MApli_7_Funciones

7/30/2019 MApli_7_Funciones

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1

Funciones

EvelynDelPezoIzaguirre,Msig.

Funcin

EDCOM-ESPOL

2

Es un *po especial de relacin que expresa como una can*dad (la salida)dependedeotracan*dad(laentrada).Porejemplo:Si un marcador cuesta $ 2, el valor a pagar va a depender del nmero de

marcadoresqueyocompre.EsallcuandodecimosqueYestadadoenfuncindeX.

y=f(x)


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2

Funcin

EDCOM-ESPOL

3

y=f(x)

y=x.q

f(x),eslacan*dadporpreciodelproducto

x,eselpreciodelproducto constante q,eslacan*daddeproducto variableindependiente

y,eselvalorapagar variabledepediente

f(x)=4.2x=4marcadores

variableindependiente

y=8valorapagar

variabledepediente

constante

DominioyRango

EDCOM-ESPOL

4

y=2+x

ElDOMINIOsontodoslosposiblesvaloresquepuedetomarmientrada,es

decirX ElRANGOeseldatodesalida,Y;envirtuddelosvaloresquetomeXalser

reemplazadoenlaexpresin

f(x)=2+xX=2

variableindependiente

Y=4

variabledepediente

constante

X=5 Y=7

EnestecasoelDOMINIOyelRANGOsontodoslosREALES


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3

Coordenadascartecianas

Unagrficamuestralarelacinentre 2 v ar ia bl es d e l aecuacin, las mismas quepueden ser representadas enun plano carteciano y se lasconocecomocoordenadas

Para localizar un punto en elplano,esnecesarioconocerlasc oo rd en ad as q ue s e l asiden*ficacomo(x,y),endondeX y Y son las variables de miecuacin

EDCOM-ESPOL

5

x Abscisas

I cuadrante

IV cuadranteIII cuadrante

II cuadrante

0

Origen

y Ordenadas

Coordenadascartesianas

Elprimervalordelascoordenadassiempreserx,yelsegundoy.

Los valores posi*vos siempreestarnenrelacinalorigen:

AlaDerecha, HaciaArriba

Los valores nega*vos siempreestarnenrelacinalorigen:

AlaIzquierda, HaciaAbajo

EDCOM-ESPOL

6

x

I cuadrante

IV cuadranteIII cuadrante

II cuadrante

0

y

(+,+)(-,+)

(-,-) (+,-)


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4

Graficandocoordenadas

EDCOM-ESPOL

7

(4,6)

(-6,-4)

Lalnearecta,eslauninde2puntos

Distanciaentre2puntos

PuntossobreelejeXsobreelejeY

Ladistanciaentrelospuntoscorrespondealvalorabsolutodeladiferenciadesuscoordenadasenrelacinalejesobreelqueestngraficados,

EDCOM-ESPOL

8

Paracualquieradeestoscasos,sucontrapartedelascoordenadasserCERO


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5

Distanciaentre2puntos

EDCOM-ESPOL

9

PuntossobreelejeX,trabajocon:

|(x2x1)|

(-4,0)y(5,0)d=|5(4)|

d=|5+4|d=9unidades.

x

y

(-4,0)(5,0)

PuntossobreelejeY,trabajocon:|(y2y1)|

(0,7)y(0,12)d=|12(7)|

d=|5|d=5unidades.

(0,12)

(0,7)

Distanciaentre2puntosqueestnencualquierlugardelplano

Sufrmuladeladistanciaes:

EDCOM-ESPOL

10

d= (x2x

1)2+ (y

2y

1)22

x

y

(3,2)

(10,11)

y2y1

x2x1

d= (103)2+ (112)

22

d= (7)2+ (9)

22

d= 1302


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6

PendientedelaRecta

Es el grado de inclinacin de una rectacon respecto a lahorizontal, y larepresentamosconlaletram.

Geomtricamente podemos decir que es la tangente delngulo que seformaentrelalnearectayelejeposi*vodelasx.

m=tan

Paracalcularlapendientesoloesnecesariocalcularlatangentedelnguloformadoentreelejexylarectapar*endodelahorizontalyensen*doan*horario

EDCOM-ESPOL

12

PendientedelaRectadesdedospuntos

Nosiemprenosdanelngulodeinclinacindelarecta,sinoquenosdandospuntosconcoordenadas(x,y).

Enestoscasosu*lizamoslaformula:

Dadoslospuntos(-1,-2)y(4,3)

EDCOM-ESPOL

13

m =y2 y

1

x2 x

1

m =

3 (2)

4 (1)

m =

3+ 2

4+1

m =

5

5=1


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7

EDCOM-ESPOL

14

x

y

m=tang

m =y2 y

1

x2 x

1

m =3 (2)

4 (1)

m =3+2

4+1

m =5

5=1

Subolaunidadyavanzounoaladerecha

x

y

(-1,-2)

(4,3)

EDCOM-ESPOL

15

x

y

Noexistem

x

y

m=0

Tiposdependientes


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8

Rectacrecienteydecreciente

EDCOM-ESPOL

16

x

y

RectaDecreciente

m0

CuadranteI

CuadranteIII

Grficas

deecuacionesde

Primergrado

EDCOM-ESPOL

17

Rectas


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Consideracionesenlasecuaciones

Siempre que nos den una ecuacin y tengamos que graficarla, debemosdejarlaexpresadaenbaseay.

Sinospidengraficarunarectadeforma: pendienteyordenadaalorigendeunaecuacinlineal,esdelaformay=mx+b

Recordarlafrmuladelapendiente

EDCOM-ESPOL

18

m =y2 y

1

x2

x1

Recta

Todaecuacindeprimergrado,esunalnearecta. Lasecuacioneslinealesselasrepresentaconlafuncinlineal(recta) Larectaeselresultadoderepresentar2*posdefunciones:

Linealesodeproporcindirecta,pasanporelorigenysondelaformay=k.x kesunaconstante

Afines,nopasanporelorigenysondelaformay=mx+b mybsonconstantesybes0

EDCOM-ESPOL

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FuncinLinealdeProporcinDirecta

EDCOM-ESPOL

20

LaproporcindirectamencionabaquelarelacinentreXyYeraunaconstante.Analizandoelgrficosevisualizaquesi X aumenta, Y tambinaumenta enla mismaproporcin.

Deestopodemosdeducirque:

Las ecuaciones con 2 variables pueden serllevadasafuncionesyrepresentanrectas

Las funciones cuyas grficas son rectas quepasan por el origen se l laman funciones

linealesodeproporcionalidaddirecta

y

x= k y = k x x y=2.x

0 0

2 43 6

Paralaconstantek=2

x

y

(2,4)

(3,6)

(0,0)

FuncionesAFINES

EDCOM-ESPOL

21

SonRECTASQUENOPASANPORELORIGEN,ysonfuncionesdelaforma

y=mx+b (b 0)

x,bsonconstantes, meslapendienteoinclinacindelarecta. beslaordenadaenelorigen,eselvalorquegraficoenyparax=0.


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11

EDCOM-ESPOL

22

x y=2.x+3

0 3

2 7

-2 -1

Dadalaecuacin:y=2x+3

pendiente

Valorenyconrespectoax=0

Elaboromitablaconvaloresaleatorios

parax,ylosreemplazoenlaecuacin

x

y

(0,3)

(2,7)

(-2,-1)

Coordenadas

EDCOM-ESPOL

23

x y=3.x-2

0 -2

1 1

3 7

Dadalaecuacin:y=3x-2

pendiente

Valorenyconrespectoax=0

Elaboromitablaconvaloresaleatorios

x

y

(0,-2)

(1,1)

(3,7)


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12

FrmulaPUNTO-PENDIENTE

EDCOM-ESPOL

26

Permite a par*r de un punto calcular la pendiente de la recta y desde ahobtenerlaecuacinoriginal

(-1,-2)y(4,3)

m =

y2 y

1

x2 x

1

m =3(2)

4 (1)

m =

3+ 2

4+1

m =

5

5=1

y2 y

1=m(x

2 x

1)

y2

3=1(x2

4)

y2=1(x

2 4)+3

y = x 4+3

y = x1

y2 y

1=m(x

2 x

1)

y2 (2) =1(x

2 (1))

y2=1(x

2+1)2

y = x +1 2

y = x 1

Clculodelapendiente

EDCOM-ESPOL

27

Hallelapendienteapar*rde2coordenadasysuecuacinoriginal

(4,7);(-2,-3) (3,9);(3,5) (-5,8);(4,-6) (6,8);(12,8)


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13

Rectasparalelas

Dosrectassonparalelas,si: Tienenlamismapendiente. Algraficarlas,stasnuncasecruzanentres

Considereque:

Siledan2ecuaciones,escrbalasdelaformapendiente-ordenadaalorigenycomparelaspendientesdelasdosrectas.

Si ambas ecuaciones *enen lamismapendiente y lamismaordenadaalorigenentoncesambasecuacionesrepresentanlamismarecta.

EDCOM-ESPOL

28

EjemplosdeRectasparalelas

EDCOM-ESPOL

30

x y=2.x+4

-2 0

0 4

1 6

x y=2.x1

0 -1

2 3

3 5

y = 2x + 4

4x+ 2y = 2

2y = 4x2

y = 2x 1

x

y

(-2,0)

(0,4)

(1,6)

(0,-1)

(2,3)

(3,5)


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14

RectasPerpendiculares

Dosrectassonperpendiculares,si: Se cruzan en un punto de ambas

rectas y forman 4 ngulos rectos(de90).

Tienen sus pendientes inversas ycambiadasdesigno

,sielproductodesuspendientesda-1.

EDCOM-ESPOL

31

m1m

2= 1

m1=

1

m2

m1= 2 m2 =

1

2

La grfica de las funciones cuadrticas se llama parbola.

Las funciones cuadrticas son de la forma y = ax2 + bx + c con a 0.

Si a > 0 la parbola est abierta hacia arriba.

Si a < 0 la parbola est abierta hacia abajo.

y = x2

y = x2 4x

a > 0y = x2 + 2

y = x2

y = x2 3

a < 0

Funcincuadrtica(segundogrado)


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15

Cmoresolverecuacionescuadrticas

6x2-7x- 3

Factorizacin6x2-7x- 3

36x2-7(6x)- 18

(2x - 3) . (3x+ 1)

Valores para X:

x1= 3/2 x2= -1/3

x1= 1,5 x2= -0,33

EDCOM-ESPOL

35

ResolucinporEcuacinCuadrtica

Laecuacincuadr*capermiteresolverCUALQUIERecuacinde2dogrado:

Laexpresindentrodelsignoderazcuadrada,sellamadiscriminante,elmismo*enelassiguientesconsideraciones:

EDCOM-ESPOL

36

x =b b

24ac

2a

b2-4ac NmerodeSoluciones

Posi*vo Dossolucionesrealesdis*ntas

0 Unanicasolucin

Nega*vo No*enesolucionesreales


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16/12/12

16

EDCOM-ESPOL

37

x=(7) (7)

24(6)(3)

2(6)

x=

7 49 (72)

12=

17 49+ 72

12

x= 7 12112

= 71112

x1=7+11

12=18

12=3

2=1,5

x2 =711

12=

4

12=

1

3= 0,33

6x2-7x- 3

a=6 b=-7 c=-3

x =b b

24ac

2a

EDCOM-ESPOL

38

6x2-7x- 3

a=6 b=-7 c=-3

Vr*ce de la parbola, la coordenada del vr*ce (x,y) est dada por lasfrmulas:

x =b

2a

y = cb2

4a

x=

(7)

2(6)=

7

12=

0, 5833

y =3(7)

2

4(6)=3

49

24=

121

24=5, 0416


17/18


18/18

16/12/12

18

EDCOM-ESPOL

41

x=

(17) (17)24(4)(15)

2(4)

x=

17 289240

8

=

17 49

8x=

177

8

x1 =

24

8= 3

x2 =

10

8=

5

4

Resolver4x2-17x+15=0,dondea=4,b=-17yc=15

x =b b

24ac

2a

y=

c

b2

4a

y =15(17)

2

4(4)=15

289

16=

y =49

12=4, 083

x =b

2a

x =(17)

2(4)=

17

8= 2,125

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