Coordenadas ParamtricasDimensin Desconocida

Unaecuacin paramtricapermite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamadaparmetro, en lugar de mediante unavariable independientede cuyos valores se desprenden los de lavariable dependiente (t).

Funciones ParamtricasEn algunos casos la ecuacin de una funcin o de una relacin no est dada en la forma:

Como en las igualdades

Sino que est determinada por un par de ecuaciones en trminos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones:

Se tiene que a cada valor det le corresponde un punto del plano, el conjunto de los cuales determina una relacin.

Graficacin ParamtricasPara graficar en paramtricas debemos tomar en cuenta los siguientes pasos:1. Graficar las funciones f(t) y g(t).

2. Determinar los puntos a evaluar para facilitar la Graficacin. si es trigonomtrica hay que buscar mximos, mnimos, races y centros; si en caso no lo fuera tomar valores arbitrarios.

3. Realizar la grfica paramtrica segn los puntos de inters o puntos escogidos.

x10-101

t0

y010-1010-10

Grfica completa siguiendo los puntos de inters o puntos escogidos.

Y

X0

rea ParamtricaMtodo para encontrar el rea de un objeto o seccin dada por una funcin paramtrica.

Dadas las funciones:

Frmula para sacar un rea paramtrica

Ejemplo:

En esta grafica paramtrica lo resultados sern los mismos ya que cuenta con todos sus lados simtricos, pero en otras funciones que no sean simtricas se deber sacar el rea por separado segn se requiera. Transformacin de una Paramtrica a Cartesiana Para transformar una paramtrica a cartesiana se debe hacer lo siguiente:

Dadas las funciones:

Despejar t.

Sustituir t.

Funcin con parte negativa y parte positiva.

Derivar en ParamtricasLa derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto en la curva.

Lo que significa que:

Si parametrizamos la funcinencontramos que:

Entonces si derivamos cada una de las componentes con respecto detobtenemos lo siguiente:

Ejemplo:

Longitud de Arco

Ya sabemos calcular la longitud (L), de una curva (C), definida por

Esto quiere decir queCes recorrida una vez, de izquierda a derecha, a medida que sut aumente desdehastay.

Si colocamos

En la ecuacin que acabamos de mencionar, si empleamos la regla de sustitucin, obtendremos:

Frmula:

Ejemplo:Si usamos la representacin del crculo unitario, Cul es la longitud de arco?

rea Superficial

Al hacer girar una curva en torno a un eje obtenemos un slido de revolucin, y sabemos que ste tendr un rea de superficie que podremos calcular con ayuda de las integrales.

En rectangulares lo hacamos de la siguiente forma:

Si era en torno al eje x. Si era en torno al eje y.

Como vemos en la ecuacin est involucrada la longitud de arco. Sabiendo nosotros que la ecuacin para la longitud de arco en paramtricas es:

Frmula de longitud de arco.

Sustituimos la ecuacin de longitud de arco en la ecuacin y sustituiremos f(x) o f(y) ahora por x(t) o y(t) y con esto encontramos la ecuacin para el rea de superficie en paramtricas.

En torno al eje x. f(x) = f(t)a-f(x)= a-f(t)f(x)-a= f(t)-af(x)+a= f(t)+a

En torno al eje y. x = g (t)a - x= a - g (t)x - a= g (t)-aa + x= a + g (t)

Ejemplo:Demostracin de que el rea de superficie de una esfera es.Si tenemos las ecuaciones:

Entonces si rota alrededor del eje x.

Sabemos que , entonces:

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Slidos de Revolucin ParamtricasSe denominaslido de revolucinovolumen de revolucin, alslidoobtenido al rotar una regin delplano alrededor de unarectaubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denominaeje de revolucin.

Mtodo de Discos Este mtodo es funcional para aquellos slidos de revolucin que tras analizar un diferencial se observa que rotado forma un disco.

Mtodo de Anillos

Ejemplo:Encuentre el volumen que se genera al hacer girar las siguientes funciones, alrededor del eje y

Mtodo de Capas Cilndricas

Ejemplo:Encuentre el volumen que se genera al hacer girar las siguientes funciones, alrededor del eje y

Centro de Masa (Centroide)

EJEMPLO DE CENTRO DE MASA