Matemáticas 1.º Bachillerato Cónicas SUPERFICIE CÓNICA Una superficie cónica es aquella que se...
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Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
SUPERFICIE CÓNICA
Una superficie cónica es aquella que se obtiene al hacer girar una recta g, llamada generatriz, alrededor de otra recta e, llamada eje, cuando g y e son secantes.El punto de corte de ambas rectas es el vértice V de la superficie.
Al cortar a la superficie así formada por un plano se obtienen secciones que se llaman cónicas.
Cuando el plano cortante contiene al vértice se obtienen las llamadas cónicas degeneradas, que son un punto, una recta o un par de rectas secantes.
Generatriz
Eje
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1.º BachilleratoCónicas
CÓNICAS DEGENERADAS
Punto Recta Rectas secantes α < β α = β α > β
α
β
α
β α
β
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1.º BachilleratoCónicas
Circunferencia:
El plano secante es perpendicular al eje.
Elipse:
El plano secante forma con el eje un ángulo () menor que con las generatrices ()En ambos casos la cónica es una curva cerrada y corta a todas las generatricesParábola:
El plano secante es paralelo a una generatriz, cortando a una sola de las hojas de la superficie cónica. =
Hipérbola:
El plano secante forma con el eje un ángulo () menor que con las generatrices () y corta a las dos hojas de la superficie cónica.En ambos casos la cónica es una curva abierta y no corta a todas las generatrices.
Circunferencia Elipse
Parábola Hipérbola
CÓNICAS NO DEGENERADAS
= 90º >
= <
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1.º BachilleratoCónicas
Circunferencia como sección de un cono
Al cortar la superficie cónica con un plano se obtienen unas curvas que se llaman cónicas. Las distintas posiciones del plano determinan diferentes cónicas.
Circunferencia: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es perpendicular al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
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1.º BachilleratoCónicas
C
Estudio sintético de la circunferencia
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Radio
Diámetro
Centro
Cuerda
Arco
C PC
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1.º BachilleratoCónicas
Ecuación de la circunferencia
P(x, y) Circunferencia d(P, C) = r (x – a)2+(y – b)
2 = r
Ecuación analítica de la circunferencia: (x – a)2+(y – b)2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 +D x + E y + F = 0
Inversamente: dada x2 + y2 +D x + E y + F = 0 su centro y el radio serán:
–2a = D
–2b = E a
2+b
2–r
2 = F
a = –
D2
b = – E2
r = a2+b
2–F =
12 D
2+E
2–4F
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1.º BachilleratoCónicas
Condiciones para que una ecuación represente a una circunferencia
kx2 +ky2 –2akx –2bky +k(a2+b2 – R2)=0
Ax2 +By2 +Cxy +D x +E y + F = 0
Identificando coeficientes se obtiene:
De las dos primeras ecuaciones A = B = k.
Y de las tres últimas: a = – D2A ; b = –
E2A ; R =
12A D
2+E
2–4AF
C = 0
Si es negativo no existe circunferencia.
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1.º BachilleratoCónicas
Posiciones relativas de un punto y una circunferencia
Si d(P, O) > r el punto Pes exterior
Si d(P, O) = r el punto Pestá en la circunferencia
Si d(P, O) < r el punto Pes interior
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1.º BachilleratoCónicas
Posiciones relativas de una circunferencia y una recta
• Si d(O, s) > r, la recta s es exterior.
• Recta y circunferencia no tienen puntos en común.
• Si d(O, s) = r, la recta s es tangente.
• Recta y circunferencia tienen un punto en común.
• Si d(O, s) < r, la recta s es secante.
• Recta y circunferencia tienen dos puntos en común.
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1.º BachilleratoCónicas
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Para saber cuántos puntos en común tienen una recta a x + b y + c=0 y una circunferencia Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 hemos de saber cuántas soluciones tiene el sistema
a x + b y + c = 0Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0
Mx2 + Nx + P = 0
Al despejar y de la ecuación de arriba y sustituir en la de abajo obtenemos
= N2 - 4 M P > 0 dos soluciones
dos puntos de contacto
Recta secante
= N2 - 4 M P = 0 una solución
un punto de contacto
Recta tangente
= N2 - 4 M P < 0 sin solución
sin puntos de contacto
Recta exterior
•
• •
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Posiciones relativas de dos circunferencias
• Si d(O, O') > r + r', las circunferencias son exteriores.
• Las circunferencias no tienen puntos en común.
• Si d(O, O') = r + r', las circunferencias son tangentes exteriores.
• Si d(O, O') = r – r', las circunferencias son tangentes interiores.
• Las circunferencias tienen un punto en común.
• Si d(O, O') < r – r', las circunferencias son interiores.
• Si además tienen el mismo centro son concéntricas.
• Las circunferencias no tienen puntos en común.
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1.º BachilleratoCónicas
Potencia de un punto respecto a una circunferencia
• Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes PA . PB = PA' . PB‘
• Se define Potc(P) = PA . PB = PA' . PB'
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1.º BachilleratoCónicas
Expresión analítica de la potencia
Potc(P) = PA . PB = (d – r) (d + r) = d2 – r2 = (xo – a)2 + (yo – b)2 – r2
d = (xo–a)2+(yo–b)
2
Por tanto: para hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia.
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1.º BachilleratoCónicas
Potencia y posición relativa
P exterior a la circunferencia
Potc(P) > 0
P interior a la circunferencia
Potc(P) < 0
P sobre la circunferencia
Potc(P) = 0
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1.º BachilleratoCónicas
• Sean C1x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y C2x2 + y2 + D'x + E'y + F' = 0.
• Para que un punto P(x, y) pertenezca al eje radical se ha de cumplir que PotC1(P) =
= PotC2(P) . Es decir:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = x2 + y2 + D'x + E'y + F' (D – D') x + (E – E') y + (F – F') = 0
Eje radical de dos circunferencias
Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los puntos del planos que tienen igual potencia respecto de ambas.
Por tanto: el eje radical de dos circunferencias es una recta.
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1.º BachilleratoCónicas
Estudio geométrico del eje radical de dos circunferencias
El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros.
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1.º BachilleratoCónicas
Parábola como secciones de un cono
Parábola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, paralelo a una generatriz y no pasa por el vértice.
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d) x2 +
y – p2
2=
y +
p2
02 + 1
2
Ecuación de la parábola: eje en OY y ramas hacia arriba
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola, se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, p/2) y d: y = – p/2
Eliminando radicales: x2 = 2py
• P(x, y)
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Estudio sintético de la parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta d llamada directriz.
• P
Radio vector
V: vértice
Eje
Cuerda focald(P, F)d(P, d)
e = = 1
La excentricidad de la parábola es 1. • F: foco
d: directriz
Parámetro
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1.º BachilleratoCónicas
Ecuación de la parábola: eje en OY y ramas hacia abajo
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, – p/2) y d: y = p/2
P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d) x2 +
y + p2
2=
y –
p2
02 + 1
2
Eliminando radicales: x2 = – 2py
• P(x, y)
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Ecuación de la parábola: eje en OX y ramas hacia la derecha
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(p/2, 0) y d: x = – p/2
P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d)
x – p2
2 + y
2=
x +
p2
12 + 0
2
Eliminando radicales: y2 = 2px
• P(x, y)
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Ecuación de la parábola: eje en OX y ramas hacia la izquierda
Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(– p/2, 0) y d: x = p/2
P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d)
x + p2
2 + y
2=
x –
p2
12 + 0
2
Eliminando radicales: y2 = – 2px
• P(x, y)
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Tangente y normal a una parábola en un punto
• Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo)• Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo)
Propiedad de la tangente:La tangente y la normal son las bisectrices de los ángulos que forman el radio vector de un punto P y
una recta paralela al eje que pasa por P.
Propiedad del foco:• Todo rayo que sale del foco se refleja en la parábola con dirección paralela al eje.• Todo rayo que llega paralelo al eje de la parábola se refleja sobre el foco.
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Elipse como secciones de un cono
Elipse: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Estudio sintético de la elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a. Por tanto: PF + PF' = 2a
Eje mayor
Ejemenor
Vértices
Radio vector
Radio vector Eje focal
Eje secundario
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1.º BachilleratoCónicas
• BF + BF' = 2a (BF = BF') 2 BF = 2a BF = a
Segmentos de la elipse. Relación fundamental
• A'A = A'F + FA = A'F + A'F' = 2a OA = OA' = a
aa
• BB' = 2b OB = OB' = b
• FF' = 2c OF = OF' = c
a
c
b
a2 = b2 + c2
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
• e = c/a• 0 < e < 1 ya que 0 < c < a• En la medida en que e se aproxima a 0 la elipse se parece más a una circunferencia.• En la medida en que e se aproxima a 1 la elipse se parece más a un segmento.
Excentricidad de la elipse
e = 0.1
e = 0.3
e = 0.5
e = 0.7
e = 0.9
Sucesivas elipses en las que a = 5.
Los focos, cuando e pasa de 1 a 0, van acercándose cada vez más al centro.
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Ecuación de la elipse
Para obtener una ecuación sencilla de la elipse se sitúan los focos en el eje de abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará
en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y F'(–c, 0).
P(x, y) elipse PF + PF' = 2a (x – c)2+y
2 + (x + c)
2+y
2 = 2a
• Eliminando radicales: (a2 – c2) x2 + a2 y2 = a2 (a2 – c2).
• Como a2 – c2 = b2. Obtenemos: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: x
2
a2 +
y2
b2 = 1
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1.º BachilleratoCónicas
Traslación de vector guía
v = (1,4)
Ecuación general de las cónicas
• Las ecuaciones más sencillas de las cónicas se obtienen cuando los ejes coordenados coinciden con sus ejes.
• ¿Qué forma tienen dichas ecuaciones cuando la cónica está situada en cualquier parte del plano?
Elipse de ecuación
x2
9 + y2
4 = 1 Elipse de ecuación
(x−1 )2
9 + (y−4 )2
4 = 1
Giro de centroel origen y
amplitud 45º
La ecuación general de una cónica es
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 donde A, B y C no son nulos
a la vez.
Elipse de ecuación
( 12
(x+y) − 1 )2
9 + (
12
(−x+y ) − 4 )2
4 = 1
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Tangente y normal a una elipse en un punto
• Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo)• Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo)
Propiedad de la tangente: los radio-vectores del punto P forman el mismo ángulo con la recta tangente en dicho punto.
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1.º BachilleratoCónicas
Hipérbola como secciones de un cono
Hipérbola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje del cono y no pasa por el vértice.
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Estudio sintético de la hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a.
Por tanto: |PF – PF'| = 2a
Eje focal
Eje secundario
Centro
VérticesRadio vector
Radio vector
Eje mayor
Ejemenor
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Asíntotas de la hipérbola. Relación fundamental
Asíntota: y = (b/a) x
Asíntota: y = – (b/a) x
2a
2ba
b c c2 = a2 + b2
• A'A = AF' – A'F' = AF' – AF = 2a OA = OA' = a
• BB' = 2b OB = OB' = b
• FF' = 2c OF = OF' = c
• F
• F'
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1.º BachilleratoCónicas
Excentricidad de la hipérbola
• e = c/a• e > 1 ya que c > a• En la medida en que e se hace muy grande las ramas de la hipérbola se abren cada vez más.• En la medida en que e se aproxima a 1 las ramas se cierran sobre el eje OX.
Sucesivas hipérbolas en las que a = 5.Los focos, al crecer e, se van alejando del centro.
e = 3
e = 1.1
e = 2
Matemáticas
1.º BachilleratoCónicas
Ecuación de la hipérbola
Para obtener una ecuación sencilla de la hipérbola se sitúan los focos en el eje de abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0).
Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y F'(–c, 0).
P(x, y) hipérbola PF – PF'| = 2a (x-c)2+y
2 – (x+c)
2+y
2 |= 2a
• Eliminando radicales: (c2 – a2) x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2).
• Como a2 + b2 = c2. Obtenemos: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: x
2
a2 –
y2
b2 = 1
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Tangente y normal a una hipérbola en un punto
• Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo)
• Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo)
Propiedad de la tangente: los radio-vectores del punto P forman el mismo ángulo con la recta tangente en dicho punto.
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1.º BachilleratoCónicas
Clasificación de las cónicas
La gráfica de cualquier cónica no degenerada de ecuaciónAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
• es una elipse si: B2 – 4AC < 0• es una parábola si: B2 – 4AC = 0• es una hipérbola si: B2 – 4AC > 0
Además si B = 0 los ejes de la cónica son paralelos a los ejes coordenados, y si B 0 la cónica tiene los ejes girados respecto a los ejes cartesianos.
La ecuación general de esta cónica es
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0con B = 0 y B2 – 4AC < 0
La ecuación general de esta cónica es
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0con B = 0 y B2 – 4AC > 0
La ecuación general de esta cónica es
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0con B = 0 y B2 – 4AC = 0
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1.º BachilleratoCónicas
Otra clasificación de las cónicas
Dado un punto F llamado foco, una recta fija d (que no pase por F) llamada directriz y un número e > 0, el conjunto de los puntos P del plano tal que
d(P, F) = e . d(P, d)es una cónica de excentricidad e.
• Si e < 1 es una elipse• Si e = 1 es una parábola• Si e > 1 es una hipérbola
Elipses
Parábola
Hipérbola