MAQUINAS ELECTRICAS -...
Transcript of MAQUINAS ELECTRICAS -...
MAQUINAS ELECTRICAS
Mg. Amancio R. Rojas Flores (parte 3)
ESTRUCTURA
FERROMAGNÉTICA EXCITADA
CON CORRIENTE ALTERNA
3.1 INTRODUCCIÓN
Los campos magnéticos varían con el tiempo cuando están relacionados
con muchos aparatos magnéticos prácticos, tales como: transformadores,
motores y generadores. En general dicha variación es periódica.
Si la estructura magnética está hecha de un material ferromagnético, es
necesario examinar la pérdida de energía en el núcleo debido al campo
magnético y las formas de onda de flujo y de la corriente de excitación.
Supondremos que la frecuencia de las señales periódicas usadas es
suficientemente baja para no considerar la radiación de energía.
3.2 LEY DE FARADAY DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
En 1831 el inglés Michael Faraday y el norteamericano Joseph Henry, casi
simultáneamente y trabajando de forma independiente, descubrieron la
llamada inducción electromagnética, la generación de corriente eléctrica
inducida por un campo magnético variable, base del desarrollo de toda la
industria eléctrica actual.
Pero además fue el punto de partida del desarrollo de una concepción
unitaria de la electricidad y el magnetismo que llevaría a cambiar
radicalmente nuestra concepción de la naturaleza.
Faraday y Henry observaron a través de numerosas experiencias las
condiciones que deben darse para que en un circuito eléctrico se induzca
corriente eléctrica (figura 1):
¿EN QUÉ CONDICIONES UN CAMPO MAGNÉTICO INDUCE CORRIENTE ELÉCTRICA?
EXPERIENCIAS DE FARADAY Y HENRY. LEY DE FARADAYY Y LEY DE LENZ.
Ley de Faraday
“Una fuerza electromotriz (f.e.m.) es inducida en un medio cuando se cambia
el enlazamiento de flujo magnético asociado con el medio. Si el medio es un
conductor de electricidad y forma una trayectoria cerrada, una corriente fluye
en él debido a la f.e.m. inducida. La magnitud de la f.e.m. inducida es
proporcional a la rapidez de cambio en el tiempo de los enlazamientos del
flujo”.
La Ley de Lenz nos ayuda a determinar el sentido de la f.e.m. inducida y por
lo tanto de la corriente.
“El sentido de la f.e.m. inducida es tal que ocasiona el flujo y una corriente
en una trayectoria cerrada con una dirección tal que la corriente tiende a
contrarrestar el cambio de los enlazamientos de flujo”.
Ejemplo: Si las líneas de flujo están disminuyendo, entonces la corriente
inducida circulará en la dirección de las manecillas del reloj, de tal manera
que el flujo establecido por la corriente, tiende a cancelar la disminución del
flujo original.
Ambas leyes se comprueban y se expresarán por:
Donde:
Si e(t) es negativo, entonces e(t) es considerado como una elevación de
voltaje (fuente) y se opone al voltaje aplicado en cada instante de tiempo.
Si e(t) es positivo, entonces e(t) es considerado como una caída de voltaje.
La ecuación (3-1) puede ser escrita en otras formas diferentes:
En forma diferencial:
dt
d
dt
Nde t
)()(
(3-1
3.3 RELACIÓN ENTRE VOLTAJE APLICADO, VOLTAJE INDUCIDO Y
FLUJO EN UN NÚCLEO MAGNÉTICO EXCITADO POR UNA SOLA
FUENTE
Fig.Una bobina excitada por una sola fuente
Sea una bobina de N espiras arrolladas en un núcleo ferromagnretico, tal como se
muestra en la figura, que se conecta a una fuente de tensión variable v(t) ; como
consecuencia de ello se establecerá una corriente i(t) en la bobina que producirá un
flujo variable (t) en el núcleo.
De acuerdo a la ley de Faraday, el flujo anterior creara una f.e.m inducida en
cada una de las espiras del devanado, dando lugar a una f.e.m total que puede
considerarse bien como una elevación de tensión en el sentido de la corriente
(fig..b) de valor.
dt
dNe
O bien como una caída de tensión en el sentido de la corriente (fig..c)
denominándose entonces fuerza contra electromotriz (f.c.e.m) cuya magnitud
es:
dt
dNe
El balance energético que se produce en el circuito. Si aplicamos la segunda
ley de kirchhof a la red de la figura (..c) resulta
dt
dNRiv
Donde, las expresiones v, i y son funciones del tiempo,
si se multiplican ambos miembros por idt resulta:
(Ecuación de tensión en una bobina de N espiras)
dNidtRidtvi 2
O expresado de otro modo
mRe dWdWdW
Donde:dWe : diferencial de energía eléctrica que entra en el circuito
dWR : diferencial de energía disipada en la resistencia R de la bobina por el efecto joule
dWm: diferencial de energía suministrada al campo magnético (diferencial de energía magnética)
La ecuación anterior representa el balance energético del circuito o
simplemente la ley de conservación de la energía. El termino dWm = se
puede escribir:
ddNidWm
Donde representa la f.m.m de la bobina.
(balance energético en una bobina)
Si suponemos que en el instante inicial (t=0) el flujo en el núcleo es nulo y la
corriente es cero, y si se incrementa estos valores hasta unas magnitudes
finales e i , se tendrá una energía magnética total suministrada al núcleo
magnético por la fuente:
ENERGIA Y COENERGIA
(Energía magnética almacenada)
0
dWm
En la teoría de los circuitos
magnéticos es interesante definir
una magnitud denominada
coenergia y que responde a la
ecuación:
0
' dWm
(Coenergía magnética almacenada)
La coenergia no tiene un significado físico directo pero es de gran utilidad para el
calculo de fuerzas en los dispositivos electromagnéticos.
dHdH
dBSdSB
Las expresiones anteriores pueden también definirse en función de los
campos magnéticos H y B. si se considera la fig ( ) en el que el núcleo
tiene una sección uniforme S y l es la longitud magnética media, si se
suponen uniformes los campos magnéticos, se podrá escribir.
0
0
B
m HdBvoldW
De este modo la expresión de la energía magnética almacenada se
convertirá en :
Donde
representa el volumen del núcleo ferromagnetico.
Svol
La energía almacenada por unidad de volumen, y que se denomina densidad
de energía magnética valdrá entonces
B
mm dBH
vol
WW
0
De un modo análogo, se obtiene la densidad de coenergia magnética
H
m dHBW0
'
Si la curva de imanacion es una recta, entonces coinciden los valores
numéricos de la energía y coenergoia que corresponden a triángulos
rectángulos cuyos catetos son y y de este modo la energía y la coenergia
magnética admiten las versiones siguientes:
22'
2
1
2
1
2
1mm WW (Energía y coenergia en
sistemas magnéticos lineales)
Donde se ha tenido en cuenta la ley de Hopkinson. De un modo análogo
coinciden también las expresiones de las densidades de energía y coenergia
22
'
2
1
2
1
2
1H
BBHWW mm
También dei
NL
Teniendo en cuenta la ley de Hopkinson
La ecuación de inductancia se transforma
222 N
NNi
NL
Por consiguiente la energía y coenergia magnética se puede escribir
2
2
2'
2
1
2
1Li
NLWW mm
(definición de coeficiente de
autoinducción de una bobina)
( coeficiente de autoinducción de una
bobina en función de la reluctancia )
(Energía y coenergia en función del
coeficiente de autoinducción )
PÉRDIDAS EN LOS MATERIALES FERROMAGNÉTICOS
• Cuando la bobina con núcleo de hierro se excita con corriente continua (DC)
la única pérdida que se presenta es la que se produce en la resistencia propia
de la bobina. Se ha de notar que el núcleo no sufre calentamiento alguno.
• Cuando la bobina del núcleo se excita con corriente alterna (AC), ésta (el
núcleo) si sufrirá un calentamiento y por consiguiente se producirá unas
nuevas pérdidas llamadas “Pérdidas en el núcleo” que son debidas a la
variación del campo magnético (y flujo magnético).
Esta son:a) Pérdidas por histéresis (Ph )
b) Pérdidas por corrientes Parásitas (Pf )
Las pérdidas totales en el núcleo de hierro vienen a ser la suma de ambos,
es decir:
fhT PPP
Cuando se reducen los campos magnéticos asociados a los núcleos ferro
magnético, parte de la energía almacenada es devuelta a la fuente. Sin
embargo parte de la energía almacenada se pierde irremediablemente en el
núcleo en forma de calor. Esta perdida de energía es debida a dos causas.
•Características de histéresis del material (perdidas por histéresis)
•Corrientes inducidas en el núcleo (perdidas por corrientes parasitas o
Foucault).
PERDIDAS POR HISTERISIS.
))(()(' ciclodelareavolfdBHvolffWP HH
En la practica, es conveniente hablar de perdida de energía por segundo
en el núcleo, es decir, de potencia perdida por histéresis.
La ecuación anterior es independiente de la forma de onda de la fuente de
alimentación, depende únicamente de la amplitud de la inducción, la
frecuencia de la fuente (red) y la naturaleza del material magnético (área
del ciclo)
Si el numero de ciclos de imanacion es f (donde f representa la frecuencia
de la tensión de alimentación a la bobina) entonces la potencia perdida
será.
Los valores de kH (denominado coeficiente de Steinmetz) y (denominado
exponente de Steinmetz) dependen de la naturaleza del núcleo
ferromagnetico. El exponente varia entre 1.5 y 2.5, siendo un valor
frecuente =1.6, mientras que kH varia en el caso de acero al silicio entre
100 y 200.
Experimentalmente, C. P Steinmetz propuso en 1892 una formula empírica
que viene expresada por la expresión
mHH BvolfkP )(
PERDIDAS POR CORRIENTE DE FOUCAULT
En la figura se muestra una bobina arrollada sobre un núcleo de hierro
macizo. Al alimentar la bobina con corriente alterna se producirá, de
acuerdo con la ley de ampere, un campo magnético alterno de inducción
BZ = Bm cos wt que atravesara toda la masa de hierro en el sentido del eje
Z (eje de la bobina).
(Formula de Steinmetz de
las perdidas por histéresis )
Fig. corrientes de Foucault (eddy currents, o corriente de torbellino)
Se llega a demostrar una potencia disipada
6/2fk
las ecuaciones anteriores son validas solamente para valores de las frecuencias tales
que la distribución del campo magnético no este afectada por las propias corrientes
parasitas.
Las perdidas totales en el hierro son
volaBfkfBkP mfmHT )( 222
)(6
2222
volBfa
P máxf
(perdidas por corrientes de Foucault )
En la practica, el fabricante de material magnético, suministra unas curvas,
donde se muestran estas perdidas totales en función de B, a frecuencia
constante.
Fig. curva de perdidas en el hierro
3.4 CIRCUITOS MAGNETICOS EXCITADOS CON CORRIENTE ALTERNA
Sea la bobina de la figura:
Al aplicar una tensión de alimentación de cc a la bobina se dan los siguientes eventos:
Esta claro que cuando la bobina se alimenta con una excitación de cc , la
corriente es función directa de la tensión aplicada, pero es absolutamente
independiente de la naturaleza y características magnéticas del material que
constituyen el núcleo.
Si, por ejemplo, se aumenta la reluctancia del circuito magnético(un entrehierro en el
núcleo), entonces el flujo magnético se reducirá pero no habrá cambio en la corriente
absorbida por la bobina)
La bobina de la figura se alimenta con una tensión c.a senoidal
wtVvt cos2
En este caso se producirá una corriente de circulación i(t) que provocara un
flujo (t) en el núcleo. Este flujo variable dará lugar a una f.e.m inducida en
la bobina, de tal modo que si se aplica la segunda ley de Kirchhof al circuito
eléctrico de la figura se cumplirá de acuerdo con
dt
dNRiv
(tensión de alimentación )
Suponiendo que la caída de tensión en la resistencia de la bobina es pequeña
en comparación con la f.e.m inducida, la ecuación se puede escribir
dt
dNv
tVsenN
dtvN
t
2
.1
)(
De donde se deduce el valor de flujo (t)
Donde el flujo m vale
N
Vm
2
Teniendo en cuenta que w= 2f , la relación se puede escribir
mm fNfNV
44.42
2
(flujo magnético en el núcleo )
(relación entre la tensión
aplicada y el flujo magnético)
Debe destacarse que en la ecuación anterior la tensión esta expresada en
valor eficaz, mientras que el flujo esta definido por su valor máximo
Cuando la bobina se alimenta con una excitación de c.a, el flujo es función
directa de la magnitud y frecuencia de la tensión aplicada, pero es
absolutamente independiente de la naturaleza y características magnéticas
del material que constituye el núcleo.
Se demuestra que
Donde: formadefactorff :
máxeficaz fNffV )(4
Factores de forma para algunas configuraciones:
3.5 CIRCUITO ELECTRICO EQUIVALENTE DE UNA BOBINA CON NUCLEO
DE HIERRO ALIMENTADO CON C.A
a) Núcleo sin perdidas
si consideramos que el núcleo magnético no tiene perdidas y suponemos
también despreciable la resistencia de la bobina, en esta situación la potencia
activa absorbida (por la bobina) de la red será nula. De acuerdo con la ley de
Hopkinson
SNi
S
Ni excexc
Donde, se ha llamado iexc a la corriente de excitación instantánea que circula
por el devanado
Teniendo en cuentadt
dNv
(relación entre el flujo magnético y la
corriente de excitación de la bobina)
Se puede escribir
dt
diSN
dt
dNv exc
2
Comparando con la tensión en una bobina de coeficiente de inducción L, llevando
una corriente iexc
dt
idLv exc
Indica que L viene expresado por
SNL
2
Lo cual quiere decir que el circuito equivalente de una bobina con núcleo de
hierro puede representarse por una autoinducción
Fig. circuito equivalente de una bobina con núcleo de hierro sin perdidas
(relación entre la tensión y la
corriente de excitación de la bobina)
(coeficiente de
autoinducción de la bobina)
b) Núcleo con perdidas
En el caso de que el núcleo tenga perdidas en el hierro, la corriente de
excitación Iexc no formara 90º con la tensión ya que la potencia activa
absorbida de la red debe vencer esas perdidas, de tal forma que si
denominamos v al ángulo que forman V e Iexc y Pfe a las perdidas en el
hierro, se cumplirá:
vexcFe VIP cos
Fig. Diagrama fasorial de una bobina con núcleo real
(pérdidas en el hierro en función de la
tensión, la corriente de excitación y el fp )
vexcFe II cos
Donde.
De la figura se observa que I se retrasa 90º respecto de la tensión (circuito
inductivo). Los valores RFe y XF será
I
VX
I
VR Fe
Fe
Fe
senII exc
III Feexc
(componente de corriente de perdidas en el hierro)
(componente de corriente de imanacion o magnetización )
(Parámetros del circuito equivalente de
una bobina con núcleo de hierro )
3.6 CIRCUITO EQUIVALENTE APROXIMADO DE UN REACTOR CON
NÚCLEO DE HIERRO
Dada la hipotética descomposición de la corriente de excitación iφ(t) en dos
componentes, esto nos recuerda un circuito eléctrico que es una combinación
en paralelo de un resistor y un inductor real. La resistencia del embobinado RB
es pequeña y puede representarse en serie con la fuente de voltaje.
Se asume que el contenido de armónicas es despreciable y hacemos uso
de fasores:
Donde:
3.7 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL CIRCUITO
EQUIVALENTE DE UN REACTOR CON NÚCLEO DE HIERRO.
a) Determinación de la Resistencia del Bobinado ( RB)
Se usa una fuente D.C. de bajo voltaje, con disponibilidad para variar la
corriente.
Luego:
Se toman varias lecturas y se calcula el valor promedio. Si una corriente A.C.
fluye por el embobinado, la resistencia será mayor debido al efecto superficial.
La corriente A.C. circula cerca de la superficie del conductor causando de
éste modo una distribución no uniforme de corriente en la sección
transversal del conductor. El área efectiva de la sección transversal utilizada
es entonces menor que el área disponible y como RB es inversamente
proporcional al área, la resistencia a corrientes variables en el tiempo es
más grande que la resistencia en D.C. (Este efecto es una función de la
frecuencia).
Usualmente se toma:
DCAC BB RR 25.11.1
b) Determinación de gp y bm:
Tenemos dos métodos:
b.1) Método analítico: Se usa el circuito mostrado, aplicando el voltaje
senoidal de magnitud y frecuencias conocidas.
Suponiendo que V>>I ef RB
Luego:
b.2) Método Gráfico: Si un material ferromagnético es excitado por C.A.
debemos contar con la curva densidad de flujo máxima vs fuerza de
magnetización (B-H); además debemos conocer la variación de las pérdidas
en el núcleo como una función de la densidad de flujo máximo y de la
frecuencia.
Befpn RIPgVP 22
Befp RIPV
g 2
2
1
efpP IdeperdidasdecomponenteVgV
I 2
1
ionmagnetizacdecomponenteIII pm 22
V
Ib m
m
La curva de pérdidas en el núcleo es trazado como una función de Bmáx,
manteniendo la frecuencia constante. Una familia de estas curvas puede ser
construida sobre un rango de frecuencia.
3.8 REACTORES CON NÚCLEO DE HIERRO
BALASTOS :sirven para estabilizar el funcionamiento de las lámparas de
descarga de gases, ya que estas no pueden funcionar directamente
conectados a la red de tensión. Si no hubiera un balasto entre la línea de
tensión y la lámpara, ésta última explotaría.
Los balastos pueden ser impedancias inductivas, capacitivas ó resistivas
que limitan la corriente (amperios) que circulan por las lámparas a los
valores exigidos para un funcionamiento adecuado. Además, cuando es
necesario, los balastos suministran la tensión y corriente de arranque
requeridas y en el caso de reactancias de arranque rápido, la baja tensión
requerida para calentar los cátodos de las lámparas. Las más utilizadas
son las de tipo inductivo
Cada lámpara de descarga de gases( de diferente tipo y potencia)ha sido
diseñada para operar con una corriente y tensión específica y es el reactor
el que debe darle a la lámpara las condiciones necesarias para operar.
En resumen, las funciones que debe realizar un balasto son :
• Proporcionar la corriente de arranque ó de precalentamiento de cátodos
para conseguir en éstos la emisión inicial de electrones.
• Suministrar la tensión de arranque en vacío( tensión que el balasto envía a
la lámpara) suficiente para hacer saltar el arco en el interior de la lámpara.
• Limitar la corriente en la lámpara a los valores adecuados para su correcto
funcionamiento.
Los reactores están formados por un núcleo de hierro de placas de acero y
de una bobina de alambre de cobre. Algunos reactores producen un
zumbido, esto es a causa de que generalmente éstos trabajan en la zona de
saturación es decir se produce una vibración como consecuencia de las
solicitaciones magnéticas sobre las placas de núcleo.
En una reactancia correctamente construida, la vibración fundamental de
100 Hz, pueden en ocasiones ser oídos.
3.9 IMPORTANCIA DE LA CURVA DE MAGNETIZACIÓN
La curva de magnetización es de fundamental importancia, porque las
características de funcionamiento de la máquina, bien sea generador ó motor,
dependen casi completamente de ella.
Por esta razón, la fase de determinación de la curva de magnetización
constituye un paso esencial en el proyecto, con objeto de tener la seguridad
de que la máquina satisfará las condiciones especificadas.
La curva de magnetización se utiliza para el diseño de simples bobinas,
choques ó balastos, transformadores y máquinas rotativas. También para el
cálculo de las inductancias estática y dinámica utilizadas en el cálculo de la
estabilidad ó el transitorio de un sistema de potencia.
3.10 MODELOS DE REPRESENTACIÓN DE CURVAS DE MAGNETIZACIÓN
a) Representación de la Curva de Magnetización Mediante Polinomios
El presente método tiene como objetivo dar
una expresión analítica de la curva
característica de magnetización, a partir de
valores r.m.s. experimentales.
La curva de magnetización es aproximada
por un ajuste polinomial entregado por la
siguiente ecuación:
Reemplazando:
b) Representación de la curva de magnetización usando Interpolaciones
lineales
La alta utilización de diversas calidades de materiales en la construcción de
variados tipos de transformadores y máquinas eléctricas conduce a
aproximar de la mejor forma posible a la curva característica de
magnetización.
La curva experimental que muestra la relación r.m.s. tensión corriente es
obtenida por medición experimental empleando el aparato de Epstein.
La idea es obtener varias funciones simples lineales en todo el rango de la
curva característica de magnetización a partir de datos experimentales r.m.s.
para ello se subdividirá la curva r.m.s. en “n” secciones iguales, donde el
valor de “n” dependerá de la exactitud, fidelidad que el operador requiera.
Las posiciones individuales estarán representadas por ecuaciones de rectas;
luego, la porción de curva r.m.s. entre los puntos “j” y “j + 1 “ está dada por la
fórmula descrita.
1. Es posible que una simple función, aplicada en muchos tramos
represente el rango total desde el origen hasta la zona de saturación.
2. La aproximación sería una simple función matemática que puede ser
aplicada en un programa de cómputo como una manera de rutina y no
envuelve alguna decisión de parte del operador.
3. Los errores son pequeños, tanto como uno quisiera que lo sean.
4. El tiempo de computación es relativamente corto (segs).
c) Representación de la curva de Magnetización mediante la Ecuación de
Froelich.
La aproximación de la curva de magnetización es de fundamental
importancia, porque las características de funcionamiento de la máquina,
bien sea generador ó motor, dependen casi completamente de ella.
Por ésta razón, la predeterminación de la curva de magnetización
constituye un pase esencial en el proyecto, con objeto de tener la seguridad
de que la máquina satisfará las condiciones especificadas, la evaluación
que representa con mayor sencillez y relativa exactitud la curva de
magnetización es la ecuación de Froelich.
Hb
aHB
Donde a y b son constantes.
Se tienen dos constantes desconocidos por cada ecuación; ellas serán
halladas a partir de los datos experimentales r.m.s.; es decir de dos puntos
seleccionados, uno caería o la zona de remanencia y el oro después del
codo de la zona de saturación.
La ventaja de éste método es que la ecuación utilizada para representar a
la curva experimental de magnetización es muy sencilla.
4.-El núcleo magnético de la figura , se fabrica con laminaciones de acero M-5
de grano orientado. El devanado se excita con un voltaje para producir una
densidad de flujo en el acero de B = 1.5 sen 377tT. El acero ocupa 0.94 veces
el volumen bruto del núcleo. La densidad del acero es 7.65 g/cm3 calcular:a)El voltaje aplicado
b) La corriente máxima
c) El valor rms de la corriente de excitación
d) Las perdidas del núcleo
Ejemplo
a) El voltaje según la ecuación
Solución
Vte )377cos(274
b) La intensidad magnética que corresponde a Bmax =1.5T se obtiene de la curva
de magnetización del acero M-5 y es H= 36 A.vueltas/m.
La corriente máxima es
200
)71.0(36
N
HI c AI 13.0
Volt amperes rms de excitación por kilogramo a 60 hz para acero eléctrico M-5 grano
orientado de 0.012 pulgadas de espesor
c) La corriente promedio rms se obtiene del valor de Pa de la figura para Bmax =1.5T
El volumen y el peso del núcleo
Los volt amperes y corriente rms totales son
d) La densidad de perdidas del núcleo se obtiene en la fig. y Pc =1.2 W/kg. La
pérdida del núcleo es
Fig. perdidas en el
núcleo para el acero
eléctrico M-5