MANUAL ESTUDIANTE NIVELACIÓN

MATEMÁTICAS

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica

2020

PRESENTACIÓN:

Las matemáticas se han desarrollado, a lo largo de la historia de la humanidad, por la necesidad del ser humano de resolver tantos problemas prácticos, científicos, artísticos, filosóficos e incluso teológicos. La actividad matemática va mucho más allá de definir, enunciar o demostrar propiedades, tiene un sustrato profundo en la construcción mental y el orden de la realidad que crea el ser humano. Cuando los seres humanos se enfrentaron a los problemas que originan el desarrollo del conocimiento matemático, debieron utilizar todas las estrategias de las que disponían, sobre todo la intuición, la inventiva y la experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que actualmente –por el nivel de desarrollo y avance de las técnicas– quedan ocultos en la exposición formal con la que habitualmente se presentan las matemáticas. En este Manual, encontraras un set de problemas para reforzar todos los conocimientos que iras adquiriendo a lo largo de la Nivelación.

Unidad 1: Números

ACTIVIDAD 1:

TIEMPO ESTIMADO: 90 min

1. Calcular el resultado de las siguientes operaciones siguiendo los pasos adecuados.

a) 18 + 13 + 4 − (5 − 7) + 6 = e) (5 − 4 ∙ 6) ∙ 3 − (−2) ∙ 4 ∙ (−3) =

b) 15 − 12 − 3 ∙ 4 ∙ (−5) + 10 = f) 3 − (5 + 15: 3) : 16 − (−3) ∙ (−5) =

c) 18 − 2 − (4 + 5) ∙ (−4 + 9) = g) 15 − 4 ∙ (−5 + 4 ∙ 3) − 3 + 32: (−8) =

d) − 13 − (12 − 6) − 3 ∙ (−6) = h) − 16 − (8 − 5 ∙ 6) − (6 − 8: 2) ∙ (−7) =

2. Problemas Propuestos:

a) Hugo, Paco y Luis son tres amigos que se juntaban todos los miércoles para jugar PlayStation de manera Online durante una hora. Ellos trabajan en una empresa multinacional y la rutina horaria de cada uno de ellos era la misma de lunes a viernes. Se acostaban a dormir a las 00:00 hrs. A las 07:00 hrs. se despertaban y luego se preparaban para ir al trabajo. El horario de entrada al trabajo era a las 08:30 hrs. Luego, tenían el horario de colación desde las 13:00 hrs. a las 14:·30 hrs. De vuelta de la colación seguían trabajando hasta las 18:00 hrs. y llegaban a las 18:45 hrs. a su casa desde el trabajo. Pero un día, los jefes de la empresa confirman que Hugo y Paco han sido seleccionados para viajar durante seis meses a otro país. Hugo se fue a México y Paco se fue a España. La pasión de estos amigos por jugar PlayStation es muy fuerte y a pesar de que la rutina horaria de lunes a viernes no ha cambiado, la diferencia de horarios entre los países puede producir problemas para que ellos se reúnan. Esta diferencia se muestra a continuación:

(GMT-3) (GMT-5) (GMT+1)

Unidad 1: Números

¿En qué horario se pueden juntar los tres amigos para jugar PlayStation?

¿En qué horario se pueden juntar dos de los amigos para jugar PlayStation?

Un día decidieron ver el partido Chile v/s España y conversar por whatsapp. El partido era en Chile y se jugó a las 20:45 hrs. ¿A qué hora lo vieron sus amigos en México y España?

A la semana siguiente, decidieron ver la revancha del partido Chile v/s España y conversar por whatssap. El partido era en España y se jugó a las 20:45 hrs. ¿A qué hora lo vieron sus amigos en México y Chile?

b) ¿Qué edad tendrá Rosa en el año 2018 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento?

Unidad 1: Números

ACTIVIDAD 2:

TIEMPO ESTIMADO: 90 min

1. Ejercicios Propuestos:

a) El día 12 de diciembre en Moscú se registró una temperatura de 12 grados bajo cero. A esa misma hora, en Buenos Aires, hacía una temperatura de 24 grados sobre cero. ¿Qué diferencia térmica existía en ese momento entre las dos ciudades?

b) Por entrar a un parque de atracciones cobran 6 €, y por sacar el bono para montar en las atracciones cobran 12 €. Calcular el dinero que se gastó Luis en ese parque de atracciones si sus 3 hijos pagaron la entrada y el bono, y él y su mujer sólo pagaron la entrada.

c) Un repartidor de pizzas gana $5000 pesos cada día y gasta, $2300 en gasolina y $2000 en reparaciones de la moto. Si además recibe $6500 de propina, ¿cuánto ahorra diariamente?

d) En un centro de esquí el termómetro marcaba 14 grados bajo cero a las 7 de la mañana; al mediodía la temperatura había subido 10 grados y a las 19.00 había bajado 5 grados respecto al mediodía. ¿Cuál era la temperatura a las 19:00 horas?

e) Un barco está hundido a unos 350 metros bajo el nivel del mar. Se reflota a una velocidad de 2 metros por minuto. ¿A qué profundidad estará al cabo de 70 minutos?

Unidad 1: Números

ACTIVIDAD 3:

TIEMPO ESTIMADO: 90 min

1. Ejercicios Propuestos:

a) Luego de recolectar dulces en Halloween, Julia se puso a contar lo que había obtenido para repartirlo entre sus hermanos. Si los divide en dos grupos le sobra uno, si los divide en tres grupos, le sobran dos, si los divide en 4 grupos le sobra 3, si los divide en 5 grupos le sobran 4, si los divide en 6 grupos le sobran 5, si los divide en 7 le sobran 6, si los divide en 8 le sobran 7 y si los divide en 9 le sobran 8. ¿Cuántos dulces habrá recolectado?

b) Tenemos un tablero de madera de 50 cm de largo por 35 cm de ancho, y lo queremos dividir haciendo cuadraditos del mayor tamaño posible. ¿Qué lado tendrán dichos cuadraditos?

c) Un comerciante va a comprar mercancía a unos almacenes cada 42 días y otro va cada 70 días. Si coincidieron el día 15 de septiembre, ¿al cabo de cuántas semanas volverán a coincidir?

d) En un terreno rectangular de 280 m de largo por 18 m de ancho se quiere poner una valla alrededor, de forma que los postes estén todos a igual distancia y con la mayor separación posible entre ellos. ¿A qué distancia deberemos colocar unos de otros?

e) Un ciclista da una vuelta completa a una pista cada 54 segundos, y otro lo hace cada 72 segundos. Si parten juntos de la línea de salida:

¿Al cabo de cuánto tiempo volverán a coincidir? ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese momento?

Unidad 1: Números

ACTIVIDAD 4:

TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos

1. Escribe como fracción los números decimales:

a) 2,342 b) 3,262626... c) 6,52727272... d)3,54

2. Escribe como decimal las siguientes fracciones:

a) b) c) d) 3

3. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

15

; −23

; 38

; −9

10;12

;56

; −74

4. Resuelve los siguientes ejercicios de números racionales utilizando calculadora:

a)

1

3 +

4

3 +

5

3 =

b) 3

5

12 +

- 5

6

c)

1

9

3

8 + +

5

3 =

-

d)

5

4 -

3

10 =

e)

1

2 -

1

8 -

1

10 =

f)

11

2

5

6

2

9 + +

2

3 - -

3

4 =

- -

g) h)

i) j)

Unidad 1: Números

ACTIVIDAD 5:

TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos

1. Para llegar a nuestro destino de vacaciones, hemos recorrido por la mañana 2/3 del camino; por la tarde, 2/3 de lo que faltaba, y aún nos quedan 30,5 km para llegar. ¿Cuál es la distancia total a la que está dicho destino?

2. Tres amigos se reparten un premio que les ha tocado en un sorteo, de forma que el primero se lleva 3/5 del total; el segundo se lleva 5/8 de lo que queda, y el tercero se lleva 37,5 €. ¿A cuánto ascendía el premio? ¿Qué fracción se llevan entre los dos primeros?

3. En una reunión, la sexta parte son niños y niñas, las 2/5 partes son mujeres, y el resto son hombres. Si hay 156 hombres, ¿cuántas personas hay en la reunión?

4. Susana se ha gastado dos tercios del dinero que tenía en una chaqueta, la cuarta parte de lo que le quedaba en una revista y aún le quedan 9 €.

a) ¿Cuánto dinero tenía al principio?

b) ¿Qué fracción de dinero gastó?

c) ¿Cuánto ha costado la chaqueta?

d) ¿Y la revista?

5. Para llenar un depósito hasta una altura de 80 cm con un caudal de 20 l/min se ha necesitado 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse ese mismo depósito hasta una altura de 90 cm, con un caudal de 15 l/min?

6. Con 2.000 kg de pienso un granjero tiene para alimentar a sus 20 vacas durante dos meses. Si compra 10 vacas más y otros 1.600 kg de pienso, ¿durante cuánto tiempo podrá alimentarlas a todas?

7. Un equipo formado por tres personas, Victoria, Mercedes y Carlos, ha realizado cierto trabajo. Victoria ha invertido 15 horas; Mercedes, 12 horas, y Carlos, 8 horas. Si les pagan por el trabajo 441€, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

8. Cuatro socios invierten en un negocio 20.000 €, 30.000 €, 45.000 € y 25.000 €, respectivamente. Al cabo de un año han obtenido unos beneficios de 15.120 €. ¿Cuánto se llevará cada uno?

Unidad 2: Potencias y Raíces

ACTIVIDAD 6:

TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos

1. Simplifica aplicando las propiedades de las potencias:

423

232

5 8 3

6 2 52

23

22

))3((

)3.(27

423

232

5 8 3

30 2 12

72 5 3

35 2 15 423

232

23

22

))5((

)5.(25

423

232

2 5 3

15 2 4

23

22

))5((

)2.(20

4

32

30

1527

23

22

))5((

)3.(15

23

66

))2((

)3.(12

2. Reduce y calcula, aplicando las propiedades de las potencias:

3

21

2·2

1 ·

2

1

12

9

10 ·

3

5

26

8

5

15

5

1

25

62

77

1

232

2

5:

5

2

233

3

14:

7

3

Unidad 2: Potencias y Raíces

ACTIVIDAD 7:

TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos

1. Hay 7 casas: en cada casa hay 7 gatos, cada gato mata 7 ratones, cada ratón se comió 7 espigas de trigo. ¿Cuántas espigas de trigo se comieron en total los ratones?

2. Lorena quiere abrir una cuenta de ahorro y ahorrar cada semana el doble de la anterior. Si Lorena siguiera su plan y en la primera semana ahorra $2, ¿cuánto deberá ahorrar en la décima semana? ¿A las cuantas semanas debería ahorrar $32.768?

3. Carola ha decidido regalar 2 dulces a cada uno de sus 2 amigos ¿Cuántos dulces regalara en total?

4. Un restaurante ofrece a la hora de almuerzo un menú con entrada, plato de fondo y postre. Si hay 3 opciones de entrada, 3 opciones de plato de fondo y 3 opciones de postre. ¿Cuántos menús diferentes hay para escoger?

5. En una caja vienen 3 tarros de pelotas de tenis y cada tarro tiene 3 pelotas. Si de venden 3 cajas diarias. ¿Cuántas pelotas venden e 3 días? ¿Y en una Semana? ¿Y en un mes?

6. Felipe llama a tres personas de la pastoral del colegio y les propone iniciar una cadena de solidaridad que consiste en que cada uno de ellos se comprometa a llevar 1 kg de leche en polvo al siguiente día y llamar a otros 3 estudiantes para que hagan exactamente lo mismo los días sucesivos. a) ¿Cuántos kg. de leche se reunirán el 7° día? b) ¿Cuántos kg. de leche habrán reunidos al 7° día? c) Si Felipe hubiese llamado a 4 personas, estas a otras 4 y así sucesivamente. ¿Cuántos kg.

habrían reunido los primeros 6 días?

7. Dos parejas de alumnos han preparado un baile para la fiesta del colegio, donde cada uno debe llevar dos cintas de diferentes colores en cada mano. En total, ¿cuántas cintas de colores necesitan preparar?

Unidad 2: Potencias y Raíces

ACTIVIDAD 8:

TIEMPO ESTIMADO: 90 min

1. Calcula las siguientes raíces

√64 = = =

√144 = = √64 =

= √81 = √9 =

2. Reducir las siguientes expresiones:

3√2 + 5√2 − 7√2 + 4√2 =

3√2 − 4√8 + 5√50 − 3√32 =

4√12 − 3√75 + 6√300 − √108 =

√5 + √7 √5 − √7 =

3. Resolver los siguientes productos

9 ∙ 3√80 =

16 ∙ =

√ ∙ √ =

√ ∙ √ ∙√

√=

Unidad 2: Potencias y Raíces

ACTIVIDAD 9:

TIEMPO ESTIMADO: 90 min

1. El área de un cuadrado mide 225 , ¿cuánto mide su diagonal?

2. El volumen de un cubo es de 192 , ¿cuánto mide su altura? (expresa el resultado lo más simplificado posible)

3. La señora Juanita delimitó un área de su jardín para dedicarla a plantar tomates. Determine las dimensiones del área cuadrada, si el área mide 60 .

4. Don Pepe planea asfaltar la entrada de su cochera. Determine las dimensiones de la entrada rectangular, si su área es de 381,25 metros cuadrados y el largo es 18 metros mayor que su ancho.

5. La fórmula para calcular la distancia en metros, necesaria para detener un automóvil específico sobre una superficie con nieve es = donde la velocidad del automóvil, en Kilometro por hora, antes de que se apliquen los frenos. Si la distancia necesaria para detener un automóvil fue de 150 metros ¿cuál era la velocidad del automóvil antes de que se aplicaran los frenos?

6. Calcular el área de un triángulo equilátero de lado 6√2 cm. ∆ = √

7. Cuando se inscribe un triángulo en un Semicírculo donde el diámetro del círculo es un lado del triángulo éste siempre es un triángulo rectángulo. Si un triángulo isósceles (dos lados iguales) se inscribe en un semicírculo con radio de 10 centímetros. determine la longitud de los otros dos lados del triángulo.

Unidad 3: Introducción al Álgebra

ACTIVIDAD 10:

TIEMPO ESTIMADO: 90 min

1. Sebastián decide formar letras “T” con cuadrados de color negro y blanco, como se muestra en la figura.

Completa la siguiente tabla:

Fase Cantidad de cuadrados

negros

Cantidad de cuadrados

blancos

Cantidad total de

cuadrados

1

2

3

4

5

6

7

135

9999

Si es el número de la fase, escribe algebraicamente el patrón de formación para la:

i. Cantidad de cuadrados negros

ii. Cantidad de cuadrados blancos

iii. Cantidad total de cuadrados

2. Responde las siguientes preguntas empleando una expresión algebraica y utilizando la variable definida:

a. Oscar tiene $ 3.200 pesos más que su hermana Sonia. Si Sonia tiene pesos:

i. ¿Cuánto dinero tiene Oscar?

ii. ¿Cuánto dinero tienen entre los dos?

Unidad 3: Introducción al Álgebra

b. El perímetro de un rectángulo mide 26 m. Si un lado mide metros:

i. ¿Cuánto mide el otro lado?

ii. ¿Cuánto mide su área?

c. En tres cajas de distinto tamaño hay repartidas naranjas. La caja mediana tiene 5 naranjas

más que la pequeña, y la caja mayor 7 naranjas más que la mediana. Si hay naranjas en

la caja mediana:

i. ¿Cuántas naranjas hay en la caja pequeña?

ii. ¿Cuántas naranjas hay en la caja mayor?

iii. ¿Cuántas naranjas hay en total?

d. Álvaro hace trekking en un cerro de Santiago. El primer día recorre un tercio del total, el

segundo otro tercio y el tercero la mitad de lo que le queda. Si metros es el total del

recorrido:

i. ¿Cuánto recorre el primer día?

ii. ¿Cuánto recorre el segundo día?

iii. ¿Cuánto recorre el tercer día?

iv. ¿Cuánto le queda por recorrer el cuarto día?

e. ACDE y FCGH son cuadrados. Si metros es la longitud del cuadrado menor y el cuadrado

mayor tiene 3 metros más de longitud.

i. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrilátero AFHGDE?

ii. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero AFHGDE?

Unidad 3: Introducción al Álgebra

ACTIVIDAD 11:

TIEMPO ESTIMADO: 90 min

1. Sin utilizar calculadora ni realizar la operatoria aritmética

¿Cuál es el valor de . ∙ . . − . . ∙ . . ? Justifica tu respuesta.

2. Reduce términos semejantes:

a. 35 + 26 − 40 − 25 + 16 − 12

b. 8 − ( 15 + 16 − 12 ) − ( −13 + 20 ) − ( + + )

c. 9 + 13 − 9 − 7 − − + 2 − ( 5 − 9 + 5 ) − 3

d. −( − 2 ) − 3 − ( 2 − ) − 4 − ( 3 − 2 )

3. Desarrolla y reduce las siguientes expresiones:

a. 9(3 − 5 + 7) − 5(4 − 8 + 1)

b. 4 − 3 − − 4( − ) + 5 + ( + )

c. ( + 3)(2 − 1) + 3 (2 + 5)

d. ( + 5)( − 5) − 6( + 4) + 9

e. (5 − 7 )(2 − 3 ) − (2 + 3 )

4. ¿En cuál de las siguiente superficies sombreadas el área es 25 − ( + 3) ?

Unidad 3: Introducción al Álgebra

ACTIVIDAD 12:

TIEMPO ESTIMADO: 90 min

1. Completa las siguientes expresiones:

a. ( − . . . ) =. . . −. . . + 64

b. (… − 3)(… −. . . ) = − . . . + 54

c. (3 − … )(… + . . . ) =. . . − 49

d. ( + … )(… − . . . ) = . . . + 4 − 12

e. (… + 4 )(… − . . . ) = 9 − …

f. (… − 4) = . . . − 48 +. ..

2. Completa la siguiente tabla aplicando la fórmula del producto notable que corresponda:

Factores del producto notable Resultado del producto notable

a. ( − 9)( + 9)

b. − 14 + 33

c. (2 − 5 )

d. ( + 6)( − 2)

e. − 25

f. + 10 + 25

g. (7 − 2 )(7 + 2 )

3. En cada una de las siguientes ecuaciones, despeja la variable indicada:

a. = , despejar

b. = 2 + 2 ℎ, despejar ℎ

c. =( )

, despejar

4. En cada uno de los siguientes problemas, escribe una ecuación que represente al enunciado y resuélvela.

a. Con fichas logré construir un cuadrado y me sobraron 12. Así que traté de construir un cuadrado

con una pelotita más a cada lado, pero ahí me faltaron tres. ¿Cuántas fichas tengo?

b. De una placa rectangular de 15 cm de ancho y 12 cm de largo, se recortan dos piezas cuadradas

idénticas que redistribuimos de acuerdo al siguiente plano:

¿Cuál debe ser la medida del lado del cuadrado para que el perímetro de la nueva placa sea igual

a 69 cm?