PROPOSICIONES

PROPOSICIN SIMPLE

Una proposicin matemtica es una expresin algebraica que puede acarrear dos valores:

ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez.

Denominadas a travs de letras minsculas, las proposiciones matemticas tienen un valor de

verdad (que ser la veracidad o la falsedad de su enunciado). De acuerdo a sus

caractersticas, es posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de

conectores lgicos) y proposiciones compuestas (cuentan con ms de un conector lgico).

Dentro de estos grupos tambin pueden advertirse otras clasificaciones: proposiciones

relacionales, proposiciones predicativas, etc.

Las proposiciones matemticas pueden ser vistas como expresiones de juicio que no pueden

resultar verdaderas y falsas de manera simultnea.

EJEMPLO

9 es mltiplo de 3 Dicha expresin es una pro

Posicin matemtica que resulta verdadera, ya que 3 x 3 es igual a 9 y, por lo

tanto, 9 es uno de los infinitos mltiplos de 3.

Como decamos lneas arriba, la proposicin matemtica tambin puede ser falsa:

7 es mltiplo de 3 En este caso, la proposicin es falsa ya que 7 no est entre los mltiplos de 3

(3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9).

PROPOSICIN COMPUESTA

Si las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn se combinan para formar la proposicin P, diremos

que P la es una proposicin compuesta de p1, p2, . . . , pn.

Ejemplo

La matemtica Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor Es una proposicin compuesta por las proposiciones La matemtica Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor.

l es inteligente o estudia todos los das Es una proposicin compuesta por dos proposiciones: l es inteligente y l estudia todos los das.

La propiedad fundamental de una proposicin compuesta es que su valor de verdad est

completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen

junto con la forma en que estn conectadas.

VARIABLE LOGICA:

La variable lgica es aquella variable que slo permite dos valores o estados, ya sean

verdadero o falso, positivo o negativo o 1 o 0.

EJEMPLO

Imaginemos que A es una variable que almacena la respuesta a la pregunta vienes maana? que slo puede tener dos respuestas s o no. Si es s no puede ser no, si es

no, no puede ser s. Normalmente la variables lgicas de representan por 0 o 1 de

forma numrica lo que conforma el sistema binario de numeracin usado en sistemas

digitales (dentro de los digitales estn los computacionales).

CONECTORES DE PROPOSICIONES

Existen conectores u operadores lgicas que permiten formar proposiciones compuestas

(formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores bsicos son:

NEGACIN

Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.

Prefijos negativos: a, des, in, i.

Condicin: lo V se transforma en F (y al revs) P p

CONJUNCIN:

Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, tambin, sin embargo, adems, etc.

Condicin: es V cuando ambas son V.

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene

corriente en la batera"

Sean:

p= tiene gasolina el tanque

q = tiene corriente la batera

r = el auto enciende = p ^ q

La conclusin resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el

tanque y corriente en la batera, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no

arrancar.

DISYUNCIN INCLUSIVA

Una, otra o ambas a la vez. (y/o)

Palabras conectivas: o

Condicin: es F cuando las dos son F.

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un

pase"

Sean:

p= compra boleto

q = obtiene un pase

r = una persona entra al cine = p v q

La conclusin resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo

menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas

tambin se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede

entrar al cine.

DISYUNCIN EXCLUSIVA

O una o la otra (NUNCA ambas juntas)

Palabras conectivas:

O ......... o .....

O bien .... o bien

.... a menos que ....

.... salvo que ......

Condicin: es V cuando uno es V y el otro es F.

LA CONDICIONAL

Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q.. Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q..

Siempre ......p............. , ....q.. Es condicin suficiente..p..para que..q.. .........q........ slo si

......p....... Es condicin necesaria...q..para que..p..

Condicin: es falsa slo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.

Ejemplo:

Si se tiene lo proposicin "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que

estamos diciendo es que la primera proposicin "si el cuerpo se calienta" implica a la

segunda proposicin " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es

verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calent y el cuerpo

se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe.

LA BICONDICIONAL

Palabras conectivas: si y slo si; cuando y slo cuando; es equivalente a; es condicin

suficiente y necesaria para; etc.

Condicin: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".

NEGACION CONJUNTA

Simbolizaciones equivalentes:

Palabras conectivas:

Ni.... ni.....

No.... ni.....

Condicin: es V si slo ambas proposiciones son F.

NEGACION CONJUNTA

Simbolizaciones equivalentes:

Palabras conectivas:

O no............... o no......

Es incompatible.... con.......

Condicin: es F si las proposiciones son ambas V

CUANTIFICADORES LGICOS

A instancias de la lgica, de las matemticas y de la teora de conjuntos, los cuantificadores

son smbolos que se emplean en los mencionados contextos para poder sealar cuantos o los

tipos de elementos que integran un conjunto dado y que cumplen con determinada propiedad.

Nos podremos encontrar con una variedad de cuantificadores, aunque, entre los ms

empleados se cuentan: cuantificador universal y cuantificador existencial.

El cuantificador universal, que se simboliza as: , es empleado con la misin de establecer que todos los elementos de un conjunto cumplen con una propiedad dada.

El cuantificador existencial, se usa el smbolo: , ser usado para sealar que existen uno

o ms elementos en el conjunto en cuestin que cumplen con una determinada propiedad.

Cabe destacarse que esta palabra se halla en estrecha relacin con otro concepto, el de

cuantificar, el cual implica una accin que es la de enunciar una cantidad.

Entonces, de esto se desprende que ambos conceptos se vinculan con lo cuantitativo que

implica la indicacin de una magnitud a partir de nmeros.

Siempre que se cuantifique algo se estar poniendo la situacin en cuestin en nmeros,

hecho que permite a veces conocer la magnitud o el alcance que pueda tener esa situacin.

As, por ejemplo, cuando se dice que un choque de autos en cadena dej el saldo de 10

muertos y 20 heridos nos permite saber que se trat de un accidente realmente importante y

de alto impacto porque justamente hubo varias vctimas.

La cuantificacin es una actividad hper presente en nuestra vida cotidiana, no solamente nos

permite conocer los alcances de un evento dado sino tambin nos permite pedir una

determinada cantidad de algo para de esa manera no adquirir algo en demasa, o en su defecto

que luego nos falte algo y nos impida realizar aquella tarea o accin prevista.

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

Todo elemento x de A pertenece a B:

Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los

elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garanta suficiente para que dos conjuntos

cualesquiera puedan ser diferentes:

Es decir: no para todo elemento y de B se cumple que y tambin pertenezca a A.

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

existe al menos un elemento x de B que pertenece a A:

Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no

todos los elementos de Bpertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un

elemento y de B que no pertenece a A:

Que podemos leer: existe al menos un elemento y en B, y este elemento y no pertenece a A.

CONJUNTO

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo

un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como

hato, rebao, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota

una coleccin de elementos claramente entre s, que guardan alguna caracterstica en comn.

Ya sean nmeros, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definicin

de este, sino que se trabaja con la notacin de coleccin y agrupamiento de objetos, lo mismo

puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La caracterstica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un

objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera

el conjunto de los nmeros dgitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no.

Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto

que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el

conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir as:

{ a, b, c, ..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).

CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre

de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la

letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros nmeros naturales el conjunto

queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de nmeros naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }

Conjunto de nmeros enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Conjunto de nmeros racionales (nmeros que se representan como el cociente de dos

nmeros enteros {fracciones }). Estos nmeros se representan por una Q

Conjunto de nmeros irracionales (nmeros que no puedan representarse como el cociente

de dos nmeros enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los nmeros reales que son los nmeros racionales e irracionales es decir todos,

representados por R.

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B est contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si

A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo

elemento de B lo es de A tambin.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B A. Si B no es subconjunto de A se

indicar con una diagonal .

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que

no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensin como:

A'={ x U/x y x A }

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A U

El complemento de A estar dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }

DEFINICIN DE CONJUNTOS POR COMPRENSIN Y EXTENSIN

EXTENSIN: el conjunto que enumera uno a uno todos los elementos.

Ej: A= (a, e, i, o, u)

COMPRENSIN: el conjunto que determina las propiedades que caracterizan a todos los

elementos.

Ej: R= nmeros pares menores que 20.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION

La unin de dos conjuntos A y B la denotaremos por A B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos a los dos. Lo

que se denota por:

A B = { x/x A x B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCION

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le

llama interseccin de A y B; y se denota por A B, algebraicamente se escribe as:

A B = { x/x A y x B }

Y se lee el conjunto de elementos x que estn en A y estn en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q P={ a, b, o, r, s, y }

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el

conjunto de los elementos de A que no estn en B y se representa por

comprehensin como:

A - B={ x/x A ; X B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto

A que no estn en B. Si la operacin fuera B - A el resultado es

B A = { g, h, i }

E indica los elementos que estn en B y no en A.

DIFERENCIA SIMETRICA

La DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS es la operacin binaria, en la cual dos

conjuntos cualesquiera, A y B, especifican cuales elementos NO SON COMUNES

formando un nuevo conjunto llamado DIFERENCIA SIMTRICA.

El smbolo de la DIFERENCIA SIMTRICA es:

La DIFERENCIA SIMTRICA del conjunto A y el conjunto B, se representa como: AB

Sean dos conjuntos A y B.

Sea A definido asi: A = {j, u, g, o, d, e}

Sea B definido asi: B = {m, a, n, g, o}

La DIFERENCIA SIMTRICA posible se representa asi AB = {j, u, d, e, m, a, n}

PRODUCTO CARTESIANO

En matemticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operacin, que resulta en

otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse

tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento

del par ordenado del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

y

su producto cartesiano es:

que se representa:

RELACION Y FUNCION

Una relacin es un vnculo o una correspondencia. En el caso de la relacin matemtica,

se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer

conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla

de funcin. Esto quiere decir que las funciones matemticas siempre son, a su vez,

relaciones matemticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.

En una relacin matemtica, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que

el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemticas

existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

Supongamos que el dominio se llama M y el rango, N. Una relacin matemtica

de M en N ser un subconjunto del producto cartesiano M x N. Las relaciones, en otras

palabras, sern pares ordenados que vinculen elementos de M con elementos de N.

Si M = {5, 7} y N = {3, 6, 8}, el producto cartesiano de M x N sern los siguientes pares

ordenados:

M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}

Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. La relacin

matemtica del conjunto de pares cuyo segundo elemento es menor a 7 es R = {(5, 3), (5,

6), (7, 3), (7, 6)}

Otra relacin matemtica que puede definirse es aquella del conjunto de pares cuyo

segundo elemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}