matematica-financiera-1-2 (1)

Instrumentos

matemáticos para la

empresa (3/4)

1º GRADO DERECHO-ADE

CURSO 2011-2012.

Prof. Pedro Ortega Pulido

1. Matemática Financiera 1.0. Introducción a la matemática financiera.

1.1. Capitales financieros

1.2. Rentas financieras

1.2.1. Series aritméticas y geométricas

1.2.2. Rentas financieras. Clasificación de rentas A) Definición de RENTA FINANCIERA

B) ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA

C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA

D) CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS

1.2.3. Valoración de rentas constantes.

1.3. Valoración de inversiones

1.2. Rentas financieras.


a) SERIES ARITMÉTICAS

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Ejemplo 55. Consideremos las siguientes sucesiones de números

reales:

I) 1,3,5,7,9,11,…. II) 3, 7, 11, 15, 19,… III) 3, 1, -1, -3,…

¿qué característica tienen en común?

DEFINICIÓN. Una progresión aritmética es una sucesión de

números reales en la que cada término se obtiene sumando al

anterior una cantidad fija denominada diferencia.

TÉRMINO GENERAL:

(ejemplo 55: hacer)



SERIE ARITMÉTICA

Ejemplo 56. Consideremos la progresión aritmética: 2,5,8,11,…

a) Obtener su término general

b) Obtener la suma de sus 10 primeros términos.

c) Analizar el comportamiento de las sumas de los términos 1 y

10; 2 y 9; 3 y 8; 4 y 7; 5 y 6

SERIE ARITMÉTICA. Se define la serie aritmética de n-términos

como la suma de los n-primeros términos de una progresión

aritmética.

(Demostrar)

Ejemplo 57. Calcula la serie aritmética de los 60 términos de la

progresión 2,7,12,17,…



b) SERIES GEOMÉTRICAS

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Ejemplo 58. Consideremos las siguientes sucesiones de números

reales:

I) 1, 2, 4, 8, 16, 32,… II) 1/3, 1/6, 1/12, 1/24,… III) 6, 2,2/3, 2/9,…

¿qué característica tienen en común?

DEFINICIÓN. Una progresión geométrica es una sucesión de

números reales en la que cada término se obtiene

multiplicando al anterior una cantidad fija denominada razón.

TÉRMINO GENERAL:

(ejemplo 58: hacer)



Ejemplo 59. Obtener el término general de las siguientes

progresiones geométricas.

a) 0’1, 0’01, 0’001, 0’0001,…

b) 1, 3, 9, 27, 81,…

SERIES GEOMÉTRICAS. Una serie geométrica de n-términos es

la suma de los n-primeros términos de una progresión

geométrica.

Ejemplo 60. Consideremos la progresión geométrica:

1, 4, 16, 64, 256,…

a) Obtener su término general.

b) Obtener la suma de sus 6 primeros términos.



Ejemplo 61. Calcula la suma de los 10 primeros términos de las

progresiones geométricas:

a) 4, 12, 36, 108,… b) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81 ,…

OBSERVACIÓN.

Si r>1 la serie aritmética tiende a infinito

Si |r|<1 entonces

Ejemplo 62. Calcula la suma de los infinitos términos de la

progresión geométrica 7, 7/4, 7/16,…


1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.

Consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 63. Queremos disponer durante los 4 próximos años de

6.500 euros cada año para pagar un curso superior. Para ello

colocaremos cierta cantidad en un fondo a un 10% de interés

compuesto anual. ¿Qué cantidad tendré que ingresar en el

fondo para disponer de estos cuatro capitales?

- Dibuja el grafico de flujo de fondos

- Calcular el capital necesario para

A) DEFINICIÓN DE RENTA:

Es un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de

tiempo. (existen varios capitales con una periodicidad

constante entre dos capitales consecutivos)

En el ejemplo 63

1.2. Rentas financieras. 1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.

b) ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA



En el ejemplo anterior:



C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t

Es el resultado de TRASLADAR FINANCIERAMENTE

(capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a

dicho momento t.

I) VALOR ACTUAL de la renta (si t=0).

Siendo 0 el ORIGEN de la renta.

Es el resultado de valorar todos los términos de la renta en el

momento cero. (DESCONTAR LAS RENTAS)

II) VALOR FINAL de la renta (si t=n)

Siendo n el FINAL de la renta.

Se define como VALOR FINAL al resultado de desplazar todos los

términos al momento n (CAPITALIZAR LAS RENTAS)



En el ejemplo anterior:



C) VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t

€5,166.304,3,2,1, fffff VVVVV


1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.D) CLASES

Las rentas se pueden clasificar atendiendo a varios criterios:

1) Según la cuantía de los términos:

CONSTANTES: cuando todos los capitales son iguales

VARIABLES: al menos uno de los términos es diferente, pudiendo

ser a su vez:

- variables sin ley matemáticas (variación aleatoria)

- variables con una ley matemática (progresión

aritmética, geométrica)

2) Según el número de términos:

TEMPORALES: número de términos finito y conocido

PERPETUAS (INDEFINIDAS) : número demasiado grande de términos

(o infinito)

3) Según el vencimiento del término:

POSPAGABLE: los términos se encuentran al final de cada periodo

PREPAGABLE. Los términos se encuentran al principio de cada

periodo


1.2.2. Rentas financieras. Clasificación.D) CLASES

4) Según el momento de la valoración:

INMEDIATA: valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL

DIFERIDA: se valora la renta en un momento anterior a su origen

ANTICIPADA: la renta se valora con POSTERIORIDAD al final

5) Según la periodicidad del vencimiento:

ENTERA: la frecuencia de los términos de la renta coincide con la

frecuencia de la capitalización.

NO ENTERA: PERIÓDICA: la frecuencia de los términos es MENOR

al de capitalización

FRACCIONADA: la frecuencia de los términos es

MAYOR al de capitalización

6) Según la ley financiera:

SIMPLE: ley de interés simple

COMPUESTA: ley de interés compuesto



III) RENTAS POSTPAGABLES.

Consideramos una renta

CONSTANTE (términos de igual cuantía)

TEMPORAL (tienen un número determinado de términos)

POSTPAGABLE (los términos vencen al final de cada periodo)

INMEDIATA (valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL)

ENTERA (la frecuencia de los términos coinciden con la

frecuencia de la capitalización del tipo)

COMPUESTA (se calculan en régimen de compuesta) es decir:



A) Valor actual de una renta POSTPAGABLE, temporal,

constante, inmediata, entera y compuesta.



III. RENTAS POSTPAGABLES.

Es una SERIE GEOMÉTRICA de razón

Cuyo primer término es

Como la serie geométrica vale :

Desarrollando (hacerlo)



A) Valor actual (inicial) rentas postpagable.

Ejemplo 55.

Calcular el valor actual de una renta postpagable (constante,

entera, temporal, inmediata), de término 300€ durante 5 años a

tipo de interés del 9% anual.

Ejemplo 56.

Un cliente debe pagar 600€ anuales durante los próximos 10 años

(al final de cada año). Para ello ingresa en una cuenta de

ahorro cierto capital a un 10% de interés compuesto anual.

Calcular el capital inicial necesario para afrontar dichos

pagos.



B) VALOR FINAL DE RENTAS POSTPAGABLES (constantes,

temporales, enteras e inmediatas)

`Suponiendo que la renta es un capital C tendríamos la

siguiente situación:



A.2) Valor final de rentas postpagables (enteras, temporales,

contantes, inmediatas)

El segundo factor es una SERIE GEOMÉTRICA de razón

Cuyo primer término es. Como

Entonces se deduce que



A.2) Valor final de rentas postpagables (enteras, temporales,


Ejemplo 57

Calcula el valor final de una renta postpagable (entera, constante,

temporal e inmediata) cuyo término es 300€ durante 10 años a

un tipo de interés compuesto del 12% anual.

Ejemplo 58

Vamos a invertir 2.000€ anuales (al final de cada año) durante los

25 años que me quedan para la jubilación, en un plan de

pensiones que me renta un 6% de interés compuesto anual.

¿De cuánto dinero dispondré en la cuenta pasados los 25

años?



II) RENTAS PREPAGABLES Consideramos una renta

CONSTANTE (términos de igual cuantía)

TEMPORAL (tienen un número determinado de términos)

PREPAGABLE (los términos vencen al PRINCIPIO de cada

periodo)

INMEDIATA (valoramos la renta en su ORIGEN o en su FINAL)

ENTERA (la frecuencia de los términos coinciden con la

frecuencia de la capitalización del tipo)

COMPUESTA (se calculan en régimen de compuesta) es decir:



A) Valor actual de una renta PREPAGABLE, temporal, constante,

inmediata, entera y compuesta.



II) RENTAS PREPAGABLES.

Es una SERIE GEOMÉTRICA de razón

Cuyo primer término es

Como la serie geométrica vale :

Desarrollando (hacerlo)



A) Valor actual (inicial) rentas prepagable.

Existe otra posibilidad de calcular estas rentas calculando el

VALOR INICIAL de una renta postpagable con n-1 términos de

igual cuantía que la anterior y añadiendo a dicha cantidad la

renta C del término inicial:



A) Valor actual (inicial) rentas prepagables.

Ejemplo 59.

¿Qué cantidad deberíamos depositar en una inversión cuyo tipo

de interés compuesto anual es del 10% si queremos recibir al

principio de cada año y durante 4 años una renta de 6.500€?

(utilizar los dos métodos)

Ejemplo 60.

Calcular el valor actual de una renta prepagable, constante,

temporal, entera e inmediata de 14 cuotas mensuales de 30€ a

un interés del 1,2% mensual.



B)VALOR FINAL DE RENTAS PREPAGABLES (constantes,

temporales, enteras e inmediatas)

Suponiendo que la renta es un capital C tendríamos la siguiente

situación:



B) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales,


El segundo factor es una SERIE GEOMÉTRICA de razón

Cuyo primer término es. Como

Entonces se deduce que



B) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales,


OBSERVACIÓN. Otra forma de hacer el cálculo sería:

1) Considerando el valor final de una renta postpagable con n-1

términos a capitalizar en 1 año al r%

2) Añadiendo la capitalización del primer término C durante n-

periodos a un r%



A.2) Valor final de rentas prepagables (enteras, temporales,


Ejemplo 61

Calcular el valor vinal de una renta prepagable (constante, entera,

inmediata, temporal) de 14 cuotas mensuales de 30€ a un

interés compuesto del 1,2% mensual.

(usar los dos métodos)



III ) RENTAS PERPETUAS

Son aquellas cuyo NÚMERO DE TÉRMINOS ES INFINITO.

En este tipo de rentas SOLO SE PUEDE CALCULAR SU VALOR

ACTUAL, pero nunca el final, con independencia de que sea

prepagable o pospagable, constante o variable.




El VALOR ACTUAL de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre

si aplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y

en lugar de utilizar un número finito de términos (n)

trabajaremos con infinitos términos ( ).

Se trata por tanto de trabajar con el concepto matemático de

LÍMITE, cuando la duración de la renta (y por tanto el número

de capitales) tiende a infinitos.

Consideramos dos casos de rentas pospagables y prepagables:

1.2. Rentas financieras. 1.2.3. Valoración de rentas constantes.


III.A) RENTA PERPETUA, CONSTANTE, POSPAGABLE,

INMEDIATA Y ENTERA.

1.2. Rentas financieras. 1.2.3. Valoración de rentas constantes.


III.B) RENTA PERPETUA, CONSTANTE, PREPAGABLE,

INMEDIATA Y ENTERA.




Ejemplo 62.

Una fundación ha decidido convocar un premio para jóvenes

talentos con una dotación anual de 12.000€. Para ello han

decidido abrir una cuenta al 8% de interés compuesto anual. El

premio se entregará AL FINAL de cada año. ¿Cuánto habrá que

ingresar en dicha cuenta para financiar el premio

INDEFINIDAMENTE?

¿y si el premio se otorgara AL PRINCIPIO de cada año?



IV) RENTAS DIFERIDAS.

Son aquellas que se valoran CON ANTERIORIDAD a su origen.

El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento

de la valoración se denomina PERIODO DE DIFERIMIENTO de

la renta (d).

Partimos de una renta temporal (n-términos) y constante



IV) RENTAS DIFERIDAS (Valor actual)

Dada una renta temporal (n-términos), constante (C),

POSPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)



IV ) RENTAS DIFERIDAS

Ejemplo 63

Dentro de 3 años Ana tendrá que realizar varios pagos de 6.500€.

Estos pagos los realizará anualmente AL FINALIZAR cada año

y durante 4 años. En previsión de estos pagos, quiere saber la

cantidad que deberá depositar hoy en la cuenta a un tipo del

10% anual para hacer frente a dichos pagos.

Observación 1. El DIFERIMIENTO solo afecta al cálculo del valor

actual, por lo que, si queremos calcular el valor final de la

renta, se aplica como una renta inmediata.

Ejemplo 64

¿Qué cantidad obtenemos al cabo de 4 años si hacemos 4

ingresos de 6.500€ si empezamos a realizar los ingresos

dentro de x-años a un interés del 10% anual?




Observación 2. Para obtener el valor final también podemos

capitalizar el valor actual a n+d años.

Ejemplo 65. Calcular el valor final de 4 rentas pospagables a un

10% anual cuyo valor actual diferido (a 3 años) es de 15.480€



IV) RENTAS DIFERIDAS (Valor actual)


PREPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)




Ejemplo 66

Dentro de 7 años María tendrá que realizar varios pagos de 3.200€

anuales durante 5 años al inicio de cada año.

En previsión de estos pagos, quiere saber la cantidad mínima que

deberá depositar hoy en una cuenta a un tipo del 8% anual para

hacer frente a dichos pagos.

Observación 3. El DIFERIMIENTO solo afecta al cálculo del valor

actual, por lo que, si queremos calcular el valor final de una

renta DIFERIDA x-años prepagable, aplicaremos la fórmula de

la renta INMEDIATA PREPAGABLE..

Ejemplo 67

¿Qué cantidad obtenemos al cabo de 5 años si hacemos 5

ingresos de 3.200€ al inicio de cada año dentro de x-años a un

interés del 8% anual?



V) RENTAS ANTICIPADAS.

Son aquellas que se valoran CON POSTERIORIDAD A SU FINAL.

El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de

la valoración se denomina PERIODO DE ANTICIPACIÓN de la

renta (a).

Partimos de una renta temporal (n-términos) y constante



V) RENTAS ANTICIPADAS (pospagables- valor final)


POSPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)



V) RENTAS ANTICIPADAS

Ejemplo 68

¿Qué cantidad obtendremos al cabo de 8 años si hacemos 4

ingresos de 6.500€ (al final de cada año) en una cuenta cuyo

tipo de interés anual es del 10%?

Observación 1.

La anticipación sólo afecta al valor final, pero no al valor actual,

que se realizará como si de una renta inmediata se tratara,

cumpliéndose la siguiente relación:



V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables-valor final)



V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables- valor final)


PREPAGABLE, diferida (periodo diferimiento d)



V) RENTAS ANTICIPADAS (prepagables)

Ejemplo 69

¿Qué cantidad obtendremos al cabo de 8 años si hacemos 4

ingresos de 6.500€ (al inicio de cada año) en una cuenta cuyo

tipo de interés anual es del 10%?

Observación 2.

La anticipación sólo afecta al valor final, pero no al valor actual,

que se realizará como si de una renta inmediata se tratara,

cumpliéndose la siguiente relación:



EN GENERAL PARA RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADAS:

1) Cuando valoramos una renta antes de su inicio decimos que

es una renta DIFERIDA y cuando valoramos después de su

final decimos que es una renta ANTICIPADA.

2) Para calcular el valor actual de rentas diferidas debemos partir

de los valores de las rentas inmediatas y descontarlos. Para

calcular el valor final de rentas anticipadas debemos partir de

los valores de las rentas inmediatas y capitalizarlos.

3) El diferimiento no afecta al valor final de la renta que

permanece con el mismo valor. La anticipación no afecta al

valor actual de una renta que permanece igual.

4) Las rentas perpetuas no se pueden anticipar pues nunca se

puede valorar después de un final que no existe.



VI) RENTAS FRACCIONADAS

Decimos que una renta es FRACCIONADA si la frecuencia de la

renta es SUPERIOR a la capitalización de los intereses.

En este caso los términos de la renta se producen con mayor

frecuencia que la capitalización.

EJEMPLO: Una renta mensual con capitalización anual




Todas la formulas que hemos visto hasta ahora eran válidas para

RENTAS ENTERAS.

¿servirán cuando la renta es fraccionada?

La respuesta es afirmativa. Utilizaremos el siguiente método

Un método para resolver este tipo de rentas FRACCIONADAS

consiste en transformar el TIPO DE INTERÉS del problema en

otro equivalente en la misma unidad de tiempo que los

periodos de la renta, es decir, a partir de un tipo de interés r, se

calcula otro tipo equivalente que venga expresado en la unidad

de los periodos de renta:




Ejemplo 70.

Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración si el

tipo de valoración es el 7% efectivo anual y sus términos son

de 850€ trimestrales pospagables.

Ejemplo 71.

Determinar el valor actual de una renta de 30 años de duración

que realiza pagos trimestrales de 100€ al inicio de cada

trimestre a un tipo nominal anual capitalizable

trimestralmente de un 12%.

Ejemplo 72

Calcular el valor final de una renta constante de cuantía 200€ de

duración de 4 años, prepagable y trimestral que se encuentra

anticipada un año y medio y aplicando un tipo del 10%

nominal anual capitalizable trimestral mente. ¿Y si el tipo

fuese un 10% TAE?

matematica-financiera-1-2 (1)

Documents

Transcript of matematica-financiera-1-2 (1)