Mtodos Numricos(Matemtica Computacional)

Dr. M.Sc. Alonso lvarez OEscuela de Ingeniera en SistemasPOLITECNICA DE CHIMBORAZO

PresentacinLa matemtica interviene de diferentes formas, en muchos sectores de la ciencia y de la tcnica. Resultados matemticos, an si son abstractos, pueden ser utilizados para la resolucin de problemas que se encuentran en la naturaleza. Por otro lado, problemas complejos de la naturaleza estimulan la invencin de nuevas ideas matemticas. En esta relacin entre matemtica y naturaleza se inserta de manera determinante el computador. (Daro Bini, PISA, 1995).

Presentacin.abstraccinaplicacinNATURALEZAMATEMATICA

PresentacinLa introduccin del computador con el cual es posible efectuar muchas operaciones en poco tiempo, ha impuesto y acentuado el desarrollo del anlisis y sntesis de mtodos computacionales para el estudio y resolucin de problemas matemticos.Es oportuno subrayar que, sin un profundo conocimiento de metodologas matemticas, el uso del computador para resolver problemas tcnico-cientficos puede presentar grandes dificultades.Adems es necesario recordar que si hoy contamos con computadores tan poderosos no es slo por el desarrollo del Hardware si no tambin por el desarrollo del Software, lo que permite tratar problemas de alta dimensin. (Daro Bini, PISA, 1995).

Matemtica ComputacionalLa Matemtica Computacional es una herramienta bsica para un ingeniero o un cientfico, porque le permite solucionar de forma aproximada, problemas prcticos que no podran resolverse de manera analtica. Puede decirse que la matemtica computacional (Mtodos Numricos) es la matemtica ms elemental que existe, ya que para solucionar problemas, solo hacen uso de operaciones aritmticas. Sin embargo es ah donde radica su fuerza, porque es a travs de ella que se modelan y resuelven muchos problemas de la realidad, que es cambiante, compleja y variada

Esquema

Ejemplo

Condicionamiento de un ProblemaUn problema matemtico, se dice bien condicionado, si cumple las siguientes condiciones:1) Existencia de la solucin.2) Unicidad de la solucin.3) Dependencia continua de los datos (Estabilidad)Pequeas variaciones en los datos de entrada, implican pequeas variaciones en los datos de salida

EstabilidadLa palabra estabilidad es muy comn escucharla en nuestro diario vivir, por ejemplo, podemos escuchar el franco Suizo es estable, que el peso mexicano es inestable. A un ingeniero decir, esta estructura es estable o no, a un qumico, cierta reaccin se ha estabilizado.

Veamos los siguientes ejemplos fsicos que nos ayudan a entender la estabilidad y tipos de estabilidad. Si efectuamos una pequea perturbacin a la canica, podemos tener diferentes resultados:

En el primer caso la canica luego de un corto tiempo regresar a su posicin de equilibrio, en ese caso hablamos de una fuerte estabilidad. (Azintoticamente estable).En el segundo caso podemos notar que la canica perder totalmente su posicin de equilibrio, en ese caso diremos que es un Equilibrio Inestable.En el tercer caso, podemos notar que si bien la canca no se aleja fuertemente de su posicin de equlibrio, pero tampoco retorna a su posicin inicial, en ese caso diremos Estabilidad no azinttica.

Ejemplo 2.Azintoticamente EstableInestable

Ejemplo 3.ESTABLE INESTABLE

Teora de la Estabilidad.El primero en hablar sobre la Estabilidad fue el matemtico Ruso M. Lyapunov (1857-1918), el cual consider como punto relevante en su tesis doctoral (1892) el hablar sobre la estabilidad de problemas de ecuaciones diferenciales.

ComparacinMtodos Analticos Mtodos NumricosSolucin Exacta Solucin AproximadaComplejidad Elevada Complejidad Baja Muy LentoBien Rpido (PC)

Nmeros de MquinaAl utilizar un computador como apoyo para la matemtica computacional, es fundamental considerar las particularidades del sistema numrico del computador, es decir los llamados nmeros de mquina (representacin finita).Nmero Aritmtico Nmero de Mquina (1/3) = 0,333333..... (1/3) = 0,33...3(1/3) =/= (1/3) (4) = (4)(3/2) = (3/2)

Nmeros Aritmticos Nmeros de Mquina -3 0 2 2.6 m 0 2.6 M (0) (2,6)No tienen principio ni fin Tienen principio y finCada nmero est representado Cada nmero representa unPor un punto subintervalo. Son infinitos Son finitos.

Operacin de MquinaEl uso de nmeros de mquina por el computador implica que los resultados en las operaciones sean diferentes, por lo que es necesario diferenciar entre operacion aritmtica y operacin de mquina.( x (op) y ) = ( x op y )(1+e)

Cualquier operacin matemtica puede ser vista como una funcin de varias variables.Ejemplos:

Observacion:Las siguientes operaciones son iguales o son distintas?Con Operacin Aritmtica son iguales, con operacin de Mquina son distintas

Anlisis Diferencial del ErrorFactores de Amplificacin del error

Representacin Numrica en el ComputadorBit :(Binary Digit) Es un dgito Binario 0 , 1Como reconoce el computador a un 0 o a un 1 :Seales de Voltaje: 0 0-2 voltios 1 4-6 voltios

Representacin en la memoriaNmeros enteros: Utilizan un espacio de memoria de 16 bits (32 bits).

Representacin en la memoriaNmeros Reales: Utilizan un espacio de memoria de 48 bits (61 bits). Utiliza el esquema flp (Floating Point) Punto Flotante.

Nmeros RealesEjemplos de Punto Flotante:

Esquema de Representacin

Ejemplo:40 48

Raices de EcuacionesEntendemos por ecuacin una expresin de la forma f(x)=0, donde f es una funcin definida en un intervalo [a,b].Resolver la ecuacin o hallar una raiz, quiere decir encontrar un z en [a,b] tq. f(z)=0 .

Mtodos de ResolucinExisten varios mtodos numricos para resolver una ecuacin. Uno de los ms utilizados y uno de los mejores es el Mtodo de Biseccin.Sea f(x)=0 una ecuacin. Hallar una solucin en el intervalo [a,b], con un error mximo de e.

Mtodo de BiseccinEl mtodo de Biseccin se basa en comparar el signo de la imagen del punto medio del intervalo con la imagen de uno de los extremos.c1=(a+b)/2. Si f(c1) y f(a) tienen signos opuestos, c2=(a+c1)/2.Caso contrario, c2=(c1+b)/2.Se repite este proceso hasta que la diferencia entre los extremos que resulten sea menor o igual a e.

a boc1c4ooc3oc2Biseccin

BiseccinPara realizar todo este proceso, tenemos dos alternativas. Hacerlo a mano o en un computador.MANO.- Entendemos con papel y lpiz (calculadora)COMPUTADORA.- Tenemos dos alternativas: software existente en el mercado como Derive, ToolKit, MatLab, etc. o construir un propio software en cualquier lenguaje de programacin. Lenguajes Tradicionales: Pascal, C, C++, etc. Entornos de Desarrollo: Visual C, Delphi, Java, etc

EjemploUn famoso problema de la antigedad, conocido como problema de Arquimides, plantea lo siguiente: tenemos un recipiente semiesferico de radio r. Se desea saber cual es la altura h del segmento esfrico, cuyo volumen sea la mitad del recipiente.

Por geometra sabemos que el volumen del recipiente esMientras que el volumen del segmento esfrico es :

El valor h buscado, que necesariamente estar comprendido entre 0 y r, satisface la ecuacin:Sustituyendo x = h/r, se obtiene la ecuacin:

La ecuacin encontrada es de 3er grado y Arquimides no conoca la frmula resolutiva, descubierta 1700 aos despus (Frmula de Cardano). De todas formas esta frmula es tan complicada, que es preferible utilizar otro mtodo como el de Biseccin.a bc 0.00001.00000.5000 0.50001.00000.7500 0.50000.75000.6250 0.62500.75000.6875 0.62500.68750.6562 0.62500.65620.6406 Solucin Aproximada 0.6406

Interpolacin y AproximacinLa Interpolacin y la Aproximacin son tcnicas que se utilizan para proyectar Informacin (desconocida) o para hacer diseos.

Interpolacin y Aproximacin

Interpolacin y AproximacinSi la curva pasa por todos los puntos base (puntos soporte), se llamar Curva Interpolante (Interpolacin).Si la curva aproxima a los puntos base, se llamar Curva Aproximante (Aproximacin).Curvas Interpolantes: Polinomio de Lagrange, Polinomio de Hermite, Polinomio de Newton, Curvas Spline (Polinomios a trozos), etc..Curvas Aproximantes: Curva Bezier, Regresin Lineal, Regresin cuadratica, etc..

Interpolacin: Cuando los datos son absolutamente confiables.Cuando los datos no son demasiados (menor a 10)La Interpolacin se puede utilizar en los siguientes casos:

Aproximacin: Cuando los datos no son absolutamente confiables.Cuando los datos son demasiados (mayor a 10)La Aproximacin se puede utilizar en los siguientes casos:

EjemplosLa proyeccin de datos de una empresa: Inversin Ganancia.La proyeccin de resultados en elecciones.La proyecin de la humedad en un terreno.

Polinomio de Lagrange

Integracin Numrica

Integracin Numrica

Mtodo de Simpson

Integracin Mltiple de Simpson

Ecuaciones DiferencialesMtodo de Euler:

Frmula RecurrenteEJEMPLO: La poblacin de una pequea ciudad crece, en un insatnte cualquiera de tiempo, con una rapidez propor- cional al nmero de habitantes en dicho instante. Si su poblacin inicial es de 500 habitantes y la constante de proporcionalidad k=0,014, obtener de forma aproximada la poblacin de dicha ciudad dentro de 1, 2, 3,..., 9 aos

SOLUCION: Sea N la poblacin al tiempo t, la ecuacin diferencial que se puede deducir es:Como k=0,014, e inicialmente hay 500 habitantes, utilizando la frmula recurrente de Euler obtenemos los siguientes resultados:

Debido al tipo de ecuacin (sencilla), los resultados que arroja el mtodo de Euler, son bastante aceptables. Se puede demostrar que los errores producidos son despreciables.En problemas ms complejos, los resultados se ven afectados con errores considerables. Para los cuales existen mtodos ms fuertes como el de Runge-Kutta.

Mtodo de Runge-KuttaEste mtodo tiene un principio similar al de Euler, la diferencia principal radica en la forma de generar los resultados a travs de otra formula recurrente.