Matematicamente

VOLUNTAD

Planeación del área de MatemáticasPlaneación del área de Matemáticas

Educación Básica Secundaria

Educación Básica Secundaria

y Media Profesional (6 a 11)

y Media Profesional (6 a 11)

Este material fue tomado de www.voluntad.com.co

Tabla de contenidos Tabla de contenidos del plan de estudiosdel plan de estudios(Decreto 0230 de febrero 11 de 2002)

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Plan de estudios del área de matemáticas ..................................................................................................................... 3

Fines de la educación .................................................................................................................................................... 3

Objetivo general del área ............................................................................................................................................... 4

Objetivos específicos ..................................................................................................................................................... 4

¿Qué son los estándares? .............................................................................................................................................. 5

Introducción a los estándares de matemáticas .................................................................................................................6

El qué, el cómo y el para qué de las matemáticas y los estándares ................................................................................ 7

Sobre la noción de competencia matemática ................................................................................................................. 8

Procesos generales de la actividad matemática ............................................................................................................. 10

Resolución de problemas .............................................................................................................................................. 10

Comunicación .............................................................................................................................................................. 12

Razonamiento matemático ........................................................................................................................................... 12

La modelación .............................................................................................................................................................. 12

La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos ..................................................................................... 13

Estándares básicos por competencias ........................................................................................................................... 14

Pensamiento numérico y sistemas numéricos ................................................................................................................ 14

Pensamiento espacial y sistemas geométricos ............................................................................................................... 14

Pensamiento métrico y sistemas de medidas ................................................................................................................. 15

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos ................................................................................................................... 15

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos .......................................................................................... 15

Cuadro 0: Fines de la educación matemática bajo la óptica de los estándares .............................................................. 16

Cuadro 1: Pensamiento numérico y sistemas numéricos frente a los estándares ........................................................... 17

Cuadro 2: Pensamiento espacial y sistemas geométricos frente a los estándares .......................................................... 18

Cuadro 3: Pensamiento métrico y sistemas de medidas frente a los estándares ............................................................ 19

Cuadro 4: Pensamiento aleatorio y sistemas de datos frente a los estándares ............................................................... 20

Cuadro 5: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos frente a los estándares ...................................... 21

Estándares de matemáticas grado sexto a séptimo ...................................................................................................... 22

Estándares de matemáticas grados octavo a noveno ................................................................................................... 23

Estándares de matemáticas grados décimo a undécimo ............................................................................................... 24

Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados cuarto a sexto ........................... 25

Planeadores grado sexto ............................................................................................................................................... 27

Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados séptimo, octavo y noveno ......... 29

Planeadores grado séptimo ......................................................................................................................................... 30

Planeadores grado octavo ............................................................................................................................................ 32

Planeadores grado noveno .......................................................................................................................................... 34

Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados décimo y undécimo .................. 36

Planeadores grado décimo ........................................................................................................................................... 37

Planeadores grado undécimo ...................................................................................................................................... 39

Procedimiento de evaluación de los logros del estudiante ............................................................................................ 41

Ejemplos de planeamiento de actividades modelo ........................................................................................................ 47


Tabla de contenidos del plan de estudios

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Plan de estudios del área de matemáticasPlan de estudios del área de matemáticas

1. El pleno desarrollo de la personalidad sin más limitaciones que las que le imponen los derechos de los demás y el orden jurídico, dentro de un proceso de formación integral, física, psíquica, intelectual, moral, espiritual, social, afecti-va, ética, cívica y demás valores humanos.

2. La formación en el respeto a la vida y a los demás derechos humanos, a la paz, a los principios democráticos, de convi-vencia, pluralismo, justicia, solidaridad y equidad, así como en el ejercicio de la tolerancia y de la libertad.

3. La formación para facilitar la participación de todos en las decisiones que los afectan en la vida económica, política, administrativa y cultural de la nación.

4. La formación en el respeto a la autoridad legítima y a la ley, a la cultura nacional, a la historia colombiana y a los símbolos patrios.

5. La adquisición y generación de los conocimientos cientí-ficos y técnicos más avanzados, humanísticos, históricos, sociales, geográficos y estéticos, mediante la apropiación de hábitos intelectuales adecuados para el desarrollo del saber.

6. El estudio y la comprensión crítica de la cultura nacional y de la diversidad técnica y cultura del país, como fundamen-to de la unidad nacional y de su identidad.

7. El acceso al conocimiento, la ciencia, la técnica y demás bienes y valores de la cultura, el fomento de la investiga-ción y el estímulo a la creación artística en sus diferentes manifestaciones.

8. La creación y fomentos de una conciencia de la soberanía nacional y para la práctica de la solidaridad y la integración con el mundo, en especial con Latinoamérica y el Caribe.

9. El desarrollo de la capacidad crítica, reflexiva y analítica que fortalezca el avance científico y tecnológico nacional, orientado con prioridad al mejoramiento cultural y de la calidad de la vida de la población, a la participación en la búsqueda de alternativas de solución a los problemas y al progreso social y económico del país.

10. La adquisición de una conciencia para la conservación, pro-tección y mejoramiento del medio ambiente, de la calidad de vida, del uso racional de los recursos naturales, de la prevención de desastres, dentro de una cultura ecológi-ca y del riesgo y la defensa del patrimonio cultural de la nación.

11. La formación en la práctica del trabajo, mediante los cono-cimientos técnicos y habilidades, así como en la valoración del mismo como fundamento del desarrollo individual y social.

12. La formación para la promoción y preservación de la salud y la higiene, la prevención integral de problemas social-mente relevantes, la educación física, la recreación, el deporte y la utilización adecuada del tiempo libre.

13. La promoción en la persona y en la sociedad de la capa-cidad para crear, investigar, adoptar la tecnología que se requiere en los procesos de desarrollo del país y que le permita al educando ingresar al sector productivo.

Fines de la educación

De conformidad con el artículo 67 de la Constitución Política de Colombia, la educación se desarrollará atendiendo a los siguientes fines:


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Objetivo general del área

Cualquiera sea el currículo que adopte la institución dentro de su plan de estudios, así como los meca-nismos que opte para implementarlo, la enseñanza de las matemáticas debe propender que cada estu-diante:

• desarrolle una actitud favorable hacia las matemáticas y hacia su estudio que le permita lograr una sólida compren-sión de los conceptos, procesos y estrategias básicas e, igualmente, la capacidad de utilizar todo ello en la solución de problemas.

• desarrolle la habilidad para reconocer la presencia de las matemáticas en diversas situaciones de la vida real.

• aprenda y use el lenguaje apropiado que le permita comu-nicar de manera eficaz sus ideas y sus experiencias mate-máticas.

• haga uso creativo de las matemáticas para expresar nue-vas ideas y descubrimientos, así como para reconocer los elementos matemáticos presentes en otras actividades creativas.

• logre un nivel de excelencia que corresponda a su etapa de desarrollo.

Objetivos específicos

Que el estudiante sea capaz de:

• desarrollar los conocimientos necesarios para proponer y utilizar cálculos y procedimientos en diferentes situacio-nes, así como la capacidad para solucionar problemas que impliquen estos conocimientos.

• desarrollar las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los sistemas numéricos, geomé-tricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos, de operaciones y de relaciones, así como su utilización en la interpretación y solución de problemas de la ciencia o de la vida cotidiana.

• construir sus propios argumentos acerca de hechos mate-máticos y compartirlos con sus compañeros en un ambien-te de respeto y tolerancia.

• reconocer regularidades y usarlas en la modelación de hechos matemáticos.


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¿Qué son los estándares?

Los estándares son criterios claros y públicos que permiten conocer cuál es la enseñanza que deben recibir los estudiantes.

Son el punto de referencia de lo que un estudiante puede estar en capacidad de saber y saber hacer en determinada área y en determinado nivel.

Son guía referencial para que todos los colegios del país, ofrezcan la misma calidad de educación a todos los estudiantes colombianos.

Lo que no se evalúa no mejora

Los estándares han sido concebidos como guías para el diseño del proyecto educativo institucional PEI, y como referentes fundamentales no sólo de las eva-luaciones que realice la propia institución, sino las que realice el ICFES como la entidad que efectúa las evaluaciones en educación básica y media.

aplicar estos conocimientos en su cotidianidad para la solución de problemas nuevos. Así, los estánda-res en la educación expresan a los colombianos, lo que sus estudiantes deben saber y saber hacer. La competencia, muestra que fuera de la escuela el niño, el joven o el adulto, aplican este conocimien-to desempeñándose bien. Se trata de ser compe-tente y no de competir.

Matemática para la vida

La matemática es fundamental en el desarrollo intelectual de los estudiantes y es una de las asig-naturas que en forma especial ayuda a aprender a aprender y a aprender a pensar. Además, da al estudiante las competencias básicas e indispensa-bles para incorporarse en el mercado laboral.

La matemática ya no es un “dolor de cabeza”

Durante muchos años la matemática ha constituido un “dolor de cabeza”. Por ello, para el MEN ha sido de particular importancia trabajar en estrategias que desvirtúen definitivamente el temor que las matemáticas producen en los estudiantes, lo que, en muchos casos, provoca un bloqueo en el desa-rrollo de su vida escolar y, lo que es más grave, un bloqueo en el logro de las competencias laborales.

La matemática de hoy se puede aprender con gusto

Es importante lograr que la comunidad educativa entienda que la matemática es asequible y aún agradable si su enseñanza se imparte mediante una adecuada orientación que implique una inte-racción entre el maestro y sus estudiantes y entre éstos y sus compañeros, de modo que sean capa-ces, a través de la exploración, de la abstracción, de clasificaciones, mediciones y estimaciones, de llegar a resultados que les permitan comunicarse, hacer interpretaciones y representaciones; en fin, descubrir que la matemática está íntimamente relacionada con la realidad y con las situaciones que los rodean, no sólo en su institución educativa, sino también en la vida fuera de ella.

Con base en estos resultados y teniendo en cuenta los estándares que aquí se proponen, cada colegio debe preparar un plan de mejoramiento.

La reflexión sobre lo que los estudiantes deben saber según los estándares, y lo que en realidad saben y saben hacer según las evaluaciones, será la base para promover prácticas pedagógicas que per-mitan mejorar el aprendizaje de todos los alumnos.

Saber y saber hacer, para ser competente

Ésta es la característica fundamental de los estánda-res, definidos ahora para la educación colombiana. Se han definido para que un estudiante no sólo acu-mule conocimientos, sino para que aprenda lo que es pertinente para la vida, y de esta manera pueda


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La matemática en la educación de ciudadanos que piensan, La matemática en la educación de ciudadanos que piensan, razonan y se insertan responsablemente en la vida nacionalrazonan y se insertan responsablemente en la vida nacional

Es indudable que la matemática se relaciona con el desarrollo del pensamiento racional (razona-miento lógico, abstracción, rigor y precisión) y es esencial para el desarrollo de la ciencia y la tec-nología, pero además -y esto no siempre ha sido reconocido-, puede contribuir a la formación de ciudadanos responsables y diligentes frente a las situaciones y decisiones de orden nacional o local y, por tanto, al sostenimiento o consolidación de estructuras sociales democráticas.

Introducción a los estándares Introducción a los estándares de matemáticasde matemáticas

Los fines de la educación matemática no pueden dejar de lado las funciones políticas, sociales y cul-turales que cumple el proyecto educativo y por lo tanto, deben considerar la sociedad a la que éste se orienta. En el caso colombiano es muy importante adquirir el compromiso de formar para la construc-ción y desarrollo de la tecnología, con un fuerte acento hacia el logro de valores sociales y al estable-cimiento de nexos con el mundo.

Así están organizados los estándares de matemáticas

Los estándares que se describirán a continuación tienen en cuenta tres aspectos que deben estar pre-sentes en la actividad matemática:

• Planteamiento y resolución de problemas.

• Razonamiento matemático. Formulación, argumentación, demostración.

• Comunicación matemática. Consolidación de la manera de pensar (coherente, clara, precisa).

• Modelación. Creación de representaciones del entendi-miento que una persona tiene de una situación, o simple-mente de las ideas que se tienen acerca de una situación.

• Procedimientos. Estrategias para abordar y solucionar problemas.

Los estándares están organizados en cinco formas de pensar en forma matemática:

1. Pensamiento numérico y sistemas numéricos.

2. Pensamiento espacial y sistemas geométricos.

3. Pensamiento métrico y sistemas de medidas.

4. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.

5. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

La forma como se aprende, se convierte en la forma como se vive la matemática

El compromiso con los ideales democráticos se logra si en el aula de clase se trabaja como en un espacio donde son posibles la discusión y la argumentación sobre las diferentes ideas, lo cual favorece el desa-rrollo individual de la confianza en la razón como medio de autonomía intelectual, al tomar conciencia del proceso constructivo de las matemáticas para intervenir en la realidad.

En cuanto a los nexos con el mundo externo, es importante trabajar con miras a preparar ciudada-nos que puedan desempeñarse en la sociedad, y que sean aptos para la invención y aplicación de la tecnología.


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La matemática en la educación de ciudadanos que piensan, razonan y se insertan responsablemente en la vida nacional El qué, el cómo y el para qué El qué, el cómo y el para qué

de las matemáticas y los estándaresde las matemáticas y los estándares

El aprendizaje de la matemática es un buen aliado para el desarrollo de capacidades no sólo cognitivas (de razonamiento, abstracción, inducción, deducción, reflexión, análisis), sino también para el desarrollo de actitudes, tales como la confianza de los estudiantes en sus propios procedimientos y conclusiones, favoreciendo la autonomía de pensamien-to; la disposición para enfrentar desafíos y situaciones nuevas; la capacidad de plantear conjeturas y el cultivo de una mirada curiosa frente al mundo que los rodea; la disposi-ción para cuestionar sus procedimientos, para aceptar que se pueden equivocar y que es necesario detectar y corregir los errores; la apertura al análisis de sus propias estrategias de reflexión, de diversidad de procedimientos y de nuevas ideas.

Asimismo, el aprendizaje de la matemática contribuye con el desarrollo de habilidades comunicativas, que hacen más precisa y rigurosa la expresión de ideas y razonamientos, incorporando en el lenguaje y argumentaciones habituales las diversas formas de expre-sión matemática (numérica, gráfica, simbólica, lógica, probabilística y estadística) y com-prendiendo los elementos matemáticos cuantitativos y cualitativos (datos, estadísticas, gráficos planos, etc.).

El aprendizaje de la matemática está asociado al desarrollo de un conjunto de habilidades referidas a:

Procedimientos estandarizables: incluye el desarro-llo de habilidades que se ponen en juego para el aprendizaje de diversos procedimientos y métodos que permiten el uso fluido de instrumentos, la rea-lización de cálculos y estimaciones, la aplicación de fórmulas y convenciones que, posteriormente, pasan a ser procedimientos rutinarios y algorítmicos.

Resolución de problemas: incluye el desarrollo de habilidades tales como identificación de la incógnita y estimación de su orden de magnitud, búsqueda y comparación de caminos o estrategias de solución, análisis de los datos y de las soluciones, anticipación y estimación de resultados, sistematización del ensa-yo y error, aplicación y ajuste de modelos, y formula-ción de conjeturas.

Estructuración y generalización de los conceptos matemáticos: incluye el desarrollo de habilidades tales

como particularización, generalización, búsqueda de patrones y de regularidades, integración y síntesis de conocimientos, encadenamiento lógico de argumen-tos, distinción entre supuestos y conclusiones.

La enseñanza de la matemática enfatiza el desarro-llo del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de conjeturas, exploración de cami-nos alternativos y discusión de la validez de las con-clusiones. Esto supone dar espacio a la experimen-tación y la investigación; incentivar la observación, descripción y clasificación de situaciones concretas y la abstracción de propiedades comunes a un conjun-to de objetos reales o simbólicos. Cobra relevancia, entonces, el trabajo en equipo, la comunicación y la confrontación de ideas, la fundamentación de opiniones y argumentos, el examen de las conexio-nes lógicas y el apoyo en elementos tecnológicos. Se fomenta así en los estudiantes una apreciación equilibrada del valor, función y ámbito de acción de la matemática.


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Sobre la noción Sobre la noción de competencia matemáticade competencia matemática

Sin utilizar todavía la conceptualización y la ter-minología actual de las competencias, la visión sobre las matemáticas escolares propuesta en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas prepara-ba ya la transición hacia el dominio de las compe-tencias al incorporar una consideración pragmática e instrumental del conocimiento matemático, en la cual se utilizaban los conceptos, proposiciones, siste-mas y estructuras matemáticas como herramientas eficaces mediante las cuales se llevaban a la práctica determinados tipos de pensamiento lógico y mate-mático dentro y fuera de la institución educativa.

También pueden reinterpretarse como potentes precursores del discurso actual sobre las competencias la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, Novak y Gowin, y la de la enseñanza para la comprensión de Perkins, Gardner, Wiske y otros.

En la primera, la significatividad del aprendizaje no se reduce a un sentido personal de lo aprendido, sino que se extiende a su inserción en prácticas sociales con sentido, utilidad y eficacia. En la segunda, la comprensión se entiende explícitamente como rela-cionada con los desempeños de comprensión, que son actuaciones, actividades, tareas y proyectos en los cuales se muestra la comprensión adquirida y se consolida y profundiza la misma. En las dimensiones de la comprensión se incluye no sólo la más usual de los contenidos y sus redes conceptuales, sino que se proponen los aspectos relacionados con los métodos y técnicas, con las formas de expresar y comunicar lo comprendido y con la praxis cotidiana, profesio-nal o científico-técnica en que se despliegue dicha comprensión. Todas estas dimensiones se articulan claramente con una noción amplia de competen-

cia como conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cogniti-vas, socioafectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que descri-be la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase.

Con lo dicho se puede hablar del aprendizaje por competencias como un aprendizaje significativo y comprensivo. En la enseñanza enfocada a lograr este tipo de aprendizaje no se puede valorar con propiedad el progreso en los niveles de una compe-tencia si se piensa en ella en un sentido dicotómico (se tiene o no se tiene), sino que tal valoración debe entenderse como la posibilidad de determinar el nivel de desarrollo de cada competencia, en progre-sivo crecimiento y en forma relativa a los contextos institucionales en donde se desarrolla. Las compe-tencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea; requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.

La noción general de competencia ha sido objeto de interés en muchas de las investigaciones y reflexio-nes que adelanta la comunidad de investigadores en educación matemática. Una síntesis apretada de los resultados de éstas permite precisar que -además de los aspectos que se acaban de mencionar- el sentido de la expresión ser matemáticamente competente está íntimamente relacionado con los fines de la educación matemática de todos los niveles educati-vos (lo cual ha sido tratado en el apartado anterior) y con la adopción de un modelo epistemológico sobre las propias matemáticas. La adopción de un modelo epistemológico coherente para dar sentido a la expresión ser matemáticamente competente requiere que los docentes, con base en las nue-vas tendencias de la filosofía de las matemáticas, reflexionen, exploren y se apropien de supuestos sobre las matemáticas tales como:


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• Las matemáticas son una actividad humana inserta en y condicionada por la cultura y por su historia, en la cual se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos para plantear y solucionar problemas tanto internos como externos a las matemáticas mismas. En la búsqueda de soluciones y respuestas a estos problemas surgen progre-sivamente técnicas, reglas y sus respectivas justificaciones, las cuales son socialmente decantadas y compartidas.

• Las matemáticas son también el resultado acumulado y sucesivamente reorganizado de la actividad de comunidades profesionales, resultado que se configura como un cuerpo de conocimientos (definiciones, axiomas, teoremas) que están lógicamente estructurados y justificados.

Con base en estos supuestos se pueden distinguir dos facetas básicas del conocimiento matemático:

• La práctica, que expresa condiciones sociales de relación de la persona con su entorno, y contribuye a mejorar su calidad de vida y su desempeño como ciudadano.

• La formal, constituida por los sistemas matemáticos y sus justificaciones, la cual se expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas en sus diversos registros de representación.

En el conocimiento matemático también se han distinguido dos tipos básicos: el conocimiento con-ceptual y el conocimiento procedimental. El primero está más cercano a la reflexión y se caracteriza por ser un conocimiento teórico, producido por la acti-vidad cognitiva, muy rico en relaciones entre sus componentes y con otros conocimientos; tiene un carácter declarativo y se asocia con el saber qué y el saber por qué. Por su parte, el procedimental está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas representaciones; con las habili-dades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar algoritmos y para argumentar convincentemente.

El conocimiento procedimental ayuda a la construcción y refinamiento del conocimiento conceptual y permite el uso eficaz, flexible y en contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y modelos matemáticos; por tanto, está asociado con el saber cómo.

Estas dos facetas (práctica y formal) y estos dos tipos de conocimiento (conceptual y procedimental) seña-lan nuevos derroteros para aproximarse a una inter-pretación enriquecida de la expresión ser matemáti-camente competente. Esta noción ampliada de com-petencia está relacionada con el saber qué, el saber qué hacer y el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo. Por tanto, la precisión del sentido de estas expresio-nes implica una noción de competencia estrechamen-te ligada tanto al hacer como al comprender.

Si bien es cierto que la sociedad reclama y valora el saber en acción o saber procedimental, también es cierto que la posibilidad de la acción reflexiva con carácter flexible, adaptable y generalizable exige estar acompañada de comprender qué se hace y por qué se hace y de las disposiciones y actitudes necesarias para querer hacerlo, sentirse bien haciéndolo y percibir las ocasiones de hacerlo. Estas argumentaciones permi-ten precisar algunos procesos generales presentes en toda la actividad matemática que explicitan lo que significa ser matemáticamente competente:


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• Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Ello requiere anali-zar la situación; identificar lo relevante en ella; establecer relaciones entre sus componentes y con situaciones seme-jantes; formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros; formular distintos problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella. Este proceso general requiere del uso flexible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para for-mular, reformular, tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. Estas actividades también integran el razonamiento, en tanto exigen formular argumentos que justifiquen los análisis y procedimientos realizados y la vali-dez de las soluciones propuestas.

• Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista. Es decir dominar con fluidez distintos recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes matemáticos.

• Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejem-plo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.

• Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y por qué usarlos de manera flexible y eficaz. Así se vincula la habilidad procedimental con la comprensión conceptual que fundamenta esos procedi-mientos.

Procesos generales de la actividad matemática

A continuación se enuncian los logros más importantes que puede desarrollar un estudiante con la implementación de los estándares. Por cuestiones de fácil manejo y estudio, aquí se aborda cada aspecto presente en la actividad matemática y cada uno de los estándares, pero en la realidad del salón de clase -y en lo posible-, lo ideal es que haya una interacción permanente entre ellos.

Resolución de problemas

La solución de problemas no debe ser considerada únicamente como el objetivo principal del aprendi-zaje de la matemática, pero sí debe servirnos como la mejor manera de trasmitirla, hacerla, evaluarla y relacionarla con otros contextos o disciplinas.

Aquí queremos hacer la diferencia entre el término problema, que es una situación (real o hipotética) que resulta significativa para el estudiante desde su punto de vista de la experiencia y que involucra conceptos, objetos u operaciones matemáticas, y el término ejercicio, que se refiere a operaciones con símbolos matemáticos únicamente (sumas, multipli-caciones, resolución de ecuaciones, etc.).


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Los problemas que se le plantean al estudiante pueden ser clasificados en:

• Problemas rutinarios: aquellos en cuyo enunciado apare-ce toda la información necesaria para su resolución y suele, implícitamente, indicar la estrategia a seguir. El estudiante no requiere reorganizar los datos ni plantear submetas para resolverlo sino seguir directamente las instrucciones.

Ejemplo de un problema para sexto grado: Una baldosa rectangular tiene 5 cm de largo por 4 cm de ancho. ¿Cuál es el área de la baldosa?

• Problemas no rutinarios simples: son problemas en donde toda la información para resolverlos se encuentra en el enunciado; sin embargo no se insinúa una estrategia a seguir sino que el estudiante debe reorganizar la información.

Ejemplo de un problema para sexto grado: Se sabe que el peso de un hombre en la Luna corresponde a la sexta parte de su peso en la Tierra. Un astronauta y su equipaje pesan en la Luna 30 kg. Si el equipaje pesa en la Tierra 80 kg, ¿cuál es el peso del astronauta en la Tierra?

• Relaciones no directas en problemas no rutinarios simples: en estos problemas no hay datos estructura-dos que permitan realizar directamente una modela-ción, lo que posibilita diferentes formas de abordarlos. El estudiante debe descubrir en el enunciado relaciones no explícitas que le posibiliten establecer una estrategia para encontrar la solución.

Ejemplo de un problema para sexto grado: Ana le da a Bety tantas canicas como Bety tenía. Luego Bety le da a Ana tantas canicas como Ana tenía en ese momento. Ahora cada una de ellas tiene la misma cantidad de canicas. ¿Cuántas canicas podía tener Ana al principio?

Mediante el aprendizaje de la solución de problemas, los estudiantes adquieren métodos de pensamiento, hábitos de persistencia y curiosidad. Ser un buen solucionador de problemas puede generar grandes ventajas en el pensamiento estratégico y el potencial lógico - intelectual. La solución de problemas es una parte integral del aprendizaje de las matemáticas, así que no puede ser una parte aislada del currículo de matemáticas. Los contextos de los problemas pueden variar desde experiencias que involucren al estudian-te hasta aplicaciones en las ciencias y en el mundo laboral. Los buenos problemas integrarán múltiples tópicos y harán de las matemáticas algo significativo. Durante la educación básica primaria, secundaria y media, el currículo de matemáticas debe incluir experiencias abundantes y diversas con resolución de problemas como método de indagación y aplicación, para que los estudiantes logren:

• utilizar enfoques de resolución de problemas para investigar y entender los contenidos matemáticos.

• construir nuevo conocimiento matemático a través de la solución de problemas.

• formular problemas a partir de situaciones cotidianas y matemáticas.

• desarrollar y aplicar estrategias para resolver una extensa gama de problemas.

• verificar e interpretar resultados en relación a los problemas originales.

• adquirir confianza en el uso significativo de las matemáticas.


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Co

mu

nic

ació

n La comunicación ayuda a construir el significa-do y la permanencia de las ideas y a hacerlas públicas. Los estudiantes que se involucran en discusiones en las que justifican sus ideas con coherencia y claridad, tendrán una mejor oportunidad de comprensión cuando traten de convencer a sus compañeros acerca de sus puntos de vista.

La comunicación también ayuda a desarrollar un lenguaje adecuado y preciso cuando los estudiantes intenten expresar sus ideas.

Durante la educación básica primaria, secun-daria y media, el estudio de las matemáticas debe incluir la oportunidad de comunicarse para que los estudiantes logren:

• organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la comunicación.

• comunicar su pensamiento matemático coherente y claramente a los compañeros, a los maestros y a los demás.

• analizar y evaluar el pensamiento matemático y las estrategias de los demás.

• usar el lenguaje de las matemáticas para expresar ideas de manera precisa.

Raz

on

amie

nto

mat

emát

ico Las personas que razonan y piensan analítica-

mente tienden a descubrir patrones, estructu-ras o regularidades en situaciones reales o en los objetos mismos de las matemáticas; esas personas se preguntan si esos patrones son accidentales o si ocurren por una razón que tratan de identificar, de probar y de generali-zar con argumentos inductivos y deductivos.

El desarrollo de las ideas, la exploración y reconocimiento de los fenómenos, la justifi-cación de los resultados y el uso de conjeturas matemáticas ayudan a los estudiantes a ver que las matemáticas tienen sentido.

El razonamiento debe impregnar todo el currí-culo de matemáticas para que los estudiantes sean capaces de:

• reconocer que el razonamiento y la prueba son aspectos fundamentales de las matemáticas.

• formular e investigar conjeturas matemáticas.

• desarrollar y evaluar argumentos y pruebas matemáticas.

• seleccionar y usar varios tipos de razonamiento y métodos de demostración.

La m

od

elac

ión Un modelo puede entenderse como un siste-

ma figurativo mental, gráfico o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más compren-sible. Es una construcción o artefacto material o mental, un sistema -a veces se dice también “una estructura”- que puede usarse como referencia para lo que se trata de compren-der; una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo. Un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados, sin necesidad de manipularlos o dañarlos, para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar hacia las demostra-ciones. En ese sentido, todo modelo es una representación, pero no toda representación es necesariamente un modelo, como sucede con las representaciones verbales y algebrai-cas que no son propiamente modelos, aunque pueden estarse interpretando en un modelo. Análogamente, todo modelo es un sistema, pero no todo sistema es un modelo.


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La modelación busca que los estudiantes sean capaces de:

• simplificar situaciones y seleccionar una manera de representarla mentalmente, gestualmente, gráficamente o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos.

• permitirles buscar distintos caminos de solución, estimar una solución aproximada o darse cuenta de si una aparente solución encontrada a través de cálculos numéricos o algebraicos es plausible y significativa, o si es imposible o no tiene sentido.

• decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes, lo que posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad.

• reducir una situación a una ya conocida, de tal manera que se pueda detectar fácilmente qué esquema se le puede aplicar, cómo se relaciona con otras y qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación.

• crear nuevos modelos a partir de otros y de teorías matemáticas que permitan simular la evolución de una situación real.

Según Steen, las matemáticas son la ciencia de los modelos o patrones (“Mathematics is the science of patterns”). “El matemático busca modelos o patrones en el número, en el espacio, en la ciencia, en los ordenadores y en la imaginación. Las teorías matemáti-cas explican las relaciones entre modelos o patrones; las funciones y los mapas, los ope-radores y los morfismos conectan un tipo de modelos o patrones con otros para producir estructuras matemáticas perdurables”.

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tos Este proceso implica comprometer a los estudiantes

en la construcción y ejecución segura y rápida de pro-cedimientos mecánicos o de rutina, también llama-dos “algoritmos”, procurando que la práctica nece-saria para aumentar la velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter de herramientas eficaces y útiles en unas situaciones y no en otras y que, por lo tanto, pueden modificar-se, ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas, o aun hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras.

Para analizar la contribución de la ejecución de pro-cedimientos rutinarios en el desarrollo significativo y comprensivo del conocimiento matemático es conve-niente considerar los mecanismos cognitivos involu-crados en dichos algoritmos. Uno de estos mecanis-mos es la alternación de momentos en los que prima el conocimiento conceptual y otros en los que prima el procedimental, lo cual requiere atención, control, planeación, ejecución, verificación e interpretación intermitente de resultados parciales.

Otro mecanismo cognitivo clave es la automatización, que requiere de la práctica repetida para lograr una rápida, segura y efectiva ejecución de los procedi-mientos; esta automatización no contribuye directa-mente al desarrollo significativo y comprensivo del conocimiento, pero sí contribuye a adquirir destrezas en la ejecución fácil y rápida de cierto tipo de tareas.

Con este proceso se busca que los estudiantes sean capaces de:

• adquirir seguridad para afianzar y profundizar el dominio de los conocimientos.

• reflexionar sobre qué procedimientos y algoritmos conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema simbólico y en qué contribuyen a su conceptualización.

• explicar y entender los conceptos sobre los cuales un procedimiento o algoritmo se apoya, seguir la lógica que lo sustenta y saber cuándo aplicarlo de manera fiable y eficaz y cuándo basta utilizar una técnica particular para obtener más rápidamente el resultado.

• ensayar algoritmos y compararlos para apreciar las ventajas y desventajas de unos sobre otros.

• prepararse para el manejo de calculadoras, el uso de hojas de cálculo, la elaboración de macroinstrucciones y aun para la programación de computadores.


14

Estándares básicos por competenciasEstándares básicos por competenciasPe

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iste

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mér

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s Con el estudio de la geometría, los estudiantes aprenden acerca de las formas geométricas y sus estructuras y cómo analizar sus caracte-rísticas y relaciones. La visualización espacial - entendida como la construcción y la manipu-lación de representaciones mentales de obje-tos de dos y tres dimensiones y la percepción de los objetos desde diferentes perspectivas- es un aspecto importante del pensamiento geométrico. La modelización geométrica y el razonamiento espacial ofrecen formas de interpretar y resolver problemas.

El estándar de pensamiento espacial y siste-mas geométricos incluye un énfasis en el desa-rrollo y prueba de razonamientos, mediante el uso de definiciones y el establecimiento de hechos.

Con el desarrollo de este estándar se prepara a todos los estudiantes para:

• analizar las características y propiedades de las formas geométricas bidimensionales y tridimensionales y desarrollar argumentos acerca de las relaciones geométricas.

• especificar localizaciones y describir relaciones espaciales usando la geometría coordenada y otros sistemas de representación.

• aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.

• usar la visualización, el razonamiento espacial y la modelización geométrica para resolver problemas.

• Descubrir y describir la congruencia y la semejanza entre formas y figuras.

• Aplicar los conceptos geométricos en otras áreas de estudio.

• Aplicar las nociones de perímetro, área y volumen en situaciones problema.

Este estándar describe la comprensión profun-da y fundamental del conteo, del concepto y representación del número y de las relaciones aritméticas como también de los sistemas numéricos y sus estructuras.

Involucra los conceptos y algoritmos de la aritmética elemental así como las propiedades y las características de las clases de números que son el comienzo de la teoría de números. También incluye la proporcionalidad y el con-cepto y uso de las fracciones.

Lo central de este estándar es el desarrollo del sentido numérico -la habilidad de descompo-ner números de manera natural, el uso de las operaciones matemáticas para resolver pro-blemas, la comprensión del sistema decimal, la estimación, el sentido numérico y el reconoci-miento de las magnitudes relativas y absolutas de los números.


• comprender los números, las formas de representarlos, las relaciones entre ellos y los sistemas numéricos.

• comprender el significado de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras.

• hacer cómputos de manera fluida y hacer estimaciones o aproximaciones razonables a partir del uso de diferentes estrategias.

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15

Comprender las características mensurables de los objetos tangibles y de otros intangibles como el tiempo, de las unidades y patrones que permiten hacer las mediciones y de los instrumentos utilizados para hacerlas, se cons-tituye en un aspecto de gran importancia de la matemática escolar.

El estudio de la medida ofrece la oportunidad de aprender y aplicar las operaciones, las ideas geométricas, los conceptos de estadística y las nociones de función. Estas conexiones se complementan con las relaciones que existen entre las medidas y las ciencias sociales, la ciencia, el arte, y la educación física.


• comprender los atributos medibles de los objetos y las unidades, sistemas y procesos de medición.

• aplicar técnicas apropiadas, herramientas y fórmulas para determinar medidas.

• seleccionar y usar métodos estadísticos apropiados para analizar datos.

• desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en datos.

• entender y aplicar los conceptos básicos de probabilidad.

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os Este estándar recomienda que los estudiantes

formulen a partir de situaciones suscepti-bles de análisis, preguntas que puedan ser resueltas usando la recolección sistemática y organizada de datos y su interpretación. Los estudiantes podrán aprender a coleccionar datos, organizar sus propios datos o los de los demás, y disponerlos en gráficas y diagramas que sean útiles para responder preguntas, identificar tendencias y hacer predicciones o conjeturas. Las nociones de probabilidad y la relación de la aleatoriedad con el azar y noción del azar como opuesto a lo deducible, es posible desarrollarse en conjunto con los conceptos estadísticos.


• formular preguntas que puedan resolverse mediante el análisis de datos.

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mas

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anal

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os El álgebra tiene sus raíces históricas en el estu-

dio de los métodos generales para resolver ecuaciones. Este estándar enfatiza las relacio-nes entre las cantidades, incluyendo las funcio-nes, las formas de representar relaciones mate-máticas y el análisis del cambio. Las relaciones funcionales pueden expresarse mediante sím-bolos que permiten que las ideas complejas puedan expresarse de manera eficiente.

Pero el álgebra es mucho más que símbolos. Los estudiantes necesitan aprender el concep-to de álgebra, las estructuras y los principios que gobiernan la manipulación de los sím-bolos, y la forma como los mismos símbolos pueden usarse para interpretar ideas.


• entender patrones, relaciones y funciones.

• representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas usando símbolos algebraicos.

• usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

• analizar los procesos de cambio y el concepto de variable en varios contextos.


16

Cuadro 0: fines de la educación matemática bajo la óptica de los estándares

Actitudes

Socialización

Tolerancia

Iniciativa

Respeto

Cortesía

Objetividad

Participación

Creatividad

Pensamiento crítico.

Traducción, simbolización

y argumentación desde y hacia distintos

sistemas de representación.

Construcción de significados y relaciones.

Permanencia de ideas.

Construcción de un lenguaje adecuado.

Precisión en el lenguaje.

Evaluación de las estrategias de otros.

Clarificación, refinación y consolidación

de pensamiento.

Comunicarse mediante la matemática.

Adquirir confianza para hacer matemáticas.

Actitudes

Creatividad

Imaginación

Iniciativa

Autoestima

Flexibilidad de pensamiento.

Seguridad

Participación

Actitudes

Imaginación

Originalidad

Concentración

Rigurosidad

Persistencia

Curiosidad

Creatividad

Reconocimiento, diferenciación,

relación y generalización de los conceptos

matemáticos.

Selección y uso de varios tipos

de razonamiento.

Valoración del razonamiento

y prueba matemática.

Descubrimientos de patrones,

comportamientos, estructuras

y regularidades.

Desarrollo y evaluación de argumentos.

Formulación e investigación de conjeturas.

Aprender a razonar matemáticamente.

Fin de la educación matemática.

Comprensión de las matemáticas como actividad humana.

Conocimiento y experimentación

de numerosas experiencias que

generen confianza propia para hacer

matemáticas y tomar decisiones.

Desarrollo de estrategias de solución en problemas no rutinarios y de relaciones no

directas en forma individual y grupal.

Construcción de nuevos

conocimientos.

Investigación y construcción de conceptos.

Formulación y solución

de problemas cotidianos.

Resolver problemas matemáticos.

Aprender a valorar la matemáticas.

Conocimiento de la evolución

histórica y científica.

Reconocimiento del papel que

juegan las matemáticas

en la sociedad.

Comprensión de la relación entre

las matemáticas y otras áreas

del saber.

Actitudes

Persistencia

Disciplina

Solidaridad

Independencia

Curiosidad

Creatividad

Originalidad

Imaginación

Participación

Actitudes

Respeto por el saber, el estudio

y la disciplina.

Valoración del conocimiento en cualquiera de sus formas.

Interés por la investigación.


17

Cuadro 1: Pensamiento numérico y sistemas numéricos frente a los estándares

Números

Medida

Ordinalidad

Códigos

Secuencia verbal.

Conteo

Cardinalidad

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Significado de las operaciones.

Modelos usuales.

Algoritmos informales.

Comprensión de los números

y de la numeración.

Comprensión del concepto de las

operaciones.

Solución de problemas.

Numeración

Valor de posición

Cálculos con números y

aplicaciones.

Propiedades

Efecto y relaciones de las operaciones.

Cálculo mental.

Aproximación

Estimación

Calculadora

Agrupar

Contar


18

Cuadro 2: Pensamiento espacial y sistemas geométricos frente a los estándares

Perspectivas

Manipulación de representaciones.

Representación mental.

Transformaciones geométricas.

Rotaciones

Traslaciones

Reflexiones

Aplicaciones

Visualización espacial.

Teselaciones

Simetría

Imaginación tridimensional.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Exploración del espacio.


Modelización Razonamiento espacial.

Formulación y discusión

de conjeturas.

Formas y figuras geométricas.

Prueba de razonamiento.


19

Cuadro 3: Pensamiento métrico y sistemas de medidas frente a los estándares

Análisis de las invariantes.

Conservación

Lo continuo (magnitudes) y lo discreto (números

naturales).

Medición objetos intangibles.

Medición objetos tangibles.

Medición

Pensamiento métrico y sistemas de medidas.

Estimación o cálculo aproximado.


Rango de las magnitudes.

Tiempo

Largo, ancho, alto...

Unidades, patrones e instrumentos.

Asignación numérica.

Patrón: concreto.

Ejemplo: un cuadrado de un cm cuadrado.

Unidad: abstracta.

Ejemplo: el cm cuadrado.


20

Cuadro 4: Pensamiento aleatorio y sistemas de datos frente a los estándares

Casualidad

Buscar correlaciones.

Recolección sistemática y organizada de datos.

Ordenación y presentaciónde la información

Interpretar gráficas.

Leer entre líneas.

Reinterpretar datos.

Tendencias.

Oscilaciones.

Análisis

Explorar e interpretar datos.

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.

Explorar la aleatoriedad.

El azar frente a lo deducible.

Predicción.

Conjeturas.


Probar hipótesis.

Inferencias cualitativas.

Razonar hipotéticamente


21

Cuadro 5: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos frente a los estándares

Aproximaciones sucesivas.

Divisibilidad

Procesos infinitos.

Reales

Continuo numérico.

Sistemas de representación.

Enunciados, tablas, gráficas cartesianas,

gráficas sagitales y representaciones

pictóricas.

Modelos funcionales.

Dependencia

Función

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos.

Procesos de cambio.

Construcción de fórmulas.

Significado de la variable.

Álgebra

Magnitudes


Modelos de variación.

Cambio relativo, cambio absoluto, proporcionalidad.


22

Estándares de matemáticas grado sexto a séptimoEstándares de matemáticas grado sexto a séptimo


Pensamiento espacial y sistemas

geométricos

Pensamiento métrico

y sistemas de medidas

Pensamiento aleatorio

y sistemas de datos

Pensamiento variacional

y sistemas algebrai-cos y analíticos

1. Utilizar números para resolver problemas en contextos de medida.

2. Justificar la representación polinomial de los números racionales utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal.

3. Generalizar propiedades y relaciones de los números naturales (ser par, impar, múltiplo de, divisible por, conmutativa, etc.).

4. Resolver y formular problemas utilizando propiedades de la teoría de números.

5. Justificar operaciones utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

6. Formular y resolver problemas aplicando conceptos de la teoría de números.

7. Resolver y formular problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación.

8. Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad.

9. Justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.

10. Hacer conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando calculadoras o computadores.

11. Justificar la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas.

12. Utilizar argumentos combinatorios (tablas, diagramas arbóreo, listas) como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo.

1. Representar objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.

2. Identificar y escribir figuras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales.

3. Clasificar polígonos en relación con sus propiedades.

4. Predecir y comparar los resultados de aplicar transformaciones geométricas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias sobre figuras bidimensionales en matemáticas y en el arte.

5. Resolver y formular problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.

6. Resolver y formular problemas usando modelos geométricos.

7. Identificar características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica.

1. Utilizar técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas.

2. Resolver y formular problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas, mapas).

3. Calcular áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos.

4. Identificar relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes.

5. Resolver y formular problemas que requieren técnicas de estimación.

1. Comparar e interpretar datos provenientes de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión).

2. Reconocer la relación entre un conjunto de datos y su representación.

3. Usar representaciones para presentar diversos tipos de datos (diagramas de barras, diagramas circulares).

4. Usar medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.

5. Usar modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir la posibilidad de ocurrencia de un evento.

6. Hacer conjeturas sobre el resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad.

7. Resolver y formular problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares.

8. Predecir y justificar razonamientos y conclusiones usando información estadística.

1. Describir y representar situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).

2. Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio (variación).

3. Analizar las propiedades de variación lineal e inversa en contextos aritméticos y geométricos.

4. Utilizar métodos informales (ensayo - error, complementación) en la solución de ecuaciones.

5. Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.), en relación con la situación que representan.


23

Estándares de matemáticas grados octavo a novenoEstándares de matemáticas grados octavo a novenoPensamiento

numérico y sistemas numéricos

Pensamiento espacial

y sistemas geométricos



Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos

y analíticos

1. Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos.

2. Simplificar cálculos usando relaciones inversas entre operaciones.

3. Utilizar la notación científica para representar cantidades y medidas.

4. Identificar la potenciación y la radicación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas.

1. Hacer conjeturas y verificar propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

2. Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

3. Aplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

1. Generalizar procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y volumen de sólidos.

2. Seleccionar y usar técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

3. Justificar la pertinencia de utilizar unidades de medida específicas en las ciencias.

1. Reconocer que diferentes maneras de presentar la información pueden dar origen a distintas interpretaciones.

2. Interpretar analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión).

3. Interpretar conceptos de media, mediana y moda.

4. Seleccionar y usar métodos estadísticos adecuados según el tipo de información.

5. Comparar resultados experimentales con la probabilidad esperada.

6. Resolver y formular problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión).

7. Reconocer tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

8. Calcular probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

9. Usar conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento.).

1. Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

2. Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

3. Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas.

4. Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.

5. Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

6. Analizar los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

7. Interpretar los diferentes significados de la pendiente en situaciones de variación.

8. Interpretar la relación entre el parámetro de funciones con la familia de funciones que genera.

9. Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones polinómicas, racionales y exponenciales.


24

Estándares de matemáticas grados décimo a undécimoEstándares de matemáticas grados décimo a undécimo


Pensamiento espacial y sistemas

geométricos



Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Pensamiento variacional y sistemas

algebraicos y analíticos

1. Analizar representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales.

2. Reconocer la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos y algebraicos.

3. Comparar y contrastar las propiedades de los números (enteros, racionales, reales) sus relaciones y operaciones.

4. Utilizar argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales.

5. Establecer relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

1. Identificar las propiedades de las curvas en los bordes obtenidos mediante cortes (longitudinales y transversales) en un cono y un cilindro.

2. Identificar características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares, esféricos,...).

3. Resolver problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas de manera algebraica.

4. Usar argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.

5. Describir y modelar fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

6. Reconocer y describir curvas o lugares geométricos.

1. Diseñar estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos.

2. Resolver y formular problemas que involucran mediciones derivadas para atributos tales como velocidad y densidad.

3. Justificar resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

1. Comparar estudios provenientes de medios de comunicación.

2. Justificar inferencias provenientes de los medios o de estudios diseñados en el ámbito escolar.

3. Diseñar experimentos aleatorios para estudiar un problema o pregunta.

4. Describir tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas.

5. Interpretar nociones básicas relacionadas con el manejo de información (población, muestra, variable).

6. Usar algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia).

7. Interpretar conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos.

8. Resolver y formular problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con remplazo).

9. Proponer inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.

1. Utilizar las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

2. Interpretar la noción de derivada como razón de cambio instantánea en contextos matemáticos y no matemáticos.

3. Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales.

4. Modelar situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas.


25

Estándares de matemáticas grados décimo a undécimo Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados cuarto a sextooficialmente para los grados cuarto a sexto

Pensamiento/sistemas

Numérico/numéricos

Espacial/geometría

Métrico/ de medidas

Aleatorio/ de datos

Variacional/ algebraicos y analíticos

Indicadores de logros de cuarto a sexto

• Identifica los números naturales y los racionales positivos en su expresión decimal y fraccionaria, los usa en diferentes contextos y los representa de distintas formas.

• Construye y utiliza significativamente las operaciones con números naturales y con números racionales positivos, establece relaciones entre estas operaciones y usa sus propiedades para la elaboración del cálculo mental y escrito.

• Reconoce las características de sólidos, figuras planas y líneas, los utiliza en su vida cotidiana en mediciones, elaboración de dibujos y construcción de modelos.

• Aplica movimientos rígidos en el plano.

• Identifica las propiedades que se conservan en cada movimiento y visualiza transformaciones simples para descubrir reglas de combinación que permitan crear patrones.

• Identifica en objetos y situaciones de su entorno las magnitudes de longitud, área, volumen, capacidad, peso, masa, amplitud de ángulos y duración.

• Reconoce procesos de conservación y desarrolla procesos de medición y estimación de dichas magnitudes y las utiliza en situaciones de la vida diaria.

• Interpreta datos presentados en tablas y en diagramas, comprende y usa la media, la mediana y la moda en un conjunto de datos y saca conclusiones estadísticas.

• Reconoce la importancia de averiguar datos y procesar información para tomar decisiones, y de conocer y evaluar sus características en relación con las decisiones que se tomen.

• Expresa relaciones matemáticas por medio de ecuaciones o inecuaciones.

• Investiga casos en los que el cambio de una cantidad variable se relaciona con el cambio de otra y describe ese hecho mediante tablas, gráficas en el plano cartesiano, palabras o ecuaciones.

• Comprende y usa el concepto de conjunto.

• Comprende y usa el concepto de pareja ordenada.

Procesos Grupo de

grados

Planteamiento y resolución de

problemas

Razonamiento matemático

Comunicación matemática

Modelación Procedimientos

Indicadores de logros

cuarto a sexto

• Formula y resuelve problemas derivados de situaciones cotidianas y matemáticas.

• Examina y valora resultados teniendo en cuenta el planteamiento original del problema.

• Explora y descubre propiedades y regularidades de los números.

• Formula, argumenta y somete a prueba conjeturas y elabora conclusiones.

• Explica sus ideas y justifica respuestas mediante el empleo de modelos, la interpretación de hechos conocidos y la aplicación de propiedades y relaciones matemáticas.

• Reduce una situación a una ya conocida, de tal manera que puede detectar qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación.

• Reflexiona sobre los procedimientos que conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema simbólico.


26

Nota Nota importanteimportante

Los enlaces recomendados para su búsqueda en Google deben ser digitados tal y como se indica en cada recurso propuesto en los

planeadores que se presentan en las siguientes páginas. En los sitios reco-mendados podrá encontrar desde teoría hasta actividades interactivas que

sirven de apoyo para su trabajo y el de los estudiantes. Es muy fácil: ingrese el término sugerido y luego haga clic en búsqueda. La primera página que aparezca de referencia le posibilita el apoyo que usted necesita.


27

Grado: //Sexto// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________

Contenidos Recursos propuestos Metodología propuesta

Unidad 1: Lógica y conjuntos 1. Proposiciones y sus negaciones.

2. Cuantificadores.

3. Proposiciones abiertas y cerradas.

4. Conjuntos y subconjuntos.

5. Disyunción y unión entre conjuntos.

6. Conjunción e intersección.

7. Diferencia y diferencia simétrica.

Unidad 2: Números naturales 1. El conjunto de los naturales. 2. Orden de los naturales. 3. Adición y sustracción. 4. Propiedades de la adición. 5. Ecuaciones y problemas. 6. Multiplicación y división. 7. Propiedades de la multiplicación. 8. Ecuaciones y problemas. 9. Ejercicios adicionales de operaciones y ecuaciones. 10. Potenciación de números naturales y sus propiedades. 11. Radicación y logaritmación.

• Textos en los que se identifiquen conectores lógicos y proposiciones asociadas con hechos familiares para los estudiantes.

Google: Logica proposicional - wikillerato.

• Ejercicios con los primeros términos de algunas series numéricas para continuarlas y descubrir sus propiedades.

Google: Marcia levitus.

(Recurso argentino con actividades de series y secuencias)

• Problemas variados de aplicación de las operaciones con naturales.

Google: mi ayudante 6 grado.

Google: aaaknow 7 grade

• Ejercicios para hallar el valor numérico de expresiones y en pasar proposiciones verbales a ecuaciones.

Google: grado 6 aaa matematicas.

• El uso del lenguaje lógico puede evidenciarse en artículos sencillos que sean del interés de los estudiantes para que posteriormente se encarguen de hacer pequeños artículos en donde usen de manera significativa los conectores lógicos.

• Completar sucesiones numéricas cuidadosamente elegidas para desarrollar el pensamiento inductivo de los estudiantes.

• Los juegos numéricos en los que hay que encontrar un número desconocido, puede convertirse en un motivo para formalizar el concepto de ecuación.



Unidad 3: Sistemas de numeración y números enteros negativos.

1. Sistemas de numeración. 2. Sistema de numeración romano. 3. Sistema de numeración decimal. 4. Sistema binario. 5. Sistemas de numeración con otras bases numéricas. 6. Números enteros negativos. 7. Adición y sustracción de enteros.

Unidad 4: Teoría de números 1. Múltiplos y divisores. 2. Números primos y compuestos. 3. Criterios de divisibilidad. 4. Descomposición factorial. 5. Mínimo común múltiplo. 6. Máximo común divisor.

• Consultas hechas por los estudiantes acerca de los diferentes sistemas numéricos en el mundo.

Google : sistemas de numeración thales.

• Consulta sobre los logros de los antiguos griegos: tales de Mileto, Pitágoras, descubrimiento de los intervalos musicales, números triangulares, números cuadrados, gnomon y oblongos.

• Consulta acerca de los orígenes y evolución de las calculadoras.

• El estudio de otros sistemas de numeración (Asia occidental, China y mesoamérica) debe constituirse en un elemento de reflexión por parte de los estudiantes para descubrir regularidades en cada sistema y para dar argumentos plausibles a favor o en contra de su uso y practicidad.

• Identificar los números que utilizamos en nuestras actividades diarias (pago de cuentas, compras, balances, entre otros).


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Unidad 5: Números fraccionarios 1. Significado de las fracciones. 2. Representación de las fracciones. 3. Fracciones equivalentes. 4. Comparación de fracciones. 5. Adición y sustracción. 6. y 7. Multiplicación y división. 8. Problemas. 9. Operaciones combinadas. 10. Ecuaciones con fracciones. 11. Potenciación y radicación.

Unidad 6: Expresiones decimales. 1. Fracciones y expresiones decimales. 2. Clasificación de los decimales. 3. Ubicación de decimales en la recta. 4. Comparación de números decimales. 5. Adición y sustracción de decimales. 6. Problemas. 7. Multiplicación de decimales. 8. División de expresiones decimales. 9. Problemas. 10. Potenciación y radicación.

• Lectura “el hombre que calculaba” cuento de la repartición de camellos.

Google : el hombre que calculaba.

• Ilustraciones en las que se puedan representar fracciones, ya sea como parte de una unidad o de una colección de objetos.

Google : para tus tareas astromía.

• Información estadística de los países del mundo que pueda ser susceptible de ser representada por fracciones, considerando la unidad como la población total del país consultado.

• Página económica y deportiva de diarios locales para ser analizada.

• La visión que se tiene de las fracciones como parte de una unidad debe ampliarse cuando se considera un grupo de objetos o de personas, por eso la información estadística es útil para afianzar la idea de fracción.

• La elaboración de recetas o mezclas con datos dados en proporción puede acercar al estudiante a un contexto real de la utilidad de las matemáticas.

• La conversión de medidas de longitud puede apoyar el proceso de operaciones básicas con decimales.



Unidad 7: Geometría y proporcionalidad

1. Elementos básicos de la geometría. 2. Ángulos. 3. Rectas paralelas y perpendiculares. 4. Polígonos. 5. El plano cartesiano. 6. y 7. Concepto de proporción. 8. Porcentaje y tanto por ciento.

Unidad 8: Medición

1. Medidas de longitud. 2. Medidas de área. 3. Áreas de polígonos y círculo. 4. Volumen, masa y capacidad. 5. Unidades de tiempo.

Unidad 9: Estadística

1. Recolección de información. 2. Medidas de tendencia central. 3. Diagramas de barras. 4. y 5. Diagrama lineal y circular.

• Modelos de figuras para hacer en papel (origami).

Google: cientec matematica. Un Club de origami.

• Lectura sobre elementos de geometría euclideana y no euclideana.

Google: educarchile geometría interactiva.

• Fotografías para analizar su escala y proporción.

• Extractos bancarios donde se muestre los intereses cobrados por el banco o los que ganan los clientes.

• Gráficas estadísticas.

• Encuestas realizadas por los estudiantes.

• El origami puede ayudar a los estudiantes a descubrir las propiedades de las figuras planas.

• Construcción de entes geométricos con regla y compás.

• El geoplano ayuda a interpretar hechos geométricos y a describir propiedades de las figuras bidimensionales.

• Problemas que impliquen la estimación de tiempos de recorrido de un viaje, conocidos la velocidad y la distancia, apoya la contextualización de la proporcionalidad.


29

Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados séptimo, octavo y novenooficialmente para los grados séptimo, octavo y noveno



Espacial/geometría


Aleatorio/ de datos

Variacional/ alge-braicos y analíticos

Indicadores de logros

de séptimo a noveno.

• Identifica y usa los números enteros y los racionales en diferentes contextos, los representa de diversas formas y establece relaciones entre ellos.

• Redefine las operaciones con racionales y establece conexiones entre ellas.

• Comprende y usa la proporcionalidad directa e inversa de magnitudes, en distintos contextos de la vida cotidiana.

• Construye modelos geométricos, esquemas, planos y maquetas utilizando escalas, instrumentos y técnicas apropiadas, además visualiza, interpreta y efectúa representaciones de objetos tridimensionales en el plano.

• Visualiza, reconoce y efectúa transformaciones de polígonos en el plano y las utiliza para establecer congruencia, semejanza y simetría entre figuras.

• Halla la circunferencia y el área de un círculo.

• Deduce y aplica las fórmulas para el área de triángulos y paralelogramos, el área de superficie y el volumen de conos, prismas y pirámides.

• Deduce y aplica la fórmula para la distancia entre dos puntos del plano cartesiano.

• Conoce y aplica las fórmulas para el área de la superficie y el volumen de una esfera.

• Formula inferencias y argumentos coherentes, utilizando medidas de tendencia central y de dispersión para el análisis de datos, interpreta informes estadísticos y elabora críticamente conclusiones o conjeturas.

• Elabora modelos de fenómenos del mundo real y de las matemáticas a través de sucesiones, de series de las funciones lineal, constante, idéntica, opuesta de gráfica lineal y cúbica.

• Construye e interpreta fórmulas, ecuaciones e inecuaciones para representar situaciones que requieren variables, opera con cualquiera de ellas y halla procedimientos para resolver ecuaciones e inecuaciones.

Procesos Grupo de

grados

Planteamiento y resolución

de problemas




Indicadores de logros séptimo

a noveno.

• Investiga y comprende contenidos y procedimientos, a partir de enfoques de tratamiento y resolución de problemas y generaliza soluciones y estrategias para nuevas situaciones.

• Formula problemas a partir de situaciones dentro de las matemáticas y en otras disciplinas.

• Desarrolla y aplica estrategias para resolver, verificar e interpretar los resultados de un problema.

• Formula, argumenta y pone a prueba hipótesis, las modifica o las descarta y reconoce las condiciones para que una propiedad matemática se cumpla; aplica estos procedimientos en la formulación, análisis y resolución de problemas.

• Hace estimaciones sobre numerosidad, resultados de cálculos y medición de magnitudes concretas y las utiliza para verificar resultados.

• Representa y analiza funciones utilizando para ello tablas, expresiones orales, expresiones algebraicas, ecuaciones y gráficas y hace traducciones sobre estas representaciones.

• Interpreta expresiones algebraicas y diagramas operacionales y de flujo, traduce de unos a otros y opera con ellos utilizando diferentes tipos de números.

• Reduce una situación a una ya conocida, de tal manera que puede detectar qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación.

• Reflexiona sobre los procedimientos que conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema simbólico.


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Grado: //Septimo// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________


Unidad 1: Lógica y conjuntos

1. Las proposiciones. 2. Conjunción e intersección. 3. Disyunción y unión. 4. Complemento y negación. 5. Diferencia de conjuntos. 6. Diferencia simétrica. 7. Cuantificadores.

Unidad 2: Enteros

1. Números relativos y enteros. 2. Orden y valor absoluto. 3. Adición de enteros. 4. Sustracción de enteros. 5. y 6. Ecuaciones y problemas. 7. Multiplicación de enteros. 8. Problemas. 9. Potenciación y radicación. 10. División de enteros. 11. y 12. Ecuaciones y problemas. 13. Polinomios aritméticos.

• Ejercicios de lógica cuyo enunciado puede interpretarse a partir de tablas.

Google:Lógica proposicional - wikillerato.

• Fragmentos de textos que permita evidenciar en una primera lectura hechos carentes de lógica o falsos.

• Textos para reescribir haciendo uso de la negación de las proposiciones que se identifiquen en ellos.

• Ejercicios con operaciones incompletas y cuya solución sean números naturales o enteros.

• Juegos de posiciones sobre tableros numéricos.

• Tablas de conversión de unidades de temperatura (Celsius, Fahrenheit, Kelvin).

• Problemas propuestos y resueltos con ecuaciones.

Google: Vamos a resolver problemas.

Recurso argentino con problemas con ecuaciones.

• Explicar la incidencia de los cuantificadores y de las negaciones en diversos textos, afianza la necesidad de manejar una comunicación sin ambigüedades.

• Muchos problemas cuya solución a simple vista es compleja, resultan sencillos cuando se usan esquemas de conjuntos en su interpretación.

• El uso adecuado de la representación de ideas matemáticas, clarifica hechos y relaciones entre los números, un buen manejo de la recta numérica es un ejemplo de ello.

• El uso de las operaciones incompletas, desarrolla en los estudiantes la idea de reversibilidad de las operaciones.

Grado: //Séptimo// Período: < 02 > Tiempo previsto: _______________________________


Unidad 3: Racionales

1. Fracciones equivalentes. 2. Ubicación en la recta numérica

y orden. 3. Adición y sustracción de racionales. 4. Propiedades de la suma de racionales. 5. Multiplicación de racionales. 6. División de racionales. 7. Ecuaciones. 8. Problemas. 9. Potenciación y radicación.

Unidad 4: Decimales

1. Expresiones decimales y orden. 2. Adición y sustracción. 3. Multiplicación y división de decimales. 4. Problemas. 5. Fracción generatriz de un decimal.

• Ilustraciones en las que se puedan representar fracciones, ya sea como parte de una unidad o de una colección de datos.

• Mategramas (cuadros con operaciones y números que deben cumplir ciertas condiciones).

• Problemas variados cuya interpretación conduzca al planteamiento de una ecuación. Se pueden remitir al cálculo de la edad de Diofanto a partir de lo que reza su epitafio.

• Avisos de prensa en los que se sugieran ofertas.

• Páginas económica y deportiva de diarios.

• Monedas y billetes de distintos países y su valor con referencia al dólar.

• Lectura sobre el número Pi y el número de oro.

Google: comenius unidad 1

• La representación y la comunicación de ideas matemáticas de manera adecuada, hace que los estudiantes busquen no solamente los términos sino las representaciones más fieles a la realidad.

• Otro de los procesos propios de las matemáticas son las conexiones, y los medios de comunicación ofrecen abundantes recursos y situaciones que pueden ser aprovechadas al máximo.


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Unidad 5: Razones y proporciones

1. Razones 2. Proporciones 3. Propiedades de las proporciones. 4. Correlación 5. Regla de tres simple directa. 6. Porcentaje 7. Regla de tres simple inversa. 8. Regla de tres compuesta directa o inversa. 9. Repartos proporcionales. 10. Matemática financiera.

Unidad 6: Geometría

1. Plano cartesiano. 2. Usos del plano cartesiano. 3. simetría y reflexión en el plano cartesiano. 4. Traslación 5. Rotación 6. Composición de transformaciones. 7. Homotecias 8. Congruencia y semejanza de figuras.

• Planos o mapas.

• Resortes.

• Maquetas construidas por los estudiantes.

• Gráficas estadísticas para inferir o concluir sobre un determinado comportamiento.

• Datos acerca de las distancias medias de los planetas al Sol para elaborar representaciones a escala.

• Recetas para analizar la variación en la cantidad de ingredientes cuando se va a preparar un número mayor de porciones.

• Lectura sobre impuestos y gravámenes.

Google: Las matematicas y el iva.

• Demostración dinámica de transformaciones isométricas.

Google: Geolay movimientos.

Recurso para geometría interactiva.

• El uso de representaciones de objetos reales ayuda a los estudiantes a hacer uso de la proporcionalidad.

De otro lado, otro tipo de representación igualmente importante es la que expresa el cambio de una magnitud con respecto a otra y que puede hacerse evidente sobre un plano cartesiano.

• Los ejemplos para analizar la forma cómo se relacionan dos magnitudes, son abundantes y variados: el precio de un artículo y el número de ellos que se pueden comprar con cierta cantidad de dinero, la velocidad de un auto y la distancia que consigue en un período de tiempo, entre otras.



Unidad 7: Medición

1. Medidas de longitud. 2. Perímetro de figuras planas. 3. Teorema de Pitágoras. 4. Circunferencia 5. Medidas de área. 6. Área de figuras planas. 7. Área del círculo. 8. Áreas sombreadas.

Unidad 8: Estadística y probabilidad.

1. Tablas y gráficas de barras. 2. Gráficas circulares. 3. Medidas de tendencia central. 4. Combinación de elementos de un conjunto.

• Cuadriculas para reproducir a escala ilustraciones.

• Diseños artísticos para teselar el plano.

• Demostraciones del teorema de Pitágoras a partir de Bhaskara y el rompecabezas de Ozanam.

Google: actividades teorema popular de la matematica.

• Representación de un tablero de billar para analizar los efectos de una bola cuando choca contra una banda.

• Encuestas hechas por los estudiantes a partir de las cuales puedan determinarse las medidas de tendencia central.

• Actividades de probabilidad.

Google: actividades para clase de matematicas.

• Tablas y gráficas de barras.

Google: that quiz

• Construir figuras que tengan un perímetro o un área dada, es muy útil cuando se busca un indicador de que el concepto de longitud y de área están bien aprehendidos y que hay claridad en cuanto a sus diferencias.

• En los procesos de medición, ayudas como el plano cartesiano o el geoplano son prácticamente indispensables. En otros donde la medida que se hace es estadística, las encuestas y su análisis son la herramienta necesaria.

• Por último, los ejercicios de combinatoria pueden plantearse a partir de situaciones reales como la codificación de las placas de los automóviles, entre otros.


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Grado: //Octavo// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________


Unidad 1: Conjuntos

1. Conjunción y disyunción. 2. Implicación y doble implicación. 3. Reglas de inferencia.

Unidad 2: Los números reales

1. y 2. Expresiones decimales. 3. Números irracionales. 4. Operaciones con reales. 5. Notación científica.

Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones lineales.

1. Ecuaciones con una sola operación. 2. Ecuaciones con mas operaciones. 3. Solución de ecuaciones. 4. Problemas de aplicación. 5. Desigualdades e inecuaciones.

• Juegos de posiciones.

• Secuencias de objetos que pueden describirse de manera numérica.

• Construcciones con regla y compás de números reales.

• Situaciones de crecimiento de poblaciones.

• Situaciones que involucren notación científica como son las distancias orbitales y de los planetas.

Google: Scientific notation janus.

• Problemas que involucren ecuaciones.

Google: Problemas sencillos ecuaciones.

• Ejercicios propuestos de ecuaciones.

Google: sos math.

• El pensamiento inductivo puede desarrollarse a partir del estudio de sucesiones numéricas, sustentado en la argumentación y en las leyes de inferencia.

• En cuanto al manejo de los números reales, puede destacarse el concepto de conmensurabilidad, a partir del cual se hace la distinción entre racionales e irracionales.

• La comunicación efectiva en matemáticas puede mejorarse cuando se interpretan enunciados que conducen al planteamiento de ecuaciones e inecuaciones.


Contenidos Recursos propuestosMetodología

propuesta

Unidad 4: Polinomios

1. Expresiones algebraicas. 2. Polinomios. 3. Adición de polinomios. 4. Sustracción de polinomios. 5. Multiplicación de polinomios. 6. Cuadrado de un binomio. 7. Suma por diferencia de un binomio. 8. Producto de dos binomios que tienen un término común. 9. Cubo de la suma y la diferencia de un binomio. 10. Triángulo de Pascal. 11. y 12. División de polinomios. 13. División sintética. 14. Cocientes notables.

Unidad 5: Factorización

1. Factor común. 2. Agrupación de términos. 3. Trinomios cuadrados perfectos. 4. Trinomios x2+bx+c. 5. y 6. Trinomios ax2+bx+c. 7. Diferencia de cuadrados perfectos. 8. Potencias iguales. 9. Miscelánea de factorización.

• Situaciones en las que las descripciones de algunas propiedades de las figuras como su área o su volumen, llevan al uso de las variables.

• Ejercicios variados para calcular áreas de regiones sombreadas.

• Ejercicios de factorización.

Google: fisicanet matematicas

Recurso argentino con ejercicios propuestos de factorización álgebra.

• Lecciones de álgebra y precálculo.

Google: coolmath

Recurso norteamericano con lecciones de repaso.

• Descomposición de figuras planas en otras cuyas áreas sumadas sean la figura original.

• Triángulo de pascal.

Google: eduteka triángulo de pascal.

• Problemas que involucren el cálculo de áreas que se han quitado de una superficie mayor o de volúmenes extraídos de un sólido mayor.

• La primera aproximación a los polinomios puede lograrse a partir de la generalización mediante el uso de las variables de hechos matemáticos.

• El necesario manejo algebraico de las operaciones con polinomios cobra relevancia cuando se les emplea en la solución de problemas.

• El trabajo con áreas y volúmenes de figuras pueden llenar de sentido la factorización de polinomios.


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Unidad 6: Fracciones algebraicas

1. Fracciones algebraicas y su simplificación. 2. Multiplicación y división de fracciones algebraicas. 3. Adición y sustracción de fracciones algebraicas. 4. Ecuaciones fraccionarias.

Unidad 7: El plano cartesiano y las funciones de gráfica lineal

1. Plano cartesiano.

2. Relaciones

3. Funciones

4. Representación gráfica de funciones.

5. Funciones compuestas.

6. Función de gráfica lineal.

7. Ecuación de una recta.

8. Rectas paralelas y perpendiculares.

9. Aplicación de la función lineal.

10. Introducción a la probabilidad.

• Problemas que conduzcan a modelos que incluyan los recíprocos de ciertas cantidades.

• Calculadora graficadora o la computadora.

• Representaciones sobre el plano cartesiano que describan, de forma aproximada, la variación de dos magnitudes.

• Representación grafica de funciones.

Google: eduteka funciones más complicadas.

• Problemas variados a partir de los cuales pueda hacerse una descripción analítica y funcional de la relación y la variación de dos magnitudes.

• Descripciones orales de hechos cotidianos susceptibles de ser representados, en forma aproximada, sobre un plano cartesiano.

• Lectura sobre ingresos, costos y punto de equilibrio económico.

• La sección de solución de problemas muestra situaciones en las que el uso de fracciones algebraicas se hace útil en la solución de problemas reales.

• Muchas situaciones diarias y cercanas a los estudiantes, involucran la relación entre dos magnitudes, que con la ayuda de los ejes coordenados señalan una aproximación al concepto de función.

• La solución de múltiples problemas que involucran de manera tácita o implícita funciones de gráfica lineal, le dan una connotación diferente al manejo rutinario de este concepto, a la par que promueve una comunicación efectiva de ideas matemáticas



Unidad 8: Geometría plana

1. Conceptos básicos. 2. Líneas y planos paralelos. 3. Propiedades de las rectas paralelas. 4. Los triángulos y las rectas paralelas. 5. Congruencia triangular. 6. Usos de la congruencia triangular. 7. Simetría.

Unidad 9: Las medidas de los sólidos

1. y 2. Área y volumen de prismas y pirámi-des, cilindros y conos.

3. Área y volumen de la esfera.

Unidad 10: Estadística y probabilidad 1. Población y datos. 2. Frecuencia absoluta y relativa. 3. Gráficas estadísticas. 4. Medidas de tendencia central

y de dispersión.

• Construcciones con regla y compás.

• Teoremas sencillos para que sean demostrados por los estudiantes.

Google: los elementos de Euclides.

Recurso español con teoría y actividades para realizar en el aula.

Google: activities shodor.

Recurso norteamericano con propuesta de distintas actividades de geometría.

• Desarrollar la teoría de grafos a partir de las teorías de Euler y Hamilton.

Google: Problemas de geometría 2.

En él podrá encontrar el famoso problema de los puentes de Konigsberg y su desarrollo.

• Situaciones variadas de estudios estadísticos en las que puedan evidenciarse la importancia de tener una técnica de muestreo adecuada.

• Resultados de encuestas tomadas de revistas o de Internet que permitan evidenciar la importancia de las medidas de tendencia central.

• En la unidad de geometría se recobra la posibilidad de argumentar de manera formal con base en los postulados y los teoremas clásicos de la geometría.

• En cuanto al manejo de volúmenes se refiere, puede darse un cambio de óptica, al considerar como elemento fundamental la solución de problemas y como secundario la aplicación de una fórmula.

• La estadística y la probabilidad deben proveer al estudiante de elementos para interpretar su realidad.


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Grado: //Noveno// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________


Unidad 1: Números reales

1. Números reales. 2. y 3. Expresiones decimales de un número

real. 4. Ubicación de reales en la recta. 5. Valor absoluto. 6. Exponentes enteros. 7. a 11 Radicales y operaciones. 12. Racionalización. 13. Ecuaciones con radicales simples.

Unidad 2: Funciones 1. Definición y notación de funciones. 2. y 3. Función constante y lineal. 4. Función inversa. 5. Función cuadrática. 6. y 7. Funciones crecientes y decrecientes. 8. y 9. Traslación de gráficas.

• Elementos de geometría para determinar el punto que corresponde a algunos números irracionales sobre la recta real.

• Ejemplos variados que muestren las clasificaciones que pueden hacerse con las funciones.

• Modelos reales de situaciones que pueden corresponder a un tipo de función en particular.

• Conceptos de las funciones cuadráticas en el tiro parabólico.

Google: x.edu funcion cuadratica.

Recurso uruguayo que ofrece la teoría sobre cuadráticas.

• Desarrollar el concepto de interés simple e interés compuesto como una introducción a la función lineal y exponencial con relación al número de Euler.

• El uso de la calculadora puede ayudar a descubrir regularidades numéricas de los números decimales y de su expresión fraccionaria.

• Un buen manejo del concepto de función y en particular, del de función de gráfica lineal, puede ser el punto de partida a partir del cual se aborden otro tipo de funciones.

• Es necesario hacer énfasis en los modelos que pueden generarse a partir del manejo de diferentes tipos de función.

• La traslación de gráficas, es un buen recurso para hacer bosquejos de gráficas de funciones a partir una gráfica de base.



Unidad 3: Funciones exponenciales y logarítmicas

1. Función exponencial. 2. Función logarítmica. 3. Propiedades de las funciones exponencial

y logarítmica. 4. Propiedades de los logaritmos. 5. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Unidad 4: Sistemas de ecuaciones

1. Coordenadas cartesianas. 2. Ecuaciones lineales con dos variables. 3. Pendiente de una recta. 4. y 5 Ecuación de una recta. Rectas parale-

las y perpendiculares.

6. a 9 Métodos para solucionar sistemas 2 x 2.

10. Matrices y determinantes. 11. Solución de problemas con sistemas 2 x 2.

• Problemas de crecimiento de poblaciones, a partir de los cuales pueda conjeturarse acerca del número de habitantes de una comunidad en un tiempo dado.

• Ejercicios de interpolación y extrapolación para la cuantificación de cantidades.

• Trabajo interactivo con tutoriales de internet y calculadoras graficadoras.

Google: logarithm function wtamu.

Recurso norteamericano para identificar y trabajar las funciones logarítmicas.

Google: ematematicas.net

Recurso español con ejercicios interactivos de sistemas de ecuaciones lineales.

• Ejercicios de economía que estén referidos al cálculo de valores futuros y anualidades como una introducción a las sucesiones y progresiones.

• Existen múltiples hechos reales que se ajustan a modelos funcionales como el exponencial y el logarítmico, el crecimiento poblacional y la intensidad del sonido son solamente dos de ellos.

• Los sistemas de ecuaciones, pueden abordarse a partir de su representación gráfica superponiendo dos acetatos, en cada uno de los cuales se representa cada recta, pero una calculadora graficadora o la misma computadora son recursos que hoy por hoy facilitan mucho más la interpretación de un sistema de ecuaciones y de lo que hay más allá de conocer y reproducir métodos para solucionarlos.


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Unidad 5: Números complejos

1. Raíz cuadrada de números negativos. 2. Números complejos. 3. y 4. Operaciones con números complejos.

Unidad 6: Ecuaciones cuadráticas

1. y 2. Solución de ecuaciones cuadráticas. 2. y 3. Fórmula cuadrática. Discriminante. 4. Gráfica de una desigualdad cuadrática. 5. Problemas con ecuaciones cuadráticas.

Unidad 7: Sucesiones y progresiones

1. Sucesiones 2. Progresiones aritméticas. 3. Progresiones geométricas. 4. Series aritméticas y geométricas. 5. Interés simple. 6. Interés compuesto.

• Lecturas referidas al origen de los números negativos y complejos.

Google: wmatem.eis numeros complejos.

Recurso español con teoría.

• Situaciones reales que se ajusten a modelos cuadráticos: aplicaciones a la economía, a la construcción y a cualquier otra en la que se requiera maximizar o minimizar cantidades.

• Sucesiones aplicadas a las matemáticas financieras.

• Actividades y juegos con series de Fibonacci.

Google: Fibonacci numbers and nature.

Recurso norteamericano con aplicaciones y juegos con series.

• Representaciones gráficas de números triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.

• Lecturas en las que se hace referencia a sucesiones numéricas tales como la paradoja de Zenón, o la historia del ajedrez.

• La implementación de un nuevo conjunto numérico debe surgir de una necesidad que permita recrear lo que históricamente ocurrió. En el caso de los números complejos, la no existencia de raíces pares de números negativos describe tal necesidad.

• Analizar y describir el proceso de solucionar una ecuación cuadrática, debe combinar la parte algorítmica con la gráfica, una debe ser el soporte permanente de la otra.

• Uno de los logros de estudiar sucesiones es ver su aplicabilidad, especialmente en las finanzas, donde su conocimiento y manejo pueden ayudar a tomar decisiones adecuadas a la hora de invertir.



Unidad 8: Geometría 1. Lógica proposicional. 2. y 3. Métodos de demostración. 4. Segmentos proporcionales. 5. Concepto de escala. 6. y 7. El teorema de Tales. 8. Triángulos rectángulos. 9. Razones trigonométricas.

Unidad 9: Circunferencia 1. Rectas tangentes. 2. Arcos, cuerdas y ángulos centrales. 3. Ángulos inscritos. 4. Superficie y volumen de la esfera. 5. Proyección de sólidos.

Unidad 10: Estadística 1. Recolección de la información. 2. Tipos de gráficos estadísticos. 3. Medidas de tendencia central.

• Textos en los que puedan reconocerse proposiciones e inducir su valor de verdad.

• Modelos a escala, fotografías o planos en los que aparezca indicada la escala.

• Problemas variados que se ajusten a modelos con triángulos rectángulos.

• Teoría y actividades interactivas sobre circunferencias.

Google: circunferencia cnice.

Google: circunferencia mimosa.

• Sólidos construidos en acetato.

• Estudios estadísticos en los que pueda hacerse un estudio de gráficas estadísticas y en las que pueda evidenciarse la importancia las medidas de tendencia central, especialmente la media.

• Graficas estadísticas y actividades interactivas.

Google: interactivate activities shodor.

• La formalidad en las demostraciones geométricas requiere de un manejo permanente de los métodos y axiomas pertinentes.

• El concepto de proporción puede aplicarse en múltiples formas; llevado a un campo netamente matemático, puede desembocar en el manejo de las razones trigonométricas.

• Las construcciones geométricas con regla y compás, permiten que los estudiantes confronten enunciados acerca de los ángulos relacionados con la circunferencia.

• La búsqueda de información para resolver una pregunta, es el centro del estudio estadístico.


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Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados décimo y undécimooficialmente para los grados décimo y undécimo



Espacial/geometría


Aleatorio/ de datos

Variacional/ algebraicos y analíticos

Indicadores de logros de décimo

y undécimo.

• Utiliza el sentido de las operaciones y de las relaciones en sistemas de números reales.

• Da razones del porqué de los números reales y explica por qué unos son racionales y otros irracionales.

• Define la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

• Identifica los elementos de cada cónica y deduce su ecuación en el plano cartesiano.

• Analiza las propiedades de una variedad de funciones en el plano cartesiano.

• Calcula el área entre dos curvas en el plano cartesiano por medio de técnicas de cálculo.

• Comprende la fórmula para un volumen de rotación y la aplica con propiedad.

• Planifica tareas de medición previendo lo necesario para llevarlas a cabo, el grado de precisión exigido, los instrumentos adecuados y confronta los resultados con las estimaciones.

• Disfruta y se recrea en exploraciones que retan su pensamiento y saber matemáticos y exigen manipulación creativa de instrumentos de medida y materiales y medios.

• Hace inferencia a partir de diagramas, tablas y gráficos que recojan datos de situaciones del mundo real.

• Estima, interpreta y aplica medidas de tendencia central y de dispersión.

• Reconoce fenómenos aleatorios de la vida cotidiana.

• Formula y comprueba conjeturas sobre el comportamiento de los mismos y aplica resultados en la toma de decisiones.

• Elabora modelos de fenómenos del mundo real y de las matemáticas mediante funciones.

• Representa y traduce funciones mediante expresiones orales, tablas, gráficas y expresiones algebraicas.

• Analiza situaciones generadoras de ideas del cálculo tales como la tasa de cambio, y tasa de crecimiento.

Procesos Grupo

de grados

Planteamiento y resolución

de problemas




Indicadores de logros.

Décimo y undécimo.

• Investiga y comprende contenidos matemáticos a través del uso de distintos enfoques para el tratamiento y resolución de problemas; reconoce, formula y resuelve problemas del mundo real aplicando modelos matemáticos e interpreta los resultados a la luz de la situación inicial.

• Formula hipótesis, argumenta a favor y en contra de ellas y las modifica o las descarta cuando no resisten la argumentación.

• Aplica distintos métodos de argumentación en la vida cotidiana y en las ciencias.

• Analiza ejemplos para cambiar la atribución de necesidad o suficiencia de una condición.

• Interpreta instrucciones, expresiones algebraicas, diagramas operacionales y de flujo y traduce de unos a otros, en el sistema de los números reales.

• Aplica modelos de funciones para tratar situaciones diarias.

• Descubre y aplica modelos de variación.

• Usa expresiones orales, tablas, gráficas y expresiones algebraicas para describir y analizar funciones.


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Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados décimo y undécimo Grado: //Décimo// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________


Unidad 1: Razones trigonométricas

1. Ángulos y sistemas de medición.

2. Triángulos rectángulos. 3. Razones trigonométricas. 4. Identidades fundamentales. 5. Aplicaciones.

Unidad 2: Funciones trigonométricas

1. Funciones circulares. 2. Ángulos de referencia. 3. Gráficas de seno y coseno. 4. Gráficas de tangente, cotan-

gente, secante y cosecante.

• Consultas acerca de la historia de la trigonometría.

Google: dave´s clarku.

Recurso norteamericano con teoría y aplicaciones de trigonometría en astronomía y geografía.

• Lecturas de textos de otras áreas (física de ondas, medicina, ingeniería, entre otras) en las que se evidencie el hecho de la aplicabilidad de las razones trigonométricas.

• Diversas demostraciones del teorema de Pitágoras.

• Triángulos rectángulos de diversas dimensiones para confrontar el teorema de Pitágoras y para deducir las razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos agudos.

• Gonioplano o papel milimetrado.

• Gráficas de funciones periódicas como encefalogramas, cardiogramas, etc.

• Animaciones gráficas para determinar lo que le ocurre a una gráfica cuando se le cambian algunos de sus parámetros.

Google: mathsnet interactive graphs.

• Los antecedentes históricos de la trigonometría suelen ser llamativos para los estudiantes, quienes consideran esta ciencia como ajena a la realidad. El trabajo de la medida del cálculo del radio de la Tierra por Eratóstenes puede ser un buen punto de partida.

• Hacer las construcciones de las funciones trigonométricas, es un ejercicio que puede ser agradable para los estudiantes, pero si se cuenta con el recurso de la calculadora graficadora o de un programa que las construya, pueden deducirse sus propiedades, evidenciar la certeza de algunas identidades y verificar la solución de cualquier ecuación trigonométrica.

Grado: //Décimo// Período: < 02 > Tiempo previsto: _______________________________


Unidad 3: Funciones inversas

1. Funciones inversas. 2. Inversa del seno, del coseno

y de la tangente.

Unidad 4: Identidades y ecuaciones

1. Identidades básicas. 2. Identidades para el seno y el coseno

de la suma y la diferencia de ángulos. 3. Identidades para la tangente de la

suma y la diferencia de ángulos. 4. Identidades para ángulo doble y mitad. 5. Ecuaciones trigonométricas. 6. y 7. Ley del seno y del coseno.

• Múltiples ejercicios sobre identidades y ecuaciones trigonométricas.

• Problemas de aplicación de las ecuaciones trigonométricas y de las leyes del seno y del coseno. Se debe hacer énfasis en problemas de cálculo de distancias.

• Lecturas de identidades y ecuaciones.

Google: trig zaimoni.

Recurso norteamericano con toda la teoría necesaria para profundizar en identidades y ecuaciones.

• La necesidad de resolver ecuaciones trigonométricas, puede ser el motivo para estudiar las funciones trigonométricas inversas.

• El uso de la calculadora graficadora, permite evidenciar la certeza de algunas identidades y verificar la solución de cualquier ecuación trigonométrica.


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Unidad 5: Geometría analítica

1. La línea recta. 2. Noción de sección cónica. 3. 4. y 5. Elipse, parábola e hipérbola y sus

representaciones simbólicas y gráficas. 6. Ecuación general de segundo grado.

Unidad 6: Vectores

1. Vectores en el plano. 2. Vectores en el espacio. 3. Producto punto y producto vectorial. 4. Algunas aplicaciones de los vectores.

• Representación en acetato o en madera de las secciones cónicas.

Google: conicas solomatematicas.

• Lecturas referentes a movimientos que pueden asimilarse a las cónicas, tales como la traslación de los planetas alrededor del Sol, el desplazamiento de algunos cometas (en órbitas elípticas o hiperbólicas).

Google: home planet.

• Las cónicas obtenidas a partir de plegado de papel a partir de sus definiciones.

• Aplicaciones de los vectores, especialmente en problemas de física.

Google: vectores xtec.

• Abordar la geometría a partir de descripciones analíticas, puede provocar en los estudiantes apatía hacia su estudio. Pero cuando se parte de hechos observables o por lo menos descritos a la luz de la ciencia, sirve de estímulo para que sean ellos mismos quienes indaguen sobre las explicaciones matemáticas.

• La construcción con papel de las cónicas a partir de su descripción, permite a los estudiantes interiorizar sus propiedades.

• El manejo vectorial, por su parte, debe estar apoyando permanentemente el estudio de la física.



Unidad 7: Matrices y determinantes

1. Sistemas de ecuaciones lineales con más de una incógnita.

2. y 3. Matrices y operaciones. 4. Inversa de una matriz. 5. Determinantes. Solución de ecuaciones.

Unidad 8: Estadística y probabilidad

1. Espacios muestrales. 2. Principios fundamentales de conteo. 3. Concepto de probabilidad. 4. Probabilidad condicional. 5. Elementos de estadística.

Unidad 9: Precálculo

1. Simplificación de expresiones. 2. Desigualdades

Unidad 10: Prepárate para la U

• Teoría e historia de las matrices.

Google: matrices hira.

• Hechos susceptibles de ser interpretados mediante arreglos matriciales.

• Ejercicios de sistemas de ecuaciones cuya solución se hace a partir del uso de los determinantes.

• Teoría y actividades sobre probabilidad.

Google: mathgoodies probability.

• Actividades que involucren el concepto de azar: juegos con dados, con monedas, con cartas.

• Descripción de la probabilidad de ganar en juegos de maquinitas o de sacar el premio mayor de la lotería.

• Análisis de resultados de encuestas.

• Ensayos acerca de la incidencia de las encuestas en la toma de decisiones.

• Los arreglos de númerospara interpretar hechos son un arma válida para contextualizar el trabajo con matrices, la formalización puede desembocar en el uso de éstas en la solución de problemas con sistemas de ecuaciones simultáneas.

• La interacción permanente de los estudiantes con eventos aleatorios, puede servir de apoyo para introducir o formalizar conceptos propios de la estadística o de la probabilidad.

En este sentido, el análisis de la probabilidad de ganar en ciertos juegos de computador que le son familiares a los estudiantes, es un valioso recurso.


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Grado: //Undécimo// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________


Unidad 1: Funciones y gráficas

1. La recta real. 2. Desigualdades 3. Función lineal. 4. Función cuadrática. 5. Función polinómica y racional. 6. Valor absoluto y parte entera. Operaciones

entre funciones. 7. Función inversa. 8. Desplazamiento y reflexión de gráficas.

Unidad 2: Sucesiones

1. Sucesiones 2. Límite de sucesiones. 3. Series numéricas. 4. Sucesiones aritméticas y geométricas.

• Modelos de problemas que se ajusten a cada tipo de función.

• Acetatos superpuestos para estudiar los efectos de algunas transformaciones hechas sobre las gráficas de funciones.

Google: mathsnet interactive graphs.

• Textos referidos a sucesiones, tales como la paradoja de la tortuga y Aquiles que permitan a los estudiantes analizar situaciones que conducen a la idea de límite.

• Diversas sucesiones cuyo comportamiento pueda analizarse sobre el plano cartesiano y después de forma analítica.

• Sucesiones que puedan visualizarse a partir de sus descripción geométrica.

• Cada función tiene una caracterización, a partir de la cual se puede obtener su gráfica. En el caso de las funciones de gráfica lineal, dos puntos son suficientes para trazarla; el vértice y el coeficiente de la variable al cuadrado, describen de manera muy aproximada la función cuadrática y el lado hacia el cual abre; los ceros o raíces de las funciones racionales, determinan las asíntotas de las funciones racionales, etc. El conocimiento de estas caracterizaciones, es de gran ayuda, pues concentra el trabajo en la búsqueda de las propiedades de las funciones y no en el trazado de su gráfica a partir del tabulado de puntos.



Unidad 3: Límite de funciones 1. Noción de límite. 2. Límites laterales. 3. Propiedades de los límites. 4. Límites infinitos. 5. Límites indeterminados. 6. Límites especiales. 7. Función continua. 8. Propiedades de las funciones

continuas. 9. Continuidad en un intervalo.

Unidad 4 (I): Derivada 1. Rectas tangentes. 2. y 3. Concepto de derivada. 4. Reglas de derivación. 5. Regla de la cadena.

• Variadas situaciones en las que el manejo de los límites sea significativo.

• Gráficas de funciones continuas y discontinuas en algunos puntos para analizar el comportamiento alrededor de un punto en particular.

• Calculadora para hacer cálculos de límites de funciones mediante aproximaciones sucesivas a un punto dado y para describir el comportamiento de funciones en cuanto a su monotonía, sus puntos críticos, su concavidad, etc.

• Calculadora graficadora para que los estudiantes la utilicen como recursos para observar propiedades de las funciones.

• Uso de tutoriales y animaciones para describir comportamientos de las gráficas y los principios del cálculo diferencial.

Google: calculus graphics ima.

Recurso norteamericano para gráficas interactivas.

Google: visual calculus derivatives.

Recurso norteamericano para gráficas interactivas y tutoriales.

• La descripción del comportamiento de una función alrededor de un punto es el objeto de estudio del cálculo en este nivel, se trata no solamente de llegar a representar la gráfica de una función, sino de describirla en múltiples aspectos, a partir solamente de su expresión algebraica.

• Los múltiples usos de la derivada, son el foco de estudio del cálculo diferencial. Los estudiantes pueden encontrarle sentido al cálculo de derivadas cuando tienen como tarea maximizar o minimizar funciones que les provean por ejemplo, del mayor aprovechamiento de cierto material en la construcción de recipientes.


40



Unidad 4 (II): Derivada 6. Derivación implícita. 7. Segunda derivada. 8. y 9. Derivación de funciones

trigonométricas. 10. Derivación de funciones logarítmicas

y exponenciales.

Unidad 5: Aplicaciones de la derivada. 1. Teorema de Rolle. 2. Máximos y mínimos. 3. Prueba de la segunda derivada. 4. Trazo de gráficas. 5. Problemas de máximos y mínimos. 6. Diferenciales

• Calculadora graficadora para que los estudiantes la utilicen como recursos para observar propiedades de las funciones.

• Abundantes situaciones en la que un buen manejo del concepto de derivada, sirve de apoyo para su interpretación y solución.

Google: derivadas recursos pnte.

Recurso que presenta teoría sobre cálculo diferencial.

• Gráficas a partir de las cuales se puede analizar de forma descriptiva el comportamiento de una función.

• Expresiones algebraicas a partir de las cuales pueda analizarse el comportamiento de la función que representan, hasta llegar al bosquejo.

• Los múltiples usos de la derivada, son el foco de estudio del cálculo diferencial. Los estudiantes pueden encontrarle sentido al cálculo de derivadas cuando tienen como tarea maximizar o minimizar funciones que les provean por ejemplo, del mayor aprovechamiento de cierto material en la construcción de recipientes.

• Tan importante como la aplicación de los conceptos, son los conceptos mismos; éstos deben implementarse de la manera más formal posible, mediante la ayuda de la axiomatización permanente.



Unidad 6 La integral

1. Área bajo una curva. 2. Integral definida. 3. Teorema fundamental del cálculo.

Unidad 7: Integración

1. Antiderivadas 2. Método de sustitución y partes. 3. Aplicaciones de la integral. 4. Volumen de sólidos.

Unidad 8: Estadística y modelos probabilísticos

1. Medidas de dispersión. 2. Variable aleatoria. 3. Distribución binomial. 4. Distribución de Poisson. 5. Distribución normal.

• Funciones cuyas áreas bajo la curva que representan sean regulares, para que a partir de ellas, se busquen generalizaciones en el cálculo de áreas no regulares.

• Figuras planas que una vez rotadas alrededor de un eje, describan sólidos.

• Ejemplos en los que las medidas de tendencia central, no sean suficientes para describir una situación debido a la dispersión de los datos.

• Ejemplos en los que la distribución de probabilidad, requiera de un cierto modelo de distribución.

Google: bioestadística nutriserver.

• El proceso recíproco de la derivación es la integración; este hecho debe destacarse al comenzar a estudiar el concepto de antiderivada; de otro modo los estudiantes verán ambos procesos como entes aislados.

Google: integrales xtec.

• Las aplicaciones de la integral, al igual que las de la derivada, tienen por objeto enriquecer el concepto y darle sentido en un contexto real.

• Los conceptos de probabilidad en este nivel, trascienden el campo de lo discreto y se extienden hacia lo continuo, donde es importante conocer y manejar los diferentes tipos de distribución.


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Procedimiento de evaluación Procedimiento de evaluación de los logros del estudiantede los logros del estudiante

Grado

Período 1

Estándares de contenido: Pensamiento variacional y sistemas analíticos. Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Logros propuestos

• Desarrollar habilidades para argumentar de manera cons-ciente las proposiciones.

• Desarrollar las habilidades necesarias para adquirir la noción de pertenencia, contenencia y diferencia de conjuntos.

• Manejar de manera significativa los conceptos de pertenen-cia, contenencia y diferencia de conjuntos.

• Relacionar y utilizar números naturales en situaciones concretas.

• Aplicar las operaciones con naturales en distintas situaciones de la vida diaria.

• Familiarizarse con la calculadora para usarla correctamente en el cálculo de operaciones.

Período 2

Estándares de contenido: Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Logros propuestos

• Identificar las diferentes formas en que puede representarse un mismo número.

• Identificar las semejanzas y diferencias de los distintos sistemas de numeración.

• Transformar un número expresado en un sistema de numeración a otro.

• Adquirir métodos propios de razonamiento para la resolución de problemas con números enteros negativos.

• Reconocer las propiedades de conjuntos de números como los primos, compuestos, amigos, etc.

• Hallar y utilizar procedimientos para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números.

• Aplicar de manera significativa de mcd y mcm en la solución de problemas.

Período 3:Estándares de contenido: Pensamiento numérico y sistemas numéricos, pensamiento geométrico, pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Logros propuestos

• Reconocer situaciones en las que se usa el concepto de fracción.

• Establecer las relaciones que existen entre las diversas maneras de representar una fracción.

• Comparar y ordenar fracciones.

• Estimar el resultado de una operación con decimales.

• Reconocer una fracción decimal y representarla gráficamente.

• Expresar un decimal en forma extendida.

• Escribir números como porcentajes, fracciones o decimales y realizar conversiones entre ellos.

• Generar formas equivalentes de una fracción.

• Reconocer y trazar rectas paralelas y perpendiculares.

• Conocer y manejar el plano cartesiano en la traslación de figuras y de puntos.

• Resolver problemas de la vida real utilizando proporciones.

• Aplicar el concepto de razón para comparar datos.

Período 4:

Estándares de contenido: Pensamiento métrico y sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Logros propuestos

• Hacer estimaciones de medidas de longitud, área, masa y capacidad.

• Aplicar el concepto de longitud para solucionar problemas relacionados con el perímetro de figuras.

• Deducir el área de un rectángulo y de un triángulo y usarlas en la solución de problemas.

• Hacer uso del razonamiento espacial para calcular el volumen y el área de la superficie de un sólido.

• Resolver problemas que impliquen la recolección, organización y el análisis de datos en forma sistemática.

• Interpretar el significado de la media, la moda, el rango y la mediana en un conjunto de datos.

• Usar gráficas estadísticas para mostrar el resultado de una encuesta sencilla.


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Grado

Estándares de contenido: Pensamiento variacional y sistemas analíticos. Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Logros propuestos

• Desarrollar habilidades para argumentar las proposiciones y sus relaciones con los conjuntos.

• Desarrollar las habilidades necesarias para adquirir la noción de conjunción, disyunción e implicación.

• Reconocer enunciados de la forma: «si... entonces» o cualquiera de sus formas equivalentes.

• Reconocer el uso de cuantificadores en el lenguaje ordinario y en el de las matemáticas.

• Relacionar y utilizar números enteros positivos y negativos en situaciones concretas.

• Aplicar las operaciones con naturales en distintas situaciones matemáticas o de la vida diaria.

• Familiarizarse con la calculadora para usarla correctamente en el cálculo de operaciones que involucran números ente-ros.

Período 2

Estándares de contenido: Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Logros propuestos

• Identificar las diferentes formas en que puede representarse un mismo número racional.

• Ubicar números racionales sobre la recta, para establecer relaciones de orden.

• Aplicar las operaciones con racionales para resolver problemas.

• Describir el proceso que se sigue para resolver una ecuación.

• Reconocer situaciones en las que se usa de manera implícita o explícita el concepto de decimal.

• Establecer las relaciones que existen entre un decimal y la fracción que la genera.

• Determinar regularidades entre números decimales de acuerdo con sus fracciones generatrices.

• Comparar y ordenar decimales.

Período 3

Estándares de contenido: Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Logros propuestos

• Aplicar el concepto de razón para comparar datos.

• Deducir y aplicar las propiedades de las proporciones en la solución de problemas.

• Analizar la relación que puede existir entre dos o más magnitudes, ya sea ésta directa o inversa.

• Identificar las características comunes de las gráficas correspondientes a magnitudes directa o inversamente proporcionales.

• Utilizar la idea de porcentaje para interpretar hechos reales.

• Conocer y manejar el plano cartesiano en la transformación de figuras.

• Establecer semejanzas y diferencias entre las transformacio-nes sobre una figura.

• Establecer lo que ocurre al hacer más de una transformación sobre una figura.

• Reconocer la importancia del concepto de homotecia en la construcción a escala de figuras.

Período 4

Estándares de contenido: Pensamiento métrico y sistemas de medidas. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Logros propuestos

• Hacer estimaciones de medidas de longitud y área de figuras planas.

• Aplicar el concepto de longitud para solucionar problemas relacionados con el perímetro de figuras.

• Deducir el área de cualquier figura mediante la descomposi-ción en triángulos y rectángulos.

• Inferir por aproximaciones el área de un círculo.

• Resolver problemas que impliquen la recolección, organización y el análisis de datos en forma sistemática.

• Interpretar el significado de la media, la moda, el rango y la mediana en un conjunto de datos.

• Usar gráficas estadísticas para mostrar el resultado de una encuesta sencilla.

• Efectuar combinaciones y permutaciones con elementos de un conjunto.


43


Grado

Período 1Estándares de contenido: Pensamiento lógico y sistemas analíticos. Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Logros propuestos

• Identificar proposiciones compuestas y determinar su valor de verdad.

• Analizar enunciados lógicos mediante el uso de diagramas de Venn.

• Reconocer la importancia de enunciados condicionales en contextos reales.

• Identificar los elementos más importantes de la argumentación.

• Identificar y construir números racionales y los irracionales.

• Efectuar operaciones con números reales y aplicar las propiedades de manera adecuada.

• Solucionar ecuaciones de primer grado.

• Interpretar, planear y resolver problemas de aplicación de ecuaciones lineales.

• Traducir frases del lenguaje cotidiano al algebraico.

• Interpretar la solución de una inecuación lineal.

Período 2

Estándares de contenido: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Logros propuestos

• Valorar el álgebra como una herramienta fundamental en otras áreas del conocimiento.

• Evaluar expresiones algebraicas.

• Efectuar operaciones entre polinomios.

• Deducir los productos y los cocientes notables.

• Buscar regularidades en el triángulo de Pascal y usarlas para hallar el desarrollo de cualquier potencia de un binomio.

• Hacer uso de expresiones algebraicas para interpretar matemáticamente enunciados del lenguaje común.

• Usar el cálculo de productos notables para comprender el significado de factorizar.

• Dada una expresión determinar bajo cuál criterio puede ser factorizada.

• Escribir expresiones algebraicas factorizadas para expresar el área de una figura.

Período 3


Logros propuestos

• Encontrar fracciones algebraicas a una dada.

• Simplificar expresiones algebraicas.

• Resolver ecuaciones racionales.

• Realizar operaciones entre fracciones algebraicas.

• Hallar el dominio y el rango de relaciones y funciones.

• Hallar la función compuesta de dos funciones dadas.

• Describir el comportamiento de algunas funciones a partir de su gráfica en el plano cartesiano.

• Describir mediante expresiones funcionales la relación que puede existir entre dos magnitudes.

• Hallar la ecuación de una recta.

Período 4

Estándares de contenido: Pensamiento métrico y sistemas de medidas. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Logros propuestos

• Reconocer y demostrar los criterios mediante los cuales puedo afirmar que dos triángulos son congruentes.

• Determinar las propiedades de los ángulos que quedan determinados cuando un haz de rectas es cortado por una recta transversal.

• Hacer uso de los criterios de congruencia triangular para solucionar problemas.

• Determinar el área lateral y el volumen de algunos sólidos.

• Determinar la relación entre el volumen de un sólido y otro inscrito dentro de él.

• Solucionar problemas haciendo uso de los conceptos de estadística y probabilidad.

• Interpretar en los diferentes medios de comunicación los resultados de encuestas.

• Identificar eventos excluyentes e independientes.


44


Grado

Período 1

Estándares de contenido: Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Logros propuestos

• Analizar, justificar y aplicar las propiedades de los números reales.

• Usar diversas estrategias para solucionar problemas.

• Comprender las relaciones entre las operaciones con reales.

• Identificar una función tanto en su representación simbólica como gráfica.

• Describir el comportamiento y características de las funciones lineales y cuadráticas.

• Encontrar modelos reales de aplicación de las funciones lineales y cuadráticas.

Período 2


Logros propuestos

• Describir el comportamiento, características y propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas.

• Interpretar modelos reales en los que se apliquen las funciones exponenciales y logarítmicas.

• Solucionar por diferentes métodos sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 y establecer la relación entre ellos.

• Aplicar diversas estrategias para solucionar problemas que originan sistemas de ecuaciones 2 x 2.

Período 3

Estándares de contenido: Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Logros propuestos

• Reflexionar y aplicar las propiedades de los números complejos y sus operaciones.

• Establecer modelos de aplicación de los números complejos en la vida real.

• Representar de diversas formas los números complejos. • Resolver ecuaciones cuadráticas por diversos métodos

analíticos o gráficos y comprobar su respuesta. • Solucionar problemas cuya interpretación corresponde

a un modelo cuadrático. • Resolver inecuaciones cuadráticas y describir sus soluciones

de manera gráfica. • Resolver problemas de máximos y mínimos. • Analizar el comportamiento de las sucesiones y clasificarlas. • Aplicar el concepto de sucesión en la solución de problemas

de economía y de administración.

Período 4

Estándares de contenido: Pensamiento espacial y sistemas geométricos. Pensamiento métrico y sistemas de medidas. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Logros propuestos

• Conocer y aplicar las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

• Aplicar la semejanza en la solución de problemas.

• Demostrar teoremas sencillos de geometría mediante una argumentación sustentada.

• Hacer demostraciones acerca de afirmaciones hechas sobre círculos y esferas.

• Reconocer las propiedades de las rectas y de los ángulos asociados a una circunferencia.

• Organizar datos en distribuciones de frecuencia.

• Usar la estadística para interpretar medidas de tendencia central y entender sus relaciones.


45


Grado

Período 1


Logros propuestos

• Deducir las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

• Probar identidades trigonométricas.

• Solucionar problemas aplicando las razones trigonométricas.

• Determinar las propiedades de las funciones trigonométricas.

• Hallar el dominio, rango, período y amplitud de las funciones trigonométricas.

• Identificar las propiedades de las funciones trigonométricas a partir de sus gráficas.

Período 2


Logros propuestos

• Reconocer las propiedades y características de las funciones trigonométricas inversas y su uso en la solución de ecuacio-nes trigonométricas y de problemas.

• Trazar las gráficas de las funciones trigonométricas inversas.

• Usar de manera significativa las identidades y las ecuaciones trigonométricas.

• Evaluar identidades y ecuaciones trigonométricas.

• Verificar identidades trigonométricas y usarlas en la solución de ecuaciones trigonométricas.

Período 3

Estándares de contenido: Pensamiento espacial y sistemas geométricos. Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Logros propuestos

• Trazar y reconocer lugares geométricos, tales como rectas y curvas a partir de sus expresiones algebraicas.

• Reconocer las cónicas a partir de sus expresiones algebraicas y viceversa.

• Establecer diferencias y semejanzas entre las distintas cónicas.

• Visualizar ideas a partir de la representación vectorial.

• Estudiar el concepto de espacio vectorial.

• Interpretar gráficamente situaciones reales relacionadas con el concepto de vector.

Período 4

Estándares de contenido: Pensamiento numérico, y sistemas numéricos. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Logros propuestos

• Utilizar de manera adecuada el lenguaje relacionado con las matrices y los determinantes.

• Solucionar problemas en contextos propios y ajenos a la matemática que involucren las ideas de matriz y determinante.

• Analizar modelos de conteo y de probabilidad y usarlos para interpretar problemas.

• Comunicar ideas matemáticas relacionadas con la estadística y la probabilidad en forma eficiente.

• Buscar estrategias de solución para abordar problemas relacionados con expresiones algebraicas y desigualdades.


46


Grado

Período 1

Estándares de contenido: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Logros propuestos

• Plantear y resolver problemas en diferentes contextos que involucren funciones.

• Aplicar con criterio el concepto de función para abordar y solucionar problemas.

• Utilizar las sucesiones y las series para representar situaciones problemáticas.

• Reconocer las diferentes clases de sucesiones y sus clasificaciones de acuerdo con sus características.

• Analizar y evaluar series y sucesiones numéricas.

Período 2


Logros propuestos

• Usar las propiedades de los límites para evaluarlos.

• Plantear situaciones que pueden ser interpretadas desde el concepto de límite.

• Establecer la relación que existe entre las ideas de límite y continuidad.

• Utilizar la idea de derivada para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado.

• Calcular derivadas a partir de sus propiedades.

• Determinar el comportamiento de las funciones a partir de su derivada.

• Resolver problemas que conducen a la idea de razón de cambio.

Período 3


Logros propuestos

• Utilizar la idea de derivada para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado.

• Calcular derivadas a partir de sus propiedades.

• Determinar el comportamiento de las funciones a partir de su derivada.

• Resolver problemas que conducen a la idea de razón de cambio.

• Interpretar problemas cuyo enunciado genere la aplicación de las derivadas.

• Usar el concepto de función para maximizar y minimizar funciones.

• Usar el concepto de derivada para trazar gráficas de funciones.

Período 4

Estándares de contenido: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Logros propuestos

• Relacionar el concepto de integral con el de límite de una sumatoria.

• Usar sumatorias para calcular el área bajo una gráfica.

• Evaluar integrales para determinar el área bajo una curva.

• Determinar la antiderivada de una función dada.

• Utilizar los métodos de sustitución e integración por partes para evaluar integrales.

• Hacer uso de la integral para calcular áreas y volúmenes.

• Interpretar y usar algunas medidas de dispersión.

• Usar modelos de distribución binomial, de Poisson y normal.


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Ejemplos de planeamiento Ejemplos de planeamiento de actividades modelo para los niveles 8 a 9de actividades modelo para los niveles 8 a 9

Nombre de la actividad: transformaciones métricas.

Descripción: ¿qué explica el siguiente gráfico?

Nombre de la actividad: La mejor decisión

Descripción: Carlos leyó dos propagandas acerca de compañías de telefonía celular. Celupronto ofrece servicio telefónico con una tarifa básica de $ 40 000 mensuales más $ 200 cada minuto usado.Celuwave no tiene una tarifa mensual pero cobra $ 900 el minuto. Ninguna de las dos compañías redondea el tiempo al minuto más próximo, como sí lo hacen muchos de los competidores. Compara los cargos de esas dos compañías para el tiempo usado cada mes.

Estándar: pensamiento variacional y sistemas alge-braicos y analíticos.Describir y representar situaciones de variación rela-cionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales).

Logros propuestos y competencias correspondientes

Argumentativa: analizar la relación que puede exis-tir entre dos o más magnitudes, ya sea ésta directa o inversa.

Indicadores de logro

• Elabora modelos de fenómenos del mundo real y de las matemáticas.

• Construye e interpreta fórmulas para representar situaciones que requieren variables.

Aspectos propios de la matemática asociados con esta actividad: solución de problemas, razonamiento matemático y comunicación matemática.


• Investiga y comprende contenidos y procedimientos matemáticos a partir de enfoques de tratamiento y resolución de problemas y generaliza soluciones y estrategias para nuevas situaciones.

• Formula problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas, desarrolla y aplica diversas estrategias para resolver-los, verifica e interpreta los resultados en relación con el problema original.

• Formula, argumenta y pone a prueba hipótesis, las modifica o las descarta.

Estándar: pensamiento variacional y sistemas alge-braicos y analíticos.

Generalizar procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas.

Logros propuestos y competencias correspondientes

Argumentativa: valorar el álgebra como una herra-mienta fundamental en otras áreas del conocimiento.

Interpretativa: evaluar expresiones algebraicas.

Interpretativa: efectuar operaciones entre polino-mios.

Interpretativa, propositiva: hacer uso de expresio-nes algebraicas para interpretar matemáticamente enunciados del lenguaje común.


• Elabora modelos de fenómenos algebraicos a partir de construc-ciones geométricas.

• Construye e interpreta fórmulas para representar situaciones que requieren variables y opera con ellas.

Aspectos propios de la matemática asociados con esta actividad: comunicación matemática.


Interpreta diagramas y los traduce en expresiones algebraicas.

c a – b

ab

a

b a – b

bb


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• Planeación eficaz para cualificar los procesos matemáticos

como el razonamiento, la comunicación efectiva de ideas, la

solución de problemas, la representación de las ideas mate-

máticas, la modelación entre las diversas ideas matemáti-

cas o entre las matemáticas y el entorno del estudiante, y

el uso de procedimientos propios para solucionar ejerci-

cios y problemas.


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