MateDiscre_F04
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Semestre 2
Fascículo
4
MatemáticasDiscretas
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Matemáticas
dicretas Semestre 2
Matemáticas discretas
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Matemáticas discretas
Semestre 2
Tabla de contenido Página
Introducción 1Conceptos previos 1
Mapa conceptual Fascículo 4 2
Logros 2
Conjuntos y subconjuntos 3
Operaciones fundamentales con conjuntos 9
Leyes del Algebra de Conjuntos 13
Cardinalidad 17Resumen 20
Bibliografía recomendada 21
Nexo 21
Seguimiento al autoaprendizaje 23
Créditos: 3
Tipo de asignatura: Teórica – Práctico
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Matemáticas
dicretas Semestre 2
Matemáticas discretas
Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN
Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,
“Educación a Través de Escenarios Múltiples”
Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización
por escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
NICOLAS GARCIA DONCEL
Docente tutor – Programa de Ingeniería de Sistemas a Distancia.
Sede Bogotá, D.C.
Corrección de estilo
EDIEGO ORTIZ MONCADA.
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SÁENZ
ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS
Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Bogotá, D.C., Abril de 2010
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Fascículo No. 4
Semestre 2
Matemáticas discretas
CMatemática
discretas
Introducción
El concepto de conjunto, es un tema fundamental en la matemática. Se
puede considerar al conjunto como una lista, colección o clase de objetos
bien definidos, como por ejemplo el conjunto de los números primos, el
conjunto de las vocales, los empleados de un departamento, los
estudiantes de matemáticas discretas, etc.
Este tema se divide en cuatro partes, comenzamos con la conceptualiza-
ción de los conjuntos, su representación y clases de conjuntos;
posteriormente revisaremos de manera muy general las operaciones
dadas entre los conjuntos; luego nos ocuparemos de realizar algunas
demostraciones haciendo uso de las leyes de la teoría de conjuntos y,
finalizaremos con el tema de cardinalidad, como estrategia para conocer el
número de elementos que integra un conjunto.
Conceptos previos
El estudiante debe tener claro los conceptos de operaciones básicas de
los conjuntos, como la unión, la intersección, la diferencia, la diferenciasimétrica, el complemento de un conjunto y el conjunto universal.
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
Mapa conceptual del Fascículo 4
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capacidadde:
Conceptualizar las diferentes clases de conjuntos y sus operacionesbásicas.
Utilizar las leyes para realizar demostraciones directas entre las operacionesbásicas de los conjuntos.
Utilizar la cuantificación para la solución de problemas entre conjuntos.
LogrosLogrosLogros
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
Conjuntos y subconjuntos.
Un conjunto es una colección de datos bien definidos, ejemplo:
1.
El conjunto de los números 2, 4, 6, 8, 10.2. Las soluciones de la ecuación: .
3. El conjunto de las vocales del nuestro abecedario.
4. El conjunto de todas las x, tales que x es un impar, en donde 1<= x <
50.
5. El conjunto de las capitales de Colombia.
Se puede observar, en los ejemplos anteriores, que existen dos formas de
expresar un conjunto: cuando se enumeran sus elementos, como en el
caso del ejemplo 1. y cuando se manifiestan las propiedades que tienen
sus elementos, como en el caso del ejemplo 4. El primer ejemplo se
conoce con el nombre de forma tabular o extensión y el segundo caso, por
comprensión o constructiva de un conjunto, respectivamente.
En este capítulo, representaremos los conjuntos con letras mayúsculas y
los elementos con letras minúsculas, por ejemplo, si un objeto x es un
elemento del conjunto A esto se puede expresar, de la siguiente manera:
Denotando con lo anterior que x pertenece al conjunto A. Sin embargo, si
x no perteneciera al conjunto A, esto se representaría:
Conjuntos finitos e infinitosUn conjunto es finito, si resulta sencillo contar sus elementos al terminar. Si
no fuese posible terminar el conteo se diría que se trata de un conjunto
infinito.
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
El conjunto vacío es unsubconjunto de cualquierconjunto, es decir todoconjunto lo tiene como parteintegral del mismo, siendoapropiado representarlo
como: .
En el sistema matemáticoantiguo se utilizaba el sím-
bolo para referirse a cual-
quier subconjunto ycuando se trataba de unsubconjunto propio. En el
sistema moderno seemplea para lo cualquier
subconjunto y parasubconjuntos propios
Igualdad de conjuntos.
Un conjunto es igual a otro, si ambos tienen los mismos elementos, es
decir si cada elemento que pertenece al conjunto A pertenece también a B
y si cada elemento que pertenece al conjunto B pertenece a A, y se
denota:
Conjunto vacío.
Aquel conjunto que carece de elementos, se denomina un conjunto nulo,
en este documento se utilizará un conjunto semejante llamado vacío y
representado por el símbolo:
Subconjuntos.
Cuando los elementos del conjunto A pertenecen también al conjunto B,
se dice que el conjunto A, es subconjunto del conjunto B.
Cuando decimos que los conjuntos A y B son iguales, es porque, y también se puede simbolizar:
.
En caso contrario, donde no sean iguales se simbolizaría:
ó .
Subconjunto propio.
En cuanto, B es un subconjunto propio de A sí, B es un subconjunto de A
y B no es igual a A, es decir, B es un subconjunto propio de A sí:
.Comparabilidad.
Los conjuntos A y B son comparables, siempre y cuando se puede decir
que;
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
4.1
Realice el siguiente pareo, ubicando en el espacio del centro la letra quecorresponda a la definición o concepto de la derecha.
1. ( _) a. Los conjuntos soncomparables.
2. (_ ) b. El conjunto estáexpresado porextensión.
3. (_) c. El conjunto A es unSubconjunto de B.
4. Sea Z+ el conjunto de los números enteros positivos. (_) d. El conjunto estáexpresado porcomprensión.
5. Sea D el conjunto de los días de la Semana. (_) e. Un conjunto nopertenece a otro, sonlos elementos los quepertenecen a losconjuntos.
6. Sea: y (_) f. Es un conjunto vacío.
7. Sea: (_) g. Es un conjunto finito.
8. Sí (_) h. Son conjuntos iguales.
9. Sí (_) i. Es un conjunto infinito.
Conjunto universal.
En la teoría de conjuntos todos los conjuntos considerados son,
probablemente, subconjuntos de un mismo conjunto dado, el cual se
conoce con el nombre de Conjunto Universal o el Universo del Discurso y
se denota por el símbolo:
.
Conjunto potencia.
Algunas veces, se encuentra que los elementos de un conjunto son a su
vez conjuntos, esto se conoce con el nombre de familia de conjuntos o
clase de conjuntos, éste es el caso del conjunto potencia el cual reúne
todos los posibles subconjuntos de un conjunto finito dado y se denota por
el símbolo: . Ejemplo:
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
El número de elementos delconjunto potencia de A,está dado por la fórmula 2n,
en donde n es el número deelementos del conjunto A.
Sea el conjunto finito el conjunto potencia del conjunto A es:
El número de elementos que puede contener el conjunto potenciade un conjunto finito A, está dado por la fórmula de 2n, en donde n corresponde al número de elementos que tiene el conjunto finito A.
Conjuntos disyuntos.
Sí dos conjuntos finitos no tienen los mismos elementos, es decir, que los
conjuntos A y B no tienen ningún elemento común, se dice entonces que
los conjuntos A y B son disyuntos.
Particiones.
Dada una familia no vacía de subconjuntos
del conjunto A, es una partición de A sí se
cumple con:
i. ii. Para cualesquiera , , o bien , o bien , en
otras palabras y son disyuntos.
Ejemplo:
Considere , las siguientes pueden ser particiones
del conjunto A:
1. 2. 3.
Como se puede apreciar los tres ejemplos anteriores, cumplen con ser
particiones del conjunto A, puesto que en primera instancia todos los
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Matemáticas discretas
Matemáticas
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Fascículo No. 4
Semestre 2
A
B
A
B
elementos del conjunto A, se encuentran en la partición y en segunda
instancia, los subconjuntos que conforman la partición son disyuntos.
Producto cartesiano.
Sea los conjuntos y , al conjunto resultante entre
AxB se le conoce con el nombre de producto cartesiano y se caracteriza
por ser un conjunto de parejas ordenadas, tal como se muestra a
continuación:
Representación gráfica de los conjuntos.
La representación de las relaciones entre conjuntos, utilizando los
Diagramas de Venn-Euler , resulta ser muy sencilla, tal como se muestra a
continuación:
1. Sea la representación de y , en el diagrama siguiente:
2. La representación de la no comparabilidad de A y B:
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Fascículo No. 4
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A B
3. La representación de dos conjuntos disyuntos:
Otra forma de representar las relaciones que se dan entre los conjuntos,
son los conocidos Diagramas Lineales. A continuación se puede ver su
aplicación:
1. Para representar la relación , a través de un diagrama lineal
sería:
2. Sean los conjuntos , y
, se puede deducir que y que ,
representando esta relación se tiene:
4.2
1. El estudiante debe dibujar el diagrama lineal correspondiente a lafigura siguiente, conforme a las propiedades de los conjuntos, allí representados.:
B
A
A
CB
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A
B
CD
A B
2. Sea los conjuntos ,
, , , .3. El estudiante debe realizar el diagrama lineal correspondiente.
Operaciones fundamentales de conjuntos.
Las operaciones que se pueden dar entre los conjuntos son la unión,
intersección y diferencia.
Unión
La unión de dos conjuntos, consiste en la agrupación de los elementos
que pertenecen a ambos conjuntos.
Ejemplo:
Sea
y
La unión de los conjuntos A y B, representada por , es:
La representación gráfica, utilizando el Diagrama de Venn, corresponde ala selección de los dos conjuntos centro:
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A
B
Intersección
La intersección de dos conjuntos, está dada por los elementos que son
comunes entre los conjuntos.
Ejemplo:
Sea
y
La intersección de los conjuntos A y B, representada por , es:
La representación gráfica, utilizando el Diagrama de Venn, corresponde al
área que se encuentra rayada (centro):
Diferencia
La diferencia de dos conjuntos A y B se forma con los elementos que estén
en A y que no se encuentren en B.
Ejemplo:
Sea
y
La diferencia de los conjuntos A y B, representada por , es:
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Fascículo No. 4
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A
B
A
B
La representación gráfica, utilizando el Diagrama de Venn, corresponde al
área que se encuentra rayada:
Diferencia simétrica
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A ó B, pero no pertenecen a ambos
conjuntos.
Ejemplo:
Sea
y
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, representada por ,
es:
La representación gráfica, utilizando el Diagrama de Venn, corresponde al
área que se encuentra rayada:
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A
B
Complemento
El complemento del conjunto A, es el conjunto de los elementos que no
pertenecen al conjunto A.
Ejemplo:
Sea el conjunto , si consideramos el conjunto universal
como el abecedario, el complemento de A, representado: , es:
La representación gráfica, utilizando el Diagrama de Venn, corresponde al
área que se encuentra rayada:
Referente a las operaciones dadas entre los conjuntos se tienelas siguientes observaciones:
La unión de dos conjuntos se puede expresar de las dosformas siguientes:
La intersección de dos conjuntos se puede expresar de las
siguientes formas: El conjunto resultante de la Intersección es subconjunto del
conjunto A o B:
El conjunto A contiene al conjunto : La unión entre el conjunto A y su complemento A’, es el
conjunto Universal.
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Fascículo No. 4
Semestre 2
4.3
1. Utilizando diagramas de Venn, represente elestudiante debe:
2. Hacer un diagrama de Venn, con los conjuntos finitos A y B de modoque tengan las siguientes características:
a. b. 3. En el siguiente diagrama de Venn, resalte el área que corresponda a
las siguientes operaciones:
a. b. c. d. e. f.
Leyes del álgebra de conjuntos
Con base en la relación de orden , la comparabilidad entre
conjuntos, y en las operaciones se puede formar un álgebra
de conjuntos.
Descripción Leyes Diagrama de Venn
1. Ley de Idempotencia a.
b.
2. Ley Asociativa a.
b.
A
B
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3. Ley Conmutativa a.
b.
4. Ley Distributiva a.
b.
5. Ley de Identidad a.
b.
c.
d. 6. Ley del Complemento a.
b. c.
d. 7. Ley de Morgan a.
b.
8. Ley de Absorción a.
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b.
Ejemplos:
1. Demuestre la siguiente igualdad:
Proposición Razón
= Ley Conmutativa
= Ley Distributiva
= Ley Conmutativa
2. Demostrar .
Proposición Razón
= Ley Distributiva
= Ley del Complemento
= Ley de Identidad
3. Demostrar: Sí , entonces
Proposición Razón
= Ley de Identidad
= Hipótesis del problema
= Se sustituye en por la
hipótesis del problema
= Ley Distributiva
= Ley del Complemento
= Ley de IdentidadDefinición de Subconjunto
Como en el ejemplo anterior, se puede hacer uso de las definiciones de
subconjuntos y de las operaciones entre conjuntos para realizar ciertas
demostraciones, como en el siguiente ejemplo:
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Matemáticas discretas
Matemáticas
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Fascículo No. 4
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Demostrar: , las razones en esta
demostración se apoyan en las definiciones conceptuales de las
operaciones, expresadas anteriormente.
=======
La anterior demostración, permite establecer la relación que existe entre la
lógica y la teoría de conjuntos. En la siguiente tabla, se muestran las
relaciones entre sus términos de enlace, vistos en el Fascículo 1 y los
símbolos de las operaciones entre conjuntos:
Teoría de Conjuntos Proposiciones
Conforme a la tabla anterior, podemos establecer las siguientes relaciones,
teniendo en cuenta estas proposiciones:
P= ser un elemento del conjunto A
q= ser un elemento del conjunto B
4.4
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Matemáticas discretas
Matemáticas
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Fascículo No. 4
Semestre 2
El estudiante debe realizar las siguientes demostraciones, utilizando elálgebra de conjuntos o las definiciones de las operaciones entreconjuntos, según sea el caso. Indique cual es la razón (ley utilizada) en
cada uno de los pasos:
1. 2. 3. 4.
Cardinalidad.
Sea el conjunto A, conformado por tres elementos: . En la
teoría de conjuntos se involucra el concepto cardinal del conjunto, el cual
se refiere a conocer el número de elementos que conforma un conjunto.
Es por eso, que el cardinal del conjunto A se representa por: y
equivale a 3, en este caso. En el presente documento, utilizaremos la
simbología , para hacer referencia a la cardinalidad de un conjunto.
Ejemplo:
1. Sean los conjuntos , y
:
a. n(A) = 5
b. n(B) = 6
c. n(C) = 7
d. e. f. g. h. i. j.
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
Consideremos dos conjuntos finitos A y B, para calcular la cardinalidad de
su unión estaría dada por:
De ahí, que en el ejemplo 1. la cardinalidad de . Analizando
esta respuesta se tiene que la cardinalidad del conjunto A es 5 y la
cardinalidad del conjunto B es 6, lo que supondría una cardinalidad total
de 11 elementos, pero debemos considerar que los conjuntos A y B tienen
elementos comunes, en este caso son dos (2) elementos, lo que podemos
apreciar con la cardinalidad de ; es por esa razón, que se tiene
que restar la cardinalidad de su intersección. Veamos la representación delnúmero de elementos en este análisis, a través de un diagrama de Venn.
Observando el diagrama de Venn, inmediatamente anterior, se observa
que se debe ubicar en primera instancia la cardinalidad de las
intersecciones y luego la cardinalidad de cada conjunto. Si se suma la
cardinalidad de la intersección y la del conjunto, nos dará la cardinalidad
total para cada conjunto, por separado.
Qué tal si ahora, tuviéramos que calcular la cardinalidad de: .Para ello consideremos el ejemplo 1. del tema de cardinalidad:
Sean los conjuntos: , y
:
A B
23 4
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
A B
12 2
1
2
3
1
C
Las cardinalidades respectivas son: n(A) = 5, n(B) = 6, n(C) = 7,
, , , ya pudimos apreciar, que a la
suma de las cardinalidades individuales se les resta las cardinalidades de
sus intersecciones, pero en este caso como se trata de tres conjuntos, los
cuales probablemente tienen elementos en común, al final de la fórmula se
debe sumar la cardinalidad de la intersección de los tres conjuntos, puesto
que este elemento nos hará falta, veamos cómo sería:
Volviendo a los conjuntos, de éste ejemplo, se observa que el elemento 4.
se encuentra en todos los conjuntos, significando que la ,
ahora sí reemplacemos estos valores en la fórmula anterior:
Gráficamente sería:
Tal como se explicó anteriormente, la forma de ubicar las cardinalidades,
en el diagrama, se debe realizar de adentro hacia afuera, es decir primero
se ubica la cardinalidad de la intersección de los tres conjuntos, luego las
cardinalidades de la intersección de los dos conjuntos y finalmente, las
cardinalidades individuales.
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
4.5
El estudiante debe resolver los siguientes problemas y realizar larepresentación gráfica de la solución:
1. Una encuesta de 500 televidentes dio como resultado la siguienteinformación: 285 veían juegos de fútbol; 195, novelas; 115, películas;45 seguían los juegos de fútbol y novelas; 70 preferían los juegos defútbol y las películas; 50 observaban novelas y películas, y 50 noveían televisión. ¿Cuántos televidentes observan los tres tipos deprogramas (fútbol, películas y novelas)?
2. En una encuesta de 60 personas, se encontró que 25 leen elTiempo, 26 leen la Prensa y 26 leen el Espacio. También 9 leentanto el Tiempo como la Prensa, 11 leen tanto el Tiempo como elEspacio, 8 leen tanto la Prensa como el Espacio y 8 no leen
ninguno de los tres periódicos.
a. ¿Cuántas personas leen los tres periódicos?b. Determine el número de personas, que exactamente leen un
periódico.
En este fascículo se trabajó la teoría de conjuntos, en los aspectos
relacionados con su conceptualización, tipos de conjuntos, familias deconjuntos. Luego se realizaron las operaciones entre conjuntos, como la
unión la intersección, la diferencia, diferencia simétrica y complemento.
El álgebra de conjuntos, jugó un papel fundamental en la demostración
sobre operaciones con el apoyo de las leyes de la teoría de conjuntos y las
definiciones de las operaciones básicas entre los conjuntos.
La representación gráfica de las operaciones de los conjuntos, diagramas
de Venn y diagramas lineales, son un elemento de ayuda visual, que
contribuye al mejor entendimiento de las operaciones y la comparabilidad
de los conjuntos.
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
Finalmente, se trabajaron elementos importantes que permiten resolver
problemas que tienen que ver con conteo. La cardinalidad ayuda a la
solución de este tipo de problemas.
BARCO G. Carlos, Barco G. Germán. Matemática Digital. Colombia
Editorial McGraw Hill. 2001.
GRASSMANN, Winfried Karl y Tremblay, Jean Paul, Matemática discreta y
lógica. Una perspectiva desde la Ciencia de la Computación. España:
Editorial Prentice hall. 1998.ROSS, K. – Wright, Ch. Matemáticas Discretas 2a. edición. México: Editorial
Prentice Hall. 1990.
RALPH P. Gimaldi. Matemáticas Discretas y combinatorias. 3ª edición.
México. Editorial Prentice Hall. 1998.
Se ha utilizado la teoría de conjuntos para su aplicación en problemas de
conteo. En el próximo fascículo trataremos los principios fundamentales
del conteo.
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Matemáticas discretas
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje
Matemáticas discretas - Fascículo No. 4
Nombre_______________________________________________________
Apellidos ________________________________ Fecha: _________________
Ciudad___________________________________Semestre: _______________
1. Dados los conjuntos A y B no comparables, construir el diagrama lineal de los
conjuntos A, B, (A – B), (B – A), y el .
2. Hacer un diagrama de Venn, con los conjuntos A, B y C que tengan lassiguientes características:
a. b. c. d.
3. Dado los siguientes conjuntos , el estudiante debe decir:
a. Si son Iguales ¿por qué?_________________________________b. Y Diferentes ¿por qué?_______________________________c. Y si son mutuamente subconjuntos por qué? ______________
4. Sea A={x | 2x = 6} y b=3, entonces ¿b = A? Verdadero ____ Falso_____Observaciones: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. ¿Cuáles conjuntos son iguales?
a. {x | x es una letra en la palabra “tocata”} b. Las letras de la palabra “tacto” c. {x | x es una letra de la palabra “cota”} d. Las letras a, c, o, t.
6. Dado A={1,2,3,4}, ¿cuántos subconjuntos se podrían conformar del conjunto A?
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Matemáticas discretas
Matemáticas
discretas
Fascículo No. 4
Semestre 2
7. Dado los siguientes conjuntos:
, A={1}, B={1,3}, C={1, 5, 9}, D={1, 2, 3, 4, 5}, E={1, 3, 5, 7, 9},U={1, 2, 3, ,4, 5, 6,7, 8, 9}
Inserte el símbolo correcto , , entre cada pareja de conjuntos:
a. __ A b. A__ B c. B__ C d. B__Ee. C __ D f. C__ E g. D__ E h. D__U
8. Dado A={1,2,3,}, B={a, b, c} y C={x, y}; Encuentre AxBxC
9. Dado X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}, determine cuáles de los siguientes sonparticiones de X:
a. [{1, 3, 6}, {2, 8}, {5, 7, 9}]b. [{1, 5, 7}, {2, 4, 8, 9}, {3, 5, 6}]c. [{2, 4, 5, 8}, {1, 9}, {3, 6, 7}]
d. [{1, 2, 7}, {4, 6, 8, 9}, {3,5}]
10. Demuestre:
11. En una encuesta realizada a 120 pasajeros, una línea aérea descubrió que a48 les gustaba el vino (V) con sus alimentos, a 78 les gustaban las bebidaspreparadas (P) y a 66 el té helado (T). Además, a 36 les gustaba cualquierpar de estas bebidas y a 24 pasajeros les gustaba todo. ¿Cuántos pasajerostoman exactamente una sola bebida?