Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Departamento de Matemtica

Mat 024 Matematica IV

Problemas de Sturm-Liouville

Prof. Jaime Figueroa

Problemas de Sturm-Louville.

La resolucin de este tipo de problemas es clave en la apli-

cacin del mtodo de separacin de variables.

En clase se vieron algunos casos. Es importante conocer el

resultado de los siguientes casos y sus justificaciones.

Problema 1.

En la ecuacin para el calor estacionario en un disco de radio

a, el mtodo de separacin de variables condujo al problema:

f ' Hq L = k fHq L ; fH0L = fH2 pL ; k constante.

Los casos k = 0 ; k < 0 dan solucin nula.

El caso k = l 2 > 0 . La ecuacin diferencial tiene como solu-

ciones independientes:

i L fHqL = senHl q L ; iiL fHqL = cosHl q LEn el primer caso, si se aplica la condicin se obtiene:

0 = senH l 2 pL, lo cual se logra con: l 2 p = m p ; m = 0, 1, 2, ..esto es l = m

2. En el caso ii) reemplazando estas dos condiciones se

logra: 1 = cosI m22 pM, esto es : 1 = cosHm p L = H-1Lm, lo cual

implica m par o cero.

Conclusin: existen soluciones no nulas para

ln = n , n = 0, 1, 2 .... y estas son del tipo:

fnHqL = an senH n qL + bn cosH n q L

Problema 2.

En la ecuacin para el calor estacionario en un sector circular

de un disco de radio a, comprendido entre los ngulos

q = 0 ; q = a ; 0 < a < 2 p el mtodo de separacin de variables

conduce al problema:

f ' Hq L = k fHq L ; fH0L = 0; fHaL = 0 ; k constante.

Los casos k = 0 ; k < 0 dan solucin nula.

El caso k = l 2 > 0 . La ecuacin diferencial tiene como solu-

ciones independientes:

i L fHqL = senHl q L ; iiL fHqL = cosHl q LEn el primer caso, si se aplica la condicin se obtiene:

0 = senH l aL, lo cual se logra con: l a = m p ; m = 0, 1, 2 ... estoes l = m p

a. En el caso ii) reemplazando estas dos condiciones se

logra: 0 = cosI m pa

aM, esto es : 0 = cosHm p L = H-1Lm, lo cual no

es posible.

Conclusin: existen soluciones no nulas para

ln =n pa

, n = 0, 1, 2 ... y estas son del tipo:

fnHqL = an senI n pa qM

Ejemplos

1) si a = p3entonces ln = 3 n , n = 0, 1, 2 ... ,

fnHqL = an senH 3 n qL2) si a = p

2entonces ln = 2 n , n = 0, 1, 2 ... ,

fnHqL = an senH 2 n qL

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Problema 3.

En la ecuacin de la vibracin de una viga empotrada en un

extremo y en el otro libre, el mtodo de separacin de variables con-

duce al problema:

X ' Hx L = k X HxL ; X H0L = 0; X ' HLL = 0 ; k constante.

Los casos k = 0 ; k < 0 dan solucin nula.

El caso k = l 2 > 0 . La ecuacin diferencial tiene como solu-

ciones independientes:

i L X HxL = senHl x L ; iiL X HxL = cosHl xLEn el primer caso, si se aplica la condicin se obtiene:

0 = l cosH l LL, lo cual se logra con: l L = H2m- 1L p2; m e esto

es l = H2m-1L p2 L

. En el caso ii) no se satisface la primera condicin.

Conclusin: existen soluciones no nulas para

ln =H2 n-1L p

2 L, n e y estas son del tipo:

XnHqL = an senIH2 n-1L p

2 LxM

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