Marco Teorico
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INTRODUCCIÓN
MARCO TEORICO PROGRAMA DERIVE 5.
El siguiente trabajo es una recopilación de distintas fuentes de información en
las que se incluyen manuales y libros dedicados al estudio de el programa
DERIVE, a continuación presentamos el correspondiente Marco Teórico
dividido en dos apartados:
MARCO REFERENCIAL: En el que describiremos las versiones de este
programa de cálculo y otras cualidades de este.
TEMATICA DE DESARROLLO: En esta estudiamos y ejemplificamos
algunos de los cálculos que se pueden realizar con el programa así
como mostramos la forma en que se debe de ingresar los datos en el
programa a fin de poder demostrar la importancia de este programa
como herramienta en la que se podrán apoyar los estudiantes de
ingeniería.
MARCO REFERENCIAL.
Derive es uno de los llamados "Programas de Cálculo Simbólico", que
podemos definir como programas para ordenadores personales (PC) que
sirven para trabajar con matemáticas usando las notaciones propias
(simbólicas) de esta ciencia. Así, en un programa de cálculo simbólico el
número „pi' se trata como tal, a diferencia de muchas calculadoras que
consideran sólo una aproximación (3'1415...).
Los programas de cálculo simbólico son capaces de hacer derivadas,
integrales, límites, y muchas otras operaciones matemáticas. Suelen tener
capacidades gráficas (representación de curvas y funciones) y, por supuesto,
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capacidades numéricas que suplen sobradamente a la mejor de las
calculadoras.
Naturalmente, los segundos miembros de las igualdades del gráfico anterior,
tomado de una pantalla de Derive, han sido calculados directamente por el
programa y, además, en unas décimas de segundo.
Derive es uno de esos programas de cálculo simbólico, quizá el más difundido
y popular porque en su modalidad más sencilla (Derive para DOS) funcionaba
en cualquier PC, sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba sólo un
diskette. Hoy, Derive sigue siendo un "pequeño" programa, que ocupa poco
más de 3 Mb., y que sigue siendo muy accesible e intuitivo.
Siempre ha sorprendido que siendo tan sencillo tenga una gran potencia y
versatilidad, por lo que es idóneo para iniciarse con este tipo de
programas. Derive es el asistente matemático preferido en el ámbito docente,
en la enseñanza secundaria y en los primeros años de Universidad, porque es
muy fácil de utilizar, de modo que la „informática' se supera muy pronto y, por
tanto, es casi inmediato empezar a trabajar con „matemáticas'.
Capacidades
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¿Qué se puede hacer con Derive?. Aquí sólo señalaremos algunas de esas
posibilidades: Operaciones con vectores, matrices y determinantes. Resolución
de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones.
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Derivadas, integrales (definidas e indefinidas), series, límites, polinomios de
Taylor.
Representación gráfica de funciones en forma explícita, implícita, paramétrica y
en coordenadas polares.
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Representación gráfica de funciones de dos variables.
Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas
Pero, además es posible programar funciones que usen las distintas
capacidades del programa, de modo que aumenta así sensiblemente el
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espectro de sus aplicaciones. Derive se suministra con varios ficheros de
funciones para propósitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales,
trabajar en Álgebra Lineal, etc.
Versiones de Derive
Derive ha tenido varias versiones desde que empezó hasta ahora, como todos
los programas.
Hacia 1990 empezó a distribuirse la versión 1, en inglés, naturalmente. Las
pequeñas mejoras se distinguían por los "decimales" de la versión. Por
ejemplo, la v. 1.61 representaba alguna mejora respecto de la 1.60.
Con manual diferente, siguieron la versión 2., la 2.5x y la versión 3 (a la que
corresponde el último manual publicado de esta modalidad para MS-DOS). A
partir de la versión 3 ya fue posible personalizar el menú de órdenes. Con la
versión 3.14 se distribuyó comercialmente la primera versión en español:
Las versiones 4.xx para MS-DOS fueron coexistentes con las correspondientes
para Windows. El primer Derive para Windows se correspondía con la versión 4
del programa.
Por ejemplo, la versión 4.04 unificó los anteriores Derive "Classic" y DERIVE-
XM. Éste último fue la primera modalidad del programa que era capaz de usar
la memoria extendida del ordenador (más allá de las primeras 640 kb. de
RAM). A partir de esa versión, al ejecutar DERIVE.EXE se examina el tipo de
ordenador y, en función de su capacidad de procesador, ejecuta DERIVE 16-
bits ("Clásica") o DERIVE 32-bits ("XM" o profesional).
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Las últimas versiones de Derive 4 que se distribuyeron fueron las 4.11, tanto
para MS-DOS como para Windows.
Derive 4 para MS-DOS no era más que la anterior versión 3 con algunas
pequeñas mejoras. Conservaba la posibilidad de correr en cualquier ordenador
compatible con no menos de 512 Kb. de RAM y sin necesidad de disponer de
disco duro.
Derive 4 para Windows se tradujo al español de una forma muy completa y
oficial: El "manual", el programa, etc. Era capaz de correr bajo Windows 3.x,
aunque era un programa de 32 bits. Es el precedente inmediato del programa
que investigaremos.
TEMATICA DE DESARROLLO
La versión del programa que estudiaremos ha sido Derive 5.
Este representa la consolidación de la modalidad de Windows. Las ventajas
más sobresalientes respecto de su predecesor Derive para Windows son, en
resumen, las siguientes:
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Hoja de trabajo
Comparado a versiones anteriores a la versión 5 la ventana de Álgebra lleva
incorporado una especie de procesador de texto, de modo que se pueden
insertar "objetos de texto" con el formato que se desee. Además, se pueden
insertar objetos OLE (procedentes de otras aplicaciones de Windows) o,
incluso, gráficas hechas por el propio Derive. En ese caso, quedan como
congeladas de manera que haciendo doble clic se abre la ventana gráfica
correspondiente tal como se generó la gráfica. Para mayor calidad, se
puede pegar la gráfica. Ej:
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Gráficas 3d
Las gráficas 3d han mejorado. Ahora se pueden representar varias
superpuestas; se giran en tiempo real; es posible "trazarlas", es decir, ir
obteniendo puntos; es posible representar puntos y poligonales, además de
que se pueden representar curvas y superficies en forma paramétrica y en
coordenadas polares y en cilíndricas...
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Varios
La mejora en las funciones de programación es tan notable... que sólo aparece
documentada en la ayuda. Se ha añadido la capacidad para sombrear
desigualdades en 2D (por ejemplo, si se representa la expresión x^2+y^2<=4
se obtiene un círculo sombreado). Se ha mejorado la capacidad de resolución
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de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ambos. En particular, Derive. es
capaz de resolver sistemas de ecuaciones polinómicas (no sólo lineales).
Derive 6
Desde Enero de 2004 está disponible la versión en español de Derive 6,
siendo esta de pago (POR LO QUE NO SERÁ NUESTRO OBJETO DE
ESTUDIO) pero que describiremos brevemente para hacer mención de ella
y al mismo tiempo poder compararla con la versión 5 que es nuestro
objeto de estudio.
La versión 6.1 funciona también bajo Windows 98 (pues inicialmente esta
versión sólo corría con Windows XP o Windows 2000). Esta versión tiene
varias novedades notables:
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1. Puede mostrar las simplificaciones paso a paso
2. Puede mostrar las reglas en las que se basan las simplificaciones
Estas dos características tienen muchas implicaciones didácticas, pero aún no
aparecen en todos los puntos del programa. Sin embargo, el compromiso es
que se vayan extendiendo cada vez más. Es curioso ver, por ejemplo, las
"fórmulas" que maneja el programa para realizar determinados cálculos.
Incorpora una nueva fuente UNICODE totalmente escalable en todos los
puntos, también en línea de edición.
Unificación de las posibilidades de la ventana 2D y 3D, es decir, se ha
mejorado notablemente la ventana 3D.
Identificación de las funciones cuyas gráficas se representan
Barras de animación para las gráficas
Menús, órdenes, botones, etc., totalmente personalizables, de modo que
se pueden "ocultar" determinadas órdenes o atajos, etc.
Conectividad total con las calculadoras TI-92+ y Voyager 200
Y más ventajas, el aspecto externo no difiere mucho de su predecesor, de
modo que los usuarios de Derive 5 no tienen ningún problema de adaptación.
DERIVE EN ESPAÑOL
Desde hace tiempo, Derive se distribuye en Español. La traducción del
programa incluye la ayuda, las órdenes y los mensajes, así como el "manual"
(que en realidad es un libro de ejercicios, que va recorriendo las distintas
posibilidades del programa). Algunas cosas son intraducibles, como, por
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ejemplo, los nombres de las funciones (seno sigue siendo SIN) y las "variables
del sistema" (que controlan el funcionamiento del programa).
Diferencias entre versiones
Derive está en constante evolución. Además de los "grandes cambios" que
indicábamos antes, frecuentemente van saliendo pequeñas actualizaciones, de
modo que ahora hablamos de la versión 6.10, a la que precedieron la 6.01,
6.00, 5.06, etc.
La mayoría de las veces, los cambios entre unas y otras son insignificantes. En
todo caso:
Están documentados (en la ayuda del programa).
Es posible "bajarse" por Internet las mejoras (si se es usuario
autorizado.
PLANTEAMIENTO DEL TEMA DE ESTUDIO
• ¿Qué es DERIVE?
DERIVE es un programa de computación matemática, el cual permite el
procesamiento de variables Algebraicas, expresiones, ecuaciones, funciones,
vectores y matrices. DERIVE puede trabajar en forma numérica y en forma
simbólica. Puede realizar factorizaciones, límites, derivadas, sumatorias,
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integrales, etc. DERIVE cuenta con la posibilidad de efectuar infinidad de
gráficos en 2 y 3 dimensiones.
DERIVE es el software asistente de matemáticas en el cual se apoyan
estudiantes, educadores, ingenieros y científicos alrededor del mundo. Los
usuarios y evaluadores lo califican como el sistema simbólico de matemáticas
mas fácil de usar.
¿Existen otros programas como DERIVE?
Sí, es muy común encontrar Software como DERIVE que realice funciones
similares (y hasta más), algunos de estos son:
MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE, SCILAB.
¿Por qué DERIVE en el curso de Matemática I?
En problemas de Ingeniería, de Física, y en muchas otras ramas de la ciencia
surgen gran cantidad de problemas matemáticos muy difíciles, prácticamente
imposibles de realizar sino se cuenta con una herramienta computacional o
tecnológica, como muchos suelen llamarla.
¿Para qué un curso de Matemáticas si tenemos programas como
DERIVE?
Es prácticamente imposible hacer que un computador piense y razone como lo
hace el ser humano, existen muchos errores que cometen los programas que a
simple vista no es posible observar, errores que aparentemente no existen y
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que una persona con escaso conocimiento de las matemáticas no podría
detectar. Son estos casos en los cuales debemos tener más cuidado y
"Siempre desconfiar" de los resultados que arrojan programas como estos.
¿Por qué DERIVE y no uno de los otros programas?
Primordialmente se ha elegido trabajar con DERIVE por la sencillez de este
programa, pues aunque no es el más "Poderoso" de los programas para el
trabajo con matemáticas, es uno de los más "amigables" para estudiantes de
primeros niveles de universidad y para estudiantes de últimos niveles de
bachillerato. También se ha elegido esta versión por ser una versión freeware
(de no pago).
ENTORNO DE TRABAJO DE DERIVE
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Figura 1: Ventana de inicio de Derive 5.
¿Cómo ingresar una expresión en Derive?
Las expresiones se ingresan, haciendo “click” con el mouse en la LÍNEA DE
ENTRADA DE EXPRESIONES y escribiendo allí la expresión deseada. Luego
se puede hacer algunas de las combinaciones siguientes, según lo que desee:
1. ó ENTER: Introduce la expresión escrita.
2. ó Ctrl + ENTER: Introduce y simplifica la expresión escrita.
3. ó Shift + ENTER: Introduce y aproxima la expresión escrita.
Ejercicios:
A continuación les mostraremos algunos ejemlos:
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1. Introduzca 3/7 en la línea de entrada de expresiones, a continuación
utilice las tres combinaciones. Observe la diferencia en los resultados.
Haga lo mismo con las expresiones:
a). Ln(2/3)
b). 2^3
c). sin(1.5)
d). x^2 - 9
¿Cómo seleccionar, editar, eliminar una expresión?
1. Se seleccionar una expresión o parte de ésta haciendo “click” sobre la
expresión.
2. Para editar una expresión, seleccione la expresión a editar y haga “click”
derecho sobre la misma, luego elija la opción editar y cuando termine
presione ENTER. Otra forma de entrar a editar la expresión es haciendo
doble “click” en frente de la expresión.[1]
3. Para eliminar una expresión, selecciónela y luego presiones el botón
de la barra de herramientas o la tecla Delete (o Suprimir) del teclado.
4. Si desea bajar una expresión de la ventana de Álgebra a la línea de
entrada de expresiones, seleccione la expresión deseada y presione F3.
Ejemplos de cómo ingresar algunas expresiones en Derive:
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Expresión a ingresar Forma de ingresarlo a Derive
(x^2+3*y)/5
(10*x*(x-1)^4)/((x-2)^(3*x^2)*(x+1)^2)
sin(x)+cos(x)-tan(x)+3
asin(x)
acos(x)
abs(x+1)+ln(x)+500
( (2/5*x+3)+exp(2*x))/(exp(-2*a+b))
log(x+1,2)+sin(100*pi*x)
((1+x)^(1/7))^(-inf)
¿Qué hacer si se olvida cómo introducir alguna expresión?
En el menú de opciones aparece el botón “Ayuda” o “Help”. Con éste, en
Contenido o en Índice es posible encontrar cómo se escribe la expresión
olvidada. Allí también se encuentran respuestas a las preguntas más
frecuentes
¿Qué diferencia hay entre = y entre := ?
x = k significa : x es una constante de valor k.
Ejemplo:
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#1: x = 36
#2: x+1
#3: x+1
x := k define x como una variable y le asigna el valor k, desde ese momento en
adelante, el computador piensa que x es siempre k
Ejemplo:
#1: x := 36
#2: x+1
F(x, y,...):= u define a F como una función de x, y,... como u(x, y,...). Permite
evaluar la función F para cualquier valor que se les a x, y,...
El estudiante suele dar doble “click” sin darse cuenta, deshabilitando con esto
los botones de la barra de tareas. Lo anterior se soluciona haciendo “click”
sobre la línea de entrada de expresiones y presionando la tecla Esc.
¿Cómo ingresar vectores en Derive?
Un vector es un arreglo de la forma [a1, a2, a3, ..., an].
Ejemplo 1: Ingresar en Derive el vector [1, 5, 25, 12]
Solución: ingresamos [1, 5, 25,12] y presionamos ENTER
Ejemplo 2: Construir la familia de curvas de la forma y = a*x3+1, para los
valores de a: -5, -4, -3,...,100.
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Solución: Dada la magnitud del vector, sería demasiado largo emplear el
método anterior para los diferentes valores de a. Para esto emplearemos el
comando vector.
Ingresamos en la línea de entrada de expresiones: vector(y=a*x3+1,a,-5,100,1)
Luego presionamos Ctrl + ENTER. Con lo cual resulta la familia, que
estábamos buscando, en forma de vector así:
[y = -5*x3+1,y = -4*x3+1,y = -3*x3+1, y=-2*x3+1, y=-x3+1, y=1, y=x3+1, ..., y
=100*x3+1]
Hemos empleado el comando vector en la forma:
Ejemplo 3: Construya la familia de curvas de la forma y = a*x3+1, para los
valores de a: -10, -4, -3, 2, 7, 25,100.
Solución: Observamos que los números no siguen ninguna secuencia. Para
resolver este ejercicio utilizamos una variación del comando vector.
Vector (y =a*x3+1, a, [-10,-4,-3, 2, 7, 25,100])
Tendremos entonces el resultado deseado presionando Ctrl + Enter.
Hemos utilizado la forma:
El comando vector que hemos empleado nos permite, también crear tablas:
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Por ejemplo deseamos tener en una tabla dos columnas: una con los números
4, 6, 8,...,20 y una segunda columna que al frente de cada uno de los números
anteriores se tenga su cuadrado.
En este caso utilizamos la siguiente forma:
De la manera siguiente: vector ([n, n2], n, 4, 20,2)
Ejercicio: Haga una tabla con dos columnas: una con los números -10, -4, -3,
2, 7, 25, 100 y una segunda columna que al frente de cada uno de los números
anteriores se tenga su cuadrado.
Ejercicios: Construya el vector según la función y los valores de la variable y
construya tablas con dos columnas, de tal manera que en la primera columna
aparezcan los distintos valores de la variable y en la segunda columna
aparezcan las distintas funciones evaluadas en los distintos valores de la
variable.
a. f(x) = a*x2-x, a = -1,0,1,…10.
b. f(x) =logc (2+x) c = -7, 15, 51, 52.2, 52. 5, 61
c. (1+1/n)n n =3, 6,9,…100
¿Cómo hacer gráficas de dos dimensiones (2D) utilizando Derive?
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Para esto, utilizamos el botón de la barra de herramientas. Lo que debemos
hacer es ingresar la expresión a graficar, seleccionarla y luego presionar con
lo cual se abre una nueva ventana (ventana para ver las graficas en 2D), para
graficar en definitiva la expresión que queremos graficar presionamos
nuevamente.
Ejemplos:
1. Graficar x2.
Solución:
Ingrese en Derive x2.
Haga “click” sobre .
Nuevamente hacemos “click” sobre .
La gráfica deseada aparecerá.
2. Hacer la grafica de 3x
4
-3x
3
+3x2
-3x+2
Solución:
Haga el procedimiento anterior y obtendrá:
Figura 2: Gráfica de ejemplo 1.
3. Hacer la grafica de la familia de curvas f(x) = a*x2-x, a = -1, 0,1,…10.
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Solución:
Ingrese en Derive: vector(a*x2-x, a,-1, 1,0,1)
Repitiendo el procedimiento del Ejemplo 1 obtendrá:
Figura 3: Gráfica de ejemplo 2.
Si se selecciona una parte de la expresión, solo se graficará la parte
seleccionada.
En esta ocasión este botón se encuentra en esta misma ventana.
¿Para qué sirven cada uno de los botones de la ventana de gráfica 2D?
Figura 4: Botones para graficas en 2D
¿Cómo encontrar gráficamente la solución a f(x)=0 en los reales?
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Para resolver x2 –5 = 0, graficamos primero la curva, como hemos
explicado anteriormente, y usando el botón que sirve para seleccionar el rango,
nos vamos acercando a la parte de la curva que corta el eje x.
1. Se hace click sobre el botón
2. Luego se hace click sostenido en un punto cerca de la región a la que
desea acercarse.
3. Arrastre el “mouse” (con click sostenido) hasta una esquina opuesta alpunto en el numeral anterior y suelte el botón del “mouse”.
4. De OK como respuesta a la ventana que le sale.
5. Repita este procedimiento, tantas veces quiera con el fin de garantizar
precisión en algunas cifras decimales. Esto se obtiene cuando las cifras
decimales son las mismas en los números que aparecen en el eje x antes y
después del punto al cual nos estamos acercando.
Si en algún momento desea regresar a la ventana original (antes de realizar los
ZOOM‟S) debe elegir RESET en lugar de OK.
¿Cómo definir una función por tramos?
Un ejemplo de una función definida por tramos se muestra a
continuación:
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Para ingresar en Derive expresiones de este estilo, podemos hacer uso de los
comandos IF y CHI.
Si usamos el comando IF, la función f(x) se debe ingresar:
f(x):=if(x<=-1,(x2-1),if(x<= 4,(x-3*x2+4),-3x+18))
La expresión IF usa 3 argumentos, en el primer argumento va la condición que
deseamos se evalué (falso o verdadero), en el segundo argumento se coloca la
orden que Derive debe seguir en caso de que la condición resulte verdadera y
el tercer argumento corresponde a la acción que Derive debe realizar cuando la
condición resulte ser falsa.[1]
Si usamos el comando CHI, la función f(x) se debe ingresar:
f(x):=(x2-1)*CHI(-inf,x,-1)+(x-3*x2+4)*CHI(-1,x,4)+(-3x+18)*CHI(4,x,inf)
CHI(a, x, b) es la función característica de un intervalo. Si a < x < b, CHI(a, x,
b) se simplifica a 1. Si x < a ó b < x, CHI(a, x, b) se simplifica a 0.[1]
¿Cómo graficar reflexiones de la gráfica de una función f(x): =...?
Reflexiones con respecto al eje x:
Se ingresa en Derive f(x) multiplicada por –1. Y se grafica esta nueva
función.
Ejemplo: Hacer la gráfica de las funciones
y = 3x+4 y de su reflexión con respecto al eje x . y = -3x-4.
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Reflexiones con respecto al eje y:
Se evalúa f(x) en –x . y se grafica esta nueva función.
Ejemplo: Hacer la gráfica de las funciones
y = 3x+4 y de su reflexión con respecto al eje y, y = -3x+4.
f(x) := x^2+x+3 y de su reflexión con respecto al eje y, f(x) := x^2-x+3
Reflexiones con respecto a la recta x = y.
Se utiliza el botón SUB de la Barra de Herramientas. Y se intercambia “x por y”
e “y por x”. (Esto le permitirá encontrar la gráfica de la inversa de una función
uno a uno.)
Ejemplo: Hacer la gráfica de las funciones
y = 3x+4 y de su reflexión con respecto a la recta y = x, x = 3y+4.
¿Cómo graficar funciones paramétricas?
Para graficar en Derive curvas paramétricas, basta con encerrar entre [ ] y
separadas por una coma, las ecuaciones de x y de y en términos del
parámetro.
Ejemplo:
Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia x2+y2=1 son:
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Ingresamos en Derive [cos(t), sin(t)] y graficamos. Cuando damos la orden de
graficar presionando el botón se despliega un cuadro donde se nos pregunta
el valor mínimo del parámetro y el valor máximo del parámetro, ingresamos
para nuestro ejemplo 0 y (2*pi)
Figura 5. Ventana para ingresar valor del parámetro.
¿Cómo graficar la reflexión de función paramétrica con respecto a la recta y =
x?
Para hacer esta gráfica basta con cambiar la posición dentro de [ , ] de las
coordenadas x(t) y y(t). Así, si consideramos el caso anterior, la gráfica de la
función inversa la podemos obtener fácilmente, ingresando en derive [ sin(t),
cos(t)].
El uso de otros botones:
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En Cálculo hay muchas operaciones que podremos efectuar fácilmente con
Derive, por ejemplo:
Para hallar límites, derivadas, integrales, sumatorias, o productos basta utilizar
los botones apropiados que aparecen en la Barra de Herramientas.
Ejemplo:
Realicemos diferentes cálculos para la función f(x):= x2+1.
Cálculo de límites: Luego de ingresar la expresión, presionamos sobre el botón
y se despliega un cuadro que nos pregunta cual es la variable con
respecto a la cual deseamos calcular el límite, el valor al cual deseamos
acercarnos y la dirección por la cual deseamos hacerlo (Izquierda, Derecha o
ambos lados). Por último presionamos Simplificar.
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Cálculo de derivadas: Luego de ingresar la expresión, presionamos sobre el
botón y se despliega un cuadro que nos pregunta cuál es la variable con
respecto a la cual deseamos calcular la derivada y el orden de la derivada que
deseamos calcular. Por último presionamos Simplificar.
Para encontrar la segunda derivada, seleccionamos de nuevo la expresión f(x)
y en lugar de colocar 1 en el Orden de la derivada colocamos 2, el resultado
es: