1. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+ /6) . Donde xestá en cm y t en s. En t=0 encuentre

el desplazamiento, su velocidad, su aceleración. Determinar el periodo y la amplitud del movimiento

2. Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:

Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante.

Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.

3. Un cuerpo está unido a un muelle horizontal de constante k=5N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0. Hallar:

la frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación del M.A.S.

¿cuál es la velocidad máxima? ¿Cuál es la aceleración máxima? ¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición de

equilibrio?

4. Un resorte horizontal tienen una constante recuperadora de 48 N/m. En el extremo del resorte se coloca una masa de 0.75 kg y se estira el resorte 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:

El periodo de la oscilación. La ecuación del M.A.S. El (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la posición x=-0.1 m,

después de haber pasado por el origen. Los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total

del móvil en dicho(s) instante(s).

5.

Hallar el periodo de la oscilación de un bloque de masa M=250 g unido a los dos muelles elásticos de la figura. Se supone que no hay rozamiento.

6.Un péndulo está formado por una varilla de 200 gr de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 gr y 5cm de radio y la inferior de 400 gr y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se haya suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.

Hállese el periodo. Si ahora se separa el péndulo 10º de la posición de equilibrio y se suelta,

empezándose en ese momento a contar el tiempo. Escríbase la ecuación del M.A.S.

Datos: Momento de inercia: de una varilla ml2/12, y de una esfera 2mr2/5

7.Tenemos un cuerpo de masa m sujeto a un muelle de constante k, tal como indica la figura. Desplazamos la masa de su posición de equilibrio una distancia A y la soltamos.

(a)   Si NO hay rozamiento,

¿De qué movimiento se trata? Calcula la frecuencia del movimiento y el periodo en función de k y m.

 Escribe la ecuación de x(t).  Escribe la expresión de la energía mecánica del sistema muelle-masa. ¿Es

constante esta energía mecánica? Demuéstralo.  ¿En qué puntos la aceleración del cuerpo será nula y en qué puntos será

máxima?  ¿En qué puntos su velocidad será nula y en qué puntos será máxima?  Dibuja x en función de t.

(b)   Si hay rozamiento,

¿Se conservará la energía mecánica del sistema muelle-masa? ¿Por qué?  Dibuja x en función de t.

Razona las respuestas.

8.Un muelle elástico de constante 0.4 N/m está unido a una masa de 25 g. En el

instante inicial su posición es x = 5 cm y su velocidad v = –  cm/s. Sabiendo que la frecuencia angular viene dada por

 

Calcular

El periodo de la oscilación.  Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.     Representar gráficamente la posición en función del tiempo. Los valores de la energía cinética, potencial y total en la posición x = 0.

El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por la citada posición.

9.Una partícula de 200 g de masa unida a un muelle horizontal, realiza un movimiento armónico simple siendo la frecuencia angular 100 rad/s. Sabemos que en el

instantet=0, la posición inicial  y la velocidad inicial de la partícula es 50 cm/s.

Escribir la ecuación del MAS Deducir la fórmula del periodo de la oscilación de una masa m unida aun muelle de

constante k. Calcular la constante elástica del muelle y la energía total de movimiento. ¿Para qué valores de x y t la energía potencial es máxima? Y mínima? Representar x en función del tiempo.

10.Cómo cambia la amplitud de la oscilación amortiguada con el tiempo?. Dibuja la posición x en función del tiempo t, de una partícula que describe una oscilación amortiguada.

¿Qué fuerza(s) es la responsable de que cambie la amplitud?

En el instante inicial t=0, la amplitud de la oscilación amortiguada es 0.5 m y un periodo P=3 s más tarde es de 0.3 m. Calcular la constante de amortiguamiento γ. Escribe la ecuación de la oscilación sabiendo que la fase inicial es φ=0. Calcula la posición x y la velocidad v de la partícula en el instante t=1.5 s.

11.Una partícula de masa de m=500 g está unida a un muelle de constante k=200 N/m. Se desplaza la masa 2 cm de la posición de equilibrio, y se le proporciona en el instante inicial t=0, una velocidad de 100 cm/s hacia la izquierda tal como se muestra en la figura.

        Calcula el periodo de las oscilaciones        La ecuación del MAS        Calcula la velocidad, energía cinética, potencial y el (los) instante(s) en el

que la partícula pasa por la posición x=-3 cm dirigiéndose hacia la derecha.

12.Un cuerpo de 4 kg. de masa está sujeto aun resorte helicoidal, y oscila verticalmente con movimiento armónico simple. La amplitud es de 0,5 m, y en el punto más alto del movimiento el resorte tiene su longitud natural. Calcúlese la energía potencial elástica del resorte, la energía cinética del cuerpo, su energía gravitacional respecto al punto más bajo del movimiento y la suma de estas tres energías, cuando el cuerpo está:

a) En su punto más bajo.

b) En su posición de equilibrio, y

Cuando está en su punto de equilibrio la energía Ep = 0, porque X = 0.

c) En su punto más alto.

Desarrollo

m = 4 kg

A = 0,5m

k = F/x

k = m.g/x

4.9,8/0,5 = 78,4 N/m

a)

Ep = k.x ²/2

Ec = m.v ²/2 = 0

Ep = 78,4.5 ²/2

9,8 J

Ec = 0 porque su velocidad es cero.

E pg = m.g.h/2 = 0 porque la h (altura es 0).

ET = Ep + Ec + E pg = 9,8N.m

b)

entonces:

Ec = 4.2,21 ²/2

9,76 J

E pg = m.g.h/2 = 4.9,8.0,5/2 = 9,8 J

ET = Ep + Ec + E pg = 19,56 J

c)

Ep = k.x ²/2

Ec = m.v ²/2 = 0

C) Como es en este caso para el punto mas alto se considera la energía como negativa, definida así por su amplitud (-A).

Ep = 78,4.0,5 ²/2 = -9,8 J

E pg = m.g.h/2 = 4.9,8.1/2 = 19,6 J

ET = Ep + Ec + E pg = 9,8 N.m

13.  Una masa de 100 kg. Suspendida de una alambre cuya longitud natural to es de 4m, lo alarga 0,004m. La sección transversal del alambre, que se puede suponer constante, es 0,1 cm ².

a) Si se desplaza la carga hacia abajo una pequeña distancia y se abandona a sí misma, determínese a que frecuencia vibrará.

b) Calcúlense el módulo de Young del alambre.

m = 100 kgl0 = 4 mΔl = 0,004 mA = 0,1 cm ²

a)

k = m.g/l

k = 100 kg.(9,8 m/s ²)/0,004 m

k = 245000 kg.s-2

f = (1/2.π).√k/m

f = (1/2.π).√245000/100

f = 7,87 Hz

b)

Y = F.l0 /A.Δl

F = k.x

F = 245000.0,004

F = 980 kg.m.s-2

Y = 980*4/0,004.10-5

Y = 98.1010

14.  Un bloque pequeño ejecuta un movimiento armónico simple en un plano horizontal con una amplitud de 10 cm. En un punto situado a 6 cm de distancia de la posición de equilibrio, la velocidad es de 24 cm/s.

a) ¿Cuál es el período?.

b) ¿Cuál es el desplazamiento cuando la velocidad es ± 12 cm/s.

c) Si un pequeño cuerpo que oscila sobre el bloque se encuentra justo a punto de deslizar sobre el en el punto final de la trayectoria, ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento?.

A = 10 cm

X = 6 cm

V = 24 cm.s-1

a)

ω = 24/8 = 3/s

T = 2.π / ω

T = 2.π /3

T = 2,094 s

b)

A ² - x ² = (V/ ω) ²

100 - x ² = (12/3) ²

x ² = 100 - 16

x = √100 - 16 = 9,16 cm

c)

a = ω ².x

a = 9.10 = 90 cm/s

u = F/N

N = m.g

u es el coeficiente de rozamiento, N es la normal. De aquí podemos sacar:

u = m.a/m.g

u = 0,9/9,8 = 0,0918

15. Una fuerza de 30N estira 15 cm un resorte vertical.

a) ¿Qué masa ha de suspenderse del resorte para que el sistema oscile con un período de (π /4) s.

b) Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, ¿dónde está el cuerpo y en que dirección se mueve (π /12) s después de haber sobrepasado la posición de equilibrio, dirigiéndose hacia abajo?.

c) ¿Qué fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo cuando está 3 cm por debajo de la posición de equilibrio y moviéndose 

F = 30 N

A = 15 cm = 0,15 m

a)

T = π.s/4

m = ?

F = k.x

k = F/x

k = 30/0,15 = 200 N.m-1

T = 2.π.√m/k

m = k.(T/2.π) ²

m = 200.[(π /4)/(2.π)] ² = 3,12 kg

b)

A = 5 cm = 0,05 m

x = ?

t = π s/12

x = 5.cos.8t

se tiene que:

x = 5.cos (8.π /12) = 4,33 cm

v = -40.sin.8t

v = -20 cm/s; esto nos da a conocer que el cuerpo se está moviendo hacia el centro, desde abajo hacia arriba.

c)

Tenemos que cuando está 3 cm debajo de la posición de equilibrio la fuerza es:

F = -k.x

F = -6N; pero como se necesita la fuerza total que es:

FT = F eq + F; entonces:

FT = m.g + F

FT = 3,125.9,8 + 6

FT = 36,6 N

16. Un cuerpo de 100g de masa cuelga de un largo resorte helicoidal. Cuando se tira de él 10 cm por debajo de su posición de equilibrio y se abandona a sí mismo, oscila con un período de 2 s.

a) ¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio?.

b) ¿Cuál es su aceleración cuando se encuentra 5 cm por encima de la posición de equilibrio?.

c) Si se está moviendo hacia arriba. ¿Cuánto tiempo tarda en desplazarse desde un punto situado 5 cm por debajo de su posición de equilibrio a otro situado 5 cm por encima de ella?.

d) ¿Cuánto se acortará el resorte si se quita el cuerpo?.

Desarrollo

a)

m = 100 g

x = 10 cm

T = 2 s

V máximo = ω .A

ω = 2.π /T

ω = π

V máximo = π.10

V máximo = 31,4 cm/s

b)

a = ω ².x

a = π ².5

a = 49,34 cm/s ²

c)

X = A.cos ω .t

cos ω.t = x/A

ω.t = arc cos (x/A)

t = arc cos (x/A)/ ω

t = arc cos (5/10)/ π

t = 0,333 s

d)

m.g = k.x

x = m.g/k

k = ω ².m

k = π ².100

x = 100.980/(100.π ²)

x = 99,3 cm

Se acortaría los 9,33 cm, que para casos de cálculo se toma como si estuviéramos partiendo desde x = 0 que es la posición de equilibrio.

17.Un cuerpo de 5 kg de masa cuelga de un resorte y oscila con un período de 0,5s. ¿Cuánto se acortará el resorte al quitar el cuerpo?.

Desarrollo

m = 5 kgT = 0,5 sk = ω ².mk = (2.π /T) ².mk = (2.π /0,5) ².5k = 789,56x = m.g/kx = 5.9,8/789,56x = 0,062 m