 kN
2 2P = (½ ).4.p = (½).4.3 =6 kN.
Las distancias de los cdg de las cargas al apoyo izquierdo:
1 2x = (½).4= 2 m, x = (2/3).4=2,667 m.
Resultando, las condiciones de equilibrio:
y A BF = 0, R + R -8-6 = 0;
A BM = 0, 4.R - 8.2 - 6.2,667= 0;
Resolviendo el sistema, nos sale:
B AR = 8 kN, R = 6 kN
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problemas de estática del sólido rígido
103
5. Determinar las reacciones de la viga
biapoyada de la figura, sometida a la carga
distribuida de la figura.
Dado que la carga tiene forma de polígono
irregular, descomponemos la carga en cuatro
sub-cargas en forma de polígono regular, y
determinamos la carga parcial de cada una de
ellas y la distancia de su cdg al apoyo
izquierdo:
1Carga 1:P = (½ ).0,9. 1,2 = 0,54 kN,
1x = (2/3).0,9 = 0,6 m
2 2Carga 2: P = 0,9.1,2 = 1,08 kN, x = 0,9 +
(½).0,9= 1,35 m
3 3Carga 3: P = (½).(1,6-1,2).0,9 = 0,18 kN, x = 0,9 + (2/3).0,9 = 1,5 m
4 3Carga 4: P = (½).1,6.1,35 = 1,08 kN, x = 0,9+0,9 + (1/3).1,35 = 2,25 m
Resultando, las condiciones de equilibrio:
y A BF = 0, R + R - 0,54 -1,08-0,18-1,08 = 0;
A BM = 0, 1,8.R - 0,54.0,6-1,08.1,35-0,18.1,5-1,08.2,25 = 0;
B AResolviendo el sistema, nos sale: R = 2,49 kN, R = 0,39 kN
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problemas de estática del sólido rígido
104
6. En la figura, se muestra la sección
transversal del muro de una presa de
hormigón, de 10 m de espesor, cuando la
presa está llena la presión del agua tiende
a volcar el muro mediante un giro en A, se
pide, determinar: a) La fuerza y momento
de reacción del suelo sobre el muro de la
presa en A, b) Momento de vuelco de las
fuerzas totales que actúan sobre el muro c)
Fuerza del agua sobre el muro. Densidad
del hormigón 2400 kg/m , densidad del agua 1000 kg/m .3 3
a) Consideramos en nuestro
análisis el, conjunto A-B-D-C-E,
formado por el muro de hormigón
y un volumen parabólico de agua,
y determinamos las fuerzas que
actúan sobre dicho conjunto,
considerando diferentes partes:
peso del hormigón, peso del agua y
fuerza lateral, como consecuencia
de la presión del agua sobre el
volumen parabólico, esta presión
presenta una dis t ribució n
triangular. Los valores de las
fuerzas y las posiciones de los puntos de aplicación, son:
Cuerpo 1: bloque triangular de hormigón. Peso y posición del cdg:
1 1P = (½).4,5.12.10.2400.9,8 = 6350,4 kN, x = (2/3) . 4,5 = 3 m
Cuerpo 2: bloque rectangular de hormigón. Peso y posición del cdg:
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problemas de estática del sólido rígido
105
2 2P = 4.12.10.2400.9,8 = 11289,6 kN, x = 4,5+2 = 6,5 m
Cuerpo 3: bloque parabólico de hormigón de vértice C. Peso y posición del cdg:
3 3P = (1/3).5.12.10.2400.9,8 = 4704 kN, x = (3/10) .5+ 8,5 = 10 m
Cuerpo 4: bloque parabólico de agua de vértice C. Peso y posición del cdg:
4 4P = (2/3).5.12.10.1000.9,8 = 3920 kN, x = 4,5+4+3.5 /5 = 11,5 m
Fuerza 5: distribución triangular de presión lateral. Fuerza y posición del punto de aplicación (en
este caso es una ordenada):
5 5P = (½). 12.10.1000.9,8.12 = 7056 kN y = (1/3).12 = 4 m
La reacción del suelo sobre el muro en A, aplicando las ecuaciones de equilibrio del muro:
A b) El momento de vuelco sobre el muro es en realidad M = 156,329.10 N.m, mientras este valor 6
sea positivo el muro no volcará. Esto significa que las fuerzas debidas al peso del muro y columna
parabólica de agua, producen un momento resistente que se opone al momento debido al empuje
lateral de la presión del agua que intenta volcar al muro.
c) La fuerza del agua sobre el muro se obtendrá aislando el sólido 4. Esta fuerza Q será la
4resultante de la fuerza vertical correspondiente al peso del bloque 4, P y la fuerza lateral de
5empuje P . El punto de aplicación de esta fuerza será un punto F intersección de las lineas de
4 5acción de la fuerza vertical P y la horizontal P , resultando:
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problemas de estática del sólido rígido
106
Para la fuerza:
x yQ = 3920 kN Q = 7056 kN
Su punto de aplicación:
F Fx = 11,5 m; y = 4 m
La fuerza Q de empuje del agua sobre
el muro, será un vector cuya línea de
acción pasa por F.
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problemas de estática del sólido rígido
107
7. La compuerta de la figura tiene una
anchura b=0,5 m, está articulada en B y su
apertura se controla mediante el cable AC.
Determinar la fuerza T que es necesario
ejercer sobre el cable para mantener la
compuerta cerrada.
El problema se puede resolver por dos
procedimientos. Un primer método consiste
en aislar el volumen ABD, situado sobre la
compuerta, considerando las fuerzas actuantes.
Sobre la cara lateral AD actúa una
distribución de presión trapezoidal
horizontal, que se puede descomponer a su
vez en una distribución rectangular y una
distribución triangular, los valores de las
fuerzas y las distancias respectivas de las
líneas de acción a la articulación B:
Para la distribución rectangular sobre AD:
1P = 1000.9,8.1,2 0,5.0.6 = 3528 N
1y =0,3
Para la distribución triangular sobre AD:
2 2P = (½). 1000.9,8.0,6.0,6.0,5 = 882 N, y = 0,4 m
A continuación consideramos la fuerza debida a la presión del agua sobre la cara superior DB. En
este caso tendremos una distribución rectangular actuando verticalmente:
3 3P = 1000.9,8.1,2.0,45.0,5 = 2646 N, x = 0,225 m
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problemas de estática del sólido rígido
108
Finalmente consideramos la fuerza correspondiente al peso del agua encerrado en el volumen
triangular ADB:
4 4P = (½). 1000.9,8.0,6.0,45.0,5 = 661,5 N, x = 0,3 m
Para determinar la fuerza T que hay que ejercer sobre el cable para mantener la compuerta
cerrada, considerando la ecuación de equilibrio de momentos de las fuerzas que actúan sobre la
compuerta, teniendo en cuenta que las fuerzas producidas por el fluido son equivalentes a las que
actúan sobre el volumen ADB:
Existe sin embargo en este caso un
procedimiento mas directo para calcular la
fuerza T: dado que la forma de la compuerta
es plana, la acción del fluido sobre ésta es una
distribución de presión trapezoidal a partir de
la cual se puede calcular fácilmente la fuerza
correspondiente. Descomponiendo la
distribución trapezoidal en una distribución
rectangular y en otra triangular, teniendo en
cuenta que la longitud de la compuerta es:
Las fuerzas ejercidas por el fluido sobre la compuerta, y la distancia de las lineas de acción a la
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problemas de estática del sólido rígido
109
articulación B:
Distribución rectangular:
1 1P = 1000.9,8.1,2.0,5.0,75 = 4410 N, a = (½).0,75 = 0,375 m
Para la distribución triangular:
2 2P = (½). 1000.9,8.0,6.0,5.0,75 = 1102,5 N, a = (2/3).0.75 = 0,5 m
La ecuación de equilibrio de momentos de la compuerta AB:
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problemas de estática del sólido rígido
110
8. Un cilindro de peso P=100 N y de diámetro
d=1 m está alojado entre las piezas cruzadas de
la figura, formando un ángulo de á = 60º entre sí.
Determinar la tensión en la cuerda horizontal
DE, suponiendo que el suelo es liso y las pinzas
están apoyadas en el suelo.
Para calcular la tensión T en la cuerda DE,
tendremos que plantear las tres ecuaciones de
equilibrio de una de las piezas cruzadas. Para
resolver estas ecuaciones, necesitamos expresarlas en función únicamente de tres incógnitas.
AConsideremos inicialmente el sistema en su conjunto, y determinemos las reacciones del suelo R ,
BR , en ausencia de rozamiento estas reacciones son verticales, resultando un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas:
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problemas de estática del sólido rígido
111
Resultado lógico que se podría haber obtenido directamente por simetría del conjunto.
1 2Considerando a continuación el equilibrio del cilindro por separado, siendo C y C las reacciones
de las piezas, normales al plano de apoyo, sobre el cilindro:
Sea a = CF, la distancia del punto de contacto del cilindro sobre la pieza izquierda, a la
articulación F, se cumplirá: a = 0'5 / tan 30º = 0'866 m.
Considerando a continuación el equilibrio de una de las piezas cruzadas, la izquierda por ejemplo,
la ecuación de equilibrio de momentos respecto de F, será:
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problemas de estática del sólido rígido
112
9. Una varilla de peso P=100 N y longitud
l, está colocada sobre un ángulo recto liso,
uno de cuyos lados forma un ángulo con la
horizontal de á=30º. Determinar las
reacciones sobre la varilla y el ángulo
que forma la varilla con la horizontal en la
posición de equilibrio.
De acuerdo con el diagrama de sólido libre de la figura, se tiene:
Resultando un sistema de tres ecuaciones con tres
1 2 1incógnitas: R , R y . Despejando R de (1), y
sustituyendo en (2):
El valor de la tercera incógnita , lo determinaremos a partir de la tercera ecuación. Esta ecuación
es de tipo trascendente al estar la incógnita envuelta dentro de funciones trigonométricas, para
su resolución procedemos como sigue:
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114
10. Dos cilindros homogéneos de pesos
1 2P y P , se apoyan en dos planos que
forman ángulos á y â con la horizontal.
En el supuesto de que no hay
rozamiento, determinar el ángulo que
forma la recta que une sus centros con la
horizontal.
En la figura se ilustran los diagramas de sólido libre del conjunto de los dos cilindros y de cada
cilindro por separado. Considerando el conjunto de los dos cilindros, las ecuaciones de equilibrio:
Considerando el conjunto de los dos cilindros, las ecuaciones de equilibrio:
1 2 1Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: R y R . Despejando R de (1) y
sustituyendo en (2):
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115
Considerando a continuación los cilindros de forma aislada, siendo F la fuerza de interacción entre
los dos cilindros, para el cilindro de la izquierda:
Resultado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: y F, despejando F de la ecuación
(3), sustituyendo en la (4) y despejando tan :
Idéntico resultado se obtendría considerando el equilibrio del cilindro de la derecha.
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11. Una viga AB, homogénea de 8 m de
longitud y 10000 N de peso, está articulada en
A y sujeta en B por un cable BC, como indica
la figura. Calcular la tensión en el cable y las
reacciones en la articulación de la barra.
Antes de pasar a estudiar el equilibrio de la barra,
es conveniente conocer el ángulo que forma el
cable con la barra. De acuerdo con la figura:
è = 90º-30º- = 60 - .
Aplicando el teorema del seno al triángulo ABC:
Las ecuaciones de equilibrio para la barra, son:
xDe la ecuación (3) se tiene directamente: T = 6557,69 N, de la (1): A = 5196,288, finalmente,
yde la (3): A = 14000 N
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problemas de estática del sólido rígido
117
12. Una barra uniforme de longitud 2.l y
peso P, se apoya en una semiesfera hueca
perfectamente lisa, de radio r, siendo 2.l >
2.r. Hallar el ángulo que forma la barra
con la horizontal en el equilibrio.
Antes de plantear la ecuaciones de equilibrio
es necesario efectuar un análisis geométrico.
El ángulo OCB = al ser el triángulo COB
isósceles, ya que tiene dos lados iguales: OC
=OB = r, y el ángulo OBC = OCB = .
1La reacción N es normal a la superficie de la
2semiesfera, está dirigida a O y forma un ángulo 2. con la horizontal. La reacción N es normal
a la barra. Las ecuaciones de equilibrio, serán:
Es necesario encontrar una expresión de DB y GB en función de , teniendo en cuenta que los
triángulos CAB y CBD son rectángulos, se cumple:
Quedando la tercera ecuación:
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118
De la primera ecuación:
Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación:
Sustituyendo esta expresión en la tercera ecuación:
Se trata de una ecuación cuya incógnita , está dentro de funciones trascendentes
(trigonométricas) siendo imposible de resolver directamente. Intentemos expresar la ecuación
anterior en función de cos :
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El denominador del término a la derecha de la igualdad, equivale a:
Resultando, finalmente la ecuación (3):
En donde se ha despreciado la solución correspondiente al radical negativo.
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problemas de estática del sólido rígido
120
13. Una varilla de longitud L y peso P, está
mantenida en su lugar mediante un cable BC y
un pasador en A, que puede deslizar a lo largo
de una ranura lisa vertical. Determinar los
valores de los ángulos á yè, correspondientes a
la posición de equilibrio.
De acuerdo con el diagrama de sólido libre de la
figura, las ecuaciones de equilibrio, quedarán:
Tenemos en principio un sistema de tres ecuaciones
C Acon cuatro incógnitas: á, è, T , R . Necesitamos
una ecuación más. De acuerdo con la geometría de
la figura, es posible encontrar una relación directa
entre á y è:
Para despejar á y è, que son las incógnitas pedidas, procedemos de la siguiente forma: De la
ecuaciones (1) y (2):
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problemas de estática del sólido rígido
121
sustituyendo esta expresión en la ecuación (3):
Recordando la identidad trigonométrica:
La ecuación (4), se puede poner, teniendo en cuenta la expresión anterior y la ecuación (3):
Esta ecuación tiene solución analítica, aunque el proceso puede resultar algo tedioso, siendo más
práctico resolverla mediante tanteos, resultando:
tanè=1,24 è = 51,2 º á = 68,1 º
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problemas de estática del sólido rígido
122
14. Una varilla delgada de longitud l y peso
P, está alojada entre la pared y un apoyo C,
despreciando los efectos del rozamiento,
determinar el ángulo è entre la pared y la
varilla, en la posición de equilibrio.
La reacción de la pared sobre la varilla, será
normal a la pared y la reacción del apoyo sobre
la varilla, será normal a la varilla, tal como se
muestra en el diagrama de sólido libre:
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres
A C Cincógnitas: R , R , y è. Queremos determinar el valor è: de la ecuación (2) despejamos R y
sustituimos en (3) para despejar è:
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problemas de estática del sólido rígido
123
15. En la estructura articulada de la figura,
calcular los esfuerzos en cada barra.
Se trata de una estructura articulada
isostática, tanto por el número de coacciones
externas (un apoyo fijo y un apoyo móvil, con
tres reacciones en total) como por la relación
entre el número de barras y de nudos: nº de
barras: b = 5, nº de nudos: n = 4, se cumple
condición para que sea una estructura
articulada isostática: b+3 = 2.n.
Calculemos la reacciones sobre la estructura:
BX BYSe trata de n sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde: R = -5000 N, R = -
C2500 N, R = 2500 N.
A continuación consideraremos el equilibrio de cada uno de los nudos de la estructura. Para el
nudo B:
Para el nudo C:
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problemas de estática del sólido rígido
124
Para el nudo D:
La aplicación de las ecuaciones de equilibrio al nudo A, nos servirá de comprobación. Resumen
de esfuerzos:
1 2 3 4 5 N = 14,14 N; N = 5571,197 N; N = 4971,711 N; N = 5571,197 N; N = - 7051,065 N.
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problemas de estática del sólido rígido
125
16. En la estructura de la figura,
sometida a las cargas indicadas,
determinar los esfuerzos en
todas las barras.
Se trata de una estructura articula
isostática, pues el cálculo de las
reacciones externas se puede
abordar a partir de las ecuaciones
de equilibrio, al igual que los esfuerzos en las barras, ya que se cumple: nº de barras: b = 13, nº
de nudos n = 8, verificándose: b + 3 = 2.n.
Procedamos en primer lugar al cálculo de las reacciones exteriores sobre el conjunto de la
estructura:
Pasando a continuación a estudiar el equilibrio de los nudos. Para el nudo A:
Para el nudo B:
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126
Para el nudo C:
Para el nudo D:
Nudo E:
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127
Nudo G:
12 Nudo F: Nos queda por determinar N , considerando únicamente una ecuación de equilibrio:
1 2 3 4 5Resultando los esfuerzos: N = - 80 kN, N = 113 kN, N = - 80 kN, N = 80 kN, N = 42 kN,
6 7 8 9 10 11 N = - 110 kN, N = - 50 kN, N = -110 kN, N = 2 8 kN, N = 90 kN, N = - 90 kN,
12 13 N = 120 kN, N = 127 kN.
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problemas de estática del sólido rígido
128
17. Determinar el valor de las
solicitaciones de cada una de las
barras de la estructura articulada de
la figura.
Se trata de una estructura articulada
isostática, pues el cálculo de las
reacciones externas se puede abordar a
partir de las ecuaciones de equilibrio, al
igual que los esfuerzos en las barras, ya
que se cumple: nº de barras: b = 11, nº de nudos n = 7, verificándose: b + 3 = 2.n.
Procedamos en primer lugar al cálculo de las reacciones exteriores sobre el conjunto de la
estructura:
Siendo además: á= arctan (1,5/2) = 36,87º. Pasando a continuación a estudiar el equilibrio de los
nudos. Para el nudo A:
Para el nudo B:
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Para el nudo C:
Para el nudo D:
Para el nudo E:
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problemas de estática del sólido rígido
130
10 11Finalmente, en lo que respecta al nudo F, al no existir ninguna carga aplicad, N = N =0,
resultando:
1 2 3 4 5 6 7 N = - 166 kN, N = 133 kN, N = 0, N = 133 kN, N = - 83 kN, N = - 66 kN, N = 0,
8 9 10 11 N = 66 kN, N = 8,3 kN, N = 0, N = 0.
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problemas de estática del sólido rígido
131
18. Determinar las fuerzas siguientes que actúan
sobre el marco de la figura:
1) Reacciones del suelo en A y E.
2) Reacciones del pasador C sobre CE.
3) Reacciones del pasador B sobre AC.
A E1) Las reacciones del suelo: R y R , son verticales
y las determinamos a partir de las condiciones de
equilibrio estático:
E AResolviendo el sistema, tenemos; R = 2230 N, R = 1770 N.
2. Las reacciones del pasador C sobre CE, las determinamos planteando el equilibrio de la barra
CE.
Es necesario conocer la longitud del segmento CE. Aplicando el teorema del seno al triángulo
ACE:
Planteando el equilibrio de CE, de acuerdo con el diagrama de sólido libre de la figura:
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problemas de estática del sólido rígido
132
v v h hTenemos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas: C , D , C , D , necesitamos
plantear además el equilibrio de la barra BD, para ello, necesitamos calcular previamente las
longitudes DF y BF:
Pasando a continuación a considerar el equilibrio de la barra BD:
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problemas de estática del sólido rígido
133
v h v h v hTenemos pues, un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas: C , C , D , D , B , B :
v v v hDe (6): B = 1473,6 N. De (5): D = -2526,4 N. De (2): C = 296,4 N. De (3): C = 565,8 N.
h hDe (1): D = - 565,8 N. De (4): B = - 565,8 N.
v hLa reacción de C sobre CE: C = 296,4 N, C = 565,8 N.
v h3) La reacción de B sobre AC: - B = - 1473,6 N, - B = 565,8 N.
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134
19. El entramado de la figura se utiliza para
soportar un peso de 2000 N en F.
Determinar:
1. Reacción del pasador E sobre DE.
2. Reacción del pasador C sobre CF.
3. Reacción del suelo en B sobre AB.
Determinemos en primer lugar las reacciones en
A y B. Las condiciones de equilibrio:
H HTenemos pues un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde: A = - 2400 N, B =
V2400 N, y B = 2000 N.
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problemas de estática del sólido rígido
135
Pasemos a continuación a considerar el equilibrio de AB. El ángulo á que forma la barra DE con
la vertical: á =arctan (2/1) = 63,43º . Considerando la ecuaciones de equilibrio de AB:
Tenemos pues, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde:
D H VF = - 6710 N, C = 6000 N, C = 1004,5 N, quedando:
E D1) Reacción de E sobre DE: en módulo: F =F = 6710 N, según la dirección de ED, orientado
de E a D.
H V2) Reacción de C sobre CF: - C = - 6000 N, - C = - 1004,5 N.
H V3) Reacción del suelo en B sobre AB, serán: B = 2400 N, B = 2000 N.
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problemas de estática del sólido rígido
136
20. Calcular las reacciones en todas las
articulaciones del entramado.
Determinemos las reacciones en A y B. De
acuerdo con el diagrama de sólido libre del
conjunto:
x y yDe (1):A = 0, de (3): B = 45 kN, de (2): A = 75 kN.
Consideremos a continuación el equilibrio de
CD. La longitud de la barra CD, es, por
semejanza de triángulos: CD=3.8 / 6 = 4 m,
resultando:
y yDe (6): C = 30 kN, de (5) D = 90 kN.
Considerando finalmente la barra ACG:
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137
x x y xDe (9), C = 0, de (7), G = 0, de (8) G = -45 kN, de (4) D = 0.
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problemas de estática del sólido rígido
138
21. El peso W=5KN está colgando del entramado de
la figura. Calcular las fuerzas sobre el elemento
ABCD.
Si consideramos el equilibrio del conjunto, en A habrá una
x yreacción con dos componentes desconocidas A y A ,
mientras que en F, la reacción tendrá siempre la dirección
de la barra BF al no haber esfuerzos intermedios.
Suponiendo los sentidos supuestos de la figura, con BF
trabajando a tracción, las ecuaciones de equilibrio del
conjunto, serán:
De donde F = - 14144'27 N, con lo que BF trabaja a compresión y no a tracción como se había
x ysupuesto inicialmente, A = 10000 N, A = -5000 N,. Resultando además:
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problemas de estática del sólido rígido
139
x yF = F . cos 45º = - 10000 N, F = F . sen 45º = - 10000 N.
A continuación consideramos el equilibrio de la barra ABCD, suponemos que las reacciones en
B y C tiene la dirección de las barras BF y CE. Suponemos además en el diagrama que las barras
BF y CE trabajan a tracción, si bien como BF trabaja en realidad a compresión estableceremos
el signo negativo en el valor total de la fuerza de reacción en B. Para la reacciones en A,
mantenemos la orientación positiva de las componentes de la reacción, pero con los valores y
signos calculados. Otra posibilidad sería suponer que la barra BF trabaja a realmente compresión
yy la reacción A tiene la orientación real hacia abajo en este caso los valores numéricos de las
fuerzas al establecer las ecuaciones de equilibrio serían positivos pero con las orientaciones reales,
obteniendo resultados análogos.
x x y yB = F = -10000 N, B = F = -10000 N.
x yC = C. cos 45º = 0'707.C, C = C. sin 45º = 0'707.C.
Las ecuaciones de equilibrio:
y xDe donde: C=-14144'27 N (la barra CE trabaja a compresión), D = 5000 N, D = 10000 N,
x ycumpliéndose además: C = C . cos 45º = -10000 N, C = C . sin 45º = -10000 N
Los valores de las fuerzas calculados, nos permiten conocer también las fuerzas sobre DEG. En
el caso de considerar el equilibrio de la barra DEG, la reacción en D tendría los valores ya
calculados pero con orientación opuesta a la supuesta al estudiar el equilibrio de ABCD. Se puede
suponer que la barra CE trabaja a tracción pero con el valor negativo calculado en su reacción,
o a compresión pero con signo positivo.
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problemas de estática del sólido rígido
140
22. Se usa la armadura de la figura para un
mecanismo de elevación, con objeto de subir una
carga de W=4 KN. Determinar las fuerzas sobre las
barras ABC, CDE y BD.
Antes de considerar el equilibrio del conjunto del
entramado, consideremos el equilibrio de la polea.
Considerando que W =4 KN:
Se tiene que T = W = 4 KN , R = T+W = 8 KN.
Considerando el equilibrio de del conjunto. En este caso en C actuará la reacción R hacia abajo,
en A habrá una reacción con dos componentes y en E habrá una reacción horizontal :
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problemas de estática del sólido rígido
141
x y xDe donde: E = 10,667 KN, A = 8KN, A = -10,667 KN
Se puede llegar al mismo resultando, planteando el equilibrio del conjunto, polea incluida. A
continuación, pasamos a considerar el equilibrio de las piezas de forma independiente. Para la
x y barra ABC, se tendrá que en el extremo A, actúan las reacciones A y A ya calculadas al estudiar
el equilibrio del conjunto con el sentido positivo supuesto y el valor y signo calculado. En
x particular en lo que respecta a la componente A , podemos también considerar el sentido real (en
xeste caso A estará orientado hacia la izquierda) pero con valor positivo. La reacción en B de la
barra BD tendrá la dirección de la barra, se ha supuesto inicialmente que dicha reacción
corresponde a un esfuerzo de tracción. En C te tendrá la acción de la barra EDC, representada
x y por C y C , y además la reacción R hacia abajo de 8 KN . Se tendrá:
y y xResultando: B = 16 KN, C = 16 KN, C = 10,667 KN.
A continuación se podría pasar a considerar el equilibrio de la barra EDC, sin embargo no se ha
estimado necesario, ya que todas las fuerzas están en realidad calculadas. En cualquier caso la
xreacción E tendrá la dirección y valor ya calculados al estudiar el conjunto, la reacción en D
tendrá la dirección de la barra BD a tracción, con el valor y signo ya calculado, mientras que las
reacciones en C tendrán sentidos opuestos al supuesto inicialmente para ABC con el valor y signo
calculado.
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problemas de estática del sólido rígido
142
23. El peso de los libros que hay sobre un
estante equivale a una fuerza vertical de
375 N en D, según se indica en la figura.
Además del punto medio del brazo
inferior BC pende un peso de 250 N.
Hallar todas las fuerzas que se ejercen
sobre los tres miembros de este entramado
(fuerzas en las articulaciones A, B, C).
Considerando el equilibrio del conjunto, en A
habrá una reacción con dos componentes y en C una reacción horizontal:
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problemas de estática del sólido rígido
143
x y xDe donde: A = -900 N, A = 625 N, C = 900 N.
Si consideramos a continuación el equilibrio de la barra ADB, la reacción en A tendrá las dos
x ycomponentes A y A ya calculadas a las que habrá que añadir la reacción F de la barra AC. Dicha
reacción tendrá la dirección de la barra, al no tener ésta esfuerzos intermedios, que en principio
supondremos de tracción, resultando:
y xDe donde: B = 250 N, F = 500 N, B = 900 N.
Con estos resultados, tenemos también las fuerzas sobre CB, no siendo necesario considerar elequilibrio de dicha barra, no obstante en caso de estudiar las fuerzas en CB, en C actuaría la
xreacción del apoyo C . Y la reacción F de la barra AC, que habíamos supuesto que trabajaba a
x ytracción, en B actuarán las reacciones B y B ya calculadas pero con la orientación contraria al
estudiar ADB.
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problemas de estática del sólido rígido
144
24. El mecanismo de dos barras
representado en la figura se utiliza para
sostener un cuerpo W de 500 N. También
se aplica un par en F de M=1500 N.m, al
miembro CDE, según se indica en la
figura. Determinar el módulo de la fuerza
que ejerce el enlace del apoyo en A, para
mantener el mecanismo en equilibrio en la
posición que se indica en la figura.
Despreciar el peso de las barras.
La reacción en A será la tensión de tracción del cable T, y tendrá la dirección del cable. En este
caso no tiene sentido plantear el equilibrio del conjunto al haber demasiadas incógnitos: la tensión
x y , x yT y las reacciones en B: B , B y en D: D , D . Pasamos pues a considerar el equilibrio de cada
pieza por separado. Es necesario comenzar por la barra CDFE, ya que aparecen tres incógnitas:
x y xlas reacciones en D: D , D y la reacción en C: C , las cuales se pueden resolver a partir de las
ecuaciones de equilibrio. El enlace en C es del tipo guía-corredera y tendrá la dirección
perpendicular a la guía o ranura, en este caso dirección horizontal. Se ha supuesto, por convenio
xsentido positivo a las reacciones. En particular estamos interesados en calcular la reacción C ,
para pasar a continuación a estudiar el equilibrio de ABC, para ello será suficiente con la ecuación
de equilibrio de momentos respecto de D, no obstante se plantean a continuación las tres
ecuaciones de equilibrio:
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problemas de estática del sólido rígido
145
xDe donde, de la tercera ecuación, se tiene directamente: C = 2753,51 N, del resto de las
x yecuaciones: D = -2753,51, D = 500 N.
Planteando a continuación las ecuaciones de equilibrio para la barra ABC, si bien para determinar
la tensión en el cable es suficiente con la ecuación de equilibrio de momentos respecto de B:
De la ecuación de equilibrio de momentos: T = 4130,27 N.
xDe la primera ecuación: B = 1376'76 N.
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25. Para el entramado de la figura, determinar las
fuerzas ejercidas sobre el miembro BDF por los
pasadores en los puntos B y D.
En primer lugar comenzaremos planteando el equilibrio del conjunto, en particular nos interesa
calcular la reacción en E, así que con la ecuación de equilibrio de momentos respecto de A será
suficiente:
yDe donde: E = 700 N.
Estableciendo el equilibrio para BDF:
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x y, x y ,Se tiene un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas: B , B D , D de donde:
y y x xD = 950 N, B = -50 N, B = -D
x xPara determinar B , y D , hay que considerar el equilibrio de CDE, en particular la ecuación de
y yequilibrio de momentos respecto de C, teniendo en cuenta que E = 700 N y D = 700 N :
x x xDe donde D = 700 N. De (2): B = -D = -700 N
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148
26. El entramado de la figura, soporta la carga de
2000 N. Se desprecian los pesos de los miembros.
Calcular las reacciones en B, C y E
Antes de considerar el equilibrio del conjunto,
estudiemos el equilibrio de la polea, se tiene
directamente:
x yAl estudiar el equilibrio del conjunto en A habrá una reacción con dos componentes: A y A , y
xen D una reacción de componente horizontal D , habrá que considerar además las reacciones en
F de la polea y la tensión del cable en G, producida por la carga de 2000 N, resultando
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x y xSe tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: A , A , D . De donde:
x x yD = 2200 N, A = 2200 N, A = 2000 N.
A continuación consideramos el equilibrio de la barra BEF. Esta barra está conectada en E la barra EC, la cual transmitirá una reacción E según la dirección de la barra, al no estar sometida
a esfuerzos intermedios. Aunque EC no presente una forma esbelta, se considera que la dirección
de la barra es la definida por las articulaciones EC, por convenio supondremos que inicialmente
la barra EC trabaja a tracción. El ángulo á de inclinación de la reacción, será: á = artan(0'9/1'8)=
26'565, las ecuaciones de equilibrio, serán:
De la tercera ecuación, se tiene directamente: E = - 7453'57 N, al ser un valor negativo, la barra
trabajará a compresión, se tiene además:
x yE = - 7453,57 . cos 26,5 = - 6666'67 N. E = -745357 . sen 26,565 = - 3333,33 N .
Del resto de las ecuaciones:
x yB = -4670´45 N, B = -1333,33 N
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150
27. En la grúa de la figura, determinar:
a) Fuerza en la barra CD
b) Fuerza en la barra CA
c) Fuerza de la articulación A sobre AB
a) De acuerdo con la figura:
x yConsideremos a continuación el equilibrio del conjunto de la estructura. A , A es la reacción
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problemas de estática del sólido rígido
151
DCtotal en la articulación A y F la reacción en la articulación D, esta reacción tendrá la dirección
de CD:
DC x DCDe (3): F = - 228000 N, de (2) Ay = 318000 N, de (1) A = 0. LA fuerza en la barra CD es F .
b) Considerando a continuación el equilibrio del nudo D, teniendo en cuenta que la barra CD
DC CA BCtransmite la fuerza F , la barra CA, la fuerza F y el cable CB la fuerza F . Todas estas fuerzas
tienen direcciones conocidas:
AC BCResolviendo el sistema: F = -186630,671 N, F = 146413,898 N
c) La fuerza total de la articulación A sobre AC, será la suma vectorial de la reacción en A sobre
CA ACel conjunto de la estructura más la fuerza F = F . De acuerdo con el diagrama de la figura:
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problemas de estática del sólido rígido
152
28. En la figura puede verse una
plataforma para cargar un camión situada
en la parte trasera del mismo. Su posición
la regula un cilindro hidráulico que le
aplica una fuerza P. Los barras giran
alrededor de ejes fijos al chasis del camión
en A, B y F. Determinar la fuerza P que
ejerce el cilindro para mantener la
plataforma en la posición indicada de la
figura. Puede despreciarse el peso de la
plataforma y de las barras frente al peso
W= 2500 N correspondiente al peso del objeto que se está elevando.
Si consideramos todo el sistema en su conjunto y planteamos las condiciones de equilibrio
estático, tendremos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas: La fuerza P del cilindro
hidráulico, las dos componentes de la reacción en la articulación en A y la reacción en B, que
tendrá la dirección EB. Tendremos que proceder considerando el equilibrio de cada una de las
piezas que conforman el conjunto del sistema, planteando el equilibrio para cada una de ellas por
separado. Para la plataforma DE:
y yDe (3): D = 4583,33 N, de (2) E = -2083,33 N. Consideremos a continuación el equilibrio de
la barra BE, la condición de equilibrio de momentos respecto de B:
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problemas de estática del sólido rígido
153
x xDirectamente de la ecuación (4): E = 1602,56 N, sustituyendo en (1): D = -1602,56 N. Hay que
hacer notar que la ecuación (4) equivale a suponer que los esfuerzos en las articulaciones E y B
están orientados según la recta EB, lo cual es lógico puesto que la barra BE no está sometida a
esfuerzos intermedios.
Consideremos a continuación el equilibrio de la barra DA. Tomando momentos respecto de A:
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problemas de estática del sólido rígido
154
29. La figura muestra unas tijeras para cortar alambre. El mecanismo está diseñado para
que se aplique una fuerza de 400 N en los mangos. Determinar las fuerzas resultantes sobre
el alambre.
De acuerdo con las condiciones de equilibrio para AB:
De acuerdo con las condiciones de equilibrio para BC:
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problemas de estática del sólido rígido
155
y yDe (6): C = 15200 N, de (5): B = 14800 N , de (3): P = 59200 N
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problemas de estática del sólido rígido
156
30. En el sistema de engranajes planetario
indicado, el radio del engranaje central A
es a, el radio del engranaje planetario B
es b y el radio del engranaje interior E es
A(a+2.b). Se aplica un par de módulo M al
engranaje central A en sentido horario y
Aun par de módulo 5.M y de sentido
contario a la pieza BCD que soporta los
ejes de los engranajes. Si el sistema debe
de estar en equilibrio, determinar: a) La
Erelación b/a requerida. b) El par M que debe de aplicarse al engranaje interior E.
Considerando la ecuación de equilibrio de momentos para el engranaje A, este engranaje estará
t Asometido a tres fuerzas tangenciales F , producidas por los engranajes B, C y D y al par M :
Repitiendo lo mismo para la pieza BCD:
Considerando a continuación los engranajes planetarios, tomando momentos respecto del punto
de contacto E:
EFinalmente, si consideramos el equilibrio de todo el conjunto, tendremos un par M desconocido,
A Aun par M horario y otro 5.M , anti-horario, resultando:
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problemas de estática del sólido rígido
158
31. Sobre el extremo D del
mecanismo de la figura, actúa una
xfuerza P , de componentes P =2000
yN y P =1000 N, y sobre B, una
fuerza vertical Q=4000 N, con los
sentidos indicados en la figura. La
longitud l=1 m. Determinar el
momento M necesario para
mantener en equilibrio el
mecanismo, suponiendo un ángulo è=30º.
Considerando el equilibrio de BC:
x y yDe donde: B = -2000 N, B = 5309,401 N, C = -309,401 N
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problemas de estática del sólido rígido
159
Considerando a continuación el equilibrio de AB, en particular el balance de momentos respecto
de A ( en este caso la fuerza Q no hay que incluirla, ya que ya se ha tenido en cuenta en BC ):
De donde: M = 5598,0761 N.
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problemas de estática del sólido rígido
160
32. Determinar e l momento M
correspondiente al par que hay que aplicar al
mecanismo pistón-biela-manivela de la figura.
Particularizar para è = 30º, a = 0,6 m, b = 0,4
m, P=100 N.
La relación entre los ángulos de inclinación de las barras è y á:
La biela BC no tiene esfuerzos intermedios, por tanto trabajará a tracción o compresión. Se ha
supuesto que inicialmente trabaja a compresión. El equilibrio de la articulación B:
Teniendo en cuenta, que de acuerdo con la figura, el ángulo â del triángulo ACD vale:
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161
Considerando a continuación, la ecuación de equilibrio de momentos de la manivela AC, tenemos
directamente el momento M:
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162
33. El cabestrante de la figura se compone de un mástil BE, una columna BD, vertical, y
tres cables AD, CD y DE. A, B y C, están en un plano horizontal. AC resulta cortado en su
punto medio por el plano vertical que contiene a: BD, BE y DE. Determinar las fuerzas en
AD, CD y BD. Se cumple:
DB = 5 m; AB =5 m; CB= 5 m; P =10000 N
Es posible estudiar inicialmente el equilibrio del conjunto BDE, y determinar la reacción total en
B y las reacciones en los cable CD y AD, sin embargo en esta ocasión, consideramos el equilibrio
de cada barra por separado. Supongamos en primer lugar la barra BE. La reacción del cable DE,
tendrá la dirección del cable y la reacción del apoyo B, la dirección de la barra, al no estar ésta
sometida a fuerzas en posiciones intermedias, las ecuaciones de equilibrio, prescindiendo de la
ecuación de equilibrio de momentos, ya que esta condición ya se tiene en cuenta al suponer que
la reacción en B tiene la dirección de la barra:
Pasemos a continuación a estudiar el equilibrio de BD, de acuerdo con la geometría de la figura,
se cumple:
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problemas de estática del sólido rígido
163
á=â= 40º, =ã=45º, è=ë =50º
Las ecuaciones de equilibrio, son:
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problemas de estática del sólido rígido
164
34. Un poste de 4m de altura, está apoyado
perpendicularmente sobre el centro de un
hexágono regular de 3 m de lado, situado sobre el
suelo. Del extremo superior del poste parten
tirantes sujetos a cada uno de los vértices del
hexágono. Las tensiones de cuatro de los tirantes
1 2 3consecutivos, son: T =10000 N, T = 25000 N, T
4= 30000 N y T = 35000 N. Calcular el valor de las
tensiones de los otros dos tirantes para que la
presión del poste sobre el suelo sea vertical.
Determinar la fuerza total de compresión sobre el
poste.
i ViLa tensión T en los cables se pueden descomponer en una componente T según la dirección del
Hi poste y en otra dirección T normal al poste. Para que la presión del poste sobre el suelo sea
vertical, debe de ser nula la resultante de las componentes horizontales de las tensiones de los
Hicables. Se cumplirá para un cable genérico i, que el módulo T :
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problemas de estática del sólido rígido
165
Imponiendo la condición de que la resultante de las componentes horizontales sea nula:
Hi iTeniendo en cuenta que T = T . 3 / 5 :
Sustituyendo en el sistema anterior:
H5 H6 H5Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas T y T , de donde: T = 3000 N
H6y T = 30000 N. Las tensiones absolutas de los cables:
Lo compresión total sobre el poste será la suma aritmética de las componentes verticales de los
cables:
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166
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problemas de estática del sólido rígido
167
35. Una plataforma de 2,4 x 3 m y 2500 N, se
mantiene en posición horizontal mediante dos
bisagras en A y B y el cable CD, sujeto en D,
situado a 1,5 m por encima de B y en su
vertical. Determinar la tensión en el cable y las
componentes de las reacciones en las bisagras.
Se supondrá que la bisagra A presenta
componentes según Oy , y Oz, mientras que la
bisagra en B presenta componentes según Ox ,
Oy, Oz . A efectos de cálculo, las bisagras A y B
se supondrán coincidente con los vértices.
Los ángulos á y â definen la orientación del
cable CD, de acuerdo con la figura:
De acuerdo con el diagrama de sólido libre de la
figura, las ecuaciones correspondientes al equilibrio de fuerzas:
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problemas de estática del sólido rígido
168
La ecuación correspondiente al equilibrio de momentos, siendo B el centro de momentos:
Siendo:
Resultando la ecuación de equilibrio de momentos:
Desarrollando los determinantes y ordenando términos:
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problemas de estática del sólido rígido
169
z y xResultando, de (4): T = 4230,118 N; de (5) A = - 416,62 N; de (6) A = 0; de (1) B = 336,2 N;
y zde (2) B = 1996,674 N; de (3) B = 1250 N.
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problemas de estática del sólido rígido
170
36. La varilla AB de 2,4 m y la varilla
BC de 1,8 m están articuladas en B y
sustentadas mediante el cable DE y
rótulas en A y C. Sabiendo que h=0,9
m, determinar la tensión en el cable
para la carga representada.
Si consideramos el equilibrio de las dos barras conjuntamente, tendremos un sistema de seis
ecuaciones con siete incógnitas: las seis componentes de las reacciones an A y C, y la tensión T
del cable. Por esta razón procederemos a analizar el equilibrio de cada barra por separado.
Comenzaremos estudiando la barra BC. de acuerdo con el diagrama de sólido libre, tendremos,
para las ecuaciones correspondientes al equilibrio de fuerzas:
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problemas de estática del sólido rígido
171
La ecuación vectorial de equilibrio de momentos, siendo C el centro de momentos:
y y z zDirectamente, de (5): B = 0, de (2): C = 0, de (4) B = 420 N, de (3) C = 420 N. Necesitamos
considerar a continuación, el equilibrio de AB, para ello determinemos los ángulos á y â:
Las componentes de la tensión T del cable, serán:
Las condiciones de equilibrio estático para la barra AB, considerando en primer lugar la ecuación
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problemas de estática del sólido rígido
172
de equilibrio de fuerzas :
Y la ecuación de equilibrio de momentos:
x x xDe (9): T = 1680 N, de (10): B = - 840 N, de (1): C = 840 N, de (6): A = 1948,8 N,
y zde (7): A = 1108,8 N, de (8) A = -134,4 N.
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problemas de estática del sólido rígido
173
37. El eje de transmisión AE gira a velocidad constante, accionado por un motor eléctrico
conectado a la polea B mediante una correa plana. La polea D acciona un eje paralelo
B1 B2 D1 D2situado a la misma altura que AE. Sabiendo que T + T = 180 N, T = 180 N y T = 60
N, determinar: a) La tensión en cada tramo de la correa de transmisión de la polea B, b)
Las reacciones en los cojinetes A y E.
Consideremos el equilibrio del eje AE, sobre este cuerpo actuarán las fuerzas de las correas y las
reacciones en los cojinetes, dado que las fuerzas de las correas no presentan componentes según
Oy, las reacciones en los cojinetes A y E tampoco tendrán componentes en esa dirección,
resultando, para la ecuación de equilibrio de fuerzas:
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problemas de estática del sólido rígido
174
Pasemos a continuación a plantear la ecuación de equilibrio de momentos. Considerando A como
centro de momentos:
Siendo, para los vectores de posición:
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problemas de estática del sólido rígido
175
Para la fuerzas:
Resultando, la ecuación de equilibrio de momentos:
Operando y ordenando términos:
Además, tenemos la ecuación:
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problemas de estática del sólido rígido
176
B1 B2Resultado un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas. De (6): T = 180 -T , sustituyendo
B2 B1 z x xen (4), tenemos: T = 45 N; T = 135 N. De (3) E = 27,35 N. De (5) E = 187,5 N. De (1): A
z= - 20,92 N. De (2) A = 136,79 N.
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problemas de estática analítica
177
ESTÁTICA ANALÍTICA
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problemas de estática analítica
178
1. Una varilla de peso P=100 N y longitud l, está
colocada sobre un ángulo recto liso, uno de
cuyos lados forma un ángulo con la horizontal de
á=30º. Determinar el ángulo que forma la
varilla con la horizontal en la posición de
equilibrio.
El sistema de la varilla posee un sólo grado de
libertad en donde podemos tomar como coordenada
generalizada el ángulo que forma la varilla con la
horizontal. Únicamente existe una fuerza
directamente aplicada actuando sobre la varilla: el
peso P aplicado en su c.d.g. G, esta fuerza deriva
de un potencial gravitatorio, por lo que el problema
se podrá resolver también aplicando el método de
los potenciales.
Aplicando primeramente el principio de los trabajos virtuales:
Siendo:
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problemas de estática analítica
179
Resultando unos desplazamientos virtuales:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:
Como la fuerza directamente aplicada P deriva de un potencial de tipo gravitatorio, es posible
resolver el problema aplicando el método de los potenciales. La ecuación de equilibrio es
equivalente, ya que ésta se obtiene en realidad a partir del principio de los trabajos virtuales, si
bien el proceso resulta más directo:
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problemas de estática analítica
180
2. Una viga AB, homogénea de 8 m de longitud
y 10000 N de peso, está articulada en A y sujeta
en B por un cable BC, como indica la figura.
Calcular la tensión en el cable.
Para resolver este problema mediante el método de
los trabajos virtuales, hay que suprimir el cable CB
y considerar su efecto, la tensión T, no como una
reacción sino como una fuerza directamente
aplicada. El sistema así considerado, será una
varilla con un grado de libertad en el que la
coordenada generalizada es el ángulo á, que en
principio será considerado como una variable. La
ecuación de los trabajos virtuales, resulta:
Resultando:
Teniendo en cuenta además, que para el valor particular de á=60º, el ángulo resultante, es:
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problemas de estática analítica
181
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales, despejando T y sustituyendo para los valores
particulares de á = 60º, = 37,589º:
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problemas de estática analítica
182
3. Una barra uniforme de longitud 2.l y
peso P, se apoya en una semiesfera hueca
perfectamente lisa, de radio r, siendo 2.l >
2.r. Hallar el ángulo que forma la barra
con la horizontal en el equilibrio.
Se trata de un sistema de un grado de
libertad en donde se ha tomado como
coordenada generalizada el ángulo . Existe
una fuerza directamente aplicada: el peso P
en el c.d.g. Esta fuerza deriva de un
potencial gravitatorio, por lo que el
problema se puede también resolver
mediante el método de los potenciales.
Aplicando en primer lugar el principio de los trabajos virtuales, teniendo en cuenta la geometría
de la figura:
De acuerdo con la geometría de la figura, resulta:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:
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problemas de estática analítica
183
En donde la solución válida corresponderá lógicamente al signo positivo del radical.
Es posible resolver también el problema, mediante el método de los potenciales:
Expresión que coincide lógicamente, con la obtenida mediante el principio de los trabajos
virtuales.
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problemas de estática analítica
184
4. Una varilla delgada de longitud l y peso P está
situada entre la pared y un punto de apoyo C.
Despreciando el efecto del rozamiento, determinar
el ángulo è que forma la varilla con la pared en el
equilibrio.
Se trata de un sistema con un grado de libertad, en el
que la coordenada generalizada puede ser el ángulo è
que forma la varilla con la vertical. Existe una fuerza
solicitante o directamente aplicada sobre la varilla: su
peso P en el c.d.g. G, esta fuerza deriva además de un
potencial gravitatorio. Aplicando el principio de los
trabajos virtuales:
Resultando:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:
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problemas de estática analítica
185
Aplicando el método de los potenciales:
La posición de equilibrio, vendrá dada por la condición:
Esta ecuación coincide con lo obtenida mediante el principio de los trabajos virtuales.
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problemas de estática analítica
186
5. Un cilindro de 100 N de peso y de 1 m de
diámetro está alojado entre las piezas cruzadas
de la figura, formando un ángulo de 60º entre sí.
Determinar la tensión en la cuerda horizontal
DE, suponiendo que el suelo es liso y las pinzas
están apoyadas en el suelo.
Para poder abordar el problema mediante el método
de los trabajos virtuales, suprimimos el cable DE
por la acción equivalente: la tensión T, y
consideramos esta fuerza, no como una fuerza de
reacción, sino como una fuerza directamente
aplicada, el sistema así considerado tiene movilidad
ya que las piezas se pueden abrir o cerrar al no
existir cable, existiendo un grado de libertad.
Consideramos como coordenada generalizada el
semi-ángulo á que define la apertura de las piezas.
A continuación planteamos la ecuación de los
trabajos virtuales, que nos dará la condición de
equilibrio, particularizando posteriormente para el
ángulo á = 30º y resolviendo para la tensión T:
Resultando, para los vectores fuerzas aplicadas:
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problemas de estática analítica
187
Para los vectores de posición de los puntos de aplicación:
Para los desplazamientos virtuales:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales, obtenemos la condición de equilibrio:
Despejando la tensión T del cable, y sustituyendo para á=30º y P=100 N:
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problemas de estática analítica
188
6. Determinar el momento M correspondiente
al par que hay que aplicar al mecanismo
pistón-biela-manivela de la figura.
Particularizar para è = 30º, a = 0,6 m, b = 0,4
m, P=100 N.
Se trata de un problema en donde aparece el
concepto de trabajo de rotación. El sistema
presenta una grado de libertad, en donde el
ángulo de giro de la manivela è es la coordenada
generalizada, este ángulo nos permite definir un
vector rotación è cuyo módulo es el valor del
ángulo è, dirección perpendicular al plano de la
figura y sentido dado por la regla de la mano
derecha, en donde el sentido positivo del giro es
el contrario a las agujas del reloj. El vector momento M tendrá también una dirección normal al
plano de la figura, cuyo sentido vendrá definido por un criterio idéntico al vector rotación è.
Existirán dos acciones solicitantes o directamente aplicadas: el momento M y la fuerza sobre el
B pistón F , la ecuación de los trabajos virtuales, teniendo en cuenta el trabajo de rotación asociado
al momento M y la rotación è:
Siendo:
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problemas de estática analítica
189
Es necesario encontrar una relación entre los ángulos è y á, con objeto de expresar la condición
de equilibrio en función de la coordenada generalizada è. Se cumplirá:
Resultando:
Resultando:
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problemas de estática analítica
190
7. A la articulación B, se aplica una carga
vertical P. La constante del muelle es k y el
muelle no está sometido a ninguna tensión
cuando AB y BC están horizontales.
Despreciando el peso del sistema, obtener la
condición de equilibrio del sistema en función
del ángulo è que forman las barras con la
horizontal y de las características mecánicas
del sistema: k, P, l.
Se trata de un sistema de un grado de libertad, en
el que la coordenada generalizada es el ángulo è
que forman las barras con la horizontal. Además,
las fuerzas solicitantes que actúan sobre el sistema
derivan de un potencial: la carga P de un potencial
gravitatorio y la fuerza del muelle de un potencial
elástico, pudiendo resolverse el problema, bien por
el método de los trabajos virtuales, bien por el
método de los potenciales. Resolviendo por el método de los trabajos virtuales, resulta:
En donde:
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problemas de estática analítica
191
Con objeto de poder sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de los trabajos virtuales,
Ces necesario obtener una expresión del alargamiento del resorte Äs y la fuerza F en función del
ángulo è:
Resultando:
Se podría continuar y obtener una expresión explícita para tanè, a partir de la relación entre cosè
y tanè, aunque el proceso puede resultar largo. Si hubiésemos empleado el método de los
potenciales:
La condición de equilibrio, será:
Expresión que coincide con la obtenida mediante el método de los trabajos virtuales.
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problemas de estática analítica
192
8. En el sistema de la figura, la constante
del muelle es k y el muelle no está
deformado cuando è = 0. Para un valor de
la carga P=2.k.l, determinar el ángulo è
correspondiente a la posición de equilibrio.
Se trata de un sistema de un grado de libertad
en el que la coordenada generalizada
considerada es el ángulo è que forma la barra
con la horizontal. Las fuerzas solicitantes que
actúan sobre el sistema de la barra: peso P y
fuerza del resorte en B derivan de un
potencial gravitatorio y de un potencial
elástico, pudiendo resolverse también el
problema mediante el método de los
potenciales. Resolviendo en primer lugar
mediante el método de los trabajos virtuales:
P R Siendo F y F las fuerzas gravitatorias y del resorte, respectivamente, cumpliéndose:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:
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193
como P=2.k.l:
Planteando el problema mediante el método de los potenciales, expresando la función potencial
en función de la coordenada generalizada:
La posición de equilibrio vendrá dada por la condición:
Expresión que coincide con la obtenida por el método de los trabajos virtuales.
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194
9. En la figura puede verse una plataforma para cargar un camión situada en la parte
trasera del mismo. Su posición la regula un cilindro hidráulico que le aplica una fuerza P.
Los barras giran alrededor de ejes fijos al chasis del camión en A, B y F. Determinar la
fuerza P que ejerce el cilindro para mantener la plataforma en la posición indicada de la
figura. Puede despreciarse el peso de la plataforma y de las barras frente al peso W= 2500
N correspondiente al peso del objeto que se está elevando.
Consideremos como coordenada generalizada el ángulo á que forma CA con la horizontal, de
acuerdo con la figura, tenemos:
Las fuerzas directamente aplicadas, son: el peso W del objeto y la fuerza P del cilindro. El
principio de los trabajos virtuales, será:
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195
En donde, teniendo en cuenta, que para una pequeña variación del ángulo á, el ángulo
permanece prácticamente igual a cero:
Cumpliéndose también:
Y también:
OSustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales y particularizando para á=á =35º:
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196
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problemas de estática analítica
197
10. Un dispositivo de exploración espacial que se
despliega desde el cuerpo A de un vehículo espacial
no tripulado apoyado sobre una superficie lunar,
consta de un pantógrafo con resorte, dotado de una
cabeza detectora B. Se desea seleccionar un resorte
que limite a 150 N la fuerza vertical P de contacto
en la posición para la cual è = 120º. Si es
despreciable la masa de los brazos y de la cabeza,
especificar la constante k necesaria del resorte. El
resorte no está comprimido para è = 30º. La
distancia entre articulaciones de las barras FC =
300 mm.
Se trata de un sistema de un grado de libertad, en el
que la coordenada generalizada es el ángulo è de
abertura entre las barras. Las fuerzas solicitantes son:
la fuerza vertical de contacto P y la fuerza horizontal
del resorte Q que podemos suponer aplicada en C. La
ecuación de los trabajos virtuales:
Siendo:
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problemas de estática analítica
198
Y también:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales, despejando k y particularizando para P=150
N y è = 120º:
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199
11. Determinar el módulo del par M requerido para mantener el equilibrio del mecanismo
de la figura en la posición indicada de la izquierda, suponiendo que el rozamiento es nulo.
Estudiemos el mecanismo en una posición genérica. Se trata de un sistema de un grado de
libertad, sea á la coordenada generalizada, se cumplirá:
Aplicando el principio de los trabajos virtuales:
En donde:
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Y también:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales, despejando M y sustituyendo para á=0:
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201
12. Una varilla AB de peso P, está unida a dos
bloques A y B, los cuales pueden moverse
libremente por respectivas guías, como indica la
figura. La constante del muelle es k y el muelle
no está deformado cuando AB está en posición
horizontal. Determinar la condición de
equilibrio en función del ángulo è que forma la
varilla con la horizontal y de las características
mecánicas del sistema: k, P, l.
El sistema de la barra presenta un grado de
libertad, eligiendo como coordenada generalizada
el ángulo è que forma la barra con la horizontal.
Las fuerzas solicitantes que actúan sobre la barra:
peso P y fuerza del resorte, derivan ambas de un
potencial, pudiendo establecer la condición de
equilibrio, bien por el método de los trabajos
virtuales, bien por el método de los potenciales.
Aplicando el principio de los trabajos virtuales:
Siendo:
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problemas de estática analítica
202
Y también:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:
Resolviendo el problema mediante el método de los potenciales:
La condición de equilibrio es una expresión que coincide con la obtenida anteriormente:
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problemas de estática analítica
203
13. En el sistema de la figura, se pide,
determinar la condición de equilibrio, en
función del ángulo è y de las
características mecánicas y geométricas
del sistema: W, P, l. Determinar el ángulo
è cuando P = W.
Se trata de un sistema de un grado de
libertad, en donde se ha tomado como
coordenada generalizada el ángulo è que
forma la barra con la horizontal. Las fuerzas
que actúan sobre la barra: P y W derivan de
un potencial gravitatorio, pudiendo
resolverse el problema, bien por el método
de los trabajos virtuales, bien por el método
de los potenciales. Planteando la ecuación de
los trabajos virtuales:
Siendo:
BWEs necesario expresar F en función de la coordenada generalizada è, para ello, de acuerdo con
la geometría de la figura:
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problemas de estática analítica
204
Resultando:
Continuando con el resto de los términos que aparecen en la ecuación de los trabajos virtuales:
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:
Es posible obtener este mismo resultado, aplicando el método de los potenciales:
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problemas de estática analítica
205
La condición de equilibrio, es:
Expresión, que coincide con la obtenida mediante el principio de los trabajos virtuales.
b) Si W = P, la ecuación anterior se convierte en:
Esta ecuación se puede resolver tanteando, mediante el método del ensayo y error. Después de
varios ensayos, encontramos una solución satisfactoria para cos è = 0,843 ó è = 32,5º.
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problemas de estática analítica
206
14. Sobre el extremo D del mecanismo
de la figura, actúa una fuerza P , de
x ycomponentes P =2000 N y P =1000 N,
y sobre B, una fuerza vertical Q=4000
N, con los sentidos indicados en la
figura. La longitud l=1 m. Determinar
el momento M necesario para mantener
en equilibrio el mecanismo, suponiendo
un ángulo è=30º, aplicando el principio de los trabajos virtuales.
Se trata de un sistema de 1 grado de libertad,
donde la coordenada generalizada puede ser
el ángulo è que forma la barra AB con la
vertical. Suponiendo un sistema de referencia
inercial con origen en A, se tiene:
Resultando:
Los desplazamientos virtuales:
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207
Resultando:
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problemas de estática analítica
208
15. Una carga W de 800 N está aplicada en
el punto B del mecanismo indicado en la
figura. Despreciando el peso de éste,
obtener el valor del ángulo è,
correspondiente a la posición de equilibrio.
La constante del muelle es de k = 10 KN/m
y está libre de tensión cuando la barra AC
está horizontal.
Se trata de un mecanismo de un grado de
libertad en donde la coordenada generalizada
se ha tomado el ángulo è de inclinación de la
pieza CDE. Las fuerzas solicitantes son el
E peso W y la fuerza del resorte F aplicada en
E y de dirección tangente al arco de
circunferencia del mecanismo. De acuerdo con el principio de los trabajos virtuales:
Siendo
Con objeto de expresar la ecuación de equilibrio en función de è, establecemos la relación entre
á y è:
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problemas de estática analítica
209
BResultando para los desplazamientos virtuales, teniendo en cuenta que en r interesa únicamente
la segunda componente:
Resultado la ecuación de equilibrio, sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:
Resolviendo por tanteos è = 32º
Como alternativa se puede resolver el problema mediante el método de los potenciales:
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210
La ecuación de equilibrio será:
Ecuación que coincide con la obtenida mediante los trabajos virtuales
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problemas de estática analítica
211
16. En la figura del problema: el peso P = 1000 N, la barra de longitud l = 300 mm, y la
constante de rigidez de cada muelle, k= 12000 N / m. Se pide:
a) Determinar la menor distancia d para la que es estable el equilibrio de la varilla AB en
la posición indicada ( è = 0 ). Cada muelle puede trabajar a tracción o compresión.
b) Si P = 2500 N, l = 400 mm y d =300 mm, determinar el menor valor de k para el que es
estable, en la posición indicada, el equilibrio de la varilla AB.
c) Si d=320 mm, l = 480 mm y k = 50000 N / m, determinar el mayor valor de P para el que
es estable, en la posición indicada, el equilibrio de la varilla AB.
a) Para el estudio del problema de la estabilidad, tenemos que aplicar el método de los
potenciales. Las fuerzas que actúan sobre el sistema de la varilla derivan de un potencial: el peso
P de un potencial gravitatorio, la fuerza de los resortes de un potencial elástico. El sistema
presenta un grado de libertad y la coordenada generalizada elegida es el ángulo è que forma la
varilla con la vertical. La función potencial:
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problemas de estática analítica
212
La posición de equilibrio, vendrá dada por la condición:
Una de las soluciones de esta ecuación corresponde a sen è = 0 è = 0, que es la posición de
equilibrio relativa al enunciado del problema. La condición de estabilidad, será:
Para la posición de equilibrio pedida: è = 0, cos è = 1, quedando:
b) Partiendo de la misma condición de estabilidad:
c) Repitiendo el proceso:
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213
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problemas de estática analítica
214
17. De acuerdo con la figura del problema, se pide:
a) El mayor valor de la relación P / W para la que è = 0º
es una posición de equilibrio estable.
b) El menor valor de la relación P / W para la que è =
180º es una posición de equilibrio estable.
a) Se trata de un sistema de un grado de libertad en el que la
coordenada generalizada escogida es el ángulo è que forma
la barra con la horizontal. La longitud total del cable DAB es
Oconstante y se representa por l . Las fuerzas que actúan sobre
el sistema de la barra: el peso P y el peso W, derivan ambas
de un potencial gravitatorio, la función potencial, es:
O OSiendo l la longitud total del cable l = DAB. Las posiciones de equilibrio, vienen dadas por la
condición:
Esta condición se cumple para sen è = 0 è = 0, è = ð, que coincide con las posiciones de
equilibrio del enunciado. La condición de estabilidad, vendrá dada por:
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215
Para è = 0, la condición de estabilidad:
b) Para è = ð, la condición de estabilidad:
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problemas de estática analítica
216
18. La barra uniforme de la figura, presenta un peso W y
una longitud l. La longitud natural del resorte es l.
Determinar las posiciones de equilibrio posibles y la
estabilidad del equilibrio en cada una de ellas si W=100 N,
l=60 cm y k=467 N/m.
Aplicamos el método de los potenciales. Se toma como origen
de potenciales el punto A, la coordenada generalizada es el
ángulo è que mide la inclinación de la varilla respecto de la
vertical. El sistema presenta dos potenciales: el potencial
gravitatorio correspondiente al peso de la varilla uniforme y el
potencial elástico, correspondiente a la deformación del
resorte. Se cumplirá:
Siendo, por geometría:
Resultando para la función potencial:
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problemas de estática analítica
217
Derivando sucesivamente esta expresión:
Las posiciones de equilibrio, se obtienen igualando a cero la primera derivada:
La estabilidad del equilibrio se estudia dando valores a la segunda derivada, de acuerdo con las
posiciones de equilibrio calculadas:
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218
19. El resorte de la figura tiene una longitud
natural de 0,4 m. Hallar la constante k que ha de
tener el resorte para que haya equilibrio cuando
B Dè=30 º, si W =1500 N, W =2500 N y l=1,2 m. Los
pesos de las barras son despreciables. Estudiar la
estabilidad.
Aplicamos el método de los potenciales. Se toma
como origen de potenciales el punto A, la coordenada
generalizada es el ángulo è que mide la inclinación de
las varillas respecto de la horizontal. El sistema
presenta dos potenciales: el potencial gravitatorio
correspondiente los pesos suspendidos y el potencial
elástico, correspondiente a la deformación del resorte.
Se cumplirá:
Siendo, por geometría:
Resultando:
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problemas de estática analítica
219
Derivando sucesivamente:
Las posiciones de equilibrio, se obtienen igualando a cero la primera derivada:
La primera condición de equilibrio se verifica para è = 90º, y es independiente del resto de los
valores del sistema. La segunda condición se ha particularizado para è = 30º y se ha obtenido el
valor de k para dicha condición. La estabilidad se estudia dando valores a la segunda derivada,
para è = 30º y k = 3281'25 N/m:
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problemas de estática analítica
220
20. Determinar la posición de equilibrio de
un sistema articulado formado por dos
barras homogéneas de longitud l y peso P
= 500 N, sometido a una carga horizontal
Q = 1000 N aplicada en el extremo C.
Se trata de un sistema de dos grados de
libertad en el que las coordenadas
1 2generalizadas son los ángulos è y è que
forman las barras con la horizontal. Aplicando
el principio de los trabajos virtuales:
Siendo:
Y para los desplazamientos virtuales:
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problemas de estática analítica
221
Sustituyendo en la ecuación de los trabajos virtuales:
Reagrupando la ecuación anterior:
Esta ecuación se cumple para cualquier variación en las coordenadas generalizadas, teniendo en
consecuencia un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es inmediata:
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problemas de estática analítica
222
21. Dos varillas de peso despreciable, están
sujetas a discos cilíndricos de radio r que están
conectados entre sí por una correa y un muelle
de constante k. El muelle está sin deformar
1 2cuando è = è = 0. Determinar el mayor valor
de la fuerza P para la que es estable la posición
1 2de equilibrio correspondiente a: è = è = 0.
Particularizar para k = 2000 N / m, r = 0,03 m,
l = 0,06 m, W = 1000 N.
Se trata pues de un sistema de dos grados de
libertad, el que las coordenadas generalizadas son
1 2los ángulos è , è . Para el estudio de la estabilidad
partiremos de la función potencial:
Las condiciones de estabilidad para una función potencial de dos variables, son:
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problemas de estática analítica
223
Calculemos las derivadas parciales de la función potencial, para la posición pedida en el
enunciado:
Vemos pues que las condiciones (1) y (3), se cumplen inmediatamente. La condición (2):
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problemas de estática analítica
224
22. Dos barras AB y BC, cada una de longitud l y peso
despreciable, están sujetas a dos muelles, ambos de
constante k. Los muelles están sin deformar y el sistema
1 2está en equilibrio cuando è = è = 0. Calcular el mayor
valor de la fuerza P para la que el sistema está en una
posición de equilibrio estable.
Se trata pues de un sistema de dos grados de libertad, el que
1 2las coordenadas generalizadas son los ángulos è , è . Para el
estudio de la estabilidad partiremos de la función potencial:
Las condiciones de estabilidad:
Calculemos las derivadas parciales:
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problemas de estática analítica
225
1 2Para è = è = 0, se verifica:
Vemos pues, que la condición (1) se satisface automáticamente, la condición (3), exige que:
La condición (2), exige que:
Estudiemos la función F(P) = 0. Para esta condición:
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problemas de estática analítica
226
Se verifica que :
La condición (5) no puede ser válida, ya que F(P) < 0 y el equilibrio no será nunca estable. La
condición (6) tampoco es válida ya que P es siempre superior a 2,62.k.l, lo cual va en contra de
la condición (3) que exige: P < 2.k.l ó P < k.l, luego la única solución válida es la indicada por (4),
siendo pues el valor máximo de P que garantiza el equilibrio estable: P=0,38.k.l.
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problemas de estática de hilos
227
ESTÁTICA DE HILOS
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problemas de estática de hilos
228
1. Un cable de peso despreciable sujeto a dos
puntos fijos A y B, situados al mismo nivel, está
1sometido a dos cargas concentradas verticales P
2= 100000 N y P = 200000 N. Sabiendo que la
longitud total del cable es de L=12 m,
determinar:
a) Las flechas del cable en los puntos de
aplicación de las cargas.
b) Las tensiones en los diversos tramos.
1 2 3a) Sean á , á , á , los ángulos que forman con la
horizontal los tramos AC, CD y DB,
1respectivamente. Así mismo, designaremos por T ,
2 , 3T T a las tensiones del cable en dichos tramos, y
C D por f , y f a las flechas del cable en C y D.
Planteando el equilibrio de fuerzas en los nodos C y
D, resulta:
Nodo C:
Nodo D:
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problemas de estática de hilos
229
Por otra parte, proyectando sobre la vertical los tramos del cable, se obtiene:
Por último la longitud total del cable:
De (1) y (3), resulta:
Sustituyendo en (2) y (4):
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problemas de estática de hilos
230
1 2Siendo P = 100000 N, P =200000 N, resulta:
Puesto que a = b= 3 m y c = 4 m, la ecuación (5) es:
Y sumando (4) y (5), se obtiene:
De este modo, las ecuaciones (5) y (6), quedan:
De (6), resulta:
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problemas de estática de hilos
231
Y transformando (5) y sustituyendo el valor anterior, se obtiene:
1 2 No es válida la otra solución, cosá = 0,4487, ya que entonces de (6), resulta: cosá < 0. Entrando
con el valor obtenido en (6), resulta:
1 3 2Así pues: á =á =38,13º y á =14,67º
Las flechas del cable en los puntos C y D, resultan:
c 1 d 3f = a.taná = 3.0,7849=2,35 m f = c.taná = 4.0,7849 = 3,14 m
b) Las tensiones en los diversos tramos del cable, son:
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problemas de estática de hilos
232
2. Un cable de peso despreciable sujeto a dos
puntos fijos A y B, situados a distinto nivel, está
1sometido a dos cargas concentradas verticales P
2= 20000 N y P = 15000 N. Determinar:
a) Las flechas del cable en los puntos de
aplicación de las cargas.
b) Las tensiones en los diversos tramos.
Dato: la pendiente del cable en A es 30º.
1 2 3Sean á , á , á , los ángulos que forman con la
horizontal los tramos AC, CD y DB,
1respectivamente. Así mismo, designaremos por T ,
2 , 3T T a las tensiones del cable en dichos tramos, y
C D por f , y f a las flechas del cable en C y D respecto
de A.
Planteando el equilibrio de fuerzas en los nodos C y
D, resulta:
Nodo C:
Nodo D:
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problemas de estática de hilos
233
Por otra parte, proyectando sobre la vertical los tramos del cable, se obtiene:
Como puede observarse, las ecuaciones (1) a (4) resultan iguales a las obtenidas en el problema
anterior, por tanto, se verificará:
1 2 1Y sustituyendo los datos, P = 20000 N, P = 15000 N, á =30º, queda:
Sustituyendo los datos del problema, en la ecuación (5), resulta:
Resolviendo el sistema (4)-(5), se obtiene:
En consecuencia:
1 2 3á = 30º, á = - 17,72º, á = 44,78º
Las flechas de los puntos C y D respecto de A, son:
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problemas de estática de hilos
234
C 1f = a . tan á = 5. tan 30º = 2,88 m
D 3f = c . tan á - d = 4 . tan 44,78º- 3 = 0,97 m
b) Las tensiones en los distintos tramos del cable, aprovechando los resultados del problema
anterior, son:
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problemas de estática de hilos
235
3. Un cable pesado y homogéneo de longitud
L=120 m, está sujeto en dos puntos situados a la
misma altura y separados entre sí una distancia
d=80 m. Determinar:
a) La flecha del cable.
b) El peso del cable, sabiendo que la tensión
máxima es de 6500 N.
a) Al estar sometido a su propio peso, la curva de
equilibrio que adopta el cable es una catenaria de
A B B A B parámetro a. La longitud total del cable es: L = s + s = 2.s , ya que por simetría: s = s , y por
Btanto s = L / 2. Por otra parte, sabemos que:
Haciendo k = d/(2.a), la expresión anterior, se transforma en:
Resolviendo la anterior ecuación por el método del ensayo y error, obtenemos una buena
aproximación para k = 1,62, siendo: (senh k) / k = 1,4985. Tomamos este valor de k como
solución de la ecuación. Existen dos soluciones más k = 0, k = -1,62, pero no son válidas. El
parámetro “a” de la catenaria, será:
La flecha será:
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problemas de estática de hilos
236
max max b) La tensión máxima en el cable es: T = q . y .
max BSiendo: y = y = f+a = 40,13 +24,69 = 64,82 m,
max maxEn consecuencia el peso del cable es: q = T / y = 6500 / 64,82 = 100,3 N / m.
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problemas de estática de hilos
237
4. Una cadena de 34 N/m de peso está sujeta a dos
soportes fijos situados a la misma altura y
separados 15 m entre sí. Sabiendo que la flecha es
de 2 m. determinar:
a) La longitud total de la cadena.
b) La tensión máxima a la que está sometida la
cadena.
a) La cadena adopta como curva de equilibrio, la
catenaria de parámetro a. De la ecuación de la
catenaria, resulta:
Haciendo k = d / (2 . a), la ecuación anterior, se transforma:
Resolviendo la anterior ecuación por el procedimiento del ensayo y error, obtenemos una buena
aproximación para k=0,52, siendo (cosh k-1) / k = 0,2660. el parámetro “a” de la catenaria, es:
La longitud total de la catenaria será:
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238
b) La tensión máxima de la cadena es:
max max BT = q . y = q . y = q . ( f+a )=34 . (2+14,42) = 558,3 N
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problemas de estática de hilos
239
5. Un conductor eléctrico de peso 3 N / m está
tendido entre dos aisladores situados a la misma
altura y separados entre sí 30 m. Si la máxima
tensión en el cable debe de ser 400 N,
determinar:
a) El menor valor de la flecha.
b) La longitud del conductor.
a) La tensión máxima en el conductor es:
max max BT = q . y = q .y .
Teniendo en cuenta la ecuación de la catenaria, resulta:
Haciendo k = d / (2.a), la anterior ecuación queda en la forma:
Resolviendo la ecuación anterior por el método del ensayo y error, encontramos una buena
aproximación para k = 0,114, resultando ch k / k = 8,829. En consecuencia, el parámetro “a” de
la catenaria, es:
Y la flecha, será:
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b) La longitud del conductor, es:
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problemas de estática de hilos
241
6. Un conductor de cobre, de longitud L=130 m
y peso q=50 N/m, está sujeto a dos aisladores
situados a distinto nivel; siendo la distancia
horizontal entre los aisladores de 100 m y su
desnivel de 10 m. Determinar:
a) La curva de equilibrio del conductor.
b) Las tensiones máxima y mínima.
a) La curva de equilibrio que adopta el conductor es
la catenaria de parámetro a. La determinación de este parámetro se efectuará por tanteos (método
del ensayo y error), a partir de la expresión:
Donde k = l /(2.a), resultando una buena aproximación para k=1,28, sh k / k =1,296. en
consecuencia:
Por tanto, la ecuación de la catenaria es:
b) Las tensiones máxima y mínima son, respectivamente:
max max B min OT = q . y = q . y , T = T = q . a.
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problemas de estática de hilos
242
BEs preciso, por tanto, determinar y . Para ello procedemos del siguiente modo:
Resultando para la longitud total del cable:
Por tanto:
max B minT = q . y = 50 . 80,90 = 4045 N, T = q . a = 50 . 39,06 = 1953 N
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problemas de estática de hilos
243
7. Un hilo uniforme de longitud desconocida, L y
peso q por unidad de longitud, está en equilibrio
cuando se apoya en dos pequeñas poleas,
situadas a la misma altura y separadas una
distancia 2.b, como muestra la figura. La
componente horizontal de la tensión del hilo es
OT = 2.q.l. Determinar la longitud total del hilo,
siendo b=5 m.
La longitud L=2.(l+h). El tramo de hilo comprendido
entre las dos poleas A y B, adopta en el equilibrio la forma de catenaria al estar sometido
exclusivamente a su propio peso, en consecuencia la componente horizontal de la tensión del hilo
Oes T = q.a, por tanto:
O OT = q . a, T = 2 . q . l 2 . q . l = q . a a = 2 . l
Por otra parte, aplicando la relación entre el arco de catenaria contado desde el punto más bajo
y la ordenada del punto correspondiente:
B By = s +a y = s +a h = l +a2 2 2 2 2 2 2 2 2
Teniendo en cuenta además, el resultado anterior:
h = l +4.l = 5.l h = (5) .l2 2 2 2 ½
Considerando la ecuación de la catenaria:
Sustituyendo en las expresiones anteriores: h = (5) .l y a=2.l:½
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problemas de estática de hilos
244
Por tanto:
h = (5) .l = (5) .5,2 = 11,62 m½ ½
Y la longitud total del hilo:
L = 2.(l+h) = 2.(5,2+11,625) = 33,65 m
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problemas de estática de hilos
245
8. A un cable, de peso q = 25 N/m, en reposo
sobre un plano inclinado un ángulo á = 45º, se le
aplica en el extremo A una fuerza horizontal de
Ovalor T = 2500 N, que hace que el cable se
separe del plano en el punto C. El extremo B del
cable está sujeto al extremo superior del plano
inclinado y no existe rozamiento. Determinar:
a) Longitud total del cable.
b) Tensión del cable en el extremo B.
a) El tramo de cable AC separado del plano adopta forma de catenaria. La longitud total del cable
es: L=AC+CB.
Puesto que la fuerza aplicada en A es horizontal, éste es el punto más bajo de la catenaria y por
tanto por donde pasa el eje Oy.
El parámetro de la catenaria es:
Aplicando la relación entre el arco de catenaria y la
ordenada del punto correspondiente:
C CComo por otra parte, sabemos que T =q.y , se
tiene que:
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problemas de estática de hilos
246
En consecuencia:
La longitud del tramo CB es:
Y de la ecuación de la catenaria, se obtiene:
Por lo tanto, resulta:
Y la longitud total del cable, es: L = AC + CB = 100 +17 = 117 m.
B C b) La tensión del cable en el extremo B: T = T + q. CB . sená = 3535,53 + 25.17.sen45º =
3836,05 N.
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problemas de estática de hilos
247
9. El cable AB de L = 4 m de longitud y P = 100
N de peso, está sujeto a dos deslizaderas en A y
B que pueden moverse sin rozamiento sobre las
varillas, como está indicado en la figura.
Despreciando el peso de las deslizaderas,
determinar:
a) El valor de la fuerza F que haga h = d.
b) La tensión máxima en el cable.
a) El punto A presenta en el equilibrio la tensión
Ohorizontal T , ya que de no ser así, la deslizadera se movería verticalmente. En consecuencia A
es el punto más bajo de la catenaria y por él pasa el eje de simetría Oy.
La fuerza F, que a su vez es la componente horizontal de la tensión en B, debe ser:
OF = T = q . a
De la ecuación de la catenaria, se induce que:
Ya que h = d. Dividiendo los miembros de la
expresión anterior por “a” , haciendo k = d / a, y
resolviendo posteriormente por tanteos :
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problemas de estática de hilos
248
Por otra parte, de la longitud del cable:
En consecuencia:
max max B b) La tensión máxima en el cable se presenta en el punto B: T = q . y = q . y , siendo:
Resultando:
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problemas de estática de hilos
249
10. Un cable homogéneo de peso q=200 N/m pasa
por dos poleas, A y B, y se apoya, en parte, sobre
una superficie horizontal sin rozamiento,
quedando los extremos libres. Sabiendo que el
tramo de cable que adopta forma de catenaria
tiene una longitud de 4 m, determinar:
a) Tensión del cable en los puntos A y C.
b) Longitud total del cable.
a) Dado que la tangente en C es horizontal, éste es
el punto más bajo de la catenaria y, en consecuencia,
por él pasa el eje Oy.
De la relación entre la longitud del arco de catenaria
y la ordenada del punto correspondiente, resulta:
Las tensiones en los puntos A y C, son:
A AT = q . y = q . ( a+h ) = 200 . ( 3+2 ) = 1000 N.
C OT = T = q . a = q . a = 200 . 3 = 600 N.
b) La longitud total del cable es: L = BD + BC + CA+AE.
La longitud del tramo CA es un dato del problema: CA = 4 m.
A ALa longitud del tramo AE es: T = q . AE AE = T / q = 1000 / 200 = 5 m.
La longitud del tramo BC:
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problemas de estática de hilos
250
Resultado: BC = b - d = 6 - 3,3 =2,7 m.
B C O BBD: T = T = T = q.a, pero T = q.BD, luego BD = a = 3m
Y la longitud total del cable: L= BD + BC + AE = 3 + 2,7 + 4 + 5 = 14,7 m
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problemas de estática de hilos
251
11. La parte central del cable AB de peso q
= 30 N / m apoya sin rozamiento sobre una
superficie horizontal. Sabiendo que para
conseguir que sea b = 8 m es preciso
aplicar en el extremo libre de cable una
fuerza de valor F = 800 N, determinar:
a) El valor de la cota d.
b) La longitud total del cable entre A y B.
a) La tensión del cable en B debe de ser igual a la
fuerza aplicada F, por tanto:
Por otra parte, aplicando la ecuación de la catenaria:
Haciendo en la expresión anterior k=b/a, resulta:
Resolviendo la ecuación anterior, mediante el método del ensayo y error, después de varios
tanteos, obtenemos una buena aproximación para k = 0,315, por tanto:
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252
b) Aplicando la relación entre la longitud del arco de catenaria y la ordenada del punto
correspondiente:
La longitud total del cable entre A y B:
BL = 2 . s + (24 - 2.b) = 16,2 + 8 =24,2 m.
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problemas de estática de hilos
253
12. Un gran globo tiene una fuerza ascensional de
450 N y se mantiene en el aire mediante un cable
de 45 m cuyo peso es de q = 7 N / m. Se pide: a) la
máxima tensión del cable. b) la altura h del globo
sobre el terreno cuando un viento estacionario le
hace adoptar la posición que se muestra en la
figura de la izquierda.
AyLa tensión vertical en A, es: T = 450 N.
La tensión vertical en B, es:
La tensión horizontal del cable:
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problemas de estática de hilos
254
La máxima tensión del cable se producirá en A, su valor:
b) La tensión absoluta en B:
La diferencia de alturas entre A y B, será la altura h buscada:
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problemas de estática de hilos
255
13. Un cable de una línea de conducción
eléctrica que pesa 42 N/m está sujeto a dos
torres situadas a uno y otro lado de un
valle, a una distancia de 600 m, según se
indica en la figura. Las especificaciones
del proyecto exigen que la máxima tensión
del cable sea de 60 kN, que la altura del
apoyo A sobre el suelo en la torre más alta
sea de 70 m y que la mínima distancia del cable al suelo sea de 22,5 m. Determinar la altura
h de la torre B.
La altura de la torre A en el sistema de referencia de la catenaria:
De acuerdo con la figura, la flecha en A y el parámetro de la catenaria:
La abscisa de A en el sistema de referencia de la catenaria:
Las coordenadas de B:
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256
La flecha del cable medida desde B:
Finalmente la altura h en B, respecto del suelo:
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problemas de estática de hilos
257
14. Para estabilizar una torre de televisión de 300
m de altura, se utilizan tres pares de cables
flexibles separados cada uno 120º en planta. En la
figura se representan la torre y un par de cables. El
peso de los cables es de 50 N/m, la componente
horizontal de la fuerza que ejerce cada cable es de
30 kN. En el anclaje A, el ángulo que forma el
2cable AC con el suelo ha de ser è =40º.
Determinar:
a) Tensión máxima del cable AC.
b) Distancia horizontal d entre la torre y el anclaje A.
c) Longitud del cable AC.
d) Fuerza vertical ascendente total de los dos cables en A.
Aa) AC y AB son dos ramas diferentes de catenaria que pasan por A. La tensión T para
la catenaria de AC:
El parámetro de la catenaria:
La altura de A respecto del origen del sistema de referencia:
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problemas de estática de hilos
258
La altura de C y la tensión mecánica en C:
b) De acuerdo con la ecuación de la catenaria se cumple para AC:
Resultando la distancia horizontal d entre A y C:
c) De acuerdo con las propiedades de la catenaria, la longitud del arco AC:
d) La componente vertical de la tensión en A, originada por AC:
La catenaria correspondiente al ramal BA, tendrá el mismo parámetro a = 600 m que la del ramal
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problemas de estática de hilos
259
CA, al tener ambas el mismo peso y la misma tensión horizontal. Se cumplirá:
AResolviendo la ecuación anterior mediante tanteos, se tiene: x = 204 m.
La altura en A respecto del origen del sistema de referencia:
La tensión mecánica en A debida a AC:
La componente vertical de esta tensión:
La componente vertical en A debida a la acción de los dos cables:
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problemas de estática de hilos
260
15. Un cable ligero de peso q = 10 N /m, está
sujeto a un soporte A, pasa por una pequeña
polea B y sostiene una carga P. Sabiendo que
la flecha del cable es de 0,5 m, determinar:
a) El valor de la carga P.
b) La pendiente del cable en B.
c) La longitud total del cable entre A y B.
Nota: al ser la relación flecha / luz pequeña,
resolver el problema mediante la ecuación de
la parábola.
a) En primer lugar, determinaremos el parámetro de la parábola:
El valor de la carga P, debe de ser igual a la tensión
del cable en el punto B:
OSiendo: T = q . a = 10 . 400 = 4000 N
En consecuencia:
b) La pendiente del cable en B es:
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problemas de estática de hilos
261
El mismo resultado, se podría haber obtenido mediante:
c) Aplicando la fórmula de la teoría, correspondiente al desarrollo en serie de la longitud
elemental de arco, tomando los dos primeros términos:
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problemas de estática de hilos
262
16. Un cable que soporta una carga uniformente
distribuida a lo largo de la horizontal de valor
p=4000 N/m, se halla suspendido entre dos
puntos fijos, tal como se indica en la figura.
Determinar:
a) Las tensiones del cable en A y B.
b) La longitud total del cable.
a) Dado que el cable está sometido a una carga constante distribuida a lo largo de la horizontal,
adoptará como curva de equilibrio la parábola de parámetro “a”:
Para obtener el parámetro de la parábola, particularicemos la ecuación anterior para los puntos
A y B:
BConsideramos únicamente la segunda solución: x
A B= 25 m, resultando: x = 40 - x = 40 - 25 = 15 m,
quedando el parámetro de la parábola:
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problemas de estática de hilos
263
La componente horizontal de la tensión en cualquier punto del cable:
Las tensiones en los puntos A y B:
b) Para la longitud total del cable, como las relaciones x / a, y / x no son pequeñas, no es posible
A Baplicar los desarrollos en serie para obtener los valores de s y s , salvo tomando un a gran
cantidad de términos. Sin embargo si es posible obtener una expresión analítica exacta, para ello
consideramos en primer lugar el cambio de variable:
La expresión genérica para la longitud de un segmento de catenaria comprendido entre el mínimo
y un punto P(x,y):
Procediendo a integrar por partes, considerando el cambio de variables:
Resulta:
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problemas de estática de hilos
264
De donde:
Deshaciendo el cambio resulta:
Particularizando para los datos del problema:
Siendo la longitud total del cable:
A BL = s + s = 18,13 + 36,86 = 55 m.
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problemas de estática de hilos
265
17. Dos cables del mismo peso q=50 N / m están
sujetos a una torre B. Determinar:
a) La flecha necesaria h en el cable AB para que
las tensiones en B en ambos cables sean iguales.
b) Si h=8 m, la resultante de la fuerzas ejercidas
por los cables en B. Resolver estos apartados
aproximando el parámetro de la catenaria
mediante el de la parábola pero empleando
después las ecuaciones de la catenaria.
c) Resolver el apartado a) mediante la ecuación de la parábola.
a) Los cables al estar sometidos exclusivamente a su propio peso adoptan como curva de
equilibrio la catenaria, no obstante el parámetro de la misma lo aproximamos mediante la ecuación
de la parábola.
Para el segmento BC, resulta:
La tensión en B del segmento BC:
Para el segmento AB, resulta:
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problemas de estática de hilos
266
La tensión en B del segmento AB:
B1 B2Como se debe cumplir que T = T , se tiene:
Tomando como valor definitivo h= 4,62 m.
b) Si h = 8 m, el parámetro de la catenaria AB, es:
B1Y la tensión en B, T , será:
B1 B2Descomponiendo las tensiones T y T , resulta:
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problemas de estática de hilos
267
c) resolviendo aplicando la ecuación de la parábola:
Igualando las tensiones a ambos lados:
Obteniendo pues, un resultado similar.
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problemas de estática de hilos
268
18. El cable AB está sometido a una carga uniforme
de 200 N/m. Si el peso del cable es ignorado y los
ángulos de inclinación en los puntos A y B son de 30º
y 60º, respectivamente, determinar:
a)Tensión máxima y mínima del cable AB.
b)Componentes de la reacción en A y B (horizontal y
vertical).
c) Distancia vertical h entre A y B.
a) La tensión máxima se producirá en B y la mínima en A. Las ecuaciones de equilibrio
correspondientes al balance de fuerzas del segmento de cable:
De donde:
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problemas de estática de hilos
269
b) La componente horizontal de la tensión del cable:
Las componentes verticales en A y B:
c) La ecuación correspondiente al equilibrio de momentos del segmento de cable respecto de A,
nos proporciona la distancia h:
Forma alternativa: también es posible calcular la distancia h mediante la ecuación de la parábola.
Partiendo del valor de la tensión vertical del cable en A y B, las abscisas de A y B, y la distancia
h, serán:
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problemas de estática de hilos
270
19. La barra uniforme CB y el cable
flexible AB soportan un bloque que pesa
W=2,5 kN, según se indica en la figura. La
barra tiene un peso de P=1,25 kN y el peso
del cable se puede considerar como una
carga de p=42 N/m. Determinar: a) la
tensión máxima del cable, b) la flecha h en
su punto medio y c) su longitud.
Supóngase que el peso del cable se puede
suponer distribuido uniformemente por
unidad de longitud horizontal, si bien para el cálculo de la longitud del cable se recomienda
emplear la hipótesis más exacta de cable de carga uniforme por unidad de longitud.
a) Equilibrio del cable AB: es fácil de ver que el peso total del cable AB, se reparte por igual entre
los apoyos A y B, de forma que la reacción vertical en A y B, será:
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problemas de estática de hilos
271
Equilibrio de la barra CB: considerando el balance de momentos de CB respecto de C, es posible
O xdeterminar la tensión horizontal del cable T = B :
La tensión máxima del cable se producirá en A y B, su valor, será:
b) La flecha h del cable AB en el punto medio:
c) Para calcular la longitud total del cable, lo más sencillo y preciso es a partir de la ecuación de
la catenaria:
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problemas de rozamiento
272
ROZAMIENTO
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problemas de rozamiento
273
1. Determinar el menor valor del ángulo è para que
permanezca en equilibrio la escalera homogénea de longitud
l. El coeficiente de rozamiento en todas sus partes es ì y el
peso de la escalera W.
De acuerdo con el diagrama de sólido libre de la figura,
planteamos las ecuaciones de equilibrio:
Tenemos pues un sistema de tres ecuaciones
1 2con tres incógnitas: N , N , è. De la ecuación
(1):
Sustituyendo en la ecuación (2):
Sustituyendo este valor en la ecuación (3) resulta:
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problemas de rozamiento
274
Dividiendo por W.l.cosè:
De manera que el deslizamiento se producirá para:
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problemas de rozamiento
275
2. Determinar el valor de F necesario
mover el bloque de P=1000 N de la figura.
El coeficiente de rozamiento estático entre
el bloque y la superficie horizontal es de
0,25. El bloque se supone homogéneo de
manera que su centro de gravedad coincide
con su centro geométrico.
Existen dos posibilidades para el movimiento
del bloque: deslizamiento y vuelco.
Supongamos primeramente que el cuerpo
desliza, en este caso, de acuerdo con el
diagrama de sólido libre de la figura la fuerza
de reacción del suelo estará aplicada dentro
de la superficie de contacto con x>0,
alcanzando la fuerza de rozamiento su valor
máximo. Las ecuaciones de equilibrio serán:
De donde N=916 (N), F=243,81 N, x=0,637 m > 0, luego el cuerpo no volcará siendo correcta
la hipótesis de que el cuerpo desliza para una fuerza F=243,81 N,
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problemas de rozamiento
276
3. El freno de tambor de la figura está
accionado por un cilindro hidráulico. Si
se aplica al tambor un par en sentido
anti-horario de 9 N.m, determinar la
fuerza que ha de ejercer el cilindro
hidráulico para que no gire el tambor.
El coeficiente de rozamiento zapata-
tambor es de ì=0,4.
Considerando el equilibrio del tambor en
una situación de deslizamiento inminente,
la ecuación de equilibrio de momentos nos
da:
BDe donde N =90 (N).
Por otro lado considerando el equilibrio de la
palanca:
BTeniendo en cuenta que N =90 (N), es
A A posible resolver para F , resultando: F =
306 N.
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problemas de rozamiento
277
4. Las dos cajas A y B de 50 N pueden
sujetarse a la palanca por medio de uno o
dos eslabones horizontales. El coeficiente
de rozamiento entre todas las superficies
es de 0,3. Determinar el valor de la fuerza
P necesaria para mover la palanca,
suponiendo:
a) Se utiliza sólo el eslabón EF.
b) Se utiliza sólo el eslabón CD.
c) Se utilizan los dos eslabones EF y CD.
a) De los diagramas de sólido libre para las cajas y palanca, planteamos las ecuaciones de
equilibrio para el conjunto de las cajas y para la palanca. Para las cajas, la ecuación de equilibrio
de fuerzas:
De la primera ecuación: N=100
(N), de la segunda ecuación:
T = ì N = 0 , 3 . 1 0 0 = 3 0 ( N ) .
Considerando a continuación la
ecuación de equilibrio de
momentos para la palanca:
b) Cuando se utiliza el eslabón CD hay que considerar las diferentes posibilidades de movimiento
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problemas de rozamiento
278
para las cajas: Puede ocurrir que deslice la A sobre la B, permaneciendo quieta esta última o bien
que deslicen ambas conjuntamente, veamos cual de estas dos posibilidades ocurrirá realmente:
1) La caja A desliza y la caja B permanece
inmóvil, del diagrama de sólido libre para la
caja A tenemos las ecuaciones de equilibrio:
De la primera ecuación: N=50 (N).
c1Sustituyendo en la segunda: T =ì.N
=0,3.50=15 N.
2. Las cajas A y B deslizan conjuntamente.
En este caso las condiciones de equilibrio
serán:
De la primera ecuación: N=100 (N),
c2sustituyendo en la segunda: T =ì.N
C1 C2=0,3.100=30 N. Como T =15 N < T =30 N el caso (1) ocurrirá antes de manera que para el
C1valor de T =15 N calculamos la fuerza P de accionamiento de la palanca:
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problemas de rozamiento
279
De donde P=9 N.
c) En este caso deslizarán las dos
cajas. El análisis del equilibrio para las
dos cajas deslizando y la palanca, será,
para la caja A:
ADe donde: N = 50 N,
C AT = ì.N = 0,3.50 = 15 N
Para la caja B:
A B ADe donde sustituyendo el valor de N = 50 N: N = N + 50 = 50 + 50 =100 N
E B AT = ì.N - ì.N = 0,3.100-0,3.50 = 15 N
En lo que respecta a la palanca:
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problemas de rozamiento
280
5. Dos barras de peso despreciable están unidas por
medio de una articulación entre sí y también a dos
correderas de peso 100 N en A y C las cuales en
principio pueden deslizar sobre un plano vertical y
horizontal respectivamente. El coeficiente de
rozamiento entre las correderas y los planos es de
0,3. Si queremos que los bloques no deslicen,
calcular el intervalo de valores de P para que esto
se cumpla.
Existen en principio tres posibilidades para el movimiento del sistema: Bloque A deslizando hacia
arriba, bloque A deslizando hacia abajo y bloque C deslizando hacia la izquierda. Una cuarta
posibilidad sería el bloque C deslizando hacia la derecha, sin embargo esta situación no parece
tener sentido para P actuando hacia la izquierda, de manera que esta posibilidad no será
contemplada.
1. Comencemos nuestro análisis suponiendo el bloque A
deslizando hacia arriba. Para una situación de deslizamiento
inminente tendremos el diagrama de sólido libre de la figura.
Las condiciones de equilibrio de fuerzas serán:
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de
BA1donde: F =872,755 N. Es decir para que el bloque A no
BAdeslice hacia arriba F 872,755 N
2. Supongamos a continuación que el bloque A desliza hacia
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problemas de rozamiento
281
abajo. En este caso la fuerza de rozamiento cambiará de orientación, resultando:
BA2 BADe donde F =149,951 N. Es decir , para que el bloque A no deslice hacia abajo F 149,951
N
BADe manera que para que el bloque A no deslice: 149,95 N F 872,755 N.
3. Bloque C deslizando hacia la izquierda: En este caso las
condiciones de equilibrio son:
BCDe donde F = 261,826 N
BCLa condición para que el bloque C no deslice hacia la izquierda es: F 261,826 N .
BC , BAA continuación consideremos la relación entre F F y P. Para ello consideremos el equilibrio
en el pasador o articulación B:
BA BCDe donde podemos expresar F y F en función de P,
BA BCresultando: F =0,92.P, F =0,39.P de manera que las
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problemas de rozamiento
282
condiciones para que los bloques no deslicen serán:
Bloque A: 149,95 N 0,92.P 872,755 N;
O bien: 162,98 N P 948,646 N.
bloque C: 0,39.P 261,826 N;
O bien: P 671,34 N
De manera que el intervalo de valores de P para que los bloques no deslicen será:
162,98 N P 671,34 N.
Es posible resolver alternativamente el problema anterior a partir de los polígonos de fuerzas de
los bloques y nudos. En la figura se muestran, los polígonos de fuerzas para el bloque A, a punto
de deslizar hacia arriba y hacia abajo, siendo = arctan(0'3) = 872,755 el ángulo de rozamiento
A1 A2y siendo R , y R , las reacciones totales (normal y de rozamiento) del suelo sobre el bloque.
Cuando el bloque A está a punto de deslizar hacia arriba, de acuerdo con el teorema del seno:
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problemas de rozamiento
283
Repitiendo el cálculo cuando el bloque A está a punto de deslizar hacia abajo:
En la siguiente figura se muestran los polígonos de fuerzas cuando el bloque B está apunto de
deslizar hacia la izquierda, así como el polígono de fuerzas del nudo B:
Cuando el bloque C está a punto de deslizar hacia la izquierda:
Finalmente para el equilibrio del nudo B, teniendo en cuenta que el polígono de fuerzas es un
triángulo rectángulo:
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problemas de rozamiento
284
Resultados que coinciden con los calculados anteriormente, aplicando el método de los nudos
analíticamente.
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problemas de rozamiento
285
6. Las barras articuladas AB, BC de la
figura, tienen pesos despreciables y los
pasadores están exentos de rozamiento. El
coeficiente de rozamiento entre la corredera
de 400 N y el suelo es de 0,4.
a) Supóngase que en principio la fuerza P
es horizontal (è=0), determinar la máxima
fuerza P que mantenga el equilibrio del
sistema.
b) Determinar el ángulo è que da el valor
mínimo de la fuerza P capaz de mover el sistema.
a) Las ángulos á y â, serán:
La barras AB y BC no están sometidas a esfuerzos intermedios, supondremos inicialmente que
trabajan a tracción. Considerando el equilibrio de la articulación C:
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problemas de rozamiento
286
Considerando el equilibrio de la articulación B:
Si è=0, se tiene que: P = 1199,9 / 5,918= 202,75 N. Por encima de este valor el sistema perderá
el equilibrio.
b) El valor del ángulo è que da el mínimo de la fuerza de P, se obtendrá derivando la función P
= P(è):
Es fácil de comprobar que el valor de è=9,59º, corresponde a un mínimo de la función P=P(è),
correspondiente a la fuerza que hace mover el sistema.
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problemas de rozamiento
287
7. La varilla uniforme AB de peso P
está conectada a dos collarines de
peso despreciable en A y C mediante
un pasador o articulación en A y la
cuerda BC de peso también
despreciable conectada al pasador
de C. El coeficiente de rozamiento
entre cada collarín y la varilla en
que puede desliar se representa por
ì. Se pide:
a) Valores del coeficiente de rozamiento ì para que la varilla permanezca horizontal para
un determinado valor del ángulo è.
b) Si ì=0,15, determinar los valores del ángulo è para los que la varilla estará en posición
horizontal.
Existen dos posibilidades para el movimiento de la varilla AB a partir de su posición horizontal:
deslizamiento en el collarín A y deslizamiento en el collarín C. Consideremos por separado estas
posibilidades:
1. Deslizamiento en A: cuando el collarín A esté a punto de deslizar permaneciendo C fijo, las
fuerzas de rozamiento alcanzarán su valor máximo, resultando unas condiciones de equilibrio:
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres
Aincógnitas ì, F, N , teniendo que resolver el
problema para el coeficiente de rozamiento ì. De
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problemas de rozamiento
288
A(3) podemos despejar F y de (1) podemos despejar N :
Sustituyendo estas expresiones en la segunda ecuación:
De donde: ì=1 / tangè, de manera que la condición para que el collarín A no deslice es:
ì 1 / tangè.
2. Otra posibilidad es que deslice el collarín C y A permanezca quieto. En este caso el equilibrio
en el pasador de C cuando el collarín está a punto de deslizar:
En principio esto es un sistema de dos ecuaciones conCtres incógnitas: F, ì y N , necesitando una ecuación
más para resolver el sistema para ì. Para ello la barra
AB estará en equilibrio, aunque el collarín A no esté en
una situación de deslizamiento inminente, pero sin embargo la ecuación (3) seguirá cumpliéndose,
resultando:
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problemas de rozamiento
289
Sustituyendo en (4) y (5):
CDespejando N de la ecuación (5), sustituyendo en (4) y resolviendo para ì:
De manera que la condición para que el collarín de C no deslice es ì tangè. Las condiciones
generales para que el sistema no deslice en A y C será: ì tangè ì 1/tangè , para que esta
condición tenga sentido se tiene que cumplir necesariamente que tangè 1 y por tanto ì 1.
b) Si ì=1,5, el intervalo de valores de è para que la varilla esté en equilibrio en posición
horizontal será: de ì tangè ì 1 / tangè; podemos poner : ì tangè 1 / ì.
Particularizando para ì=1,5: 1,5 tangè 1 / 1,5 , es decir 56,3º è 33,69ª.
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problemas de rozamiento
290
8. Una grúa arrastra un bloque de peso
P=10000 N a velocidad constante, tal como se
indica en la figura. El coeficiente de
rozamiento entre el bloque y el suelo es 0,577
la altura del bloque es b=1 m el ángulo á que
forma la vertical con la tangente en el extremo
inferior del cable es de 60º determinar: a) La
tensión en el extremo superior del cable b)
Altura sobre el suelo a que se encuentra dicho
extremo c) Para la altura del caso anterior y
un cable del mismo peso por unidad de longitud, se va aumentando la longitud del cable
hasta que á=90º, determinar en este caso la distancia x que separa la grúa del bloque.
Se supondrá que el cable de arrastre tiene una longitud L=4 m y peso un total de Q=2000
N.
a) Las ecuaciones de equilibrio del bloque:
x AF = 0 T .sen 60º - ì.N=0
y AF = 0 -10000 + N + T .cos 60º = 0
ADe donde: T = 5000 N
Considerando el equilibrio para la porción
AB. Del polígono de fuerzas:
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problemas de rozamiento
291
B A b) La altura sobre el suelo del extremo B, será: h = y - y +b
B AEn donde y y y están referidos al sistema de referencia de la catenaria del cable. Como:
A Aq=Q / L = 2000 /4 =500 N/m, y = T / q , se cumplirá:
c) En este caso, las ecuaciones de equilibrio, son:
x AF = 0 T - ì.N=0
yF = 0 -10000 + N = 0
ADe donde T = 5770 N
Resultando el parámetro de la catenaria:
Aa = T / q =5770 / 500 = 11,54
De acuerdo con la ecuación de la catenaria:
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problemas de rozamiento
292
9. Como se indica en la figura, se ha apilado un
gran número de chapas de acero sobre el suelo
de una fábrica. Los coeficientes de rozamiento
entre las chapas es de 0,35 y entre chapa y
suelo 0,25. Todas las chapas han de moverse
hacia la derecha, sin volcar ni deslizar unas
respecto de otras mediante la aplicación de una
fuerza horizontal P. Determinar la altura
permitida a la que puede aplicarse P.
Supongamos en principio que todo el conjunto
está apunto de deslizar hacia la derecha., si Q es el peso total del bloque, las condiciones de
equilibrio, serán:
x 2ÓF = 0 P- ì .N = 0
yÓF = 0 Q - N = 0
AÓM = 0 P.h-Q.50+N.x = 0
De la segunda ecuación N = Q, que
sustituyendo este valor en la primera, se tiene:
2P = ì .Q.
Determinemos a continuación el valor de h
para el que no existe el vuelco. Si x 0, de la
tercera ecuación, sustituyendo las expresiones
anteriores:
De donde h < 200 mm.
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problemas de rozamiento
293
Veamos a continuación el valor de h por encima del cual las chapas deslizan unas sobre otras.
Cuando esto ocurra el bloque superior de chapas que está situado por encima de la línea de ación
de P deslizará sobre el bloque inferior. El equilibrio para el bloque superior, considerando una
situación de deslizamiento inminente, será:
En donde Q es el peso total del bloque y
Q.(H-h) / H representa el peso del bloque
superior. De la segunda ecuación:
Sustituyendo en la primera:
Por otro lado, si el bloque en su conjunto no desliza, se cumplirá de acuerdo con la primera
2hipótesis: P ì .Q, es decir:
De donde: 71,429 mm h 200 mm para que no deslice ni vuelque el bloque.
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problemas de rozamiento
294
10. Sea el sistema formado por los pesos
P y Q de la figura unidos por un cable.
Sabiendo que el coeficiente de
rozamiento entre las masas y los planos
inclinados es ì=0,25, determinar el
intervalo de valores del peso Q para el
que el sistema estará en equilibrio
suponiendo que el peso P es de 10000 N .
En la figura se representan los diagramas de sólido libre del sistema para las situaciones de
deslizamiento inminente hacia la izquierda y hacia la derecha
Para un deslizamiento inminente hacia la izquierda, las condiciones de equilibrio de fuerzas para
el cuerpo de peso P, suponiendo un sistema de ejes x-y orientados según el plano inclinado:
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problemas de rozamiento
295
PDe la segunda ecuación: N = 10000.cos 30º.
Sustituyendo en la primera ecuación: T=10000.sen30º - 0,25.10000.cos30º = 2834'934 N
Las condiciones de equilibrio para el cuerpo de peso Q:
QDe la segunda ecuación: N = Q.cos 60º.
Sustituyendo en la primera ecuación:
La condición para que el sistema no deslice hacia la izquierda es: Q2860,606 N.
Consideremos a continuación la situación en la que el sistema está a punto de deslizar hacia la
derecha. Para el equilibrio de P:
PDe la segunda ecuación: N = 10000.cos 30º.
Sustituyendo en la primera ecuación: T=10000.sen30º + 0,25.10000.cos30º = 7165,063 N
Las condiciones de equilibrio para el cuerpo de peso Q:
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problemas de rozamiento
296
QDe la segunda ecuación: N = Q.cos 60º.
Sustituyendo en la primera ecuación:
La condición para que el sistema no deslice hacia la izquierda es: Q 9669,12 N..El intervalo de valores de Q para que el sistema no deslice, será:
2860,606 N Q 9669,12 N.
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problemas de rozamiento
297
11. Determinar el valor mínimo
necesario de la fuerza P para que el
sistema se desplace hacia la derecha.
Suponer un coeficiente de rozamiento
de ì=0,2. Los pesos de los cuerpos son:
A: 1500 N
B:1000 N
Consideremos pues una situación de deslizamiento inminente hacia la derecha, y planteemos las
condiciones de equilibrio de fuerzas para los bloques A y B, supondremos además un sistema de
ejes alineado según la dirección de los planos. Para el bloque A:
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de donde:
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problemas de rozamiento
298
A N = 750 N, T=1449,038 N
Considerando a continuación el bloque B:
BDe la segunda ecuación N = 1000-P.senè, sustituyendo en la primera ecuación y despejando P
en función del ángulo è:
La expresión anterior nos proporciona el valor de la fuerza P, en función del ángulo è, para
desplazar el sistema hacia la derecha. P será máximo cunado la función senè+0,2.cosè sea
máxima, lo cual ocurrirá para:
Cuya solución es tang è=0,2; è=arctang 0,2=11,31º. Sustituyendo en la expresión de P, se tiene:
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problemas de rozamiento
299
12. Una partícula de peso P está en
reposo sobre un plano inclinado que
está inclinado un ángulo á respecto de
la horizontal, si el coeficiente de
rozamiento entre la partícula y el plano
lo representamos por ì, determinar la
máxima fuerza horizontal F paralela al
plano que puede soportar la partícula
sin deslizar.
En la figura se representa el diagrama de sólido libre, se ha supuesto un sistema de ejes tal como
se muestra en la figura. La reacción normal tendrá necesariamente la dirección perpendicular al
plano, mientras que la fuerza de rozamiento estará contenida en el plano pero de dirección
desconocida, formando un ángulo â con el eje Oy:
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: F, N y â. Hemos de determinar F:
De la ecuación (3):
Sustituyendo en las dos primera ecuaciones:
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problemas de rozamiento
300
De la ecuación (4):
Sustituyendo en (5) y despejando F:
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problemas de rozamiento
301
Figura 189. Mecanismo de cuña.
13. La cuña A de la figura se utiliza para
levantar la masa de 2000 N que descansa
sobre el bloque B. Determinar la fuerza
horizontal necesaria F si el coeficiente de
rozamiento en todas las superficies es de
0,2.
Directamente, aplicamos la fórmula de la
teoría:
1 2En donde ì = ì = 0,2, á=15º, P=2000 N. Sustituyendo en la fórmula: F=1541,31 N
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problemas de rozamiento
302
14. Una cuña A de peso despreciable, ha de
introducirse entre dos placas B y C de 400 N
de peso. El coeficiente de rozamiento en todas
las superficies es de ì = 0,35. Calcular el
módulo de la fuerza P necesaria para iniciar
el movimiento de la cuña a) si las placas
pueden moverse libremente. b) Si la placa C
se sujeta con pernos a la superficie.
Aunque es posible establecer las ecuaciones de equilibrio de fuerzas de los sólidos A y B de forma
completamente analítica, efectuaremos una interpretación gráfica de estas ecuaciones a partir del
1 3 polígono de fuerzas. El ángulo de rozamiento es . Por simetría las reacciones R y R sobre A
son similares en módulo manteniendo la misma inclinación +19,3º sobre la horizontal, tal como
se muestra en la figura. Para que la resultante de las fuerzas sobre A y B sea cero, los polígonos
de fuerzas han de ser cerrados, obteniendo los triángulos de la figura en donde los ángulos son:
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problemas de rozamiento
303
Aplicando el teorema del seno al polígono de fuerzas de B , se tiene:
1 3Directamente del polígono de fuerzas de A, teniendo en cuenta que R = R y que el triángulo es
isósceles:
b) En el caso de que el sólido C esté fijo la situación es idéntica a la anterior, resultando:
P=251,09 N.
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problemas de rozamiento
304
15. Determinar que fuerza horizontal
F es necesaria ejercer sobre las cuñas
B y C para elevar el peso de 200 KN
que se apoya en A. Suponer que el
coeficiente de rozamiento entre las
1cuñas y el suelo es ì =0,25 y entre las
2cuñas y el peso ì =0,2. El ángulo de
inclinación de las cuñas es á=6º.
Consideremos en primer lugar el equilibrio del conjunto. Existirán unas reacciones normales y de
rozamiento en B y C, directamente, por simetría las reacciones normales serán:
B C N =N =100 kN
Consideremos a continuación el equilibrio de B:
.
Tenemos pues un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la segunda ecuación:
A N =102,709 kN, sustituyendo en la primera F= 56,165 Kn.
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problemas de rozamiento
305
16. Una cuña de 5º se introduce bajo la
base de una viga en A. Sabiendo que el
coeficiente de rozamiento es de 0'15 en
todas las superficies, se pide:
a) La fuerza P necesaria para mover la
cuña.
b) Indicar si la viga se moverá.
Para estudiar el equilibrio del sistema hay que
considerar dos posible hipótesis de movimiento: 1)
cuando actúa la fuerza P se mueven conjuntamente
la cuña y la viga, 2) la viga permanece quieta pero
la cuña desliza hacia la derecha. En la primera
hipótesis se plantean las ecuaciones de equilibrio
como si viga y cuña fueran un mismo sólido, dado
que las dimensiones de la cuña son muy pequeñas,
suponemos que la viga se mantiene prácticamente
horizontal. Las reacciones normales en A y B, serán
verticales, resultando un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
y yDe donde: A = 1750 N, B = 750 N, P=375 N.
La segunda posibilidad es que la cuña deslice entre el suelo y la viga, permaneciendo la viga
estática. En este caso hay que plantear el equilibrio de la viga y de la cuña por separado. El
ydiagrama de equilibrio de la viga, presentará una reacción normal en B, B y una reacción
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problemas de rozamiento
306
tangencial debida al rozamiento inferior a la fuerza de rozamiento máxima, al no haber
xdeslizamiento en B y que representamos por B . Por otro lado en A existirá deslizamiento de
manera que habrá una reacción con una componente normal, perpendicular a la superficie de la
A Acuña N y una componente de deslizamiento ì.N , por simplicidad, supondremos estas reacciones
vertical y horizontal. Estas mismas fuerzas cambiadas de signo actuarán sobre la cuña, de acuerdo
con el diagrama mostrado.
Para la viga:
A y xDe donde N = 1750 N, B = 750 N, B = 262'5 N.
APara la cuña, teniendo en cuenta el valor ya calculado de N :
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problemas de rozamiento
307
yDe donde: A = 1720,46 N, P = 672'5 N > 375 N
De acuerdo con los resultados, se tomará el menor valor de P = 375 N, calculado en la primera
hipótesis, como el valor necesario para mover la cuña, moviéndose cuña y viga al mismo tiempo.
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problemas de rozamiento
308
17. La mordaza indicada se compone de
dos elementos unidos por dos tornillos de
potencia de doble rosca, diámetro medio
10 mm y paso de 1mm. Las piezas de la
mordaza están roscadas en A y B, situadas
en la mordaza inferior, con un coeficiente
de rozamiento de ì=0,2, sin embargo la
mordaza superior no está roscada. Se
desea aplicar dos fuerzas iguales y opuestas
de 500 N sobre los bloques que están en las
garras. Se pide a) Determinar el tornillo
que deberá ajustarse primero b) Par
máximo aplicado para apretar el segundo tornillo.
a) considerando el equilibrio de la primera mordaza
BDe la segunda ecuación: F = 500 N, sustituyendo en la
A primera: F = 1000 N.
Al ajustar los tornillos para apretar la mordaza, el esfuerzo se realiza sobre el último tornillo quese ajusta, por tanto ajustaremos primero el A y luego el B.
b) de acuerdo con la teoría:
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problemas de rozamiento
309
B mSiendo: F =500 N, d =0,01 m, y también:
BResultando: T =0,796 N.m
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problemas de rozamiento
310
18. Se utiliza una correa plana para
transmitir un par torsor de una polea A a
otra B. el radio de las poleas es de 60 mm
y el coeficiente de rozamiento es de ì=0,2.
Hallar el par torsor mayor que puede
transmitirse si la tensión máxima
permisible es de 8000 N. Repetir el
problema suponiendo que la correa está
cruzada. suponer una distancia entre ejes de 240 mm.
Al ser la polea A, la polea motriz, el sentido del momento o par torsor M coincide con el de la
1velocidad angularù, mientras que en la polea arrastrada B ocurre lo contrario, cumpliéndose F
2>F . Suponiendo una situación de deslizamiento inminente, se cumplirá:
Teniendo en cuenta además:
1F = 8000 N (tensión máxima permisible en la correa), ì=0,2, è=ð, resultando:
El momento máximo a transmitir:
Para el caso de correa cruzada, de acuerdo con el esquema de montaje de la figura:
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problemas de rozamiento
311
El ángulo de abrazamiento de la correa es:
La tensión máxima en la correa:
El momento máximo a transmitir:
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problemas de rozamiento
312
19. La figura muestra un tambor de freno
de 625 mm de diámetro que esta envuelto
por una banda, apretada por medio de
una palanca que se acciona mediante una
fuerza vertical de P=178 N sobre la
palanca AC. El coeficiente de rozamiento
entre el tambor y la banda es de 1/3,
determinar el momento de frenado sobre el
tambor cuando éste está girando en el
sentido de las agujas del reloj.
Se cumplirá:
FE = 625 / 2 . sen60º=270,63 mm
FC = (FE-FH).tang60º=(270'63-100).tang 60º=
=295,54 mm
DC=FC+FD = FC+DE.cos 60=295,54+312,5.cos 60º=
=451,79 mm
De manera que:
El ángulo de abrazamiento è y el ángulo de
inclinación de la correa â será :
è=360º-(46,24º+60º)=253,76º
â=90-á=90-46,25=43,76º
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problemas de rozamiento
313
BTenemos que calcular F , para ello a partir del diagrama de sólido libre de la figura, considerando
la ecuación de equilibrio de momentos de la palanca respecto de C:
C BÓM = 0, F .100 . cos 30º - 178.(60+100)=0
BDe donde: F = 1562 N. Este valor corresponde a la tensión en el lado flojo de la banda, la tensión
en el lado más tenso, será:
C BF = F . e = 1562 .e = 6836,55 Nìè 1/3.253,76.ð/180
El momento de frenado, será:
C BM = ( F - F ) . D/2 = (68365,55-1562) . 0,3125 = 1648,29688 N.m
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problemas de rozamiento
314
20. Una viga sin peso de longitud 2.l está
soportada por una cuerda que pasa por
encima de dos tambores fijos como se ve en
la figura. Determinar el intervalo de
distancias a las que puede alejarse un peso
W del centro sin alterar el equilibrio. El
coeficiente de rozamiento entre la cuerda y
el tambor se representa por ì.
Si el peso P se desplaza hacia la derecha de B, llegará un momento en el que la cuerda llegará a
deslizar sobre los tambores. El ángulo de abrazamiento cuerda-tambor es è = ð/2. En una
situación de deslizamiento inminente, se cumplirán las siguientes relaciones:
C D D D AF = F . e = F . e y también: F = F . eìè ìð/2 ìð/2
C A AEs decir: F = F . e . e = F . eìð/2 ìð/2 ìð
Por otro lado, considerando el equilibrio de la
barra AC, teniendo en cuenta la anterior
relación:
y A AF = 0, F + F . e - P = 0 (1)ìð
B A AM = 0, F .l- F . e .l + P.x = 0 (2)ìð
De la ecuación (1), se tiene:
sustituyendo en (2) y resolviendo para x:
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problemas de rozamiento
315
De manera que el intervalo de valores de x para los que el eso P no deslizará será:
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problemas de rozamiento
316
21. La cuerda ABCD se coloca por encima de dos
cilindros empotrados en la pared, tal como se
indica en la figura. En un extremo de la cuerda
cuelga un peso de 1000 N, mientras que en el otro
extremo cuelga otro peso P de valor desconocido.
Si el coeficiente de rozamiento entre las cuerdas y
cilindros es ì=0,3, determinar: a) El intervalo de
valores de P para que la cuerda se mantenga en
equilibrio b) El ángulo á de inclinación de la
cuerda para que la tensión en el tramo centra BC
sea de 500 N.
a) Si el peso P está apunto de deslizar hacia arriba:
A BC BC DF = F .e , F = F .e ,ì.èB ì.èC
A D D Aresultando: F = F .e , o bien: F = F .eì.(èB+èC) -ì .(èB+èC)
B C APara los valores del enunciado: è + è = ð rad, ì=0,3, F =1000 N, resultando:
DF = 1000 .e = 389,66 N-0,3 .ð
D ASi el peso P está apunto de deslizar hacia abajo: F = F .e = 1000 .e = 2566,332 Nì .(èB+èC) 0,3 .ð
El intervalo de valores de P para los que no existirá deslizamiento:
389,66 N P 2566,332 N
b) Cuando la tensión en la parte central de la cuerda sea de 500 N, se cumplirá:
A BC BF = F .e 1000 = 500 .e è = ln2 .1 / 0,3 = 2,31 rad =132,38º.ì.èB 0,3.èB
Resultando:
B Bè = 90º + á á=è - 90º=132,38º-90º =42,38º
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problemas de rozamiento
317
22. Se coloca un cable alrededor de tres
tubos cada uno de ellos de 100 mm de
diámetro exterior, situados en un
mismo plano horizontal. Dos de los
tubos están fijos y no giran, el tercer
tubo está girando lentamente al
aplicarle un momento en el sentido de
movimiento. Sabiendo que ì=0,3 para
cada tubo, determinar el mayor peso P que puede elevarse.
Determinemos en primer lugar el ángulo á. De acuerdo
con la figura:
cos á=50/100=0,5, á=60º
Los ángulos de abrazamiento, serán:
Aè =180º-60º=120º=120.ð/180=0,67.ð rad
Cè =180º-60º=120º=120.ð/180=0,67.ð rad
Bè =180º-2.60º=60º=60.ð/180=0,33.ð rad
a) Cuando gira A, se cumplirá, en una situación de deslizamiento inminente:
1 1 2T > 500 N, T > T > P, resultando:
1T = 500. e ;èA . ì
1 2T = T . e ;èB . ì
2T = P . e ;èC . ì
A partir de las ecuaciones anteriores, podemos despejar fácilmente P:
P=500. e = 500. e = 366,3 N(èA - èC -èB). ì ð.(0,67 - 0,67 -0,33). 0,3
b) Si el cilindro que gira es el B, en una situación de deslizamiento inminente, se cumplirá:
2 1, 2 1T > T T > P, 500 N > T , resultando:
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problemas de rozamiento
318
1500 = T .e ;èA . ì
2 1T =T .e ;èB . ì
2T = P . e ;èC . ì
A partir de las ecuaciones anteriores, podemos despejar fácilmente P:
P=500. e = 500. e = 193'00 N(èB - èA -èC). ì ð(0,33 - 0,67 -0,67). 0,3
c) Si el cilindro que gira es el C, en una situación de deslizamiento inminente, se cumplirá:
1 2, 1 2T > T 500 N > T , P > T ,, resultando:
1500 = T .e ;èA . ì
1 2T = T . e ;èB . ì
2P = T . e ;èC . ì
A partir de las ecuaciones anteriores, podemos despejar fácilmente P:
P=500. e = 500. e = 366'30 N(èC - èA -èB). ì ð(0,67 - 0,67 -0,33). 0,3
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problemas de rozamiento
319
23. Un motor eléctrico impulsa la polea B a
velocidad constante, la cual está conectada
a la polea A mediante una correa. La polea
A está conectada a un compresor que
requiere un momento de 700 N.m para
Afuncionar a una velocidad constanteù . El
conjunto se mantiene en tensión por una
fuerza F que tiende a separar las poleas. Si
el coeficiente de rozamiento entre la correa y las poleas vale 0,4 ¿Cual es el valor mínimo
que se requiere para la fuerza F de forma que no se produzca deslizamiento en ninguna
polea?
NOTA: La potencia entregada por el motor es igual a la consumida por el compresor, esto
B B A A B B A A B A B A .equivale a decir que: M . ù = M .ù y en consecuencia: M /r = M /r , ó M = M .r / r
Vamos a determinar el ángulo de abrazamiento de las correas sobre las poleas. De acuerdo con
la figura:
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problemas de rozamiento
320
Resultando para los ángulos de abrazamiento:
Las ecuaciones de equilibrio para la polea A:
2 1 . 1 2De (3): T = T 3'8, sustituyendo en (1): T = 500 N y T = 1900 N, y de (2) F = 2388 N .
BRepitamos el proceso para la polea B, para ello necesitamos conocer el par M , teniendo en
cuenta que la potencia en los ejes de las poleas motriz y resistente ha de ser la misma:
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problemas de rozamiento
321
1 2Procediendo de forma similar a la polea A: T = 624' 6 N , T = 1998'76 N , F = 2610'20 N.
1 2Sin embargo los valores de las tensiones en la correa T , T y de la fuerza de tensado F han de ser
igual para los dos correas. Como el deslizamiento se producirá antes en la polea arrastrada B, al
Bser el ángulo de abrazamiento menor y en consecuencia el par resistente M menor, se tomarán
los valores obtenidos para esta polea como definitivos, en consecuencia:
1 2T = 624' 6 N , T = 1998'76 N , F = 2610'20 N.
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problemas de rozamiento
322
24. Una cuerda rodea dos cilindros iguales, tal como
se muestra en la figura. Sabiendo que el coeficiente
de rozamiento entre la cuerda y los cilindros es de
0,25. a) determinar el mayor valor del peso P que
puede elevarse, si el cilindro B está girando
lentamente y el cilindro A está estático. b) repetir el
problema si ambos cilindros permanecen estáticos y
empotrados en la pared
a) Suponemos los puntos 1,2,3,4 distribuidos a lo largo
de la correa. Si el cilindro B comienza a girar para
3 2elevar el peso P, se cumplirá: T > T :
1 2 3 4Para el cilindro A: T = 5000 N > T , y T > T =P.
Multiplicando entre sí las ecuaciones anteriores y alterando a conveniencia el orden de las
fracciones:
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problemas de rozamiento
323
2 3 b) En este caso todos los cilindros están fijos, cumpliéndose para el cilindro B: T > T :
1Mientras que para el cilindro A, las relaciones anteriores continúan verificándose: T = 5000 N
2 3 4> T , y T > T =P.
Combinando las anteriores ecuaciones:
En este caso interesa determinar el ángulo á. Se tiene por geometría:
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problemas de rozamiento
324
25. Se utiliza un torno de 120 mm de diámetro para elevar una carga de 500 N. Su eje está
apoyado en dos cojinetes de 40 mm de diámetro con lubricación defectuosa. Hallar el
módulo de la fuerza P necesaria para elevar la carga en cada una de las posiciones
indicadas (ì=0,4).
a) Para el primer caso, tenemos el diagrama de sólido libre
de la figura. El radio de la circunferencia de rozamiento:
or =ì.r=0,4.20=8 mm
De la ecuación de equilibrio de momentos respecto de A:
AÓM = 0, P.(100-8)-500.(60+8)=0
De donde P=369,56 N
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problemas de rozamiento
325
a) Para el segundo caso, la ecuación de equilibrio de
omomentos respecto de A, teniendo en cuenta que r = 8 mm:
AÓM = 0, P.(100+8)-500.(60+8)=0
De donde P= 314,815 N
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problemas de rozamiento
326
26. Para elevar a velocidad constante un peso de 1000
N se precisa un momento de 254 N.m, se pide: a)
Determinar el coeficiente de rozamiento entre las
superficies del eje y cojinete si el diámetro del eje es de
50 mm, el de la polea 500 mm y la polea pesa 500 N. b)
Si el coeficiente de rozamiento es de 0,15, determinar
el valor mínimo del momento que impide que la polea
gire en sentido horario.
a) Cuando el peso P comience a elevarse, el conjunto eje-
polea rodará hacia la izquierda y la fuerza de reacción R
aparecerá desplazada a la izquierda un valor igual al radio
ode rozamiento r . La ecuación de equilibrio de momentos
respecto de A:
A o oÓM = 0; 1000.( 0,250 + r ) + 500. r -254 =0
oDe donde: r = 0,00333 m=3,33 mm
oPor otro lado ì= r / r = 3,33 / 25 = 0,1332
b) Para evitar que el peso P caiga el conjunto eje-polea
rodará hacia la derecha y la fuerza de reacción R se
desplazará a la derecha. En este caso el radio de
rozamiento será:
or =ì.r=0,15.25=3,75 mm
La ecuación de equilibrio de momentos respecto de B:
BÓM =0, 1000.( 0,25 - 0,00375 ) - 0,00375.500 - M = 0;
De donde: M = 244,375 N.m
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problemas de rozamiento
327
27. La polea de la figura tiene 100 mm de diámetro y
puede girar alrededor del eje de 50 mm de diámetro. El
coeficiente de rozamiento entre las superficies de la
polea y eje es de 0,25. Determinar la menor fuerza
horizontal que se necesita para elevar una carga de 5000
N.
En este caso se trata de una polea hueca, en donde el hueco
es el cojinete, que gira con la polea sobre un eje fijo. La
forma más directa de resolver el problema es considerar que
el conjunto de fuerzas que actúan sobre la polea: el peso P, la fuerza F y la fuerza de reacción R ,
son concurrentes en el punto A de la figura, esto equivale a suponer que la suma de momentos
de las fuerzas que actúan sobre la polea es cero. En una situación inicial de equilibrio P y F son
iguales y la reacción R pasa por el centro de la polea y concurre con las fuerzas P y F en A.
Para subir el peso P, aumentamos el valor de F hasta
que el cojinete deslice sobre el eje, en ese instante, la
reacción R se desplazará del centro de la polea el radio
ode rozamiento r , tal como se muestra en la figura pero
seguirá pasando por A. El radio de rozamiento es:
or = ì.r = 0,25.25 = 6,25 mm
El ángulo de la figura, será:
Considerando las condiciones de equilibrio de fuerzas:
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problemas de rozamiento
328
xF =0, -R . cos (45º-5'07) + F = 0;
yF =0, R . sen (45º-5'07) - 5000 = 0;
De la segunda ecuación, se tiene directamente R=7789,96 N, sustituyendo en la primera ecuación:
F=5973,4741 N.
Sin embargo puede resultar más cómodo resolver el
problema a partir del polígono de fuerzas de la polea, lo
cual nos permite determinar directamente la reacción R
y la fuerza F, sin tener que resolver un sistema de
ecuaciones. Para el caso más general de un triángulo
cualquiera (rectángulo o no), el polígono se resuelve
aplicando el teorema del seno:
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problemas de rozamiento
329
28. Una carga de 750 N ha de elevarse mediante
el aparejo indicado. Cada una de las poleas de
diámetro D=60 mm gira sobre un eje de diámetro
d=10 mm. Sabiendo que el coeficiente de
rozamiento entre la polea y el eje vale ì=0,2.
Calcular la tensión en cada porción de la cuerda
cuando se está elevando la carga y la reacción
sobre el eje en la polea DE.
En general de acuerdo con los problemas vistos anteriormente, en los problemas de cojinetes
pueden considerarse dos tipos diferentes de montajes: conjunto eje-polea, en donde el cojinete
está fijo al soporte o conjunto polea hueca-cojinete en donde el eje está fijo al soporte y la polea
hueca gira sobre el eje. Este problema se trata de una polea hueca que gira sobre un eje fijo. En
este caso, el cojinete está en la polea.. En general el resultado final siempre suele ser el mismo
para los dos tipos de montaje.
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problemas de rozamiento
330
Consideremos a continuación el equilibrio de la polea BC. El valor del radio de rozamiento para
las dos poleas es:
or = ì.d / 2 = 0,2.10 / 2 =1 mm
Las ecuaciones de equilibrio para la polea BC:
y BA CDÓ F = 0, T +T -750 = 0
C BAÓ M = 0, T .60-750.(30-1) = 0
BA CDDe donde T = 362,5 N, T = 387,5 N
Las ecuaciones de equilibrio para la polea DE:
y EFÓ F = 0, 387,5 + T -R = 0
EÓ M = 0, 387,5.60-R.(30-1) = 0
EFDe donde R= 801,724 N, T =414,224 N
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problemas de rozamiento
331
29. Una barra uniforme de 240 mm de longitud cuelga
holgadamente de un eje horizontal de 10 mm de diámetro el cual
se hace girar lentamente, se pide : a)Si la distancia x del eje al
extremo superior de la barra es de 20 mm, determinar el ángulo
á de inclinación de la barra a partir del cual la barra iniciará su
deslizamiento. b) Determinar el valor mínimo de x para el que no
deslizará la barra cuando se haga girar lentamente al eje una
vuelta completa. El coeficiente de rozamiento entre la barra y el
eje es de 0,1.
a) Supongamos que hacemos girar lentamente la barra en el sentido
de las agujas del reloj. Consideremos una situación de deslizamiento inminente, como la barra está
en equilibrio, las lineas de acción del peso P de la barra, aplicado en el cdg G, que coincide con
el centro geométrico, y de la reacción R del eje sobre el hueco de la barra, han de coincidir . El
oradio de rozamiento r será:
or = ì.r = 0,1. 5 =0,5 mm
Por otro lado, se cumplirá también, al ser x = 20
mm:
or = GO . sen á
Siendo:
GO = 120 -x = 120-20 = 100 mm
Es decir:
0,5 = 100 . sen á, á = arcsen (0,5/100) = 0,286º
b) En este caso se cumplirá para que no exista deslizamiento entre el eje y la barra
o or GO . sen á, r (120-x) . sená,
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problemas de rozamiento
332
El valor máximo de senè= sen(ð/2)=1, resultando en la situación más crítica:
0,5 120-x, x 120-0,5=119,5 mm
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problemas de rozamiento
333
30. Las dos poleas de la figura, tienen diámetros
de D=200 mm y están montadas rígidamente
sobre ejes de d=50 mm de diámetro, soportados
por cojinetes de deslizamiento. La tensión en el
resorte es de 200 N. El coeficiente de rozamiento
entre los ejes y cojinetes es de ì = 0,3.
Determinar el par M requerido para hacer girar
la polea a velocidad constante.
Se trata de un conjunto de dos poleas-eje, girando dentro de cojinetes fijados al soporte. Cuando
la polea izquierda comienza a deslizar girando dentro del cojinete, el punto de contacto B se habrá
desplazado hacia abajo, en cambio en la polea derecha, el punto de contacto A se desplazará hacia
arriba, de acuerdo con el esquema de la figura. El valor del desplazamiento en ambos casos,
vendrá dado por radio de rozamiento:
Las ecuaciones de equilibrio para la polea de la derecha serán:
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problemas de rozamiento
334
OSiendo: F =2 00 N, d = 0,05 m, D = 0,2 m. r = (d/2).ì = (0'05/2).0'3 =0,0075 m.
Resultado, de las ecuaciones anteriores:
Para la polea de la izquierda:
De acuerdo con los resultados conocidos de las tensiones en las correas, se tiene de la ecuación
(4):
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problemas de rozamiento
335
31. Una palanca de peso despreciable, encaja
holgadamente en el eje fijo de 60 mm de diámetro
como se indica. Se observa que una fuerza F=350 N
inicia el giro de la palanca en sentido horario.
Determinar a) El coeficiente de rozamiento entre el
eje y la palanca b) Para el coeficiente de rozamiento
anterior, menor fuerza F que impide el giro de la
palanca en sentido anti-horario.
a) Se trata de un cojinete giratorio sobre un eje fijo. Cuando la palanca esté a punto de deslizar
en sentido horario, el punto de contacto eje-cojinete A, se habrá desplazado hacia la derecha. La
ecuación de equilibrio de momentos (figura de la derecha) con F = 350 N :
b) Cuando la palanca está a punto de girar hacia la izquierda, el punto de contacto B se desplaza
Ohacia la derecha. La ecuación de equilibrio de momentos para r = 7'05 mm:
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problemas de rozamiento
336
32. En la figura se muestra un cajón de 3000 N que
descansa sobre un carrito, el cual tiene cuatro ruedas
de 130 mm de diámetro. Si los coeficientes de
s dfricción estático y dinámico son ì = 0,12 y ì = 0,08,
determinar la magnitud de la fuerza P requerida
para:
a) Iniciar el movimiento.
b) Mantener el movimiento del carrito a velocidad constante.
Supongamos un sistema de rueda-eje giratorio
sobre cojinete situado en el carrito. La distribución
de fuerzas en el instante que se inicia el movimiento
con deslizamiento en el eje-cojinete, es como se
muestra en la figura: el punto de contacto A está en
la parte superior del eje y se desplaza ligeramente
hacia la izquierda como consecuencia de la fuerza
de empuje P sobre el carrito. La fuerza de contacto
xF tendrá una componente horizontal F
ycorrespondiente a la parte proporcional del empuje P, y una componente vertical F ,
correspondiente a la parte del peso del cajón. Se puede suponer con suficiente aproximación que
estas componentes equivalen a las componentes normal y tangencial, resultando para la fuerza P
necesaria para iniciar el movimiento.
Una vez iniciado el movimiento, la fuerza P necesaria para mover el bloque, se obtendrá de forma
dsimilar pero empleando el coeficiente de rozamiento dinámico ì = 0,08, resultando:
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problemas de rozamiento
337
Es posible resolver el problema suponiendo un sistema de rueda-cojinete giratorio sobre girando
eje fijo sobre el bloque. En este caso el punto de contacto a estará en la parte inferior de la rueda
desplazado a la derecha y la distribución de fuerzas es la que se indica en la figura, obteniendo
resultados similares al caso anterior:
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problemas de rozamiento
338
33. Cuatro muelles iguales de constante k=6000 N
/ m, se utilizan para mantener apretada la placa
AB contra la cabeza de una varilla vertical. En la
posición indica, cada muelle está comprimido 50
mm, la chapa puede moverse verticalmente pero su
rotación está impedida por pernos que pasan a
través de orificios taladrados en ella.
a) Sabiendo que ì=0,3 y P=0, hallar el valor del
momento M que es necesario aplicar para hacer
girar la varilla.
b) Para que valor de P girará la varilla cuando se aplique un momento de valor M=22,5
N.m.
a) Determinemos en primer lugar la fuerza total de compresión contra la cabeza de la varilla. Esta
fuerza está ejercida por los resortes, su valor será:
Cuando gire la varilla, existirá una superficie de rozamiento circular en la cara inferior de radio
2 2r = 50 mm y otra superficie en forma de corona circular en la cara superior de radios r = 50 mm
1y r = 25 mm, de manera que el momento M necesario:
b) En este caso si existe una fuerza axial P sobre la varilla, la fuerza normal en la cara inferior de
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problemas de rozamiento
339
la cabeza seguirá siendo de 1200 N, mientras que la fuerza en la cara superior será 1200-P, de
manera que el momento necesario para hacer girar el eje, será:
Es decir:
Es decir:
22,5 = 0,01166.(1200-P)+12
De donde P=300 N
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problemas de rozamiento
340
34. Suponiendo que la presión entre las
superficies de contacto es uniforme,
determinar una expresión para el momento
torsor necesario M que hay que aplicar al eje
giratorio para vencer la resistencia debida al
rozamiento, en función del coeficiente de
rozamiento ì y de las características
geométricas del eje.
Determinemos en primer lugar la presión de
contacto p. Considerando el equilibrio de fuerzas
verticales, admitiendo una presión uniforme en toda la superficie de contacto:
Resultando:
2 1-P+p.2.ð.(r - r ) = 0 , de donde:2 2
Por otro lado la ecuación de equilibrio de momentos:
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341
Resultando:
Sustituyendo el valor de la presión p ya calculado:
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problemas de rozamiento
342
35. Un cilindro de peso P=6000 N, está
apoyado sobre un plano inclinado.
1 2Determinar los ángulos á y á del plano
que hacen inminente la rodadura y el
deslizamiento del cilindro. Particularizar
para un radio del cilindro de 100 mm,
coeficiente de rozamiento al deslizamiento
ì=0,6, coeficiente de rozamiento a la
rrodadura ì = 8 mm.
Considerando las ecuaciones de equilibrio del
cilindro para un sistema de ejes Oxy, orientado
según el plano inclinado:
x r ÓF = 0, F - P.sen á = 0 (1)
yÓF = 0, N - P.cos á = 0 (2)
AÓM = 0, P.sen á.r - P.cos á . a = 0 (3)
Supongamos que el cilindro está apunto de
r moverse por rodadura, a = ì , resultando de la
ecuación (3), dividiendo por cosá:
1 r 1 r 1P.tang á . r - P . ì = 0, tang á = ì / r =8 /100 =0,08; á = arctang 0,08 =4,57 º
Si el cilindro está a punto de moverse por deslizamiento, la fuerza de rozamiento alcanzará su
r valor máximo: F = ì.N.
De la ecuación (2), N = P.cos á
Sustituyendo estas dos últimas expresiones en la ecuación (1):
2 2 2 2 2ì . N. - P.sen á = 0, ì . P. cos á . - P. sen á = 0, tang á = ì = 0,6; á = artang 0,6 =30,96º
> 4,57º, iniciando el movimiento el cilindro por rodadura.
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problemas de rozamiento
343
36. Una carretilla se desplaza por medio de
dos ruedas de 500 mm de diámetro
trasportando una carga de 1000 N sobre
una superficie irregular. Las ruedas están
motadas con holgura sobre un eje fijo A de
15 mm de diámetro. El coeficiente de
rozamiento al deslizamiento entre la rueda
y eje es de 0,25 y el coeficiente de
rozamiento a la rodadura entre la rueda y
el suelo es de 1,3 mm. Determinar la fuerza
(componentes horizontal y vertical) que hay que aplicar en el extremo B de la carretilla,
para arrastrarla con velocidad constante.
Se trata de un sistema de dos sólidos rígidos: el carro y la rueda acoplados mediante un conjunto
eje-cojinete en A.. El eje de radio r, está fijo al carro y el cojinete gira con la rueda, cuando el
ocarro se esté desplazando, el punto de contacto C se desplazará hacia la derecha un distancia r
A= ì.r, provocando un momento resistente M , que se podrá expresar en función de la reacción
yvertical en A, A que en principio es desconocida, resultando: