MATEMÀTICAS ADMINISTRATIVAS

En esta Unidad analizarás el concepto de función, así como los diferentes tipos de función y las operaciones que se pueden realizar con ellas, lo que es indispensable para comprender las siguientes unidades temáticas que abarcan los conceptos de cálculo diferencial e integral.

Relacionarás la importancia de las funciones algebraicas y su representación gráfica en la solución de problemas en el área económico-administrativa.

Aplicarás los tipos de funciones algebraicas que intervienen en la solución de problemas en el área económico-administrativo.

Interpretarás las funciones de costo, ingreso y utilidad y el punto de equilibrio

Identifica los tipos de funciones, variables y sus  aplicaciones para resolver problemas que se presentan en situaciones de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda, a través de conceptos, tipos de funciones y modelos gráficos.

1.1. Funciones y variables Introducción

Las matemáticas, son una herramienta que nos permite verificar mediante modelos gráfico-numéricos los efectos que pueden generar las variaciones de los elementos o factores que intervienen en los fenómenos y sucesos que se presentan a lo largo de nuestra vida. En esta primera unidad, presentamos el concepto de función, así como las diversas formas para su representación.Se analizarán también los tipos de funciones, la graficación y las operaciones que pueden haber entre ellas, con el fin de crear bases sólidas que permitan dar solución práctica a los diversos problemas que se presentan en el área económico-administrativa. Todo esto se podrá realizar a través del análisis de situaciones de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda y mediante el uso de los diferentes tipos de funciones y modelos gráficos.

La relación funcional o función, nos ayuda a describir de manera práctica situaciones que están presentes en la vida real, en las que un valor o cantidad que varía, depende de la función o determina el valor de otra, por ejemplo:

1. La cantidad de impuestos que paga una persona o empresa depende de los ingresos de ésta.2. Los costos de producción varían de acuerdo al valor de la materia prima.3. La calidad de oxígeno en el aire en una ciudad, está en función del número de automotores que

circulan por ella.

¿Qué otros ejemplos se te ocurren? Como te darás cuenta, las matemáticas se encuentran en la vida cotidiana y las funciones las usamos hasta en la más mínima acción.

De ahí se observa que podemos tener variables o valores que dependen o cambian cuando un valor determinante varía. Otro ejemplo representativo es el puntaje obtenido en un juego de tiro al blanco, en el que hay dibujados en un tablero 5 círculos concéntricos y en cada uno se pueden tener los siguientes valores: 5, 10, 15, 20, 25, (iniciando desde el exterior hasta el centro del tablero) como se muestra en la imagen.

Es decir que la máxima puntuación se obtiene atinándole al círculo que queda en el centro del tablero (25 puntos), y va disminuyendo conforme nos alejamos hacia la orilla, así obtenemos dos conjuntos, uno correspondiente a los círculos y que definiremos como el conjunto C, y el otro correspondiente a la puntuación y que llamaremos P, esto es:

C = {1, 2, 3, 4, 5}P = {5, 10, 15, 20, 25}

Ambos conjuntos están relacionados entre sí, es decir que ambos dependen el uno del otro y lo podemos representar mediante una tabulación o una gráfica:

Tabulación Gráfica

En ambas representaciones podemos comprobar que para cada elemento del conjunto P (puntuación), hay un solo valor o elemento que le corresponde del conjunto C (círculo), es decir que se cuenta con las siguientes parejas ordenadas:

(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20), (5, 25).

Otra forma de representación es mediante un modelo matemático, si consideramos los datos del ejemplo anterior, se observa que se acierta en el círculo del centro se tendrán 25 puntos y en el círculo más alejado del centro se obtendrán 5 puntos, así se observa que existe una situación de dependencia, en la que el puntaje dependerá de a qué círculo del tablero se acierte y cada acierto tiene un valor que resulta de multiplicar el número del circulo al que se acierta por cinco.

Para llevar a cabo esta operación es necesario conocer el número de círculo al que se acierta por lo que se puede decir que el número de círculo es el valor que alimenta al modelo matemático, es decir, que son los valores de entrada y son a los que hay que multiplicar por cinco, para que dé el resultado del puntaje obtenido, lo que dará los valores de salida, si se utilizan además variables que permitan identificar a cada uno de los valores, es decir y para el puntaje y x para los círculos, podremos obtener la siguiente expresión:

1.1.1. Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes e independientes Para entender un poco más las funciones algebraicas en el quehacer cotidiano, es necesario que estudies con detenimiento los conceptos que aparecieron anteriormente: función, variable dependiente e independiente.

¿Recuerdas la expresión matemática anterior? Bueno, pues es momento de identificar los conceptos.

Función: es la correspondencia entre dos conjuntos: uno de valores de entrada y otro devalores de salida, en donde existe una regla u operación que determina para cada valor deentrada un solo valor de salida.Variable Dependiente: es aquella cuyo valor, propiedad o característica se trata de cambiarmediante la manipulación de la variable independiente.Variable Independiente: es aquélla que es manipulada en un experimento o evento con elobjeto de estudiar cómo incide sobre la variable dependiente, esto significa que las variacionesen la variable independiente repercutirán en variaciones en la variable dependiente.Mediante una actividad interactiva, se muestran los nombres de las partes de una función;se utiliza la expresión matemática y=5x. Esta expresión, completa, relaciona una variableindependiente con una variable dependiente. La “y” es la llamada variable dependiente, pues

su valor dependerá de los valores que asignemos a la variable “x”. Por ejemplo, si decidimosdar un valor de x=4, la y tomará un valor: y=5(4)=20. Para cada valor que demos a x, y tomaráa su vez un valor. Por lo tanto, la “x” es lo que conocemos como variable independiente, puesel valor que toma no depende de ninguna otra variable, y podemos decidirlo. La expresióncompleta que contiene a ambas variables, es lo que nosotros llamaremos función.

Actividad 1. Foro. Funciones y variables 1.Ahora ingresa al foro Funciones y variables y responde a la siguiente pregunta:¿De qué me sirve identificar las funciones, variables dependientes e independientes?2.Revisa las participaciones de tus compañeros y opina acerca de ellas.3.Consulta la rúbrica de Foro. 1.2. Tipos de Funciones y su aplicación Como vimos en el tema anterior, la función es el conjunto de las variables dependiente e independiente, y a partir de las expresiones algebraicas, existen diferentes tipos de funciones, las cuales veremos a continuación:

Función Constante: Una función constante es aquella que tiene la forma En donde c es un número real.

Ejemplo: Sea f(x) = 10, debido a la forma de la función, a la variable x se le puede asignar cualquier valor que se desee, sin embargo el resultado de la función será siempre 10.

Observa la animación de la siguiente pantalla, puedes ver que la gráfica que se te presenta es una recta paralela al eje de las X (abscisas) y que f(x) = 10, corta el eje de las Y (ordenadas) en el punto (0,10). Se presenta un plano cartesiano, y una tabla de datos correspondiente a las variables dependiente e independiente cuando f(x)=y=10.

X f(x)=10 Pares ordenados

Gráfica

-15 10 (-15, 10) -10 10 (-10, 10) -5 10 (-5, 10) 0 10 (0, 10) 5 10 (5, 10) 10 10 (10, 10) 15 10 (15, 10)

En este caso, la x toma los siguientes valores: -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15. La variable independiente toma siempre el mismo valor (la función es constante e indica que y=10). Se forman entonces 7 pares ordenados (x,y), que son: (-15, 10), (-10, 10), (-5, 10), (0, 10), (5, 10), (10, 10), (15, 10). Hay que recordar que la variable independiente, x, puede tomar valores no enteros, por lo que existe una infinidad de pares ordenados aunque no se encuentren expresados en la tabla que se presenta. La gráfica es una línea recta horizontal (paralela al eje de las x), que como la función lo indica, pasa por (0, 10). Esta gráfica nos muestra cómo luce una función lineal.

1.2.1. Tipos de funciones y sus gráficas

Ejemplo: Sea f(x) = 2x + 4, se observa que se trata de una función lineal en donde:

m = 2yb = 4

es decir que cuando x = 0, f(x) = y = 4.

Veamos la representación gráfica en la animación de la siguiente pantalla.

Se presenta un plano cartesiano, y una tabla de datos correspondiente a las variables dependiente e independiente cuando f(x)=y=2x+4.

Función Lineal:

En este caso, la x toma los siguientes valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente toma valores que dependen efectivamente de la variable independiente.En este caso, la x toma los siguientes valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente toma valores que dependen efectivamente de la variable independiente.Por ejemplo, para x=-3, y = 2(-3)+4 = -6+4 = -2.Para x=-2, y = 2(-2)+4 = -4+4 = 0.Para x=-1, y = 2(-1)+4 = -2+4 = 2.Para x=0, y = 2(0)+4 = 0+4 = 4.Para x=1, y = 2(1)+4 = 2+4 = 6.Para x=2, y = 2(2)+4 = 4+4 = 8.Para x=3, y = 2(3)+4 = 6+4 = 10.

Se forman entonces 7 pares ordenados (x, y), que son: (-3, -2), (-2, 0), (-1, 2), (0, 4), (1, 6), (2, 8), (3, 10). Hay que recordar que las variables “x” e “y”, pueden tomar valores no enteros, por lo que existe una infinidad de pares ordenados aunque no se encuentren expresados en la tabla que se presenta. La gráfica es una línea recta inclinada. Esta gráfica nos muestra cómo luce una función lineal.

Así, se observa que la gráfica es una línea recta creciente, esto se debe a que m > 0, por lo que conforme x aumenta, también lo hace y, por lo tanto se trata de una función creciente.Función Cuadrática: Una función cuadrática es aquella que se tiene la forma:

En donde a, b y c, son números reales.a ≠ 0, mientras que b y c, pueden valer cero.

La forma de la gráfica de una función cuadrática es una parábola, en donde el vértice es el punto más bajo si la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto más alto cuando la parábola abre hacia abajo.Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre hacia abajo. El vértice está dado por las coordenadas , que se calcula con las siguientes fórmulas:

Ejemplo:Sea , se observa que se trata de una función cuadrática en donde:a = 1b = 4 c = -2 y las coordenadas del vértice:

Por lo que el vértice será: Gráficamente la función cuadrática sería como se muestra en la animación de la siguiente pantalla.

*Se presenta un plano cartesiano, y una tabla de datos correspondiente a las variables dependiente e independiente cuando: f(x) = y = x² + 4x - 2 En este caso, la x toma los siguientes valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente toma valores que dependen efectivamente de la variable independiente. Por ejemplo, para x=-3 Para x=-2, Para x=-1, Para x=0, Para x=1, Para x=2, Para x=3, Se forman entonces 7 pares ordenados (x, y), que son: (-3, -5), (-2, -6), (-1, -5), (0, -2), (1, 3), (2, 10), (3, 19). Hay que recordar que las variables “x” e “y”, pueden tomar valores no enteros, por lo que existe una infinidad de pares ordenados aunque no se encuentren expresados en la tabla que se presenta. La gráfica es una parábola. Esta gráfica nos muestra cómo luce una función cuadrática.

En la animación anterior se observa que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba y que su punto más bajo se encontrará en las coordenadas del vértice: (-2, 6).

Función Polinomial:

Una función es polinomial si:

El valor de n determina el grado de la función polinomial, que puede ser lineal, cuadrática, cúbica, de cuarto grado, de quinto grado, etc., dependiendo del valor de n, es decir el valor más alto del exponente de la función es el que determinará de qué grado es la función.

Ejemplo:

       Función Cúbica Función de quinto Grado

Función Racional: Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales y se representa como:

Ejemplo: Sea

En la animación de la siguiente pantalla, se observa que en -1 la función crece al infinito ∞

Se presenta un plano cartesiano, y una tabla de datos correspondiente a las variables dependiente e independiente cuando: En este caso, la x toma los siguientes valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente toma valores que dependen efectivamente de la variable independiente. Por ejemplo, para

x=-3

Para x=-2,

Para x=-1,

Para x=0,

Para x=1,

Para x=2,

Para x=3,

Se forman entonces 7 pares ordenados (x, y), que son: (-3, 3), (-2, 4), (-1, infinito), (0, 0), (1, 1), (2, 1.33), (3, 1.66). Hay que recordar que las variables “x” e “y”, pueden tomar valores no enteros, por lo que existe una infinidad de pares ordenados aunque no se encuentren expresados en la tabla que se presenta. Esta gráfica nos muestra cómo luce una función racional.

Función Exponencial:Una función exponencial es aquella en la que la variable independiente se encuentra como exponente de un número constante:La gráfica es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1 Ejemplo: Sea

Se presenta un plano cartesiano, y una tabla de datos correspondiente a las variables dependiente e independiente cuando: En este caso, la x toma los siguientes valores: -2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente toma valores que dependen efectivamente de la variable independiente.

Por ejemplo, para x=-2,

Para x=-1,

Para x=0,

Para x=1,

Para x=2, Para x=3,

Se forman entonces 6 pares ordenados (x, y), que son: (-2, 0.25), (-1, 0.5), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8). Hay que recordar que las variables “x” e “y”, pueden tomar valores no enteros, por lo que existe una infinidad de pares ordenados aunque no se encuentren expresados en la tabla que se presenta. Esta gráfica nos muestra cómo luce una función exponencial.

Una función logarítmica se define como la inversa de la exponencial y puede ser representada de la siguiente manera:

Un ejemplo de Función logarítmica es:

En la siguiente pantalla podrás ver la representación gráfica  de este ejemplo.

Como podrás ver cada una de las funciones tiene una representación gráfica que nos puede mostrar el comportamiento de una actividad o fenómeno en cualquier ámbito de tu vida.

Actividad 2. Tipos de Funciones 1.Descarga el documento Cuadernillo de ejercicios: Funciones.2.Resuelve el ejercicio 1 “Tipos de funciones” que se te presenta. Si tienes dudas consulta al (a la) Facilitador(a). 3.Guarda tu documento como MA_U1_FUN01_XXYZ, en formato Word 97-2003, y envíaselo al (a la) Facilitador(a) a través de la sección de Tareas. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.Da clic en el icono para descargar el documento. Cuadernillo de ejercicios: Funciones

1.2.2. Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio

Relacionado con la administración, es importante que conozcas y sepas aplicar las funciones matemáticas, ya que en algún momento de tu vida laboral te encontrarás con ellas. Por ejemplo un punto de equilibrio es usado comúnmente en las empresas u organizaciones para determinar la rentabilidad de vender X producto, ¿quieres saber cómo? Te invitamos a estudiar los siguientes conceptos.

Es importante mencionar que la función de ingresos también puede seguir cualquier otro comportamiento algebraico: cuadrático, lineal, exponencial, entre otros.

1.2.2. Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio Mediante una actividad interactiva, se muestra un ejemplo del tema de ingresos. El planteamiento es:” Un club social que cuenta con 2300 afiliados, está por incrementar a los asociados las cuotas mensuales, quienes actualmente pagan $500.00. Sin embargo antes de realizar dicha operación, el consejo directivo realizó una encuesta con la que determinó que por cada incremento de $50.00 podrían perder a 15 socios. Calcule cuál será el comportamiento del ingreso del club al incrementar en $50.00 la cuota mensual”. La solución es la siguiente: Si se considera determinar el ingreso mensual en función de la cuota (precio) que paga cada socio, se tiene las siguientes variables: x = nueva cuota y = número de socios y1 = número de socios antes del incremento en la cuota y2 = número de socios después del incremento en la cuota El número de socios nuevos es:

y = y1 – y2 = 2300 – (8x – 3200) = 5500 – 8x Finalmente, tomando en cuenta la función general de ingreso: I(x) = xp Se tiene que para este caso:

I(x) = (cuota por mes)(número de socios) I(x) = xy

I(x) = x(5500 – 8x)

Costo: la función de costo total se define como

Veamos la animación de la siguiente pantalla y su procedimiento.

Da clic en la pestaña de ejemplo y posteriormente en la de  solución para que veas cómo se resuelve.

 

Mediante una actividad interactiva, se muestra un ejemplo del tema de costo. El planteamientoes:” Una maquiladora de pantalones de mezclilla, ha calculado que sus costos fijos mensualesson de $125,000.00 y que cada pantalón le genera un costo de $35.00, determine, el costototal de fabricación en el siguiente mes si se van a elaborar 1500 pantalones de mezclilla.¿Qué hacer?”. En el planteamiento se inserta una figura que muestra un pantalón, haciendoreferencia al planteamiento del problema del ejemplo, que trata sobre una maquiladora depantalones de mezclilla.La solución es:Lo primero que se deberá determinar es la función de costo total:La solución es la siguiente:C(x) = ax + Cf. Se muestra una figura que ilustra la función de costo total, e indica que elvalor de “a” (el costo e elaboración de un pantalón) es de $35, la variable independiente “x”expresa el número de pantalones, y “Cf” representa los costos fijos mensuales, con un valorde $125,000.Sustituyendo en la función de costo total tenemos:C(x)=35x+125000 pesosFinalmente, el costo de producción de 1500 pantalones el siguiente mes será de:C(1500)=35(1500)+125000C(1500)=$177,500 pesos

Otra variante del costo es:

Costo promedio o costo medio: está relacionado con el costo Total C(x) de producción o venta de x artículos o servicios y se obtiene al dividir el costo total de entre el número de Unidades producidas o servicios ofertados:

Donde:

C(x) = Función de costo.x = número de artículos o servicios.

Veamos la animación de la siguiente pantalla y su procedimiento. Da clic en la pestaña de ejemplo y posteriormente en la de  solución para que veas cómo se resuelve.

Utilidad: se obtiene restando los costos de los ingresos:

Ejemplo: Un fabricante de cremas faciales mensualmente tiene costos de producción de $15,000.00 y el costo de fabricación por crema es de $4.50. Si cada crema la vende por mayoreo a las tiendas departamentales en $25.00, determine las utilidades que genera en su empresa la venta de cremas faciales si mensualmente vende en exclusiva 2000 cremas a una cadena de SPA.

Solución: si se sabe que las utilidades están representadas por:

Entonces es necesario determinar tanto la función de ingresos como la de costo total, de ahí que en este caso se tienen los siguientes datos.Para ver esos datos veamos la animación de la siguiente pantalla.

Punto de equilibrio: es el punto en que el importe de las ventas de una empresa es igual al de los costos y gastos que dichas ventas originan.

Consideraciones:

Si el costo total de producción supera a los ingresos que se obtienen por las ventas de los objetos producidos o servicios vendidos, la empresa sufre una pérdida.

Si los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia.

Si los ingresos logrados por las ventas igualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en  el punto de equilibrio o de beneficio cero.

Actividad 3. Funciones 1.Descarga el documento Cuadernillo de ejercicios: Funciones.2.Resuelve el ejercicio 2 “Funciones” que se te presentan. Si tienes dudas consulta al (a la) Facilitador(a). 3.Guarda tu documento como MA_U1_FUN02_XXYZ, en formato Word 97-2003, y envíaselo al (a la) Facilitador(a) a través de la sección de Tareas. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. Funciones

1.2.3. Modelo gráfico del punto de equilibrio.

Actividad 4. Autoevaluación.

Has llegado al final de la unidad, ingresa a la Actividad 4. Autoevaluación, lee las preguntas y selecciona la opción correcta. Para ingresar a la Actividad 4. Autoevaluación: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Matemáticas Administrativas. Se enlistarán las actividades de la unidad, da clic en Actividad 4.

Evidencias de aprendizaje: Aplicación de funciones En las siguientes actividades tendrás que solucionar problemas de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda utilizando las funciones algebraicas que estudiaste en esta Unidad.Realiza lo siguiente:1.Descarga el documento en Word llamado Aplicación de Funciones.2.En ese documento encontrarás dos problemas, los cuales deberás resolver ahí mismo. Apóyate del editor de fórmulas que tienes en tu computadora. 3.Guarda tu trabajo como MA_U1_EV_XXYZ, en formato Word 97-2003, y colócalo en el Portafolio de evidencias para que el (la) Facilitador(a) lo revise y te retroalimente. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. EVIDENCIA

Gráficamente, el punto de equilibrio es el que está representado por la intersección de las rectas que representan a la función de costos e ingresos.

Si I(x) < C(x), entonces la empresa tiene pérdidas. Si I(x) = C(x) la empresa no gana ni pierde, está en el punto de equilibrio. Si I(x) > C(x) la empresa tiene ganancias.

En esta unidad analizaste los tipos de funciones, y las operaciones que puede haber entre ellas.El estudio de estas expresiones algebraicas permitirá dar solución práctica a los diversos problemas que se presentan en el área económico-administrativa a través del análisis de situaciones de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda y mediante el uso de los diferentes tipos de funciones y modelos gráficos.

UNIDAD 2

En la unidad anterior viste el concepto de función y algunos de los diferentes tipos, así como su aplicación para describir el comportamiento de las diversas situaciones que se presentan dentro del área económico-administrativa, tales como ingresos, costos, utilidades y punto de equilibrio.

En el presente tema estudiarás el concepto de límite y cómo describe de forma precisa el comportamiento de una función cuando los valores de la variable independiente están muy próximos, aunque nunca igual, a un valor constante y su utilidad en los procesos económico-administrativos tales como rendimiento y producción máxima; así mismo, determinarás cuando una función es continua y su aplicación en procesos productivos y su impacto en los costos de producción.

En esta unidad:

•Identificarás los elementos del álgebra de límites y teórico práctico de la continuidad de una función.

•Aplicarás los elementos del álgebra de límites para determinar el alcance de un proceso desde el punto de vista económico-administrativo.

•Calcularás la continuidad de una función en relación a los puntos en los que el proceso de producción presenta una tendencia diferente de costos.

Determina el comportamiento de una función de acuerdo a los límites de la misma para conocer su impacto en los procesos económico-administrativos, mediante la aplicación de los teoremas de límites de una función y su relación con funciones continuas y discontinuas.

2.1. Álgebra de límites

Con el álgebra de límites podemos aproximarnos a un valor ya sea un número cualquiera o el infinito de manera exacta. Así podríamos decir que el límite de una función describe el comportamiento de una función f(x) conforme la variable independiente se aproxima a un valor CONSTANTE

Conclusión

Como pudiste observar, conforme x se acerca a 1 la función es igual a ± 20000, dependiendo de si se va

acercando por la derecha o por la izquierda a 1, es decir:

En conclusión, tenemos que:

Cuando f(x) se acerca cada vez más a un número Límite (C), conforme x se aproxima a un valor constante “a” por cualquier lado, entonces C será el límite de la función y se escribe:

Operación para determinar los límites de una función

Solución: Desarrollo

En la presente fórmula de álgebra de límites podemos observar que al evaluar el límite de una función sea f(x), g(x), o cualquiera, se tiene que sustituir en dicha función el valor del número hacia el cual tiende x y el resultado

será siempre un número constante.

En esta segunda fórmula observamos que al sumar o restar dos funciones evaluadas en el valor hacia el cual tiende x, podemos obtener de manera independiente el resultado de cada función al sustituir el valor de x en cada una y finalmente sumar o restar ambos resultados según sea el caso.

Para este caso, tenemos que al multiplicar dos funciones evaluadas en el valor hacia el cual tiende x, podemos obtener de manera independiente el resultado de cada función al sustituir el valor de x en cada una y finalmente

multiplicar ambos resultados.

En la siguiente fórmula, tenemos que al dividir dos funciones evaluadas en el valor hacia el cual tiende x, podemos obtener de manera independiente el resultado de cada función al sustituir el valor de x en cada una y

finalmente dividir ambos resultados.

En esta fórmula, el valor hacia el cual tiende x se sustituye en la función y posteriormente se evaluará la potencia a

la que está elevada la función.

En ésta última fórmula de igual manera sustituyes el valor de x en la función y posteriormente calculas la raíz n-

sima a la que está elevada x.

CONCLUSIÓN:

El evaluar un límite de una función es tan simple como sustituir el valor hacia el cual tiende x en la función.

El aplicar el álgebra de límites es únicamente aplicar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, raíz n-sima y elevar a una potencia en los resultados obtenidos de las funciones a las que ya se les ha sustituido el valor límite.

2.1.1. Límites de una función y sus propiedades

Límite de una función constante

Si se tiene una función constante f(x) = C, el límite de la función cuando x tienda a un valor “a”, será siempre C,

esto es:

Ejemplo: determina el límite de la función: f(x) = 10, cuando x → 8.

Solución: siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:

Límite de una función idéntica

Si se considera la función idéntica f(x) = x, cuando x tiende a un valor “a”, su límite será siempre el valor

constante “a”, es decir:

Ejemplo: determina el límite de la función: f(x) = x, cuando x → 3.

Solución: siguiendo el razonamiento de la fórmula general anterior, se tiene que:

2 .1.2. Límites de una función cuando la variable tiende al infinito

Cuando x → ∞, el valor de la función puede crecer o decrecer indefinidamente, sin embargo existen casos en los que la función adquiere valores reales. A continuación veremos un ejemplo para el cálculo de límite de una función cuando la variable independiente tiende al infinito.

Ejemplo. ¿Cuál será el límite de ?

Solución: al aplicar el limite infinito en la función, se tiene que:

En el siguiente documento te presentamos dos ejemplos de los límites de una función cuando la variable tiende al infinito, descarga el documento para que lo revises.

Actividad 1: Maximización de costo promedio Para que practiques y refuerces tus conocimientos de este tema, realiza el siguiente ejercicio.

1.Descarga el archivo Cuadernillo de ejercicios: Los límites y aplicación en funciones.2.Resuelve el ejercicio 1 Maximización de costo promedio. En el documento encontrarás un formulario y un ejemplo que te podrán orientar para elaborar el Ejercicio. Lee con mucha atención el planteamiento que se te proporciona. 3.Guarda tu documento como MA_U2_CP01_XXYZ, en formato Word 97-2003, y envíalo a tu Facilitador(a) a través de la sección de Tareas. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. LIMITES DE APLICACIÒN Actividad 2. Foro: Maximización de costo promedio Ingresa al Foro: Maximización de costo promedio y responde a la siguiente pregunta: ¿Qué elementos consideraste para resolver el problema de “Maximización de costo promedio”? Revisa las participaciones de tus compañeros(as) y opina acerca de ellas. Consulta la rúbrica de Foro. Recuerda que todas las actividades son consideradas en tu promedio final.

2.2. Funciones continuas y discontinuas

¿A qué nos referimos con las funciones continuas y discontinuas?

2.2.1. Conceptos relacionados a la continuidad y discontinuidad en una función

Al realizar el cálculo de límites de una función, no siempre el límite coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se aproxima la variable independiente, esto es fácil de detectar al graficar la función en los valores cercanos al límite, ya que la gráfica de la función se puede cortar o tener una interrupción en algún punto cercano al límite. Observa el ejemplo de la siguiente pantalla.

Como pudiste observar en la animación, la continuidad y discontinuidad en una función dependerá  del corte que se le haga a la línea o no.

Así se tienen tres condiciones que nos permiten descubrir si una función es continua o discontinua:

¿A qué nos referimos con las funciones continuas y discontinuas?

2.2.1. Conceptos relacionados a la continuidad y discontinuidad en una función

Al realizar el cálculo de límites de una función, no siempre el límite coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se aproxima la variable independiente, esto es fácil de detectar al graficar la función en los valores cercanos al límite, ya que la gráfica de la función se puede cortar o tener una interrupción en algún punto cercano al límite. Observa el ejemplo de la siguiente pantalla.

Como pudiste observar en la animación, la continuidad y discontinuidad en una función dependerá  del corte que se le haga a la línea o no.

Así se tienen tres condiciones que nos permiten descubrir si una función es continua o discontinua: