Maria Luisa P erez Segu Miguel Raggi [email protected] FCFM...

Árboles y Juegos Combinatorios

Maria Luisa Pérez Segúı[email protected]

FCFM - UMSNH

Miguel [email protected]

ENES - UNAM

18 de marzo de 2020

Malú Árboles y Juegos Combinatorios 18 de marzo de 2020 1 / 27

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Índice:

1 Árboles¿Cómo convertir a un juego combinatorio?Juegos de suma 0

2 Equilibrio perfecto de subjuego


Índice:




Juegos por turnos

Analizaremos ahora juegos por turnos entre dos jugadores: Coĺın yRosa.

Hay algunas ‘posiciones finales’ en donde gana el primer jugador yalgunas en donde gana el segundo.

O más en general, puede haber posiciones finales en donde losjugadores obtienen diferente utilidad.

Quizás hasta puede haber algo de azar.


Representación de un juego

Representamos un juego de este estilo con un árbol (dirigido), endonde:

Los nodos son los ‘posibles estados del juego’. Estos incluyen toda lainformación relevante, (incluyendo a quién le toca y toda la historiadel juego!)

Las aristas son las posibilidades que tiene cada jugador en un turno.

Sólo hay un ‘nodo inicial’, que representa el inicio del juego.

En cada ‘nodo final’ hay dos numeritos: La utilidad de Rosa y la deCoĺın.

Como siempre, en juegos de suma 0 ponemos sólo la utilidad queobtiene Rosa, y la de Coĺın es la negativa.


Ejemplo

Consideremos el siguiente juego simple:

Primero Rosa dice un número del 1 al 4.

Luego Coĺın dice un número del 1 al 4.

Si la suma de los números escogidos es par, entonces Rosa le paga aCoĺın la suma.

Si es impar, entonces Coĺın le paga a Rosa.

¿Cómo debe jugar cada jugador?


Ejemplo

Podemos visualizar el juego aśı:

12 3

4

12 3

4 12 3

4 12 3

4 12 3

4

-2 3 -4 5 3 -4 5 -6 -4 5 -6 7 5 -6 7 -8

Aqúı la respuesta es obvia. Coĺın escogerá el número más grande quehaga la suma par.Sabiendo esto, Rosa deberá escoger el 1, y Coĺın escogerá el 3.En general, si podemos ver el arbolito completo, siempre podemossaber qué conviene hacer trabajando hacia atrás.En este caso, el juego es de información completa, es decir, no hayazar en ninguno de los nodos y en cada nodo el jugador en turnotiene la información completa de lo que ha pasado antes de su turno.


Trabajando hacia atrás

La manera de analizar juegos pequeños con información completa estrabando hacia atrás:

¿Qué hará el último jugador en la última movida en cada posible caso?

Entonces podemos ‘recorrer’ los últimos nodos hacia atrás.

Por inducción/recursión terminamos, encontrando el valor del juego.

El procedimiento seguido se llama poda del árbol.


¿Qué pasa en juegos de información no completa?

Consideremos el siguiente juego sencillo de mini-pókar:

Antes que nada, Rosa y Coĺın ponen $1 cada quien en la mesa.

Se le reparte al azar una carta a Rosa y una a Coĺın, pero las cartassólo pueden ser A o K.

Después Rosa puede decidir apostar (a) o retirarse (r).

Si se retira, Coĺın se lleva los dos pesos.

Si apuesta, pone $2 más en la mesa, y le toca a Coĺın, quien puededecidir pagar los $2 o retirarse.

Si paga, se muestran las dos cartas. Si una es A y la otra K, entoncesse lleva todo el dinero el que tenga A. Si empatan, se lo dividen igual.

Si Coĺın no paga los $2, entonces Rosa se lleva todo el dinero.


Mini-Pókar

0 10 1-3 113 11

AZARAA

AK KA KK

r

0 1

-1

0 1

-1 -1 -1

a a a ar r r

r r r ra a a a

Rosa

Colín


Mini-Pókar

Notamos que no es como en los juegos de información completa enlos que en cada turno el jugador tiene la información de lo que hapasado antes.

Las ĺıneas punteadas representan posiciones indistinguibles para eljugador en cuestión.

0 10 1-3 113 11

AZARAA

AK KA KK

r

0 1

-1

0 1

-1 -1 -1

a a a ar r r

r r r ra a a a

Rosa

Colín


Conjuntos de Información

Entonces los estados del juego están divididos en conjuntos deinformación.

Son las ‘clases de equivalencia’ de la información que se tiene en cadaestado.

‘Con todo lo que ha pasado, no tengo manera de saber en cuál detodos éstos estoy.’

Es decir, dos estados están en el mismo conjunto de información siestando en ellos no puedes distinguir uno del otro.

Obviamente en dos estados en el mismo conjunto de informacióndebo tener las mismas posibilidades.


Análisis intuitivo del juego

¿Qué nos suena que debe hacer cada jugador?

Uno podŕıa pensar lo siguiente: Si tienes A, seguro apuestas. Si tienesK no apuestas.

PERO, hay un detalle: Supón que tú eres Rosa y Coĺın SABE que vasa jugar aśı. Entonces si apuestas seguro tienes A. Pero entonces a él,si tiene K le conviene salirse.

Entonces podŕıas aprovecharte de él aśı! Apuestas cuando tienes K, elpensará que tienes A, y se saldrá, aśı que ganarás!

Entonces también vale la pena apostar a veces que tengas K.


Convertir un juego por turnos en un juego de matrices

Vamos a convertir cualquier juego por turnos en uno de matrices. La ideaque los une es la idea de las estrategias:

Definición

Una estrategia para un jugador es una función que va de la familia de losconjuntos de información de ese jugador a las posibilidades.

En otras palabras, una estrategia te debe decir en cada momento quéhacer.


Convertir un juego por turnos en un juego de matrices

Para convertirlo, simplemente hay que tomar todas las posiblesestrategias de Rosa, todas las de Coĺın, y ver qué pasaŕıa en un juego.

Por ejemplo, para el juego anterior, las estrategias de Rosa son:

Apuesto en ambos casos.Si me toca A, apuesto; si me toca K, no apuesto.Si me toca A no apuesto; si me toca K śı apuesto.No apuesto en ningún caso.

Las de Coĺın son las mismas.

¿Cómo formamos la matriz?


Convertir un juego por turnos en un juego en matriz

Por ejemplo, la esperanza de Rosa si ella sólo apuesta cuando tiene Ay Coĺın lo hace siempre, es

1

4(0 + 3 + (−1) + (−1)) = 1

4.

Si Rosa apuesta sólo con A y Coĺın sólo con K, la ganancia esperadade Rosa es

1

4(1 + 3 + (−1) + (−1)) = 1

2.

Si Rosa apuesta siempre y Coĺın sólo con A, la ganancia esperada deRosa es

1

4(0 + 1 + (−3) + 1) = −1

4.


Matriz

Esta es la matriz. Cada numerito representa la esperanza.

Rosa

Colín

Siempre

Sólo A

Sólo K

Nunca

Siempre Sólo A Sólo K Nunca


Matriz

Entonces tenemos dos puntos silla, ambos con valor de −14 .Rosa debe siempre apostar con A y a veces debe apostar con K.

Coĺın sólo debe apostar con A.

Coĺın gana como $0.25 por juego, de manera que no es un juego justo.


Índice:




Ejemplo

Analicemos el siguiente juego en el que se muestran las utilidades de Rosaal final del árbol.

0 -212-1 -1

Rosa

Colín

Colín


Ejemplo

Primero hagamos poda del árbol.

0 -212-1 -1

Rosa

Colín

Colín

0 -2-1 -1

Rosa

Colín

Colín

0 -1

Rosa

Colín

Colín

-1

Rosa

Colín

Colín

Tenemos entonces que el valor del juego es −1Malú Árboles y Juegos Combinatorios 18 de marzo de 2020 21 / 27

EjemploPara encontrar la matriz, notemos que hay 32 posibilidades.

Por ejemplo, las posibilidades para Rosa son ‘ii’, ‘id’, ‘di’, ‘dd’.

Por ejemplo, ‘ii’ significa que, en caso que Coĺın escogiera ‘i’, ellaescogeŕıa ‘i’, y en caso que Coĺın escogiera ‘d’, ella escogeŕıa ‘i’.

‘di’ significa que, en caso que Coĺın escogiera ‘i’, ella escogeŕıa ‘d’, yen caso que Coĺın escogiera ‘d’, ella escogeŕıa ‘i’.

Coĺın tiene 8 posibilidades: ‘i|ii’, ‘i|id’, ‘i|di’, ‘i|dd’, ‘d|ii’, ‘d|id’, ‘d|di’,‘d|dd’.Por ejemplo ‘i|di’ significa que primero escoge i y que si Rosa escoge‘i’, entonces él escoge ‘d’, pero que si Rosa escoge ‘d’, entonces élescoge ‘i’.

‘d|ii’ significa que primero escoge d y que si Rosa escoge ‘i’, él escoge‘i’, y si Rosa escoge ‘d’, él también escoge ‘i’.

‘d|di’ significa que primero escoge d y que si Rosa escoge ‘i’, él escoge‘d’, pero que si Rosa escoge ‘d’, él escoge ‘i’.


Ejemplo

La matriz completa queda como sigue:

i|ii i|id i|di i|dd d|ii d|id d|di d|ddii −1 −1 2 2 −1 −1 3 3id −1 −1 2 2 4 −2 4 −2di 1 0 1 0 −1 −1 3 3dd 1 0 1 0 4 −2 4 −2

Al eliminar dominaciones sólo nos queda:

i|ii i|id i|di i|dd d|ii d|id d|di d|ddii −1id

di −1dd

En cualquier caso, el valor del juego es −1, que se encuentra cuandoCoĺın juega ‘d’, luego Rosa juega ‘i’ y finalmente Coĺın juega ‘i’.


Ejemplo

Puede haber equilibrios de Nash que NO son la solución del juego:

3,8 8,3 5,5

1,02,10

3,8 3,8

3,8 3,8

8,3 8,3

8,38,3

5,5

5,5 1,0

2,10 2,10

1,0

5,5

5,5


Subgame perfect equilibrium

Hay algo mal con el equilibrio 5,5. ¿Qué?

Pues parece que Rosa está haciendo una amenaza (no créıble) en eljuego!

¿Pero entonces cómo podemos detectar eso?

Tiene que ser un equilibrio perfecto de sub-juego


¿Qué es eso?

Pues básicamente, algo que es equilibrio debe serlo en todo momentodel juego. Es decir: también en caminos no explorados.

Por ejemplo, en el juego anterior, en el penúltimo nodo de la derechaNO es equilibrio jugar aśı.

Entonces pues ya.


El problema

Esto resuelve, en teoŕıa, todos los juegos combinatorios.

El problema es que el número de estrategias puede volverse enorme yno es práctico escribir toda la matriz.

Enorme significa usualmente más estrategias que part́ıculas en eluniverso.

Se puede simplificar bastante: Para dar una estrategia, no necesitasdecir qué harás en todos los casos;

Sólo tienes que decir qué hacer en aquéllos casos a donde puedasllegar siguiendo tu propia estrategia.

La próxima clase comenzamos a analizar juegos combinatorios,estrategias ganadoras, etc y más maneras de simplificar.


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Equilibrio perfecto de subjuego

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