Matemática Aplicada II Ups

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BLOQUE FUNCIONES, LMITES Y CONTINUIDAD

OBJETIVO:Al trmino de este curso el estudiante podr:Determinar analticamente el rango y dominio de funciones dadas.Calcular el lmite de las funcionesDefinir la continuidad o discontinuidad de funciones en un nmero o en un intervalo.

CONTENIDO:5.1 Funciones: dominio, rango.5.2 Lmites: 5.2.1 Definicin 5.2.2 Propiedades

5.3 Continuidad5.3.1 En un nmero y 5.3.2 En un intervalo.

DESARROLLO:En esta gua iniciaremos analizando algunos conceptos indispensables para comprender con claridad los temas que son motivo de este nivel

FUNCIN

Es un conjunto de pares ordenados de nmeros(x,y) en el cual dos pares distintos no tienen el mismo primer nmero.

EJEMPLO:

en el intervalo En esta expresin se dice que (y) es una funcin de (x), porque para cada valor asignado a (x), tendremos un valor diferente de (y).

x-3-2-10123

y23137571323

La variable no despejada (x) es conocida como variable independiente.La variable despejada (y) se conoce como variable dependiente.

Qu hacemos en este ejemplo? Solamente sustituimos el valor que inicia en -3 en el lugar de la variable x, elevamos al cuadrado, multiplicamos por 2 y sumamos 5, el resultado es 23; luego remplazamos por el valor -2 y as sucesivamente con cada valor dado en el intervalo y registramos en una tabla de valores DOMINIO DE UNA FUNCIN

Es el conjunto de todos los valores reales posibles de la variable independiente(x).

RANGO O CONTRADOMINIO DE UNA FUNCIN.

Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (y).

EJEMPLOS.

1.

, Qu hacemos en este ejemplo? Lo que hacemos es registrar en una tabla de valores, los resultados obtenidos al sustituir el valor -3 en lugar de la x en la funcin dada y luego recordar la definicin de dominio y la de rango de una funcin.

x-3-2-1012345

y2,82,62,42,221,71,410

D (dominio) = Es el conjunto de todos los valores reales posibles de la variable independiente(x).

R (rango) = Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (y).

2. g(x) = El momento de dar el valor de -4, pregunto, es menor o igual a -1, si o no?, -1 es menor que -4 menor o igual que 2?, 2 es menor que -4? En cul es verdadero? La respuesta correcta es la primera opcin entonces la imagen es -3, registro en la tabla de valores y repito con los otros valores.

x-4-3-2-10123

y-3-3-3-31114

D =

R =

3.

h(x) = , valor absoluto de -2 = 2

X-2-1012

Y21012

D =

R =

4. Y = ln x, logaritmo natural de 2 = 0,69, se usa la calculadora para encontrar estos valores

X-2-100.50,8123

Yno existe***-0,69-0,2200,691,09

D =

R =

NOTACIN FUNCIONAL

f(x) = Si queremos conocer cunto vale f(3), la variable x de la funcin original debe sustituirse por el nmero 3, resolvemos la funcin dada y encontramos el valor..f(3) = (3)2 - 2(3) + 5 = 9 6 + 5 = 8f(-2) = (-2)2 2(-2) + 5 = 4 +4 + 5 = 13f(a+b) = (a+b)2 -2(a+b) + 5 = a2 +2ab +b2 -2a-2b +5

h(x) =

h(-5) = = 5

h(7) = = 7

h(-3) = = 3

LMITES

El lmite de una funcin: sea f una funcin que se define en todo punto de algn intervalo abierto que contenga a (a), excepto posiblemente en el nmero (a) mismo. El lmite de f(x) cuando x se aproxima a (a) es L y se denota como:

f(x) = L

Si para cualquier por pequeo que sea, existe una

siempre que 0 < < En lenguaje comn significa acercarse mucho a un valor sin llegar a pasarse o salir de l, podremos acercarnos al nmero 5 todo lo que queramos sin llegar a l Justamente 5 es el lmite que no podemos tocar o no podemos salir de , mximo hasta el 5.

LYXY = f(x)x = 5

La resolucin de problemas sobre lmites, no slo puede hacerse aproximando la variable x hacia algn valor al qu se aproxima la funcin, o utilizando la definicin, se puede utilizar teoremas o propiedades para simplificar el proceso, con los cuales es posible determinar lmites de funciones.

PROPIEDADES

LMITES QUE SON IGUALES A: f(a)

Existen lmites que se resuelven al sustituir x por el valor de a aplicando las propiedades que

Determinan a los lmites, otros es necesario levantar la indeterminacin porque su resultado es .y ese no es un valor real, teniendo que aplicar un proceso especfico, que depende de la funcin con la que se desee encontrar el valor del lmite.

Lmites

Si a, b, m, son nmeros reales, entonces:

= = L L

Si a es cualquier nmero real, entonces:

Si a y C son nmeros reales cualesquiera, entonces.

= = L L

EJEMPLOS:

1. 1

2.

3.

4.

5. = 28 3 = 25

6.

= = =

7.

9(-1) - 2(-1) + 4 = 9 + 2 + 4 = 15

8.

-3(0,2) - 7(0,2) - 5(0,2) + 8 = - 3(0,008)-7(0,04) -3(0,2) + 8 = - 0,024 0,28 0,6 +8 = 7,096

9.

=

10.

11.

=

12.

LMITES LOS CUALES NO SON IGUALES A: f(a)

Son funciones que representan valores indeterminados, en este tipo de lmites se admite tres variantes para su resolucin de acuerdo a la forma que presente la funcin.

1. Factorizacin2. Racionalizacin3. Dividiendo numerador y denominador por la variable de mayor grado

EJEMPLOS:

= 10

INDETERMINADAS

LMITES LATERALES.

Son valores que toma una variable tanto a la derecha como a la izquierda para acercarse tanto como pueda pero sin llegar al valor dado como lmite.

Dice que es el lmite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a (o el lmite de f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda) es igual a L, Se puede aproximar los valores de f(x) a L tanto como queramos, escogemos una x lo bastante cerca de a pero menor que a.

Si queremos que x sea mayor que a, obtenemos el lmite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a es igual a L .

Por lo tanto, el smbolo x a+ significa que consideramos solo x>a

yyf(x)Lf(x)L

0 x a x 0 a xx

Entonces se cumple lo siguiente:

si y slo si

=

EXISTE

EJEMPLOS:

Verificar si existe o no el lmite de las siguientes funciones:

1.

f(x) =

2(2)-1 = 3

Como , 34, entonces no existe.2.

(0)2-(0) + 1 = 1

5(0) +1 = 1

Como 1, entonces 1LMITES AL INFINITO

1. Si n es cualquier entero positivo,

2. Si n es cualquier entero positivo,

=

+

3. f(x) = 0 y ,

si a es un nmero real cualquiera y C es una constante 0, entonces:

a) Si c > 0 y f(x) 0 a travs de valores + de f(x)

b) Si c > 0 y f(x) 0 a travs de valores - de f(x)

c) Si c < 0 y f(x) 0 a travs de valores + de f(x)

d) Si c < 0 y f(x) 0 a travs de valores - de f(x)

EJEMPLOS:

1.

2.

3.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN

Continuidad en un nmero

F(x) ser continua en un nmero a, si solo si cumple con las siguientes condiciones:

Que f(a) exista

Que exista

Que = f(a)

Ejemplo:

Verificar si la funcin f(x) = es continua o discontinua en: a) x = 2 b) x = 0

a) f(2) =

Conclusin f(x) es continua en x = 2

b) f(0) = no existe en el conjunto de nmeros Reales.Conclusin f(x) es discontinua en x = 0

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

F(x) es continua en el intervalo , si solo si es continua para todo nmero de dicho intervalo:

F(x) es continua en el intervalo , si solo si es continua para todo nmero de dicho intervalo y adems, contina por la derecha de a y por la izquierda de b

F(x) es continua en el intervalo , si solo si es continua en el intervalo y adems es continua por la derecha de a

F(x) es continua en el intervalo, si solo si es continua en el intervalo y adems es continua por la izquierda de b

Ejemplos:

1.

Verificar si la funcin y = es continua o discontinua en los siguientes intervalos: a) b)

a) y = no pertenece a los nmeros Reales.

y = existe = 2,24

Conclusin: f(x) es discontinua en porque los valores negativos hacen que no cumpla para todo el intervalo.

b) Demuestre que la funcin es continua en el intervalo

Si -1a1 entonces, al aplicar las leyes de los lmites tenemos

F(x) es continua en (a) si -1a1

. Clculos similares hacen ver que

De modo que f es continua desde la derecha en 1 y continua desde la izquierda en 1. Por lo tanto, f (x) es continua en .

EJEMPLOS DESARROLLADOS

Encuentre los lmites de:

1 = (-1)3 -3(-1)2 2(-1) +1 = -1

2 = = 5

Cuando al remplazar el lmite; se obtiene como resultado , (Forma 0/0); significa que debemos realizar manipulacin algebraica o factorizacin.

3 = = (indeterminacin).

Recuerda que para levantar una indeterminacin hay que eliminar los factores iguales.

Al factorar = simplifico x, obtenemos: (x-2) = -2

4

Aplicando factorizacin trinomio de la forma tenemos:

5Encuentre el lmite: Si encontrar

Si al remplazar el lmite se obtiene como resultado, una constante dividida para cero, (forma ); para encontrar el lmite; necesariamente debemos hacer el anlisis de lmites por izquierda y por derecha.

6 = = = -

-0,0000....0001

0

7 ) = 4= 4=0

0,999..9999 1,000..0001

1

Por lo tanto: ExistePorque

Como el lmite por izquierda y por derecha, son iguales, concluimos que el lmite de f(x), existe. Y es 0

Para el clculo de lmites al infinito; considera los siguientes ejemplos.

8El lmite de un polinomio cuando x tiende a o a -; es el mismo del trmino que involucra la mayor potencia de x.

El lmite de funciones racionales cuando x tiende a o a -, tomamos el mayor de los exponentes, tanto del numerador como del denominador.

9 = =

10

En el caso de que el numerador y el denominador tengan diferentes exponentes y el numerador tiene el mayor exponente; dividimos tanto el numerador como el denominador para el trmino con exponente mayor.

12 = = = = =

13 = = = -= - 1

14 = = =

15 (x+3) = -2+3 = 1

16Calcular el lmite de:

17 = =

18 = -1+1-1+1-1+1 = 0

19. =

20.

a) Determine la expresin general para el cociente de la diferencia o la definicin de derivada:

=

=

=

=

=

=

= = 40x + 6b) x = 1 x = 3

m = 40(1) + 6 = 46m = 40(3) + 6 = 126

VERDADERO O FALSO

Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

AFIRMACINVF

1. Cuando el numerador tiene un limite distinto de cero y el denominador tiene un lmite igual a cero, el lmite del cociente existe

2. Para romper la indeterminacin de un lmite 0/0 debe realizarse una manipulacin algebraica

3. La divisin de una constante para un infinito es infinito.

4. Grficamente una funcin es continua cuando tiene agujeros

5. El dominio de una funcin se rompe cuando el denominador es cero

6. Una funcin polinomial entera es continua en todos sus puntos.

7. La continuidad de una funcin esta dado por el dominio de la funcin.

8. Es requisito indispensable que la funcin debe ser continua para que se cumpla el teorema del valor medio

9. El lmite lateral de una funcin se lo verifica para determinar: el lmite de una funcin

10. El rango de una funcin son los valores resultantes de la funcin dada.

Una con lneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.

DEFINICIONESCONCEPTOS

Si utilizo la siguiente tcnica: dividir cada monomio del numerador y del denominador para xn , cuando x tiende a infinito, donde n es la mxima potencia presente en la funcin , este lmite se llama: Es el lmite de la suma y resta de los lmites

El limite de una constante es: Limite al infinito de una funcin racional

El limite de un cociente es El cociente de los lmites

El limite de la suma y resta de dos funciones : La constante

Bloque 6. Derivada de Funciones Algebraicas

OBJETIVOS:

Calcular el valor de la primera derivada utilizando la definicin o las reglas de derivacin Interpretar el significado de la derivada y reconocer su nomenclatura.Aplicar la primera derivada en ejemplos prcticos de finanzas y economa.

CONTENIDOS:

6.1 Definicin e interpretacin, simbologa6.2 Derivacin por medio de frmulas6.3 Aplicaciones en Economa, Finanzas.

DERIVADA

SIMBOLOGA:

La primera derivada de una funcin: y = f(x), puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes:

yf(x) Todas ellas indican la primera derivada de (y) con respecto a (x).

DEFINICIN:

Lmite cuando la variacin de (x) tiende a cero,Cociente de lavariacin de una variable con respecto a otra,,Expresa que tanto varia (y) ante la variacin de (x) Es la pendiente,Representa la tangente

EL CLCULO

RestaIntegral

=DERIVADA

Por reglasPor definicin

una variable con res

Uno de los problemas principales que se ocupa el clculo es la de encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto sobre una curva. Consideremos los puntos P y Q de la curva ; la lnea PQ es la lnea secante; si Q se acerca hasta el lmite a P; entonces la lnea secante tiende a ser tangente.

f(x)f(x+h)P(x,f(x))xX+hxy

Encontremos la pendiente de la lnea secante PQ

Si Q se acerca hasta el lmite a P; la pendiente de la secante tiende a ser la pendiente de la lnea tangente, cuando . La pendiente de la lnea tangente a la curva en el punto P, se llama la derivada por definicin.

Ejemplo:

Encontrar la ecuacin de la lnea tangente a la curva ; en el punto (3, - 8)

Pasos para encontrar la ecuacin de la lnea tangente a la curva conociendo un punto

1. Calculamos la derivada aplicando su definicin:

y =

2. Reemplazamos el punto en la derivada para encontrar la pendiente (m)

m = 2

3. Con la pendiente (m = 2) y el punto (3,-8) encontramos la ecuacin de la recta

Aplicando la forma Punto-Pendiente

PRINCIPALES REGLAS DE LAS DERIVADAS

1. DERIVADA DE UNA CONSTANTE

Si c es una constante, entonces

Esto es, la derivada de una funcin constante es cero. Se llama constante a todo valor que permanece invariable como lo son los nmeros y las primeras letras del alfabeto.

Ejemplo:

2. DERIVADA DE |

Si n es cualquier nmero real, entonces

Siempre que este definida. Esto es, la derivada de una potencia constante de x es igual al exponente multiplicado por la x elevada a una potencia menor en una unidad que la de la potencia dada.

Ejemplo:

Expresamos los radicales en exponentes

3. REGLA DEL FACTOR CONSTANTE

Si f es una funcin diferenciable y c una constante, entonces cf(x) es diferenciable y

Esto es, la derivada de una constante por una funcin es igual a la constante por la derivada de la funcin.

4. DERIVADA DE UNA SUMA O DE UNA RESTA

Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f - g son diferenciables y

Esto es, la suma o resta de dos o ms funciones es la suma o resta de las derivadas de esas funciones.

5. DERIVADA DE PRODUCTOS

Si f y g son funciones diferenciables, el producto f*g es diferenciable y

Esto es, la derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera funcin por la segunda ms la primera funcin por la derivada de la segunda. Nota.- aqu si funciona la ley conmutativa, es decir el orden de los factores no altera el producto

Ejemplo:

6. REGLA DEL COCIENTE

Si f y g son funciones diferenciables y g0, entonces el cociente es tambin diferenciable

Esto es, la derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el cuadrado del denominador.

Ejemplo:

EJEMPLOS

Derivar las siguientes funciones 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Encuentre la ecuacin de la lnea tangente a la curva en el punto indicado

7.

La derivada de una funcin es la pendiente de la recta tangente en un punto determinado, por lo que se debe calcular la pendiente

y = , y= 0 - ; y=

Conocida la pendiente y un punto de la curva se puede aplicar la ecuacin de la recta de la forma punto pendiente, como se indica a continuacin:

; reemplazo ; Y= -1.6x + 3.4

8. Determinar f(x) es necesario acomodar a una forma parecida a una de las frmulas, en este caso es un producto:

+

9. Determinar f(x)

se acomoda para tener un cociente de potencias

10.Determinar f(x)

11,Determinar f(x)

Es necesario comprender que la respuesta a cualquier ejercicio es la expresin ms sencilla que se pueda emplear luego de hacer todas las operaciones posibles.

Halla la derivada de las siguientes funciones:

1.-

2.- =

3.- =

4.- = Halla la derivada y la pendiente en el punto dado:

1.- en el punto (2,1)

2.- en el punto (1,3)

3.- en el punto (1,1)

AUTOEVALUACIN

Valora el dominio del tema, considera que puedes consultar libros y pedir ayuda a tus tutores hasta el momento antes de la evaluacin y la capacidad desarrollada para asimilar los conceptos y ejemplos depende de ti, del empeo, ganas y tiempo que dediques al estudio de estos temas.

VERDADERO O FALSOMarque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

AFIRMACINVF

1. La derivada de una constante es cero

2. La derivada es la tangente de una funcin

3. La razn de cambio es igual a la tangente

4. La derivada es el incremento de la variable independiente sobre la variable dependiente

5. Razn de cambio es igual a la primera derivada

RELACIONAR:

Une con lneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. DEFINICIONESCONCEPTOS

Por definicin la derivada es igual a : Al incremento de la variable dependiente sobre el incremento de la variable independiente

La lnea recta que pasa por dos puntos ( P, Q), es una recta

Pendiente, tangente, razn de cambio es igual .. Regla del cociente

Esto es, la derivada del cociente de dos funciones es el denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el cuadrado del denominador.Secante

La lectura comprensiva te ayudar a recordar estos conceptos por lo que te sugiero que cuando estudies ten la precaucin de ir sacando y anotando los conceptos bsicos y al final estudiarlos, una vez que te sepas estos conceptos, aplcalos en la resolucin de los ejercicios.

EJERCICIOS DE APLICACIN EN ADMINISTRACIN Y ECONOMA:

(Funcin de costo).- En una compaa maderera se determina que el costo de producir x artculos est dado por la funcin de costos .Datos:

= 900

= 1000

Determine el incremento del costo de produccin al pasar de 900 a 1000 unidades.

Primero reemplazamos los valores de x en la funcin dada

Remplazamos los valores calculados de la funcin de costo.

El incremento del costo de produccin fue de $2180000

Determine el costo promedio por unidad adicional en el incremento de produccin mencionado.

Como ya tenemos calculado el numerador, solo nos falta calcular el denominador

x=1000-900=100

El costo promedio por unidad adicional de produccin del bien es 21800

(Anlisis Marginal).-

Tenemos la funcin de: en donde y representa la cantidad producida y x representa la cantidad de factor de produccin variable mano de obra. Se pide determinar la productividad marginal del trabajo, tambin determine la productividad media del trabajo. Qu significa cada una de las funciones anteriores?

Datos:

La productividad marginal de la mano de obra, significa la produccin adicional que se consigue al aumentar un trabajador adicional. Es decir la productividad marginal mide la tasa con que la produccin se incrementa con respecto al incremento de la mano de obra. En otras palabras partiendo del concepto de los lmites la productividad marginal es la produccin promedio por mano de obra extra cuando se efecta un cambio pequeo en la cantidad de mano de obra empleada.

As procedemos a derivar la expresin

La productividad marginal del trabajo es =

La productividad media del trabajo, es el valor promedio de la produccin por el nivel usado de mano de obra. Generalmente las funciones medias y promedios se denotan con una raya horizontal sobre la letra con la que se distingue la funcin.Se obtiene de dividir la funcin de produccin para el nivel usado de mano de obra.

La productividad media del trabajo es

Como se observ teniendo claras las variables que intervienen en una funcin podemos encontrar las funciones marginales por ejemplo de la funcin costo, funcin ingreso, funcin utilidad, funcin produccin, funcin impuestos, funcin consumo, funcin ahorro. As que podemos definir, dependiendo del tipo de funcin analizada, a la funcin marginal.SOEJCICIOENALEEEEEEEJERCICIOSDXCIN

EVALUACIN Es necesario que este trabajo lo realices t mismo luego de estudiar los conceptos bsicos de Matemtica , no copies, con ello podrs estar preparado para la autoevaluacin. Debes realizar a mano, en hojas de cuadros, con esfero, en orden, limpieza y calidad en los contenidos presentar para su calificacin en carpeta de cartulina..Obtener los lmites de las siguientes funciones:1. 2.

3.

Obtener la primera derivada de las siguientes funciones:

4.

5.

6.

7.

8. Dada la funcin determinar:

a) graficar. b) dominio. c) rango d) continuidad en ,

9. Dada la funcin demanda obtener: a) el ingreso total marginal, b) verificar el ingreso total marginal, para q = 4 unidades, para 10 unidades.

10. Dada la funcin costo obtener: a) el costo marginal, b) verificar el costo marginal, para q = 30 unidades

11.

BLOQUE 7

DERIVACIN DE FUNCIONES TRASCENDENTES

7.1 Derivar funciones exponenciales7.2 Derivar funciones logartmicas7.3 Derivar funciones trigonomtricas7.4 Derivar funciones trigonomtricas inversas7.5 Derivar funciones implcitas7.6 Derivadas parciales7.7 Derivadas de orden superior7.8 Mximos y mnimos

OBJETIVO:Usar de forma eficiente las derivadas para la aplicacin en las finanzas, a fin de que te permitan enfrentar la realidad econmica financiera -social del pas acertadamenteManejar criterios matemticos correctos en las diversas aplicaciones de mximos y mnimos de una funcin oferta o demanda, usar las reglas de las derivadas en aplicaciones especficas.

DERIVACIN DE FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIN EXPONENCIAL.-En este caso, aplicaremos el teorema de la derivada de la funcin inversa para calcular la derivada de la funcin exponencial; pues esta es la inversa de la funcin logartmica.

As, f(x) = = y x = ay = g(y) ( g es la inversa de f)

g(y) =

Conclusin.- g(y) = ay g(y) = ay ln a

Observaciones.-

1.- Si a=e, g(x) = ex g(x) = ex ln e = ex

2.- Si a=10, g(x) = 10x g(x) = 10x ln 10

Resumiendo.-

f(x)

axax ln a fx

exe x fx

10x10x ln 10 fx

La regla dice: copiar la misma funcin, logartmo natural (ln) de la base y derivada del exponente

Ejemplos

1. Sea la funcin: f(x) = y = e3x

La derivada ser: = y= (e3x)

= y = (e3x)(3)(1) El resultado sera: y = 3e3x

2.

3.

4.

5.

6.

=

7.

FUNCIN LOGARTMICA.-

Si la base a = 10, tenemos los logaritmos decimales o vulgares, en ese caso.

f(x) = log x f(x) =

Si f(x) = logax, donde x es una funcin positiva.

= y f(x)= =Si la base a = e, tenemos el logaritmo natural, en ese caso.

f(x) = ln x f(x) =

Resumiendo.-

f(x)

Lnx fx

Logax

fx

Antes de obtener la derivada es necesario acomodar, aplicando las leyes de los logaritmos,son las mismas para( log y ln):

Log(AB) =log A + log B

log= log A log Blog An = n log A

log =

Ejemplos

1.-Sea la funcin:f(x) = y = ln2x

La derivada ser: f (x) = y= () (2) =

El resultado sera: y = y =

2.-f(x) = y = log

f (x) = y = ()

y= log e

3.- y = log = log(x2+1)

y = =

4.- y = ln cxn = ln c + n ln x

y = 0 + n =

5.-y = log log 4 log x

= 0 - = -

6.- y =

7.-y =

8.-

9.-

10. Obtener la primera derivada de:

11.-

12.-

13.-

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Las derivadas de las funciones trigonomtricas tienen frmulas especiales y es necesario recordarlas por tal motivo las agrupamos en un pequeo cuadro de resumen:

Sen x

Cos x

Tan x

Cot x

Sec x

Csc x

Al obtener la derivada de una funcin trigonomtrica se aplica la frmula respectiva y siempre se deriva el valor del ngulo

EJEMPLOS:

1.

2. =

3.

4.

5.

6.

7.

8.

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

A continuacin se indican las frmulas que utilizaremos para las derivadas de funciones trigonomtricas inversas:Al obtener la derivada de una funcin trigonomtrica inversa se aplica la frmula respectiva y siempre se deriva el ngulo

dx

dx

Debemos entender que la funcin trigonomtrica inversa

Ejemplos

1. 2.

3. 4.

5.

6.

7.

8. = -

9.

10.

11. Y =

MOMENTO DE LA VERDAD

Es hora de demostrar si t aprendiste o no, debes completar en los espacios el proceso para que sea correcto el ejercicio siguiente:

Obtener la primera derivada de la funcin La funcin es un producto, Cmo se deriva? aplica la regla

El resultado es

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.-

Dada la funcin y = f(x) se sabe que f(x) es a su vez una funcin. Si diferenciamos f(x), la funcin resultante se llama segunda derivada de f con respecto a x. Se escribe f(x). Similarmente, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada y se escribe f(x), y as sucesivamente.Ejemplo

1. Sea la funcin:f(x) = y = (x3 + 5x2)

La primera derivada ser:

f (x) = y= (3x3-1 + 5. 2x2-1)= 3x2 + 10xLa segunda derivada ser:

f (x) = y= (3.2x2-1 + 10)= 6x +10

La tercera derivada ser:

f (x) = y= (6 + 0 ) = 6La cuarta derivada ser:f (x) = y= 02. f(x) =

Y = (6x)= 6x

Y = 6 (6x) + (6) =36x2 + 6

Y = 36x2 (6x) + (72x) +6 (6x)

Y = 216x +72x +36x 3. Obtener la segunda y tercera derivada de

=

)

4.

5.

= 2x

= -4 2

6.

=

DERIVADAS PARCIALES

Se obtienen mediante la derivacin de la funcin con respecto a una variable, mientras se mantiene constante las otras variables independientes.

Ejemplo

z = Obtener la primera y segunda derivadas parciales

Z = (3) = 3 derivada con respecto a x

Z = 3(3) = 9

Z= (2) = 2 derivada con respecto a y

Z = 2(2) =4

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLCITAS

Funcin implcita es una relacin entre x y y mediante una ecuacin, donde no aparece despejada ninguna de las dos variables, hay ocasiones en los que se puede explicitar alguna de las variables Una ecuacin de la forma f(x,y) = 0 expresa a y como funcin de x en forma implcita, es implcita puesto que y no est dada explcitamente como funcin de x. Sin embargo se supone o queda implicado que la ecuacin define a y por lo menos como una funcin diferenciable de x. Por ejemplo la ecuacin:

x2 + y2 -4 = 0

En una ecuacin que define implcitamente a y como una funcin diferenciable de x, la derivada se encuentra como sigue:

1.- Derivar ambos miembros de la ecuacin con respecto a x, recordando que la derivada de la variable y con respecto a x es

2.- Agrupar todos los trminos que contengan en un miembro de la ecuacin y agrupe los dems trminos en el otro miembro.

3.- Saque como factor comn y despeje.

Ejemplo

1.-Sea la funcin: x2 + y2 -4 = 0 Obtener la derivada implcita con respecto a la variable X;

=

=

=0

Procedemos a despejar :

El resultado sera:

2.-x2 + y2 -4 = 0 Obtener la derivada implcita con respecto a la variable Y;

=

=

=0

Despejar :

3.-3y2 = 3x5 +

Derivando los dos miembros de la funcin con respecto a x tenemos:

3(2)y = 3(5)x5-1 + x1/2 1

6y = 15 x4 +

= =

4.-Obtener la derivada implcita con respecto a X de:

=

5.- Si la funcin Obtener la derivada de a) b)

Derivadas implcitas: = 0

El ejercicio se puede resolver tambin empleando derivadas parciales.Derivadas parciales.

Se deriva la funcin dada con respecto a una variable y las otras se las considera constantes

a)

=

DETERMINACION DE MAXIMOS Y MINIMOS.-

Si observamos el siguiente grfico podemos definir varios puntos importantes.y

mximoabsoluto

mximorelativo

P1

P2x

mnimorelativo

P1 y P2 son valores crticos, puesto que en ellos la funcin varia de creciente a decreciente o viceversa.

Funcin Creciente o Decreciente

Una funcin es creciente o decreciente si cumple:f(x) es creciente en x = a, si f(a) > 0f(x) es decreciente en x = b, si f(b) < 0

Mximo:

F(x) tiene un mximo en x = c si cumple con las siguientes condiciones:1. Que f(c)=02. Que f para un valor un poco menor que c, sea positiva>0 es decir, que f(x) para dicho valor sea creciente.3. Que f para un valor un poco mayor que c, sea negativa0DecrecienteF(b) 1,

No elstica < 1,

Elstica unitaria = 1,

Ejemplo:

1.

Dada la funcin de la demanda = para p = 10, determine la elasticidad de precios

=

= -25

Cuando p = 10

=

=

=

= inelstica

Relacin entre concepto: total, marginal y promedio

Si costo total (C), costo marginal (C), costo medio (C)El costo marginal se obtiene del costo total

Ejemplo:Determinar a) la funcin marginal y b) la promedio de la funcin siguiente:

1.- Q =

a) C = = 6Q + 7 Evaluar para Q = 3, Q = 5

C = 6(3) + 7 = 25

C = 6(5) + 7 = 37

b)

C = = = =

En Q = 3 C = =

En Q = 5 C = =

Costo Total, Costo Marginal

La Imprenta Madero tiene una funcin de costo y vende un libro a 20 (donde q es la cantidad de libros) determina la funcin de la utilidad, y calcula tambin la utilidad marginal. Explica por que en este caso es una constante y no una ecuacin? Interpreta tu resultado.

Funcin utilidad = Ingreso Costo Total

Funcin utilidad = 0 =

Como la utilidad en este ejemplo es una funcin lineal y la utilidad marginal es la derivada de la utilidad que tambin es su pendiente. La pendiente en una recta no cambia es una constante y por lo tanto la derivada de la recta es una constante.

Ejemplos

Determinar: la funcin marginal, verifique para q = 6 y q = 4

1.

= 69 = 49

2. = 367

Ingreso marginal y ahorro marginal.

1) La funcin de consumo de cierta nacin est dada por . Encuentre las tendencias marginales por consumir y por ahorrar si el ingreso nacional es Y = 16 mil millones (nota recuerda que la tendencia marginal al consumo y al ahorro suman siempre uno gua I Introduccin a la economa II-, el consumo marginal es la derivada de la funcin consumo.

Entonces:

en este caso es la tendencia marginal (PMC) a consumir.

Como 1=PMC+PMSPMS=1-PMC=1-0.4500013=0,549998PMS=0,549998Esto significa que de cada dlar de incremento en el ingreso el 0,4500013 por ciento se destina al consumo y el 0,459998 se destina al ahorro, cuando estamos a un nivel del ingreso de 16 millones.

1. Determinar: la funcin marginal, verifique para q = 6 y q = 4

Costo marginal, su relacin con el costo variable medio

Podemos definir que el costo variable es una funcin g(Q), por lo tanto el costo variable medio es , se puede encontrar la derivada de esta funcin e igualarla a cero para determinar su punto mnimo, y realizando las operaciones algebraicas necesarias podemos determinar que el costo medio es igual al costo marginal que est definido por la derivada del costo total, tenemos as:

Demostracin

De las pendientes (derivadas de las funciones) del costo medio y del costo total medio, podemos igualarlas a cero, que nos da su punto mas bajo. Cuando se analiza el costo variable medio siempre que: el costo marginal sea menor que el costo medio este ltimo decrecer, y cuando el costo marginal sea mayor el costo medio empezar a crecer.

Tambin el costo marginal cruza al costo medio total en su punto mnimo.

Ejemplo:

Dada la funcin de costo: demuestre que el costo variable medio es cortado por el costo marginal en su punto mnimo (donde x=cantidad=Q).

C =

C==

Para encontrar el punto mnimo de la funcin de costo variable medio derivamos la funcin e igualamos el resultado a cero.

==0=0.02x-33=0.02xx=150Para demostrar que este punto crtico es un mnimo, reemplazamos valores menores y mayores a su derivada.

0.02 (140)-3=-0.20.02 (160)-3=0.2

Como podemos observar que con un valor menor que el punto crtico la pendiente es negativa (decrece) y con un valor mayor es positiva (crece), por lo tanto es un mnimo.

150

- +

El costo marginal es la primera derivada del costo total, y tenemos:

C= = =

Luego reemplazamos el punto mnimo de 150 en la curva del costo marginal.

Por lo tanto tendramos que la curva del costo marginal corta a la curva del costo medio en su punto mnimo.

El punto anterior es importante porque a partir de este punto siempre la curva del costo marginal ser mayor que la curva del costo medio. En otras palabras cuando el costo variable medio decrezca el costo marginal ser menor y cuando el costo variable medio crezca es costo marginal ser mayor.

Grficamente tendramos:

QCC

0400400

75231,25118,75

100200100

150175175

200200400

250275775

Podemos en base de este ejemplo tambin analizar a partir de que punto el empresario estara dispuesto a ofertar su produccin, la curva de oferta de una empresa competitiva es igual a la curva de costo marginal en su regin creciente. Para poder encontrar el punto mnimo a partir del cual se presentar la regin creciente de la curva de costo marginal encontramos la segunda derivada de la funcin del costo.

C== =

0=0.06x-66=0.06xx=100,

0.06 (90)-6=-0.600.06 (110)-6=+0.60

100

- +

As que la empresa ofertar solamente a partir del nivel de produccin de 100 unidades en adelante.

Determinar: la funcin marginal, la promedio, verifique para q = 6 y q = 4

1.

+ + = 5.17 + = 5,31

2.

= 838,137 = 1254,880

OPTIMIZACION DE FUNCIONES.

Muchas de las aplicaciones, en los campos econmicos- financieros es necesario optimizar funciones, es decir encontrar los valores mximos o mnimos relativos; se debe considerar que uno de los principales aspectos que busca una empresa es tener las ms altas utilidades al menor costo posible, lo cual representa un problema de optimizacin, para lo cual se debe buscar el modelo matemtico ( funcin) que represente adecuadamente una situacin dada, y utilizando la tcnica de la derivacin resolver el problema planteado.

Maximizacin y minimizacin de una funcin

Pasos a seguir para encontrar un valor mximo o mnimo de una funcin:

La primera derivada debe ser igual a cero, o la segunda derivada debe ser: negativa para un mximo relativo y positiva para un mnimo relativo

Ejemplo

La demanda de un determinado producto est dada por la funcin q= f(p) = 100-2 p ( q: cantidad , p: precio )a) Determinar el nivel de produccin para el cual se obtendr el ingreso mximob) Calcular cul ser ese ingreso mximo

a) El ingreso, de manera general, se obtiene multiplicando el precio por la cantidadI = p x qI = p (100- 2p ) = 100 p 2 p 2 Derivamos la funcin y se tiene

= 100 4p Obtenemos el punto crtico, igualando la primera derivada a cero y resolviendo la ecuacin resultante100 4p = 0100 = 4p p = 25Para verificar si el valor encontrado de p nos genera un ingreso mximo, se obtiene la segunda derivada

= -4 < 0, por lo tanto si tenemos un valor mximoEn consecuencia deben producirse 25 unidades para obtener el ingreso mximo

b) El valor del ingreso mximo obtenemos reemplazando el valor de p=25 en la funcin de IngresoI max = 100(25) 2 (25)2 I max = 2500 1250I max = 1250

Ejemplo: La demanda de un producto est determinada por la funcin q = 10000 -20 p (q: cantidad p: precio). El costo total de producir q unidades del mismo producto, se ha determinado que est representado por la ecuacin C = 15000 + 20 q + 0.01 q 2a) Calcular el nivel de produccin para el cual se obtendr la mxima utilidad b) Cul ser el precio que determine la mxima utilidadc) Cul ser la utilidad mxima

a) Se debe recordar que UTILIDAD = INGRESO - COSTO (G = I C ) I = p x q La ecuacin de la demanda se debe calcular en trminos de p, por lo tanto resulta

p = 500 - Reemplazando en la funcin del Ingreso

I = q (500 - ) = 500 q - = 500 q 0,05 q 2 G = (500 q - 0,05 q2 ) (15000 + 20 q + 0.01 q2 ) G = - 0,06 q2 + 480 q 15000Para optimizar la funcin de utilidad se debe derivar, igualar a cero esa derivada para encontrar el valor crtico, y con la segunda derivada establecer si se obtiene un mximo

= - 0,12 q + 480 -0,12 q + 480 = 0 q = 4000 unidades

= -0,12 < 0 por lo tanto en q = 4000 se tiene un valor mximob) Reemplazando en la funcin del precio el valor obtenido de q se tiene

p = 500 = 300 A un precio de 300 se obtiene la utilidad mxima

c) Reemplazando en la funcin de utilidad el valor de q se tiene G = -0,06 (4000)2 + 480 (4000) -15000 G = 945.000 (utilidad mxima)

Ejercicios:

1. Para el producto de un monopolista, la funcin de demanda es:

q = 10000 e-0.02p

Encuentre el valor de p para el cual se obtiene el ingreso mximo.

En primer lugar formulamos la funcin que queremos maximizar.

Ingreso = demanda x precio.

I = (10000 e-0.02p) p

Definimos el dominio de la funcin:

Como p es el precio su dominio son los reales positivos.

Encontramos los valores crticos, es decir hallamos los valores para los cuales la primera derivada se hace cero.

I= [-200 e-0.02p] p + (10000 e-0.02p)

I= e-0.02p (-200 p +1000)

I= e-0.02p (1000 -200 p)

1000 -200 p = 0

Entonces p = p = 5Podemos concluir que se obtiene el ingreso mximo para un valor de 5

2. En la funcin determine los valores de mnimos y mximos absolutos.

f(x) = , donde 0

f (x) = = 0 x = 8

f (7) = = -6

f (9) = = 6 Concluimos que x = 8 es un mnimo.

3. Dada la funcin de la demanda Determine la cantidad y el precio a los que se maximizarn los ingresos totales.I = P*Q

I = Q *

I = Q *( +

I = (

( = 0Q = = 50 unidades

I = ( = 0,0619

I = ( = -0,05949

Q = 50 es un mximo= 3,035

4.

Si Ingreso marginal = costo marginal, determine los valores a los que se debe maximizar los beneficios cuando = y

=

=

=

(3Q 75)(Q -1) = 03Q - 75 = 0Q - 1 = 0Q = 25Q = 1

Como los puntos crticos son 25, y 1 se debe analizar qu sucede antes y despus de cada valor.

De menos a ms se tiene un mnimo en 25

De ms a menos se tiene un mximo en 1Cmo conclusin se maximizar los beneficios en Q = 1 unidad

MOMENTO DE LA VERDAD

Es hora de demostrar si t aprendiste o no, debes completar en los espacios el proceso para que sea correcto el ejercicio siguiente:

Determine la posicin de todos los puntos crticos

f(x) =

x = x =

x = 0,55x = son puntos de corte con el eje x

f (x) = ......................................

x= punto que puede ser mximo o mnimo

f () = = .

f (5) = = .. x = es un ..

Elasticidad (Tasa de cambio proporcional)

Recuerda que en Economa existe una relacin inversa entre precios y cantidades en lo que corresponde a la demanda, sabemos que una subida de precios ocasionar una cada en la cantidad demanda, pero algo que nos interesa es saber en que proporcin o magnitud ser la cada en relacin al precio. Si recuerdas esa magnitud de cambio se llama Elasticidad.

A continuacin se realiza un anlisis matemtico de la elasticidad y sus formas de clculo pero lo ms importantes es que recuerdes el concepto y su importancia econmica.

Recuerda que al considerar la tasa de cambio de una funcin se la puede definir como el cambio de valor funcional (variable dependiente, y) con respecto a un cambio pequeo en la variable independiente (x). Es decir: dy/dx .

Pero en elasticidades no solo nos interesa el cambio del valor funcional sino el cambio proporcional (recuerda elasticidad es el cambio proporcional de las cantidades frente al cambio en los precios) en ocasiones interesa evaluar la tasa de cambio proporcional, o sea, la razn de cambio relativo (o proporcional) de la variable dependiente y, al cambio relativo (o proporcional ) de la variable independiente x, que se conoce tambin como elasticidad de y con respecto a x..

Tal concepto matemtico mide la respuesta proporcional de y a los cambios proporcionales en x. La elasticidad de una funcin no tiene unidades debido a que las magnitudes empleadas en su definicin son cambios relativos o por unidad. Por lo tanto, la elasticidad resulta ser independiente de las unidades en que se expresan las variables consideradas (como se observa en las frmulas matemticas las unidades de medida se simplifican en el clculo).

Existen dos formas de calcular la elasticidad, la llamada elasticidad arco y la denominada elasticidad punto .

La elasticidad punto corresponde a la elasticidad a una funcin en un punto especifico.

Si y = f(x), la elasticidad de y con respecto a x se expresa en primer trmino por

La elasticidad arco corresponde a la elasticidad de una funcin entre dos puntos, es decir en un arco o segmento de lnea.

Las siguientes frmulas suelen emplearse para evaluar la elasticidad arco entre los puntos (X1 , X2 ) y (Y1 , Y2 ).

Da una aproximacin de la elasticidadpunto en (x1, y1)

Es decir nos mide el paso del punto (x1 , y1) a (x2 , y2), es decir mide que sucede si cambiamos el precio de y1 a y2

Da una aproximacin de la elasticidad punto en (x2 , y2)Es decir nos mide el paso del punto (x2 , y2) a (x1 , y1), es decir mide que sucede si cambiamos el precio de y2 a y1

Da un valor promedio de la elasticidad arco en (x1 ,y1) y (x2 , y2).

Ejemplo: 1.- Calcular la elasticidad arco de la funcin demanda dada por:

en y = 2, x= 12.

Despejamos x en la ecuacin de la demanda,

Encontramos los valores de Y2 y X2

Y1 = 2 Y2 = 2- (0.06) (2) = 1.88

X1 = 12 X2 = 20- 2(1.88)2 = 12.93

La elasticidad arco de la demanda en y = 2, x= 12 es

Luego la aproximacin a la elasticidad precio de la demanda, en y1 = 2, x1 = 12 es -1.29, lo que significa que es elstica, ya que el cambio porcentual en las cantidades fue mayor que el cambio porcentual en los precios.

La elasticidad punto de la demanda en y1 = 2, x1 =12 es

que es la elasticidad general

que es la elasticidad particular en el punto deseado.

-1.33 es el valor exacto de la elasticidad precio de la demanda en y1 = 2, x1 =12, al igual que su aproximacin es una elasticidad elstica.

La elasticidad- arco de la demanda en y2 = 1.88, x2 =12.93,

Que es la aproximacin a la elasticidad- precio de la demanda en y2 = 1.88, x2=12.93, que tambin es elstica, como debi haberse esperado.

Y la elasticidad punto es:

-1.09 es el valor exacto de la elasticidad precio de la demanda en el nuevo punto que es elstica aunque en una pequea proporcin.

La elasticidad-arco basada en la cantidad y el precio promedio es

=1.21 que es elstica y es la elasticidad arco promedio.

Ejemplos:

1. Determine la elasticidad de precios P= 5 de la oferta

E = = Q = 75 - 5(5) = 50Q = -5

E =

E = -0,5 corresponde a una in elasticidad (si < 1 inelstica).

2. Determine qu tipo de elasticidad punto existe en P =(6;2) en la funcin

E = x =

E = E =

E = E =

E = -4 corresponde a una elasticidad (si > 1 elstica).

EVALUACIN

Es necesario que este trabajo lo realices t mismo luego de estudiar los contenidos de este trabajo, no copies, con ello podrs estar preparado para el examen presencial. Debes realizar a mano, en hojas de cuadros, con esfero, en orden, limpieza y calidad en los contenidos presentar para su calificacin en carpeta de cartulina.Este es el trabajo que debe resolver y entregar en la fecha sealada por el Profesor para la evaluacin trimestral, valor 20 puntos.Obtener la primera derivada de las siguientes funciones:1. 2. W = 3. 4. Z = 5. Y = 6. W = arc sin ( sin 2x)7. Y = 8. W = 9. Y = (10. Y =

Obtener la segunda derivada de las siguientes funciones:

11. 12. 13.

Obtener las derivadas de la siguiente funcin:

14. a) b)

15. c) d) 16. Determinar aplicando los dos mtodos de derivacin implcita

Mmmm

EVALUACIN

17. Dada la funcin costo total minimice el costo marginal.

18. Dada la funcin indique si se maximiza o minimiza la funcin y en qu valor?

19. Si la funcin costo total es Obtener: a) costo promedio b) costo marginal c) verificar si el costo marginal es mximo o mnimo y en qu valor.

20. La ecuacin de demanda de cierto artculo es: y la funcin costo a) Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades b) Indique el valor que maximice la utilidad

BibliografaTexto bsico: Matemticas Aplicadas para Administracin, Economa y Ciencias Sociales autor: Budnick Frank S., cuarta Edicin McGraw hill, Mxico 2006. Textos complementarios: Matemticas para Administracin y Economa, autor: Enerst Haeussler Jr. Y Richard Pal, dcima Edicin Prentice Hall, Mxico 2003. Matemticas para Administracin y Economa, autor: S.T. TAN segunda Edicin, Editorial Thomson ao 2002

BUDNICK, Frank Matemticas Aplicadas para Administracin, Economa y Ciencias Sociales 4ta ed. Mc Graw-HillTextos complementarios: HAEUSSLER, F, Ernest Jnior, RICHARD S., Pal Matemticas para Administracin y Economa Editorial Pearzn Prentice may, dcima edicin, 2003. BELLO, Andrs, lgebra Elemental Editorial Thompson. LARA J. y ARROBA J. Anlisis matemtico, U.C.E. Quito.

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