Fundamentos de Programación Entera 5. Ramificado y acotamiento
Matemática Básica(Ing.)1 Definición y notación de funciones Continuidad Funciones crecientes y...
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Matemática Básica(Ing.) 1
• Definición y notación de funciones• Continuidad• Funciones crecientes y
decrecientes• Acotamiento • Extremos locales y absolutos• Simetrías • Asíntotas
Sesión 2.2
Funciones: Conceptos Básicos
Matemática Básica(Ing.) 2
Información del curso
Tareas: ingresar al aula virtual e imprimir.
Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12)
Primera práctica calificada: sábado 29 de 9 a 11 AM.
Matemática Básica(Ing.) 3
Introducción: Salario mínimo por hora La siguiente tabla
muestra el crecimiento del salario mínimo por hora (SMH) de 1955 a 2005 en Estados Unidos y a la vez muestra el SMH ajustado al poder adquisitivo de dólares de 1996.
Año SMH AñoPoder
adquisitivo en dólares de 1996
19551960196519701975198019851990199520002005
0,751,001,251,602,103,103,353,804,255,155,15
19551960196519701975198019851990199520002005
4,395,306,236,476,125,904,884,564,384,694,15
Matemática Básica(Ing.) 4
1. ¿En cuál periodo de 5 años el SMH real aumentó
más?
2. ¿En qué año un trabajador que gano el SMH
disfrutó el máximo poder adquisitivo?
3. Un trabajador con salario mínimo en 1980
ganaba el doble de un trabajador con salario
mínimo en 1970 y, aún así, había gran presión
por subir nuevamente el salario mínimo. ¿Por
qué?
Introducción
Matemática Básica(Ing.) 5
A partir de la grafica determine:
• El dominio y el rango.• Los ceros de la función.• Intervalos de monotonía.• Cotas superior e inferior.• Puntos de discontinuidad.• Extremos locales y absolutos.• Simetrías.• Asíntotas.
Introducción
Matemática Básica(Ing.) 6
Habilidades 1. Define el concepto de función, así como el dominio y el
rango.2. Determina el dominio a partir de la ley de
correspondencia.3. Identifica si una curva representa una función mediante
el criterio de la recta vertical.4. Determina el rango a partir de la grafica.5. Identifica gráficamente los puntos de discontinuidad y los
clasifica.6. Determina los intervalos donde una función es creciente,
decreciente o constante.7. Identifica gráficamente si una función tiene cota superior,
inferior o esta acotada. 8. Identifica y determina de forma grafica los valores
extremos, y las asíntotas para una función.9. Identifica si una función es simétrica y si tiene asíntotas.10. Determina las ecuaciones de las asíntotas.
Matemática Básica(Ing.) 7
Definiciones:
Una función de un conjunto D a un conjunto R es una regla que asigna a cada elemento de D un único elemento en R.
El conjunto D de todos los valores de entrada es el dominio de la función.
El conjunto R de todos los valores de salida es el rango de la función.
Matemática Básica(Ing.) 8
Es útil comparar la función con una máquina en la cual para cada x que ingresa, la máquina produce la salida f(x).
fentrada salida
x f(x)
y = f(x) se lee “y es igual a f en x” o “el valor de f en x”, llamada regla de correspondencia de una función.Aquí, x es la variable independiente y y es la variable dependiente.
Matemática Básica(Ing.) 9
Ejemplo
3)() xxfa
1)()
t
ttgc
22)() xxxhd
5)()
xx
xfb
Determine el dominio de cada función
Matemática Básica(Ing.) 10
Gráfica de una función
Si f es una función con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de puntos
Dxxfx /))(;(
x
y
f(1) f(2) f(3)
(x; f(x))
f(x)
x
Matemática Básica(Ing.) 11
De las tres gráficas que se muestran, ¿cuál no es la gráfica de una función?
x
y
x
y
x
y
Ejemplo
Matemática Básica(Ing.) 12
Criterio de la recta vertical
Suponga que C es una curva en el plano XY.
C es la gráfica de una función si toda recta
vertical que la interseca lo hace una sola vez.
En el texto dice (página 87)
Una gráfica (conjunto de puntos (x; y)) en el
plano XY define a y como una función de x, si
y sólo si, ninguna recta vertical interseca a la
gráfica en más de un punto.
Matemática Básica(Ing.) 13
Determine el dominio y el rango a partir de las gráfica de las siguientes funciones
x
y
f(x) = 1/x
Ejemplo
x
y
-0.5
Matemática Básica(Ing.) 14
Concepto geométrico de función continua
x
y
Continua en toda x Discontinuidad removible Discontinuidad removible
xa
f(a)y
xa
y
x
y
a
Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita
x
y
a
Resolver ejercicios 21, 22, 23 y 27. Pág. 102
Matemática Básica(Ing.) 15
Con base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones que sean discontinuas en x = 2? ¿Algunas de las discontinuidades es removible?
x
y
23
)(
xx
xf
x
y
)2)(3()( xxxf
Ejemplo
Matemática Básica(Ing.) 16
x
y
24
)(2
xx
xf
EjemploCon base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones que sean discontinuas en x = 2? ¿Algunas de las discontinuidades es removible?
Matemática Básica(Ing.) 17
Definiciones:
Una función f es creciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio positivo en f(x).
Una función f es decreciente en un intervalo
si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio negativo en f(x).
Una función f es constante en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio nulo en f(x).
Matemática Básica(Ing.) 18
Determine los intervalos en que f es creciente, decreciente o constante.
2)2()( xxf 1)(
2
2
xx
xf
Ejemplo
Matemática Básica(Ing.) 19
Concepto geométrico de acotamiento
No acotada por arribaNo acotada por debajo
x
y
Acotada por arribaNo acotada por debajo
x
y
No acotada por arribaAcotada por debajo
y
x
Acotada
x
y
Matemática Básica(Ing.) 20
Definiciones: Una función f está acotada por debajo si existe
algún número b que sea menor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números b se denomina cota inferior de f.
Una función f está acotada por arriba si existe
algún número B que sea mayor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números B se denomina cota superior de f.
Una función f está acotada si está acotada por arriba y por debajo.
Desarrolle: el ejemplo 7 (página 95). Resolver: ejercicios 21, 33 y 37. Pág. 102. Use Winplot o el Derive.
Matemática Básica(Ing.) 21
x
y
P
Q
R
Definiciones: Un máximo local de una función f, es un valor
f(c) que es mayor o igual a todos los valores del rango de f en algún intervalo abierto que contiene a c.
Si f(c) es mayor o igual que todos los valores del rango de f, entonces f(c) es el valor máximo absoluto de f.
Un mínimo local de una función f, es un valor f(c) que es menor o igual a todos los valores del rango de f en algún intervalo abierto que contiene a c.
Si f(c) es menor o igual que todos los valores del rango de f, entonces f(c) es el valor mínimo absoluto de f.
Desarrolle el ejemplo 8 (página 95) u otros similares. Use Derive o Winplot.
Matemática Básica(Ing.) 22
Simetría con respecto al eje Y
Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica
x f(x)
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
)(
)()(
fdomx
xfxf
Las funciones con esta propiedad sonllamadas funcionesPARES
(-x; y) (x; y)
Matemática Básica(Ing.) 23
Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica
x f(x)
-3 -27
-2 -8
-1 -1
1 1
2 8
3 27
)(
)()(
fdomx
xfxf
Las funciones con esta propiedad sonllamadas funcionesIMPARES
(x; y)
(-x; y)
Resolver el ejemplo 9 (página 98) u otros similares
Simetría con respecto al origen
Matemática Básica(Ing.) 24
Definiciones: La recta y = b es una asíntota
horizontal de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) se aproxima a b como límite, cuando x tiende a +∞ o –∞.
En la notación de límites:
La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) tiende a +∞ o –∞, cuando x se aproxima a a por cualquier dirección.
En notación de límites:
)(lim xfax
)(lim xfax
bxfx
)(lim bxfx
)(lim
Matemática Básica(Ing.) 25
Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.
Ejercicios de la sección 1.2
Pág. 102 - 105
Sobre la tarea
Esta publicada en el AV Moodle
Importante