Mat Face Fada_u4

Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales

1

Introducción

La forma que tenemos de enunciar que dos cantidades o expresiones son iguales es mediante una ecuación (o igualdad).

2x - 3 = x + 5 que se denomina ecuación en x

Observamos que este enunciado tiene dos partes o expresiones separadas por el signo “=”.

Es una expresión de igualdad con una variable ( x ). Una solución o raíz de la ecuación es un número a que produce una igualdad verdadera

al sustituirlo por x, es decir a satisface la ecuación. Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuación. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Si todo número real es una solución, la ecuación se denomina identidad, por ejemplo:

x2+2x+1 = (x+1)2. La ecuación más básica es la ecuación lineal, 00 aconbxa (llamada así

pues el grado de la incógnita es uno).

Errores comunes

Los principales errores que se suelen cometer pueden ser debidos a diversas causas:

a. Simbolización y traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico: hay tendencia a escribir los símbolos de la expresión algebraica en el mismo orden en el que aparecen en el lenguaje natural.

Cada 2 baldosas Blancas hay 1 Roja.

Hay el doble de Blancas que de Rojas

1R = 2 B

La forma correcta de expresarlo es: 2 R = B (siendo R cantidad de Rojas y B cantidad de Blancas)

UNIDAD 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales


2

b. Uso inapropiado de fórmulas o reglas de procedimientos:

Mal uso de la propiedad distributiva:

(Ver propiedades correctas en unidad 1)

Errores de cancelación:

(Lo correcto es )

222......)(. babababacabacbacbacba

43

4341

23

669

xxxx

¡Todas estas igualdades son

incorrectas!

34

3496

69

xxxx


3

Cada Ecuación Lineal tiene elementos que le son propios:

Una a más variables que se abrevian mediante letras, y que representan cantidades desconocidas.

Todas las variables están elevadas a la primera potencia, y sin multiplicarse entre sí. Se establece una igualdad. Es decir, se trata de una proposición que indica que una

cantidad es igual a otra.

x + 3 = 5

x + y = 2

x2 + y = 3

x + y + z = 0,5

x + z2 – xz = 9

A continuación se presentan las propiedades que utilizamos para resolver una ecuación.(En éstas, A; B y c representan cualquier expresión algebraica, y el símbolo “es equivalente a”).

Propiedad Descripción

A = B A + c = B + c

Al sumar la misma expresión en ambos miembros de la igualdad,

se obtiene una ecuación equivalente.

A = B c . A = c . B (c 0)

Al multiplicar por la misma expresión no nula en ambos miembros

de una igualdad, se obtiene una ecuación equivalente.

Se utilizan las propiedades anteriores al resolver el siguiente ejemplo.

Ejemplos de ecuaciones que son:

lineales

no lineales

Para resolver una ecuación se intenta determinar una que sea más simple y equivalente, es decir que tenga el mismo conjunto solución.

Propiedades básicas de las ecuaciones


4

Ejemplo

La solución x = 1 es conveniente verificarla. Para eso se sustituye en la ecuación y comprobamos que el valor cumple la igualdad.

1

3.313.

31

33

)2(5)2(23

523

x

x

x

x

x

Sumar (-2) a cada miembro de la igualdad.

Cancelar

Multiplicar por 31

en cada

miembro de la igualdad. Simplificar.

55

52)1(.3?

La solución obtenida verifica la ecuación. Esto quiere decir que x = 1 es solución de la ecuación.


5

a) Ecuaciones lineales Estas ecuaciones tienen la forma a x + b = 0; donde a y b representan números reales con a 0. (Esta es la forma general suponiendo que llamamos x a la incógnita, pero la ecuación puede tener como incógnita cualquier otra expresión literal que se indique).

Ejemplo Solución:

La solución x = - 3 es conveniente verificarla. Para eso se sustituye en la ecuación y comprobamos que el valor cumple la igualdad.

2745 xx

3

6.21)2(.

21

62

67775

675

427445

2745

x

x

x

xxxx

xx

xx

xx

Sumar 4 a cada miembro de la igualdad.

Cancelar. Restar 7 x a cada

miembro de la igualdad. Multiplicar por el

inverso multiplicativo de

(-2), es decir:

21

Simplificar.

19192)3(.74)3(.5

?

El valor para x verifica

la ecuación, por lo tanto x = -3 es la solución de la ecuación.

Tema 2: Ecuaciones lineales, cuadráticas y reducibles a ellas


6

b) Ecuaciones cuadráticas Estas ecuaciones tienen la forma 02 cxbxa ; donde a, b y c representan números reales

con a 0. Esta forma de ecuación se conoce como forma polinómica, general o canónica (según bibliografía). (Ésta es la forma general, suponiendo que llamamos x a la incógnita, pero la ecuación puede tener como incógnita cualquier otra expresión literal que se indique, tal como fue comentado anteriormente).

Ejemplos : Si la ecuación cuadrática es simple y consta de un único término no nulo, es decir el cuadrático, entonces se resuelve como en el ejemplo que sigue: En general:

Las raíces de una ecuación cuadrática de incógnita x son los valores de dicha incógnita que satisfacen la ecuación. Existen varios métodos para encontrarlas, el más utilizado para resolver una ecuación completa es la aplicación de la fórmula:

Una ecuación cuadrática de incógnita x se resuelve determinando sus raíces.

1532

4213

0154

2

2

2

xx

xx

xxSi bien son ecuaciones que no están en forma canónica, pueden transformarse a la forma general mediante los pasos vistos en el ítem anterior.

005 2 xsoluciónúnicax

)0(

002

a

xxa


7

La utilización de la fórmula se explica en los siguientes ejemplos.

Ejemplo:

xxxxxx 725)32510)2023)1 222

Solución:

1) La ecuación está dada en forma canónica, con a =1, b = -3 y c =2. Al utilizar la fórmula se tiene,

Observación: como en esta fórmula hay una raíz cuadrada, si el radicando es negativo diremos que la ecuación que intentamos resolver no tiene solución en el conjunto de números reales. Si la ecuación es cuadrática, pero no tiene la forma

02 cxbxa , resolvemos todas las operaciones indicadas

para reducirla a esa forma (se aclarará más adelante).

Las soluciones de

02 cxbxa ,con a 0,

están dadas por: acabb

x.2

..42

2,1

12

1322

132

132

132

893

1.22.1.4)3()3(

.2..4

21

2,1

2,1

2,1

22

2,1

xyx

x

x

x

acabbx


8

Lo que se concluye del ejemplo es que la ecuación tiene raíces reales distintas (x 1 x 2 ).

2) La ecuación no está dada en forma canónica, pero la expresión equivalente de la misma en

dicha forma es 025102 xx con a =1, b = 10 y c =25. Al utilizar la fórmula se tiene, Lo que se concluye del ejemplo es que la ecuación tiene raíces reales coincidentes (x 1 = x 2 ).

3) La ecuación, como en el ejemplo anterior, no está dada en forma canónica, pero la expresión

equivalente de la misma en dicha forma es 0275 2 xx con a = 5, b = -7 y c = -2. Al utilizar la fórmula se tiene,

Lo que se concluye del ejemplo es que la ecuación tiene raíces reales distintas (x 1 x 2 ) y sus expresiones exactas contienen radicales.

52

01052

0102

0102

0102

10010010

1.225.1.4)10()10(

.2..4

21

2,1

2,1

2,1

22

2,1

xyx

x

x

x

acabbx

10897

1089710

89710

40497

5.2)2(.5.4)7()7(

.2..4

21

2,1

2,1

22

2,1

xyx

x

x

acabbx


9

Otro método para resolver ecuaciones cuadráticas consiste en la factorización de la misma basándose en la propiedad del producto de números reales, que se recuerda a continuación:

Ejemplo

462)334)2023)1 222 xxxxxx

Solución:

1) La ecuación está dada en forma canónica, con a =1, b = -3 y c =2. Al factorizar la ecuación se tiene Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 2 o bien x = 1.

2) La ecuación se escribe en forma canónica 034 2 xx

Al factorizar la ecuación se tiene: Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 0 o bien x = 3/4.

3) La ecuación se escribe en forma canónica 0462 2 xx

Al extraer factor común se tiene:

Si a y b son números reales y a . b = 0 entonces a = 0, b = 0 o ambos son nulos.

0)1().2(232 xxxx

0)1(0)2( xóx

0)34(.34 2 xxxx

0340 xóx

0)23(.2462 22 xxxx


10

Luego se factoriza: Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 2 o bien x = 1.

Si la ecuación es incompleta (es decir alguno de los valores de b o c son nulos) será conveniente utilizar la factorización.

Ejemplo

025)203)1 22 xxx

Solución:

1) La ecuación está dada en forma canónica y es incompleta puesto que c = 0. Al factorizar la ecuación se tiene: Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 0 o bien x = 1/3.

2) La ecuación está dada en forma canónica y es incompleta puesto que b = 0. Al factorizar la ecuación se tiene: Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 5 o bien x = - 5.

0102 xóx

0)1().2(.2 xx

0)13(.3 2 xxxx

0)13(0 xóx

0)5().5(252 xxx

0)5(0)5( xóx


11

c) Ecuaciones reducibles a lineales o cuadráticas En los siguientes ejemplos se muestran algunas ecuaciones que, en “apariencia”, no responden a ninguna de las formas vistas anteriormente, pero luego de trabajarlas algebraicamente resultan ser del tipo lineales o cuadráticas.

Ejemplo 1 Solución: Si x -1 y x 3/2 , los denominadores de las fracciones de la ecuación son no nulos (o distintos de cero) y se puede multiplicar cada miembro de la igualdad por (x+1). (2x-3) y se resuelve como sigue,

Recordar verificar la respuesta en la expresión original de la ecuación.

3212

1

x

xx

x

61

16

133

13232

12.1.32

3212.32.1

132.1

22

x

x

xx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Simplificar Aplicar propiedad

distributiva. Cancelar 2x2. Sumar los términos con

incógnitas del mismo lado de la igualdad.

Dividir por (-6) ambos miembros y encontrar el valor de x.


12

Otra forma de resolver el ejercicio anterior consiste en trabajar con la suma de expresiones algebraicas fraccionarias (vista en unidad 3) como se muestra a continuación.

Ejemplo 2 Solución: Hacer una sustitución de variable reemplazando t = x2 para obtener una ecuación cuadrática.

61

16

016

032.1

16

032.1

13232

032.1

12232

032.1

12.132.

03212

1

3212

1

22

22

x

x

x

xxx

xxxxxx

xxxxxxx

xxxxxx

xx

xx

xx

xx

Pasaje de términos. Suma de fracciones de distinto

denominador, se busca denominador común.

Propiedad distributiva en el numerador con cada producto indicado.

Cancelar los términos del numerador de distinto signo y sumar los términos semejantes.

Por propiedad de números reales si

0ba

siendo b 0 entonces a =0. Por

lo tanto el numerador debe ser igual a cero.

Se resuelve la ecuación. Recordar verificar el resultado como se indicó al comienzo del tema.

023 24 xx

0232 tt


13

Al aplicar la fórmula cuadrática resolvente se obtiene: Dado que los valores obtenidos corresponden a t y lo que se plantea en la ecuación es encontrar el valor de la incógnita x, las posibles soluciones para la misma se obtendrán como sigue:

12

1322

132

132

132

893

1.22.1.4)3()3(

.2..4

21

2,1

2,1

2,1

22

2,1

tyt

t

t

t

acabbt

22

02.2

02

22

2

2

xóx

xx

x

xtSi

11

01.1

01

11

2

2

xóx

xx

x

xtSi


14

Ejercicio 1: Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)

376

432

xx

26

23

2

xxx

2153

1498

372

xxx

)34(.2)34.(23

xxx

0254 2 x

)5.(2)5( 2 xxx

)5).(1.()1.(2 xxxxx

)2.(5)3( 2 xx

0)2).(3( 2 xxx

0)82).(5.(3 2 xxx

0122 xx

065 24 xx

0103 24 xx

0132 xx


15

o) p) q)

02322

xx

0)5(8)5( 2 xx

0352

12)2(

12

xx

a) x = -37/18 b) x = 14/3 c) x = 5/2 d) x = 7/8

e) 2

53x2

53x

f) 25x

g) 5x

h) 75x0x

i) 2

5511x2

5511x

j) x = -3 , x = 2 , x = -1 k) x = 5 , x = 2 , x = -4 l) x = -4 , x = 3 m) 2x3x n) 5x o) x = -1/2 , x = 2 p) x = -5 , x = 3 q) x = 11/5 , x = 15/7


16

Ejercicio 2: Hallar el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones:

a) b) c)

Ejercicio 3: Dada la ecuación x2 + b x + c = 0, determinar los valores de b y c sabiendo que x1 = 0 y x2 = 2 son sus soluciones.

Ejercicio 4: Hallar a de modo tal que ax2 + 3x = 2 tenga a x = 1 como solución. ¿Tiene la ecuación alguna otra solución?

070)6.(17)6( 222 xx03620 24 xx

034

7)4(

22

xx

2) Hallar el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 034x

7)4x(

22

0)4x(

)16x8x(328x72

0)4x(

)4x(3)4x(72

2

2

2

2

como x ≠ -4, 30 + 7x + 3x2 + 28x + 48 =0 3x2 + 31x + 78 =0 , aplicando la fórmula: x = -13/3 , x = -6 b) x4 – 20x2 + 36 = 0 t = x2 entonces t2 – 20t +36 = 0 , aplicando la fórmula : t = 18 , t = 2

t =18 x2 =18 x2 –18 = 0 023x23x

23xo23x

t = 2 x2 = 2 x2 –2 = 0 02x2x

2xo2x


17

Aclaración : 232.92.918

c) 070)6x(17)6x( 222

t = x2 + 6 entonces t2 – 17t + 70 = 0 , aplicando la fórmula : t = 10 , t = 7 t = 10 x2 + 6 =10 x2 - 4 = 0 (x – 2) (x + 2) = 0 x = 2, x = -2 t = 7 x2 + 6 = 7 x2 – 1 = 0 (x – 1) (x -1) =0 x = 1, x = -1 3) Dada la ecuación x2 + bx + c = 0, determinar los valores de b y c sabiendo que x1 = 0 y x2 = 2 son sus soluciones: como x=0 y x=2 son soluciones de la ecuación, entonces satisfacen la misma, es decir, 02 + b.0 + c =0 (1) y 22 + b.2 + c =0 (2) de (1): c= 0 de (2): 4 + 2b =0, entonces b = -2 4) Hallar Ra de modo tal que ax2 + 3x = 2 tenga a x =1 como solución. ¿Tiene la ecuación alguna otra solución? Como x =1 es solución de la ecuación a.12 + 3.1 = 2 a + 3 = 2 a = -1 Por lo tanto, -x2 + 3x – 2 = 0, resolviendo la ecuación, la otra solución es x = 2


18

Dados dos polinomios P(x) y Q(x) tales que Q(x) no sea nulo, se denomina ecuación

fraccionaria a toda expresión del tipo 0)()(

xQxP

.

Ejemplo 1

Solución: Si x -1 y x 1 , los denominadores de las fracciones de la ecuación son no nulos (o distintos de cero) y es una condición fundamental para tener en cuenta al considerar las posibles soluciones de la ecuación. Para resolver la ecuación fraccionaria propuesta se debe tener en cuenta la suma de expresiones algebraicas fraccionarias vista en unidad 3 y operar como sigue:

Resolver una ecuación fraccionaria es encontrar las raíces del numerador P(x) que no anulen simultáneamente al denominador, ya que si esto sucede, éstas no deben ser consideradas como soluciones. Luego se debe verificar en la ecuación inicial los valores de x hallados, como se hizo en los ejemplos de los temas anteriores.

1;101

11

32

xxxx

34

43

043

01.1

43

01.1

133

01.11)1(3

01

11

32

x

x

x

xxx

xxx

xxx

xx Suma de fracciones de distinto denominador, se busca denominador común.

Propiedad distributiva en el numerador con el producto indicado.

Sumar los términos semejantes.

Por propiedad de números

reales si 0ba

siendo b 0

entonces a =0. Por lo tanto, la expresión algebraica del numerador debe ser igual a cero.

Se resuelve la ecuación. Recordar verificar el resultado como se indicó al comienzo del tema.

Tema 3: Ecuaciones fraccionarias


19

Ejemplo 2 Solución:

3;2311

22

xxxx

x

31

026

03.2

26

03.2

233

03.2

2262362

03.2

2.13.232

0311

22

311

22

22

22

x

x

xxx

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxx

xx

x

xx

x

Suma de fracciones de distinto denominador, se busca denominador común.

Propiedad distributiva en el numerador con los productos indicados.

Cancelar términos de signo opuesto en el numerador y suprimir paréntesis teniendo en cuenta el signo negativo que lo precede.

Por propiedad de números

reales si 0ba

siendo b 0

entonces a =0. Por lo tanto la expresión algebraica del numerador debe ser igual a cero.

Se resuelve la ecuación y se expresa la solución con una fracción simplificada o irreducible. Recordar verificar el resultado como se indicó al comienzo del tema.


20

Ejercicio 1: Indicar el valor de x que verifique cada una de las siguientes ecuaciones fraccionarias:

251012

51

251)

1684

43)

943

33)

13

27

14)

02

112)

8212

453

243)

22

2

2

2

xxx

xxxf

xxx

xxe

xx

xx

xxd

xxxc

xx

xxb

xxxx

xxa

a) No tiene solución b) No tiene solución c) x = 5/13 d) x =4/9 e) x = -4 f) x =-7/8


21

Las ecuaciones resultan de mucha utilidad al intentar resolver problemas de aplicación a la economía, las ciencias sociales, la medicina, la física y otros campos. Indicaremos algunos principios de resolución de problemas que serán útiles para los problemas de aplicación.

Ejemplo 1 Solución: En este tipo de problemas que está relacionado con la geometría, es importante dibujar un diagrama que aclare los datos mencionados y ayude en el planteo.

x = ancho de la banda A partir de la figura se observa que el cartel tiene (100 + 2 x) cm por (140 +2 x) cm, por lo que su perímetro es:

Un cartel tiene impresa un área rectangular de 100 por 140 centímetros, enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1,5 veces el del área impresa. ¿cuál es el ancho de la banda y cuáles son las dimensiones del cartel?

x

x

140 cm.

100 cm.

Tema 4: Resolución de problemas con ecuaciones


22

Y el del área impresa es 2. (100 cm) + 2. (140 cm) = 480 cm Planteando la relación entra el perímetro del cartel y el del área impresa que enuncia el problema, se puede establecer que:

(Perímetro del cartel) = 3/2 . (Perímetro del área impresa) Por lo que: La banda tiene 30 cm de ancho, por lo que las dimensiones del cartel son:

100 cm + 30 cm + 30 cm = 160 cm 140 cm + 30 cm + 30 cm = 200 cm

Es conveniente tener en cuenta algunos pasos a seguir en la resolución de problemas:

1) Identificar la variable y asignarle una denominación “x” o cualquier otra letra (que representará la incógnita).

2) Expresar todas las incógnitas utilizando la

variable elegida. 3) Relacionar mediante una ecuación las

condiciones enunciadas en el problema. 4) Resolver la ecuación y verificarla. Expresar la

respuesta en términos del enunciado original.

)2140(.2)2100(.2 xxP

30

2408

7208480

480.23)2140(.2)2100(.2

x

x

x

xx


23

Ejemplo 2 Solución: Según los pasos anteriores, primero identificaremos la variable:

v = velocidad de Nueva York a Los Ángeles y

v + 100 = velocidad de Los Ángeles a Nueva York

En este ejemplo será útil recordar que velocidaddistanciatiempo

En el paso siguiente se expresan todas las incógnitas utilizando la variable elegida.

Tiempo (en horas) de Nueva York a Los Ángeles v

4200

Tiempo (en horas) de Los Ángeles a Nueva York 100

4200v

Ahora se relacionan mediante una ecuación las condiciones enunciadas en el problema.

Luego, resolver la ecuación según explicaciones del tema 3 de esta unidad y verificarla

Un avión voló de Nueva York a Los Ángeles una distancia de 4.200 kilómetros. La velocidad del viaje de regreso fue de 100 kilómetros por hora mayor que la ida. Si el total del viaje tomó 13 horas, ¿cuál fue la velocidad de Nueva York a Los Ángeles?

13100

42004200

vv


24

Como v representa la velocidad, no consideramos como solución la respuesta negativa y se concluye que la velocidad del avión de Nueva York a Los Ángeles fue de 600 kilómetros/ hora.

8,53600

2685007100

)13(.2420000).13(.4)7100(7100

0420000710013

0100.

420000710013

0100.

100..13420000.8400

013100.

.4200420000.4200

13)100.(

.4200100.4200

13100

42004200

2,1

2

2,1

2

2

vóv

v

v

vv

vvvv

vvvvv

vvvv

vvvv

vv


25

Ejercicio 1: Resolver los siguientes problemas

a) Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura (en metros) después de t segundos es:

Determinar el instante en el que llega a una altura de 196 metros.

b) Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su altura es 3 cm mayor que su base y que su superficie es de 70 cm2. c) Se debe construir una fábrica en un lote que mide 180 por 240 metros. Un código de

construcción local especifica que la fábrica debe estar rodeada por un césped de ancho constante

e igual en área a la de la fábrica. ¿Cuál debe ser el ancho de este césped y cuáles son las

dimensiones de la fábrica?

4.16.128 2 tt

a) Alcanza una altura de 196 metros a los 2 y a los 6 segundos. b) Las dimensiones son 7cm y 10cm. c) Dimensiones de la fábrica: 180m x 120m ancho del césped: 30m.


26

Las inecuaciones son desigualdades que contienen variables. Las que se trabajan en esta sección son inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y la solución es un intervalo real o el conjunto vacío. Estas tienen las siguientes formas generales: (a 0) Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso que se divida o multiplique a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 1

32;:

32

)3(:2)3(:3

23

Sol

x

x

x

Tema 5: Propiedades básicas de las inecuaciones lineales; problemas de aplicación

0

0

0

0

bxa

bxa

bxa

bxa

Recordar unidad 1, intervalos con números

reales.


27

Ejemplo 2

;20:

20

)5.(4)5.(51

451

Sol

x

x

x

Ejemplo 3

4;:

4

)4.(1)4.(41

141

Sol

x

x

x

Ejemplo 4

35;:

35

4:3

20

3204

3843

4383

Sol

x

x

x

xx

xx

Es importante observar el signo del número por el cual se

multiplica o divide, dado que si es positivo no invierte el sentido de

la desigualdad.


28

Ejemplo 5

5;:

5

5

3256

5236

5,0:251510.

53

Sol

x

x

xx

xx

xx

Ejemplo 6

:

20

255

525

5,0:2515

Sol

xx

xx

xx

Recordar que esta notación significa conjunto vacío.

También se puede denotar este

conjunto con el símbolo .


29

Ejemplo 7 Estas inecuaciones pueden aplicarse para la resolución de problemas. Ejemplificamos como sigue.

:2

312

132

03102

:2

2;31:1

312

132

03102:1

031

2

Solución

xyx

xx

xyx

Solución

Solución

xyx

xx

xyxSolución

xx

Solución 1: Por regla de los

signos si 0ba

entonces

numerador y denominador deben ser simultáneamente positivos (además, el numerador puede ser nulo para que se cumpla la

igualdad 0ba

).

O bien... Solución 2: Por regla de los

signos si 0ba

entonces

numerador y denominador deben ser simultáneamente negativos (además, el numerador puede ser nulo para que se cumpla la

igualdad 0ba

).

La solución resultante del enunciado es la que resulta de Solución 1 Solución 2.

En este caso el intervalo solución es:

2;

31


30

Ejemplo Solución: Según los pasos anteriores (vistos en tema 4 de esta unidad), primero identificaremos la variable:

x = peso de cada cajón En el paso siguiente se relacionan las condiciones enunciadas en el problema mediante una ecuación que involucre la variable.

Luego se resuelve la inecuación planteada:

Una camioneta pesa 900 Kg. La diferencia de peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 450 Kg. Si se deben cargar tres cajones iguales, ¿cuánto puede pesar cada uno de ellos para poder llevarlos en esa camioneta?

Peso de la camioneta – peso de 3 cajones no es menor a 450 Kg.

4503900 x


31

150

)450(.31)3(.

31

4503

9004509003900

4503900

x

x

x

x

x

La solución gráfica en la recta real es:

Esto significa que el peso de cada cajón no debe superar los 150 Kg. Además, por tratarse de una variable que se refiere al peso, debe cumplirse que x > 0. La solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo: 150;0

Restar 900 a ambos miembros de la

desigualdad.

Multiplicar ambos miembros por 31

cambiando el sentido de la desigualdad por tratarse de un número negativo.

0 150


32

Ejercicio 1: Indicar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: Ejercicio 2: Determinar los siguientes conjuntos, expresarlos utilizando la notación de intervalos y representarlos sobre la recta real. a) b) c) d) e) Ejercicio 3: Las instrucciones en una caja de película indican que ésta debe almacenarse a una temperatura entre 5º C y 30º C. ¿Entre qué valores debería darse la misma indicación en dicha caja si se utilizara la escala Fahrenheit? (recordar que la relación entre grados Celsius y grados Fahrenheit está dada por: C = 5/9 (F – 32) ) Ejercicio 4: Al elevarse el aire seco se expande y al hacerlo se enfría a una tasa de 1º C por cada 100 metros de altura, hasta aproximadamente 12 km.

a) Si la temperatura a nivel del suelo es de 20º C, escribir la fórmula para la misma a una altitud h.

033)

133)

312)

0262)

3512)

232

4)

013)

xxg

xxf

xxe

xxd

xxc

xxb

xxa

}74/{ xx

}4240/{ xx

}332/{ xxx

}9530/{ xx

}13

25

12/{

xxx


33

b) ¿Qué intervalo de temperatura puede esperarse si un aeroplano despega y alcanza una altura máxima de 5 km?

Ejercicio 5: Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura (en metros) después de t segundos es:

Determinar el instante en el que llega a una altura de 196 metros.

Ejercicio 6: Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su altura es 3 cm mayor que su base y que su superficie es de 70 cm2.

4.16.128 2 tt

1) a) ;31; b)

23;

c) ;165; d) (-3; 2)

e) );3(35;

f) 3;0

g) ;33;

2) a)

;

47

b)

21;

21

c) 6; d)

314;

35

3) Entre 41 y 86 grados Fahrenheit

4) a) t(h) = 20 - 100

h si )m(000.12h0

b) 20;30t

5) Alcanza una altura de 196 metros a los 2 y a los 6 segundos 6) Las dimensiones son 7cm y 10cm

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