MATEMATICA APLICADA

MATEMATICA APLICADA Ing. Enrique Tapia S.

DOCENTE ESPOCH

MATEMÁTICA APLICADA. Análisis del punto de Equilibrio

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CAPITULO I

ANÁLISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO

1.1 INTRODUCCION Todo gerente necesita saber por anticipado, si un nuevo producto o una nueva empresa, va a producir utilidad o no y en qué nivel de actividad productiva comienza esa utilidad. Para determinarlo se puede utilizar el análisis de punto de equilibrio.

Cuando se tienen estados financieros proyectados y todos los resultados dependen de cierto número de variables, el punto de equilibrio es muy fácil de calcular.

Para entender a cabalidad este aspecto, es preciso definir algunos costos, con la ayuda de la siguiente gráfica:

GRAFICA 1.- COSTOS FIJOS, VARIABLES Y TOTALES

[MATEMATICA APLICADA ] 3

1.1.1 Costo variable total (CVT)

Es aquel cuyo valor está determinado, en proporción

directa, por el volumen de producción, ventas o cualquier

otra medida de actividad.

1.1.2 Costo variable unitario (CVU)

Es el valor asociado a cada unidad de lo que se produce o del servicio que se presta.

1.1.3 Costo Marginal (CM)

Es el costo de producir una unidad extra de un bien o servicio. El costo marginal puede ser el costo variable unitario, sin embargo, si los costos variables unitarios no son constantes y hay economías de escala, el costo marginal dependerá del nivel de operación en que se trabaje.

1.1.4 Costo fijo (CF)

Es aquel costo de una determinada actividad que no varía durante un cierto período, independientemente del volumen de esa actividad.

Se deben tener en cuenta las siguientes variables: cantidad producida, precio de venta unitario, costos fijos y costos variables unitarios.

GRAFICA 2.- INGRESOS MONETARIOS


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1.2 COMPRENSION DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

El análisis del PUNTO DE EQUILIBRIO estudia la relación que existe entre costos y gastos fijos, costos y gastos variables, volumen de ventas y utilidades operacionales. Se entiende por PUNTO DE EQUILIBRIO aquel nivel de producción y ventas que una empresa o negocio alcanza para lograr cubrir los costos y gastos con sus ingresos obtenidos. En otras palabras, a este nivel de producción y ventas la utilidad operacional es cero, o sea, que los ingresos son iguales a la sumatoria de los costos y gastos operacionales. También el punto de equilibrio se considera como una herramienta útil para determinar el apalancamiento operativo que puede tener una empresa en un momento determinado.

1.3DEDUCCION DE LA FORMULA DEL PUNTO DE EQUILIBRIO Para determinar el punto de equilibrio se tiene que igualar los ingresos Y, y los costos C

En forma matemática se tendrá los ingresos por venta como:

Ingresos = Precio de Venta Unitario X Cantidad Vendida

(1) Y = PVu x Q

Donde:

Y = Ingresos por la Venta PVu = Precio de Venta


Q= Cantidad vendida

El costo total C matemáticamente viene dado por la ecuación:

Costo total = Costo Fijo + Costo Variable Total

(2) C = CF + CVT

El costo Variable total es igual al Costo Variable unitario multiplicado por la cantidad Q:

CVT = CVu x Q

Donde:

C = Costo Total CF = Costo Fijo CVT = Costo Variable total Q = Cantidad Producida

Para obtener el punto de equilibrio igualamos la ecuación:

(1) = (2)

Es decir los ingresos es igual al costo: (1) = (2)

Y = C

PVu x Q = CF + CVu x Q

Despejando Q se tiene la fórmula para determinar EL PUNTO DE EQUILIBRIO:

Q = CF/ (PVu – CVu)

GRAFICA3.- GRAFICA TIPO DEL PUNTO DE EQUILIBRIO


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Es decir el punto de equilibrio es el Costo Fijo dividido entre la diferencia del precio de venta unitario menos el Costo Variable unitario.

Este punto de equilibrio es aquella cantidad que producida y vendida, permite recuperar exactamente los costos variables, más los costos fijos asociados a la operación.

1.4 APLICACIONES DEL PUNTO DE EQUILIBRIO A continuación se presenta la aplicación del punto de equilibrio con un ejemplo.


Ejemplo 1: Calculo del punto de equilibrio en unidades de la producción de escritorios de oficina.

Supóngase que queremos producir escritorios de oficina que requiere unos costos fijos de $ 4,500 cuyo costo variable de producción es de $ 75 dólares por unidad y su precio al consumidor es de $150.

Solución:

Los ingresos son:

Y = 150 x Q

Los costos son:

5000+ 75 x Q

El punto de equilibrio, donde los ingresos son iguales a los costos, será:

Q = CF/ (PVu – Cvu) Q / (150-75) unidades

l costo C de producción para unidades es: C = 4,500 + 75x60 C = 9,000 dólares

Esto quiere decir que si se fabrican 60 unidades, el costo de producción es de 9,000 dólares. Y si se venden 60 unidades a un valor de venta de 150 se obtiene


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9,000 dólares de ingreso, se concluye que no se obtienen ganancia ni utilidad. Es decir, los Ingresos son iguales a los costos.

Y = C U = Y - C U = 9,000 – 9,000 U = 0

Si se venden más de 60 unidades se obtiene utilidad, calculemos el ingreso para 70 unidades que es mayor que las 60 unidades de escritorios producidos:

Y = 150 dólares x 80 unidades = 12,000 dólares

Los costos para 70 unidades es:

C = 4,500 + 75x70 C = 9,750 dólares

Si restamos los ingresos Y del Costo C se obtiene la utilidad U:

La utilidad U viene dada por la ecuación:

U = Y - C U = 10,500 – 9,750 U = 750 dólares

Es decir se tiene una utilidad de 750 dólares


Ahora analicemos si se producen 50 unidades de escritorios que es menor que las 60 unidades:

El ingreso es:

Y = 150x50 Y = 7,500 dólares

El Costo es:

C = 4,500 + 75x50 C= 8,250 dólares

Se concluye que estamos por debajo de las 60 unidades de producción, y se tiene una pérdida de:

U = Y – C U = 7,500 – 8,250 U = -750 dólares

Por consiguiente la pérdida es de 750 dólares.

Los resultados se ilustran en la siguiente tabla 1, en la que se indica que de 0 a 59 unidades el resultado operativo nos dá saldo negativo, es decír la empresa tiene pérdidas, en 60 unidades de escritorios producidos estamos en el punto de equilibrio en el que los ingresos son iguales a los costos totales, y a partír de 61 escritorios en adelante se obtiene utilidad.


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TABLA 1. CALCULO DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

UNIDADES INGRESOS COSTO COSTO COSTO RESULTADO

POR VENTAS VARIABLE FIJO TOTAL OPERATIVO

0 0 0 4500 4500 -4500

1 150 75 4500 4575 -4425

2 300 150 4500 4650 -4350

3 450 225 4500 4725 -4275

4 600 300 4500 4800 -4200

5 750 375 4500 4875 -4125

6 900 450 4500 4950 -4050

7 1050 525 4500 5025 -3975

8 1200 600 4500 5100 -3900

9 1350 675 4500 5175 -3825

10 1500 750 4500 5250 -3750

11 1650 825 4500 5325 -3675

12 1800 900 4500 5400 -3600

13 1950 975 4500 5475 -3525

14 2100 1050 4500 5550 -3450

15 2250 1125 4500 5625 -3375

16 2400 1200 4500 5700 -3300

17 2550 1275 4500 5775 -3225

18 2700 1350 4500 5850 -3150

19 2850 1425 4500 5925 -3075

20 3000 1500 4500 6000 -3000

21 3150 1575 4500 6075 -2925

[MATEMATICA APLICADA ]

1

1

22 3300 1650 4500 6150 -2850

23 3450 1725 4500 6225 -2775

24 3600 1800 4500 6300 -2700

25 3750 1875 4500 6375 -2625

26 3900 1950 4500 6450 -2550

27 4050 2025 4500 6525 -2475

28 4200 2100 4500 6600 -2400

29 4350 2175 4500 6675 -2325

30 4500 2250 4500 6750 -2250

31 4650 2325 4500 6825 -2175

32 4800 2400 4500 6900 -2100

33 4950 2475 4500 6975 -2025

34 5100 2550 4500 7050 -1950

35 5250 2625 4500 7125 -1875

36 5400 2700 4500 7200 -1800

37 5550 2775 4500 7275 -1725

38 5700 2850 4500 7350 -1650

39 5850 2925 4500 7425 -1575

40 6000 3000 4500 7500 -1500

41 6150 3075 4500 7575 -1425

42 6300 3150 4500 7650 -1350

43 6450 3225 4500 7725 -1275

44 6600 3300 4500 7800 -1200

45 6750 3375 4500 7875 -1125

46 6900 3450 4500 7950 -1050

47 7050 3525 4500 8025 -975

48 7200 3600 4500 8100 -900

49 7350 3675 4500 8175 -825

50 7500 3750 4500 8250 -750

51 7650 3825 4500 8325 -675


12

52 7800 3900 4500 8400 -600

53 7950 3975 4500 8475 -525

54 8100 4050 4500 8550 -450

55 8250 4125 4500 8625 -375

56 8400 4200 4500 8700 -300

57 8550 4275 4500 8775 -225

58 8700 4350 4500 8850 -150

59 8850 4425 4500 8925 -75

60 9000 4500 4500 9000 0

61 9150 4575 4500 9075 75

62 9300 4650 4500 9150 150

63 9450 4725 4500 9225 225

64 9600 4800 4500 9300 300

65 9750 4875 4500 9375 375

66 9900 4950 4500 9450 450

67 10050 5025 4500 9525 525

68 10200 5100 4500 9600 600

69 10350 5175 4500 9675 675

70 10500 5250 4500 9750 750

Ejemplo 2: Calculo del punto de equilibrio de una Empresa de Producción de Quesos.


1

3

La ecuación del punto de equilibrio de producir quesos tiene un costo fijo de 3,000 dólares mensuales y un costo variable unitario de $2,5 dólares por queso, por lo tanto la fórmula sería:

C = 3,000+ 2,5Q

a) Si cada queso se vende a $ 4 dólares, ¿Cuál es el punto de

equilibrio Q?

b) Si el precio de venta se incrementa a $ 5 dólares, ¿ Cuál será

el nuevo punto de equilibrio Q?

c) Si se sabe que al menos 1200 quesos pueden venderse al

mes en la Ciudad de Riobamba, ¿ Qué precio deberá fijarse

con el objeto de garantizar que no haya pérdidas en la

empresa de quesos?

d) Si se sabe que se puede vender en la ciudad de Ambato 800

quesos adicionales a los 1200 que se venden en Riobamba,

¿Cuál será la utilidad que obtiene la Empresa de Quesos,

sabiendo que el precio de venta en Ambato tiene el mismo

precio que en la ciudad de Riobamba de $ 5,0 dólares ?

Solución:

a) Partimos de la ecuación del Costo Total:

C = 3000 + 2,5Q Si cada queso se vende a $ 4 dólares la ecuación del ingreso es:


14

Y = PVuxQ Y = 4Q

El punto de equilibrio se obtiene cuando: Y = C

4Q =3,000 + 2,5Q 4Q-2,5Q = 3,000 1,5Q = 3,000 Q = 2,000 unidades mensuales

Por lo tanto el punto de equilibrio para $ 4,0 dólares es de 2,000 quesos mensuales

b) Si el precio de venta del queso se incrementa a $ 5

dólares, el ingreso sería: Y = 5Q

La ecuación del costo total no ha variado, y se mantiene en:

C = 3,000 + 2,5Q

En consecuencia el nuevo punto de equilibrio para el nuevo precio de $ 5 dólares es:

5Q = 3,000 + 2,5Q 5Q – 2,5Q = 300 2,5Q = 3,000 Q = 1,200 unidades

Con el nuevo precio el punto de equilibrio se reduce a 1,200 unidades de quesos mensuales.

c) Si se sabe que la demanda de quesos mensualen la

Ciudad de Riobamba es de 1,200 quesos, entonces los

ingresos que se obtienen mensualmente por la venta de

1,200 quesos es:

Y = PVu x 1,200 (1)

Si además la ecuación del Costo total se mantiene con la ecuación:

C = 3,000 + 2,5Q

Si reemplazamos en esta ecuación el valor de los quesos que realmente se pueden vender que es de 1,200 quesos mensuales se tiene:

C = 3000 +2,5x1200 (2)


1

5

Igualando (1) = (2)

PVu x 1200 = 3000+ 2,5x1200

Despejamos el precio de venta unitario PVu y resulta:

PVu = (3000 + 2,5x1200)/1200 PVu = $ 5 dólares por cada queso.

Es decir el precio de venta de cada queso sería de $ 5 dólares, con el fin de garantizar que no haya ganancias ni pérdidas, en el peor de los casos, si al menos se venden los 1,200 quesos mensuales.

d) Se sabe que en Riobamba máximo se pueden vender

1,200 quesos diarios, y que el mercado de la Ciudad de

Ambato se pueden vender 800 quesos adicionales al

mismo precio de $ 5 dólares cada queso.

Entonces los Ingresos totales le designamos como Y, que es la venta total de quesos entre Riobamba y Ambato seria de 2,000 quesos mensuales, a un precio de $ 5 , calculamos el ingreso Y:

Y= 5x2000 Y = 10,000 dólares de ingreso mensual de la venta de 2,000 quesos

La ecuación del Costo total no varía, lo que si se incrementa es la cantidad de quesos, esto es:

C = 3,000 + 2,5(2000)

C = 8,000 dólares de gasto total para producir 2,000 quesos mensuales.

Al determinar el punto de equilibrio se determinó que al vender en Riobamba los 1,200 quesos que se producen a $ 5,0 dólares no se obtiene ganancia ni pérdida, se encuentra por lo tanto en el punto de equilibrio. Por lo que para obtener utilidad se necesita vender en Ambato 800 quesos mensuales.

Por lo tanto la Utilidadque se obtiene por la venta de 2,000 quesos mensuales es:

Y = Y – C

Y = 10,000 - 8000

Y = 2,000 dólares mensuales.

TABLA 2. CALCULO DEL PUNTO DE

EQUILIBRIO


16


POR VENTAS VARIABLE FIJO TOTAL OPERATIVO

0 0 0 3000 3000 -3000

50 250 125 3000 3125 -2875

100 500 250 3000 3250 -2750

150 750 375 3000 3375 -2625

200 1000 500 3000 3500 -2500

250 1250 625 3000 3625 -2375

300 1500 750 3000 3750 -2250

350 1750 875 3000 3875 -2125

400 2000 1000 3000 4000 -2000

450 2250 1125 3000 4125 -1875

500 2500 1250 3000 4250 -1750

550 2750 1375 3000 4375 -1625

600 3000 1500 3000 4500 -1500

650 3250 1625 3000 4625 -1375

700 3500 1750 3000 4750 -1250

750 3750 1875 3000 4875 -1125

800 4000 2000 3000 5000 -1000

850 4250 2125 3000 5125 -875

900 4500 2250 3000 5250 -750

950 4750 2375 3000 5375 -625

1000 5000 2500 3000 5500 -500

1050 5250 2625 3000 5625 -375

1100 5500 2750 3000 5750 -250

1150 5750 2875 3000 5875 -125

1200 6000 3000 3000 6000 0

1250 6250 3125 3000 6125 125


1

7

1300 6500 3250 3000 6250 250

1350 6750 3375 3000 6375 375

1400 7000 3500 3000 6500 500

1450 7250 3625 3000 6625 625

1500 7500 3750 3000 6750 750

1550 7750 3875 3000 6875 875

1600 8000 4000 3000 7000 1000

1650 8250 4125 3000 7125 1125

1700 8500 4250 3000 7250 1250

1750 8750 4375 3000 7375 1375

1800 9000 4500 3000 7500 1500

1850 9250 4625 3000 7625 1625

1900 9500 4750 3000 7750 1750

1950 9750 4875 3000 7875 1875

2000 10000 5000 3000 8000 2000

Conclusión:

Por lo tanto se concluye que solo vender los quesos en Riobamba no genera utilidad, solo se mantiene la producción en el PUNTO DE EQUILIBRIO, la utilidad se obtiene por la venta de quesos en las dos Ciudades Ambato y Riobamba y se genera una utilidad mensual de $ 2,000 dólares.


18


1

9

CALCULO NO LINEAL DEL PUNTO

DE EQUILIBRIO

PUNTO DE EQUILIBRIO


20

Expresión usada en el contexto de la administración, organización de

la Empresa, negocios y gestión.

PUNTO DE EQUILIBRIO NO LINEAL

Se refiere a un análisis de punto de Equilibrio basado en el supuesto de que

las relaciones de los Costos e Ingresos para la cantidad podrá fluctuar en

diferentes niveles de operación.

Existen casos en que la ecuación del costo total no es lineal, es

decir obedece a ecuaciones que pueden ser cuadráticas o de

segundo grado, entonces la ecuación se determina con la siguiente

fórmula:

C = ax2 + bx +c

Donde:

C = Costo total a,b,c = constantes

Ejemplo 3: Producción de cajas de mermeladas

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/E/EMPRESA.htm

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/E/EQUILIBRIO.htm

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/C/COSTO.htm

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/I/INGRESO.htm


2

1

Un negocio de venta de mermeladas vende su caja que contiene 4

unidades a $ 3,10 cada caja. Si X es el número de cajas de

producidas a la semana ( en miles) , entonces el administrador

sabe que los costos de producción vienen dado por la siguiente

fórmula:

C = 1800 + 2000X + 100X2

Solución:

Calculemos el ingreso Y:

Y = 3,10*(1000)X

El punto de equilibrio se dá cuando los Ingreso Y son iguales a

los costos C, es decir:

Y = C

3100X = 1800 + 2000X + 100X2

Igualando a cero la ecuación y dividiendo para 100 se obtiene:

X2 + 20X - 31X + 18 = 0

X2 – 11X + 18 = 0 (1)

Si factoramos la ecuación (1), resulta:

( X – 2)(X – 9) = 0

Si igualamos cada término a cero se obtienen dos puntos de

equilibrio:

X -2 = 0 ----- X = 2 en miles de cajas


22

X- 9 = 0 ------ X = 9 en miles de cajas

Es decir la empresa de mermeladas puede decidir entre fabricar

2,000 cajas de mermeladas, o 9,000 cajas de mermeladas, para

estos valores obtenemos los ingresos y los costos así como su

utilidad que debería ser cero:

Calculemos los Ingresos para 2,000 cajas de mermeladas a un

precio de $ 3,10 por caja.

Y = 2000* 3,10

Y = 6,200 dólares

Calculemos los costos para 2000 cajas de mermeladas aplicando

la ecuación del costo C para X = 2, hay que indicar que ésta

ecuación del Costo ya está en miles de cajas.

C = 1800 + 2000*2 + 100 * (2)2

C = 1800 + 4000 + 400

C = 6,200 dólares

Por lo tanto los Ingresos Y son iguales a los costos y la utilidad es

Cero porque es uno de los puntos de equilibrio.

U = Y – C

U = 6200 – 6,200

U = 0

Calculemos ahora los ingresos, costos y utilidad para el otro

punto de equilibrio X = 9:

Y = 9,000* 3,10

Y = 27,900 dólares


2

3

C = 1800 + 2000*9 + 100*92

C = 27,900

Por tanto:

La utilidad U es:

U = Y – C

U = 27,900 – 27,900

U = 0

TABLA 2. PUNTO DE EQUILIBRIO NO LINEAL


EN MILES POR VENTAS VARIABLE FIJO TOTAL OPERATIVO

1,80 5.580,00 3.924,00 1.800,00 5.724,00 -144,00

1,85 5.735,00 4.042,25 1.800,00 5.842,25 -107,25

1,90 5.890,00 4.161,00 1.800,00 5.961,00 -71,00

1,95 6.045,00 4.280,25 1.800,00 6.080,25 -35,25

1,98 6.138,00 4.352,04 1.800,00 6.152,04 -14,04

1,99 6.169,00 4.376,01 1.800,00 6.176,01 -7,01

2,00 6.200,00 4.400,00 1.800,00 6.200,00 0,00

2,10 6.510,00 4.641,00 1.800,00 6.441,00 69,00

2,20 6.820,00 4.884,00 1.800,00 6.684,00 136,00

2,50 7.750,00 5.625,00 1.800,00 7.425,00 325,00

3,00 9.300,00 6.900,00 1.800,00 8.700,00 600,00

4,00 12.400,00 9.600,00 1.800,00 11.400,00 1.000,00

4,50 13.950,00 11.025,00 1.800,00 12.825,00 1.125,00

5,00 15.500,00 12.500,00 1.800,00 14.300,00 1.200,00

5,50 17.050,00 14.025,00 1.800,00 15.825,00 1.225,00

6,00 18.600,00 15.600,00 1.800,00 17.400,00 1.200,00

6,50 20.150,00 17.225,00 1.800,00 19.025,00 1.125,00

7,00 21.700,00 18.900,00 1.800,00 20.700,00 1.000,00


24

7,50 23.250,00 20.625,00 1.800,00 22.425,00 825,00

8,00 24.800,00 22.400,00 1.800,00 24.200,00 600,00

8,50 26.350,00 24.225,00 1.800,00 26.025,00 325,00

8,60 26.660,00 24.596,00 1.800,00 26.396,00 264,00

8,70 26.970,00 24.969,00 1.800,00 26.769,00 201,00

8,80 27.280,00 25.344,00 1.800,00 27.144,00 136,00

8,90 27.590,00 25.721,00 1.800,00 27.521,00 69,00

9,00 27.900,00 26.100,00 1.800,00 27.900,00 0,00

9,10 28.210,00 26.481,00 1.800,00 28.281,00 -71,00

GRAFICA DEL COSTO NO LINEAL

Series1

Series2


2

5

En conclusión analizando la tabla anterior la empresa de

mermeladas obtiene su utilidad al producir entre 2,000 y 9,000

cajas de éste producto, es decir desde 2001 hasta 8999 cajas de

mermeladas, ubicándose la mayor utilidad cuando se produce

alrededor de 5,500 cajas.

*Método de Depreciación Lineal o Directo - (Straight-line method)

Es el método más sencillo y el más comúnmente usado, se basa en el supuesto que la depreciación es una función del tiempo y no del uso. De este modo se supone que los servicios potenciales del activo fijo declinan en igual


26

cuantía en cada ejercicio, y que el costo de los servicios es el mismo, independientemente del grado de utilización. Para proceder a calcular la depreciación se deben considerar los siguientes elementos:

1) Monto Original de la Inversión VI, 2) Gastos de traslado, 3) Vida útil estimada T (años), 4) Valor final VF o de "rescate" (al término de la vida útil).

Ejemplo:*Método de Depreciación por Dígitos - (Sum-of-the-years'-digitsmethod) A) Método de depreciación decreciente:Este método determina cuotas de depreciación con disminución progresiva hacia los últimos años de la vida útil.

FORMULA: (Vida útil/suma dígitos)*Valor activo


2

7

EJEMPLO: Supongamos un vehículo cuyo valor es de $30.000. y una vida útil de 5 años.SUMA DE DIGITOS: 1+2+3+4+5=15Invertimos el orden de los sumandos y formaremos fracciones sucesivas decrecientes, luego:


28

V.I. = $ 30,000 DÓLARES VIDA UTIL (T ) = 5 AÑOS VF = 0 DÓLARES Todo lo que hay que hacer es dividir la vida útil restante entre la suma de dígitos que nos dá 15. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

5/15 = 0,333; 4/15 = 0,266 3/15 = 0,200 2/15 = 0,133 1/15 = 0,067


2

9

CALCULO DE LA DEPRECIACION CON VALOR DE DESECHO CERO

CALCULO DE LA DEPRECIACION VD = 0

PORC. (VI - VD) TDA DEPRECIAC. VALOR NETO

AÑO FACTOR % TDAA EN LIBROS

0 26.000,00 0 0 26.000,00

1 0,286 28,57% 26.000,00 7.428,57 7.428,57 18.571,43

2 0,238 23,81% 26.000,00 6.190,48 13.619,05 12.380,95

3 0,190 19,05% 26.000,00 4.952,38 18.571,43 7.428,57

4 0,143 14,29% 26.000,00 3.714,29 22.285,71 3.714,29

5 0,095 9,52% 26.000,00 2.476,19 24.761,90 1.238,10

6 0,048 4,76% 26.000,00 1.238,10 26.000,00 0,00


30

La ecuación de la gráfica aplicando la ecuación lineal de dos

puntos es:

V(T) = 26000 – 13000/3(T)

Series1

Series2


3

1

CALCULO DE LA DEPRECIACION

CON VALOR DE DESECHO

PORC. (VI - VD) TASA DE DEPRECIAC. VALOR NETO

AÑO FACTOR %

DEPREC.

TDA ACUM EN LIBROS

0 26.000,00 0,00 0,00 26.000,00

1 0,286 28,57% 18.000,00 5.142,86 5.142,86 20.857,14

2 0,238 23,81% 18.000,00 4.285,71 9.428,57 16.571,43

3 0,190 19,05% 18.000,00 3.428,57 12.857,14 13.142,86

4 0,143 14,29% 18.000,00 2.571,43 15.428,57 10.571,43

5 0,095 9,52% 18.000,00 1.714,29 17.142,86 8.857,14

6 0,048 4,76% 18.000,00 857,14 18.000,00 8.000,00


32

La ecuación de la gráfica aplicando dos puntos es:

V(T) = 26000-3,000(T)

OTRAS FORMULAS DE CALCULO DE LA

DEPRECIACIÓN:

Series1

Series2


3

3

TDA = (VI – VD)/ T (1)

DONDE:

TDA = TASA DE DEPRECIACION ANUAL

VI = VALOR INICIAL DEL BIEN

VD = VALOR DE DESECHO

T = VIDA UTIL EN AÑOS

V(T) = VI – TDA*T (2)

DONDE:

V(T) = VALOR DESPUES DE T AÑOS

VI = VALOR INICIAL DEL BIEN

TDA = TASA DE DEPRECIACION ANUAL

T = VIDA UTIL EN AÑOS


34

Ejemplo:

Una compañía de construcciones compra

maquinaria por un valor de $ 300,000, se espera

que la vida útil sea de 12 años, con un valor de

desecho de $ 60,000. ¿a) Determinar la TDA, y b)

determinar una fórmula para el valor de la

depreciación después de X años?

Solución:

a) Determinar el TDA aplicando la fórmula (1)

TDA =( 300,000 -60,000)/12

TDA = $ 20,000 anuales

b) Para determinar la ecuación de la

Depreciación utilizamos la ecuación lineal

conociendo dos puntos.Fórmjula (2)

El primer punto que se conoce es cuando recién se

adquiere la maquinaria es decir (0, $ 300,000) y el

segundo punto que se sabe es que después de 12

años de uso la máquinaria tendrá un valor de

desecho de $ 60,000 dólares, por tanto el segundo

punto es (12, $60.000).


3

5

La ecuación de dos puntos es:

(Y – y1) = (y2 – y1)/(x2 – x1)*(X-x1)

reemplazando datos se tiene:

(Y – 300,000) = (60.000 – 300.000)/(12-0)*(X -0)

Y = 300,000 -240.000/12*12X

Y = 300.000 -20.000X

V(T) = VI – TDA*T

Demanda, Oferta y Equilibrio

La demanda significa la cantidad que se está dispuesto a comprar de un cierto producto a un precio determinado.

Series1

Series2


36

La oferta es la cantidad de producto que una empresa está dispuesta a vender durante un período de tiempo determinado y a un precio dado. El equilibrio se refiere a la ley de la oferta y la demanda en la que el precio de todo producto viene determinado en el mercado por la contraposición de su oferta y su demanda. La cantidad de producto ofrecida es una función creciente del precio Pendiente positiva, mientras que la cantidad demandada es una función decreciente, Pendiente negativa. La cantidad y el precio de equilibrio en este modelo de equilibrio parcial son los que resultan de la intersección (la llamada cruz de Marshall) de las correspondientes curvas de oferta y demanda, tal como se indica en la siguiente figura.

GRAFICA DE OFERTA Y DEMANDA LINEAL


3

7

En la mayoría de relaciones lineales de Economía,

las ecuaciones lineales de oferta y demanda dan una

relación aproximada de las relaciones exactas entre

precio y cantidad, y surgen casos en los que las

ecuaciones de oferta y demanda obedecen a

funciones no lineales.

GRAFICO DE OFERTA Y DEMANDA NO

LINEAL

El punto de equilibrio tanto en relaciones lineales

como no lineales ocurre cuando en un precio la

cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida,

esto es el punto de intersección de las curvas de la

oferta y de la demanda.

Ejemplo 1:


38

Determinar el precio de equilibrio y la cantidad de

equilibrio de la ley de la oferta y la demanda de una

empresa de zapatos de hombre, si las ecuaciones son

las siguientes:

D: p = 25 – 2X

O: p = 3X + 500

Solución:

Igualando la ecuación de la oferta O con la ecuación

de la demanda D se tiene:

3X + 5 = 25 – 2X

5X = 25 -5

X = 20/5

X = 4

Si reemplazamos X = 4 en la ecuación de la


3

9

demanda se tiene:

D: p = 25 – 2X = 25 – 2(4) = 17

En consecuencia el precio de equilibrio del par de

zapatos es 17 dólares, y la cantidad de equilibrio es

4 pares.

TABLA DE LA OFERTA Y LA DEMANDA

x oferta demanda

0 5 25

1 8 23

2 11 21

3 14 19

4 17 17

5 20 15

6 23 13

7 26 11

8 29 9

9 32 7

10 35 5


40

Ejemplo 2: Punto de equilibrio de chompas de ñiña

La demanda de chompas de niña viene dada por la ecuación:

oferta

demanda


4

1

D: p2 + x

2 = 169

O: p = x + 7

¿ Cuáles son los precios y la cantidad del

punto de equilibrio?

Si reemplazamos la ecuación de la oferta en

la demanda se tiene:

(x+7)2 + x

2 = 169

x2 + 14x + 49 + x

2 = 169

2x2 + 14x + 49 -169 = 0

2x2 + 14x + 49 -169 = 0

2x2 + 14x - 120 = 0

x2 + 7x -60 = 0

Factorizando se tiene:

(x+12) (x-5) = 0

x+12 = 0 y x -5 = 0

x= -12 y x = 5

El valor de x= -12 se descarta por ser

negativo, y solo se obtiene el valor x= 5,

sustituyendo en la ecuación de la oferta se

tiene:

* p = x + 7 = 5 + 7 = 12


42

En consecuencia se tiene que el punto de

equilibrio es de 5 chompas y el precio de

equilibrio es de 12 dólares.

CAPITULO 3

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

3.1 DEFINICION

Un sistema de ecuaciones lineales con dos

variables X e Y consta de dos ecuaciones

de la forma:

a1X + b1Y = c1

a2X + b2Y = c2

Donde: a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son constantes,

la solución de un sistema de ecuaciones es


4

3

hallar los valores de X y Y que satisfacen

ambas ecuaciones.

3.2 MÉTODOS PARA HALLAR A LOS

SISTEMAS DE ECUACIONES

3.2.1 Método Gráfico

En el método gráfico se grafican las dos

ecuaciones en un mismo plano, y se hallan

los valores de las dos variables que

satisfacen ambas ecuaciones.

Al utilizar el método gráfico se pueden

presentar las siguientes situaciones:

1. El sistema tiene solución única

2. El sistema no tiene solución

3. El sistema tiene infinito número de

soluciones.

1.- El sistema tiene solución única:

Ejemplo: x+2y = 3

x -y = -3


44

2. El sistema no tiene solución

Este caso se presenta cuando los

coeficientes del lado que contienen las

incógnitas de las dos ecuaciones cumplen

con la condición de proporcionalidad, es

decir:

a1*b2 – a2*b1 = 0

Ejemplo: 2x+ 2y = 6

1x+ 1y = 1

La proporcionalidad es de 2 a 1 en el lado

GRAFICO CON SOLUCIÓN UNICA

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5-1

0 1 2 3 4 5 6 7 8


4

5

izquierdo del sistema de ecuaciones

2*1 -2*1= 0

3. El sistema tiene infinitas soluciones

Esta solución se presenta cuando los

coeficientes de X y de Y en las dos

ecuaciones son proporcionales:

Ejemplo: x + y = 1

3x+3y = 3

En este caso la proporcionalidad es de 1 a 3

en los dos lados del sistema de ecuaciones.

GRAFICO DEL SISTEMA SIN SOLUCION

Series1

Series2


46

3.2.2 Método de eliminación

Este método consiste en eliminar una de las

dos incógnitas, para obtener una ecuación

sencilla con sólo una incógnita, se de deben

realizar dos pasos básicos:

Paso 1.- Sumar un múltiplo de una de las

ecuaciones a la otra, de forma que una de

las incógnitas se elimina en la nueva

ecuación.

Paso 2.- Resolver la nueva ecuación para la

GRAFICO CON INFINITAS SOLUCIONES

Series1

Series2


4

7

incógnita dada y sustituir su valor en una de

las ecuaciones originales para obtener el

valor de la otra incógnita.

Ejemplo: 2x + 5y = 8

3x – 2y = -7

(-3) -6x – 15y = - 24

(2) 6x - 4y = -14

- 19y = - 38

y = 2

sustituyendo y = 2 en cualquiera de la

ecuaciones originales se tiene:

2x + 5*2 = 8

2x = 8 – 10

2x = -2

x = -1

por tanto la solución del sistema es: (-1,2)

3.2.3 Método de sustitución

El método de sustitución consiste en

despejar una de las incógnitas de cualquier

ecuación y reemplazarla en la otra


48

ecuación, una vez que se halla la una

incógnita se reemplaza en la otra ecuación:

Ejemplo: 3x – 2y = 6 (1)

6x + 10y= -30 (2)

Despejemos x de la ecuación (1)

x = (6 + 2y)/3 (3)

reemplazamos este valor de x en (2)

6(6+2y)/3 + 10y = -30

12 + 4y + 10y = -30

14y = - 42

y = -3

reemplazando y = - 3 en (3)

x = (6 +2*(-3))/3

x = 0

Por lo tanto el punto solución es (0,-3)


4

9

MATEMATICA APLICADA

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