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OPTIMIZACIÓN
María Jesús de la Fuente Aparicio
Alberto Herrreros López
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Optimización• Problemas de optimización:
– Como tomar la mejor opción entre varias posibles– Problemas de naturaleza muy diversa
• Diseño (p.e. dimensionamiento de un equipo con costo mínimo)
• Operación (p.e. punto de operación mas rentable)• Logística (p.e. ruta mas corta de distribución de un producto)
• Planificación (p.e. mejor lugar para construir una planta)• Control (p.e. acción de control que genera menos varianza en la variable controlada)
• Etc.
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Optimización
• Se presentan en campos muy diversos– Procesos– Economía– Biología– Electrónica,….
• Pero todos tienen rasgos comunes:– Un objetivo u criterio a optimizar– Unas variables de decisión– Un conjunto de ligaduras y restricciones sobre las variables de decisión
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Optimización
• ¿Cómo tomar decisiones óptimas?
¿Por experiencia?
¿Experimentando todas las opciones?
Analizando el problema y formulándolo como un problema matemático
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Optimización• Metodología de trabajo.
0)y,x(g0)y,x(h
)y,x(Jminx
≤=
1 Analizar el problema
2 Formularlo en términos matemáticos
3 Resolverlo con los algoritmos y software adecuados
4 Interpretar y aplicar la solución
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Optimización• Análisis / formulación (Modelado)
0)y,x(g0)y,x(h
)y,x(Jminx
≤=
1 Analizar el problema
2 Formularlo en términos matemáticos
1. Conocer el proceso, listar todas las variables de interés
2. Determinar el criterio de optimización y especificar el criterio de optimización en términos de las variables del problema
3. Especificar las relaciones entre las variables impuestas por balances de masa y energía, leyes físicas, etc.
4. Determinar el rango admisible de las variables
5. Identificar los grados de libertad respecto a los cuales optimizar
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Optimización• Resolución y aplicación (Optimización)
0)y,x(g0)y,x(h
)y,x(Jminx
≤=
3 Resolverlo con los algoritmos y software adecuados
4 Interpretar y aplicar la solución
6. Formular el problema en términos de uno de los tipos de optimización conocidos
7. Estudiar la formulación y simplificarla / adecuarla
8. Aplicar un algoritmo adecuado usando un software de optimización
9. Analizar la solución, estudiar la sensibilidad de la solución a cambios en las hipótesis y los parámetros del problema
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EJEMPLOS
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Diseño
1h
Encontrar las dimensiones de un tanque cilíndrico abierto de modo que tenga un volumen de 6 m3 y área mínima
d
h
Variables:
V volumen
d diámetro
h altura
A area
Función a minimizar:
A = πdh+¼πd^2
Relaciones entre variables:
V = ¼ πd^2h = 6
Límites:
d ≥ 0 , h ≥ 0 0h,0dV4hd
:a sujeto
d41dhmin
2
2
h,d
≥≥=π
π+π
Formulación:
Grados de libertad: número de variables – numero de ecuaciones independientes: 2‐1=1
Datos : V
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Ejemplo de Planificación (I)
NORMAL
SUPER
Ventas por contrato
Ventas por contrato
Ventas en el mercado
Ventas en el mercado
Venta directa
Venta directa
Venta directa
Venta directa
Venta directa
1
2
3
4
5
Gasolina intermedia
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Ejemplo de Planificación (II)• Función de coste: beneficio neto en el tiempo planificado.
• Variables independientes:– Para cada gasolina intermedia i:
• xi = cantidad usada para producir fuel normal• yi = cantidad usada para producir fuel super• zi = cantidad usada para vender en el mercado
– Para cada producto j:• uj = cantidad vendida por contrato• vj = cantidad vendida en el mercado
• Modelo: balances de materia para asegurar cantidad y calidad de los productos finales:– Balance de cada gasolina intermedia: xi + yi + zi≤ αi
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Ejemplo de Planificación (III)
– Balance de materia para cada producto
∑ +=i
i vux 11 ∑ +=i
i vuy 22
– Restricciones para la calidad del producto
∑ +≥i
ii vux )( 111γβ ∑ +≥i
ii vuy )( 222γβ
– Restricciones para la cantidad de producto
jju δ≥
Función de coste: beneficio neto .
)()( )()()()()(iiiiiiiiijjjj yxczyxczcvcuc +−++−++ ∑∑∑∑∑ 54321
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Ejemplo de Planificación (IV)Gasolinas Intermedias
Disponiblidadαi
Calidadβi
PrecioCi(3)
CosteCi(4)
MezclaCi(5)
1 2 x 105 70 30 24 1
2 4 x 105 80 35 27 1
3 4 x 105 85 36 28.5 1
4 5 x 105 90 42 34.5 1
5 5 x 105 99 60 40 1.5
Producto Contratoδi
Calidadγi
Precio Contr.Cj(1)
Precio Merc.Cj(2)
1 5 x 105 85 40 46
2 4 x 105 95 55 60
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Ejemplo de Planificación (V)
0,,,,,...,,,...,,,...,10.4
10.5
)(959990858070)(859990858070
10.5
10.5
10.4
10.4
10.2..
)(5.41)(5.35)(5.29)(28)(25205.75.78660465540max
2121515151
52
51
2254321
1154321
2254321
1154321
55515
5444
5333
5222
5111
5544332211
543212121
≥≥
≥
+≥+++++≥++++
+=+++++=++++
≤++
≤++
≤++
≤++
≤++
+−+−+−+−+−++++++++=
vvuuzzyyxxu
u
vuyyyyyvuxxxxx
vuyyyyyvuxxxxx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxas
yxyxyxyxyxzzzzzvvuuf
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CONSIDERACIONESFINALES
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Optimización
• Estructura de un problema de optimización genérico:
( )
( )( )
Nixxx
JjxgKkxh
asxf
Uii
Li
j
k
,,1
,,10,,10
..min
K
K
K
=≤≤
=≥==
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Optimización• Tipos de problemas de optimización:Si K=J=0 Optimización sin restricciones
Si K=J=0; i=1 Optimización escalar
K=J=0; i>1 Optimización vectorial
K≠ 0 y J ≠ 0 Problema de programación no lineal (NLP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y f, g y h son lineales (f (x) =ax+b; g(x)=cx+d; h(x)=ex+f) Problema de programación lineal (LP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y f es cuadrática y g y h son lineales Problema de programación cuadrática (QP)
K≠ 0 y J ≠ 0 y x son enteras y reales Problema de programación mixta‐entera
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Optimización
• Formas de resolver los problemas de optimización:– Métodos de resolución teóricos– Métodos de resolución estocásticos:
• Método de Monte Carlo• Algoritmos genéticos• Tabu Search• Simulated Annealing• Etc.