M.A.S

8.1. Definiciones8.2. Descripción cinemática del M.A.S.8.3. Elongación, velocidad, aceleración, período8.4. Fuerza en el M.A.S.8.5. Energía en el M.A.S.8.6. Aplicaciones

UNIDAD 8MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

miércoles, 12 de abril de 2023Dr. Segundo Morocho C.

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE

Cuando una partícula de masa m oscila a un lado y otro de una posición central de equilibrio.

PE

Sobre la partícula actúa una fuerza elástica: Y almacena energía potencial elástica dada por:

Si no se toma en cuenta el rozamiento el movimiento de esta partícula se llama: M.A.S.


kxF

2

2

1kxEP

-A A

MOVIMIENTO OSCILATORIO (Vibratorio): Es un movimiento periódico hacia un lado y otro de una posición central de equilibrio sin cambiar la trayectoria.

MOVIMIENTO PERIÓDICO: Es cuando se repite a intervalos iguales de tiempo.

PE

POSICION DE EQUILIBRIO (PE): Es la posición central de la trayectoria, donde la fuerza sobre la partícula es nula.

ELONGACION (Posición) (x):Es la distancia lineal o angular medida desde la posición de equilibrio hasta la posición donde se encuentra la partícula.

AMPLITUD (A): Se llama amplitud a la máxima elongación. Es la distancia entre la posición de equilibrio y cualquiera de los extremos de la trayectoria


x-A A

P. Ext. P. Ext.

OSCILACIÓN (CICLO):Es el camino que recorre la partícula hasta que el estado de

movimiento se repite exactamente en desplazamiento, velocidad y aceleración.

Cuando un cuerpo va de una posición a otra y regresa a la posición inicial.

PERIODO (T): Es el tiempo empleado por la partícula para cumplir una

oscilación completa.

FRECUENCIA (f): Es el número de oscilaciones en la unidad de tiempo.


n

tT

2

T

Tf

1

t

nf

EJEMPLODeterminar cuál es la distancia z que se deforma el resorte de

longitud natural Lo y constante de recuperación elástica K hasta llegar a la posición de equilibrio, cuando se ha sujetado un bloque de masa m en su extremo.

Horizontal

Si no hay fuerzas en la dirección horizontal no hay deformación del resorte

Vertical Lo Peqr

z Peqs


RELACION M.C.U. M.A.S.

Se tiene un Movimiento Armónico Simple cuando se proyecta perpendicularmente el movimiento circular uniforme de una partícula, sobre un diámetro cualquiera de su trayectoria

y

φ x

φ se llama fase inicial X0 desviación de la posición de equilibrio

cuando t = 0


A

xsen 0

A

Xo

Asenx 0

POSICIÓN O ELONGACION

y

O x


A

X

ωt+φ

A

xtsen )(

)( tAsenx

Q

P

VELOCIDAD

y

O x


A

Vx

ωt+φ

Q

P Vx

V

v

vt x )cos(

)cos( tvvx

)cos( tAvx

A

QPt )cos(

22 XAvx

22)cos( XAQPtA 22 XAvx

ACELERACION

y

O x

Se usa exclusivamente el signo negativo, porque siempre la aceleración es de sentido opuesto a la posición de la partícula.


A

ax

ωt+φ

ax

a

a

atsen x

)(

)( tasenax)(2 tAsenax

xax2

NOTAS:

PE

a) Se obtiene la posición máxima, cuando la rapidez es cero y la aceleración es máxima

b) Se alcanza la posición de equilibrio cuando la rapidez es máxima y la aceleración es cero

c) La aceleración es siempre proporcional y opuesta a la posiciónd) La posición inicial (x0) y la rapidez inicial (v0) son condiciones

iniciales del movimiento, independientemente de la frecuencia del movimiento


v = 0 v = 0v = máx

a = máx a = máxa = 0

F= 0

PERIODO

Para un mismo sistema se pueden tener movimientos armónicos simples con diferentes amplitudes y diferentes ángulos de fase sin que esto altere el valor del período, de su frecuencia y de su frecuencia angular.


maF

m

kmk 2

mk

T

22

m

kf

21

k

mT 2

xmkx 2

ENERGIA EN EL M.A.S.

Como la fuerza depende de la posición, ésta es conservativa

La energía cinética:

La energía potencial:


cteEpEcEm

2

2

1mvEc

)(cos2

1 22 tAm

kmEc

2

2

1kAEcmáx

2

2

1kxEp

2

2

1kAEpmáx

)(cos2

1 222 tAm

)(cos2

1 22 tkA

)(2

1 22 tsenkA

LA ENERGÍA MECÁNICA:

Em total

A PE A


22

2

1

2

1kxmvEm x

2

2

1máxmv 2

2

1kA

2

2

1kAEm

Ec

Ep

EJERCICIOS

1. La ecuación del M.A.S. de una partícula Q de 20g es Determinar:

a) La amplitud del movimientob) La frecuencia angular de oscilaciónc) La frecuencia de oscilaciónd) La constante de recuperación del movimientoe) La posición de la partícula en t = 2sf) La fuerza recuperadora en t = 2sg) La energía potencial en t = 2sh) La velocidad de la partícula en t = 2si) La energía cinética en t = 2sj) La energía mecánica total en t = 2sk) La energía mecánica total en t = 3s


cmtsenx )3(5

EJERCICIOS

2. Una partícula Q de 20g oscila con M.A.S. Si la ecuación de la posición en función del tiempo es Determinar:

a) La amplitud del movimientob) La frecuencia angular de oscilaciónc) El ángulo de fase iniciald) La posición de la partícula para t = 0s y t = 3se) El período de oscilaciónf) La constante de oscilación de la partículag) La posición de la partícula en t = 2sh) La fuerza recuperadora en t = 2si) La energía potencial en t = 2sj) La velocidad de la partícula en t = 4sk) La energía cinética en t = 4sl) La aceleración de la partícula en t = 2s


cmtsenx )42

3(2

EJERCICIOS

3. Una partícula de 25kg vibra horizontalmente con M.A.S. de acuerdo a las condiciones indicadas en la figura:

OA = OB = 15cmOP = 1/3OAT = 1s

A P O B P es la posición de la partícula en t = 0s, donde empieza a

moverse hacia el punto O, determinar: a) Las ecuaciones del movimiento en función del tiempo tb) Los puntos en los cuales se tiene amáx, Fmáx y vmáx

c) El tiempo mínimo en que se consiguen esos valores máximosd) La energía mecánica total en el punto A y en el punto R

ubicado a ¼ del recorrido OBe) La fuerza recuperadora en P


EJERCICIOS

4. La gráfica de una partícula de 0,8kg que oscila con M.A.S. es: x(cm)

16

1 2 3 4 5 6 7 t(s)

-8 -16

Determinar:a) La amplitud del movimiento, el período, la frecuencia angular de

oscilación, el ángulo de fase inicialb) Las ecuaciones del movimiento en función del tiempoc) Las gráficas v=f(t) y a=f(t)d) El tiempo mínimo para alcanzar la amáx y vmáx

e) La posición de la partícula en t = 3sf) La velocidad de la partícula en t = 4sg) La aceleración de la partícula en t = 6,5s



APLICACIONES DEL MAS

PENDULO SIMPLEEs un sistema mecánico que consta de una masa puntual

suspendida de una cuerda de peso despreciable e inextensibleCuando el sistema se separa de su posición de equilibrio y se

suelta, el péndulo oscila en un plano vertical por la acción de la gravedad

mgs

enθ

mgcosθ

mg

T

θ

θ

La resultante de fuerzas en la dirección central proporciona la aceleración centrípeta

La componente del peso en la dirección tangencial es la fuerza restauradora


Para valores pequeños de θ (en radianes): sen θ = θ

L

xsenmgsenF pero

T

KxFL

xmgF r

comoT

L

xmgKx

Lmgm

K

mT 22

g

LT 2

L

mgK

EJERCICIOS

1. En un péndulo simple, una partícula de masa m esta suspendida de una cuerda de masa despreciable y longitud L. Cuando la partícula se desplaza un ángulo Φ de la vertical, es abandonado a sí mismo. Determinar:

a) El módulo de la velocidad de la partícula cuando la cuerda forma un ángulo θ con la vertical

b) El módulo de la velocidad máximac) La tensión de la cuerda cuando ésta forma un ángulo θ con la

verticald) La tensión mínima de la cuerdae) La tensión máxima de la cuerda



o

C

B

NR A mgsenθ m

gcosθ

mg

T

θ

θL

Φ

hc

hB

EJERCICIOS

2. Una partícula de0,5Kg cuelga de una cuerda de 1m de longitud. Cuando se desplaza 16º de la vertical, es abandonada a sí mismo. Determinar:

a) El período del movimientob) La velocidad de la partícula cuando la cuerda forma un ángulo

de 8º con la verticalc) La velocidad máxima de la partículad) La tensión de la cuerda cuando ésta forma un ángulo de 8º

con la verticale) La tensión mínima de la cuerdaf) La tensión máxima de la cuerdag) La magnitud de la fuerza que tiende a llevarlo a la posición de

equilibrio, cuando el péndulo se desvía 8º de la vertical



o

C

B

NR A mgsenθ m

gcosθ

mg

T

θ

8º1m

16º

hc

hB

EJERCICIOS

3. En el interior de un ascensor se coloca un péndulo simple cuyo período es 3s. Determinar:

a) La longitud de péndulob) La frecuencia del movimiento cuando el ascensor esta en

marcha normalc) La frecuencia del movimiento cuando el ascensor arranca

hacia arriba con una aceleración ded) La frecuencia del movimiento cuando el ascensor arranca

hacia abajo con una aceleración de


26,0 ms

25,0 ms


APLICACIONES DEL MAS

OSCILADOR VERTICALSistema masa resorte vibrando en posición vertical

PE(sist.)

Lo

PE(res.)

z

Pext.(s.)

Pext.(i.)

x

NR

A

A


Como el sistema es conservativo la energía mecánica total es constante

PE(sist.)

z

x

NR

A

EcEpEmtotal

2

2

1KxEmtotal

Azx K

mgz

2)(2

1AzKEmtotal

2

2

1

AK

mgKEmtotal

PE(res.)

EJERCICIOS

1. Se coloca un cuerpo de 10Kg en el extremo de un resorte de 50cm de longitud y constante elástica K=10N/cm. Si a partir de la posición de equilibrio del sistema se estira el resorte 5cm, calcular:

a) La posición de equilibrio del sistemab) La Epg, la Epe, la Ec y la Emt en un punto situado a 3cm sobre

la posición de equilibrio del sistemac) La Epg, la Epe, la Ec y la Emt en un punto situado a 4cm bajo

la posición de equilibrio del sistemad) La energía mecánica total en la posición de equilibrio del

sistema



PE(sist.)

zx

NR

A

PE(res.)

Lo

h

h

x

x

EJERCICIOS

2. Un bloque de 10Kg es colocado en el extremo de dos resortes de constante elástica K1 = 20N/cm y K2 = 3N/cm. Si se estira el bloque 6cm por debajo de la posición de equilibrio del sistema y se suelta. Calcular la constante elástica equivalente, el período de vibración, la velocidad máxima y la aceleración máxima del bloque, cuando los resortes:

a) Están ligados en serieb) Están ligados en paralelo



PE(sist.) NR

A

K1

K2


PE(sist.)

A=6cm

K1 K2

EJERCICIOS

3. En un oscilador vertical, el cuerpo es de 28Kg y la constante elástica del resorte es K = 280N/m. Si el cuerpo se separa 0,3m de la posición de equilibrio y se suelta, calcular:

a) La amplitud, frecuencia angular y frecuencia de oscilaciónb) El período y el ángulo de fase inicialc) La posición, velocidad y aceleración para cualquier tiempo td) La posición, velocidad y aceleración para t =3se) La energía mecánica total en t=3sf) La velocidad y aceleración en términos de la posicióng) La velocidad y aceleración en un punto situado a 5cm sobre la

posición de equilibrio del sistemah) La energía mecánica total en el punto anteriori) La velocidad y aceleración en un punto situado a 20cm por

debajo de la posición de equilibrio del sistemaj) La energía mecánica total en el punto anterior



PE(sist.)

zx

NR

A

PE(res.)

Lo

h h

x

x

h

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