MATE 3031

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 13

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Razones de cambio: aplicaciones

Recuerde que si y = f (x) , entonces la derivadadydx

se puede interpretar

como la razón de cambio de y con respecto a x . En esta sección sepresentarán ejemplos de aplicaciones a la física, química, biología,economía, entre otros.Recuerde, en la sección 2.7 se estudió razón de cambio:

Cambio en x : Dx = x2 − x1Cambio en y : Dy = f (x2)− f (x1)

Cociente de diferencias:DyDx

=f (x2)− f (x1)

x2 − x1La razón de cambio promediode y con respecto a x enel intervalo [x1, x2]

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El límite de la razón de cambio cuando Dx ! 0 es la derivada f 0 (x) , querepresenta la razón de cambio instantánea de y con respecto a x y por lanotación de Leibnitz, se tiene:

dydx= lim

Dx!0

DyDx

Aplicaciones:FísicaSi s = f (t) es la función de posición de una partícula que se mueve en

línea recta, entoncesDsDt

representa la velocidad promedio sobre el

intervalo de tiempo Dt y v =dsdtrepresenta la velocidad instantánea.

La razón de cambio instantánea de la velocidad con respecto del tiempo

es la aceleración, a (t) , es decir: a (t) =dvdt=d2sdt2

.

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Ejemplo1. Una partícula se mueve de acuerdo a s (t) = 0.01t4 − 0.03t3, s en piesy t en segundos:a. Halle la velocidad v (t)

b. Halle la velocidad después de 3 segundos

c. ¿Cuándo la partícula está en su posición de descanso?

d. ¿Cuándo la partícula se mueve en su dirección positiva?

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e. Halle la distancia total recorrida en los primeros 8 segundos.

f. Trace un diagrama del movimiento de la partícula

g. Halle la aceleración después de 3 segundos

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2.Se muestran las gráficas de la función posición de dos partículas, dondet es dado en segundos. Determine cuando las partículas estan acelerandoy desacelerando

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3. Si una bola se lanza hacia arriba con un velocidad inicial de 80pies/seg, entonces su altura después de t segundos es s = 80t − 16t2.a. Determine el tiempo que la bola alcanza su altura máxima

b. Determine la velocidad cuando la bola está a una altura de 96 pies,subiendo y bajando

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BiologíaSea n = f (t) el número de individuos en una población animal o deplantas en el tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre lostiempos t = t1 y t = t2 es Dn = f (t2)− f (t1) y la razón de cambiopromedio en el intervalo de tiempo [t1, t2] es:

DnDt

=f (t2)− f (t1)

t2 − t1La razón de cambio instantánea de crecimiento es dada por:

limDt!0

DnDt

=dndt

4. Suponga que una población de bacterias se cuadriplica cada hora yempieza con 500 bacterias. Encuentre una expresión para el número debacterias n después de t horas y usela para estimar la razón de cambiopromedio de la población después de 2.5 horas.

.

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EconomíaSuponga que C (x) es el costo total de una compañía que incurre alproducir x unidades de un cierto producto. La función C es llamada lafunción de costo. S el número de unidades del producto aumenta de x1a x2, entonces el costo adicional es: DC = C (x2)− C (x1) y la razón decambio promedio es:

DCDx

=C (x2)− C (x1)

x2 − x1=C (x1 + Dx)− C (x1)

Dx

La razón de cambio instantánea del cambio del costo es llamado el costomarginal por los economistas, y es dado por:

Costo marginal = limDx!0

DCDx

=dCdx

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5 La función de costo para producir un determinado producto es

C (x) = 339+ 5x − 0.09x2 + 0.0004x3

a. Halle e interprete C 0 (100)

b. Compare C 0 (100) con el costo de producir la unidad 101.

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6 Una piedra se lanza a un lago, creando ondas circulares que se seexpanden a una velocidad de 60 cm/sg. Halle la razón a la cual el áreadentro del círculo está aumentando, después de:a. 1 seg.

b. 3 seg

c. ¿Qué puede concluir?

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