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MatematicasResumen de la teorıa

Grado en Administracion y Direccion de EmpresasGrado en Economıa

Curso 2018/19

Departamento de Estadıstica, Informatica y MatematicasUniversidad Publica de Navarra

Indice

I CALCULO MATRICIAL 4

1. Operaciones con matrices 4

1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Matriz traspuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Producto de un numero por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Matriz inversa 8

2.1. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Transformaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. Metodo de Gauss para el calculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Potencias de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Determinantes 11

3.1. Obtencion del determinante de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Determinantes y matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Sistemas de ecuaciones lineales 14

4.1. Definicion y conceptos asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2. Discusion y resolucion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

II CALCULO DIFERENCIAL 18

5. Funciones reales, lımites y continuidad 18

5.1. La recta real y el espacio de n dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.3. Lımite de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.4. Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6. Derivacion de funciones de una variable 27

6.1. Tasa de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2. Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3. Funcion derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.4. Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7. Derivacion de funciones de varias variables 30

7.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2. Elasticidad parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.3. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8. Funciones homogeneas 32

8.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III OPTIMIZACION 34

9. Optimizacion de funciones de una variable 34

9.1. Creciemiento y decrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.2. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.3. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.Optimizacion de funciones de varias variables 38

10.1. Optimizacion de funciones de varias variables, sin restricciones . . . . . . . 38

10.2. Optimizacion con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

IV CALCULO INTEGRAL 47

11.Integral indefinida 47

11.1. Primitivas e integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11.2. Integracion por sustitucion o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . 49

Departamento: EIM 2 Universidad Publica de Navarra

11.3. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

12.Integral definida 50

12.1. Sumas superiores e inferiores, concepto de integral definida . . . . . . . . . 50

12.2. Medida de areas y otras propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . 51

12.3. Valor medio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


Parte I

CALCULO MATRICIAL

1. Operaciones con matrices

1.1. Matrices

1.1.1 Definicion. Una matriz real es una tabla de numeros reales dispuestos en forma rec-tangular. Las hileras horizontales se denominan filas de la matriz y las verticales columnas.Si la matriz tiene m filas y n columnas se dice que es de orden m× n.

1.1.2 Ejemplo. La siguiente es una matriz de orden 3× 4: 0 1 1 52 1 −1 11 2 2 11

1.1.3 Notacion. Habitualmente las matrices se simbolizan con letras mayusculas y losnumeros que la forman (llamados elementos o terminos de la matriz) con la misma letra,pero en minuscula. Al simbolizar los terminos, la letra utilizada se acompana de dossubındices, el primero indica la fila en la que se situa el elemento y el segundo la columna.Ası, el termino que se situa en la fila generica i y la columna generica j de una matrizA se simboliza aij. Este es el llamado termino general de la matriz. La propia matriz Apuede expresarse A = (aij). En resumen:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .am1 am2 . . . amn

= (aij)

1.1.4 Definicion. Una matriz se dice cuadrada si tiene el mismo numero de filas y co-lumnas.

1.1.5 Ejemplo. Matriz cuadrada de orden 2:(3 −51 7

)1.1.6 Definicion. Una matriz fila (o vector fila) es una matriz con una sola fila.

1.1.7 Ejemplo. Matriz fila de orden 4:(1 8 2 2

)1.1.8 Definicion. Una matriz columna (o vector columna) es una matriz con una solacolumna.

1.1.9 Ejemplo. Matriz columna de orden 3: 352


1.1.10 Definicion. La diagonal principal de una matriz (normalmente cuadrada) es elconjunto de sus terminos de la forma aii, esto es, los que tienen igual ındice de fila y decolumna.

1.1.11 Ejemplo. En la siguiente matriz, cuadrada de orden 4, se han destacado en negritalos elementos de la diagonal principal:

4 1 1 52 7 1 07 2 2 31 3 5 3

1.1.12 Definicion. Una matriz cuadrada se dice triangular superior si todos los terminossituados bajo la diagonal principal son cero. Analogamente, se dice triangular inferior si losterminos sobre la diagonal principal son cero.

1.1.13 Ejemplo. La matriz A es triangular superior y la B triangular inferior:

A =

4 1 1 50 7 1 00 0 2 30 0 0 3

B =

4 0 0 02 7 0 07 2 2 01 3 5 3

1.1.14 Definicion. Una matriz cuadrada se dice diagonal si todos los terminos situadosbajo y sobre la diagonal principal son cero.

1.1.15 Ejemplo. Matriz diagonal de orden 4:4 0 0 00 7 0 00 0 2 00 0 0 3

1.2. Matriz traspuesta

1.2.1 Definicion. Dada una matriz A de orden m × n, se llama traspuesta de A, y sedenota At, a la matriz de orden n×m que resulta de intercambiar filas por columnas enla matriz original. Es decir, el elemento en la fila i, columna j de la matriz traspuesta esel elemento aji de la matriz A original.

1.2.2 Ejemplo. (1 2 34 5 6

)t

=

1 42 53 6

1.2.3 Proposicion. Para cualquier matriz A se satisface: (At)t = A.

1.2.4 Ejemplo.

(1 2 34 5 6

)t

=

1 42 53 6

→

1 42 53 6

t

=

(1 2 34 5 6

)


1.2.5 Definicion. Una matriz A se dice simetrica si coincide con su traspuesta. (Portanto, A debe ser cuadrada).

A simetrica ⇔ A = At

1.2.6 Ejemplo. 1 7 −1 07 −3 2 9−1 2 4 0

0 9 0 5

1.3. Suma de matrices

1.3.1 Definicion. Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) del mismo orden m× n, susuma es otra matriz S de orden m× n, definida:

S = A+B = (aij + bij)

Esto es, para obtener el termino sij de la matriz suma, se suman los terminos de lasmatrices A y B situados en la misma posicion.

1.3.2 Ejemplo.(3 −3 0−2 6 5

)+

(−1 1 2−2 1 −4

)=

(2 −2 2−4 7 1

)1.3.3 Proposicion. Se satisfacen las siguientes propiedades:

• La suma de matrices es conmutativa: dadas A y B del mismo orden, A+B = B+A.

• La suma de matrices es asociativa: dadas A, B y C del mismo orden, (A+B) +C =A + (B + C). Esto permite escribir A + B + C, sin necesidad de parentesis, puestoque no hay lugar a confusion.

• Para matrices cualesquiera A y B del mismo orden, se cumple: (A+B)t = At +Bt.

1.3.4 Definicion. Se llama matriz nula a la matriz cuyos elementos son todos iguales acero. La simbolizaremos (0). Notese que hay matriz nula para cada posible orden m× n.

1.3.5 Proposicion. Para cualquier matriz A, la matriz nula del mismo orden que Asatisface A+ (0) = A.

1.3.6 Definicion. Dada una matriz A, se llama opuesta de A a otra matriz del mismoorden que A, simbolizada −A, cuyos elementos son los opuestos de la matriz A.

A = (aij) ⇔ −A = (−aij)

1.3.7 Proposicion. Toda matriz A cumple A+ (−A) = (0).

1.3.8 Observacion. Dadas dos matrices A y B del mismo orden, expresamos comodiferencia A−B de matrices la suma A+ (−B). Con otras palabras, la diferencia A−Bse obtiene sumando a la matriz A la opuesta de la matriz B.


1.4. Producto de un numero por una matriz

1.4.1 Definicion. El producto de un numero k ∈ R por una matriz A = (aij) es otramatriz R, del mismo orden que A, definida:

R = k A = (k aij)

Esto es, para obtener el termino rij del resultado, se multiplica por el numero k el terminoaij de la matriz A. De otra forma, una matriz A queda multiplicada por un numero kcuando todos los terminos de la matriz A se multiplican por dicho numero k.

1.4.2 Ejemplo.

4 ·(

3 −3 0−2 6 5

)=

(12 −12 0−8 24 20

)1.4.3 Proposicion. Siendo k y r numeros reales cualesquiera y A y B matrices del mismoorden se satisfacen las siguientes igualdades:

• k(A+B) = kA+ kB.

• (k + r)A = kA+ rA.

• k(rA) = (kr)A.

• 1A = A, 0A = (0), −1A = −A.

• (kA)t = kAt.

1.5. Producto de matrices

1.5.1 Definicion. Dadas dos matrices A de orden m×n y B de orden n× p, el productoAB de ambas matrices es otra matriz C de orden m× p definida por:

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

Esto es, el elemento cij del resultado se obtiene multiplicando los elementos de la fila i deA por los elementos de la columna j de B, y sumando todos estos productos.

1.5.2 Ejemplo. (1 10 2

)(1 2 3−1 0 1

)=

(0 2 4−2 0 2

)1.5.3 Proposicion. Dado un numero real cualquiera k y matrices A, B y C cualesquiera(con ordenes adecuados para realizar los productos que aparecen), se satisface:

• (AB)C = A(BC).

• A(B + C) = AB + AC, (A+B)C = AC +BC.

• k(AB) = (kA)B = A(kB).

• (AB)t = BtAt.

• A(0) = (0), (0)A = (0).

1.5.4 Observacion. El producto AB de dos matrices puede ser (0) incluso siendo A 6= (0)y B 6= (0).


1.5.5 Definicion. Se llama matriz identidad (o matriz unidad) de orden n a la matrizcuadrada In (o simplemente I) con 1 en la diagonal principal y 0 en las demas posiciones:

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0. . .0 0 . . . 1

1.5.6 Proposicion. Para toda matriz A de orden m×n se satisface AIn = A, ImA = A.Si A es cuadrada (sobreentendemos los ordenes): AI = IA = A.

1.5.7 Observacion. El producto de matrices no es, en general, conmutativo. Es decir,dadas matrices A y B puede ocurrir que AB 6= BA.

• Si A es de orden m × n y B de orden n × p, con m 6= p, el producto AB puederealizarse, pero no es posible BA.

• Si A es de orden m × n y B de orden n ×m, con m 6= n, se podran realizar ambosproductos, pero los resultados no pueden coincidir, porque son de ordenes diferentes:AB es cuadrada de orden m, mientras que BA es cuadrada de orden n.

• Para que ambos productos sean posibles, con resultados del mismo orden, sera ne-cesario que A y B sean cuadradas del mismo orden. Incluso ası, puede ocurrir queAB 6= BA.

1.5.8 Ejemplo.(1 11 0

)·(

1 23 4

)=

(4 61 2

)6=

(1 23 4

)·(

1 11 0

)=

(3 17 3

)1.5.9 Definicion. Dos matrices A y B cuadradas del mismo orden se dice que conmutano que permutan cuando para ellas es cierta la igualdad AB = BA.

1.5.10 Ejemplo.(1 11 0

)·(

5 33 2

)=

(5 33 2

)·(

1 11 0

)=

(8 55 3

)

2. Matriz inversa

2.1. Matrices invertibles

2.1.1 Definicion. Una matriz cuadrada A se dice invertible o regular o no singular si existeotra matriz, llamada inversa de A y denotada A−1 tal que AA−1 = A−1A = I.

2.1.2 Ejemplo. La matriz A =

(2 11 1

)es invertible. Su inversa es la matriz

A−1 =

(1 −1−1 2

)2.1.3 Proposicion. Se satisfacen las siguientes propiedades:

• La inversa de una matriz, si existe, es unica.


• Si A−1 es inversa de A por la izquierda (resp. por la derecha), la misma A−1 es inversade A por la derecha (resp. por la izquierda).

• Si A es invertible, su matriz inversa A−1 tambien lo es, con (A−1)−1 = A.

• Si A es invertible, su matriz traspuesta tambien lo es, con (At)−1 = (A−1)t.

• Si A es invertible y k un numero real distinto de cero, entonces kA tambien esinvertible, con (kA)−1 = k−1A−1.

• Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden invertibles, su producto tambienlo es, con (AB)−1 = B−1A−1.

2.2. Transformaciones elementales

2.2.1 Definicion. Se llama transformacion elemental de una matriz (cuadrada o no) acualquiera de las siguientes:

• Intercambiar la posicion de dos filas.

• Multiplicar una fila por un numero real distinto de cero.

• Sumar a una fila un multiplo de otra fila diferente.

2.2.2 Observacion. Tambien pueden realizarse transformaciones elementales ((para co-lumnas)), pero en la practica es suficiente considerar las mencionadas ((para filas)).

2.3. Metodo de Gauss para el calculo de la matriz inversa

2.3.1 Proposicion. Una matriz cuadrada A es invertible si y solo mediante transforma-ciones elementales puede alcanzarse desde la matriz A la matriz identidad. Ademas, lasmismas transformaciones que conducen desde A hasta I, transforman la matriz identidadI en la inversa A−1 de A.

2.3.2 Ejemplo. Obtengamos, si existe, la inversa de

A =

0 1 31 −1 22 −2 3

Escribimos 0 1 3

... 1 0 0

1 −1 2... 0 1 0

2 −2 3... 0 0 1

Intercambiamos las filas 1 y 2: 1 −1 2

... 0 1 0

0 1 3... 1 0 0

2 −2 3... 0 0 1


Sumamos a la fila 3 la fila 1 multiplicada por −2: 1 −1 2... 0 1 0

0 1 3... 1 0 0

0 0 −1... 0 −2 1

Sumamos a la fila 1 la fila 2 (multiplicada por 1): 1 0 5

... 1 1 0

0 1 3... 1 0 0

0 0 −1... 0 −2 1

Sumamos a la fila 1 la fila 3 multiplicada por 5, y sumamos a la fila 2 la fila 3 multiplicadapor 3: 1 0 0

... 1 −9 5

0 1 0... 1 −6 3

0 0 −1... 0 −2 1

Multiplicamos la fila fila 3 por −1 (la cambiamos de signo): 1 0 0

... 1 −9 5

0 1 0... 1 −6 3

0 0 1... 0 2 −1

Se tiene ası como resultado:

A−1 =

1 −9 51 −6 30 2 −1

2.4. Potencias de una matriz

2.4.1 Notacion. Dada una matriz cuadrada A y un numero natural n > 0:

• Se representa An el producto de la matriz A con ella misma n veces.

• Por convenio, se adopta A0 = I.

• Si la matriz A es invertible, se representa A−n el producto de la matriz A−1 con ellamisma n veces.

2.4.2 Proposicion. Para toda matriz A invertible, y siendo m y n numeros enteroscualesquiera, se satisface: Am+n = AmAn.

(La igualdad es valida tambien cuando A no tiene inversa, pero en este caso, para que laspotencias tengan sentido, los exponentes no deben ser negativos.)


3. Determinantes

3.1. Obtencion del determinante de una matriz cuadrada

3.1.1 Definicion. Dada una matriz cuadrada A su determinante es un numero real quese denota |A|.

A = (aij) −→ |A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∈ R

No daremos una definicion formal de determinante, sino que explicaremos la manera decalcularlo.

3.1.2 Definicion. (Determinante de orden 1) El determinante de una matriz 1× 1 es elpropio numero real unico de que consta la matriz.

|a11| = a11

3.1.3 Definicion. (Determinante de orden 2) El determinante de una matriz cuadradade orden 2 se obtiene, en funcion de los terminos de la matriz, mediante∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

3.1.4 Ejemplo. ∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ = 1× 4− 2× 3 = −2

3.1.5 Definicion. (Determinante de orden 3) La siguiente expresion, conocida como reglade Sarrus, proporciona el valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 3:∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

3.1.6 Ejemplo. ∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ = 45 + 84 + 96− 105− 72− 48 = 0

3.1.7 Proposicion. Se satisfacen las siguientes propiedades:

• El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

• Cualquier propiedad que se satisfaga para las filas de un determinante, debe tambienser cierta enunciada para columnas.

• Si en un determinante una fila o columna es cero, su valor es cero.

• El determinante de una matriz triangular (superior o inferior), ası como el de unamatriz diagonal, es igual al producto de los elementos de la diagonal.


3.1.8 Definicion. Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama menor complemen-tario del elemento aij al determinante de la matriz cuadrada de orden n − 1 que resultade eliminar la fila i y la columna j en la matriz original. Lo representaremos Mij.

3.1.9 Ejemplo. Para la matriz

A =

1 3 52 0 47 8 9

los menores complementarios de los elementos a13 y a32 son:

M13 =

∣∣∣∣ 2 07 8

∣∣∣∣ = 16 M32 =

∣∣∣∣ 1 52 4

∣∣∣∣ = −6

3.1.10 Definicion. Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama adjunto del ele-mento aij a su menor complementario, cuando i + j es par, o al menor complementariocambiado de signo, cuando i + j es impar. Esto es, si representamos Aij el adjunto delelemento aij:

Aij = (−1)i+jMij

3.1.11 Ejemplo. Para la matriz del anterior ejemplo 3.1.9, los adjuntos de los mismoselementos a13 y a32 se calculan:

A13 = M13 = 16 A32 = −M32 = 6

3.1.12 Proposicion. (Desarrollo de un determinante por adjuntos de una lınea) Paratoda matriz cuadrada A de orden n, y para cualquier fila i de dicha matriz se satisface:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin

Analogamente, para cualquier columna j de la matriz:

|A| = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj

3.1.13 Observacion. Las formulas anteriores permiten obtener un determinante de ordenn mediante el calculo de n determinantes de orden n− 1.

Aplicandolas de forma reiterada, podrıa reducirse un determinante cualquiera al calculode determinantes de orden 3 (regla de Sarrus), o incluso orden 2 u orden 1.

En la practica, interesa desarrollar por los adjuntos de una lınea en la que uno o maselementos sean cero. Cuantos mas, mejor.

3.1.14 Ejemplo. Desarrollando por los adjuntos de la segunda fila:∣∣∣∣∣∣1 3 52 0 47 8 9

∣∣∣∣∣∣ = −2

∣∣∣∣ 3 58 9

∣∣∣∣+ 0

∣∣∣∣ 1 57 9

∣∣∣∣− 4

∣∣∣∣ 1 37 8

∣∣∣∣ = 26 + 52 = 78

3.1.15 Proposicion. Al realizar transformaciones elementales en las filas o columnas deun determinante, su valor queda afectado de la siguiente forma:

• Si se intercambian dos filas (o dos columnas) de un determinante, su valor cambiade signo.

• Si se multiplica una fila (o columna) de un determinante por un numero real (en lapractica, distinto de cero), su valor queda multiplicado por dicho numero.

• El valor de un determinante no cambia si se suma a una fila (o columna) un multiplode otra fila (o columna).


3.1.16 Observacion. Mediante transformaciones elementales podemos reducir el calculode un determinante al correspondiente a una matriz triangular.

3.1.17 Ejemplo.∣∣∣∣∣∣1 2 31 1 2−1 0 2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −1 −10 2 5

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −1 −10 0 3

∣∣∣∣∣∣ = −3

3.2. Determinantes y matriz inversa

3.2.1 Proposicion. Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y solo si |A| 6= 0.

3.2.2 Proposicion. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, se verifica

|AB| = |A| · |B|

3.2.3 Proposicion. Si A es una matriz cuadrada invertible (y por tanto, su determinantees distinto de cero), se cumple

|A−1| = 1

|A|

3.2.4 Definicion. La matriz de adjuntos, que denotamos A∗, de una matriz cuadrada A,es la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de A.

3.2.5 Proposicion. Para cualquier matriz cuadrada A invertible se satisface:

A−1 =1

|A|(A∗)t

3.2.6 Ejemplo. Calculemos la inversa de la matriz

A =

1 2 −13 −2 14 0 2

Notemos en primer lugar que |A| = −16 6= 0, luego A es invertible.

Los adjuntos de cada elemento valen:

A11 = −4 A12 = −2 A13 = 8A21 = −4 A22 = 6 A23 = 8A31 = 0 A12 = −4 A13 = −8

De donde:

A−1 = − 1

16(A∗)t = − 1

16

−4 −4 0−2 6 −4

8 8 −8

=

1/4 1/4 01/8 −3/8 1/4−1/2 −1/2 1/2


3.3. Rango de una matriz

3.3.1 Definicion. Dada una matriz A (cuadrada o no) se llama menor de orden k de lamatriz al determinante de orden k que se obtiene seleccionando k filas y k columnas dela matriz, eliminando el resto.

3.3.2 Definicion. El rango de una matriz es el orden de su mayor menor no nulo. Conotras palabras, una matriz tiene rango k si alguno de sus menores de orden k es distintode cero, y no posee menores de orden mayor que k distintos de cero.

3.3.3 Proposicion. Las transformaciones elementales de una matriz conservan el rango.

3.3.4 Observacion. El Metodo de Gauss para determinar el rango de una matriz cual-quiera consiste en aplicar sucesivas transformaciones elementales por filas, hasta obteneruna matriz escalonada, esto es, una matriz en la que cada fila comienza con un ((cero)) mas,al menos, que la fila anterior. El rango de la matriz original (y el de todas las intermedias)es entonces el numero de filas no nulas en la matriz escalonada final.

4. Sistemas de ecuaciones lineales

4.1. Definicion y conceptos asociados

4.1.1 Definicion. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas reales x1, x2,. . . ,xn es de la forma:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

. . .am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

donde aij, bi son numeros reales que se suponen dados. Los aij se llaman coeficientes delsistema y los bi terminos independientes. Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se dicehomogeneo.

4.1.2 Ejemplo. El siguiente es un sistema no homogeneo de dos ecuaciones lineales contres incognitas: {

x+ y + z = 32x− y = 0

4.1.3 Ejemplo. El siguiente es un sistema homogeneo de tres ecuaciones lineales con dosincognitas:

x+ 4y = 02x− y = 05x+ 3y = 0

4.1.4 Observacion. Todo sistema de ecuaciones puede expresarse matricialmente

AX = B

donde A = (aij) es la matriz m×n de coeficientes, X la matriz columna con las incognitasdel sistema y B la matriz columna con los m terminos independientes.


4.1.5 Ejemplo. El sistema de ecuacionesx+ 4y = 02x− y = 05x+ 3y = 0

se expresa matricialmente 1 42 −15 3

( xy

)=

000

4.1.6 Notacion. Dado un sistema de m ecuaciones con n incognitas, AX = B, repre-sentaremos (A|B) la llamada matriz ampliada del sistema, esto es, la matriz de ordenm× (n+ 1) que resulta de anadir a la matriz A de coeficientes como columna ((n+ 1)) losterminos independientes.

4.1.7 Ejemplo. La matriz ampliada del sistema de ecuaciones{x+ y + z = 32x− y = 0

es la siguiente (1 1 1 | 32 −1 0 | 0

)4.1.8 Definicion. Ciertos numeros reales fijos x∗1,. . . , x∗n se dicen solucion de un sistemade ecuaciones lineales si con ellos se satisfacen, a la vez, todas las ecuaciones del sistema.

4.1.9 Ejemplo. Para el sistema {x+ y + z = 32x− y = 0

• x = 1, y = 2, z = 0 es solucion.

• x = 0, y = 0, z = 3 tambien es solucion.

• x = 3, y = 1, z = −1 no es solucion: aunque se satisface la primera ecuacion, no lohace la segunda.

4.1.10 Definicion. Un sistema se dice compatible si tiene alguna solucion e incompatibleen caso contrario. Un sistema compatible se dice determinado si su solucion es unica y sedice indeterminado si admite mas de una solucion (en cuyo caso siempre tiene infinitassoluciones).

4.1.11 Ejemplo. El sistema del ejemplo 4.1.9 es compatible indeterminado.

4.1.12 Ejemplo. El siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incognitas es, claramente,incompatible: {

x+ y = 1x+ y = 2


4.1.13 Observacion. Todo sistema de ecuaciones homogeneoa11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0. . .am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

es compatible, puesto que admite, al menos, la llamada solucion trivial

x1 = x2 = · · · = xn = 0

Cuando un sistema homogeneo sea determinado, la solucion trivial sera su unica solucion.

4.2. Discusion y resolucion de sistemas

4.2.1 Proposicion. (Teorema de Rouche) Dado un sistema de m ecuaciones lineales conn incognitas, AX = B, con matriz de coeficientes A y matriz ampliada (A|B):

• Si rangoA = rango(A|B), el sistema es compatible.– Cuando rangoA = rango(A|B) = n: compatible determinado.– Cuando rangoA = rango(A|B) < n: compatible indeterminado.

• Si rangoA 6= rango(A|B), el sistema es incompatible.

4.2.2 Definicion. Dos sistemas (con las mismas incognitas) son equivalentes cuandotienen las mismas soluciones, es decir, toda solucion del primer sistema lo es del segundoy toda solucion del segundo lo es del primero.

4.2.3 Proposicion. Al realizar transformaciones elementales en un sistema de ecuaciones,se obtiene un sistema equivalente al original. Podemos, por tanto:

• Intercambiar la posicion de dos ecuaciones.

• Multiplicar una ecuacion por un numero real distinto de cero.

• Sumar a una ecuacion un multiplo de otra.

De otra manera: cualquier transformacion elemental de la matriz ampliada de un sistema,conduce a una matriz que representa a otro sistema equivalente al original.

4.2.4 Observacion. Dado un sistema de ecuaciones AX = B, realizando sucesivas trans-formaciones elementales sobre su matriz ampliada (A|B), podemos alcanzar un sistemaequivalente que sea mas sencillo de resolver. Este proceso recibe el nombre de metodo deGauss:

En la practica, se aplican a la matriz ampliada del sistemas sucesivas transformacioneselementales por filas, hasta obtener una matriz escalonada (lo que equivale a que en cadanueva ecuacion queda eliminada una nueva incognita o, quiza, mas de una).

En el sistema equivalente ((escalonado)), si resulta compatible, puede obtenerse la solucionmediante ((sustitucion regresiva)), esto es, se comienza hallando la solucion de la ultimaincognita en la ultima ecuacion, y se retrocede de ecuacion en ecuacion, sustituyendolas incognitas que se van determinando. Cuando el sistema es indeterminado, algunasincognitas quedaran ((libres)), esto es, la solucion del sistema se presenta asumiendo quedichas incognitas pueden tomar cualquier valor real.


4.2.5 Ejemplo. Resolvamos: y + z = 52x+ y − z = 1x+ 2y + 2z = 11

Su matriz ampliada es: 0 1 1 52 1 −1 11 2 2 11

Intercambiamos las filas 1 y 3: 1 2 2 11

2 1 −1 10 1 1 5

Sumamos a la fila 2 la fila 1 multiplicada por −2: 1 2 2 11

0 −3 −5 −210 1 1 5

Intercambiamos las filas 2 y 3: 1 2 2 11

0 1 1 50 −3 −5 −21

Sumamos a la fila 3 la fila 2 multiplicada por 3: 1 2 2 11

0 1 1 50 0 −2 −6

Esta ultima matriz corresponde a un sistema compatible determinado que se resuelve confacilidad por sustitucion regresiva.

z = 3y = 5− z = 2x = 11− 2y − 2z = 1


Parte II

CALCULO DIFERENCIAL

5. Funciones reales, lımites y continuidad

5.1. La recta real y el espacio de n dimensiones

El conjunto R de los numeros reales se representa geometricamente en una recta, la ((rectareal)): cada numero real se corresponde con un punto y, recıprocamente, cada punto de larecta representa un numero real. Por eso podemos referirnos indistintamente a puntos dela recta o a numeros reales, y podemos aplicar a los numeros ideas geometricas, como lade distancia, que definiremos mas adelante.

0 1 4−32

√2

Los elementos o puntos del plano R2, el espacio real de dos dimensiones, son pares or-denados de numeros reales (x, y). Geometricamente, R2 puede representarse en un planodotado de coordenadas cartesianas: cada elemento (x, y) ∈ R2 es el punto del plano decoordenadas x e y, y recıprocamente, un punto del plano con coordenadas x e y representaal elemento (x, y) ∈ R2.

(2′5, 2)

De forma analoga, el conjunto R3, formado por ternas ordenadas (x, y, z) de numerosreales, se representa geometricamente en un espacio cartesiano de tres dimensiones.

En general, los elementos o puntos del conjunto Rn (el espacio real de n dimensiones) sonn−tuplas ordenadas de numeros reales, de la forma

x = (x1, x2, . . . , xn)

Para n > 3 no podemos proporcionar una representacion geometrica en nuestro espa-cio fısico de 3 dimensiones. Aun ası, se mantiene el uso del lenguaje geometrico y nosreferiremos indistintamente a elementos o puntos de Rn.

5.1.1 Definicion. Un intervalo acotado de numeros reales, de extremos a y b (con a < b),es un segmento de la recta real.

Destacamos los siguientes tipos:

• (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. Intervalo abierto.

a b


• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. Intervalo cerrado.

a b

Esto es, los extremos a y b son parte del intervalo cerrado, mientras que quedan excluidosen el abierto. En ocasiones nos referiremos al intervalo abierto (a, b) como el interior de[a, b].

5.1.2 Definicion. Los intervalos no acotados de numeros reales son conjuntos de algunade las formas siguientes:

• (−∞, c) = {x ∈ R : x < c}.• (−∞, c] = {x ∈ R : x ≤ c}.• (c,+∞) = {x ∈ R : c < x}.• [c,+∞) = {x ∈ R : c ≤ x}.• (−∞,+∞) = R.

5.1.3 Observacion. Generalizando lo anterior, llamaremos tambien intervalo, en el espa-cio Rn, al producto cartesiano de intervalos de numeros reales. En particular, llamaremosintervalo abierto a un producto de intervalos abiertos e intervalo cerrado a un producto deintervalos cerrados.

Por ejemplo, siendo a < b, c < d, un intervalo abierto y acotado en R2 es de la forma:

(a, b)× (c, d) = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d}

Geometricamente, se trata del interior de un rectangulo (excluido su perımetro).

a b

c

d

5.1.4 Definicion. Se llama valor absoluto de un numero real x al numero real no negativo

|x| =√x2 =

{x si x ≥ 0−x si x < 0

5.1.5 Definicion. Se llama distancia entre dos numeros reales x e y al valor absoluto desu diferencia, esto es, al numero real no negativo

d(x, y) = |x− y|

5.1.6 Ejemplo. La distancia entre 2 y 6 es |2− 6| = 4.

0 2 6

4


5.1.7 Definicion. Se llama norma o modulo de un punto x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn alnumero real no negativo:

|x| =√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n

Notese que, para n = 1, la norma es lo mismo que el valor absoluto de un numero real.

5.1.8 Definicion. La distancia entre dos puntos x, y ∈ Rn es la norma de su diferencia,esto es, el numero real no negativo:

d(x, y) = |x− y| =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2

5.1.9 Ejemplo. La distancia entre los puntos el plano x = (2, 4) e y = (6, 1) es

d(x, y) =√

(2− 6)2 + (4− 1)2 = 5

2 6

1

4

5

5.1.10 Definicion. Un entorno de centro x0 ∈ Rn y radio ε > 0 es el conjunto de puntosde Rn que estan a una distancia de x0 menor que ε.

Bε(x0) = {x ∈ Rn : |x− x0| < ε}

En R, se trata de un intervalo abierto: Bε(x0) = (x0 − ε, x0 + ε).

En R2 es el interior de un cırculo y en R3 el de una esfera.

5.2. Funciones reales

5.2.1 Definicion. Una funcion es una regla que asigna a cada elemento de un conjuntoD llamado dominio un unico elemento de un conjunto Y .

Cuando el conjunto Y sea el de los numeros reales, se habla de funcion real.

5.2.2 Definicion. Una funcion real de variable real es una funcion que asigna a cadaelemento de un determinado subconjunto de numeros reales otro numero real. (El dominioesta formado por numeros reales)

5.2.3 Ejemplo. La funcion que asigna a cada numero entero su cuadrado. El dominiode esta funcion es el conjunto Z de los numeros enteros.

5.2.4 Definicion. Una funcion real de varias variables reales es una funcion que asigna acada elemento de un determinado subconjunto del espacio Rn un numero real. (El dominioesta formado por puntos del espacio)


5.2.5 Ejemplo. La funcion que asigna a cada par de numeros reales, esto es, a cadaelemento de R2, su suma.

5.2.6 Notacion. En forma generica:

• El dominio de una funcion real se designa usualmente por D.

• Las funciones se denotan con una letra como f , g, F ,. . .

• Si f es una funcion y x es un elemento de su dominio D, entonces f(x) denota elvalor que la funcion f asigna a x.

• Este valor f(x) recibe el nombre de imagen de x. Si lo representamos y, podemosescribir en forma compacta

y = f(x)

5.2.7 Definicion. En una funcion de una variable y = f(x)

• x recibe el nombre de variable independiente.

• y recibe el nombre de variable dependiente.

En una funcion de varias variables, cada elemento x del dominio consta de n componentesx = (x1, x2, . . . , xn). En este caso,

• Cada numero real xi se llama variable independiente: x1 es la primera variable, x2 esla segunda variable, etc.

• La propia funcion y = f(x) se escribe tambien

y = f(x1, x2, . . . , xn)

donde y es la variable dependiente.

5.2.8 Observacion. En funciones de dos o tres variables podemos evitar los subındicesen las variables, escribiendo por ejemplo z = f(x, y) o u = f(x, y, z).

5.2.9 Observacion. En la definicion de una funcion se debe incluir su dominio.

Si la funcion viene dada por una relacion entre sus variables sin especificar su dominio,adoptamos el convenio de que dicho dominio consta de todos los valores de la variableindependiente para los que la relacion tenga sentido.

5.2.10 Ejemplo. La funcion y =√x con dominio [0,+∞) y la funcion y =

√x con

dominio [0, 1] son distintas.

Si definimos simplemente y =√x, sin especificar el dominio, sobreentendemos que este

viene dado por D = [0,+∞).

5.2.11 Definicion. El recorrido o rango de una funcion f , con dominio D, es el conjunto denumeros reales formado por las imagenes de todos los puntos del dominio. Si lo denotamosR:

R = {y ∈ R : y = f(x), x ∈ D}

5.2.12 Ejemplo. El recorrido de la funcion y = x2, con dominio R, es el conjuntoR = [0,+∞).

5.2.13 Definicion. Dada una funcion f , con dominio D el conjunto de puntos

G = {(x, f(x)) : x ∈ D}

se llama grafo de la funcion.


5.2.14 Ejemplo. En las funciones de una variable, los elementos del grafo son paresordenados de numeros reales.

Para la funcion y = x2 (con dominio R), el grafo esta formado por todos los pares devalores (x, x2), con x ∈ R. Este grafo consta de infinintos elementos. Los pares (2, 4),(−2, 4), (1/2, 1/4), (

√7, 7) son elementos del grafo, mientras que, por ejemplo, (3, 3) no

lo es.

5.2.15 Definicion. Dada una funcion y = f(x) de una variable, si dibujamos los elemen-tos del grafo en un plano dotado de un sistema de coordenadas cartesianas, obtenemosuna curva que se llama grafica de la funcion.

5.2.16 Ejemplo. La grafica de la funcion y = x2 es una parabola:

Grafica de y = x2

y = x2

5.2.17 Observacion. Para representar graficamente una funcion de n variables necesi-tamos n+ 1 dimensiones, lo cual no esta a nuestro alcance cuando n > 2.

Para funciones de dos variables; si dibujamos todos los puntos del grafo en un sistema decoordenadas obtenemos una superficie como grafica de la funcion. Otra manera de teneruna idea de la superficie que representa a una funcion de dos variables es recurrir a lascurvas de nivel. Dada la funcion z = f(x, y) que se quiere representar, se seleccionan unoscuantos valores fijos zk (llamados niveles o cotas) y se dibujan las curvas del plano dadaspor los puntos para los que f(x, y) = zk.

Superficie Curvas de nivel


5.2.18 Definicion. Dadas dos funciones f y g, con el mismo dominio D, se define susuma, diferencia, producto y cociente de la manera natural:

• (f + g)(x) = f(x) + g(x).

• (f − g)(x) = f(x)− g(x).

• (f · g)(x) = f(x) · g(x).

• (f/g)(x) = f(x)/g(x). (El dominio de esta funcion cociente seran los puntos x ∈ Dpara los que g(x) 6= 0)

5.2.19 Definicion. Dadas dos funciones de una variable f y g, de modo que las imagenesde f esten contenidas en el dominio de g, se define la composicion g ◦ f como (g ◦ f)(x) =g(f(x)).

5.2.20 Ejemplo. Dadas f(x) = x2, g(x) = x+ 1, se tiene:

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 1

5.2.21 Observacion. Notese que, en general, la composicion de funciones no es conmu-tativa. Con las mismas funciones del ejemplo 5.2.20, se obtiene:

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = (x+ 1)2

5.2.22 Observacion. La composicion de funciones se generaliza al caso de mas varia-bles considerando multiples dependencias: si y = f(u1, u2, . . . , un) es una funcion de nvariables, y cada una de ellas es una funcion de m variables ui = gi(x1, x2, . . . , xm) (coni = 1, 2, . . . , n), la variable y queda definida como funcion compuesta de las variablesx1,x2,. . . ,xm, mediante

y = f(g1(x1, x2, . . . , xm), g2(x1, x2, . . . , xm), . . . , gn(x1, x2, . . . , xm))

5.2.23 Ejemplo. Dada z = z(u, v) = u2v, con{u = u(x, y) = x+ yv = v(x, y) = yex

La funcion compuesta es:

z = z(u(x, y), v(x, y)) = z(x, y) = (x+ y)2yex

5.2.24 Definicion. Si una funcion f de una variable, con dominio D, es inyectiva, existeuna unica funcion, denotada f−1, con dominio f(D), tal que (f−1 ◦f)(x) = (f ◦f−1)(x) =x. De otra manera, si y = f(x), entonces x = f−1(y).

La funcion f−1 se denomina inversa de f .

5.2.25 Ejemplo. La inversa de la funcion exponencial, f(x) = ex, es la funcion logarıtmi-ca, f−1(x) = ln x, con dominio (0,+∞).

5.3. Lımite de una funcion

5.3.1 Definicion. (Idea informal de lımite) Escribiremos lımx→x0

f(x) = L, o f(x) → L

cuando x→ x0, si f(x) se aproxima al numero real L tanto como queramos, considerandovalores de la variable independiente x suficientemente proximos a x0, pero no iguales a el.


5.3.2 Ejemplo.

lımx→3

x2 = 9

5.3.3 Ejemplo. Las siguientes funciones f , g y h tienen el mismo lımite, L = 1, cuandox→ 1.

lımx→1

f(x) = 1 lımx→1

g(x) = 1 lımx→1

h(x) = 1

1 1 1

1 1 1

2

f(x) = x, ∀x ∈ R g(x) = x, ∀x 6= 1 h(x) =

{x si x 6= 12 si x = 1

5.3.4 Definicion. (Lımite infinito) Se dice que una funcion f(x) tiene limite infinito (+∞o −∞) en x0, si los valores de f(x), en valor absoluto, se hacen tan grandes como sequiera cuando x esta suficientemente proximo a x0. En esta situacion, tambien se diceque la recta x = x0 es una asıntota vertical de la funcion f(x).

5.3.5 Ejemplo.

lımx→3

1

(x− 3)2= +∞

5.3.6 Definicion. (Lımite en el infinito) Se dice que una funcion f(x) tiene lımite L,cuando la variable x tiende a infinito (+∞ o −∞), si f(x) se aproxima al numero real Ltanto como queramos, cuando se consideran valores de x suficientemente grandes en valorabsoluto. En esta situacion, tambien se dice que la recta y = L es una asıntota horizontalde la funcion f(x).

5.3.7 Ejemplo.

lımx→∞

2x+ 1

x= 2

5.3.8 Definicion. Cuando se estudia el lımx→x0

f(x) de una funcion f(x) de una variable,

hay que considerar el comportamiento para valores de x menores o mayores que x0. En elprimer caso se habla de lımite lateral por la izquierda de x0 y en el segundo de lımite lateralpor la derecha. Se representan, respectivamente:

lımx→x−0

f(x) lımx→x+

0

f(x)

5.3.9 Ejemplo. Dada la funcion

f(x) =

{x2 si x ≤ 3x− 1 si x > 3

Se tiene: lımx→3−

f(x) = 9 y lımx→3+

f(x) = 2.


5.3.10 Proposicion. Sea f(x) una funcion de una variable, definida al menos en unentorno de x0. Si f tiene lımite L en x0, los dos lımites laterales tienen el mismo valor Len dicho punto.

Recıprocamente, si existen los dos lımites laterales en x0 y ambos toman un mismo valorL, entonces la funcion tiene lımite en x0, y su valor es L.

5.3.11 Observacion. (Lımites en funciones de varias variables) El concepto de lımitepara una funcion de varias variables es analogo al de una variable, sin embargo, su calculopuede resultar, en general, muy engorroso.

5.4. Continuidad de funciones

5.4.1 Definicion. Una funcion f : D → R, definida en un intervalo D, se dice continuaen el punto x0 ∈ D si

lımx→x0

f(x) = f(x0)

5.4.2 Observacion. La definicion anterior exige:

• Que exista lımx→x0

f(x) = L.

• Que exista f(x0), es decir x0 ∈ D.

• Que los dos valores coincidan: L = f(x0).

5.4.3 Definicion. (Continuidad lateral) Una funcion f(x) de una variable se dice continuapor la derecha de x0 si lım

x→x+0

f(x) = f(x0).

Analogamente se define continua por la izquierda de x0 si lımx→x−0

f(x) = f(x0).

5.4.4 Proposicion. Sea f(x) una funcion de una variable definida, al menos, en unentorno de x0. Entonces, la funcion es continua en un punto x0 si y solo si es continua porla derecha y por la izquierda en x0.

5.4.5 Definicion. (Continuidad parcial) Una funcion f(x, y) de dos variables se dicecontinua con respecto a la variable x en el punto (x0, y0) si la funcion, de una variable,f(x, y0) es continua en x0.

La continuidad con respecto a y se define de la misma forma.

En general, la continuidad de una funcion de n variables respecto a una de ellas se estudiafijando las restantes variables (que se manejan como si fueran constantes).

5.4.6 Proposicion. Si una funcion de varias variables es continua en un punto, lo es conrespecto a todas sus variables en ese punto. El recıproco no es cierto.

5.4.7 Definicion. Los puntos donde una funcion f no es continua reciben el nombre dediscontinuidades. Se clasifican de la siguiente forma:

• Una discontinuidad de f en x0 se dice evitable si existe el lımite (finito) de la funcionen x0, pero no coincide con el valor de la funcion en x0, porque f(x0) es un valordistinto del lımite, o porque f(x) no esta definida en x0.

• Se dice que una funcion f presenta una discontinuidad esencial en x0 si no existe ellımite de la funcion en x0, o si el lımite es infinito.


Para una funcion de una variable podemos diferenciar:

• Discontinuidad de primera especie (o de salto) en x0 si existen los dos lımiteslaterales de la funcion en x0 pero no coinciden.

• Discontinuidad de segunda especie en x0 si no existe alguno de los lımites lateralesde la funcion en x0 (o no existe ninguno de los dos).

5.4.8 Ejemplo.

Discontinuidad evitable

1

1 f(x) =x2 − 1

2(x− 1)

Discontinuidad de salto

f(x) =|x|x

Discontinuidad de segunda especie

sen1

x

1 2 3−1−2−3

1

−1

5.4.9 Definicion. Una funcion f : D → R definida en un intervalo D se dice continua silo es en todos los puntos de D.

5.4.10 Proposicion. Las funciones elementales: polinomicas, racionales, exponenciales,logarıtmicas y trigonometricas son continuas en sus respectivos dominios.

5.4.11 Proposicion. Siempre que se cumplan las condiciones para que las siguientesfunciones esten bien definidas, se cumple:

• La suma, diferencia, producto y cociente de funciones continuas es otra funcioncontinua.

• La composicion de funciones continuas es continua.

• La inversa de una funcion continua es continua.

5.4.12 Definicion. (Extremos absolutos) Sea f : D → R. Se dice que la funcion f tieneun mınimo absoluto en el punto x0 ∈ D si f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ D.

Analogamente, se dice que f tiene un un maximo absoluto en x0 ∈ D si f(x0) ≥ f(x)∀x ∈ D.


5.4.13 Proposicion. (Teorema de Weierstrass) Si f(x) es una funcion continua en unintervalo cerrado y acotado D, existe al menos un punto x1 ∈ D en el cual la funcion tieneun maximo absoluto y un punto x2 ∈ D en el cual la funcion tiene un mınimo absoluto.

6. Derivacion de funciones de una variable

6.1. Tasa de cambio

6.1.1 Definicion. Sea una funcion de una variable f(x) que toma el valor f(x0) en x0. Siincrementamos la variable independiente en ∆x0, pasando al punto x0 + ∆x0, la funcionexperimenta tambien un incremento ∆f(x0) = f(x0 + ∆x0)− f(x0).

En estas condiciones, la correspondiente tasa de cambio o tasa de variacion media de f(x)respecto a su variable x es:

∆f(x0)

∆x0

=f(x)− f(x0)

x− x0

=f(x0 + ∆x0)− f(x0)

∆x0

Es decir, la tasa o razon de cambio de una funcion en un intervalo [x0, x0 + ∆x0] mide elincremento que experimenta la funcion en el intervalo, por cada unidad de incremento dela variable. Geometricamente, se obtiene la pendiente de la recta secante a la grafica dela funcion en el intervalo [x0, x0 + ∆x0].

Tasa de cambio

x0 x0 + ∆x0

∆f(x0)

6.2. Funciones derivables

6.2.1 Definicion. Se dice que una funcion y = f(x) de una variable, con dominio unintervalo abierto D, es derivable en el punto x0 ∈ D, si existe (y es finito) el lımite

lımx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= lım∆x0→0

∆f(x0)

∆x0

= lım∆x0→0

f(x0 + ∆x0)− f(x0)

∆x0

El valor del lımite se llama derivada de la funcion en el punto x0 y se representa:

y′(x0) = f ′(x0) =df(x0)

dx

6.2.2 Observacion. La derivada de f en x0 es una medida de la tasa de cambio puntualo instantanea de la funcion con respecto a su variable en el punto x0. La obtenemos comolımite de la tasa de cambio cuando el incremento de la variable tiende a cero.


Geometricamente, la recta lımite de las rectas secantes dadas por las tasas de cambio esla recta tangente; de manera que la derivada f ′(x0) de una funcion de una variable enel punto x0 es la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion, trazada en elpunto (x0, f(x0)).

Tangente y secantes

6.2.3 Definicion. (Derivadas laterales) Una funcion f(x) de una variable se dice derivablepor la derecha en el punto x0 si existe (y es finito) el lımite

lımx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(x+0 )

Analogamente, se dice derivable por la izquierda en el punto x0 si existe (y es finito) ellımite

lımx→x−0

f(x)− f(x0)

x− x0

= f ′(x−0 )

6.2.4 Proposicion. Una funcion de una variable es derivable en un punto x0 si y solo siexisten ambas derivadas laterales en x0, y ademas coinciden.

6.2.5 Proposicion. Si una funcion de una variable es derivable en un punto x0, entonceses continua en dicho punto. El recıproco no es cierto.

6.2.6 Ejemplo. la funcion f(x) = |x| es continua en el punto x = 0, pero no es derivableen ese punto.

f ′(0+) = 1 6= f ′(0−) = −1

6.3. Funcion derivada

6.3.1 Definicion. Si una funcion f de una variable, definida en un intervalo abierto D, esderivable en todos los punto de su dominio, decimos que f es derivable en D, y podemosdefinir una nueva funcion que a cada x ∈ D le asocia la derivada de la funcion f en elpunto x. Esta funcion se llama derivada de f y se representa:

y′ = f ′(x) =df

dx

Si la derivada de f es, a su vez, una funcion derivable, la derivada de su derivada se llamaderivada segunda de f y se representa:

y′′ = f ′′(x) =d2f

dx2

Si la derivada segunda de f es derivable, su derivada se llama derivada tercera, y asısucesivamente.


6.3.2 Proposicion. (Tabla de derivadas) Las funciones elementales: polinomicas, ra-cionales, exponenciales, logarıtmicas y trigonometricas son derivables en sus respectivosdominios.

• y = C : y′ = 0

• y = x : y′ = 1

• y = xa : y′ = a · xa−1

• y = 1/x : y′ =−1

x2

• y =√x : y′ =

1

2√x

• y = ax : y′ = ax · ln a• y = ex : y′ = ex

• y = loga x : y′ =1

x· loga e

• y = lnx : y′ =1

x• y = senx : y′ = cosx

• y = cosx : y′ = − senx

• y = tg x : y′ = 1 + tg2 x =1

cos2 x

• y = arc sen x : y′ =1√

1− x2

• y = arc cos x : y′ = − 1√1− x2

• y = arc tg x : y′ =1

1 + x2

6.3.3 Proposicion. (Reglas de derivacion) Si f y g son funciones de una variable deri-vables en el mismo dominio D (y k una constante), entonces las siguientes funciones sonderivables, y su derivada es la que se indica:

• (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

• (k · f(x))′ = k · f ′(x)

• (f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

•(f(x)

g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

g2(x)

Para la derivacion de funciones compuestas, es valida la llamada regla de la cadena: Si fy g son funciones derivables de una variable, la funcion compuesta g ◦ f es derivable, y suderivada es (g ◦ f(x))′ = g′(f(x)) · f ′(x).

Con otra notacion: sea y = g(u), donde u = f(x), y sea y = h(x) la funcion compuesta,esto es, y = g(f(x)) = h(x). Entonces h′(x) = g′(u) · f ′(x).

dy

dx=dy

du· dudx


6.3.4 Proposicion. (Derivada de la funcion inversa) La funcion inversa x = f−1(y) deuna funcion derivable y = f(x) de una variable es tambien derivable, siendo(

f−1(y))′

=1

f ′(x)

Con otra notacion:dx

dy=

1

dy/dx.

6.4. Elasticidad

6.4.1 Definicion. Dada una funcion y = f(x) de una variable, su elasticidad mide, comola derivada, la tasa de cambio puntual o instantanea de la funcion con respecto a lavariable, pero considerando incrementos relativos ∆y/y, ∆x/x en vez de absolutos. Ası,calculado el correspondiente lımite, se tiene como resultado:

Exy = y′ · xy

7. Derivacion de funciones de varias variables

7.1. Derivadas parciales

7.1.1 Definicion. Se dice que una funcion f de n variables, con dominio un intervaloabierto D ⊂ Rn, es derivable parcialmente con respecto a la variable xk en el punto x0 =(x1, x2, . . . , xn) ∈ D, si existe (y es finito) el lımite:

lımh→0

f(x1 . . . , xk + h, . . . xn)− f(x1, . . . , xk, . . . , xn)

h

El valor del lımite se llama derivada parcial con respecto a la variable xk de la funcion enel punto x0 y se representa:

f ′xk(x0) = f ′k(x0) =

∂f(x0)

∂xk

7.1.2 Observacion. La derivada parcial de f con respecto a xk en x0 mide la tasa decambio puntual o instantanea de la funcion con respecto a su variable xk en el punto x0,suponiendo que las demas variables permanecen fijas.

7.1.3 Definicion. Si f es derivable parcialmente con respecto a xk en un punto genericox de su dominio D, aparece definada la funcion derivada parcial de f con respecto a lavariable xk. Se representa:

f ′xk(x) = f ′k(x) =

∂f

∂xk

7.1.4 Observacion. En la practica, la definicion supone que el calculo de derivadasparciales se reduce al calculo de derivadas de funciones de una variable: para derivarparcialmente con respecto a una variable, basta considerar que durante el calculo lasrestantes variables se comportan como constantes.


7.1.5 Ejemplo. Dada la funcion f(x, y) = x3exy2:{

f ′x(x, y) = 3x2exy2

+ x3y2exy2

f ′y(x, y) = 2yx4exy2

7.1.6 Definicion. Diremos que una funcion f de varias variables es derivable en unintervalo abierto D, si admite derivada parcial con respecto a todas sus variables en D.

7.1.7 Observacion. Para funciones de varias variables ya no es cierto que la existenciade derivadas parciales en un punto x0 lleve asociada la continuidad en el punto x0. Noobstante, puede demostrarse que la existencia de todas las derivadas parciales, junto conla continuidad de al menos una de ellas en x0, implica la continuidad de f en x0.

7.1.8 Proposicion. (Regla de la cadena) Si f(u1, . . . , un) es una funcion derivable den variables, cada una de las cuales es, a su vez, funcion derivable de otras variablesx1, . . . , xm, entonces la funcion compuesta

y = f(u1(x1, . . . , xm), . . . , un(x1, . . . , xm))

es derivable siendo:∂y

∂xk=

∂y

∂u1

· ∂u1

∂xk+ · · ·+ ∂y

∂un· ∂un∂xk

para cualquier k desde 1 hasta m.

7.1.9 Ejemplo. Sea la funcion z = z(u, v) = u2v3, donde

u = u(x, y) = senx+ y2, v = v(x, y) = xy

Las derivadas parciales de la funcion compuesta, z(x, y) = z(u(x, y), v(x, y)) son:∂z

∂x=∂z

∂u

∂u

∂x+∂z

∂v

∂v

∂x= 2uv3 cosx+ 3u2v2y

∂z

∂y=∂z

∂u

∂u

∂y+∂z

∂v

∂v

∂y= 4uv3y + 3u2v2x

7.2. Elasticidad parcial

7.2.1 Definicion. De forma analoga a la vista para funciones de una variable (vease laanterior definicion 6.4.1), se define la elasticidad parcial de una funcion y = f(x1, x2, . . . , xn)de varias variables, con respecto a la variable xk, considerando incrementos relativos envez de absolutos. Su calculo se realiza mediante:

Exky = y′xk

· xky

7.2.2 Ejemplo. Dada z = 3x2y4Exz =

∂z

∂x· xz

= 6xy4 x

3x2y4= 2

Eyz =∂z

∂y· yz

= 12x2y3 y

3x2y4= 4


7.3. Derivadas sucesivas

7.3.1 Definicion. Si las derivadas parciales de una funcion de varias variables f(x1, . . . , xn)son, a su vez, funciones derivables, sus derivadas se llaman derivadas parciales segundas oderivadas parciales de segundo orden, y se representan:

f ′′xixj= f ′′ij =

∂2f

∂xi∂xj

Las derivadas parciales de las derivadas parciales segundas son, cuando existan, las deri-vadas parciales terceras, y ası sucesivamente.

7.3.2 Observacion. Notese que el numero de derivadas parciales de una funcion de nvariables aumenta rapidamente: hay n derivadas de primer orden, n2 de segundo orden,n3 de tercer orden, etc.

7.3.3 Proposicion. (Teorema de Schwarz) Si las derivadas de orden superior son conti-nuas, su valor depende solo de las variables con respecto a las que se deriva, pero no delorden en que intervienen en la derivacion (igualdad de ((derivadas cruzadas))).

7.3.4 Ejemplo. Sea z = x2y5. Derivando: z′x = 2xy5, z′y = 5x2y4. Volviendo a derivar,obtenemos: z′′xx = 2y5, z′′xy = 10xy4, z′′yx = 10xy4, z′′yy = 20x2y3 En particular, se cumplez′′xy = z′′yx.

7.3.5 Definicion. Se llama matriz hessiana Hf de una funcion f(x1, . . . , xn) a la matrizde derivadas parciales segundas de la funcion. Su determinante se llama determinantehessiano.

Hf (x) =

f ′′x1x1

(x) f ′′x1x2(x) . . . f ′′x1xn

(x)f ′′x2x1

(x) f ′′x2x2(x) . . . f ′′x2xn

(x). . .. . .

f ′′xnx1(x) f ′′xnx2

(x) . . . f ′′xnxn(x)

Por la igualdad de derivadas cruzadas, se trata de una matriz simetrica. Notemos ademasque, para una funcion de una variable, el determinante hessiano es, simplemente, la deri-vada segunda de la funcion.

8. Funciones homogeneas

8.1. Concepto

8.1.1 Definicion. Una funcion f(x1, x2, . . . , xn), con dominioD, se dice que es homogeneade grado m en D si para todo (x1, x2, . . . , xn) ∈ D y para todo t tal que t(x1, x2, . . . , xn) ∈D, se tiene

f(tx1, tx2, . . . , txn) = tmf(x1, x2, . . . , xn)

El grado m puede ser cualquier numero real. Si m = 1, f se dice linealmente homogenea.

8.1.2 Ejemplo. La funcion

f(x, y, z) =2x+ z

5x2 + 7xy + z2


es homogenea de grado m = −1. En efecto:

f(tx, ty, tz) =2tx+ tz

5(tx)2 + 7txty + (tz)2=

t(2x+ z)

t2(5x2 + 7xy + z2)= t−1 f(x, y, z)

8.1.3 Ejemplo. Sea Q(K,L) la produccion en funcion de las cantidades K y L de losfactores capital y trabajo. Si la cantidad de ambos factores se multiplica por t, podrıaocurrir que la produccion quedara tambien multiplicada por t. Esto es:

Q(tK, tL) = tQ(K,L)

La igualdad anterior significa que la funcion de produccion es homogenea de grado m = 1(linealmente homogenea).

Se dice entonces que la funcion de produccion presenta rendimientos constantes a escala.

8.1.4 Ejemplo. Las funciones de tipo Cobb-Douglas

Q(K,L) = AKa Lb

donde A, a y b son constantes positivas, se usan con frecuencia como ejemplo de funcionde produccion.

Son funciones homogeneas de grado a+ b:

Q(tK, tL) = A(tK)a(tL)b = tatbAKaLb = ta+bQ(K,L)

Si a+ b = 1, son linealmente homogeneas (rendimientos constantes a escala).

8.2. Propiedades

8.2.1 Proposicion. Se satisfacen las siguientes propiedades:

• La suma de dos funciones homogeneas de grado m, definidas en el mismo dominio,es una funcion homogenea de grado m.

• El producto de una funcion homogenea de grado m y otra funcion homogenea degrado m′, definidas sobre el mismo dominio, es una funcion homogenea de gradom+m′.

• El cociente de una funcion homogenea de grado m por otra funcion homogenea degrado m′, definidas sobre el mismo dominio, es, en el dominio en que tenga sentido,una funcion homogenea de grado m−m′.• Sea f una funcion homogenea de grado m que admite derivadas parciales de ordenp. Entonces dichas derivadas parciales son funciones homogeneas de grado m− p.

8.2.2 Ejemplo. La funcion f(x, y) = x3y − y4 es homogenea de grado 4:

f(tx, ty) = (tx)3(ty)− (ty)4 = t4(x3y − y4) = t4f(x, y)

Comprobemos que sus derivadas parciales son homogeneas de grado 4− 1 = 3. En efecto,derivando con respecto a x, f ′x(x, y) = 3x2y:

f ′x(tx, ty) = 3(tx)2(ty) = t33x2y = t3f ′x(x, y)

Derivando con respecto a y, f ′y(x, y) = x3 − 4y3, y tambien verifica:

f ′y(tx, ty) = (tx)3 − 4(ty)3 = t3f ′y(x, y)


8.2.3 Proposicion. (Teorema de Euler) Una funcion f(x) = f(x1, . . . , xn) derivableparcialmente es homogenea de grado m si y solo si se verifica:

x1f′x1

(x) + x2f′x2

(x) + · · ·+ xnf′xn

(x) = mf(x)

8.2.4 Ejemplo. La funcion homogenea de grado 4, f(x, y) = x3y− y4, del ejemplo 8.2.2,con f ′x(x, y) = 3x2y, f ′y(x, y) = x3 − 4y3, cumple:

xf ′x(x, y) + yf ′y(x, y) = x(3x2y) + y(x3 − 4y3)

= 3x3y + yx3 − 4y4 = 4x3y − 4y4 = 4f(x, y)

Parte III

OPTIMIZACION

9. Optimizacion de funciones de una variable

9.1. Creciemiento y decrecimiento

9.1.1 Definicion. Una funcion f(x) de una variable, definida en un intervalo I, es cre-ciente en el intervalo si para todo x1, x2 ∈ I, con x1 < x2, se tiene f(x1) ≤ f(x2).

Cuando f(x1) < f(x2) para todo x1, x2 ∈ I, se dice que la funcion es estrictamente crecienteen el intervalo I.

De forma analoga se define funcion decreciente, y estrictamente decreciente en el intervaloI, cuando para todo x1, x2 ∈ I, con x1 < x2 ocurre respectivamente f(x1) ≥ f(x2),f(x1) > f(x2).

Funcion creciente Funcion decreciente

9.1.2 Proposicion. Sea f(x) una funcion de una variable, derivable en un intervalo(abierto) I. Se cumple:

• f es creciente en I si y solo si f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.

• f es decreciente en I si y solo si f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I.

• Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente creciente en I.

• Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente decreciente en I.


9.2. Extremos relativos

9.2.1 Definicion. Se dice que una funcion f : D → R tiene un maximo relativo o localen un punto x0 ∈ D, cuando existe un entorno de x0 tal que, para todo punto x ∈ D deeste entorno, se cumple:

f(x) ≤ f(x0)

El concepto de mınimo relativo en x0 es analogo, con f(x) ≥ f(x0).

En cualquiera de las dos situaciones diremos que en x0 hay un extremo relativo de lafuncion.

9.2.2 Proposicion. (Condicion necesaria para la existencia de extremo) Sea f(x) unafuncion de una variable definida en un intervalo D. Si la funcion tiene un extremo relativoen un punto x0 ∈ D, en el cual la funcion es derivable, entonces

f ′(x0) = 0

9.2.3 Observacion. Los extremos relativos de una funcion estan necesariamente entre lospuntos que anulan su derivada, o bien entre aquellos en los que la funcion no es derivable.En cualquiera de estos casos hablaremos de punto crıtico.

En resumen: todo extremo relativo es un punto crıtico, pero hay puntos crıticos en losque la funcion no presenta un extremo relativo.

Puntos crıticos de f(x) en [a, b]

Mınimos en a y x2Maximos en x1 y b

a x0 x1 x2 b

f ′(x0) = 0

@f ′(x1)

f ′(x2) = 0

9.2.4 Ejemplo. Sea la funcion f(x) = x2, con dominio D = [−1, 2].

f(x) = x2 en [−1, 2]

−1 0 2

1

2

3

4


Derivando e igualando a cero:

f ′(x) = 2x = 0 =⇒ x = 0

Los puntos crıticos son: x = −1 y x = 2 en los que no existe la derivada, y el punto x = 0donde f ′(0) = 0.

• En x = 0 hay un mınimo relativo. El valor f(0) = 0 es el mınimo absoluto de f(x)en su dominio.

• En x = −1 hay un maximo relativo de valor f(−1) = 1.

• En x = 2 hay un maximo relativo. El valor f(2) = 4 es el maximo absoluto f(x) ensu dominio.

9.2.5 Ejemplo. Sea la funcion f(x) = x3, con dominio R.

f(x) = x3

0

Su derivada es f ′(x) = 3x2, por lo que x = 0 es el unico punto crıtico. Sin embargo, nocorresponde a un extremo, ya que la funcion f(x) = x3 es creciente en todo R.

9.2.6 Ejemplo. La funcion f(x) =3√x2, con dominio D = R, tiene su mınimo absoluto

en x = 0, en el que la funcion vale f(0) = 0.

f(x) =3√x2

0

Para x 6= 0, la derivada es:

f ′(x) =2

3 3√x

Pero f(x) no es derivable en x = 0. (En x = 0 hay un punto de retroceso).


9.2.7 Proposicion. (Condiciones suficientes para que un punto crıtico sea extremo)

Supongamos que cierta funcion f(x) con dominio D tiene un punto crıtico en x0 ∈ D.Algunos criterios para decidir si se trata de un extremo son los siguientes:

• Aplicar la definicion: se toma h > 0 pequeno, y se compara f(x0 ± h) con f(x0).

• Si f(x) es derivable en un entorno de x0, se estudia el signo de la derivada cerca dex0. Se toma h > 0 pequeno, entonces:

• Si f ′(x0 − h) < 0, f ′(x0 + h) > 0: en x0 hay un mınimo relativo.

• Si f ′(x0 − h) > 0, f ′(x0 + h) < 0: en x0 hay un maximo relativo.

• Si la derivada a izquierda y derecha no cambia de signo, no existe extremo local.

• Si f(x) tiene derivada segunda en x0, se estudia su signo:

• Si f ′′(x0) > 0, en x0 hay un mınimo relativo.

• Si f ′′(x0) < 0, en x0 hay un maximo relativo.

• Si f ′′(x0) = 0, es un caso dudoso.

Cuando f ′′(x0) = 0, se recurre a derivadas de orden superior, suponiendo que existan.Imaginemos que para cierto n ∈ N:

f ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0, f (n)(x0) 6= 0

Entonces: Si n es par

{f (n)(x0) > 0: mınimo relativo en x0.f (n)(x0) < 0: maximo relativo en x0.

Si n es impar, no hay extremo en x0

9.2.8 Ejemplo. Obtengamos y clasifiquemos los puntos crıticos de

f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 3

Su derivada es f ′(x) = 4x3 − 12x2 + 12x − 4. Se tiene que f ′(1) = 0, luego x = 1 es unpunto crıtico. (No hay mas).

• f ′′(x) = 12x2 − 24x+ 12. f ′′(1) = 0, dudoso.

• f ′′′(x) = 24x− 24. f ′′′(1) = 0, dudoso.

• f ′′′′(x) = 24 > 0. f ′′′′(1) = 24 > 0.

La primera derivada distinta de cero es la cuarta (par) y es positiva. Por tanto, en x = 1hay un mınimo y el mınimo absoluto de f(x) es f(1) = 2.

9.3. Concavidad y convexidad

9.3.1 Definicion. Sea f(x) una funcion de una variable, derivable en un intervalo abiertoD. Diremos que f(x) es convexa en el punto x0 ∈ D, cuando en un entorno de x0 lasordenadas de la curva son mayores que las correspondientes de la tangente a la curva enx0, es decir, la curva esta por encima de la tangente en dicho punto.


Cuando la curva esta por debajo de la tangente, la funcion se dice concava en x0.

Funcion convexa

x0

Funcion concava

x0

Un punto de inflexion es aquel en el que la funcion cambia de concavidad (la recta tangenteatraviesa a la curva).

Punto de inflexion

x0

9.3.2 Proposicion. Supongamos que la funcion de una variable f(x), definida en unintervalo abierto D, es derivable cuantas veces sea necesario en D. Si para x0 ∈ D y paracierto n ∈ N ocurre que:

f ′′(x0) = f ′′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0, f (n)(x0) 6= 0

Entonces: Si n es par

{f (n)(x0) > 0: f(x) es convexa en x0.f (n)(x0) < 0: f(x) es concava en x0.

Si n es impar, en x0 hay un punto de inflexion.

Por tanto, si en x0 hay un punto de inflexion debe ocurrir, al menos,

f ′′(x0) = 0

10. Optimizacion de funciones de varias variables

10.1. Optimizacion de funciones de varias variables, sin restric-ciones

A lo largo de la seccion, para fijar ideas, supondremos dada una funcion z = f(x, y) de dosvariables independientes x e y, definida en un dominio D ⊂ R2, derivable parcialmente almenos hasta el segundo orden y con derivadas continuas.


Tras la exposicion de los resultados para el caso de dos variables, se indicara tambien sugeneralizacion a funciones con cualquier numero de variables.

10.1.1 Definicion. La funcion z = f(x, y) tiene en un punto (x0, y0) de su dominio Dun maximo relativo si para todo (x, y) ∈ D, en cierto entorno de (x0, y0), se cumple:

f(x, y) ≤ f(x0, y0)

El concepto de mınimo relativo en (x0, y0) es analogo, cuando ocurre

f(x, y) ≥ f(x0, y0)

En cualquiera de las dos situaciones diremos que en x0 hay un extremo relativo de lafuncion.

Maximo Mınimo

10.1.2 Proposicion. (Condiciones necesarias para la existencia de extremo)Si la funcion z = f(x, y) tiene un extremo relativo en el punto (x0, y0) ∈ D, entonces

f ′x(x0, y0) = 0 f ′y(x0, y0) = 0

En general, para una funcion de n variables, las n derivadas parciales de primer ordenvalen cero en el punto extremo.

10.1.3 Definicion. Llamaremos punto crıtico a cualquier solucion del sistema de ecua-ciones {

f ′x(x, y) = 0

f ′y(x, y) = 0

10.1.4 Ejemplo. Consideremos la funcion, derivable en todo R2:

f(x, y) = x2 + y2

Derivando e igualando a cero: {f ′x(x, y) = 2x = 0

f ′y(x, y) = 2y = 0

Se obtiene que el unico punto crıtico es (0, 0), en el que la funcion vale f(0, 0) = 0. Setrata del mınimo absoluto de la funcion ya que, claramente, f(x, y) ≥ f(0, 0) = 0 paratodo (x, y) ∈ R2.


10.1.5 Observacion. Puede ocurrir que f(x, y) tenga un punto crıtico en (x0, y0) peroque el valor f(x0, y0) no sea maximo ni mınimo. Esto es, en puntos proximos a (x0, y0),la funcion alcanza valores tanto mayores como menores que f(x0, y0).

Este tipo de punto crıtico se llama punto de silla.

Punto de silla

En resumen: todo extremo relativo es un punto crıtico, pero hay puntos crıticos que noson extremos, sino puntos de silla.

10.1.6 Ejemplo. La funcion f(x, y) = x2 − y2 es derivable en todo R2. Derivando eigualando a cero: {

f ′x(x, y) = 2x = 0

f ′y(x, y) = −2y = 0

Se obtiene que el unico punto crıtico es (0, 0), en el que la funcion vale f(0, 0) = 0. Setrata de un punto de silla, porque, en puntos proximos a (0, 0) la funcion toma valorestanto mayores como menores que f(0, 0) = 0. En efecto, se tiene, para cualquier h 6= 0:

f(h, 0) = h2 > 0, mientras que f(0, h) = −h2 < 0

10.1.7 Proposicion. (Condiciones suficientes para extremo) Sea (x0, y0) ∈ D un puntocrıtico de la funcion f(x, y), es decir

f ′x(x0, y0) = 0 f ′y(x0, y0) = 0

Consideramos el determinante hessiano |Hf (x0, y0)| de la funcion f(x, y), calculado en elpunto crıtico:

∣∣∣Hf (x0, y0)∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ f ′′xx(x0, y0) f ′′xy(x0, y0)

f ′′yx(x0, y0) f ′′yy(x0, y0)

∣∣∣∣∣ = f ′′xx(x0, y0) f ′′yy(x0, y0)−(f ′′xy(x0, y0)

)2

Entonces se tiene:Si∣∣∣Hf (x0, y0)

∣∣∣ > 0

{f ′′xx(x0, y0) > 0 : mınimo en (x0, y0)

f ′′xx(x0, y0) < 0 : maximo en (x0, y0)

Si∣∣∣Hf (x0, y0)

∣∣∣ < 0: punto de silla en (x0, y0)

10.1.8 Ejemplo. Obtengamos y clasifiquemos los puntos crıticos de la funcion:

f(x, y) = x3 + y3 − 3xy


Derivando: {f ′x(x, y) = 3x2 − 3y = 0

f ′y(x, y) = 3y2 − 3x = 0

De donde se obtienen los puntos crıticos: (0, 0) y (1, 1).

El determinante hessiano, en un punto generico (x, y), vale:∣∣∣Hf (x, y)∣∣∣ = (6x) (6y)− (−3)2 = 36xy − 9

En el punto crıtico (0, 0): ∣∣∣Hf (0, 0)∣∣∣ = −9 < 0

Por lo que se trata de un punto de silla. En (1, 1):∣∣∣Hf (1, 1)∣∣∣ = 27 > 0

con f ′′xx(1, 1) = 6 > 0, luego se trata de un mınimo.

10.1.9 Proposicion. (Generalizacion a cualquier numero de variables)Sea x∗ = (x∗1, . . . , x

∗n) ∈ D un punto crıtico de una funcion f(x1, . . . , xn) de n variables,

con dominio D. Sea Hf (x∗) la matriz hessiana de la funcion, evaluada en el punto crıticox∗

Hf (x∗) =

f ′′x1x1

f ′′x1x2. . . f ′′x1xn

f ′′x2x1f ′′x2x2

. . . f ′′x2xn

. . .f ′′xnx1

f ′′xnx2. . . f ′′xnxn

Consideremos los determinantes (menores principales):

|H1| = |f ′′x1x1|, |H2| =

∣∣∣∣ f ′′x1x1f ′′x1x2

f ′′x2x1f ′′x2x2

∣∣∣∣ , . . . , |Hn| = |Hf |

que supondremos distintos de cero en el punto crıtico x∗. Entonces:

• Si |H1| > 0, |H2| > 0, |H3| > 0,. . . , en x∗ hay un mınimo relativo.

• Si |H1| < 0, |H2| > 0, |H3| < 0,. . . , en x∗ hay un maximo relativo.

• Cualquier otra situacion corresponde a un punto de silla.

10.1.10 Ejemplo. Obtengamos los puntos crıticos de la funcion

f(x, y, z) = 2x3 + y2 + 2z2 − 6xy + 4y

Derivando e igualando a cero, se obtiene el sistemaf ′x(x, y, z) = 6x2 − 6y = 0f ′y(x, y, z) = 2y − 6x+ 4 = 0f ′z(x, y, z) = 4z = 0

Su resolucion proporciona los puntos crıticos: (1, 1, 0) y (2, 4, 0).

La matriz hessiana de la funcion f(x, y, z) es:

Hf (x, y, z) =

12x −6 0−6 2 0

0 0 4


En el punto (1, 1, 0):

Hf (1, 1, 0) =

12 −6 0−6 2 0

0 0 4

Los menores principales valen |H1| = 12, |H2| = −12 y |H3| = |Hf | = −48, lo quecorresponde a un punto de silla.

En el punto (2, 4, 0):

Hf (2, 1, 0) =

24 −6 0−6 2 0

0 0 4

Los menores principales valen |H1| = 24, |H2| = 12 y |H3| = |Hf | = 48. Por ser todospositivos, en el punto crıtico (2, 4, 0) hay un mınimo de la funcion.

10.2. Optimizacion con restricciones

Estudiaremos a continuacion como determinar los maximos y mınimos de una funcionz = f(x, y), cuando sus variables x e y estan ligadas por una condicion de la formag(x, y) = 0.

La funcion f(x, y), cuyos extremos relativos se quieren calcular, recibe el nombre de funcionobjetivo, y la condicion g(x, y) = 0, a la que estan sujetas las variables x e y, se llamarestriccion. Admitimos que f y g son continuas y con derivadas continuas en su dominiotantas veces como sea necesario.{

opt.: f(x, y) → funcion objetivo

suj.: g(x, y) = 0 → restriccion

10.2.1 Observacion. Si en la ecuacion g(x, y) = 0 puede despejarse alguna de las varia-bles como funcion de la otra: y = y(x), entonces, se sustituye esta relacion en la funcionobjetivo,

f(x, y(x)) = F (x)

con lo que el problema pasa a ser la optimizacion de F (x), funcion de una variable y sinrestricciones.

10.2.2 Ejemplo. Obtener y clasificar los extremos de la funcion

f(x, y) = 2x2 + y2

sujetos a la condicion x+ y = 9.

Podemos despejar en la restriccion: y = 9− x.

Sustituyendo en f(x, y):

F (x) = f(x, 9− x) = 2x2 + (9− x)2 = 3x2 − 18x+ 81

Derivando e igualando a cero: F ′(x) = 6x−18 = 0, de donde x = 3, que es el unico puntocrıtico. El correspondiente valor de y es y = 9− x = 6.

La derivada segunda es F ′′(x) = 6 > 0 para cualquier valor de x. En particular, F ′′(3) > 0,luego en x = 3 se alacanza un mınimo (se trata del mınimo absoluto).


10.2.3 Proposicion. (Metodo de los multiplicadores de Lagrange) Dado el problema{opt.: f(x, y) → funcion objetivo

suj.: g(x, y) = 0 → restriccion

Se construye la funcion auxiliar:

L(x, y;λ) = f(x, y) + λg(x, y)

donde λ es un parametro denominado multiplicador de Lagrange.

Si (x0, y0) es una solucion del problema, existe un valor λ0 del multiplicador tal que{L′x(x0, y0, λ0) = fx(x0, y0) + λ0g

′x(x0, y0) = 0

L′y(x0, y0, λ0) = fy(x0, y0) + λ0g′x(x0, y0) = 0

10.2.4 Observacion. En la practica, se plantea el sistema de tres ecuaciones, formadopor las dos derivadas parciales de la funcion de Lagrange igualadas a 0, junto con larestriccion g = 0.

L′x(x, y, λ) = 0

L′y(x, y, λ) = 0

g(x, y) = 0

Las soluciones de este sistema son los puntos crıticos del problema. Cada una de ellas estaformada por el punto (x0, y0) donde se alcanza el posible extremo condicionado, junto conel valor λ0 del multiplicador asociado.

10.2.5 Ejemplo. Localicemos los puntos crıticos del anterior ejemplo 10.2.2, con el meto-do de Lagrange. {

min.: f(x, y) = 2x2 + y2

suj.: x+ y − 9 = 0

La funcion de Lagrange es:

L(x, y;λ) = 2x2 + y2 + λ(x+ y − 9)

Y el sistema a resolver: L′x(x, y;λ) = 4x+ λ = 0

L′y(x, y;λ) = 2y + λ = 0

x+ y − 9 = 0

Su solucion unica es: x = 3, y = 6, con λ = −12.

10.2.6 Proposicion. (Condiciones suficientes para extremo condicionado) Para decidirsi un punto crıtico corresponde o no a un extremo condicionado, se calcula el hessiano dela funcion de Lagrange en cada punto crıtico.

|HL(x0, y0;λ0)| =

∣∣∣∣∣ L′′xx(x0, y0;λ0) L′′xy(x0, y0;λ0)

L′′yx(x0, y0;λ0) L′′yy(x0, y0;λ0)

∣∣∣∣∣= L′′xx(x0, y0;λ0)L′′yy(x0, y0;λ0)− (L′′xy(x0, y0;λ0))2


Entonces:

• Si |HL(x0, y0;λ0)| > 0 y L′′xx(x0, y0;λ0) > 0, el punto crıtico corresponde a un mınimocondicionado.

• Si |HL(x0, y0;λ0) > 0| y L′′xx(x0, y0;λ0) < 0, el punto crıtico corresponde a un maximocondicionado.

• Cualquier otra situacion es dudosa

10.2.7 Ejemplo. En el anterior ejemplo 10.2.5,{min.: f(x, y) = 2x2 + y2

suj.: x+ y − 9 = 0

con funcion de Lagrange: L(x, y;λ) = 2x2 + y2 + λ(x + y − 9) y derivadas: L′x = 4x + λ,L′y = 2y + λ, obtuvimos la solucion: x = 3, y = 6, λ = −12. Clasifiquemos este puntocrıtico:

L′′xx = 4, L′′yy = 2, L′′xy = 0

Se tiene |HL(3, 6;−12)| = 8 > 0, L′′xx(3, 6;−12) = 4 > 0, por lo que se trata de un mınimocondicionado.

10.2.8 Observacion. (Generalizcion) De forma analoga a la estudiada para funciones dedos variables sujetas a una condicion, puede plantearse el caso mas general de busqueda demaximos y mınimos para una funcion de cualquier numero de variables, f(x1, x2, . . . , xn),sujetas a una restriccion g(x1, x2, . . . , xn).{

opt.: f(x1, x2, . . . , xn) → funcion objetivo

suj.: g(x1, x2, . . . , xn) = 0 → restriccion

Tambien en este caso, la solucion podrıa obtenerse despejando en la ecuacion g = 0 una delas variables en funcion de las demas, y sustituyendo esta relacion en la funcion objetivo,de manera que el problema se reduce a otro de optimizacion, con n− 1 variables.

10.2.9 Ejemplo. Determinemos los numeros positivos, x, y y z, cuya suma de cuadradoses mınima, con la condicion de que la suma de los tres numeros valga 1.{

min.: f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

suj.: x+ y + z = 1

Podemos despejar en la restriccion: z = 1− x− y, de manera que la funcion a minimizar,expresada con solo dos variables, es

F (x, y) = x2 + y2 + (1− x− y)2 = 2x2 + 2y2 + 2xy − 2x− 2y + 1

Derivando e igualando a cero:{F ′x(x, y) = 4x+ 2y − 2 = 0F ′y(x, y) = 4y + 2x− 2 = 0

La solucion de este sistema es x = y = 1/3, de donde z = 1−x−y = 1/3. Ası, la solucionunica corresponde al caso en que los tres numeros son iguales.


La matriz hessiana es

Hf (x, y) = Hf

(1

3,1

3

)=

(4 22 4

)Los menores principales, |H1| = 4 y |H2| = 12 son ambos positivos, luego el punto crıticocorresponde a un mınimo.

Como en el caso de dos variables con una condicion, el problema tambien puede analizarsecon el metodo del multiplicador de Lagrange. En la practica, dado el problema{

opt.: f(x1, x2, . . . , xn)

suj.: g(x1, x2, . . . , xn) = 0

se construye la funcion auxiliar de Lagrange

L(x1, x2, . . . , xn;λ) = f(x1, x2, . . . , xn) + λg(x1, x2, . . . , xn)

y se plantea el sistema de n + 1 ecuaciones, formado por las n derivadas parciales de lafuncion de Lagrange igualadas a 0, junto con la restriccion g = 0. Las soluciones de estesistema son los puntos crıticos del problema.

Para decidir si un punto crıtico corresponde a un maximo o un mınimo condicionado, seestudia la matriz hessiana de la funcion auxiliar de Lagrange, siendo validas las respectivascondiciones de maximo o mınimo, estudiadas para el caso sin restricciones.

10.2.10 Ejemplo. Para el problema del ejemplo anterior{min.: f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

suj.: x+ y + z = 1

la funcion auxiliar de Lagrange es:

L(x, y, z;λ) = x2 + y2 + z2 + λ(x+ y + z − 1)

El sistema de ecuaciones asociado es:L′x = 2x+ λ = 0L′y = 2y + λ = 0L′z = 2z + λ = 0x+ y + z = 1

Cuya solucion unica es: x = y = z = 1/3, λ = −2/3.

Para clasificar el punto crıtico, construımos la matriz hessiana correspondiente a la funcionde Lagrange:

HL(x, y, z;λ) = HL

(1

3,1

3,1

3;−2

3

)=

2 0 00 2 00 0 2

Puesto que los menores principales son todos positivos (2, 4 y 8), la solucion correspondea un mınimo.


10.2.11 Observacion. Cuando la matriz hessiana de la funcion auxiliar de Lagrangeconduce a un caso dudoso, se recurre a la matriz hessiana ampliada o hessiana orlada, dadapor: HL,g:

HL,g =

0 g′x1

g′x2. . . g′xn

g′x1L′′x1x1

L′′x1x2. . . L′′x1xn

g′x2L′′x2x1

L′′x2x2. . . L′′x2xn

. . .g′xn

L′′xnx1L′′xnx2

. . . L′′xnxn

Sean |H1|, |H2|, . . . |Hn+1| = |HL,g| los menores principales de esta matriz hessiana orlada,calculados en un punto crıtico x∗. Suponemos que todos estos determinantes son distintosde cero (con la excepcion obvia de |H1|). Entonces

• Si |H3| < 0, |H4| < 0, |H5| < 0,. . . , en x∗ hay un mınimo relativo condicionado.

• Si |H3| > 0, |H4| < 0, |H5| > 0,. . . , en x∗ hay un maximo relativo condicionado.

En particular, para una funcion de dos variables, con una restriccion{opt.: f(x, y)

suj.: g(x, y) = 0

con matriz hessiana orlada

HL,g =

0 g′x g′yg′x L′′xx L′′xyg′y L′′yx L′′yy

se cumple:

• Si |HL,g| < 0, el punto crıtico corresponde a un mınimo condicionado.

• Si |HL,g| > 0, el punto crıtico corresponde a un maximo condicionado.

10.2.12 Ejemplo. Determinemos el rectangulo con area maxima, de entre los que tienenperımetro igual a 4 unidades. {

max.: S(x, y) = xy

suj.: 2x+ 2y − 4 = 0

Usamos el metodo de Lagrange.

L(x, y;λ) = xy + λ(2x+ 2y − 4)

Debemos resolver el sistema: L′x(x, y;λ) = y + 2λ = 0

L′y(x, y;λ) = x+ 2λ = 0

2x+ 2y − 4 = 0

La solucion unica es: x = y = 1, con λ = −12. Intentamos clasificar este punto crıtico,

mediante la matriz hessiana de la funcion auxiliar L:

HL =

(0 11 0

)Departamento: EIM 46 Universidad Publica de Navarra

Su determinante es negativo, por lo que se trata de un caso dudoso. La matriz hessianaorlada es:

HL,g =

0 2 22 0 12 1 0

Su determinante |HL,g| = 8 es positivo, luego se trata de un maximo; es decir, el rectangulode area maxima, con perımetro de cuatro unidades, resulta ser el cuadrado de lado 1.

Parte IV

CALCULO INTEGRAL

11. Integral indefinida

11.1. Primitivas e integral indefinida

11.1.1 Definicion. Se denomina funcion primitiva de una funcion f(x) a toda funcionF (x) que verifique F ′(x) = f(x).

11.1.2 Ejemplo. Sea f(x) = 3x2. Se tiene:

• F (x) = x3 es una primitiva.

• G(x) = x3 − 6 es otra primitiva.

• H(x) = x3 +√

2 es otra primitiva.

• Q(x) = x3 + x NO es primitiva de f(x) = 3x2.

11.1.3 Proposicion. Si dos funciones F (x) y G(x) son primitivas de una misma funcionf(x), entonces su diferencia es constante.

Es decir, existe un numero real C tal que G(x) = F (x) + C, para todo x del dominio.

11.1.4 Definicion. Se denomina integral indefinida de una funcion f(x) al conjunto detodas sus primitivas. Se representa ∫

f(x) dx

notacion en la que la funcion f(x) se denomina integrando.

11.1.5 Observacion. Por lo que acabamos de ver, si F (x) es una primitiva de f(x),cualquier otra primitiva puede obtenerse sumando a F (x) una constante adecuada. Poreso, el conjunto de primitivas, dado por la integral indefinida, suele expresarse∫

f(x)dx = F (x) + C

Suele decirse que C (en realidad, un parametro) es la constante de integracion.

11.1.6 Ejemplo. ∫3x2 dx = x3 + C


11.1.7 Proposicion. La integral indefinida es un operador lineal, esto es, dadas dosfunciones f y g y un numero real k:

•∫

[f(x) + g(x)] dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx

•∫k · f(x) dx = k ·

∫f(x) dx

11.1.8 Observacion. Los metodos de integracion consisten, basicamente, en transformarla integral dada hasta obtener un integrando con primitiva conocida. Estas integrales deprimitiva conocida suelen llamarse inmediatas.

11.1.9 Proposicion. (Tabla de integrales) Algunas integrales inmediatas son:

•∫

1 dx = x+ C

•∫a dx = ax+ C

•∫x dx =

x2

2+ C

•∫xa dx =

xa+1

a+ 1+ C (a 6= −1)

•∫

1

xdx = ln |x|+ C

•∫axdx =

ax

ln a+ C

•∫exdx = ex + C

•∫

senxdx = − cosx+ C

•∫

cosxdx = senx+ C

•∫

tg xdx = − ln |cosx|+ C

•∫

dx

cos2 x= tg x+ C

•∫

dx

sen2 x= − cotg x+ C

•∫

dx√1− x2

= arc sen x+ C

•∫

dx

1 + x2= arc tg x+ C

11.1.10 Ejemplo. Calculemos: ∫ (2x+

1

x

)2

dx


Desarrollando el integrando y por linealidad:∫ (2x+

1

x

)2

dx =

∫ (4x2 +

1

x2+ 4

)dx = 4

∫x2 dx+

∫dx

x2+

∫4 dx

=4

3x3 − 1

x+ 4x+ C

11.2. Integracion por sustitucion o cambio de variable

11.2.1 Proposicion. Si en la integral∫f(x)dx hacemos el cambio de variable dado por

x = g(t), siendo g una funcion derivable y con inversa, entonces∫f(x)dx ≡

∫f(g(t))g′(t)dt

11.2.2 Observacion. En la practica, tras aplicar un cambio de variable, se resuelve lasegunda integral, que suponemos mas sencilla que la original. En el resultado se deshaceel cambio de variable mediante t = g−1(x).

El metodo se recuerda con mas facilidad asumiendo que dada una funcion x = g(t), valela sustitucion dx = g′(t)dt.

11.2.3 Ejemplo. Para resolver

∫dx√2− x

, pensamos en hacer 2− x = t2 (para evitar la

raiz cuadrada): realizamos el cambio

x = 2− t2 dx = −2t dt

La integral se transforma en∫−2t dt√

t2=

∫−2 dt = −2t+ C

De x = 2− t2 obtenemos t =√

2− x. Por tanto∫dx√2− x

= −2 ·√

2− x+ C

11.2.4 Observacion. Un cambio de variable, que hemos descrito en la forma x = g(t),dx = g′(t) dt, puede aplicarse en ocasiones mas sencillamente a traves del cambio inverso:

t = h(x) dt = h′(x) dx

Suele ser ası cuando la derivada h′(x) se reconoce como factor del integrando.

11.2.5 Ejemplo. Dada la integral

∫x2 · e2x3+1 dx; aplicamos el cambio t = 2x3 + 1, de

donde dt = 6x2 dx. Se obtiene∫x2 · e2x3+1 dx =

1

6

∫6x2 · e2x3+1 dx =

1

6

∫et dt =

et

6+ C =

e2x3+1

6+ C


11.3. Integracion por partes

11.3.1 Proposicion. Si en una integral el integrando f(x) se expresa como producto deun factor u(x) por otro v′(x), se cumple:∫

u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx

Teniendo en cuenta que du = u′(x)dx y dv = v′(x)dx, la formula de integracion por partesse suele presentar en la forma ∫

u dv = uv −∫v du

11.3.2 Ejemplo. Resolvamos∫x ex dx. Tomamos:{

u = xdv = ex dx

{du = dxv = ex

Por tanto: ∫x ex dx = x ex −

∫ex dx = x ex − ex + C

12. Integral definida

12.1. Sumas superiores e inferiores, concepto de integral defini-da

12.1.1 Definicion. Dada una funcion f(x), que supondremos continua en el intervalo[a, b], dividimos el intervalo en intervalos mas pequenos mediante los puntos de divisionP = {x0, x1, . . . , xn}

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

Evaluando el mınimo mi y el maximo Mi de la funcion en cada subintervalo, se define lasuma inferior de f(x) mediante

s(P ) = m1(x1 − x0) +m2(x2 − x1) + · · ·+mn(xn − xn−1)

Analogamente, se define la suma superior

S(P ) = M1(x1 − x0) +M2(x2 − x1) + · · ·+Mn(xn − xn−1)

12.1.2 Observacion. Geometricamente, las sumas inferiores y superiores se correspondencon la suma de las areas de los rectangulos con base en los subintervalos y altura el mınimoy maximo de la funcion en cada uno de ellos (rectangulos interiores y exteriores).

Sumas superiores e inferiores

a x1 x2 x3 b


12.1.3 Proposicion. Siendo f(x) continua en [a, b], al anadir sucesivamente mas y maspuntos de division en el intervalo [a, b], P1, P2,. . . , de manera que la longitud de todoslos subintervalos tienda a cero, se cumple que las sumas inferiores crecen y las superioresdecrecen, definiendo ambas un lımite comun I.

s(P1) ≤ s(P2) ≤ · · · ≤ I ≤ · · ·S(P2) ≤ · · · ≤ S(P1)

12.1.4 Definicion. (Integral definida) El valor del lımite comun anterior se llama integraldefinida entre a y b de la funcion f , y se representa∫ b

a

f(x)dx

12.2. Medida de areas y otras propiedades de la integral

12.2.1 Observacion. Para f(x) positiva en [a, b], las correspondientes sumas inferiores ysuperiores aproximan cada vez mejor el area bajo la grafica de f(x), sobre el eje OX, entrex = a y x = b. La integral, lımite de estas sumas, proporciona la medida de dicha area.(Para f(x) negativa, la integral mide el area sobre f(x) y bajo OX, con signo negativo.)

a b

12.2.2 Proposicion. La integral definida satisface las siguientes propiedades, relativasal intervalo de integracion:

• Si se intercambian los extremos del intervalo de integracion, la integral cambia de

signo, pero no de valor absoluto.

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx.

Haciendo en esta formula a = b, se tiene como consecuencia:

∫ a

a

f(x) = 0.

• Descomposicion del intervalo: para un punto c entre a y b:

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+∫ b

c

f(x)dx.

12.2.3 Proposicion. La integral definida es un operador lineal:

•∫ b

a

[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx

•∫ b

a

k · f(x) dx = k ·∫ b

a

f(x) dx

12.2.4 Proposicion. La integral definida satisface las siguientes propiedades, referidasa la acotacion. Siendo a < b:


• Si f(x) ≥ 0 en [a, b], se verifica:

∫ b

a

f(x)dx ≥ 0.

• Si f(x) ≤ g(x) en [a, b] se tiene:

∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx. En particular, aplicando lo

anterior se deduce que

∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)|dx (el valor absoluto de la integral de

una funcion es menor o igual que la integral del valor absoluto de la funcion).

12.3. Valor medio integral

12.3.1 Proposicion. (Teorema de la media) Dada una funcion f(x) continua en el in-tervalo [a, b], existe un valor c interior al intervalo que verifica:∫ b

a

f(x)dx = (b− a) · f(c)

El valor f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx se interpreta como valor medio o promedio de la funcion

en el intervalo citado.

12.3.2 Definicion. Dada f(x) continua en [a, b], definimos para x ∈ [a, b] la llamadafuncion integral de f(x) en [a, b] o tambien integral funcion de su lımite superior dada por

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

12.3.3 Proposicion. La funcion integral F (x) =

∫ x

a

f(t)dt es continua en [a, b] y deri-

vable en (a, b) condF (x)

dx= f(x)

Con otras palabras, F (x) es una primitiva de f(x).

12.3.4 Proposicion. (Formula de Barrow) Si f(x) es una funcion continua en [a, b] yG(x) es una primitiva cualquiera de f(x), se tiene que:∫ b

a

f(x)dx = G(b)−G(a)


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