Silvia Cabrera-Scattolini Nancy-Lardone Martha 2006 by Universidad Nacional de Ro Cuarto Ruta Nacional36 Km. 601 - (X5804BYA) Ro Cuarto - Argentina Tel.: 54 (0358) 467 6200 - Fax.: 54 (0358) 468 0280 E-mail.: postmaster@unrc.edu.ar Web: http://www.unrc.edu.ar Primera Edicin: Diciembre de 2006 I.S.B.N.: En trmite Coordinacin de Comunicacin Institucional Equipo de Produccin Editorial Coordinador: Lic. Miguel A. Trspidi Registro: Daniel Ferniot Diseo: Direccin de Comunicacin y Cultura: Vanina Vairoletti, Marcos Altamirano, Patricio Caete, Ana Plenasio. Queda hecho el depsito que marca la ley 11.723 Impreso en Argentina - Printed in Argentina Queda prohibida la reproduccin total o parcial del texto de la presente obra en cualquiera de sus formas, electrnica o mecnica, sin el consentimiento previo y escrito del Autor.

1

Universidad Nacional de Ro Cuarto

Oscar Spada Rector Juan Jose Busso Vicerrector Silvia Susana Nicoletti Secretaria Acadmica Facultad de Ciencias Econmicas

Fernando Lagrave Decano Mirta Bocco Vice decana Rosana Zanini Secretaria Acadmica Javier Brusasca Director de Asuntos Acadmicos Ral Caminatti Director de Asuntos Estudiantiles Gabriela Estrada Directora rea de Educacin a Distancia

2

Estimado lector: La obra que Usted tiene en sus manos posee un valor singular, porque es el

(ruto de conocimientos, experiencia y mucho esfuerzo por parte de sus autores. La Universidad Nacional de Ro Cuarto ha procurado una presentacin digna y espera concretar su amplia difusin y comercializacin a precios accesibles.

Usted podr fotocopiar parte de su contenido para su uso personal. Pero rehse cualquier ejemplar fotocopiado ilegalmente, porque ello implicara un uso ilegitimo del esfuerzo de los auto res y del editor.

La reproduccin ilegal, adems de estar penada por los Art. N 71 y 72 de la Ley 11.723 Y Art. N 172 del Cdigo Penal, es una practica que atenta contra la creacin del conocimiento y la difusin de la cultura.

El respeto a los derechos intelectuales hace posible que existan mejores libros y mas econmicos.

Coordinacin de Comunicacin Institucional

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Mdulo 1 Prefacio 9Nmeros naturales 11Nmeros naturales concretos 12

Caractersticas generales 12

Representacin geomtrica 13Nmeros enteros 14Caractersticas generales 14

Representacin geomtrica 14

Valor absoluto o mdulo 15

Orden en la recta 16Actividad 1 18Nmeros racionales 19Fracciones equivalentes 21

Principio fundamental de las fracciones 21

Nmeros racionales 22

Valor absoluto de un nmero racional 23

Los enteros como racionales 24

Representacin grfica de los conjuntos numricos 24

Caractersticas generales 26

Representacin geomtrica 27

Nmero racional tiene su representacin decimal 28Actividad 2 30Teorema 31Actividad 3 31Actividad 4 32Nmeros irracionales 33Nmeros reales 36Actividad 5 37A modo de cierre: mapa conceptual del Mdulo I 38 Resolucin de las actividades 39

4

Mdulo 2 Prefacio 44

Propiedades de la adicin y de la multiplicacin 45

Ley de Cierre 45

Ley uniforme 46

Ley asociativa 47

Ley conmutativa 48

Existencia de elemento neutro de la suma y del producto 48

Existencia de inverso aditivo y multiplicativo 49

Propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin 51Actividad 1 52Potenciacin de base real y exponente entero 53Propiedades de la potenciacin 54

Propiedad distributiva de la potenciacin respecto al producto 54

Propiedad distributiva de la potenciacin respecto al cociente 54

Producto de Potencias de igual base 54

Cociente de Potencias de igual base 55

Potencia de potencia 55Actividad 2 56Radicacin 57Propiedades de la radicacin 59

Propiedad distributiva de la radicacin respecto al producto 59

Propiedad distributiva de la radicacin respecto al cociente 59

Potencia emsima de un radical 59

Raz de otra raz 60

Transformacin de radicales 60

Potencias de exponente racional 61Actividad 3 68Actividad 4 69Logaritmacin 70Propiedades de la logaritmacin 70

Logaritmo de 1 70

Logaritmo de la base 70

Logaritmo de un producto 71

Logaritmo de un cociente 71

Logaritmo de una potencia 71

Logaritmos decimales y logaritmos naturales 72

Cambio de base 73

Actividad 5 75Orden en IR 76Inecuaciones 78Intrvalo 79Actividad 6 81Actividad 7 83Valor absoluto de un nmero real 84

5

Distancia entre dos nmeros 87

Propiedades del valor absoluto 87

A modo de cierre: mapa conceptual del Mdulo II 89Resolucin de las actividades 90

Mdulo 3 Prefacio 99Etapas en la resolucin de un problema 101

Del Lenguaje Coloquial al Matemtico 101

Actividad 1 105Ecuaciones lineales 106Ecuaciones cuadrticas 108Actividad 2 110Actividad 3 112Polinomios 113

Suma y resta de polinomios 114

Producto de polinomios 115

Divisin entera de polinomios y divisibilidad 116

Divisin de polinomios 117

Races de un Polinomio 119

Propiedad de la raz de un polinomio 120

Regla de Ruffini 120

Criterio de la raz 122

Polinomios primos y compuestos 123

Actividad 4 124Factorizacin de polinomios 125

Reglas de Factorizacin 126

Sntesis 129

Actividad 5 131Ecuaciones racionales 132Actividad 6 133Operaciones con expresiones algebraicas 134

Suma y resta de expresiones de igual denominador 134

Suma y resta de expresiones de distinto denominador 134

Multiplicacin de expresiones racionales 135

Divisin de expresiones racionales 136

Actividad 7 137

Ecuaciones con expresiones racionales 137

Actividad 8 139A modo de cierre: mapa conceptual del Mdulo III 140Resolucin de las actividades 141

6

7

Al finalizar el estudio de este mdulo, debern ser capaces de:

Leer fluidamente el lenguaje simblico, usar el vocabulario y la

notacin para expresar los siguientes conjuntos numricos: los naturales,

enteros, racionales, irracionales y los reales

Diferenciar un nmero racional de un nmero irracional

Establecer la correspondencia que existe entre el conjunto de los

nmeros reales y los puntos de la recta

Aplicar las propiedades de los conjuntos numricos, a la resolucin

de ejercicios y problemas

Interpretar las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numricos

hasta llegar a los reales

Contenidos y Competencias a desarrollar

Con el fin de satisfacer los objetivos anteriormente citados se

realizar en este mdulo una breve introduccin acerca del surgimiento del

concepto de conjuntos, como una respuesta de la humanidad, necesaria para

su desarrollo.

Identificada la necesidad e importancia del concepto de conjunto,

se pasar a definir sucesivamente los conjuntos numricos desde los

naturales hasta los reales, expresados estos en su notacin simblica.

Y con la finalidad de iniciar el estudio de las principales

caractersticas de cada conjunto numrico, se representan en la recta real los

nmeros, advirtiendo la necesidad de su expansin, desde los Naturales hasta

los Reales

8

Prefacio

Este mdulo tiene la intencin de ayudarte a recordar los distintos conjuntos

numricos con que trabajars en las Ciencias Econmicas. De esta manera

comenzaremos por estudiar el conjunto de nmeros naturales, pasaremos por el

conjunto de los enteros, racionales e irracionales y as llegaremos al conjunto de

nmeros reales, el cual es el conjunto ms amplio de nmeros que estudiars en

las primeras asignaturas del rea matemtica de la carrera que elegiste.

Si has ledo con detenimiento el prrafo anterior habrs notado que

reiteradamente hemos mencionado el trmino conjunto, el cual lo utilizamos en

nuestra vida cotidiana sin pensar mucho en l.

Por ejemplo, cuando vemos jugar a la Seleccin Argentina de ftbol, no

consideramos cada jugador aisladamente sino a todos agrupados, reunidos en 11

jugadores que constituyen un equipo de ftbol, es decir en un conjunto de jugadores de ftbol. Cuando nos referimos a nuestro curso de secundaria, no

pensamos aisladamente en cada compaero sino agrupados en los 15, 25 o 30 compaeros, pensamos as en un conjunto de alumnos de nuestra escuela. De los ejemplos anteriores, se desprende que:

Un conjunto es toda agrupacin o coleccin de objetos o entes de cualquier naturaleza

As, podemos citar: el conjunto de las vocales, el conjunto de los nmeros

impares, el de los pares, etc, cada uno de los objetos que lo integran.

Imagnate en tu curso de la escuela, y as seguramente pensars en Gabriela,

Pablo, Elisa..., y ellos son los elementos del conjunto de tus compaeros de escuela, es decir se llama elemento a cada componente que forma parte del conjunto que se considera.

Tus compaeros son los elementos que conforman tu curso, porque cada uno de

ellos pertenece a dicho conjunto. En matemtica para indicar la pertenencia se utiliza el smbolo: y para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto, se usa el mismo smbolo tachado:

.

9

Luego, dado un conjunto y un elemento, es necesario saber si ese elemento

pertenece o no al conjunto. Para ello es preciso definir el conjunto, es decir, determinar los elementos que lo componen.

Una forma de definirlo, es nombrando o enumerar todos los elementos que lo

constituyen, esta forma se llama definicin de un conjunto por extensin o enumeracin. Existe otra forma de definir un conjunto, que es por comprensin, consiste en

establecer una propiedad que solamente tienen los elementos de ese conjunto.

Generalmente esta ltima forma se la utiliza para dar cuenta de que slo esos

elementos pertenecen al conjunto y no otros; asimismo se la utiliza cuando el

conjunto es numeroso y el nombrar o enumerar a cada uno de sus elementos en

algo engorroso. As, por ejemplo el conjunto de los nmeros pares queda definido

diciendo que es el conjunto formado por todos los nmeros que tienen la

propiedad de ser divisibles por 2.

Estos conceptos los profundizars en ste mdulo al estudiar cada conjunto

numrico y adems te encontrars con caractersticas propias de cada uno de

ellos, su representacin en la recta real y aplicaciones propias de las Ciencias

Econmicas.

Desde siempre el hombre asoci la idea de nmero a la actividad prctica de contar y as concibi el conjunto de los...

10

Es el conjunto formado por todos los nmeros que se utilizan para representar la

cantidad de elementos de cualquier conjunto y se lo denota por IN.

Conjunto de los nmeros naturales

Al conjunto de nmeros naturales lo denotamos por: IN y lo definimos por extensin as:

IN={1; 2; 3; 4; 5; ...}

Algunos matemticos consideran al nmero cero perteneciente al conjunto de

nmeros naturales y para distinguirlo del anterior lo simbolizan con IN0 , por extensin:

IN0={0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}

se lee

se lee Conjunto de los nmeros naturales y el cero

IN1 : se lee 1 pertenece al

conjunto de nmerosnaturales

indica cantidad de

Lo que significa

Generalmente en matemtica al operar con nmeros naturales tenemos slo en cuenta el nmero abstracto, pero en nuestra vida cotidiana, los utilizamos adicionndoles la especie a que nos referimos, por ejemplo, quiero comprar 7 kilogramos de pan. A estos nmeros los llamamos......

11

Nmeros naturales concretos es la expresin formada por un nmero natural y

la denominacin de la especie de que se trata, en nuestro ejemplo anterior:

Al nmero 7 Kg; lo descomponemos en:

7 que es el coeficiente

nmero natural denominacin de la especie

Kg: la unidad simblica

Otros ejemplos seran:

3m; 18 Kg; $6 Son nmeros Naturales

Concretos

Estos nmeros sern de importancia cuando al estudiar en Anlisis Matemtico I,

variables independientes y magnitudes, te permitir realizar la diferencia que

existe entre estos conceptos.

Cuando se agrupa elementos dentro de un conjunto, es porque tienen caractersticas comunes, en el caso del conjunto de los nmeros naturales, esas...

Son:

IN tiene como primer elemento el 1. Se dice entonces que el nmero 1 no tiene antecesor. En IN0 el cero es el primer elemento.

IN es un conjunto no denso o discreto, entre un nmero Natural y su sucesor no existe ningn nmero Natural.

IN es un conjunto infinito, es decir, que no tiene ltimo elemento pues, a cada nmero Natural es posible encontrarle su sucesor

12

Si denominamos n =1; el nmero 2 lo obtendramos sumando a n una unidad:

(n+1); al nmero 3 lo obtendramos sumando a n dos unidades: (n+2); y as,

sucesivamente.

Adems:

Si n = 3, su sucesor lo formaramos con (n+1)=3+1=4, el antecesor

de 3 lo obtendramos restndole a l una unidad: (n-1) = 3-1 = 2

Para representar grficamente el conjunto de los nmeros Naturales, elegimos un punto sobre una semirrecta, que le asignamos el 1 en IN o el valor 0 en IN0, y a partir de l transportamos hacia la derecha un segmento unidad tantas veces como lo indiquen los nmeros que se quieren representar.

As obtenemos:

42 30 1 IN0

Segmento Unidad

Mientras el hombre necesit sumar elementos, no tena problemas, dado que al sumar dos nmeros naturales, al restar un nmero natural menor de otro mayor, se obtiene un nmero natural. Mientras medan la altura sobre el nivel del mar usaban los nmeros naturales, pero cmo distinguan cuando tenan que determinar profundidades bajo el nivel del mar?, cmo distinguan cuando el saldo era deudor?... Si una persona tiene disponible $400 y debe amortizar deudas por un total de $465, queda debiendo $65, ya no es un saldo a favor sino un saldo totalmente opuesto, la forma de expresarlo es por un nmero natural precedido por el signo menos: Saldo 65. Por stas y otras innumerables razones aparecieron los....

13

Los nmeros enteros negativos junto con los naturales, a los que llamamos

tambin nmeros enteros positivos, y el cero forman el conjunto de los nmeros

enteros.

Al conjunto de los nmeros enteros generalmente se lo denota por la letra Z,

distinguiendo con Z- al conjunto de los enteros negativos y con Z+ al conjunto de

los enteros positivos. En smbolos, a los enteros los escribimos como:

Z= Z+ Z- {0} : lo leemos unin entre

Al igual que el conjunto de los nmeros naturales, el conjunto de los nmeros enteros tambin tiene sus...

Z no tiene primer ni ltimo elemento Z es un conjunto no denso (discreto)

El opuesto de 2 es 2

El opuesto de 3 es 3

Para cada nmero entero (n), existe un nico opuesto (-n)

El nico nmero igual a su opuesto es el cero

Como vimos anteriormente, para representar en la recta numrica los nmeros naturales, necesitamos trazar una semirrecta. Ahora, para representar los nmeros enteros, debemos trazar su semirrecta opuesta, veremos entonces la...

A los nmeros enteros podemos representarlos en una recta horizontal donde a

uno de sus puntos le asignamos el nmero 0 y a otro, que ubicamos a la derecha

del anterior, le signamos el nmero 1. De esa forma queda determinada la

14

semirrecta de origen 0 que contiene al nmero 1, que denotamos por en la que

representamos a los enteros positivos. En la semirrecta opuesta a

representamos a los enteros negativos. Mediante segmentos congruentes al

segmento

01

01

01 , determinamos sucesivamente puntos a partir del 0, hacia la derecha

y hacia la izquierda, los cuales representarn a los enteros positivos y negativos,

respectivamente.

- 4 - 3 - 2 - 1 4 3210

A una recta en la cual se representan de la forma antes descrita a los nmeros

enteros, se la suele llamar recta numrica.

Todo nmero entero distinto ( ) de cero (0) tiene un signo. Dicho signo puede ser

+ -, y de ello depende que el nmero sea positivo o negativo, respectivamente.

Generalmente, cuando queremos escribir un entero positivo no indicamos el

signo, sobrentendindose que ese nmero es positivo; por ejemplo, cuando para

indicar que diez es positivo escribimos 10 en lugar de +10.

Si observamos la representacin geomtrica de los nmeros enteros, por ejemplo, la representacin del 2 y el 2, estos nmeros se encuentran a la misma distancia de cero.

- 2 20

Para simbolizar esa distancia comprendida entre un nmero y el cero, utilizamos el...

A cada nmero del conjunto Z, le corresponde un mdulo y su signo.

Se llama mdulo o valor absoluto a la distancia comprendida entre dicho nmero y el 0.

15

Un nmero entero tiene un valor absoluto o mdulo que est determinado por el

nmero natural que representa sus cifras. As, el valor absoluto del nmero 25 es

25; el valor absoluto del nmero 15 es 15. Para indicar el valor absoluto de un

nmero escribimos al nmero entre barras.

Por ejemplo:

1515,2525 ==

estas barras se leen: valor absoluto de

Convenimos que el valor absoluto del nmero 0 es 0, es decir: 00 = . Dos nmeros enteros son iguales si tienen igual valor absoluto y el mismo signo.

Ejemplos:

11001100,1818,2525 === Dos nmeros enteros que tienen igual valor absoluto y distinto signo se llaman

opuestos. Por ejemplo, los nmeros 100 y 100 son opuestos, los nmeros 42 y

42 son opuestos.

Podemos comprobar las desigualdades de los nmeros tomando como punto de referencia al 0, comparando dichas relaciones (mayor, menor, igual) en la recta numrica, porque existe un...

A los nmeros enteros los podemos ordenar de mayor a menor y viceversa.

Observemos, la siguiente recta numrica:

- 2 - 1 432 1 0-2 se encuentra a la izquierda de 1,luego -2 es menor que 1 y losimbolizamos as:

12

Con este criterio, el nmero cero (0) es mayor que cualquier entero negativo y

menor que cualquier entero positivo. Adems, todo entero negativo es menor que

cualquier entero positivo.

Por otro lado, observamos que dados dos nmeros negativos, -150 y 350 por

ejemplo, el de mayor valor absoluto se halla representado a la izquierda del otro.

Esto motiva la siguiente conclusin:

Si a y b son dos nmeros enteros negativos y el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b, entonces a < b o tambin b > a. Ejemplo: -350 < -150.

Y dados dos nmeros positivos, es mayor el de mayor valor absoluto.

Ejemplo: 700 > 250.

La relacin de desigualdad entre nmeros enteros goza de la propiedad transitiva,

es decir:

Si a < b y b < c entonces a < c para toda terna de nmeros enteros a, b, c.

Si bien, lo anterior es la definicin formal del orden en la recta numrica,

observemos que naturalmente surge, como lo hicimos que 0 es mayor que 65 ( o

que cualquier otro entero negativo), ya que si una persona no tiene ni debe nada

(0), tiene ms que si debiese 65 pesos (-65) y adems menos que si tuviese 1000

pesos (1000).

Por otro lado, es razonable pensar que tiene ms una persona si debe 350 pesos

(-350) que si debe 850 pesos (-850). Y as, decimos que 350>-850 850

1- Dados los siguientes nmeros enteros:-1, 10, -83, 17, 42, 55, -10010, 37, -2415; Indica el valor absoluto de cada uno Ordnalos de mayor a menor considerando el signo. 2- Escribe tres nmeros enteros menores que 10 3- Escribe tres enteros negativos mayores que 5 4- En ciertas poblaciones del sur de nuestro pas, que designaremos con A, B, C y D, se registraron las siguientes temperaturas:

Poblacin Temperatura

A -10 B -7 C -18 D -1

En cul de dichas poblaciones se registr la temperatura ms alta? y la ms baja? 5-Si el punto n en la siguiente recta numrica representa a un nmero entero. Cmo determinas su opuesto? Cul es el signo de n?

n 0 1

Has podido realizar la Actividad propuesta?. Si todava tienes dudas, repasa los conceptos anteriores y vuelve a realizar la Actividad. Si te sientes seguro, sigue adelante... Antiguamente, los egipcios vieron la necesidad de recurrir a una nueva clase de nmeros que representaran la porcin de tierra que le corresponda a cada uno. En las orillas del ro Nilo, cultivaban parcelas que dividan por medio de cuerdas, sin embargo, al producirse inundaciones, era difcil establecer una divisin, entonces surge el concepto de nmero fraccionario que representaban al principio con numerador igual a 1. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, introduce en Europa la barra horizontal que separa numerador de denominador en las fracciones. Ante esta carencia nace el conjunto de los... nmeros racionales

18

Fracciones La nocin de fraccin est asociada a infinidad de situaciones cotidianas. La parte

de un todo, una medida, la probabilidad de que ocurra un suceso, el porcentaje,

son slo algunas de ellas. Por ejemplo, si debemos medir la altura de una

habitacin. Para ello utilizamos una unidad de medida, generalmente el metro, y

determinamos cuntas veces dicha unidad est contenida en la altura de la

habitacin. Si est contenida un nmero exacto de veces, entonces mediante un

nmero entero positivo expresamos la medida de la altura de la habitacin en

cuestin. Pero no siempre ocurre que la unidad de medida est contenida un

nmero entero de veces en la magnitud a medir. Puede estar contenida, por

ejemplo, dos veces y media, o una vez y dos tercios, etctera.

1

21

32

Entonces, ningn nmero entero representa la mitad de la unidad, como tampoco

dos terceras partes de ella. Para representar numricamente la

mitad de la unidad, escribimos 21

, que leemos un medio, y

con ello queremos significar que la unidad se ha dividido e partes

equivalentes y que tomamos una de ellas.

n dos

Para representar numricamente las dos terceras partes de

la unidad, escribimos 32

(que leemos dos tercios)

significando as que a la unidad se la ha dividido en tres partes equivalentes, de

las cuales consideramos dos.

A las expresiones como 21

y 32

y a toda otra forma ba

(que en general se lee a

sobre b), donde a y b son nmeros naturales se la denomina fraccin. El nmero

b, llamado denominador, indica en cuntas partes equivalentes se ha dividido la

unidad, y el nmero a, llamado numerador, la cantidad de dichas partes que se

consideran.

19

Las anteriores fracciones representan una cantidad menor que la unidad, pero si

tomamos, por ejemplo 35 de una pgina, queremos significar que a cada unidad

(la pgina) la dividimos en tres partes congruentes1 y consideramos cinco de esas

partes. Y obviamente 35 representa una cantidad mayor que la unidad.

3

5

Observemos que tres terceras partes (33 ) de la pgina representa la unidad (toda

la pgina), ya que de las tres partes congruentes en que la dividimos,

consideramos las tres.

33

Luego, podemos identificar a la unidad con la fraccin (33 ) o con cualquier otra

ba

donde a y b son nmeros iguales, entonces: nn====

22

55

331

Adems, dada una fraccin de la forma 1n , por ejemplo

15 , ella indica que a la

unidad no se la ha dividido en partes (o se la ha dividido en una parte, que es toda

ella). Esto nos muestra que la fraccin 1n representa n unidades. Por ejemplo, la

fraccin 15 representa 5 unidades.

1

15

1 Congruentes: Dos figuras son congruentes cuando al superponerlas coinciden.

20

No obstante, observemos que es razonable admitir que ninguna fraccin puede

tener la forma 0a , ya que no podemos dividir por cero (0). En cambio, si podemos

pensar en la fraccin b0 .

Teniendo en cuenta las consideraciones hechas hasta ahora, damos la siguiente

definicin de fraccin:

Dados dos nmeros a y b donde b es distinto de

0, a la expresin ba se la llama fraccin.

Los nmeros a y b se denominan trminos de la fraccin. En particular, a se

denomina numerador y b denominador. La raya que los separa se llama raya de

fraccin.

Un mismo nmero se lo puede expresar, con

distintas fracciones, por ejemplo: 21

84

126

42 ===

A este concepto se lo llama...

Dadas dos fracciones ba y

dc donde a, b, c y d enteros con b y d distintos de cero,

la fraccin ba y la fraccin

dc representan la misma parte de la unidad ( o sea son

equivalentes) si y slo si cbda = . Por ejemplo: 93

= 62 porque 6392 =

Para escribir fracciones equivalentes debemos tener en cuenta el siguiente....

21

Dada una fraccin ba , si se multiplican numerador y denominador por un mismo

nmero entero n distinto de cero se obtiene una fraccin equivalente a la dada.

Por ejemplo: Sea la fraccin 52 . Multipliqumosla por 3:

156

3532 = . Y las fracciones

52 y

156 son equivalentes ya que 65152 = , es decir: 30 = 30

Estos nmeros que pueden expresarse mediante una fraccin, se los denomina...

Decimos que toda fraccin representa un nmero racional y convenimos en

que dos fracciones equivalentes definen el mismo nmero racional.

Generalmente, al conjunto de los nmeros racionales se lo denota con la letra Q.

Dado un nmero racional ba ( 0b ), diremos que ese nmero es positivo si el

producto de ab es positivo, y diremos que es negativo si el producto de ab es

negativo.

00 abba ( ) ( )0000 baba

El producto ab es positivo si y

slo si los dos factores son

positivos o bien los dos factores

son negativos.

00 abba ( ) ( )0000 >

Adems, al nmero racional representado por una fraccin de la forma n0 , donde

n es cualquier entero positivo o negativo, se lo llama cero.

As como a cada nmero del conjunto Z, le corresponde un mdulo y un signo, tambin le corresponde un signo y un valor absoluto a los nmeros racionales.

Dado un nmero racional positivo ba ( 0b ), llamamos valor absoluto de

ba ,

que denotamos por ba , al mismo nmero racional

ba .

Por ejemplo: Sea el racional 83 . Entonces

83

83 =

Dado un nmero racional negativo ts , llamamos valor absoluto de

ts , que

denotamos ts , al nmero racional definido por la fraccin cuyo numerador y

denominador son los valores absolutos de s y t , respectivamente. Por ejemplo:

Sea el racional 27 . Entonces,

27

27

27 ==

A los nmeros enteros los podremos expresar como nmeros racionales?. Piensa un poquito, escribe tu respuesta y luego, lee atentamente.

23

A todo nmero natural n (entero positivo) se lo puede identificar con el racional 1n

De igual modo, podemos identificar a todo entero negativo s con el racional

negativo 1s . Adems, al entero cero (0) lo identificamos con el racional

10 .

En definitiva, todo entero a se identifica con el racional definido por la fraccin 1a

o cualquiera equivalente a ella. Por esto, decimos que los nmeros enteros y por

ende, los naturales son nmeros racionales.

Para facilitar la interpretacin de las relaciones entre los conjuntos numricos es conveniente utilizar grficos que representen a esos conjuntos...

Para representar grficamente a un conjunto se encierra el smbolo que identifica

al mismo por una curva cerrada.

Ahora bien, dados dos conjuntos puede ocurrir que todos los elementos de uno

tambin pertenezcan a otro conjunto ms amplio, como por ejemplo ocurre con el

conjunto de nmeros enteros, Z y el de los racionales Q , como hemos visto en el tem anterior.

A representa al conjunto A

A estos grficos se los llama diagramas de Venn

Es decir:

todo entero es un racional

24

Esta relacin se conoce con el nombre de inclusin estricta, que en el lenguaje

corriente responde al significado de la palabra incluido y el smbolo de inclusin estricta es:

En consecuencia, el conjunto Z est incluido estrictamente en el conjunto

Q se indica con la notacin: QZ , que se lee: Z incluido en Q o Qincluye a Z Y cuando queremos representar que

un conjunto est incluido en otro, lo

graficamos as:

Adems, existe la misma relacin

entre el conjunto IN (naturales) y el conjunto Z (enteros):

Resumiendo, de las dos figuras anteriores, tenemos que:

Esta ltima relacin existente entre el conjunto IN (naturales), el conjunto Z

(enteros) y el conjunto Q (racionales) la indicamos por: . QZIN Esto ltimo nos lleva a pensar que el conjunto ms amplio hasta aqu tratado es el

conjunto de nmeros racionales. Es decir, que nuestro universo es Q.

por carcter transitivo ZINQZ QIN

entonces

esta figura indica

que: ZIN ZIN

esta figura indica

que: QZ QZ

Algunos autores aceptan como grfico, para el conjunto universal, un rectngulo

y

25

Luego, representamos la relacin: de la siguiente manera: QZIN

Q

ZIN

Esta relacin pone en evidencia que los nmeros racionales tambin

tienen sus...

Como Q es el conjunto que incluye al conjunto Z, hereda las caractersticas de no tener primer ni ltimo elemento y es tambin un conjunto infinito.

El conjunto Q es un conjunto denso, es decir, que entre dos racionales distintos existen infinitos nmeros racionales. Con mayor

rigurosidad decimos que, dados dos racionales ba y

dc , tales que

dc

ba >

existen infinitos racionales menores que ba y mayores que

dc (o sea

existen infinitos racionales entre ba y

dc

Q es un conjunto ordenado:

Relacin mayor que: Dados cualesquiera ba y

dc Q,

expresados como fracciones irreducibles decimos que:

0>>dc

ba

dc

ba o lo que es lo mismo cbda >

26

dem para la relacin menor que :

Dados cualesquiera ba y

dc Q, expresados como fracciones

irreducibles decimos que:

0

Ahora, para representarlo consideramos si el racional es positivo o negativo, es

decir:

Si ba es positivo, dividimos cada segmento unidad que se halle a la

derecha del cero en b partes congruentes, y tomamos a de dichas partes a

partir del punto representativo del cero.

Si ba es negativo hacemos lo mismo, pero considerando los

segmentos que se hallan a la izquierda del cero.

As, los racionales positivos quedan representados a la derecha del cero y los

negativos a la izquierda de este.

Representemos a manera de ejemplo, los siguientes nmeros racionales:

43

21 y

2

43

-2 -1

21

3 1 0

A los nmeros racionales que nacen de una fraccin donde en el denominador aparece la unidad seguida de ceros, se los denominan decimal exacto y todo ...

Ya hemos visto que a los nmeros racionales los representamos mediante una

fraccin de la forma ba donde a y b son enteros y 0b .

Ahora veremos otra manera de escribir a los nmeros racionales. Todos ellos

tienen una representacin decimal, que se obtiene al realizar la divisin de a por

b. La representacin decimal de un nmero racional ba puede ser:

28

Un nmero decimal exacto: es todo aquel que puede representarse

por una fraccin de la forma ma

10, donde m y a son nmeros enteros

cualesquiera. Es decir, cuando tiene un nmero finito de cifras decimales.

9735,=

10009

1007

1035

10009

100070

1000300

10005000

10005379

+++=

+++=

3 dcimos 7 centsimos9 milsimos

Por ejemplo: 5,379 (se lee: 5

enteros, 379 milsimos), que se

obtuvo de la fraccin decimal

5 enteros

Un nmero decimal peridico puro: Es cuando el nmero decimal tiene infinitas cifras decimales que se repiten peridicamente.

Por ejemplo: 6,032 )=

Un nmero decimal peridico mixto: Es cuando el nmero decimal est formado por uno o ms nmeros que no se repiten seguido de

uno o ms que se repiten indefinidamente.

Por ejemplo: 61,061 )=

Hemos incluido el tema de decimales porque en Ciencias Econmicas, cuando

tengas que actualizar el valor de los Bienes, en general, son nmeros de este

tipo. Los cuales se llaman coeficientes de actualizacin. Si por ejemplo, un

coeficiente fuese de 1,20 estara indicando que al valor del bien (1) se le agreg el

20% (0,20x100)

Te invitamos a que resuelvas la siguiente Actividad

29

Antes de poner manos a la obra: Ten en cuenta que cuando en matemtica buscamos una respuesta a

por qu?, decimos que estamos justificando.

Justificar una afirmacin es encontrar argumentos que corroboren su validez.

Justificar es algo menos que demostrar:

En general, hablamos de justificar cuando utilizamos procedimientos

informales, y de demostrar cuando stos son formales. Para demostrar

en matemtica se utiliza el razonamiento deductivo y las reglas de la

lgica.

Teniendo en cuenta lo anterior presta mucha atencin a la siguiente actividad...

1- Cualquier nmero entero, digamos q, es decimal exacto? Por qu? 2- Cualquier nmero entero, digamos q, es decimal exacto? Por qu?

3- 54 es un decimal exacto?

4- 31 es un decimal exacto?

Si no has logrado realizar la actividad, para ayudarte enunciaremos el siguiente...

30

Un nmero racional es decimal exacto si y slo si el

denominador de la fraccin irreducible que lo representa

tiene por nicos divisores a 2 a 5

Ahora s

Indica cul de los siguientes racionales es decimal exacto. Justifica en cada

caso.

1253;

234;

93;

21;

83

Si bien cuando realizamos la representacin decimal de un nmero racional estamos cometiendo error observemos que...

A los fines prcticos, cuando se trabaje con racionales que son decimales

peridicos puros o mixtos, se los representa por decimales exactos que los

aproximen. Dicha aproximacin depende de los elementos con que se trabaje.

Por ejemplo, si medimos la longitud de un terreno utilizando el metro como unidad

de medida, ser suficiente tener en lamente los centsimos de la unidad

( en este caso centmetros), ya que ometido al despreciar los milmetros

y otras unidades de orden inferior

cuenta.

En cambio, cuando los cientfico

pequeo, como un glbulo rojo po

el error cometido si despreciasen la cuenta so

el error c a l es menor que lo que podemos tener en

s quieren medir el dimetro de un cuerpo

r ejemplo, si utilizan como unidad el milmetro,

milsima de milmetro podra ser muy grande.

31

Para que la medicin sea pertinente debern considerar quizs unidades del

orden del diezmilsimo de milmetro.

El redondeo y el truncamiento son tcnicas para hallar una aproximacin de un

nmero escrito en forma decimal. Las usamos para obtener un nmero decimal

con una determinada cantidad de cifras significativas.

Teniendo en cuenta los conceptos sobre unidad de medida, te recomendamos realizar la Actividad 4, para que...

Reflexiones sobre lo visto

Si medimos el Sueldo de un empleado, Cul, crees, que sera la unidad de medida ptima? Por qu?

De la misma forma que surgieron los nmeros negativos para poder solucionar las restas en las que el minuendo es menor que el sustraendo, en los nmeros fraccionarios, para determinar los cocientes en el que el dividendo no es mltiplo del divisor, otro conjunto de nmeros va a resolver la dificultad en la que la raz cuadrada de un nmero no es exacta. Estamos ante la presencia del conjunto de los....

32

Hemos aprendido a representar cada nmero racional en la recta numrica, y esta

representacin nos llev a establecer una correspondencia entre un nmero y un

punto en la recta numrica. Adems, caracterizamos a Q como un conjunto denso, es decir: que entre dos racionales distintos existen infinitos nmeros

racionales.

Todos estos conceptos nos podra llevar a pensar que en la recta numrica no

hay lugar para otros puntos que no sean racionales.

Que lejos estaramos de la verdad!!!

Ya que existen en la recta infinitos puntos a los que no les corresponde ningn nmero racional.

Vamos a trabajar en primer lugar, con un nmero que te es muy conocido!!!

2 Seguro que lo aprendiste cuando trabajaste con el Teorema de Pitgoras.

Recuerdas!!!

Te contamos que el mismo no es un racional, an cuando lo asocies a un nmero

decimal, veremos que el mismo tiene una representacin decimal que no proviene

de un racional.

Manos a la obra!!!

Vamos a demostrar que 2 no es un nmero racional

Cmo lo podramos demostrar?

Una forma es razonar por el absurdo, es decir:

Supongamos que 2 es un nmero racional y lleguemos a una contradiccin.

Descubramos entonces la contradiccin!!!

Afirmamos entonces que 2 es un nmero racional, como ya hemos visto, todo

nmero racional puede expresarse mediante una fraccin irreducible, luego escribimos:

33

ba=2 , donde a y b son nmeros enteros primos entre s

Ahora, por la propiedad uniforme, elevemos ambos miembros de la igualdad al

cuadrado, y resulta:

2

2

2ba=

o lo que es lo mismo , con esta expresin estamos diciendo que es

un nmero par, pero entonces a es un nmero par y por lo tanto puede

expresarse como:

222 ab = 2a

ma 2= con m un entero Si ahora reemplazamos a escrito de esta forma en la expresin , resulta

que:

222 ab =

22 42 mb = bien , entonces b tambin es un nmero par. 22 2mb =Pero si a y b son nmeros pares, la fraccin

ba no es irreducible, ya que podra

simplificar por 2 ambos nmeros, lo cual est contradiciendo la suposicin hecha

al principio.

Por lo tanto, concluimos que 2 no es un nmero racional, ya que si lo fuera lo

podra haber escrito como una fraccin irreducible por definicin de nmero

racional lo cual demostramos que era falso.

ste, era el terrible secreto de los pitagricos?

Entonces, hemos develado el secreto, !!!hay puntos en la recta que representan

nmeros racionales y otros puntos que representan nmeros que no son

racionales, es decir inexpresables como cociente de dos nmeros enteros. A

estos nmeros se los llama irracionales. Generalmente, al conjunto de los nmeros irracionales se lo denota con la letra I

34

Ahora, si pudiramos marcar los puntos correspondientes a todos los nmeros

racionales y a todos los irracionales, la recta quedara completa.

No slo 2 es un nmero irracional. Otros lo son!

Determinemos cuales..:

Hay nmeros irracionales famosos, como el nmero (pi), que relaciona la longitud de la circunferencia con su dimetro mediante la frmula: r2 , y el

nmero (phi), cuyo valor es: 2

51+= , al que se conoce como el nmero de oro, este nmero era conocido por los pitagricos, quienes lo consideraban un

nmero mstico por ser la razn entre la diagonal y el lado del pentgono regular,

figura trascendental para ellos.

Otros nmeros irracionales son las races de ndice par (cuadradas, cuartas, etc.)

de nmeros naturales cuyos resultados no son nmeros naturales.

Veamos que caractersticas presentan los nmeros irracionales.

Como hemos visto, todo nmero racional posee un desarrollo decimal peridico y

toda expresin decimal peridica es un desarrollo decimal de algn nmero

racional.

Por lo anterior, concluimos que si un nmero tiene un desarrollo decimal no

peridico, no es un nmero racional. Se trata entonces de un nmero irracional.

Los nmeros irracionales tienen infinitas cifras decimales no peridicas.

Ahora s hemos podido completar la recta numrica y podemos afirmar que:

Cada punto de la recta representa un nmero que puede ser racional o irracional

El conjunto numrico que representamos con todos

los puntos de la recta recibe el nombre de: conjunto de los...

35

La unin del conjunto Q de nmeros racionales y el conjunto I de nmeros irracionales es el conjunto IR de los nmeros reales.

Y los simbolizamos as: IQIR =

Analizando la anterior definicin, observamos que el conjunto de nmeros reales

est formado por dos conjuntos excluyentes mutuamente, o lo que es lo mismo;

que no tienen elementos en comn. Es decir, entre el conjunto Q y el conjunto I no existen nmeros que sean a la vez racionales e irracionales. Esto ltimo se

simboliza en matemtica de la siguiente manera:

Volviendo a la definicin del conjunto de nmeros reales, deducimos que existen

las siguientes relaciones:

El smbolo , se lee interseccin entre e indica el conjunto formado por los elementos en comn que tienen dos conjuntos En este caso como no tienen

elementos comunes, su interseccin es el conjunto vaco

= IQ

significa IRI

Todo irracional es un real

significa IRQ

Todo racional es un real

36

Ahora bien, teniendo en cuenta las relaciones anteriores, representamos al

conjunto de nmeros reales de la siguiente manera:

Q

Z IN

I

IR

Por ltimo te proponemos la siguiente actividad, la cual integra lo aprendido en este mdulo

Tomemos una serie de nmeros. La consigna consiste en marcar con una cruz,

en la casilla correspondiente, los que quedan incluidos en la definicin de dicha

casilla.

Nmero Entero

Nmero Racional

Nmero Irracional

2 3

K434343,1 K123456,1

1,1348

43

37

Los conceptos de este mdulo son el andamiaje para la reconstruccin del

conocimiento y la metodologa matemtica con la que te enfrentaras a lo largo de

la carrera que elegiste. Si bien hemos desarrollado as, una sucinta idea de cmo

se construye la matemtica, a los efectos de este preingreso, nos permite cumplir

con el doble objetivo de, introducirte en el lenguaje matemtico y cmo algunos

conceptos matemticos se aplican a la Ciencias Econmicas.

Finalmente te presentamos un mapa conceptual de los contenidos de este

mdulo:

Irracionales: I

segn su naturaleza se clasifica en

aquellos nmeros que no se pueden expresar como una fraccin

por ejemplo

que son

que incluyen

que son

aquellos nmeros que se puedenexpresar como una fraccin

Racionales: Q

Los nmeros Reales: IR

38

Fraccionarios: F El nmero El nmero e

Las races si p no es cuadrado perfecto

p

que incluyen

Naturales IN

Cero 0

Enteros negativos Z-

se los puede identificar como

Enteros: Z

39

Estas son las soluciones de las actividades propuestas en este mdulo.

Pretendemos que las mismas te sirvan para comprobar si tu razonamiento y

las tcnicas que empleaste en su resolucin, te llevaron a obtener la

respuesta correcta. Por eso...

Intntalo solo!

40

Actividad 1

1- a)

24152415373710010100105555

424217178383101011

=========

1- b) 55; 42; 37; 17; 10; -1; -83; -2415; -10010

2- -15; -2000; -11

3- -3; -2; -1

4- a) Poblacin D, -1. b) Poblacin C, -18.

5- Para determinar el opuesto a n, marcamos segmentos congruentes al

segmento 01, determinando sucesivos puntos a partir del 0, hacia la izquierda, hasta llegar al punto n. Luego trazamos tantos segmentos

congruentes al segmento 01,(en nuestro caso 3 segmentos, a partir del cero), como tuvimos que hacer hasta llegar al punto n, y ese ser su opuesto n. El

signo de n es negativo, n 0

n 10 -n

Actividad 2

1. Porque a cualquier nmero entero q, lo podemos representar como 010q , luego

todo nmero entero q, es un nmero racional decimal exacto.

2. 54 es un racional decimal exacto, porque lo podemos representar como

8.054

108

1 ==

41

3. 31 no es un racional decimal exacto, porque no lo podemos representar como

m

a10

.

Actividad 3

21 , es un nmero racional decimal exacto porque el denominador de la fraccin

irreducible tienen por divisor a 2.

Actividad 4

Para medir el Sueldo de un empleado utilizamos la moneda de uso corriente del

pas, pesos, y ser suficiente tener en cuenta solamente los centsimos de la

unidad (en este caso centavos), ya que el error al despreciar las otras unidades

de orden inferior es menor a lo que podemos tener en cuenta; adems en el

sistema monetario, existen monedas hasta centavos.

Actividad 5

Nmero Entero Nmero Racional

Nmero Irracional

2 X X 3 X

K434343,1 X K123456,1 X

1,1348 X X

43 X

PrefacioNmeros naturalesNmeros naturales concretosCaractersticas generalesRepresentacin geomtricaPrefacioPropiedades de la adicin y de la multiplicacinLey de CierreLey uniformeLey asociativaLey conmutativaExistencia de elemento neutro de la suma y del productoExistencia de inverso aditivo y multiplicativoPropiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a lActividad 1PrefacioEtapas en la resolucin de un problemaDel Lenguaje Coloquial al MatemticoActividad 1Contenidos y Competencias a desarrollarPrefacioFraccionesActividad 1Actividad 2Actividad 3Actividad 4Actividad 5