NOMBRE:

tema 1

Matematica III 1/12/04Segundo parcial

1. Calcular la circulacion del campo F (x, y, z) = (3z + x cos(x), ey2

zy, 2x2 + z ln(z)) a lo largo de la

curva frontera determinada por x + y + z = 4 con z 2 en el primer octante (o sea x 0, y 0,

z 0) orientada en el sentido de recorrido (0, 2, 2), (2, 0, 2) y (0, 0, 4).

2. Calcular el flujo entrante del campo F (x, y, z) = (ln(y3) + 2x, 14y2 z4 sen(x), 2z) a traves de la

superficie S determinada por z2 = 4x2 + 4y2 con 0 z 4.

3. Sea F : R2 R2 el campo F (x, y) = (5y, 5x + 2).

a) Probar que es conservativo.

b) Encontrar la linea de campo que pasa por el punto (x, y) = (2, 2).

4. Hallar la solucion general de la ecuacion

y(x) 6y(x) + 9y(x) = 25 ex sen(x).

NOMBRE:

tema 2

Matematica III 3/12/03 Recuperatorio del Segundo parcial

1. Sea S la superficie de R3 definida por x = y2, 0 z 5, 1 y 9.

a) Calcular el plano tangente a S en el punto P = (2, 4, 3).

b) Calcular el vector normal a S en el punto P = (2, 4, 3).

c) Hacer un gafico aproximado de S, del plano tangente calculado en a) y del vector normal

calculado en b).

d) Calcular el area de S.

2. Verificar que se cumple el teorema de Stokes para el campo F (x, y, z) = (2y,z, 3) y la superficie S

que es la parte del paraboloide z = 4 x2 y2 dentro del cilindro x2 + y2 = 1.

3. Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (x,(2x+y), z) a traves del hemisferio x2 +y2 +z2 = 1, z 0,

considerando en esa superficie la orientacion hacia el exterior de la esfera.

4. Dada la ecuacion diferencial (y + xy2)dx xdy = 0

a) Hallar la solucion general de la ecuacion.

b) Existe alguna solucion y tal que y(0) 6= 0? Como se explica esto?

NOMBRE:

tema 2

Matematica III 10/12/03 Recuperatorio del Segundo parcial

1. a) Graficar aproximadamente el solido definido por x2 + y2 1, 0 z x2 + y2.

b) Calcular el area de la superficie frontera del solido del tem anterior.

2. Calcular

C

y dx + z dy + x dz donde C es la curva interseccion entre la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el

plano x + y + z = 0

3. Calcular el flujo de F (x, y, z) = (ey2

ez2

, yz, xy2z) en la superficie limitada por el hemisferio inferior de

la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el cono z 1

x2 + y2.

4. Dada la ecuacion diferencial y 4y + 13y = 0,

a) Hallar la solucion general de la ecuacion.

b) Existe alguna solucion no constante que tenga un punto de inflexion en x = 0 y que alli valga

2?

NOMBRE:

tema 1

Matematica III 9/12/04Recuperatorio del Segundo parcial

1. Calcular el flujo saliente del campo F (x, y, z) = (xz + ey3

, y + cos2(z), 0) a traves de la superficie

determinada por z = 1 x2 y2 (con z 0).

2. Calcular la circulacion del campo

F (x, y, z) = (f(x) + 2yz , g(y) + xz , h(z) + xy)

(para f , g y h funciones C1) a lo largo de la curva formada por la

interseccion de x2 + y2 = 1 con z = 1 (para y 0) y la curva formada

por los segmentos que unen los puntos (1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 0) y

(1, 0, 1). La orientacion es la dada por el dibujo.

3. Hallar la curva del plano que es ortogonal a la familia de curvas x2 + 13y3 + y = C que ademas pasa

por el punto (1, 0).

4. Hallar la solucion de la ecuacion x 6x + 9x = te3t que cumple que x(0) = 1 y x(0) = 2.

NOMBRE:

tema 1

Matematica III 8/7/04Recuperatorio segundo parcial

1. Dada la superficie S determinada por z = x2 + y2 con z 5.

a) Dar una parametrizacion de S orientada hacia arriba.

b) Encontrar el vector normal unitario a S en el punto (1, 1, 2).

c) Encontrar el plano tangente a S en el punto (1, 1, 2).

d) Calcular el area de la superficie S.

2. Sea F : R3 R3. Si se sabe que div(F ) = 1 (en todo punto) y F (0, y, z) = (0, 0,1) (esto ultimo

solo para x = 0) Cual es el flujo de F a traves de la superficie determinada por x2 + y2 + z2 = 1 con

z 0 orientada de manera tal que la tercera coordenada del vector normal es positiva?

3. Sea c : [0, 2pi] R3 tal que c(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), 1) y el campo F (x, y, z) = (ecos(x)+y+1, sen(y7)

1, ez2

+ x). Calcular la circulacion del campo F a lo largo de c.

4. F (x, y) = (y, x) es conservativo? Si asi lo fuera determinar las lneas equipotenciales y de campo de

F .

NOMBRE:

tema 1

Matematica III 12/7/04Recuperatorio segundo parcial

1. Sea F (x, y, z) = (z sen x, cos y, y + sen z). Calcular

Fds donde es la curva que se obtiene al

intersecar x2 + y2 = 1 con el plano x + z = 1 orientada en contra de las agujas del reloj si se la mira

desde arriba.

2. Sea F : R3 R3, F (x, y, z) = (2zy2, x2z, 2z + xy). Cual es el flujo de F a traves de la superficie

determinada por z = 1

x2 + y2 con z 0 (sin tapa inferior) orientada de manera tal que la tercera

coordenada del vector normal es negativa?

3. Sea F (x, y) = (2xy2, 2x2y).

a) Verificar que F es conservativo en R2.

b) Determinar las lineas equipotenciales y de campo de F .

4. a) Hallar la solucion general de la siguiente ecuacion diferencial: y 2y + 2y = sen(2x)

b) Hallar la solucion particular que cumple y(0) = y(0) = 0.