LIBRO PARA EL MAESTRO

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SEGUNDO GRADO

MATEMÁTICAS

LIBRO PARA EL MAESTRO

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El Libro para el maestro. Matemáticas. Segundo grado fue elaborado en la Dirección General de Materiales y MétodosEducativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública

Supervisión técnica y pedagógicaDirección General de Materiales y Métodos Educativosde la Subsecretaría de Educación Básica y Normal

Coordinación generalElisa Bonilla RiusAlba Martínez OlivéRodolfo Ramírez Raymundo

RedacciónMartha Dávila Vega

AsesoríaDavid Francisco Block SevillaIrma Rosa Fuenlabrada VelázquezRenato Rosas Rodríguez

ColaboradoresMaría de los Ángeles Olivera BustamanteIrma Griselda Pasos Orellana

Coordinación editorialElena Ortiz Hernán Pupareli

DiseñoMauro Calanchina Poncini

Cuidado de la ediciónJosé Agustín Escamilla ViverosLourdes Escobedo Muñoz

Supervisión técnicaAlejandro Portilla de Buen

FormaciónMartín Aguilar Gallegos

PortadaDiseño: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,con la colaboración de Luis AlmeidaIlustración: Matemáticas. Segundo grado, México, SEP, 1994.Marcador maya del juego de pelota, 55 cm de diámetro, 591 d.C.Cultura maya, periodo clásico, Chinkultic, Chiapas.Museo Nacional de Antropología, México, D.F.Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Antropología e Historiay el Consejo Nacional para la Cultura y las Artes

Primera edición, 1994Segunda edición, 2001Tercera edición, 2002Segunda reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005)

D.R. © Ilustración de portadaD.R. © Secretaría de Educación Pública, 1994

Argentina 28, Centro,06020, México, D.F.

ISBN 970-18-7717-9

Impreso en MéxicoDISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

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Índice

7 Presentación

9 Introducción

15 Recomendaciones didácticas generales

29 Recomendaciones didácticas por eje

59 Recomendaciones de evaluación

61 Sugerencias bibliográficas para el maestro

63 Bibliografía consultada

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Presentación

En el año escolar 1993-1994 se aplicóla primera etapa de la reforma de losplanes y programas de estudio de laeducación primaria. En esa etapa elnuevo currículo entró en vigor en losgrados primero, tercero y quinto, y apartir del año escolar 1994-1995 seaplica también en los grados segundo,cuarto y sexto.

Al mismo tiempo que se reforma-ron los planes y programas de estudiose inició la renovación de los libros detexto gratuitos que el gobierno de laRepública entrega a todos los alum-nos de las escuelas primarias del país.

Con objeto de asegurar el conoci-miento preciso del nuevo currículo seha enviado a todos los maestros ydirectivos escolares un ejemplar dellibro Plan y programas de estudio. Edu-cación básica. Primaria. En este docu-mento se describen los propósitos ycontenidos de la enseñanza de cadaasignatura y grado, y del ciclo en suconjunto.

La reforma del currículo y losnuevos libros de texto tiene como pro-pósito que los niños mexicanos ad-quieran una formación cultural mássólida y desarrollen su capacidad paraaprender permanentemente y conindependencia. Para que esta finali-dad se cumpla, es indispensable que

cada maestro lleve a la práctica lasorientaciones del plan y los progra-mas y utilice los nuevos materialeseducativos en forma sistemática,creativa y flexible.

Tradicionalmente la Secretaría deEducación Pública distribuye los li-bros para el maestro como un apoyoal trabajo profesional que se realizaen nuestras escuelas primarias. Laforma de organización y presenta-ción de estos libros ha sido modifica-da. En el pasado se integraban en unsolo volumen las recomendacionesdidácticas correspondientes a todaslas áreas o asignaturas de un grado. Apartir de esta etapa hay libros de menorvolumen para cada asignatura de ungrado o, excepcionalmente, para unapareja de asignaturas interrelaciona-das estrechamente.

Esta nueva organización del Libropara el maestro tiene como propósitofacilitar su manejo, actualización ymejoramiento, así como proporcionarel material de estudio adecuado paralos maestros que deseen profundizaren la enseñanza de una asignatura, a lolargo de todo el ciclo de la educaciónprimaria.

La nueva presentación integra abun-dantes propuestas para la enseñanzade los contenidos y la utilización del

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Secretaría de Educación Pública

libro de texto, así como de otros mate-riales educativos de cada asignatura ygrado escolar. Adicionalmente, losmaestros recibirán el Fichero. Activida-des didácticas. Matemáticas. Segundo gra-do y el Avance programático. Segundogrado. Educación básica. Primaria, comoun recurso auxiliar para planear y or-ganizar la secuencia, dosificación yarticulación de los contenidos y lasactividades de enseñanza.

Este Libro para el maestro. Matemáti-cas. Segundo grado no tiene una finalidaddirectiva ni es su pretensión indicar alos profesores, de manera rígida e in-flexible, lo que tienen que hacer en cadaclase o en el desarrollo de cada tema. Elcontenido de este libro y su presenta-ción parten de reconocer la creatividaddel maestro y la existencia de múltiplesmétodos y estilos de trabajo docente.Por esta razón, las propuestas didác-ticas son abiertas y ofrecen amplias po-sibilidades de adaptación a las formasde trabajo del maestro, a las condicionesespecíficas en las que realiza su labor ya los intereses, necesidades y dificulta-des de aprendizaje de los niños.

El Libro para el maestro, además deser un recurso práctico para apoyarel trabajo en el aula, se ha concebidocomo un medio para estimular yorientar el análisis colectivo de losmaestros sobre su materia de traba-jo, ya sea que se realice de manerainformal o como actividad del Con-sejo Técnico. Igualmente, el libro serámaterial básico de actividades y cur-sos de actualización profesional.

Los planes y programas de estudio,los libros de texto gratuitos, los fiche-ros de actividades didácticas y loslibros para el maestro son instrumen-tos educativos que deben ser corregi-dos y mejorados con frecuencia ysistemáticamente, a la luz de los re-sultados que se obtienen al utilizarlosen la práctica. Es por ello que la Secre-taría de Educación Pública reitera laatenta invitación hecha a los profeso-res de educación primaria para queenvíen a esta dependencia sus opi-niones y recomendaciones relativasal mejoramiento de los instrumentoseducativos mencionados y en parti-cular del presente libro.

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Introducción

En la vida cotidiana los niños seenfrentan a diversas situaciones enlas que las matemáticas están presen-tes: en el mercado ven y usan núme-ros y términos matemáticos ($ 3, kg,$ 4, 100 g), observan cómo pesan ycómo miden diversas magnitudes; enla calle, en los medios de transporte,en los diferentes medios de comunica-ción ven números que tienen dife-rentes significados (números de lascasas, números telefónicos, númerosde las placas de los carros, cantidadesque aparecen en la publicidad comer-cial, en los billetes de lotería, etcétera),y en las conversaciones de los adul-tos y en sus juegos, continuamente seplantean diversos problemas que ha-cen necesario el uso de operaciones.Asimismo, en todos estos contextoslos niños observan y manipulan di-versas formas geométricas.

A través de estas experiencias y delos conocimientos adquiridos en elprimer grado de la escuela primaria,los niños avanzan en la construcciónde sus conocimientos y de sus ideassobre algunos aspectos de las mate-máticas, que constituyen la base sobrela que desarrollarán conocimientosmás formales en la materia.

Se busca, a través de las actividadesque se propongan en la escuela, quelos conocimientos matemáticos sean

una herramienta flexible y adaptablepara enfrentar situaciones problemá-ticas. Al principio los niños resolverándichas situaciones con procedimien-tos desarrollados a partir de los cono-cimientos que poseen, apoyándose enla percepción visual, en la manipula-ción de objetos, en la observación delas formas de su entorno, etcétera. Es-tos procedimientos iniciales son losque darán significado a los conoci-mientos más formales que la escuelaproporciona.

Para que los alumnos manejen ycomprendan los conocimientos es-colares es necesario relacionar los pro-cedimientos desarrollados por losalumnos con los procedimientos queusualmente se enseñan en la escuela,por ejemplo, el algoritmo convencio-nal de la multiplicación. De esta mane-ra los alumnos comprenderán que losalgoritmos convencionales son herra-mientas que les permiten resolver deuna forma más económica, es decir,con más facilidad y rapidez, los mis-mos problemas que resolvían con es-trategias largas y muchas veces máscomplicadas.

Uno de los aspectos fundamentalesque favorece la adquisición de los co-nocimientos es el desarrollo de laexpresión oral. Se pretende que losalumnos desarrollen la habilidad para

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MATEMÁTICAS

La escuela primaria está concebidaen tres ciclos. Cada ciclo contemplados grados. Por esta razón en el se-gundo grado, si bien se trabajan losmismos contenidos que se proponenen primero, a excepción de la multipli-cación de dígitos, éstos se amplían yprofundizan a través del planteamien-to de situaciones problemáticas máscomplejas.

Propósitos generalesdel grado

De acuerdo con el enfoque planteadose espera que los alumnos:

• Utilicen y comprendan el significa-do de los números naturales, hastade tres cifras, en diversos contextos.

• Resuelvan problemas de suma y deresta con números naturales hastade tres cifras, utilizando el procedi-miento convencional.

• Resuelvan problemas de multipli-cación, problemas de reparto de co-lecciones y problemas en los que hayque averiguar cuántas veces cabeuna cantidad en otra (tasativos),mediante procedimientos no con-vencionales y utilizando cantidadesmenores que 100.

• Expresen las relaciones multipli-cativas de los dígitos con la repre-sentación convencional (2 × 4 = 8).

• Desarrollen la habilidad para reali-zar estimaciones y cálculos mentalesde sumas y restas, con números has-ta de dos cifras.

expresar sus ideas, explicar a sus com-pañeros cómo logran resolver las si-tuaciones problemáticas y, asimismo,que aprendan a defender sus formasde solución y a reconocer sus errores.

El hecho de que los alumnos expre-sen sus ideas permite al maestro en-tender el razonamiento que los niñossiguen en la resolución de un proble-ma y así poder determinar las activi-dades que refuercen algún contenidoo proponer situaciones que favorez-can la adquisición de conocimientos.Por ello, es fundamental que el desa-rrollo de la expresión oral se trabaje demanera sistemática a lo largo de la es-cuela primaria.

Si bien antes de terminar la primarialos alumnos conocerán los procedi-mientos convencionales para resolverlas operaciones, las fórmulas y defini-ciones propias de las matemáticas, laforma que se propone para llegar aellos toma en cuenta el desarrollo inte-lectual de los alumnos, los procesosque siguen y las dificultades que en-frentan para adquirirlos.

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• Desarrollen la habilidad para buscar,analizar y seleccionar informacióncontenida en su libro u otras fuentes,en ilustraciones, tablas y gráficas debarra sencillas para resolver e inven-tar problemas.

Organizaciónde los contenidos

Con el propósito de adecuar al procesode aprendizaje de los alumnos los conte-nidos matemáticos que se estudian en laeducación primaria, éstos se han organi-zado de tal forma que se introducen en elmomento en que los alumnos tienen lasposibilidades para abordarlos.

Por lo anterior, los contenidos mate-máticos propuestos en el Plan y progra-mas de estudio 1993. Educación básica.Primaria, para el segundo grado estánorganizados en cuatro ejes temáticos:

• Los números, sus relaciones y susoperaciones

• Medición

• Geometría

• Tratamiento de la información

Los ejes “La predicción y el azar” y“Procesos de cambio” no se trabajan eneste grado.

Los números, sus relacionesy sus operaciones

A través de las actividades con las quese desarrollan los contenidos de este

• Desarrollen la habilidad para esti-mar, medir, comparar y ordenar, lon-gitudes, superficies, la capacidad derecipientes y el peso de objetos me-diante la utilización de unidades ar-bitrarias de medida.

• Reconozcan algunas propiedadesgeométricas que hacen que los trián-gulos, cuadriláteros y polígonos separezcan o diferencien entre sí.

• Identifiquen, por su forma y nom-bre, figuras como cuadrados, rectán-gulos, triángulos, círculos, trapecios,rombos, romboides, pentágonos yhexágonos.

• Desarrollen la habilidad para ubi-carse en el plano al recorrer trayec-tos, representarlos gráficamente einterpretarlos.

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eje, los alumnos aprenderán a usar losnúmeros hasta de tres cifras, en formaoral y escrita, para comparar y cuanti-ficar colecciones y para ordenar loselementos de una colección e identifi-car objetos.

Agruparán colecciones en decenasy centenas, y representarán gráfi-camente los resultados obtenidos,primero de manera no convencional ydespués con los símbolos numéricosconvencionales. Comprenderán quepara escribir cualquier número, en par-ticular los de tres cifras, se necesitanúnicamente diez símbolos (del 0 al 9)y, en consecuencia, estarán en posibi-lidad de comprender que éstos ad-quieren valores diferentes según ellugar que ocupan en un número.

Asimismo, desarrollarán la habili-dad para estimar y calcular mental-mente el resultado de problemas desuma y de resta mediante diversos pro-cedimientos (redondeo, descomposi-

ción de números en centenas, decenasy unidades, etcétera).

También seguirán resolviendo pro-blemas que implican sumar o restarcon distintos significados (agregar,unir, igualar, quitar, buscar un faltan-te), utilizando primero procedimien-tos no convencionales (uso de materialconcreto, dibujos, conteo por agrupa-mientos) y después utilizando el algo-ritmo convencional de la suma y de laresta.

En cuanto a los problemas multi-plicativos, éstos se han venido tra-bajando desde primer grado. En se-gundo se realiza un trabajo más sis-temático hasta llegar al empleo de larepresentación convencional de lamultiplicación de dígitos. Respectode los problemas multiplicativosrelacionados con la división se conti-núa trabajando con los de reparto y seincorporan problemas más comple-jos que incluyen algunos problemas

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tasativos, es decir, problemas en losque se tiene que averiguar cuántasveces cabe una cantidad en otra, porejemplo: tengo 38 naranjas y quierohacer montones de 6 naranjas cadauno. ¿Cuántos montones puedo for-mar? Los alumnos resolverán estosproblemas con procedimientos noconvencionales (uso de material con-creto para hacer agrupamientos, di-bujos, conteo, suma iterada, etcétera).

Medición

A lo largo del año, los alumnos conti-nuarán desarrollando las nociones delongitud, superficie, capacidad, pesoy tiempo.

Tradicionalmente, el estudio de es-tas nociones ha estado relacionado,casi de manera exclusiva, con el uso dealgunos instrumentos de medición ycon el aprendizaje de los sistemas con-vencionales de medida, poniendo én-

fasis en la solución de problemas quesólo implican el cálculo numérico. Porestas razones, en los programas ante-riores de la escuela primaria, los con-tenidos vinculados con estos temasestaban incluidos en grados posterio-res, pues se esperaba que los alumnosdesarrollaran las habilidades numéri-cas y de lectoescritura necesarias paratrabajar dichos temas cuantitativa-mente.

Sin embargo, se ha comprobado lafactibilidad de iniciar desde los pri-meros grados el desarrollo conceptualde estas nociones, primero haciendocomparaciones de longitudes, super-ficies, capacidades y pesos, de maneradirecta o utilizando un objeto comointermediario.

En segundo grado pueden seguirhaciendo comparaciones utilizandounidades arbitrarias de medida. Deesta manera se desarrolla el conceptode medición y consecuentemente el de

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Geometría

Los alumnos realizarán diversas acti-vidades con cuerpos geométricos queles permitirán identificar las partes quelos constituyen, distinguiendo sus for-mas, su extensión, la unión de cadauna de las formas (aristas), así comosus vértices (puntas o esquinas).

En cuanto a las figuras, podrán re-conocerlas por su nombre y clasificar-las tomando en cuenta algunas de suspropiedades geométricas. Asimismo,realizarán actividades que permitiránla construcción y transformación defiguras para favorecer, de otra mane-ra, su reconocimiento y el de algunasde sus propiedades geométricas.

Los alumnos desarrollarán tambiénla habilidad para ubicarse en el plano,al recorrer trayectos y al representar-los e interpretarlos gráficamente. Almismo tiempo aprenderán a expresaradecuadamente su propia ubicaciónen relación con su entorno, la de seresu objetos en relación con ellos y la delos objetos entre sí.

Tratamientode la información

Por medio de las actividades que seproponen, los alumnos continúan de-sarrollando la habilidad para analizarla información contenida en textos,tablas y gráficas de barras sencillas, asícomo en ilustraciones de su libro detexto u otras fuentes. Además apren-derán a seleccionar la informaciónnecesaria que les permita inventar yresolver problemas.

unidad de medida. A través de estasactividades los alumnos comprende-rán que para realizar comparaciones omediciones en cada una de estas mag-nitudes necesitan utilizar “unidades”con características determinadas. Porejemplo, se darán cuenta de que paracomparar o medir superficies no po-drán usar una vara, sino una superfi-cie y, en todo caso, podrán utilizar lavara para medir longitudes.

Estas actividades favorecen que losalumnos comprendan que medir sig-nifica tomar una unidad y ver cuántasveces cabe en la magnitud que se quie-re medir sin llegar a utilizar los siste-mas convencionales de medida.

Saber cuáles son las característicasde los objetos que sirven para medirlas diferentes magnitudes y utilizarlosfacilitará a los alumnos, en grados pos-teriores, la adecuada comprensión dediferentes sistemas de medición y eluso de las unidades de medida con-vencionales.

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El papel del maestro en laenseñanza de las matemáticas

La actividad central del maestro en laenseñanza de las matemáticas va mu-cho más allá de la transmisión deconocimientos, definiciones y algo-ritmos matemáticos:

• Busca o diseña situaciones proble-máticas para propiciar el aprendi-zaje de los distintos contenidos.

• Elige actividades y las gradúa deacuerdo con el nivel del grupo, pro-piciando que los alumnos ponganen juego los conocimientos matemá-ticos que poseen.

• Propone situaciones que contradi-gan las ideas “erróneas” de los alum-nos, favoreciendo la reflexión y labúsqueda de nuevas explicaciones.

• Favorece la evolución de los proce-dimientos utilizados inicialmentepor los alumnos para aproximarloshacia los procedimientos convencio-nales de las matemáticas.

• Promueve el diálogo y la interacciónde los alumnos y coordina la discu-sión sobre las ideas que tienen acer-ca de las situaciones planteadas,mediante preguntas que les permi-tan conocer el porqué de sus res-puestas.

El maestro debe tomar en cuentaque su papel no se limita a ser unfacilitador de la actividad. Si bien deberespetar la actividad y creatividad delos alumnos, también debe intervenircon sus orientaciones, explicaciones yejemplos ilustrativos cuando así se re-quiera. Éste es uno de los momentosmás difíciles de su quehacer profesio-nal, ya que, con base en su experiencia,debe seleccionar el momento oportu-no de su intervención, de tal maneraque ésta no sustituya el trabajo de losalumnos ni obstaculice su proceso deaprendizaje.

La enseñanzay el aprendizaje

de las matemáticas

Tradicionalmente, los problemas sehan utilizado en la escuela para quelos alumnos apliquen los conocimien-tos que les han enseñado previamen-te, sin embargo, la experiencia hamostrado que a pesar de que se dedi-can muchas horas de trabajo con estepropósito, la mayoría de los alumnospresenta serias dificultades para apli-car dichos conocimientos en la resolu-ción de problemas.

Una de las principales causas deestas dificultades reside en que loscontenidos se han trabajado de mane-

Recomendaciones didácticas generales

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ra aislada, es decir, fuera de un contex-to que le permita al alumno descubrirsu significado, sentido y utilidad.

Además, con frecuencia, la maneraen que se plantean los problemas nopermite que los alumnos se enfrentenrealmente a ellos. Se les dice cómoresolverlos o se les proponen proble-mas modelo en los que deben aplicarel conocimiento que se ha enseñadopreviamente (por ejemplo, el algorit-mo de la suma). Es decir, no se pro-mueve la búsqueda personal desoluciones, anulando la posibilidadde los alumnos para crear procedi-mientos propios.

Para que la resolución de proble-mas promueva el aprendizaje mate-mático y el desarrollo de la capacidadde razonamiento de los alumnos esnecesario invertir el orden en el quetradicionalmente se ha procedido; es-to es, enfrentar a los alumnos desde elprincipio a la resolución de problemaspara que los resuelvan con sus propiosrecursos, lo que les permitirá construirnuevos conocimientos y, más tarde,encontrar la solución de problemascada vez más complejos, utilizandolos procedimientos de solución con-vencionales.

Cuando los alumnos tienen libertadpara buscar la manera de resolver unproblema, por lo general encuentran,al menos, una forma de aproximarse ala solución. Esto, a su vez, puede ge-nerar en el grupo una valiosa diver-sidad de procedimientos.

Es de gran utilidad promover quelos alumnos conozcan y analicen lasformas de solución que siguieron suscompañeros. Conocer los diferentesprocedimientos que se encontraronpara resolver un mismo problema tie-ne un gran valor didáctico, pues per-mite que los alumnos se den cuentaque para resolverlo existen varios ca-minos, algunos más largos y compli-cados que otros, pero que lo importantees acercarse a la solución. Les permite,también, percatarse de sus errores, asícomo reconocer y valorar sus estrate-gias y sus resultados.

Cuando los alumnos logran com-prender los procedimientos que otrossiguieron para resolver algún pro-blema, pueden utilizarlos en otras si-tuaciones. Probar, equivocarse, volvera probar hasta lograr la solución, pro-picia que los niños avancen en suaprendizaje, adquieran confianza enel manejo de sus conocimientos, reco-nozcan su validez y los utilicen pararesolver las diversas situaciones a lasque se enfrentan.

La resolución de problemas y la ad-quisición de conocimientos significa-tivos y duraderos son procesos quedeben avanzar en estrecha relación.

Para favorecer el aprendizaje de losprocedimientos de solución conven-

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cionales, a partir de las estrategias uti-lizadas por los alumnos, es necesario:

a) Aumentar el grado de complejidadde la situación, es decir, aumentar elrango de los números o cambiar laestructura del problema.

b) Obstaculizar el procedimiento en-contrado para que los alumnos bus-quen otras maneras de resolverlo. Porejemplo, pedirles que no utilicen ma-terial concreto o que no hagan dibujos.

El papel de los problemasen la enseñanza

de las matemáticas

Los problemas se utilizan con los si-guientes propósitos:

• Para que los alumnos construyansus conocimientos a través de bus-car estrategias convencionales y noconvencionales que los resuelvan.

• Para que apliquen y profundicen losconocimientos adquiridos.

Para que las situaciones problemá-ticas favorezcan la construcción deconocimientos y centren el interés delos alumnos en la búsqueda de susolución, deben cumplir con dos con-diciones: presentar un reto, es decir,evitar el planteamiento de situacionesque los alumnos sepan de antemanocómo resolver y que las situacionesque se presenten puedan ser aborda-das por los alumnos con los conoci-mientos que poseen.

Una misma situación, con poca va-riación, seguirá siendo interesante paralos niños mientras no hayan encon-trado una forma sistemática de resol-verla. Cuando la han encontrado dejade ser un problema para construir co-nocimientos, convirtiéndose en un pro-blema que permite a los alumnosmostrar lo que han aprendido y refor-zar sus conocimientos.

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A fin de que los alumnos desarro-llen su capacidad para explorar y com-prender las relaciones entre los datosde un problema, se propone progra-mar actividades en las que los alum-nos resuelvan problemas de suma, deresta, de multiplicación o de reparto.Esta forma de trabajo permitirá a losalumnos construir los diferentes sig-nificados de las operaciones al relacio-narlas con las acciones que realizanpara resolverlos.

Además, es conveniente cambiar laestructura de los problemas, es decir,proponer problemas en los que lasoperaciones adquieran significadosdiferentes. En el cuadro 1 aparecen lossignificados de las operaciones que semanejan en este grado.

En cuanto a los problemas que sir-ven para aplicar y reforzar conoci-mientos es conveniente que el maestrocontinúe planteando problemas en di-versos contextos, como “La tiendita”,“El banco”, juegos con dados, canicas,estampas, animales, etcétera; o pedir alos alumnos que sean ellos los que

inventen problemas a partir de un tex-to, de los datos de una ilustración, deuna operación dada o a partir de dosnúmeros. Por ejemplo, pedir que in-venten un problema con los números25 y 4.

Los errores en la resoluciónde problemas

Cuando se resuelven problemas ma-temáticos en la escuela, los alumnostienden a depender de la aprobacióndel maestro para saber si la forma enque los resolvieron es o no la correcta,sin embargo, es conveniente que seanellos mismos quienes reconozcan si elprocedimiento que emplearon los lle-vó a la solución del problema, verifi-quen sus resultados y localicen el error,si es que lo hay.

Los intentos fallidos, o los erroresde los alumnos al resolver un proble-ma, forman parte de su proceso deaprendizaje y deben ser aprovecha-dos para que, a partir de ellos, avancenen sus conocimientos.

Cuadro 1

Suma Resta Multiplicación División

Averiguar cuántasveces cabe unacantidad en otra

Averiguar el total deobjetos que hay en unacolección formada porgrupos con la mismacantidad de objetos

Agregar una cantidada otra

Quitar objetos a unacolección

Repartircolecciones

Igualar coleccionesUnir colecciones

Buscar un faltante

PROBLEMAS ADITIVOS PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

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Se sugiere al maestro que favorezcala socialización de los procedimientosgenerados por los alumnos, así comola búsqueda de errores. El uso de ma-terial concreto para verificar sus res-puestas y la confrontación de ideas,permite que sean los mismos alumnosquienes las validen o invaliden (véase,por ejemplo, la lección 45, p. 69).

¿Qué tipo de problemasconviene plantear

en la escuela?

Es común escuchar que en la enseñan-za de las matemáticas se debe recurrira problemas de la vida real, con el finde despertar el interés del niño y llegara conocimientos relevantes. Si bien estoes cierto, no hay que olvidar que exis-ten situaciones divertidas e interesan-tes que también se pueden aprovecharpara que los alumnos construyan yavancen en sus conocimientos, porejemplo, los juegos matemáticos, si-

tuaciones problemáticas asociadas ala fantasía, a los animales y mascotas,a la literatura infantil, así como losproblemas puramente numéricos ogeométricos.

Tradicionalmente los problemas seplantean a través de un texto que con-tiene los datos numéricos necesariospara resolverlos. Con el propósito deque los alumnos aprendan a resolverproblemas planteados de distintasformas, a buscar la información ne-cesaria para resolverlos y a descartarla que no les sea útil es convenientetambién variar la presentación de losproblemas.

Pueden mostrarse ilustraciones apartir de las cuales el maestro hacepreguntas (véase, por ejemplo, la lec-ción 66, p. 100); algunas veces, el pro-blema puede consistir en que losalumnos sean quienes elaboren pre-guntas que puedan resolverse con lainformación contenida en un texto o

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en una ilustración (véase, por ejemplo,la lección 63, p. 96); otras veces el pro-blema puede consistir en que los alum-nos sean quienes formulen problemasque se resuelvan con una operaciónplanteada, o bien, en realizar ciertasacciones sobre un material concreto apartir de determinadas consignas (véa-se, por ejemplo, la lección 73, p. 110).

Se recomienda que el maestro pro-ponga también problemas que tengandiferentes respuestas correctas, con elpropósito de que los alumnos no pien-sen, como ha sucedido con la enseñan-za tradicional, que todos los problemastienen solamente una solución. Porejemplo, en algunas lecciones del librode texto se hacen preguntas como: ¿quépuedo comprar en la tienda con 50 pesos?Todas las respuestas que den los alum-nos pueden ser correctas si no rebasanla cantidad fijada.

Función del libro de texto

En los primeros grados de la educa-ción primaria, la mayor parte de lassituaciones problemáticas que losalumnos pueden enfrentar son activi-dades que se realizan con distintosmateriales concretos.

Para que los alumnos puedan com-prender y resolver las lecciones dellibro es necesario, en la mayoría de loscasos, que previamente se realicen ac-tividades con material concreto, comolas que se sugieren en el apartado de“Recomendaciones didácticas por eje”y en las fichas de actividades didácticasde este grado. Esto se menciona por-que el libro de texto enfrenta a los ni-

ños a la interpretación y uso de repre-sentaciones gráficas, que correspon-den a un momento posterior a lasactividades realizadas fuera del librocon material concreto.

Por lo tanto es necesario utilizar ellibro de texto como uno de los recursosdidácticos que favorece fundamental-mente la interacción de los niños conrepresentaciones gráficas de los cono-cimientos matemáticos.

Considerando que los alumnos desegundo grado son más hábiles paraleer, su libro contiene mayor cantidadde texto que el de primero. Sin embar-go, es conveniente recordar que cuan-do los alumnos ingresan a segundogrado de primaria, en general, no tie-nen aún la capacidad de leer un textocon suficiente fluidez, de tal maneraque les permita comprender la ideaplanteada en él. Por esta razón, se reco-mienda que una vez que los alumnoshan terminado de leer solos cada lec-ción, el maestro repita la lectura en vozalta y se asegure de que todos los niñoshan comprendido de qué se trata laactividad.

Algunas de las lecciones del libro detexto plantean situaciones que intro-ducen a los alumnos en algunos cono-cimientos. Por ejemplo, con la lección17, p. 29, se inicia el trabajo de agrupa-miento de colecciones en centenas,decenas y unidades y se propone eluso de material concreto, en este caso,tres tipos de tarjetas llamadas “Losmangos”, que representan a cada unode los agrupamientos. Después de ha-ber trabajado esta lección, los alumnosdeben realizar numerosas actividades

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que les permitan comprender por quécada tipo de tarjeta adquiere un valordeterminado, por qué pueden cam-biar una tarjeta que representa a 100mangos por 10 tarjetas que represen-tan 10, y por qué pueden cambiar unatarjeta que representa a 10 mangospor 10 tarjetas que representan a unmango.

Otras lecciones ofrecen situacionespara afirmar conocimientos, por ejem-plo, en la lección 34, p. 54, se introduceel uso de la tabla de centenas, decenasy unidades como un recurso paraaproximarse a la representación con-vencional de las cantidades, que favo-rece la comprensión del valor queadquieren las cifras de un número se-gún el lugar que ocupan. Realizar acti-vidades previas, independientes del

libro, permitirá a los alumnos fami-liarizarse con el uso de este recurso, detal modo que en el momento que tra-bajen en la lección puedan resolverlacon éxito.

Las fichasde actividades didácticas

Además de las actividades que el maes-tro diseñe a partir de su experiencia yde las recomendaciones didácticasplanteadas para cada uno de los ejes,se cuenta también con el Fichero. Acti-vidades didácticas. Matemáticas. Segun-do grado en el que podrá encontrar unaamplia gama de situaciones que favo-recen la introducción, profundizacióny afirmación de los contenidos y, porende, el aprendizaje de los alumnos.

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MATEMÁTICAS

Por esto es importante que el maes-tro revise y seleccione las actividadesplanteadas en el fichero para ponerlasen práctica con sus alumnos. Si es ne-cesario, pueden ser modificadas orediseñadas (sin perder de vista el pro-pósito de la actividad), de acuerdo conel criterio y la experiencia del maestro,para adaptarlas a las condiciones delgrupo con el que trabaja.

Con el propósito de que el maestrotenga una idea de cómo utilizar lasfichas de actividades y el libro de tex-to, en el Avance programático. Segundogrado. Educación básica. Primaria se su-giere cómo alternar estos dos recursosdidácticos.

Algunas de las actividades del fi-chero están señaladas como actividades

rutinarias y se caracterizan porquepueden realizarse diariamente, en cin-co o diez minutos, al principio o al finalde la clase de matemáticas. Además deser divertidas, favorecen que los alum-nos desarrollen la habilidad para leery escribir números con los símbolosconvencionales, reflexionen acerca delorden de los números, utilicen oral-mente los números ordinales y desa-rrollen su capacidad para hacerestimaciones y cálculos mentales. Esrecomendable que el maestro alternelas actividades rutinarias que se pro-ponen en el desarrollo de cada bloque.

En la mayoría de las fichas se sugie-re dos o tres versiones de la mismaactividad. El maestro deberá seleccio-nar la versión que considere más ade-cuada, en función de los conocimientos

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SEGUNDO GRADO

que poseen sus alumnos hasta esemomento.

Importancia del materialconcreto en el aprendizaje

de las matemáticas

En los primeros grados de la prima-ria, la mayor parte de los contenidosmatemáticos se empieza a trabajar conactividades en las que es necesariousar material concreto. La forma enque los alumnos utilizan este materialdetermina, en gran medida, la posibi-lidad de comprender el contenido quese trabaja. Si bien es importante queen un primer momento se permita alos alumnos manipular los materialespara que se familiaricen con ellos, esnecesario plantear situaciones proble-

máticas en las que el uso del materialtenga sentido.

Si el maestro entrega el material alos alumnos y les indica cómo debenutilizarlo para resolver la problemá-tica que se les plantea, ellos apren-derán a seguir instrucciones, peroprobablemente no comprenderán porqué tuvieron que realizar dichas ac-ciones con el material. En cambio, siplantea el problema a los alumnos,les entrega el material y les da liber-tad de usarlo como ellos considerenconveniente para encontrar la solu-ción, los niños pondrán en juego susconocimientos sobre la situación plan-teada, echarán mano de experienciasanteriores y utilizarán el materialcomo un recurso que les ayude a re-solver el problema.

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Así, los alumnos comprenderán laclase de acciones que realizan con elmaterial para resolver el problema ydescubrirán propiedades y caracterís-ticas del material que con sólo mani-pularlo (siguiendo indicaciones)quizás hubieran pasado inadvertidas.

Conforme los alumnos avancen enel proceso de aprendizaje, se puederetirar progresivamente el uso del ma-terial y entregarlo sólo para verificarlos resultados.

Hay en cambio otras situaciones pro-blemáticas en las que el material esuna parte misma del problema y nosólo un apoyo, por ejemplo, las situa-ciones en las que se trabaja con la geo-metría. En estos casos el material es unrecurso indispensable; necesitan ma-nipularlo, compararlo y observar suscaracterísticas para resolver la situa-ción planteada.

Dada la importancia que tiene eluso de material concreto en este gra-do, se ha incorporado en el libro re-cortable una gran parte de los materia-les didácticos necesarios para llevar acabo las situaciones que se proponenen el Fichero. Actividades didácticas. Ma-temáticas. Segundo grado y en el libro detexto.

Como puede observarse, en la parteinferior de cada material recortableaparece su nombre, un logo y las ins-trucciones de recorte. Los materialesseñalados con 1 y con 2 son losúnicos que los niños recortarán y pe-garán en las lecciones 63 y 65 pp. 96 y98. Los materiales marcados con ycon ✄ serán utilizados frecuentemen-

te a lo largo del año, por lo que nodeberán pegarse ni en el libro de textoni en los cuadernos de los alumnos.Por ejemplo, el material “Cuadritos decolores” se utiliza para resolver laslecciones 72, 85 y 116, pp. 108, 132 y174, y los “Triángulos amarillos” seusan en diferentes sesiones de clasepara realizar actividades como las quese sugieren en la ficha 30.

Para el mejor uso del material re-cortable que se utilizará en el transcur-so del año, conviene que durante losprimeros días de clase, el maestro, conayuda de los padres de familia, lo pe-gue en cartoncillo antes de recortarlo.Esto ayudará a que este material tengauna mayor durabilidad. Posteriormen-te deberán recortarlo y guardarlo ensobres, anotando en cada uno el nom-bre del material que contiene. No esconveniente que los niños recorten estematerial, ya que si esto no se hace conprecisión, se corre el riesgo de inutili-zarlo y no cumpla su función.

Otro tipo de materiales a utilizardurante el año son de desecho y re-sultarán fáciles de conseguir, por ejem-plo: palos de escoba, varitas de dife-rentes tamaños, alambre delgado,semillas grandes, clavos, tuercas, tor-nillos, piedras, tapas de frascos, cajas yenvases de diferentes formas y tama-ños, mecates o cordones, tierra, arenao aserrín, plastilina, masa o barro.

En caso de que se presente algunadificultad para conseguir los materia-les que se sugieren, el maestro puedesustituirlos por otros objetos que ten-gan más o menos las mismas carac-terísticas.

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Rincón de las matemáticas

Con el propósito de que los alumnostengan acceso a los materiales que seutilizarán en el transcurso del año es-colar, se sugiere que el maestro organi-ce, junto con sus alumnos, el Rincón delas matemáticas en algún espacio delsalón de clases. En este lugar deberánconcentrarse, de manera organizada,todos los materiales mencionados enel rubro anterior (véase la página 8 dellibro de texto).

Es importante para la formación delos alumnos que participen en la orga-nización del Rincón de las matemáti-cas y en el cuidado de los materiales.Por lo anterior se sugiere que cada se-mana se asigne a un equipo de niños laresponsabilidad de mantener orde-nado el Rincón, de repartir el material

que se va a utilizar en cada clase y derecogerlo cuando ésta termine.

Con el propósito de que el materialrecortable no se pierda, se recomiendaque al término de la clase cada alumnoverifique que tiene completo su mate-rial, lo guarde en su sobre y lo entreguea los responsables del Rincón.

En caso de que la escuela opere condoble turno es conveniente que losmaestros se pongan de acuerdo, demanera que optimicen los espacios.

Los juegos matemáticos

El juego es una parte importante en lavida de los niños y debe aprovecharsepara favorecer el aprendizaje. Todoslos juegos exigen a los participantes,por una parte, conocer las reglas y, porotra, construir estrategias para ganarsistemáticamente.

Cada vez que los niños participanen un mismo juego perfeccionan susestrategias. Al final saben si ganaron operdieron; incluso, con el tiempo, pue-den darse cuenta en qué parte del jue-go pudieron haber hecho otra jugadaen lugar de la que hicieron.

Por esta razón, en el libro de texto seincorporan juegos matemáticos como“La papa caliente” (p. 37), “Un paseo porla selva” (p. 68), “El manotazo” (p. 72),“Adivinanzas geométricas” (p. 116),“Adivinanzas numéricas” (p. 135), “Lafigura escondida” (p. 146) y “Sub-marinos” (p. 175). Algunos de estosjuegos favorecen el desarrollo de habi-lidades y destrezas y otros propician

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El uso de la calculadoraen la escuela primaria

El uso de la calculadora se ha restrin-gido en la escuela primaria, entre otrasrazones por el temor de maestros ypadres de familia de que este instru-mento evite que los niños aprendan aefectuar (sin calculadora) las opera-ciones básicas. Sin embargo, numero-sas experiencias en el ámbito de lainvestigación en didáctica de las ma-temáticas han podido constatar que eluso controlado de la calculadora en ciertasactividades específicas, lejos de obstacu-lizar el aprendizaje lo favorece. Porejemplo permite:

que los alumnos construyan conoci-mientos matemáticos o que profun-dicen en ellos.

Otros juegos matemáticos propues-tos en las lecciones del libro de textoson adaptaciones de los juegos plan-teados en el libro Juega y aprende mate-máticas. Propuestas para divertirse ytrabajar en el aula, México, SEP, 1991(Libros del Rincón).

Por ejemplo, la lección 9, p. 18, es unaadaptación del juego “Atínale”; la lec-ción 22, p. 34, corresponde a la primeraversión del juego “Basta numérico”; lalección 25, p. 38, es una adaptación dela primera versión del juego “El caje-ro”; las lecciones 30 y 110, p. 47 y 167,son una adaptación de la segunda ytercera versiones del juego denomina-do “Rompecabezas”; la lección 71,p. 107, corresponde a la tercera versióndel juego “Guerra de cartas”.

En el libro Juega y aprende matemáti-cas. Propuestas para divertirse y trabajaren el aula se cuenta con otros juegos queno han sido incluidos en el libro detexto pero que pueden proponerse alos alumnos de este grado, por ejem-plo: la primera versión del juego “Cua-drados mágicos”; la primera y segundaversiones de los juegos “Al verde”,“Dilo con una cuenta”, “La pulga y lastrampas” y “Carrera a 20”. También elmaestro puede proponer las tres pri-meras versiones del juego “¿Quién adi-vina el número?”

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• Plantear problemas cuya finalidades que los alumnos establezcan rela-ciones adecuadas entre los datos yseleccionen, de manera autónoma,la o las operaciones con las que pue-den resolverse.

• Verificar resultados obtenidos me-diante el cálculo mental o escrito.

• Inferir los procesos que sigue la cal-culadora a partir del análisis de lasteclas que se oprimen y de los resul-tados que arroja.

• Resolver problemas que requierenefectuar muchos cálculos u opera-ciones numéricas engorrosas.

Por estas razones, en el libro detexto y en el fichero de actividadesdidácticas, de este grado, se incorpo-raron en las fichas 3 y 29 actividadesen las que se sugiere utilizar la calcu-ladora. Algunas permiten indagar losconocimientos previos de los alumnosacerca de los números, favorecen elaprendizaje de la serie numérica y delas operaciones de suma y resta. Otrasdesarrollan en los alumnos la habili-dad para estimar y calcular mental-mente resultados de problemas yoperaciones, mismos que se verificancon el auxilio de la calculadora.

¿Cómo trabajar las actividadescon calculadora?

Es conveniente que antes de aplicarlas actividades, el maestro las experi-mente con diferentes tipos de calcula-doras sencillas, sobre todo las que seproponen en las fichas 3 y 29, en tanto

no todas las calculadoras funcionande la misma manera.

Por ejemplo, con cualquier calcula-dora es posible construir sucesionesnuméricas de 1 en 1, de 2 en 2, etcétera.Sin embargo, no siempre se procedede la misma forma. Si tiene a la manodos o tres calculadoras sencillas dediferente modelo y marca, probable-mente encontrará distintos resultadosal ejecutar, en cada una, las siguientesinstrucciones:

1. Encienda la calculadora (en lapantalla aparece el 0).

2. Oprima las teclas 1, 7 + y 3 (en la pan-talla aparece primero el 17 y luego el 3).

3. Oprima tantas veces como deseela tecla = y observe cada vez el núme-ro que aparece en la pantalla

Es probable que en alguna de lascalculadoras obtenga la siguiente su-cesión de números al oprimir repeti-damente la tecla =: 20, 23, 26, 29, 32,35,... En otra tal vez los resultadossean: 20, 37, 54, 71, 88, 105,... Otraquizás arroje los siguientes resulta-dos: 20, 20, 20,...

Puede observarse que en el primercaso (20, 23, 26, 29, 32, 35,...), al opri-mir consecutivamente la tecla = lacalculadora suma de manera cons-tante el segundo sumando que se in-trodujo (17 + 3). En el segundo caso(20, 37, 54, 71, 88, 105,…), se observaque la calculadora toma como cons-tante el primer sumando( 17+3) y enel tercer caso (20, 20, 20, 20,…), no semodifica el primer resultado.

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Para construir sucesiones numéri-cas con estas últimas calculadoras, talvez se requiera oprimir dos veces se-guidas el signo + (17 + + 3 = = = ...).

Conocer cómo funcionan las calcu-ladoras que usan los alumnos permiti-rá al maestro coordinar con éxito lasactividades propuestas.

En algunas lecciones del libro Mate-máticas. Segundo grado se propone quelos alumnos utilicen la calculadora paraverificar resultados. En este caso esimportante que los alumnos resuelvanprimero las actividades mediante elcálculo mental o con lápiz y papel, ydespués usen la calculadora para verifi-car el resultado que obtuvieron.

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Recomendaciones didácticas por eje

Los números, sus relacionesy sus operaciones

No todos los niños que ingresan a se-gundo grado tienen los mismos cono-cimientos. En general, todos ya sabencontar, pero probablemente no todosse saben la serie numérica completadel 1 al 100 y tal vez algunos niños aúntienen dificultad para interpretar y re-presentar los números con los símbo-los convencionales. La mayoría de losalumnos podrá resolver problemas desuma y de resta con números menoresque 100, utilizando material, dibujos,conteo u otros procedimientos; otrosniños, tal vez, ya lo puedan hacer uti-lizando los procedimientos conven-cionales.

Con el propósito de que todos losalumnos alcancen más o menos el mis-mo nivel de conocimientos, se propo-ne, a manera de repaso, que durante eldesarrollo del primer bloque los alum-nos realicen actividades en las que esnecesario el uso de los números del 1 al100 para resolverlas (véanse, por ejem-plo, las lecciones 3, 5 y 16, pp. 11, 14 y28). Al mismo tiempo se plantean si-tuaciones que implican sumar o restar,ya sea mentalmente, con la ayuda dematerial o mediante el uso del algorit-mo convencional de estas operaciones(véanse, por ejemplo, las lecciones 6, 8y 11, pp. 15, 17 y 20).

Sistema decimal de numeración

Para que los alumnos de segundo gra-do avancen en el conocimiento del sis-tema decimal de numeración es con-veniente que continúen realizando ac-tividades de comparación, ordenacióny comunicación de cantidades, que lespermitan comprender la necesidad ylas ventajas de agrupar los objetos deuna colección en centenas, decenas yunidades (véanse, por ejemplo, las lec-ciones 25 y 28, pp. 38 y 44).

En estas actividades los alumnoscuentan tres tipos de “objetos”: las cen-tenas, las decenas y los objetos sueltosque quedan sin agrupar. Es importan-te que los alumnos en un primer mo-mento expresen verbalmente losresultados del conteo para que apren-dan a distinguir los tres tipos de obje-tos que cuentan y después lo expresenpor escrito, utilizando en un principiorepresentaciones no convencionales,hasta que finalmente lleguen a la re-presentación numérica convencional(véanse, por ejemplo, las lecciones 49 y54, pp. 75 y 84).

Existe una gran variedad de situa-ciones que para resolverse exigen eluso de números, en su aspecto cardi-nal, de manera oral o mediante repre-sentaciones gráficas. Estas situacionesbásicas implican:

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MATEMÁTICAS

• Comparar colecciones para saber cuáltiene más.

• Igualar dos colecciones para que am-bas tengan la misma cantidad deobjetos.

• Repartir colecciones.

• Construir una colección con la mismacantidad de objetos que otra.

• Comunicar a alguien la cantidad deobjetos que tiene una colecciónpara que forme otra con la mismacantidad.

Esta última tarea, la de comunicar,es de una gran riqueza didáctica, por-que implica en realidad cuatro accio-nes:

• Cuantificar la colección que se tiene.

• Representar dicha cantidad oralmenteo por escrito para enviar el mensaje.

• Interpretar el mensaje para crear lacolección que le corresponde.

• Comparar la colección original con lacolección creada para verificar quetienen el mismo número de objetos.

Al realizar estas acciones, los niñosse apropian poco a poco de la repre-sentación simbólica de los números yde su significado.

A continuación se recomienda la si-guiente secuencia didáctica para avan-zar en el conocimiento del sistemadecimal de numeración.

1. Aprendizaje de la serie oral de 100en 100, de 10 en 10 hasta el 1000, paracuantificar, comparar y ordenar colec-ciones agrupadas o para comunicarcantidades (véanse, por ejemplo, laslecciones 7 y 47, pp. 16 y 72).

2. Agrupamiento y desagrupamientode centenas, decenas y unidades conmaterial concreto (véase la página 39de este libro). Estas actividades am-plían el conocimiento sobre las reglasde cambio del sistema decimal de nu-meración (véanse, por ejemplo, las lec-ciones 25 y 28, pp. 38 y 44).

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y comunicación de colecciones se utili-ce una tabla de centenas, decenas yunidades en la que registren el númerode grupos de cada valor que contieneuna colección (véanse, por ejemplo, laslecciones 49 y 54, pp. 75 y 84).

Una vez que los niños empiezan arepresentar números sin tabla debencontinuar realizando múltiples acti-vidades de cuantificación, comunica-ción, comparación y orden de colec-ciones para profundizar y afirmar lacomprensión del sistema decimal denumeración y su representación sim-bólica.

Asimismo es recomendable plantearsituaciones problemáticas que favo-rezcan la comprensión del valorposicional de las cifras, por ejemplo:formar y comparar colecciones de ob-jetos que correspondan a números concifras iguales pero en distinto orden(358 y 583); representar esas cantida-des con diversos materiales que equi-valgan a centenas, decenas y unidades;formar números diferentes con sólotres dígitos o descomponer una mismacantidad, de distintas maneras, en doso tres sumandos (véanse, por ejemplo,las lecciones 17, 20, 28, 49 y 71, pp. 29,32, 44, 75 y 107).

Esta progresión de las representa-ciones (verbal, con material concreto,con la tabla de cantidades y con la

3. Representación simbólica de la seriede 10 en 10 y de 100 en 100 hasta el 1000(véanse, por ejemplo, las lecciones 7 y42, pp. 16 y 66, y la actividad que sepresenta en la página 40 de este libro).

4. Resolución de problemas de sumas,de restas y de problemas multiplica-tivos utilizando material concreto. Esrecomendable que cuando los alum-nos realicen estas actividades tengan ala vista la serie de números con la quese esté trabajando.

5. Relación entre el nombre de los nú-meros y los agrupamientos que con-forman ese número. Un recursodidáctico que favorece la compren-sión de esta relación es la tabla decantidades que se muestra abajo. Enesta tabla los alumnos señalan la canti-dad de unidades que hay en variascentenas y decenas (véase, por ejem-plo, la lección 43, p. 67). Al decir lacantidad de unidades que hay en cadagrupo surge, de manera natural, elnombre de los números que les faltaconocer. Por ejemplo, si se tienen 8centenas, 4 decenas y 9 unidades, lacantidad de objetos agrupados en lascentenas son 800; en las decenas, 40 y 9unidades sueltas: “ochocientos cuaren-ta y nueve”.

6. Aproximación a la representaciónnumérica convencional de los núme-ros de tres cifras. Se recomienda que endiversas actividades de cuantificación

Tabla de centenas, decenas y unidades

Centenas Decenas Unidades

8 4 9

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla de cantidades

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tabla de centenas, decenas y unida-des) debe darse siempre a lo largo deactividades que impliquen el uso delnúmero para comparar, igualar, or-denar colecciones y, sobre todo, paracomunicar el número de objetos quetiene una colección (véase, por ejem-plo, la lección 12, p. 22).

A la vez que los alumnos conocen yutilizan los números para cuantificarel total de objetos de las colecciones(aspecto cardinal) es conveniente queutilicen también los primeros 20 nú-meros para ordenar los objetos de dis-tintas colecciones, para señalar el lugarque ocupan personas u objetos (véase,por ejemplo, la lección 21, p. 33) o paradeterminar el resultado de una com-petencia (aspecto ordinal).

También se sugiere que los alumnosrealicen actividades en las que obser-ven los diferentes usos y significadosde los números. Pueden identificar,por ejemplo, su número de lista, el dela casa donde viven, reconocer los nú-meros telefónicos de algunas personaso de algún lugar en especial, numerara los integrantes de los equipos o iden-tificar a los jugadores de un equipodeportivo por el número de su camise-ta o a un camión o un coche por el de suplaca, etcétera.

Resolución de problemas

Se sugiere que, paralelamente al apren-dizaje de la serie numérica oral y escrita,los alumnos se enfrenten a la resoluciónde numerosos problemas de suma, deresta o problemas multiplicativos plan-teados de tal manera que, para resolver-

los, tengan la necesidad de buscar, ana-lizar y seleccionar la información nece-saria en el texto del problema, en tablasy gráficas elaboradas por ellos o en lasilustraciones de su libro de texto u otrasfuentes (véanse, por ejemplo, las leccio-nes 27, 44 y 58, pp. 42, 68 y 89 y la pá-gina 41 de este libro).

Es importante plantear problemascon diferentes estructuras para que alanalizar el problema los alumnos dife-rencien las acciones que deben realizarpara resolverlos (véanse, por ejemplo,las lecciones 16 y 35, pp. 28 y 56).

Después de que han resuelto nume-rosos problemas utilizando sus pro-pios procedimientos (dibujo, uso dematerial, etcétera), el maestro puedeimponer ciertas restricciones con elpropósito de que busquen otras for-

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mas de solución. Por ejemplo, puederestringir la elaboración de dibujos osólo dejar que se use el material paraverificar resultados.

Algoritmo convencionalde la suma y de la resta

Hay que recordar que antes de que losalumnos se enfrenten al algoritmo con-vencional de la suma y de la resta esnecesario que resuelvan numerososproblemas que impliquen estas opera-ciones, mediante el agrupamiento ydesagrupamiento de unidades, dece-nas y centenas representadas con ma-terial concreto (fichas de colores,monedas, etcétera).

Que los alumnos resuelvan los pro-blemas con material favorece la com-prensión de las reglas del algoritmoconvencional de estas operaciones. Porejemplo, ayuda a entender por qué en

la suma 343 + 189, cuando se suman lasunidades (9 + 3) sólo se tiene que ano-tar el 2 como resultado abajo de lacolumna correspondiente y llevar 1 ala columna de las decenas; o por quéen la resta 343 - 189, “se tiene que pediruno” a las decenas y por qué el 3 seconvierte en 13” y no en 4.

Después de que los alumnos hanresuelto muchas situaciones proble-máticas de suma y resta con materiales necesario que el maestro les ayude arelacionar las acciones realizadas so-bre el material con el algoritmo con-vencional de la suma y de la resta, ypresentar estos algoritmos como otraforma de resolver los problemas.

Probablemente algunos alumnoscontinuarán utilizando diversos proce-dimientos para resolver problemas desuma y de resta, aunque ya se les hayaenseñado el algoritmo convencional.En estos casos se sugiere que el maes-

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MATEMÁTICAS

Conviene que los alumnos cuentencon materiales como cajitas, tapaderasy objetos pequeños que les serán útilespara resolver los problemas o paraverificar sus resultados.

Al principio, para resolver proble-mas relacionados con la multiplica-ción, los alumnos utilizarán diferentesprocedimientos, como dibujar rayitaso bolitas, utilizar material concreto,contar con sus dedos, sumar por escri-to o mentalmente (véanse, por ejem-plo, las lecciones 51 y 74, pp. 78 y 112).

Mientras los alumnos resuelven losproblemas, el maestro deberá obser-var atentamente cómo lo hacen ycuando terminen pedirá a un alumnode cada equipo que explique y mues-tre al resto del grupo cómo llegaron ala solución. Al principio, el maestro

tro lo permita y después de haberloresuelto les recuerde que ese problematambién puede resolverse con el proce-dimiento convencional de la suma o dela resta. Asimismo se sugiere que losalumnos verifiquen si obtienen el mis-mo resultado con los procedimientosutilizados y con el convencional.

Poco a poco, en la medida que losalumnos comprendan los algoritmosconvencionales de la suma y de laresta y se den cuenta que tambiénsirven para resolver estos problemas,irán abandonando sus procedimien-tos y utilizarán las operaciones con-vencionales de la suma y de la restapara resolverlos (véase la página 42 deeste libro).

Problemas multiplicativos

La manera en la que los alumnosempiezan a trabajar con los proble-mas multiplicativos es la misma quese propone en primer grado paratrabajar con los problemas de sumay resta: enfrentar a los alumnos a laresolución de situaciones problemá-ticas sencillas relacionadas con lamultiplicación antes de enseñarla for-malmente (véanse, por ejemplo, laslecciones 11 y 16, pp. 20 y 28).

En segundo grado se propone tra-bajar con más profundidad los pro-blemas de multiplicación hasta llegara la representación convencional de lamultiplicación de dígitos y a la cons-trucción del cuadro de multiplicacio-nes que los alumnos utilizarán comoherramienta para resolver nuevos pro-blemas de manera más rápida.

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pequeños, y que también elaborenmensajes para que otros compañerosconstruyan una colección igual a la deellos (véase la ilustración anterior).

Posteriormente, los alumnos ten-drán que comparar la colección cons-truida con la original, y verificar queambas tengan en total el mismo núme-ro de objetos. Más adelante, el maestropodrá proponer a los alumnos queintenten elaborar mensajes más cor-tos. Es probable que los alumnos reali-cen mensajes como el siguiente:

Cuando los alumnos logren hacermensajes más cortos, el maestro podráproponer usar la representación con-vencional de la multiplicación dedígitos (3 × 4) como una manera máscorta para comunicar el número degrupos y el número de objetos quecontiene cada grupo (véase, por ejem-plo, la lección 77, p. 118).

Se recomienda que el maestro ela-bore un cuadro de multiplicaciones enun pliego de papel grande y lo pegueen la pared para que, poco a poco, losalumnos registren en él los resultadosde los problemas de multiplicaciónque vayan resolviendo (véase, porejemplo, la lección 81, p. 126).

debe ayudarles a explicar los procedi-mientos que siguieron hasta queaprendan a hacerlo y a defenderlospor sí mismos.

Conocer las diferentes formas desolución encontradas por sus compa-ñeros favorece que los alumnos seden cuenta de que estos problemastambién pueden resolverse de dife-rentes maneras; que algunas son máscomplicadas que otras, pero que loimportante es llegar a la solución. Lofundamental es que los alumnos esta-rán en posibilidad de utilizar algunosde los procedimientos de sus compa-ñeros en la medida en que los com-prendan.

Permitir y propiciar el uso de pro-cedimientos no convencionales fa-vorece que los alumnos comprendanel significado de la multiplicación.Con la práctica encontrarán procedi-mientos más eficaces, como usar elcuadro de multiplicaciones para re-solverlos.

Para acercarse a la representaciónconvencional de la multiplicación sepropone que los alumnos construyan,con la misma cantidad de objetos, co-lecciones formadas por grupos más

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MATEMÁTICAS

nes en las que no hay sobrante paraque las resuelvan con procedimientosno convencionales (uso de material,dibujos, conteo, etcétera).

En segundo grado se propone queel maestro continúe planteando si-tuaciones de reparto de colecciones,con y sin sobrante, para que los alum-nos enriquezcan el significado de lamultiplicación, ya que en esos pro-blemas subyace la búsqueda de unode los factores de la multiplicación.Por ejemplo:

Otro tipo de problemas en los quetambién se busca uno de los factoresde una multiplicación son los de divi-sión, en los que hay que averiguarcuántas veces cabe una cantidad enotra (tasativos). Por ejemplo:

Tener a la vista el cuadro de multipli-caciones favorece que los alumnos loutilicen para resolver los problemas.Sin embargo, es posible que durante untiempo continúen usando la suma pararesolverlos. En estos casos también sesugiere que el maestro lo permita ydespués les haga notar que el resultadodel problema ya estaba registrado en elcuadro de multiplicaciones (véase, porejemplo, la lección 86, p. 133).

Al final del año se propone trabajarcon situaciones multiplicativas apo-yándose en arreglos rectangulares, conel fin de propiciar que los alumnos, demanera implícita, trabajen con la pro-piedad conmutativa de la multiplica-ción (véanse, por ejemplo, las lecciones99 y 107, pp. 150 y 162). Además, estetipo de situaciones constituye un tra-bajo importante, previo a la compren-sión del algoritmo convencional de lamultiplicación que se formalizará entercer grado.

Con el propósito de que los alum-nos aprendan a seleccionar la opera-ción adecuada que resuelve cierto tipode problemas, cabe recordar la impor-tancia de plantear constantemente, yde manera alternada, problemas desuma, de resta y de multiplicación(véanse, por ejemplo, las lecciones 15,66 y 83, pp. 26, 100 y 130).

Otros problemas y actividadesque implican procesos

multiplicativos

Desde primer año se ha propuestoplantear a los alumnos la resoluciónde situaciones de reparto de coleccio-

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37

SEGUNDO GRADO

Que los alumnos resuelvan este tipode problemas motiva que inicien im-plícitamente un trabajo de reflexiónsobre la división, misma que se forma-lizará en tercer grado (véase, por ejem-plo, la lección 51, p. 78).

También en segundo grado, desdeel inicio del año escolar los niños de-ben verbalizar y registrar series numé-ricas de 2 en 2, de 3 en 3, etcétera, quese construyen sumando cada vez unamisma cantidad. Esto será de utilidadcuando, posteriormente, avancen enel conocimiento de la multiplicación yreconozcan la regularidad de los re-sultados de multiplicaciones que tie-nen un factor común (véanse, porejemplo, las lecciones 24, 57 y 72, pp.37, 88 y 108).

Estimación de resultados

La estimación de resultados es otro as-pecto importante que se continúa de-sarrollando en este grado; con este fin serecomienda que antes de que los alum-nos resuelvan los problemas, el maestroles plantee preguntas para que den unaprimera aproximación del resultado. Porejemplo, para el problema: Pedro compróuna piñata de 18 pesos y otra de 15 pesos,¿cuánto dinero pagó Pedro por las piñatas?El maestro puede preguntarles: ¿cuántodinero creen que pagó? ¿Menos de 28pesos? ¿Más de 28 pesos? (Véanse, porejemplo, la lección 11, p. 20.)

El planteamiento de estas pregun-tas ayuda a los niños a comprender elproblema, a establecer las relacionesentre los datos, a tener una idea deltamaño del resultado y a valorar conmás bases si el resultado que obtuvie-ron mediante procedimientos infor-males o convencionales es razonable,posible o imposible.

Cálculo mental

Propiciar el desarrollo de la habilidaddel cálculo mental para resolver pro-blemas favorece que los alumnos pon-gan en juego estrategias como sumarprimero las centenas, después las de-cenas y por último las unidades (des-composición de números).

Por ejemplo, para resolver mental-mente el problema: el papá de Víctortiene 373 pesos ahorrados y su mamá tiene125 pesos, ¿cuánto dinero tienen si juntantodo lo que han ahorrado? Puede ha-cerse lo siguiente:

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38

MATEMÁTICAS

125 = 100 + 20 + 5 373 = 300 + 70 + 3

100 + 300 = 400 20 + 70 = 90 5 + 3 = 8

400 + 90 + 8 = 498

125 + 373 = 498

Para que este procedimiento sea efi-caz, los niños deben realizar previa-mente otras actividades de suma yresta de centenas y decenas, y resolvermuchos problemas como éste. De estamanera desarrollarán la habilidad parasumar mentalmente, con facilidad,centenas, decenas y unidades.

Medición

Los niños, en sus juegos o en otrasactividades realizadas fuera o dentrode la escuela, han determinado, a sim-ple vista y por medio de la compara-ción directa, cuándo un objeto es máslargo o pesa más que otro, cuándo unafigura es más grande que otra. Identi-fican, por ejemplo, a qué bolsa le cabemás dulces. De manera implícita hanempezado a desarrollar sus primerasnociones de longitud, superficie, ca-pacidad y peso.

En segundo grado los alumnos con-tinuarán realizando este tipo de acti-vidades, al utilizar sistemáticamenteunidades arbitrarias de medida, paraque con la cuantificación de las unida-des utilizadas comparen y ordenenlas diferentes magnitudes de los obje-tos. A través de estas actividades losalumnos profundizan su conocimien-to sobre el concepto de longitud, su-perficie, capacidad y peso, y sobre los

procesos de medición y la noción deunidad de medida.

Medición de longitudes

Para iniciar el trabajo sobre mediciónde longitudes se recomienda que, enlas primeras sesiones dedicadas a estetema, el maestro retome algunas de lasactividades de comparación directa delongitudes que se proponen para elprimer grado, con el propósito de quelos alumnos que en el año anterior nollevaron a cabo estas actividades pue-dan realizarlas como un primer acerca-miento para el desarrollo de esta noción.

Más adelante conviene aumentar ladificultad de las actividades. Por ejem-plo, comparar distancias semejantesen longitud, es decir, cuya diferenciano sea muy notoria, y comparar laslongitudes de objetos que no puedancolocarse uno junto al otro, por ejem-plo: ¿qué es más largo, el pizarrón o laventana?

Después de que el maestro propon-ga a sus alumnos actividades como lasanteriores deberá darles tiempo sufi-ciente para buscar la manera de com-parar las longitudes. Es probable querecurran al uso de un objeto que sirvade intermediario: un palo, un cordón,etcétera. Si a los alumnos no se lesocurre cómo hacerlo, el maestro pue-de sugerírselos. Los objetos que se uti-licen como intermediarios deben sermás largos que las longitudes a com-parar para que puedan trasladar lalongitud total de uno de los objetossobre la otra longitud (véase, por ejem-plo, la lección 32, p. 50).

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39

SEGUNDO GRADO

Toma del Rincón de las matemáticas el material “Los

cartoncitos”. Representa en la tabla de centenas, decenas y

unidades el número 489.

CentenasCentenasCentenasCentenasCentenas DecenasDecenasDecenasDecenasDecenas UnidadesUnidadesUnidadesUnidadesUnidades

Si agreg

as un

cuadrit

o, ¿qué

número

obtien

es? Repr

esénta

lo

con el

material

.

Si al núm

ero qu

e obtuv

iste le

quitas

una ba

rra, ¿q

ué número

obtiene

s? Repr

esénta

lo.

Si al núm

ero qu

e obtuv

iste le

agrega

s un c

uadrad

o gran

de,

¿qué nú

mero ob

tienes?

Represé

ntalo.

Ahora, a

l número

que ob

tuviste

quítal

e 3 cu

adritos

. ¿Cuán

to

te qued

ó? ¿Qué t

uviste q

ue hace

r para q

uitarle

al 580 los

3

cuadrit

os?

BBBBB

AAAAA

11

¿¿CuCuáánto nto es?es?

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40

MATEMÁTICAS

CCCCC

– Si caes en la regió

n de los tucanes te re

gresas 60 puntos.

– Si caes en la regió

n de las garzas avanzas 50 puntos más.

– Si caes en la regió

n de las tortugas no ju

egas en la

siguiente ro

nda.

– Si caes en la regió

n de los cocodrilos te re

gresas 30

puntos.

– Si caes en un casillero

que ya está ocup

ado por otro

jugador, lo quitas de ahí y lo

colocas al prin

cipio del camino

de la selva.

Cada equipo toma del Rincón de las matemáticas “El camino de

la selva” y un par de dados rojos.

Reglas del juego:– Cada punto del dado vale 10.

– Cada uno pondrá un objeto que lo identifique afuera del

caminito, junto al casillero que tiene el número 10.

AAAAA

– Por turno

s lance

n los da

dos, cu

enten e

l total

de punt

os

que ob

tuvieron

y digan

hasta q

ué casil

lero lleg

arán.

Cuenten

de 10 en

10 hasta l

legar al

casiller

o que le

s

corresp

onde y

dejen ah

í su obj

eto.

– El jugado

r en tur

no debe

decir el

número

que tie

ne el

casiller

o en don

de está

su obje

to y el n

úmero del

casiller

o

al que l

legará c

on los p

untos q

ue obtu

vo. Si ac

ierta se

queda e

n el cas

illero al

que lleg

ó; si no

, se que

da dond

e

estaba

.

BBBBB

22

El El caminocamino

de de la la selvselvaa

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41

SEGUNDO GRADO

Veintiocho personas fueron a una fábrica de calzado. Cada

una mandó a hacer un par de zapatos. En la fábrica se les

acabó el material y sólo pudieron hacer 33 pares de zapatos.

¿Cuántas personas no pudieron llevarse sus zapatos?

¿Sobraron zapatos? ¿Cuántos?

¿La fábrica pudo vender los zapatos que sobraron? ¿Por qué?

AAAAA

Cuenta cuá

ntos pares

de zapatos

hay en tu s

alón.

¿Cuántos zapatos

hay en tot

al?

Completa el r

egistro q

ue se muest

ra en la tabla.

BBBBB

15 zapatos 15 30

19 manos

22 ojos

13 pies

25 orejas

Completa el siguiente registroCompleta el siguiente registroCompleta el siguiente registroCompleta el siguiente registroCompleta el siguiente registro

Número de niños Pares de: ¿Cuántos pares hay? ¿Cuántos hay portodos?

33

PParares es y y nonesnones

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42

MATEMÁTICAS

Cada equipo toma del Rincón de las matemáticas un dado

rojo y uno azul. Cada jugador hace una tabla de tres

columnas: una para el orden de las “tiradas”, una para los

puntos que se obtuvieron en cada lanzamiento y otra para el

total de puntos que se acumulan.

AAAAA

Número deNúmero deNúmero deNúmero deNúmero deTiradaTiradaTiradaTiradaTirada

Puntos que sePuntos que sePuntos que sePuntos que sePuntos que seobtuvieronobtuvieronobtuvieronobtuvieronobtuvieron

Total de puntosTotal de puntosTotal de puntosTotal de puntosTotal de puntosganadosganadosganadosganadosganados

MarioMarioMarioMarioMario

Primera 36 36

Segunda 25 6 1

Tercera 13 7 4

Cuarta 32 106

Quinta 24 130

Sexta 31 16 1

Séptima 14 175

Octava 26 201

3636363636

+ 25+ 25+ 25+ 25+ 256 16 16 16 16 1

6161616161

+ 13+ 13+ 13+ 13+ 137474747474

7474747474+ 32+ 32+ 32+ 32+ 32106106106106106

106106106106106

+ 24+ 24+ 24+ 24+ 24130130130130130

130130130130130+ 3+ 3+ 3+ 3+ 3 11111161161161161161

161161161161161+ 14+ 14+ 14+ 14+ 14175175175175175 175175175175175

+ 26+ 26+ 26+ 26+ 262020202020 11111

BBBBB

Cada punto del dado azul va

le uno y cada punt

o del dado rojo

vale 10. Por turnos lanzan los dados. Hacen la

cuenta del

total de puntos que ob

tiene cada uno

en la primera tirada y

la registran.

En la siguiente ron

da, anotan en su tabla los punt

os que

obtuvieron

y suman los puntos de la prim

era tirada y de la

segunda. Anotan el t

otal de puntos obte

nidos en la terce

ra

columna. Contin

úan hasta que uno de los niños

llegue al 200

o un poco

más.

44

Gana Gana el el queque

obtenga

obtenga primeroprimero

200 200 puntospuntos

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SEGUNDO GRADO

Más adelante, para comparar laslongitudes también pueden recurriral uso de unidades arbitrarias de me-dida, como contar cuántos pasos pue-den dar a lo largo de una distanciaseñalada, cubrirla con la “cuarta de sumano”, con lápices, varas, etcétera.

En estos casos el maestro deberápropiciar una discusión entre los alum-nos, en la que traten de explicar, consus propios argumentos, por qué cadavez que se mide el largo de un objetoo una distancia con diferentes unida-des de medida los resultados varían.

Si los alumnos no logran captar quelos resultados difieren porque los ob-jetos que utilizaron para medir no tie-nen la misma longitud, el maestro lodeberá hacer notar.

Posteriormente, se sugiere que elmaestro enfrente a los alumnos a si-tuaciones de medición y reproducciónde distancias equivalentes y a situa-ciones en las que primero estimen lamedida (como cuántas veces creen quecabe una unidad arbitraria de medidaen caminos rectos y curvos) y despuésverifiquen sus estimaciones, midien-do directamente con la unidad prees-tablecida (véanse, por ejemplo, laslecciones 9, 13 y 19, pp. 18, 24 y 31).

La introducción de situaciones demedición de longitudes curvas favo-rece que los alumnos empiecen a re-flexionar sobre la necesidad de utilizarunidades arbitrarias de medida másadecuadas para medir este tipo de lon-gitudes. Por ejemplo, un pedazo decordón, de mecate, etcétera.

Juan

Fra

nci

sco

Río

s

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MATEMÁTICAS

portante que las lleven a cabo paradesarrollar la noción de longitud y deunidad de medida, así como para de-sarrollar la habilidad para estimar lamedida de longitudes (véase la página55 de este libro).

Medición de superficies

Es necesario que el maestro tome encuenta que, por lo general, los alum-nos de este grado todavía no son con-servadores de área, es decir, conside-ran que el tamaño de una superficieaumenta o disminuye cuando éstacambia de forma o se corta. Por ejem-plo: si se construyen dos rectángulosdiferentes, como los que se muestranabajo, con una misma cantidad defiguras iguales, los alumnos puedenpensar que la superficie del rectángu-lo A es más grande porque es másancho y que la superficie del rectán-gulo B es más chica porque es más“flaquito”.

Si a dos niños (A y B) se les entregaun “pastel”, representado por unahoja de papel, igual en forma y tama-ño, y B corta el suyo en varios peda-zos, algunos niños pueden pensar queB tiene más pastel que A, porque Btiene más pedazos o que A tiene más

Otras situaciones de medición nece-sarias para favorecer el desarrollo delas nociones de longitud y de unidadde medida son aquéllas en las que losalumnos estiman la longitud de unobjeto, tomando en cuenta el tamañode la unidad con la que se va a medir.Por ejemplo: corten un pedazo de cor-dón que mida 6 lápices como éste (sólose muestra el lápiz). Después, midenel pedazo de cordón que cortaron, conel lápiz mostrado, para ver si estima-ron bien la longitud.

En segundo grado también se pro-pone el planteamiento de actividadesde medición del contorno de figuras,mediante el conteo de las unidadesarbitrarias de medida con las que es-tán formadas (véase, por ejemplo, lalección 41, p. 65). El propósito de estasactividades es que los alumnos inicienun trabajo de reflexión sobre la nociónde perímetro, que se trabajará de ma-nera formal en grados posteriores.

Además, con el propósito de que losalumnos se familiaricen con los instru-mentos de medición convencionales(la regla graduada) y comprendan lasventajas de utilizar una unidad demedida graduada con unidades máschicas para aproximarse mejor a lamedida de una longitud, se proponeque en este grado los alumnos cons-truyan una “regla” con dos unidadesarbitrarias de medida y que la utilicenpara medir longitudes (véase, porejemplo, la lección 98, p. 149).

Probablemente, en las primeras si-tuaciones de medición que se propon-gan los alumnos tendrán dificultadpara realizarlas, sin embargo, es im-

A

B

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SEGUNDO GRADO

“pastel” que B, porque su pastel no seha cortado.

Es importante que el maestro tomeen cuenta que las respuestas “erró-neas” que manifiestan los alumnosfrente a las experiencias de compara-ción de superficies corresponden a laetapa de su desarrollo y no a “falta deatención”. Con el tiempo y la expe-riencia, los alumnos comprenderánque el tamaño de una superficie no semodifica si ésta únicamente se corta ocambia de forma.

Los niños logran ser conservadoresde área a lo largo de la primaria. Sinembargo, en la escuela deben propo-nerse actividades que enfrenten a losniños, desde los primeros grados, aexperiencias que les sean útiles paraavanzar en su desarrollo.

Se sugiere que las primeras situa-ciones con las que se trabaje la nociónde superficie sean actividades de com-paración directa, mediante la super-posición de figuras, como las que seproponen para el primer grado.

Como los alumnos de este grado to-davía tienen dificultades para com-parar superficies mediante el recorte y

la compensación es recomendable quelas figuras que se comparen se conten-gan entre sí, es decir, que una figuraquepa totalmente en la otra (véase, porejemplo, la lección 14, p. 25).

Finalmente, se sugiere que los alum-nos empiecen a recurrir al uso de uni-dades arbitrarias de medida paracomparar superficies a través de lamedición. Es decir, tendrán que cons-truir o recubrir superficies con figurasiguales en forma y tamaño, contar cuán-tas figuras ocuparon para construirlaso para cubrirlas y así poder determinarcuál es más grande, a través de la com-paración de los resultados de la cuan-tificación (véanse, por ejemplo, laslecciones 37 y 92, pp. 58 y 140).

Para enriquecer el aprendizaje delas nociones de longitud y de superfi-cie se propone realizar actividades quepermitan que el alumno empiece areflexionar sobre si existe o no algunarelación entre el tamaño del contornode las figuras (perímetro) y la medidade su superficie (área) (véase, por ejem-plo, la lección 41, p. 65).

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A

B

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MATEMÁTICAS

que el nivel del líquido sube más enuno que en otro.

También en este caso el maestrodeberá tomar en cuenta que las res-puestas “erróneas” que manifiestanlos alumnos de este grado frente a lasexperiencias de comparación de la ca-pacidad de recipientes, no se deben a“falta de atención”, simplemente co-rresponden a su etapa de desarrollo.

En segundo grado, al igual que enprimero, se propone que los alumnoscontinúen desarrollando actividadesque les permitan seguir reflexionandosobre las ideas que tienen acerca de lacapacidad de los recipientes.

El maestro deberá proveerse conanticipación de frascos, envases, bote-llas, etcétera, con formas y tamañosdiferentes. Con estos materiales elmaestro podrá plantear situaciones enlas que los alumnos anticipen a cuál deellos creen que le cabe más arena, tie-rra o agua y posteriormente verifi-quen sus anticipaciones utilizandounidades arbitrarias de medida (véa-se, por ejemplo, la lección 52, p. 80).

También puede plantearse esta mis-ma actividad a la inversa. Mostrar dos

Por ejemplo, en las figuras A, B y Cse observa que el rectángulo A y elcuadrado B tienen el mismo perímetropero la medida de sus superficies sondiferentes, en cambio, el cuadrado B yel rectángulo C tienen la misma medi-da de superficie y sus perímetros sondiferentes.

A través de estas actividades se pre-tende que los alumnos profundicen suconocimiento sobre las nociones desuperficie, de medida y de unidad demedida de superficie. Todos estos co-nocimientos se formalizarán en añosposteriores.

Medición de la capacidadde recipientes

La noción de capacidad está estre-chamente relacionada con la nociónde volumen, por lo tanto es necesa-rio que el maestro tome en cuentaque, en general, los alumnos de estegrado no son conservadores de volu-men, es decir, consideran, por ejem-plo, que una misma cantidad delíquido es mayor si se vierte en unrecipiente angosto y menor si se vier-te en un recipiente más ancho, por-

A B

C

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SEGUNDO GRADO

o tres frascos llenos de arena y pregun-tar a los alumnos cuál de los dos o tresfrascos creen que tiene más arena. Pos-teriormente, los alumnos deberán ve-rificar sus anticipaciones midiendo lacantidad de arena que contiene cadafrasco con una misma unidad arbitra-ria de medida.

Otra actividad que favorece la re-flexión sobre la noción de capacidades en la que los alumnos vierten unamisma cantidad de arena en recipien-tes con formas diferentes, y posterior-mente se les pide que expresenverbalmente si en todos esos recipien-tes hay o no la misma cantidad dearena.

Probablemente algunos alumnoscontinúen pensando que tienen másarena los recipientes más angostos,dado que en éstos el nivel de arenasube más que en los anchos; tal vezotros alumnos digan que todos tienenla misma cantidad, porque a todos lespusieron lo mismo (el mismo número

de unidades arbitrarias de medidallenas de arena). Si esto último suce-de, el maestro deberá invitar a losalumnos a buscar una manera de mos-trar a sus compañeros que lo que di-cen es cierto o falso. Si en la discusiónno logran convencerse, no se preocu-pe, con el tiempo y a través de mu-chas actividades como éstas lolograrán.

Medición del peso de objetos

Es probable que los niños de segundogrado piensen que los objetos grandespesan más que los pequeños. Es nece-sario brindar numerosas experienciasde comparación de peso entre paresde objetos que contradigan esta hipó-tesis para que los alumnos compren-dan poco a poco que el tamaño de losobjetos no es una condición que deter-mine su peso.

Es importante que en las primerasactividades los alumnos comparen

Juan

Fra

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MATEMÁTICAS

directamente el peso de los objetos alsopesarlos, es decir, al tomar un objetoen cada mano, para determinar “cuálde los dos es más pesado”.

Después de que los alumnos hanrealizado numerosas actividades decomparación directa del peso de paresde objetos deberán enfrentarse a situa-ciones en las que al sopesarlos no seafácil determinar cuál de los dos objetospesa más. En estos casos será necesa-rio utilizar un instrumento más sensi-ble que les permita determinar cuál esmás pesado. Para ello se introduce eluso de la balanza casera, construidapor los propios alumnos con ayuda desu maestro.

El trabajo con la balanza favorece elplanteamiento y resolución de diver-sos problemas, como serían: explicarel modo en que la balanza indica queun objeto pesa más que otro, anticiparhacia qué lado se inclinará la balanza osi ésta quedará en equilibrio al colocarun par de objetos en ella.

Puede suceder que al sopesar dosobjetos los alumnos consideren queuno es más pesado que el otro y, alverificar su peso colocándolos en labalanza observen que el platillo en elque colocaron el objeto consideradomás pesado queda más arriba. Es pro-bable, también, que los alumnos tra-ten de explicar este hecho argumen-tando que al ponerlo en la balanzapesa más que cuando está fuera deella, que ese platillo es más pesado queel otro, que la balanza no sirve o sim-plemente pueden declarar no saber loque sucede.

En este momento no debe esperarseque los alumnos den explicaciones “co-rrectas” ni precisas; sólo se trata de queexpresen lo que piensan y de que funda-menten sus ideas.

Más adelante, se propone iniciar eltrabajo de reflexión sobre lo que signi-fica medir el peso de los objetos ysobre la noción de unidad de medidade peso, mediante situaciones en lasque los alumnos equilibren la balanzacolocando en uno de sus platillos unobjeto y en el otro unidades arbitrariasde medida como tuercas, tornillos, cla-vos u otros objetos pequeños igualesen forma y tamaño (véase, por ejem-plo, la lección 102, p. 155).

Después, el maestro deberá conti-nuar planteando comparaciones delpeso de objetos en la balanza y buscarsituaciones interesantes, como com-parar el peso de objetos grandes quepesen menos que objetos pequeños,objetos del mismo tamaño y de la mis-ma forma cuyo peso sea diferente (ca-jas iguales rellenas con diferentesmateriales), etcétera. Esto ayudará aque los alumnos avancen en la elabo-ración de sus argumentaciones y, porende, en sus conocimientos.

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SEGUNDO GRADO

Medición del tiempo

Cuando los niños ingresan a segundogrado han desarrollado un poco mássu noción de tiempo, dado que empe-zaron a tener un contacto más estrechocon el paso del tiempo desde que estánen la escuela. Saben que a partir de queinicia el año escolar deben llegar pun-tuales a la escuela, que van de lunes aviernes y que el sábado y domingo novan; que en la escuela tienen mediahora de recreo y que este tiempo lodeben distribuir para jugar, comer sutorta, ir al baño; saben también quecada determinado tiempo van a tenerclase de educación física y que des-pués de unos meses estarán de nuevode vacaciones.

Sin embargo, estas percepciones noson suficientes para que se percaten decuánto tiempo pasa entre un evento yotro. Para favorecer el desarrollo de lanoción de tiempo en los niños de se-gundo grado se sugiere que el maestroorganice actividades en las cuales:

Reconozcan los días de la semana. Porejemplo, registren todas las activida-des realizadas durante el día y al tér-mino de la semana redacten un textoen el que digan qué actividad de lasque realizaron cada día les gustó más.

Ordenen sucesos temporalmente. Porejemplo, recorte y pegado de dibujosque tengan una secuencia temporal;ordenen textos a partir de la lectura deoraciones sueltas.

Inventen historias a partir de activida-des redactadas de manera aislada o deimágenes.

Reconozcan los meses del año medianteactividades como buscar en el calen-dario las fechas de diferentes celebra-ciones, por ejemplo, los cumpleañosde cada niño del grupo.

Registren e identifiquen sucesos recu-rrentes. Por ejemplo, contar cuántosdías pasan de lunes a lunes, de unaclase de educación física a otra; obser-var la regularidad entre los días quevan a la escuela y los que no van;buscar en el calendario días festivosque se celebran una vez al año, comoen qué día y en qué mes cae el Día dela Bandera, el Día del Trabajo, el Díade las Madres, el Día del Padre, etcé-tera (véanse, por ejemplo, las leccio-nes 40 y 65, pp. 64 y 98).

En síntesis, el conjunto de las activi-dades sobre medición que se sugierenfavorece que los alumnos desarrollensus nociones de las distintas magnitu-des y propicia la comprensión de quepara cada magnitud se requieren uni-dades de medida diferentes (véase,por ejemplo, la lección 109, p. 166).

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Fra

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50

MATEMÁTICAS

Geometría

En la propuesta actual, el estudio de lageometría va más allá del coloreado yreconocimiento del nombre de las fi-guras trazadas en el libro y de loscuerpos geométricos. Presentar las fi-guras geométricas siempre sobre pa-pel y en una misma posición provocaen muchos casos que los alumnos con-sideren que una figura se convierte enotra con sólo girarla. Por ejemplo, lamayoría de los niños, incluso en losgrados superiores, identifica al cua-drado cuando éste se apoya en uno desus lados y cree que se convierte enrombo cuando se gira y se presentaapoyado en uno de sus vértices.

Uno de los propósitos del primerciclo de la escuela primaria es que losalumnos realicen, por un lado, expe-riencias que les permitan ubicarse enel espacio a partir de sí mismos y enrelación con otros seres u objetos. Porotro lado, que aprendan a ubicar figu-ras en un plano y a la vez que avancenen el conocimiento de las figurasgeométricas reconociéndolas, no sólopor su nombre, sino a través de lareflexión sistemática sobre algunas desus propiedades geométricas, a partir

de la observación y el análisis de lasformas de su entorno y de las formasque constituyen a los diversos cuerposgeométricos.

Ubicación en el planoy en el espacio

En segundo grado, el desarrollo de laubicación espacial del alumno en rela-ción con su entorno y con otros seres uobjetos, así como la ubicación de losseres y objetos entre sí, sigue siendoun aspecto importante de la geometríaque se debe seguir trabajando.

En general los niños de este gradoutilizan cotidianamente y de maneramás adecuada las relaciones espacia-les como arriba de, abajo de, delante de,detrás de, entre, sobre, entre otras, paraubicar objetos y personas en su entor-no. Sin embargo, hay cuestiones paralos niños de esta edad que siguensiendo difíciles de entender, como ladiferencia entre a la derecha de o a laizquierda de, así como el carácter rela-tivo de las relaciones espaciales antesmencionadas.

Al realizar actividades relacionadascon estas nociones espaciales, el alum-no utilizará de manera más adecuadaestas expresiones e iniciará un trabajode representación gráfica de su entor-no, poniendo más atención a la rela-ción espacial que existe en un momentodeterminado entre otros seres u obje-tos. Para ello, se sugiere realizar activi-dades como las siguientes:

Descripción oral de la ubicación de objetosy personas. Los alumnos participarán

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SEGUNDO GRADO

en juegos en los que seguirán instruc-ciones para colocarse o para colocarobjetos en un lugar determinado, asícomo actividades en las que tengannecesidad de referir el lugar en el quese encuentran algunos objetos dentrodel salón de clases (véase, por ejem-plo, la lección 10, p. 19).

En segundo grado se trabaja demanera más sistemática la lateralidaddel alumno y la de algunos objetos,mediante actividades que le permitanreconocer su derecha y su izquierda.Por ejemplo, describir oralmente laposición de personas y objetos en rela-ción con ellos mismos y con otros ob-jetos: a mi derecha se sienta Juan; Susanaestá sentada a mi izquierda; a la derechade la muñeca..., a la izquierda de la sillaestá Vicente, etcétera (véase, por ejem-plo, la lección 46, p. 70).

Es importante destacar que las rela-ciones de lateralidad (derecha, izquier-da) existen sólo en función de losobjetos que tienen frente, como unasilla, una muñeca, una casa, etcétera.En cambio, objetos como un lápiz, unborrador, una mesa, no tienen derechani izquierda.

Ejecución e interpretación de trayectos.Los alumnos de este grado realizaránactividades en las que se desplacen deun lugar a otro a partir de consignasdadas por el maestro o por otros com-pañeros e interpretarán desplazamien-tos en un plano y los reproducirán enretículas cuadriculadas (hojas cuadri-culadas) a partir de un modelo (véase,por ejemplo, la lección 60, p. 92 y lapágina 56 de este libro).

Con respecto a la ubicación en elplano y al trabajo sobre figuras geo-métricas, en el primer ciclo se propo-ne, fundamentalmente, desarrollar lapercepción geométrica de los alum-nos mediante la interacción sistemáti-ca con las figuras geométricas. Paraello, se sugiere llevar a cabo activida-des como las que se describen:

Construcción de configuraciones geo-métricas con el tangram. En segundogrado se continúa trabajando con rom-pecabezas. Sin embargo, no aparecenlos rompecabezas clásicos, pero secontinúa reproduciendo imágenescon las piezas del tangram (cinco trián-gulos, un romboide y un cuadrado).A diferencia de los modelos de rom-pecabezas trabajados en primer gra-do, los de segundo no muestran endónde se ubican todas las piezas deltangram y el color del modelo no hace

Juan

Fra

nci

sco

Río

s

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MATEMÁTICAS

referencia a los colores de las piezas(véase, por ejemplo, la lección 1, p. 9).Además, se trabaja de manera mássistemática la transformación de unmodelo en otro, moviendo una o dospiezas (véase, por ejemplo, la lección110, p. 167).

Construcción y transformación de figu-ras. Otras actividades que se propo-nen para favorecer la observación dealgunas propiedades de las figurasgeométricas consisten en la construc-ción y transformación de figuras conel tangram y con tiras de cartón “me-cano” (véanse, por ejemplo, las leccio-nes 82 y 110, pp. 128 y 167).

Reproducción de imágenes con una figurade dos colores diferentes. En primer gra-do se propone que los alumnos reali-cen este tipo de actividades utilizando

cuadrados bicolores. En segundo gra-do sólo se cambia la forma de las pie-zas con las que se trabaja. Se sugiereque los alumnos usen una figura querepresente a una “gallina” con la cualreproduzcan diversas configuracionesgeométricas a través de la ubicaciónen el plano, colocándola en diferentesposiciones (véanse, por ejemplo, laslecciones 23 y 48, pp. 36, 74).

Reproducción de mosaicos. También sefavorece el desarrollo de la percepcióngeométrica con actividades en las quelos alumnos visualizan y construyenfiguras geométricas que se forman contriángulos (véanse, por ejemplo, laslecciones 18 y 56, pp. 30, 87).

Reproducción de figuras en retículas (cua-driculadas o punteadas). Desde primergrado se han propuesto actividades en

Juan

Fra

nci

sco

Río

s

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SEGUNDO GRADO

las que los alumnos deben reproduciruna imagen hecha con líneas horizon-tales y verticales en una retícula. Paraayudarlos en la ubicación se mostrabael inicio del trazo en la retícula en laque se iba a reproducir el dibujo. Ensegundo grado se espera que los alum-nos ya puedan ubicar por dónde pue-den empezar a trazar el dibujo, sinembargo, es probable que para algu-nos niños no sea fácil. En estos casos, elmaestro puede ayudarlos cuestionán-dolos sobre el número de cuadritosque no se utilizan a partir de una de lasesquinas de la retícula en la que está elmodelo (véase, por ejemplo, la lección56, p. 87).

En segundo grado estas actividadesse hacen más complejas al utilizar en eldibujo, además de las líneas horizon-tales y verticales, el trazo de líneasinclinadas. Otra dificultad a la que seenfrentan los niños de segundo con-siste en que la retícula en la que se vaa reproducir el modelo tiene máscuadritos que la original (véase, porejemplo, la lección 87, p. 134).

Figuras y cuerpos geométricos

Las figuras en relación con los cuerposgeométricos. En segundo grado se con-tinuará con actividades que propi-cien la observación de las figuras queconforman a los cuerpos geométricos.Se propone que identifiquen y repro-duzcan las caras de diferentes cuer-pos, que las recorten y que determi-nen cuáles figuras pertenecen a cadauno de los cuerpos geométricos (véa-se, por ejemplo, la lección 33, p. 52).Otro tipo de actividades con el mismo

propósito son aquéllas en las que losalumnos construyen de diversas ma-neras el “forro” de un cuerpo y activi-dades en las que tienen que identifi-car cuál de los forros le corresponde aun cuerpo geométrico determinado(véanse, por ejemplo, las lecciones 89y 105, pp. 136 y 160).

Clasificación de figuras y de cuerposgeométricos. Es fundamental que losalumnos continúen con la clasifica-ción de los cuerpos geométricos a par-tir de la forma de sus caras, así comoidentificando las figuras a partir desus propiedades geométricas.

Mediante la comparación de loscuerpos, los alumnos descubrirán quealgunos tienen aristas (bordes) y vérti-ces (picos); que otros cuerpos, comolas pelotas, no los tienen, y que otrossólo tienen bordes pero no vértices,como el cilindro. Descubrirán tambiénque algunos cuerpos tienen caras pla-nas y otros caras curvas.

Se recomienda que el maestro, alreferirse a la forma de las caras de los

Juan

Fra

nci

sco

Río

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MATEMÁTICAS

cuerpos, utilice desde un principio elnombre de las figuras, sin exigir que losalumnos lo hagan; poco a poco las reco-nocerán por su forma y nombre. Tam-bién es importante que ayude a losalumnos a identificar las “caras planasy caras curvas” de los cuerpos.

Los alumnos de este grado, conti-núan clasificando figuras por tama-ños, por el número de lados, por elnúmero de vértices, separando las quetienen todos sus lados rectos de lasque tienen lados curvos, las que separecen y las que no se parecen.

Aunque los niños llamen puntas oesquinas a los vértices de las figuras,conviene que el maestro utilice, demanera natural, el término correcto,señalando que estas puntas o esquinastambién se llaman vértices. Con el tiem-po los niños irán utilizando este térmi-no adecuadamente (véase la página57 de este libro).

Ejemplos de actividades en las quese trabajan algunas propiedadesgeométricas de las figuras se encuen-tran en las lecciones 4, 69 y 76, pp. 12,104 y 116.

Tratamiento de la información

El desarrollo de los contenidos de esteeje se subordina al trabajo de los otrostres ejes correspondientes al segundogrado, en el sentido de que desarro-llan la capacidad de los niños para

descifrar la información contenida enilustraciones, registros y pictogramas;o bien, la resolución e invención deproblemas a partir de la informaciónque aporta una ilustración hacen fun-cionar de manera prioritaria los conte-nidos que competen a “Los números,sus relaciones y operaciones”, a la “Me-dición” y a la “Geometría”.

Por esta razón, en 90 por ciento delas lecciones del libro de texto lasimágenes enfrentan al alumno a lanecesidad de interactuar con ellas,observarlas y analizarlas, con el obje-to de seleccionar la información per-tinente que le permita resolver tantosituaciones de medición como geo-métricas y aritméticas.

Otras actividades, como la elabora-ción e interpretación de gráficas debarras y la elaboración de tablas senci-llas (véanse, por ejemplo, las lecciones20 y 22, pp. 32 y 34) que se han plantea-do desde el primer grado, inician a losalumnos en un trabajo que permiteorganizar y analizar información demanera más eficaz para la resoluciónde cierto tipo de problemas, como or-ganizar la información obtenida enencuestas sobre preferencias por algu-nos colores o alimentos, o sobre otrascuestiones como la edad de sus com-pañeros, el número de hermanos quetiene cada uno, etcétera (véanse, porejemplo, las lecciones 27 y 108, pp. 42y 164). Estos recursos se irán formali-zando paulatinamente a lo largo de laprimaria.

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SEGUNDO GRADO

Se elaboran, para cada equipo, cuatro tiras de papel con las

siguientes medidas y los alumnos las colorean como se

indica.La tira A debe medir 4 x 60 cm (roja)

La tira B debe medir 4 x 30 cm (verde)

La tira C debe medir 4 x 15 cm (amarilla)

La tira D debe medir 4 x 7.5 cm (azul)

AAAAA

Se entregan las tiras y se pide a los alumnos que midan la

tira roja con la azul y que anoten cuántas tiras azules mide

la roja. Hacen lo mismo con

las demás tiras. Después se les

pide que elijan alguna

para medir diversas longitudes, una

s

más o menos grandes y otras pequeñas.

Al principio

tal vez los alumnos escojan la tira azul o

la

amarilla para medir longitud

es grandes. Se les hace ver que

es más fácil medir estas longitudes con

la tira verde o c

on la

roja porque son m

ás grandes y terminan más rápido.

BBBBB

CCCCC

En sesiones diferentes los alumnos continúan midiendo

longitudes con el propósito de que aprendan a seleccionar la

unidad de medida más adecuada. Posteriormente se les

plantean problemas como los siguientes:

¿Cuántas tiras azules mide la tira verde?

¿Si el largo de una vara mide 2 tiras verdes, ¿cuántas tiras

azules medirá?¿Si el largo de su banca mide 3 tiras verdes, ¿cuántas tiras

azules medirá?

55

CuCuáánto nto midemide

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MATEMÁTICAS

Se forman e

quipos d

e cinco

niños.

Cada alu

mno dibuj

a, en

hojas cu

adricula

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atro cua

drados

que midan

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ega en

un carto

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como se

muestra

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. Se indica

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treros y

los fija

de tal

manera

que, en

otras s

esiones

, pueda

n despe

garse y

coloca

rse en

otros lu

gares.

AAAAA

Se explica que acaban de hacer el plano de una colonia, que

cada cuadrado representa una manzana y los espacios que

hay entre cada cuadrado representan las calles por donde

se puede llegar a cada uno de los lugares señalados.

BBBBB

Se pide que pasen al fren

te dos representantes de cada

equipo. Un niño

lee las instrucc

iones descritas y el o

tro, con

el muñequito, recor

re sobre el plano el

camino que se le

indica. El resto del grupo se fija si las instrucc

iones son

correctas o no.

DDDDD

66

¿¿A A ddóónde nde lle

gas?llegas?

CCCCC

Cada equipo hace un mensaje en el que explique cómo llegar

de un lugar a otro. Se señala cuál será el punto de salida y

el de llegada. Para hacer más fácil la actividad se entrega a

cada equipo un muñequito de papel o de plástico.

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SEGUNDO GRADO

AAAAA

Se forman eq

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atro niño

s. Cada equipo t

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Rincón de las matem

áticas un

juego del m

aterial “Figura

s

geométric

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cuenta sus

propied

ades geom

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ra que

otro equ

ipo descu

bra cuál es.

En el mensa

je no se v

ale decir

el nombre d

e la figura.

BBBBB

Intercambian los mensajes, leen el que les tocó y buscan

entre las figuras la que cumpla con las características

descritas. Cuando la encuentren, la comparan con la que

tiene escondida el equipo que envió el mensaje. Si son iguales

se anotan los dos equipos un punto, si no, pierden.

Se repite el juego cuatro veces. Gana el equipo que haya

acumulado más puntos.

77

¿¿QuQuéé figurfigura a es?es?

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Una de las ideas conceptuales quesubyace en la propuesta actual para laenseñanza es que el proceso de apren-dizaje de los niños es evolutivo, esdecir, no todos los niños construyenlos conocimientos que se están traba-jando al mismo tiempo. Por lo tanto, esconveniente que el maestro realiceevaluaciones con grupos pequeños dealumnos (8 o 10) para apreciar con másprofundidad y detalle, de manera in-dividual, los logros y las dificultadesque se les presentan al desarrollar lasactividades. El resto del grupo, mien-tras tanto, puede ocuparse en otra ac-tividad o en alguno de los juegosmatemáticos que se sugieren.

Es recomendable que al evaluar asus alumnos, el maestro considerecuestiones como las que se plantean acontinuación:

• Las actividades que el maestro pro-ponga para evaluar deben ser seme-jantes a las que haya realizado a lolargo de cada bloque.

• Además de observar permanente-mente la participación de los alum-nos durante el desarrollo de cadabloque y de revisar sus libros y cua-dernos es importante que, periódi-camente, el maestro lleve a cabo eva-luaciones orales y escritas al términode cada bloque. Estas evaluaciones

permiten al maestro percatarse demanera más precisa sobre los cono-cimientos adquiridos por sus alum-nos y pueden servir de parámetropara observar el grado de avanceentre una evaluación y otra.

• En la evaluación oral, el maestropuede plantear situaciones que seresuelvan a través de la manipula-ción del material, conteo, cálculomental, estimaciones y verificaciónde resultados. Con estas activida-des, el maestro podrá darse cuenta silos alumnos han avanzado en suconocimiento sobre las reglas decambio del sistema decimal de nu-meración, si se saben la serie numé-rica oral, hasta qué número puedencontar con facilidad y si pueden re-solver mentalmente problemas sen-cillos de suma, de resta y de multi-plicación de dígitos.

• En la evaluación escrita, el maestropuede proponer situaciones en lasque los alumnos tengan la necesi-dad de escribir números para comu-nicar cantidades menores que 1000,resolver problemas de suma, resta ymultiplicación de dígitos, seguir se-cuencias numéricas, etcétera. De estemodo, el maestro podrá observarhasta qué número saben escribir losalumnos con facilidad, qué núme-ros se les dificultan, si pueden inter-

Recomendaciones de evaluación

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MATEMÁTICAS

pretar y utilizar los signos y símbo-los numéricos adecuadamente y quéavances han tenido en los procedi-mientos que utilizan para resolverproblemas.

• Otro aspecto importante que elmaestro debe considerar es que al-gunos de los contenidos que se tra-bajan a lo largo del curso no puedenincluirse en la evaluación final decada bloque, porque a veces no esposible realizar, en una sola sesión,todas las actividades necesarias paraevaluarlos o porque el avance de los

alumnos sobre estos contenidos sólopuede apreciarse después de untiempo mayor, es decir, después dehaberlos trabajado durante dos otres bloques.

En particular, las actividades del eje“Tratamiento de la información”, asícomo las de ubicación en el plano y enel espacio del eje “Geometría” deberánevaluarse durante su desarrollo, toman-do en cuenta la participación del alum-no, el tipo de reflexiones que expresaen la clase y el progreso que muestra alo largo de las actividades.

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Sugerencias bibliográficas para el maestro

Alarcón, Jesús, Silvestre Cárdenas, Blan-ca Parra, Juan José Rivaud, MaríaGuadalupe, Lucio y Alba Rojo, Mate-máticas 1, México, SEP/FCE, 1991.

Ávila, Alicia, Los niños también cuentan,México, SEP, 1994 (Libros del Rincón).

Baldor, Aurelio, Aritmética teórico práctico,8a ed., México, Publicaciones Cultural,1993.

Block, David, “Validación empírica delconocimiento en clase de matemáticasen la primaria”, en Cero en Conducta(25), México, 1991.

Block, David, Irma Fuenlabrada y HugoBalbuena, “Matemáticas”, en Dialogary descubrir. Manual del instructor comu-nitario. Nivel I y II (Elsie Rockwell,coord.), México, SEP/Conafe/DIE/Cinvestav, 1992.

Block, David, Irma Fuenlabrada, AliciaCarvajal y Patricia Martínez, Los núme-ros y su representación, México, 1991 (Li-bros del Rincón).

Carraher, Teresinha, En la vida diez, en laescuela cero, México, Siglo XXI, 1991.

Carrión Miranda, Vicente, “Un recursopara la enseñanza de la geometría”, enEducación Matemática (1), vol. 5, Méxi-co, 1993.

Educación y cambio, A.C., Cero en Con-ducta (4), México, 1986.

Fuenlabrada, Irma, David Block, HugoBalbuena y Alicia Carvajal, Juega y apren-de matemáticas. Propuestas para divertirse

y trabajar en el aula, México, 1991 (Librosdel Rincón).

Fuenlabrada, Irma, David Block, HugoBalbuena y J. Leove Ortega, Lo quecuentan las cuentas de multiplicar y di-vidir, México, SEP, 1993 (Libros delRincón).

Méndez Balderas, Rodolfo, “Algunas con-cepciones de los maestros en la ense-ñanza de las matemáticas”, en Cero enConducta (25), México, 1991.

Parra, Blanca, “La resolución de proble-mas en la construcción de esquemas derazonamiento”, en Educación Matemáti-ca (1), vol. 3, México, 1991.

Peltier, Marie-Lesie, “Una visión generalde la didáctica de las matemáticas enFrancia”, en Educación Matemática (2),vol. 5, México, 1993.

Polya, Georges, “Problemas”, en Educa-ción Matemática (3), vol. 3, México, 1991.

Ruiz Zúñiga, Ángel, “Las matemáticasmodernas en las Américas: filosofía deuna reforma”, en Educación Matemática(1), vol. 4, México, 1992.

SEP, Guía para el maestro. Primer grado, Méxi-co, 1992.

Tahan, Malba, El hombre que calculaba,México, SEP, 1992 (Libros del Rincón).

Zárate Salas, Eduardo, “Algunas reflexio-nes en torno a la enseñanza de la geo-metría”, en Educación Matemática (3),vol. 3, México, 1991.

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Bibliografía consultada

Block, David, Irma Fuenlabrada, HugoBalbuena y J. Leove Ortega, Lo que cuen-tan las cuentas de multiplicar y dividir,México, 1993 (Libros del Rincón).

Block, David, Irma Fuenlabrada, AliciaCarvajal y Patricia Martínez, Los núme-ros y su representación, México, SEP, 1991(Libros del Rincón).

Dávila Vega, Martha, Situaciones de repar-to: una introducción a las fracciones, tesisde licenciatura, México, UniversidadPedagógica Nacional, 1991.

Fuenlabrada, Irma, David Block, HugoBalbuena y Alicia Carvajal, Juega y apren-de matemáticas. Propuestas para divertirsey trabajar en el aula, México, SEP, 1991(Libros del Rincón).

Fuenlabrada, Irma, David Block, PatriciaMartínez y Alicia Carvajal, Propuestageneral de actividades fundamentales parala enseñanza de las matemáticas del primer

grado de educación primaria (documentointerno), México, SEP, 1993.

Rockwell, Elsie (coord.), Dialogar y des-cubrir. Manual del instructor comunita-rio. Nivel I y II, México, Conafe/DIE/Cinvestav, 1989.

—, Dialogar y descubrir. Manual del instruc-tor comunitario. Fichas. Nivel I y II, Méxi-co, Conafe/DIE/ Cinvestav, 1989.

—, Dialogar y descubrir. Manual del instruc-tor comunitario. Juegos, México, 1989.

Rockwell, Elsie, Irma Fuenlabrada, DavidBlock, Antonia Candela, Laura Navarroy Eva Taboada Libro para el maestro. Pri-mer y segundo grados, México, SEP, 1981.

—, Guía para el maestro. Segundo grado,México, SEP, 1992.

—, Propuesta curricular del proyecto Dialo-gar y descubrir para el sistema de cursoscomunitarios dependientes de Conafe/DIE/Cinvestav, México, SEP, 1992.

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El Libro para el maestro. Matemáticas.

Segundo grado

se imprimió por encargo de la

Comisión Nacional de los Libros de Texto Gratuitos,

en los talleres de ,

en el mes de de 200 .

El tiraje fue de ejemplares

más sobrantes para reposición.

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