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5/14/2018 matematicas 22 - slidepdf.com

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MÉTODOS DE CONTEO Y RELACIONES DE RECURRENCIA

TEORÍA DE GRAFOS

Asignatura: Matemáticas Computacionales

Elaborado por. Eduardo Martínez López

Profr.Gabriel Flores González

Atlacomulco, Edo de Mex, 20



METODOS DE CONTEO

Como se vio, para calcular la probabilidad de un evento A, es necesario contar elnúmero de elementos del espacio muestral S y el número de elementos de eventoA.

Cuando el conjunto es pequeño no hay problema, pero cuando los conjuntoscontienen muchos elementos toca acudir a unas técnicas de conteo especialesllamadas métodos de conteo.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la regla de lamultiplicación la cual dice que si una operación se puede llevar a cabo en formas y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación en y para cada una de dos primeras se puede realizar una tercera operación n3

formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizaren n 1n2,..., n k formas

Ejemplo

¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre y unabebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de emparedados,5 postres y 4 bebidas?

PRINCIPIO DE LA SUMA.

Supongamos que un procedimiento, designado con 1, se puede hacer deformas. Supongamos que un segundo procedimiento, designado con 2, se puedehacer de formas. Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2, se

hagan juntos. Entonces, el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es

Ejemplo.

Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportamos porautobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren, entonceshay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.



PERMUTACIONES.

Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.El número de permutaciones de n objetos distintos es n!.Ejemplo:

De cuantas maneras se pueden ubicar 6 personas en una fila.

Ejemplo.

El número de permutaciones de 4 letras: a, b, c, d. será 4! = 24.El número de permutaciones de n objetos distintos de r a la vez es.

Ejemplo

El número de permutaciones de las cuatro letras a, b, c, d al tomar dos a la vezserá:Ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculoes:

(n-1)!.

Ejemplo.De cuantas formas se pueden plantar cinco árboles diferentes en un círculo?Solución n = 5 entonces el número de permutaciones es: (5 – 1) ¡= 4! =24.

El número de permutaciones distintas de n cosas de las que son de una

forma, de una segunda forma, …, de una k-ésima forma es:



EjemploDe cuántas formas diferentes se pueden arreglar 3 focos rojos, 4 amarillos y 2azules en una serie de luces navideña com9 portalámparas?SoluciónEl número total de arreglos es:

El número de formas de partir un conjunto de n objetos en r celdas con

elementos en la primera celda, elementos en la segunda, y asísucesivamente, es:

Ejemplo¿En cuántas formas se pueden asignar siete científicos a una habitación de hoteltriple y a dos dobles?SoluciónEl número total de particiones posibles sería:

COMBINACIONESEn muchos problemas nos interesamos en el número de formas de seleccionarr objetos de n sin importar el orden. Estas selecciones de llaman combinaciones.Una combinación es realmente una partición con dos celdas, una celda contienelos r objetos seleccionados y la otra contiene los (n – r) objetos restantes.

El número de tales combinaciones, denotado por:

El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es



EjemploDe cuatro químicos y tres físicos encuentre el número de comités que se puedenformar que consistan en dos químicos y un físico.Solución

El número de formas de seleccionar a dos químicos, de cuatro es

El número de formas de seleccionar un físico, de tres es

Al usar la regla de la multiplicación tenemos , podemos formar:

Comités con 2 químicos y 1 físico.

COEFICIENTES BINOMIALESEl binomio (a + b)n, tiene que ver con las combinaciones, por cuanto loscoeficientes del desarrollo de este binomio esta dado por la combinación C(n, r); elnúmero de términos del desarrollo de un binomio elevado a una potencia n enteropositiva, es igual a n + 1 términos. El desarrollo de un binomio esta dado por:

Por tanto podemos calcular cualquier término o término general k del desarrollo de (a + b)^n, queesta dado por:T_{r + 1} = C(n, r)x^{n - r} y^r donde: k = r + 1 y r = k – 1

Ejemplo:

Desarrollar (3x - 2y)^3 utilizando el teorema del binomio

Ejemplo:

Calcular el cuarto término del desarrollo de (2x - 3)5

n = 5

k = 4 k = r + 1 donde r = 4 - 1 = 3

T_{r + 1} = T_4 = C(5, 3)(2x)^{5 - 3}(-3)^3



TEORÍA DE GRAFOSINTRODUCCIÓN

La Teoría de Grafos es parte de Matemáticas Discreta que es una asignatura delplan de estudios de Ingeniería en Informática, que tiene un marcado enfoquepráctico, aplicado y computacional, además de un acentuado carácter formativo.El contenido referido a esta temática se plantea como respuesta a una variadaserie de problemas de la «vida real» (diseño de bloques, flujo de redes, diseño decircuitos, transporte de viajeros, asignaciones horarias o de tareas, programación,etc.), lo que le confiere el enfoque aplicado que señalamos arriba, aprendiendo elalumno, además, a buscar modelos matemáticos adecuados para gran número de

situaciones diferentes, lo que suele ser muy habitual en el desarrollo profesional.El tratamiento que se pretende dar a la asignatura es práctico pues, aparte de laresolución de ejemplos y ejercicios que tiene que desarrollar sobre el papel, sedebe dedicar una buena parte de tiempo a realizar prácticas en el computadorpara resolver algún problema en lo posible concreto (extraído de un caso real).

G1 es un grafo no simple, pues consta de dos lados paralelos e2 y e3 y dos lazose1 y e4, pues e2 = (V1, V2), e3 = (V1, V2) y e1 es un lazo, pues e1 = (V1, V1)

GRAFOS

Existen varios tipos de grafos:

a) Un GRAFO NO DIRIGIDO G consiste en un conjunto V de vértices (onodos) y un conjunto E de aristas (o arcos) tal que cada arista e ∈ E se

asocia con un par no ordenado de vértices. Entonces se puede decir que si

existe una arista e entre un par de vértices v y w, esta puede ser igual a: e =(v, w) o e = (w, v)



Un grafo esta formado de vértices y aristas (lados), por lo tanto G = {V, E}

Los vértices del grafo G son: V_1, V_2, V_3, V_4 entonces V = {V_1, V_2, V_3,

V_4}

Las aristas del grafo son: e_1, e_2, e_3, e_4 entonces E = {e_1, e_2, e_3, e_4}

Entonces podemos decir que G = {{V_1, V_2, V_3, V_4}, {e_1, e_2, e_3, e_4}}

Como el grafo G no tiene lazos ni lados paralelos entonces es un grafo simple.

Otro ejemplo de grafo no dirigido es el siguiente:

La arista e_3 se asocia con el par ordenado de vértices (V_4,V_3) debido a que

tiene como vértice origen a V_4 y vértice destino a V_3, y se denota por: e_3 =

{V_4, V_3}. No se puede decir que: e_3 = {V_3, V_4} porque la dirección de la

arista e_3 no es esa.

c) Un GRAFO PONDERADO G es aquel en donde se muestran los pesos de

cada una de sus aristas. Peso es el valor asignado a cada arista. En un grafoponderado la longitud de una ruta es la suma de los pesos de las aristas en laruta.



Ejercicio

Complete el cuadro, con la longitud de las diferentes rutas del grafo G expuesto

arriba.

d) GRAFO COMPLETO sobre n vértices, denotada por Kn, es la gráfica simplecon n vértices en la que hay una arista entre cada par de vértices distintos.

G de K_4 y tiene solo una arista entre cada par de vértices.

e) GRAFO DE SIMILITUD se refiere a un grafo que tiende a agrupar objetossemejantes en clases, con base en las propiedades de los objetos .



CICLO DE EULER Y DE HAMILTONCICLO DE EULER

Si una grafica G tiene un ciclo de euler, entonces G es conexa y todo vértice tienegrado par (2, 4, 6…).

Ejemplo:

Verificar si la siguiente gráfica tiene ciclo de Euler.

Observamos que la grafica es conexa, puesto que sus vértices tienen grado par

así:

δ(v1) = δ (v2) = δ (v3)= δ (v5) = 4

δ (v4) = 6

δ (v6) = δ (v7) = 2

Por lo tanto si existe ciclo de euler el mismo que es: (v6, v4, v7, v5, v1, v3, v4, v1,v2, v5, v4, v2, v3, v6), si se dan cuenta una característica importante de estecamino es que ninguna de sus aristas se repiten.

IMPORTANTE

Si G no tiene aristas entonces tiene un solo vértice por lo tanto contiene un ciclode euler.

CICLO DE HAMILTON

En honor de Hamilton, decimos que un ciclo en una grafica G que contiene cadavértice en G exactamente una vez, excepto por el vértice inicial y final que aparece

dos veces, recibe el nombre de ciclo hamiltoniano.Ejemplo:

Partiendo de la gráfica que se muestra trace un camino de (a) a (a) que contengatodos los vértices sin repetir ninguno.



El camino de Hamilton solicitado sería: (a, f, g, p, q, r, s, t, o, n, m, l, k, j, i, h, b, c,d, e, a). Como pueden observar no se repite vértice alguno, excepto el inicial y

final que es el mismo.

REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS

Anteriormente analizamos las gráficas como un dibujo, pero cuando se requiereanalizar una grafica mediante una computadora se necesita de una representación

más formal.

Conoceremos dos formas:

a) MATRIZ DE ADYACENCIA

Para formar la matriz, primero elegimos los vértices siguiendo un orden cualquiera.A continuación etiquetamos los renglones y las columnas de una matriz con losvértices ordenados. La entrada en esta matriz es 1 si los vértices del renglón y la

columna son adyacentes y 0 en caso contrario.Llamamos vértices adyacentes a aquellos vértices que están formados por lamisma arista. Llamamos aristas adyacentes a aquellas aristas que convergen enun mismo vértice.



De la gráfica que se muestra podemos decir que a y b son vértices adyacentes puesto quecomparten la misma arista, así, también a y d. Las aristas adyacentes que convergen en el vérticea son: la que une a d con a y la que une a b con a. Los invito a analizar los demás vértices y aristasde la gráfica.

En la matriz de la grafica expuesta se pueden detectar algunas propiedades de la gráfica simple:

El grado de un vértice

δ(c) = 3 en la fila de c hay tres unos

δ (c) = 3 en la de b hay tres unos

δ (c) = 3 en la de e hay tres unos

- La matriz permite representar lazos

- No permite representar lados paralelos

Al elevar al cuadrado la matriz A obtenemos A2 que determina los caminos de longitud (2) que

puede trazarse de cada vértice.Al elevar al cuadrado (A2) obtenemos A4 que determina los caminos de longitud 4 que hay decada vértice.

Ejemplos

Los caminos de a - a de longitud 2 son: (2) (a, b, a),(a, d, a)

Los camino de b - d de longitud 2 son (2): (b, c, d),(b, a, d)

Los caminos de c - c de longitud 2 son (3): (c, b, c),(c, d, c),(c, e, c)



Los caminos de d - e de longitud 4 son 6: (d, a, d, c, e), (d, c, d, c, e), (d, a, b, c, e), (d, c, e, c,e), (d, c, e, b,

e), (d, c, b, c, e)

Los caminos de c - d de longitud 4 son 3: (c, e, b, a, d), (c, b, e, c, d), (c, e, b, c, d)

Le sugerimos que busque y encuentre algunos otros caminos:

a - b longitud 4 (3)

d - e longitud 4 (6)

Recorridos eulerianos

A estos circuitos se les llama circuitos eulerianos, y a los grafos que los

contienen grafos eulerianos

Grafo o multigrafo euleriano: admite un recorrido que pasa por todas las aristasuna sola vez, empezando y terminando en el mismo vértice. Los vértices sí sepueden repetir

Ejemplo: Grafo euleriano.

Circuito euleariano: a,b,c,d,b,f,d,e,a,c,e,f,a

Ejemplo: Grafo euleriano.

Circuito euleariano: a,b,c,d,b,f,d,e,a,c,e,f,a

Ejemplo: El siguiente grafo es euleriano.



Encuentra un circuito euleriano:

Teorema de Euler: Un grafo conexo es euleriano no tiene vértices de grado

impar

Ejemplo:

A tiene grado 3el grafo de los puentes no es euleriano.

Si el grafo/multigrafo tiene sólo dos vértices de grado impar se llama semi-

euleriano. Se puede convertir en euleriano añadiéndole una arista:

Semi-euleriano Euleriano

Un grafo se dice hamiltoniano si existe un ciclo que recorre todos sus vértices. Alciclo se le llama ciclo hamiltoniano

Ejemplos:



No existe un método sencillo para saber si un grafo es no hamiltoniano problema muy complejo

Ejemplo: Este grafo es hamiltoniano

...pero este no ¡difícil de probar!

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