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MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 14: Probabilidad
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14 ProbabilidadEl cálculo de probabilidades se aplica para estudiar fenómenos en los que interviene el azar, como los accidentes de tráfico, los incendios, los temporales que amenazan las cosechas y la inseguridad económica. Las aseguradores calculan así las primas apropiadas a cada caso.
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ACTIVIDAD
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La ciencia en la Inglaterra de la primera mitad del siglo XVIII
Busca en la Web
Enlace a una biografía de De Moivre
Enlace a información sobre el cometa Halley
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Esquema de contenidos
Probabilidad
Experimentos aleatorios
Espacio muestralL Sucesos compatibles
Diagramas de árbol Operaciones con sucesos
UniónIntersecciónComplementario
Definición de probabilidad
Regla de LaplaceAplicaciones
Propiedades de la probabilidad
Suceso seguro e imposiblePropiedad de la uniónPropiedad del contrarioClasificación en dos caracteres
Frecuencia y probabilidad
Ley de los grandes números.
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La probabilidad de la unión de sucesos
La unión de dos sucesos, AB, recoge todos los elementos que pertenecen a cada uno. Se puede representar gráficamente mediante un diagrama - llamado de Venn -, en el que los sucesos vienen representados por superficies que tienen zonas en común y zonas no comunes.
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La probabilidad de la unión de sucesos
La unión de dos sucesos, AB, recoge todos los elementos que pertenecen a cada uno. Se puede representar gráficamente mediante un diagrama - llamado de Venn -, en el que los sucesos vienen representados por superficies que tienen zonas en común y zonas no comunes.
En total, hay cuatro zonas: AB (zona 1), la parte de A que no tiene elementos de B (zona 2), la parte de B que no tiene elementos de B (zona 3) y la zona exterior que no tiene elementos de A ni de B (zona 4).
Son zonas disjuntas, esto es, que un elemento del conjunto general sólo puede estar en una de ellas.
AB
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La probabilidad de la unión de sucesos
En total, hay cuatro zonas: AB (zona 1), la parte de A que no tiene elementos de B (zona 2), la parte de B que no tiene elementos de B (zona 3) y la zona exterior que no tiene elementos de A ni de B (zona 4). Todas las zonas son disjuntas.
AB
AB
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Podemos resolver diversos problemas gracias a este diagrama.
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
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La probabilidad de la unión de sucesos
AB
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En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
Comenzamos obligatoriamente por la
zona común, . En el enunciado se
dice el porcentaje de habitantes que se
incluyen en ella.
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En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
Comenzamos obligatoriamente por la
zona común, . En el enunciado se
dice el porcentaje de habitantes que se
incluyen en ella.
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Leen los dos periódicos el 10 % de la población.
10 %
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En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
Seguimos con las zonas y . Sus porcentajes se obtienen restando el 10 % común a los datos del enunciado.10 %
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La probabilidad de la unión de sucesos
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En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
10 %
Para la zona , 25 % 10 % = 15 %.2
Para la zona , 18 % 10 % = 8 %.3
15 %
8 %
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Seguimos con las zonas y . Sus porcentajes se obtienen restando el 10 % común a los datos del enunciado.
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La probabilidad de la unión de sucesos
AB
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En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
10 %
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15 % 8 %
Para la zona , tenemos que tener en cuenta que el porcentaje de los que leen uno o dos diarios es: 15 % + 8 % + 10 % = 33 %.
Luego, en esta zona pondremos 100 % 33 % = 66 %. 66 %
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La probabilidad de la unión de sucesos
AB
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
10 %
4
15 % 8 %
Para la zona , tenemos que tener en cuenta que el porcentaje de los que leen uno o dos diarios es: 15 % + 8 % + 10 % = 33 %.
Luego, en esta zona pondremos 100 % 33 % = 66 %. 66 %
Podemos contestar ya a las dos preguntas.
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La probabilidad de la unión de sucesos
AB
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
10 %15 % 8 %
La primera ya ha sido contestada: leen alguno de los diarios el 33 % que es la suma de los porcentajes que aparecen en el interior de los sucesos.
66 %
Leen solamente uno de ellos el 23 % de los ciudadanos, que es la suma de 15 % y 8 %, correspondientes a las zonas adecuadas del gráfico.
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La misma situación la podemos interpretar con 3 diarios, A, B y C.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
Se elige un ciudadano al azar y se desea saber:a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico?b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C?c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B?
La probabilidad de la unión de sucesos
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En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
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8
Se observa que ahora hay ocho “zonas”. Lo importante es que un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una sola de ellas.
Ha de empezarse obligatoriamente por
la zona común, . En el enunciado se
dice el porcentaje que la forman.
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La probabilidad de la unión de sucesos
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Los tres periódicos los leen el 9 % de la población.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
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3
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8
Se observa que ahora hay ocho “zonas”. Lo importante es que un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una sola de ellas.
Ha de empezarse obligatoriamente por
la zona común, . En el enunciado se
dice el porcentaje que la forman.7
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
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Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
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Se sigue con las zonas comunes a dos
diarios, es decir las zonas, , y .
9 %
4 5 6
¿Puedes determinar los porcentajes de cada una a partir del enunciado?
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
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Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
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6
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Se sigue con las zonas comunes a dos
diarios, es decir las zonas, , y .
9 %
4 5 6
Para la zona , 14 % 9 % = 5 %.4
Para la zona , 13 % 9 % = 4 %.5
Para la zona , 11 % 9 % = 2 %.6
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
La probabilidad de la unión de sucesos
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Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
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Se sigue con las zonas comunes a dos
diarios, es decir las zonas, , y .
9 %
4 5 6
Para la zona , 14 % 9 % = 5 %.4
Para la zona , 13 % 9 % = 4 %.5
Para la zona , 11 % 9 % = 2 %.6
5 %
4 %
2 %
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
La probabilidad de la unión de sucesos
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Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
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Seguimos ahora con las zonas , ,
y .
9 %
1 2
3
5 %
4 %2 %
¿Puedes hallar los porcentajes que quedan para cada zona?
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
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Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
8
Seguimos ahora con las zonas , ,
y .
9 %
1 2
3
Para la zona , 30 % 5%9%4% =12 %.1
Para la zona , 20 % 5%9%2% = 4 %.2
Para la zona , 16 % 2%9%4% = 1 %.3
5 %
4 %2 %
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
La probabilidad de la unión de sucesos
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Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
8
Finalmente, completamos la distribución de
porcentajes con la zona , que es la de los
9 %
5 %
4 %2 %
12 % 4 %
1 %
8que no leen ningún diario.
¿Qué porcentaje corresponde a esta zona?
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
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Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Finalmente, completamos la distribución de
porcentajes con la zona , que es la de los
9 %
5 %
4 %2 %
12 % 4 %
1 %
8que no leen ningún diario.
La suma de todos los porcentajes del gráfico da: 12 + 5+ 9+ 4+ 4+ 2 +1 = 39 %.
Por tanto, el porcentaje de los que no leen es del 100 % 39 % = 61 %.61 %
Es fácil contestar ya a las preguntas del problema.
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
La probabilidad de la unión de sucesos
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9 %
5 %
4 %2 %
12 % 4 %
1 %
61 %
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
Se elige un ciudadano al azar y se desea saber:a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico?b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C?c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B?
¿Puedes reconocer sobre la figura la zona o zonas que constituyen la respuesta a cada pregunta?
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9 %
5 %
4 %2 %
12 % 4 %
1 %
61 %
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
Se elige un ciudadano al azar y se desea saber:a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico?b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C?c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B?
a) La probabilidad de seleccionar un ciudadano que haya leído algún periódico es 39 %, suma que ya había sido obtenida.
b) La respuesta es 5 %, que está en la zona común a A y B, pero no a C.
c) La respuesta es 4 %.
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Regla de Laplace
La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión:
Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.
posibles casos de Número
Aa favorables casos de Número=)(AP
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Regla de Laplace
La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión:
Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.
Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.
posibles casos de Número
Aa favorables casos de Número=)(AP
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Regla de Laplace
La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión:
Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.
posibles casos de Número
Aa favorables casos de Número=)(AP
Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.
Una resolución incorrecta sería la que considerase que hay 5 posibilidades (“Salir 4 caras”, “Salir 3 caras y una cruz”, “Salir 2 caras y 2 cruces”, “Salir 1 cara y 3 cruces” y “Salir 4 cruces”), De ellas, las dos primeras son aquellas en las que hay mayoría de caras. Luego - razonaríamos erróneamente-, hay 2 casos de 5 y, por tanto, la probabilidad sería 2/5 = 0,4 = 40 %.
¿Por qué es errónea esta manera de razonar?
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Regla de Laplace
La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión:
Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.
Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.
Una resolución incorrecta sería la que considerase que hay 5 posibilidades (“Salir 4 caras”, “Salir 3 caras y una cruz”, “Salir 2 caras y 2 cruces”, “Salir 1 cara y 3 cruces” y “Salir 4 cruces”), De ellas, las dos primeras son aquellas en las que hay mayoría de caras. Luego - razonaríamos erróneamente -, hay 2 casos de 5 y, por tanto, la probabilidad sería 2/5 = 0,4 = 40 %.
¿Por qué es errónea esta manera de razonar?
El espacio muestral de casos posibles es inadecuado porque, por ejemplo, es mucho más probable “Salir 3 caras y una cruz” que “Salir 4 caras” que sólo puede salir de una manera, todas las monedas caras.
posibles casos de Número
Aa favorables casos de Número=)(AP
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Regla de Laplace
Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.
Para resolver correctamente el problema, supongamos las 4 monedas diferentes. Por ejemplo, llamémoslas A, B C y D. Los casos posibles (observa que todos tienen las mismas posibilidades) pueden observarse en la siguiente tabla (C es cara, K es cruz), que no es un diagrama de árbol expresado de otra manera:
Moneda A C C C C C C C C K K K K K K K K
Moneda B C C C C K K K K C C C C K K K K
Moneda C C C K K C C K K C C K K C C K K
Moneda D C K C K C K C K C K C K C K C K
Número de caras
4 3 3 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 1 1 0
Como puedes observar, hay 16 casos posibles. De ellos, hay mayoría de caras en 5 casos. Por tanto, según la regla de Laplace:
%,,)( 253131250165
posibles casos de Número Aa favorables casos de Número
AP
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Problemas con dados
Los dados típicos son cúbicos, aunque hay juegos que utilizan dados de otras formas: tetraedros, octaedros, dodecaedros...
Si se lanzan dos o más de ellos, tenemos que considerar espacios muestrales que se ajusten a la Regla de Laplace, es decir, que todos los casos tengan las mismas posibilidades de salir.
Una manera de conseguir esto es considerar los dados de distinto color. Aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
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Problemas con dados
Los dados típicos son cúbicos, aunque hay juegos que utilizan dados de otras formas: tetraedros, octaedros, dodecaedros...
Si se lanzan dos o más de ellos, tenemos que considerar espacios muestrales que se ajusten a la Regla de Laplace, es decir, que todos los casos tengan las mismas posibilidades de salir.
Una manera de conseguir esto es considerar los dados de distinto color. Aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Escribiremos el total de los 36 casos que pueden presentarse:
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. Escribiremos el total de los 36 casos que pueden presentarse:
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
11 12 13 14 15 16
21 22
32
42
52
6261 63 64 65 66
56
46
36
26252423
33
43
5351 54 55
41
31 34 35
4544
Ahora, llevaremos cada caso a cada uno de los sucesos del enunciado.
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
11 12 13 14 15 16
21 22
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46
36
26252423
33
43
5351 54 55
41
31 34 35
4544
“Sacar número máximo el 1”
SIGUIENTE
MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 14: Probabilidad
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
“Sacar número máximo el 1” =11 12 13 14 15 16
21 22
32
42
52
6261 63 64 65 66
56
46
36
26252423
33
43
5351 54 55
41
31 34 35
4544
“Sacar número máximo el 2”
SIGUIENTE
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
“Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22
“Sacar número máximo el 3”
13 14 15 16
32
42
52
6261 63 64 65 66
56
46
36
26252423
33
43
5351 54 55
41
31 34 35
4544
SIGUIENTE
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
“Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22
14 15 16
42
52
6261 63 64 65 66
56
46
36
262524
43
5351 54 55
41
34 35
4544
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4”
SIGUIENTE
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
“Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22
15 16
52
6261 63 64 65 66
56
46
36
2625
5351 54 55
35
45
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
“Sacar número máximo el 5”
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
“Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22
16
6261 63 64 65 66
56
46
36
26
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55
“Sacar número máximo el 6” =SIGUIENTE
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
“Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55
“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66
SIGUIENTE
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
“Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55
“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66¿Puedes dar ya las probabilidades de cada suceso?
SIGUIENTE
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Problemas con dados
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
“Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55
“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66
361
121
363
365
367
41
369
3611
SIGUIENTE
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Problemas con dos criterios de clasificación
En ciertos casos de la vida corriente, se presentan situaciones en las que hay dos criterios de clasificación y se desean conocer ciertas probabilidades. Una tabla (denominada “de contingencia”) aclara la situación por completo.
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad.
a) Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo?
En ciertos casos de la vida corriente, se presentan situaciones en las que hay dos criterios de clasificación y se desean conocer ciertas probabilidades. Una tabla (denominada “de contingencia”) aclara la situación por completo.
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo?
De Villanueva
De fuera TOTALES
De 1er ciclo
De 2.º ciclo
TOTALES
Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente:
¿Puedes ponerlos tú? SIGUIENTE
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo?
De Villanueva
De fuera TOTALES
De 1er ciclo
De 2.º ciclo
TOTALES
Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente:
60
400250
230
A partir de los totales (en vertical y horizontal) es fácil completar las restantes casillas de la tabla.
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo?
De Villanueva
De fuera TOTALES
De 1er ciclo
De 2.º ciclo
TOTALES
Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente:
60
400250
23090
150
140
110 170
SIGUIENTE
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo?
De Villanueva
De fuera TOTALES
De 1er ciclo
De 2.º ciclo
TOTALES
Resulta ahora fácil contestar a las preguntas:
60
400250
23090
150
140
110 170
SIGUIENTE
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo?
De Villanueva
De fuera TOTALES
De 1er ciclo
De 2.º ciclo
TOTALES
Resulta ahora fácil contestar a las preguntas:
60
400250
23090
150
140
110 170
a) De un total de 400 alumnos, hay 110 que cumplen la condición. La probabilidad es: 110/400 = 0,275 = 27,5 %
SIGUIENTE
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo?
De Villanueva
De fuera TOTALES
De 1er ciclo
De 2.º ciclo
TOTALES
Resulta ahora fácil contestar a las preguntas:
60
400250
23090
150
140
110 170
a) De un total de 400 alumnos, hay 110 que cumplen la condición. La probabilidad es: 110/400 = 0,275 = 27,5 %
b) El total es ahora 150, los alumnos de fuera. Cumplen la condición 60 de ellos. Luego, la probabilidad es:
60/150 = 0,4 = 40 %
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Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números
En esta dirección tenemos acceso a la comprobación experimental de ciertas paradojas de probabilidad.
Para conocerlo, sigue este enlace.
Dirección: http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/