matematicas

DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO CURRICULAR

PROPUESTA DE PROGRAMAS DE ESTUDIOPARA LA ARTICULACIÓN DE LA EDUCACIÓN BÁSICA

ASIGNATURAMATEMÁTICAS(1º - 6º grados)

Versión Preliminar

ÍNDICE

Introducción

1. Fundamentos

2. Propósitos

3. Enfoque

4. Orientaciones generales

5. Propuesta curricular

Versión Preliminar

INTRODUCCIÓN

La Secretaría de Educación Pública editará el Plan de Estudios para la Educación Primaria 2009 y los programas correspondientes a las asignaturas que lo conforman, con el propósito de que los maestros y directivos conozcan sus componentes fundamentales, articulen acciones colegiadas para impulsar el desarrollo curricular en sus escuelas, mejoren sus prácticas docentes y contribuyan a que los alumnos ejerzan efectivamente el derecho a una educación básica de calidad.

Durante más de 15 años la educación primaria se ha beneficiado de una reforma curricular que puso el énfasis en el desarrollo de habilidades y competencias básicas para seguir aprendiendo; impulsó programas para apoyar la actualización de los maestros; realizó acciones de mejoramiento de la gestión escolar y del equipamiento audiovisual y bibliográfico. Sin embargo, estas acciones no han sido suficientes para superar los retos que implica elevar la calidad de los aprendizajes, así como atender con equidad a los alumnos durante su permanencia en la escuela y asegurar el logro de los propósitos formativos plasmados en el currículo nacional.

Con base en el artículo tercero constitucional y en cumplimiento de las atribuciones que le otorga la Ley General de Educación, la Secretaría de Educación Pública plasmó en el Programa Sectorial de Educación 2007-2012, el objetivo de “Elevar la calidad de la educación para que los estudiantes mejoren su nivel de logro educativo, cuenten con medios para tener acceso a un mayor bienestar y contribuyen al desarrollo nacional”. En el mismo documento se establece que “Uno de los criterios de mejora de la calidad es la actualización de programas de estudio y sus contenidos, los enfoques pedagógicos, métodos de enseñanza y recursos didácticos”. En este marco, la Subsecretaría de Educación Básica impulsa la Reforma Integral de la Educación Básica con miras a lograr la articulación curricular entre los niveles de preescolar, primaria y secundaria.

Para llevar a cabo la renovación del currículo para la educación primaria, cuyo resultado se presentará en el Plan y en los Programas de Estudio 2009, se impulsarán diversos mecanismos que promuevan la participación de maestros y directivos de las escuelas primarias de todo el país, de equipos técnicos estatales responsables de coordinar el nivel, de los Consejos consultivos interinstitucionales y de otros especialistas en los contenidos de las diversas asignaturas que conforman el plan de estudios. En este proceso se espera contar con el apoyo y compromiso decidido de las autoridades educativas estatales.

Con el propósito de recabar información sobre la pertinencia de los contenidos y de los enfoques para su enseñanza, de los apoyos que requieren los maestros para desarrollar los programas, así como de las implicaciones que tiene aplicar una nueva propuesta curricular en la organización de las escuelas, durante el ciclo 2008-2009 se desarrollará en 5000 escuelas primarias de distintas características, la Primera Etapa de Implementación (PEI) del nuevo currículo. Los resultados del seguimiento a esa experiencia permitirán atender con mejores recursos la generalización de la reforma curricular a todas las escuelas primarias del país.

La Secretaría de Educación Pública reconoce que el currículo es básico en la transformación de la escuela; sin embargo, reconoce también que la emisión de un nuevo plan y programas de estudio es únicamente el primer paso para avanzar hacia la calidad de los servicios. Por ello, en coordinación con las autoridades educativas estatales, la Secretaría brindará los apoyos necesarios a fin de que los planteles, así como los profesores y directivos, cuenten con los recursos y condiciones necesarias para realizar la tarea que tienen encomendada y que constituye la razón de ser de la educación básica: asegurar que los jóvenes logren y consoliden las competencias básicas para actuar de manera responsable consigo mismos, con la naturaleza y con la comunidad de la que forman parte, y que participen activamente en la construcción de una sociedad más justa, más libre y democrática.

Versión Preliminar

1. FUNDAMENTOS

Mediante el estudio de las matemáticas se busca que los niños y jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que les permita expresar matemáticamente situaciones que se presentan en diversos entornos socioculturales, así como utilizar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas; al mismo tiempo, se busca que asuman una actitud positiva hacia el estudio de esta disciplina y de colaboración y crítica, tanto en el ámbito social y cultural en que se desempeñen como en otros diferentes.

Para lograr lo anterior, la escuela deberá brindar las condiciones que hagan posible una actividad matemática verdaderamente autónoma y flexible, esto es, deberá propiciar un ambiente en el que los alumnos formulen y validen conjeturas, se planteen preguntas, utilicen procedimientos propios y adquieran las herramientas y los conocimientos matemáticos socialmente establecidos, a la vez que comunican, analizan e interpretan ideas y procedimientos de resolución.

La actitud positiva hacia las matemáticas consiste en despertar y desarrollar en los alumnos la curiosidad y el interés por emprender procesos de búsqueda para resolver problemas, la creatividad para formular conjeturas, la flexibilidad para utilizar distintos recursos y la autonomía intelectual para enfrentarse a situaciones desconocidas; asimismo, consiste en asumir una postura de confianza en su capacidad de aprender.

La participación colaborativa y crítica resultará de la organización de actividades escolares colectivas en las que se requiera que los alumnos formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de enunciados matemáticos, poniendo en práctica tanto las reglas matemáticas como socioculturales del debate, que los lleven a tomar las decisiones más adecuadas a cada situación.

Los contenidos que se estudian en la educación primaria se han organizado en tres ejes temáticos, que coinciden con los de secundaria: Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida y Manejo de la información.

Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del estudio de la aritmética y del álgebra: por un lado, encontrar el sentido del lenguaje matemático, ya sea oral o escrito; por otro, tender un puente entre la aritmética y el álgebra, en el entendido de que hay contenidos de álgebra en la primaria, como el estudio de patrones y fórmulas, que se profundizan y consolidan en la secundaria.

Forma, espacio y medida encierra los tres aspectos esenciales alrededor de los cuales gira el estudio de la geometría y la medición en la educación básica. Es claro que no todo lo que se mide tiene que ver con formas o espacio, pero sí la mayor parte; puesto que las formas se trazan o se construyen, se analizan sus propiedades y se miden.

Manejo de la información tiene un significado muy amplio. En estos programas se ha considerado que la información puede provenir de situaciones deterministas, definidas —por ejemplo, por una función lineal—, o aleatorias, en las que se puede identificar una tendencia a partir de su representación gráfica o tabular. El subtema relaciones de proporcionalidad se ha incluido en este eje por dos razones, la primera es que el razonamiento proporcional es una herramienta fundamental para interpretar y comunicar información. La segunda, darle a este eje un peso similar, en cuanto a la cantidad de contenidos, de los otros dos.

Versión Preliminar

La vinculación entre contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los de otras asignaturas es un asunto de suma importancia, puesto que la tendencia generalizada en la enseñanza ha sido la fragmentación o la adquisición del conocimiento en pequeñas dosis, lo que deja a los alumnos sin posibilidades de establecer conexiones o de ampliar los alcances de un mismo concepto.

En estos programas, la vinculación se favorece mediante la organización en bloques temáticos que incluyen contenidos de los tres ejes. Algunos vínculos ya se sugieren en las orientaciones didácticas y otros quedan a cargo de los profesores o de los autores de materiales de desarrollo curricular, tales como libros de texto o ficheros de actividades didácticas.

Un elemento más que atiende la vinculación de contenidos es el denominado Aprendizajes esperados, que se presenta al principio de cada bloque y donde se señalan, de modo sintético, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como resultado del estudio del bloque en cuestión.

Aunque una parte de la responsabilidad de los profesores de primaria es que los alumnos aprendan matemáticas, este aprendizaje será más significativo en la medida en que se vincule con otras áreas de conocimiento. Por ejemplo: el estudio de la medida, que aparece en estos programas, seguramente se vincula con aspectos que se estudian en ciencias, geografía o educación física.

Cabe señalar que los conocimientos y habilidades en cada bloque se han organizado de tal manera que los alumnos vayan teniendo acceso gradualmente a contenidos cada vez más complejos y a la vez puedan establecer conexiones entre lo que ya saben y lo que están por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criterios igualmente válidos para establecer la secuenciación y, por lo tanto, no se trata de un orden rígido.

Versión Preliminar

2. PROPÓSITOS

En esta fase de su educación, como resultado del estudio de los contenidos agrupados en el eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraico, se espera que los alumnos conozcan y sepan usar las propiedades del sistema decimal de numeración para interpretar o expresar cantidades en distintas formas. Asimismo, se espera que sepan usar de manera flexible el cálculo mental, la estimación o las operaciones escritas con números naturales, fraccionarios o decimales, para resolver problemas aditivos o multiplicativos, en el caso de éstos últimos, queda fuera de este nivel el estudio de la multiplicación y división con números fraccionarios.

Como resultado de los contenidos incluidos en el eje Forma, espacio y medida, se espera que los alumnos conozcan las propiedades básicas de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, prismas y pirámides; que puedan usar e interpretar diversos códigos para ubicar lugares; que sepan calcular perímetros, áreas o volúmenes en contextos reales y expresar medidas en distintos tipos de unidad.

En cuanto al eje Manejo de la información se espera que los alumnos sepan interpretar información presentada en gráficas de barras o circulares; que identifiquen y sepan calcular la media, mediana y moda de conjuntos de datos no agrupados; que sepan resolver problemas sencillos de conteo; que identifiquen conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente y que sepan calcular valores faltantes y porcentajes en diversos contextos. Asimismo, deberán saber reconocer experimentos aleatorios comunes, sus espacios muestrales y una idea intuitiva de su probabilidad.

Los propósitos enunciados anteriormente hacen referencia a los conocimientos y habilidades fundamentales que deberán lograr los alumnos al término de la educación primaria. Pero además, el estudio de las matemáticas es un campo propicio para que los alumnos aprendan a resolver problemas y a validar, con autonomía, los procedimientos y resultados que encuentran; a utilizar el razonamiento para emitir juicios y tomar decisiones; a comunicarse y formular modelos mediante el lenguaje matemático. Estas características del quehacer matemático no se dan de manera espontánea, son el resultado de una forma particular de gestionar la clase y por tanto su logro recae bajo la responsabilidad del maestro.

Versión Preliminar

3. ENFOQUE

La formación matemática que le permita a cada miembro de la comunidad enfrentar y responder a determinados problemas de la vida moderna dependerá, en gran parte, de los conocimientos adquiridos y de las habilidades y actitudes desarrolladas durante la educación básica. La experiencia que vivan los niños y jóvenes al estudiar matemáticas en la escuela, puede traer como consecuencias: el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los resultados o la supeditación de éstos al criterio del maestro.

El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que sustentan los programas para la educación primaria consiste en llevar a las aulas actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados.

El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar, de manera flexible, para solucionar problemas. De ahí que su construcción amerite procesos de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en términos de lenguaje, como de representaciones y procedimientos. La actividad intelectual fundamental en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización. Sin embargo, esto no significa que los ejercicios de práctica o guardar en la memoria ciertos datos como las sumas que dan diez o los productos de dos dígitos queden prohibidos, al contrario, estas fases de los procesos de estudio son necesarias para que los alumnos puedan invertir en problemas más complejos, sólo hay que garantizar que en caso de olvido dispongan de alternativas.

Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos años dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio, entendido como la situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos para construir nuevos conocimientos y superar las dificultades que surgen en el proceso de aprendizaje. Toda situación problemática presenta obstáculos, pero no puede ser tan difícil que parezca imposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe ser construida, en el entendido de que existen diversas estrategias posibles y hay que usar al menos una. Para resolver la situación, el alumno debe usar los conocimientos previos, mismos que le permiten entrar en la situación, pero el desafío se encuentra en reestructurar algo que ya sabe, sea para modificarlo, para ampliarlo, para rechazarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación.

Versión Preliminar

4. ORIENTACIONES GENERALES

A partir de esta propuesta, tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el maestro busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces.

Seguramente el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas, con base en actividades de estudio cuidadosamente diseñadas, resultará extraño para muchos maestros compenetrados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin embargo, vale la pena intentarlo, pues abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente del salón de clases: los alumnos piensan, comentan, discuten con interés y aprenden, y el maestro revalora su trabajo docente. Este escenario no se halla exento de contrariedades y para llegar a él hay que estar dispuesto a afrontar problemas como los siguientes:

a) La resistencia de los alumnos a buscar por su cuenta la manera de resolver los problemas que se les plantean. Aunque habrá desconcierto al principio, tanto de los alumnos como del maestro, vale la pena insistir en que sean los estudiantes quienes encuentren las soluciones. Pronto se empezará a notar un ambiente distinto en el salón de clases, esto es, los alumnos compartirán sus ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se expresarán con libertad y no habrá duda de que reflexionan en torno al problema que tratan de resolver.

b) La dificultad para leer y por lo tanto para comprender los enunciados de los problemas. Se trata de una situación muy común, cuya solución no corresponde únicamente a la asignatura de Español. Muchas veces los alumnos obtienen resultados diferentes que no por ello son incorrectos, sino que corresponden a una interpretación distinta del problema, de manera que el maestro tendrá que averiguar cómo interpretan los alumnos la información que reciben de manera oral o escrita.

c) El desinterés por trabajar en equipo. El trabajo en equipo es importante, porque ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los demás, porque desarrollan la actitud de colaboración y la habilidad para argumentar; además, de esta manera se facilita la puesta en común de los procedimientos que encuentran. Sin embargo, la actitud para trabajar en equipo debe ser fomentada por el maestro, quien debe insistir en que todos los integrantes asuman la responsabilidad de la tarea que se trata de resolver, no de manera individual sino colectiva. Por ejemplo, si la tarea consiste en resolver un problema, cualquier miembro del equipo debe estar en posibilidad de explicar el procedimiento que se utilizó.

d) La falta de tiempo para concluir las actividades. Muchos maestros comentan que si llevan a cabo el enfoque didáctico en el que se propone que los alumnos resuelvan problemas con sus propios medios, discutan y analicen sus procedimientos y resultados, no les alcanza el tiempo para concluir el programa. Con este argumento, algunos optan por continuar con el esquema tradicional en el que el maestro da la clase mientras los alumnos escuchan, aunque no comprendan. Ante tal situación habrá que convencer que más vale dedicar el tiempo necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado, desarrollen habilidades que les permitan resolver diversos problemas y seguir aprendiendo, que indigestarlos con información, sin sentido, que pronto será olvidada. En la medida en que los alumnos comprendan lo que estudian, los maestros no tendrán que repetir una y otra vez las mismas explicaciones y esto se traducirá en mayores niveles de logro educativo.

e) Espacios insuficientes para compartir experiencias. Al mismo tiempo que los profesores asumen su responsabilidad, la escuela en su conjunto debe cumplir la suya: brindar una educación de calidad a todo el alumnado. Esto significa que no basta con que un maestro o una maestra propongan a sus alumnos problemas interesantes para que reflexionen, sino que la escuela toda debe abrir oportunidades de aprendizaje significativo. Para ello será de gran ayuda que los profesores compartan experiencias, pues, exitosas o no, hablar de ellas y escucharlas les permitirá mejorar permanentemente su trabajo.

Versión Preliminar

Planificación del trabajo diario

Una de las tareas fundamentales de los docentes, que ayuda a garantizar la eficiencia del proceso de estudio, enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas es la planificación de actividades de estudio, pues ésta permite formular expectativas en torno a la eficacia de las actividades que se plantean, sobre el pensamiento matemático de los alumnos y sobre la gestión de la clase por parte del profesor. Estos tres elementos: actividad de estudio, pensamiento matemático de los alumnos y gestión constituyen los tres pilares mediante los cuales se puede generar un verdadero ambiente de aprendizaje en el aula, lo que significa que tanto los alumnos como el profesor encuentren sentido a las actividades que realizan conjuntamente.

La planificación del trabajo diario que aquí se sugiere no implica dejar al profesor la responsabilidad de elaborar los planes de clase diarios, pero sí la de analizarlos, estudiarlos, hacer las modificaciones que se crean pertinentes y evaluarlos, con la intención de que se puedan mejorar. En resumen, se trata de sustituir la planificación de carácter administrativo por una planificación que sea útil durante el encuentro con los alumnos.

Las características de un plan de clase funcional, de acuerdo con el enfoque de esta propuesta curricular, son las siguientes:

• Que sea útil, esto es, que indique con la mayor claridad posible el reto que se va a plantear a los alumnos, lo que se espera de éstos en términos de recursos a utilizar y algunas previsiones que aporten elementos para la gestión de la clase.

• Que sea conciso, es decir, que contenga únicamente los elementos clave que requiere el profesor para guiar el desarrollo de la clase.

• Que permita mejorar el desempeño docente: la planificación del trabajo diario es una tarea de largo aliento, cuya elaboración implica mucho tiempo y esfuerzo pero no es para usarse una sola vez. Cada actividad que se plantea, en condiciones muy particulares, amerita un comentario escrito por parte del maestro, con miras a mejorar la actividad o la gestión de la misma, antes de ser aplicada en otro ciclo escolar. De esta manera los profesores podrán contar en el mediano y largo plazo con actividades para el trabajo diario suficientemente probadas y evaluadas. A continuación se presenta un ejemplo de Plan de clase, que intenta cubrir las características señaladas.

Evaluación del desempeño de los alumnos

Sin duda uno de los componentes del proceso educativo que contribuye de manera importante para lograr mejor calidad en los aprendizajes de los alumnos es el que se refiere a la evaluación. Al margen de las evaluaciones externas que se aplican en las escuelas del país, cuya finalidad es recabar información sobre el sistema educativo nacional o estatal, los profesores frente a grupo tienen la responsabilidad de saber en todo momento del curso escolar qué saben hacer sus alumnos, qué no y qué están en proceso de aprender. Para obtener tal información cuentan con una gran variedad de recursos, como registros breves de observación, cuadernos de trabajo de los alumnos, listas de control o las pruebas.

La evaluación que se plantea en este currículum combina dos aspectos que son complementarios. El primero se refiere a qué tanto saben hacer los alumnos y en qué medida aplican lo que saben, en estrecha relación con los contenidos matemáticos que se estudian en cada grado. Para apoyar a los profesores en este aspecto se han definido los aprendizajes esperados en cada bloque temático. En ellos se sintetizan los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben aprender al estudiar cada bloque.

Es evidente que los aprendizajes esperados no corresponden uno a uno con los apartados de conocimientos y habilidades del bloque, en primer lugar porque éstos no son ajenos entre sí, es posible y deseable establecer vínculos entre ellos para darle mayor significado a los aprendizajes, algunos de esos vínculos ya están señalados en la columna de orientaciones didácticas.

Versión Preliminar

En segundo lugar, porque los apartados constituyen procesos de estudio que en algunos casos trascienden los bloques e incluso los grados, mientras que los aprendizajes esperados son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio mencionados. Por ejemplo, el aprendizaje esperado: “Resolver problemas que impliquen el análisis del valor posicional a partir de la descomposición de números” que se plantea en el bloque 1 de quinto grado, es la culminación de un proceso que se inició en cuarto grado.

Con el segundo aspecto se intenta ir más allá de los aprendizajes esperados y, por lo tanto, de los contenidos que se estudian en cada grado; se trata de lo que algunos autores llaman competencias matemáticas, cuyo desarrollo deriva en conducirse competentemente en la aplicación de las matemáticas o en ser competente en matemáticas. Como este currículum se centra en apoyar la práctica docente y en evitar planteamientos que puedan confundir, se hace referencia a sólo cuatro competencias que tienen características claras y pueden distinguirse entre sí: el planteamiento y la resolución de problemas, la argumentación, la comunicación y el manejo de técnicas. A continuación se describe cada una de ellas.

• Planteamiento y resolución de problemas. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones. Por ejemplo, problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que son los alumnos quienes plantean las preguntas. Se trata también de que los alumnos sean capaces de resolver un problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución.

• Argumentación. Cuando el profesor logra que sus alumnos asuman la responsabilidad de buscar al menos una manera de resolver cada problema que plantea, junto con ello crea las condiciones para que dichos alumnos vean la necesidad de formular argumentos que les den sustento al procedimiento y/o solución encontrados, con base en las reglas del debate matemático. Dichos argumentos pueden ubicarse, según las investigaciones que se han consultado, en tres niveles de complejidad y corresponden a tres finalidades distintas: para explicar, para mostrar o justificar informalmente o para demostrar.

Los argumentos del primer tipo son utilizados por un emisor, convencido de la veracidad de una proposición o de un resultado, para hacerla entender a uno o más interlocutores. La explicación puede ser discutida, refutada o aceptada.

Una explicación que es aceptada en un grupo dado y en un momento dado se considera consensuada (mostrada), con la condición de que ésta se apoye en criterios comunes para todos los interlocutores.

Una demostración matemática se organiza mediante una secuencia de enunciados reconocidos como verdaderos o que se pueden deducir de otros, con base en un conjunto de reglas bien definido.

Puesto que los alumnos de primaria no están en posibilidad de hacer demostraciones, por sencillas que sean, el énfasis de la argumentación se pondrá en la explicación y la muestra.

• Comunicación. Comprende la posibilidad de expresar y representar información matemática contenida en una situación o de un fenómeno, así como la de interpretarla. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación; que se establezcan relaciones entre estas representaciones; que se expongan con claridad las ideas matemáticas encontradas; que se deduzca la información derivada de las representaciones y se infieran propiedades, características o tendencias de la situación o del fenómeno representados.

• Manejo de técnicas. Esta competencia se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, con el apoyo de tecnología o sin él. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera óptima y quienes alcanzan una solución deficiente. Esta competencia no se limita a hacer un uso mecánico de las operaciones aritméticas; apunta principalmente al desarrollo del significado y uso de los números y de las operaciones, que se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema; en la utilización del cálculo mental y la estimación, en el empleo de procedimientos abreviados o atajos a

Versión Preliminar

partir de las operaciones que se requieren en un problema y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los alumnos la sometan a prueba en muchos problemas distintos. Así adquirirán confianza en ella y la podrán adaptar a nuevos problemas.

La metodología didáctica que acompaña los programas de Matemáticas está orientada al desarrollo de estas competencias y por eso exige superar la postura tradicional que consiste en “dar la clase”, explicando paso a paso lo que los alumnos deben hacer y preocupándose por simplificarles el camino que por sí solos deben encontrar. Con el fin de ir más allá de la caracterización de las competencias y tener más elementos para describir el avance de los alumnos en cada una de ellas, a continuación se establecen algunas líneas de progreso que definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar.

De resolver con ayuda a resolver de manera autónoma. La mayoría de los profesores de nivel básico estará de acuerdo en que, cuando los alumnos resuelven problemas, hay una tendencia muy fuerte a recurrir al maestro, incluso en varias ocasiones, para saber si el procedimiento que siguen es correcto. Resolver de manera autónoma implica que los alumnos se hagan cargo del proceso de principio a fin, considerando que el fin no es sólo encontrar un resultado, sino comprobar que es correcto, tanto en el ámbito de los cálculos como en el de la solución real, en caso de que se requiera.

De los procedimientos informales a los procedimientos expertos. Un principio fundamental que subyace en la resolución de problemas tiene que ver con el hecho de que los alumnos utilicen sus conocimientos previos, con la posibilidad de que éstos evolucionen poco a poco ante la necesidad de resolver problemas cada vez más complejos. Necesariamente, al iniciarse en el estudio de un tema o de un nuevo tipo de problemas, los alumnos usan procedimientos informales y a partir de ese punto es tarea del maestro que dichos procedimientos se sustituyan por otros cada vez más eficaces. Cabe aclarar que el carácter de informal o experto de un procedimiento depende del problema que se trata de resolver; por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo.

De la justificación pragmática a la justificación axiomática. Según la premisa de que los conocimientos y las habilidades se construyen mediante la interacción de los alumnos, con el objeto de conocimiento y con el maestro, un ingrediente importante en este proceso es la validación de los procedimientos y resultados que se encuentran, de manera que otra línea de progreso que se puede apreciar con cierta claridad es pasar de la explicación pragmática “porque así me salió” a los argumentos apoyados en propiedades o axiomas conocidos.

Hay que estar conscientes de que los cambios de actitud no se dan de un día para otro, ni entre los profesores ni entre los alumnos, pero si realmente se quiere obtener mejores logros en los aprendizajes, desarrollar competencias y revalorar el trabajo docente, vale la pena probar y darse la oportunidad de asombrarse ante lo ingenioso de los razonamientos que los alumnos pueden hacer, una vez que asumen que la resolución de un problema está en sus manos.

Versión Preliminar

6. PROPUESTA CURRICULAR

PRIMER GRADOMarzo-2008

BLOQUE I

Versión Preliminar

EJE TEMA SUBTEMA CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o

Significado y uso de los números

Números naturales

1.1 Identificar distintos usos de los números según los contextos en que aparecen: precios, calendarios, ascensores, camiones, etc.

Se tratará de discutir con los niños los diferentes usos de los números que aparecen en distintos portadores de la vida cotidiana. Por ejemplo, en relación con otras disciplinas, al tomar contacto con los libros en las clases de español, se podrá analizar los números de las páginas: ¿Para qué están? ¿Qué indican? ¿Reconocen algunos? También en relación con los libros, el docente podrá plantear la construcción de un libro de números similar a los que formen parte de su biblioteca. Será decisión de los alumnos la distribución de las hojas que le tocan a cada uno, si incluyen o no colecciones, si éstas corresponderán a elementos similares o distintos, si incluyen uno o varios números en cada página y el armado del número.

1.2 Comparar y completar colecciones.

Se trata de determinar si dos colecciones poseen igual número de elementos o bien si una es mayor que la otra; también se incluirán situaciones en las cuáles sea necesario completar una colección para que tenga la misma cantidad de elementos que otra. Las preguntas habituales en estas situaciones pueden ser como las siguientes: ¿alcanzan los sombreros para que cada payaso pueda ponerse uno? ¿Qué hay más: gallinas o pollitos? La forma de presentación de las colecciones es una variable importante de estas tareas. Si se presenta una fila ordenada de sombreros y a su lado en otra línea paralela los payasos, en cierto modo ya apareados (un payaso al lado de un sombrero) el procedimiento más pertinente puede llegar a ser la percepción. Sin embargo si los dibujos que representan a los sombreros y payasos están ubicados desordenadamente en la hoja, será necesario utilizar otros procedimientos: aparearlos por medio de una línea, marcar los elementos que se aparean, contarlos, etc. A lo largo del año se presentarán otras situaciones, como comparar colecciones alejadas espacialmente, no visibles las dos a la vez, esto favorecerá que los niños evolucionen en sus procedimientos y valoren el uso de los números.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

1.3 Determinar el resultado de agregar o quitar elementos de una colección, juntar o separar colecciones, buscar lo que le falta a una cierta cantidad para llegar a otra y avanzar o retroceder en una serie.

El tratamiento de colecciones que se modifican no involucra el aprendizaje explícito de las operaciones de suma, resta, multiplicación o división, ni de los algoritmos, ni de la memorización de resultados. Estas actividades se constituirán en los puntos de apoyo sobre los cuales se elaborarán los conocimientos numéricos más sistemáticos a los que apunta la enseñanza. Por ejemplo, se pueden plantear problemas como los siguientes: Don Pedro tiene que llevar sus 15 caballos al pueblo, pero en su viejo camión sólo puede llevar 4 caballos por vez. ¿Cuántos viajes tendrá que realizar para poder llevarlos todos? O bien, para hacer los ositos de peluche, María le coloca 2 botones rojos como ojitos y un botón amarillo de nariz. Ya armó 9 ositos (pueden presentarse dibujados), ¿cuántos botones rojos y cuántos amarillos tiene que colocar? Los niños podrán resolver estos problemas dibujando los objetos del contexto del problema, y contando, escribiendo en un principio sólo los números involucrados. Estas actividades son las que les permitirán más adelante, poder imaginarlas sin necesidad de su realización y resolver los problemas utilizando los números y las operaciones aritméticas.El docente fomentará la comprensión y uso de expresiones “tiene tantos como” o “para tener igual necesita tener”, etc.

1.4 Recitar la serie numérica oral, ascendente y descendente de 1 en 1 a partir de un número dado.

Antes de llegar a 1er. grado, con frecuencia los niños ya conocen algunas porciones de la serie numérica. A lo largo del año se tratará de homogeneizar los conocimientos de los niños, y hacerlos avanzar. Es un conocimiento muy útil para seguir aprendiendo sobre los números, como se verá en otros apartados de este programa. Se le pueden dedicar algunos minutos al inicio de cada clase y utilizar canciones con números; algunas de ellas permiten empezar a identificar el nombre de cada número, que en un recitado oral pueden aparecer confundidos. Por ejemplo, “Un elefante se columpiaba sobre la tela de una araña, como veía que resistía fue a buscar a otro elefante. Dos elefantes se columpiaban sobre la tela de una araña, como veían que resistía fueron a buscar a otro elefante. Tres elefantes, etc… Esta canción puede ser cantada en el patio, mientras los niños arman rondas del número de personas que indica la canción: primero solos, luego de a dos, etc.En un primer momento se podrá plantear la serie hasta 30 y a lo largo del año se la ampliará hasta 100, al menos.

Paralelamente a la resolución de problemas y al conocimiento de la serie oral, se planteará el trabajo con la serie escrita, menos conocida en general por los niños que llegan a 1er grado.Se podrán retomar los números de objetos de la vida cotidiana de los alumnos como Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma

Cuerpos

1.6 Explorar, construir (con masa o plastilina) y describir cuerpos para determinar algunas de sus características.

En relación con ciencias sociales o naturales, distinguir entre liso, rugoso, plano, curvo, hueco, macizo.Manipular para dejar plano, por ejemplo, un sector del arenero.Construir con masa o plastilina cuerpos a elección de los niños. No hay que sorprenderse si hacen iglesias, barcos, aviones, etc. La idea es empezar a manipular el material, y yuxtaponer sólidos para obtener algo que se busca.Lo mismo con otros materiales (cajas, piezas de ensamble, mecano, etc.).Juegos de identificación a través de la descripción. Por ejemplo todos los cuerpos producidos están sobre una mesa, y se organiza la clase en una actividad de comunicación: hay equipos de alumnos divididos en dos grupos; uno de los grupos elige un cuerpo sin señalarlo y oralmente caracteriza su forma (entendiendo por ello la forma predominante que se puede distinguir) para que el otro grupo, que es su compañero, identifique el cuerpo. Gana el equipo que más cuerpos identifica.No se espera el uso de vocabulario específico, se aceptarán descripciones que van desde “es como una rueda” a “parece un ladrillo” o “es como una pirámide”.

1.7.Agrupar y representar cuerpos

Presentar cuerpos variados (traídos por los alumnos) y algunos cuerpos “clásicos” hechos en madera, cartón, plástico, etc. Se trata de que cada alumno ubique uno de los cuerpos junto a algún “clásico” y explique por qué lo pondría allí. Es de esperar que surjan diferentes criterios (“sirve para”, “es también de madera”, etc.), si ninguno está vinculado a las propiedades que el docente busca, él arma un agrupamiento y pide que descubran el criterio. Se dice agrupar en vez de clasificar porque una clasificación de la colección implicaría establecer clases disjuntas, que no haya clases vacías y que la reunión de todas las clases dé la colección completa. Estas condiciones se exigirán más adelante.Proponer juegos de identificación para representar gráficamente cuerpos en el plano. Se puede organizar la clase en equipos de 4 a 6 niños, y a su vez cada uno en dos grupos. Así, colocados los cuerpos sobre una mesa, uno de los grupos acuerda “elegir” sin que los escuchen, un objeto, y deben dar al otro grupo (de su mismo equipo) un dibujo del mismo que permita identificarlo. Luego se intercambian los roles en los grupos. La organización en equipos y grupos es para favorecer la cooperación, el éxito en la identificación es del equipo. La actividad se relaciona entonces con el subtema “Representación”, del tema “Espacio”. Conviene prever un espacio de intercambio entre los grupos de un mismo equipo para ver qué pasó, tanto si tuvieron éxito como si fracasaron en la identificación.

Dado un cierto número de figuras recortadas (varios ejemplares de una misma figura, o varios ejemplares de figuras diferentes) explorar la diversidad de formas que se Versión Preliminar


Fo

rma,

Esp

acio

y M

edid

a

Espacio Representación

1.9 Representar posiciones con el propio cuerpo

A partir de una fotografía o dibujo de un niño, los alumnos deben adoptar las posiciones del niño de la imagen. Y a la inversa, adoptada una posición, representarla para comunicar a otros. Por ejemplo, me paro sobre el pie derecho, levanto la mano izquierda, me apoyo de espaldas contra una pared, etc.Dado un dibujo de un muñeco, disponer un muñeco articulado en la posición que indica el dibujo.

1.10 Representar posiciones del sujeto con objetos de su entorno.

A partir de un dibujo o una fotografía, armar la escena que corresponde. Por ejemplo, a partir de la imagen de la sala de clase en la que aparece una disposición de mesas y alumnos, se les pide a los niños que la adopten, realizando las acciones que consideren necesarias. Y a la inversa, dada una escena real, cuál entre varias fotografías (o dibujos) es la que corresponde.La fotografía o el dibujo permiten a los alumnos ubicarse entre objetos, relativizar sus propias posiciones y sus propios puntos de vista. Un objeto deja de ser grande o pequeño como atributo de sí mismo.

Medida Conceptualización

1.11 Comparar por tanteo el peso de pares de objetos.

Dados dos objetos de pesos obviamente diferentes, determinar cuál pesa más por tanteo. Con esos mismos objetos, experimentar qué sucede al colocar cada uno de ellos en una báscula de platillos u otra. La idea aquí es “leer” la báscula, ver cómo se manifiesta en ese instrumento cuál de los objetos es más pesado. Dados dos objetos de pesos similares, donde hay duda sobre cuál pesa más, recurrir a una báscula para decidir.

1.12 Distinguir el peso del tamaño de los objetos

Experimentar con objetos de diferente tamaño e igual peso, u objetos tales que uno sea más pequeño que el otro y sea mucho más pesado.

1.13 Desarrollar la noción de tiempo mediante el establecimiento de relaciones temporales

En vinculación con lengua, describir hechos y destacar las relaciones temporales, por ejemplo: fuimos al parque, pero antes preparamos la bolsita de la merienda, y después…

Versión Preliminar


Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión

Análisis de la información

Búsqueda y organización de la información

1.14 Identificar atributos de objetos y colecciones

Identificar objetos (que pueden ser matemáticos o no) a partir de sus características, relacionar unos con otros, organizar clases de elementos que posean las mismas características ayuda a estudiar y organizar la realidad. Por ejemplo, identificar una casita entre varias, a partir de conocer la forma y color de su techo, puerta, ventanas y chimenea.En relación a las colecciones será importante plantear tanto actividades de clasificación, es decir de organizar una colección a partir de los distintos valores de un atributo, por ejemplo color, como de reconocer cuál ha sido el atributo que fue utilizado para realizar una clasificación, y de determinar si un elemento pertenece o no a una clase determinada.

Representación de la información

Diagramas-Tablas

1.15 Leer o registrar información contenida en imágenes

Se pretende que los alumnos, frente a la información disponible, aprendan a seleccionar aquélla que necesiten para responder a la pregunta planteada. Por ejemplo, responder a la pregunta: ¿cuántas funciones da el circo por semana? y ¿cuánto habrá que pagar si va toda la familia? teniendo presente un cartel con los horarios, los días de función y los precios de las entradas al circo.Por otra parte, se presentarán a los alumnos, situaciones en las que tengan que registrar información, por ejemplo en un calendario. Enfrentar a los alumnos a la tarea de registrar o elaborar un registro les plantea la necesidad de discutir qué información seleccionar para representar y los modos de organizarla y registrarla a fin de facilitar su recuperación posterior

BLOQUE II

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico

Significado y uso de los números Números

naturales

2.1 Comparar números desde el punto de vista cardinal y ordinal por lo menos hasta el número 10

El trabajo que previamente se planteaba a nivel de las colecciones aparece ahora con la necesidad de comparar números que representen la cantidad de elementos de las colecciones. Si bien los alumnos pueden recurrir aún a las colecciones para determinar cuál número es mayor. Se podrán organizar juegos con cartas, que en un principio tienen representadas las colecciones y el número correspondiente y luego solamente los números. Los niños irán comprendiendo el poder de los números para determinar cuál colección tiene más elementos aún con colecciones no presentes. La comparación de números permite a la vez ubicar unos con respecto a otros, y ampliar el sentido de expresiones como “mucho o más” hacia expresiones como “más que”, “uno más que”, etc.


Números naturales

2.2 Organizar una colección para determinar su cardinal o para compararla con otras colecciones (organizar en filas, marcado de cada objeto, desplazarlo)

La determinación del número de elementos de una colección exige la consideración de un orden mental que asegure que todos los elementos sean contados y ninguno de ellos lo sea dos veces. Por lo tanto no se tratará de la misma tarea si los objetos se encuentran ya alineados o no, si pueden ser movilizados o no, si se trata de una colección chica (menos de 6 elementos) o grande. Los procedimientos usados también variarán según la situación planteada, desde la percepción para asegurar que hay más elementos en una o en la otra o determinar su cardinal si éste es menor que 6, hasta el conteo, para lo cual si los objetos no pueden ser desplazados, se deberá establecer un orden mentalmente y respetarlo. Se trata de tareas complejas, a las que se dedicarán diversas actividades a lo largo del año junto con momentos de reflexión sobre los distintos procedimientos y su adecuación a la situación. Por otra parte, se buscará hacer avanzar los procedimientos de conteo, por ejemplo, para utilizar el sobreconteo. En un principio si se juntan dos colecciones, para determinar el número de elementos en total, los alumnos necesitan empezar a contar desde 1 cada vez. Las comparaciones y discusiones de los distintos procedimientos y la pregunta del docente: ¿es necesario volver a contar todo otra vez?, puede ayudar a los alumnos a partir de un dato conocido: el número de elementos de una de las colecciones, seguir contando a partir de ese número los elementos de la otra. De la misma manera se pretende que los alumnos, cuando se trata de quitar elementos de una colección de la cual se conoce su cardinal (por ejemplo si se tienen 13 elementos y se quitan 2), puedan descontar 13, 12, 11, sin necesidad de contar todos los elementos que quedan.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

2.3 Leer y escribir números hasta 30. Ampliar la serie oral hasta por lo menos 50.

El calendario es un contexto muy rico para trabajar con una porción significativa de la serie, por ejemplo: indicar cada día la fecha, identificar los días feriados, la cantidad de días que faltan para el cumpleaños de algún niño, o para una determinada fiesta.Por otra parte, se podrá recurrir a distintos objetos de la vida cotidiana que muestran los números ordenados en una porción más amplia de números como en las páginas de un libro, cinta métrica, etc. Una forma de ejercitar la serie oral de números es organizar a los niños de un grupo (5 o 6 integrantes) en ronda, el primer niño empieza a contar y cuando el docente dice PUM!, tiene que continuar el siguiente niño con los números sucesivos. Posteriormente se puede simular ese juego por escrito, dibujando los niños y el globito (de las historietas) con el inicio de los números que dice cada niño, o algunos intermedios, para que los completen.

Significado y uso de las operaciones

Problemas aditivos

2.4 Resolver problemas en situaciones correspondientes a distintas funciones del número relacionadas con la adición y sustracción.

La resolución de problemas permite que los niños conozcan distintas situaciones que pueden ser resueltas por medio de las operaciones aritméticas de suma y resta. Si bien, en un principio los resolverán dibujando los objetos o simulando la situación con objetos concretos, tendrán oportunidad de establecer distintas relaciones entre los datos y con las acciones que es necesario realizar para obtener nuevas informaciones.Por ejemplo, en situaciones conocidas como de complemento: Juani quiere ahorrar $20 para comprarle un regalo a su amiguito. Ya ahorró $8, ¿cuánto dinero tiene que ahorrar aún?, será necesario determinar qué cantidades se representarán: los $20, los 8 y los 20 o sólo los $8? Y qué relaciones se establecerán entre ellas?Y además, ¿qué es necesario contar para determinar la respuesta del problema? Aunque todavía no usarán las operaciones, estas acciones les permitirán posteriormente controlar la resolución aritmética utilizando únicamente los números.


Problemas aditivos

2.5 Expresar simbólicamente las acciones realizadas al resolver problemas de suma y resta usando los signos +, -, =

Dentro de situaciones de adición o sustracción, el docente podrá plantear la simbolización correspondiente. El significado de las escrituras se logrará mediante la resolución de muchos problemas, la discusión sobre la escritura misma, y la memorización de resultados, que les permitirá colocar un resultado sin necesidad de recurrir al conteo o a los dibujos. Los signos de las operaciones de suma y resta pueden ser introducidos simultáneamente, con la finalidad de que los alumnos identifiquen ambos tipos de situaciones.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma Figuras planas2.6 Formar rompecabezas. Analizar la relación entre el todo y las partes.

Dada una figura, dividirla en dos, tres, cuatro, etcétera partes y luego recomponer la figura original con esas partes. La idea es dar experiencias en la relación todo-partes. La formación de rompecabezas se puede complejizar dándole a cada equipo un juego de piezas en el que falte o sobre una o dos piezas para que tengan que buscarla(s) en otros equipos.

Espacio Representación2.7 Describir y representar gráficamente acciones desarrolladas en un recorrido.

En vinculación con actividades deportivas, describir y representar recorridos (oralmente o a través de esquemas) y comunicarlos. Por ejemplo: pasar debajo de la silla, ir hasta la mesa y dar dos vueltas completas alrededor de ella, etc.Si el recorrido es por el barrio, no hay que sorprenderse de que los alumnos incluyan en sus dibujos las banquetas, los árboles, los avisos publicitarios, etc. Esto favorece la vinculación con el subtema “sistemas de referencia”.A la inversa, dada una representación, trazar y realizar el recorrido. Tal vez no haya acuerdo en cuanto a cuán largo es cada tramo, y si eso se instala como problema, se puede vincular con el subtema medida de longitud.Retomar las actividades realizadas en el bloque anterior con respecto a proponer juegos para que den instrucciones: seguir derecho, doblar a la derecha o a la izquierda, guiar a un niño con los ojos vendados para que encuentre “un tesoro” o siga una trayectoria dibujada en el piso, etc.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Medida Nociones

2.8 Registrar actividades realizadas en un espacio de tiempo determinado

La idea es marcar, de alguna manera la duración de una actividad. Comparación de duraciones: “el grupo de Mario tardó más que el grupo de Alicia en distribuir las hojas”. Crear oportunidades para asociar una duración a una expresión convencional de un periodo de tiempo, por ejemplo: “¿cuánto falta para ir al cine?” Dos horas. ¿Y eso cuánto es? Lo que nos tardamos en ir al parque.

2.9 Comparar longitudes en forma directa y utilizando un intermediario

Comparar en forma directa dos o más varillas, y también donde se requiera por ejemplo un hilo para determinar qué está más lejos de un objeto dado, o anticipar si un objeto cabe en tal espacio. En vinculación con lengua, utilizar el vocabulario: más cerca que, más lejos que, más largo que, etc. Al comparar con un intermediario, las expresiones serán del tipo: “La ventana es más larga que esta varilla, y la puerta es más corta que la varilla”, “la altura de la puerta es más corta que el lado más largo del pizarrón”, etc. Esto puede realizarse con el fin de anticipar si un objeto de la sala pasa por la puerta o la ventana. Comparar la longitud de segmentos (tiras) dibujados sobre una hoja blanca, en diferentes posiciones. Se sugiere no insistir con el “largo” y el “ancho” de objetos bidimensionales, es menos ambiguo utilizar “el lado más largo”, o “el lado más corto”.

Versión Preliminar


Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



2.10 Inventar preguntas o problemas que se puedan responder a partir de la información contenida en portadores diversos

En Matemáticas es tan importante responder, como plantearse preguntas que puedan ser contestadas a partir de un tratamiento matemático como contar, comparar, ubicar... Para ello se pueden organizar situaciones de formulación de preguntas en relación a una imagen o portador de información. Se seleccionarán imágenes con abundante información especialmente gráfica, para el inicio. Por ejemplo, una imagen relativa a un cumpleaños, con invitados, la mesa con cubiertos, vasos y platos destinados a cierta cantidad de invitados, etc. Con las preguntas formuladas se plantea una actividad de análisis: ¿Se pueden responder todas las preguntas a partir de la información presente en la imagen o algunas no pueden ser contestadas? ¿Basta mirar la imagen para conocer la respuesta o es necesario contar o sumar? Una vez determinadas las distintas clases de preguntas, se pedirá a los alumnos que formulen otras preguntas que pertenezcan a una u otra clase.


Diagrama-Tablas

2.11 Elaborar tablas o cuadros para registrar juegos o tareas

La necesidad de controlar el desarrollo de un juego y determinar el ganador puede ser la ocasión de elaborar registros escritos, por ejemplo tablas, para lo cual es necesario seleccionar la información a registrar, nombres de los jugadores, las jugadas y puntajes parciales de cada uno de ellos, etc. Este aprendizaje debe ser considerado como un proceso que parta tal vez, de un convencimiento inicial de los alumnos de que podrán saber sin registrar, quién fue el ganador, hasta la “natural” utilización social de una tabla para realizarlo. Las distintas propuestas de los niños serán puestas en juego y analizadas para determinar su utilidad y buscar su optimización. De la misma manera, la organización de las tareas del aula y de sus responsables: de los materiales de trabajo, de la limpieza, de los niños que se enferman, etc. puede ser la ocasión de elaborar y analizar registros desde el punto de vista de la legibilidad de la información contenida en ellos.

Versión Preliminar

BLOQUE III

EJE TEMA SUBTEMA CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ORIENTACIONES DIDÁCTICASS

enti

do

nu

mér

ico

y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

3.1 Conocer el sistema monetario vigente (billetes, monedas, cambio)

Las actividades vinculadas con el manejo de dinero, con presencia habitual en la vida de los niños, ofrecen un soporte especialmente propicio para establecer las relaciones entre las descomposiciones aditivas y la escritura de los números.En las primeras actividades se intentará que los alumnos aprendan a manejar el dinero y a dominar los cambios necesarios entre billetes de distinta denominación para dar vueltos. Por ejemplo, para pagar $67 se podrán utilizar 6 monedas de $10 y 7 monedas de $1 o bien, 3 billetes de $20 y 7 monedas de $1. Para determinar el monto total, los alumnos recurrirán al conteo y a algunas sumas memorizadas como las de las decenas. Se plantearán situaciones relacionadas con: armar cierta cantidad de dinero con billetes y monedas, comparar dos cantidades, completar una cantidad para igualar otra, etc. Los alumnos dispondrán mientras sea necesario de material concreto simulando los billetes y monedas de uso habitual.

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

3.2 Ampliar el conocimiento de la serie oral y escrita de números hasta al menos 100. Ordenar números de al menos 2 cifras.

El recitado de la serie numérica se deberá seguir trabajando a lo largo del año con números mayores, ya que no puede lograrse su dominio trabajando únicamente los números de la primera (o primera y segunda) decena. Se plantean juegos o ejercitaciones que impliquen seguir contando a partir de ciertos números, o bien descontar a partir de un número. En cuanto al orden entre los números, si bien se pretende que todos los alumnos puedan comparar números de dos cifras, las actividades no se reducirán a tales números, ya que por ejemplo, números más grandes pueden ser comparados por los alumnos, por ejemplo 2000 y 4000 o bien números con diferente número de cifras como 2650 y 320. La posibilidad de decidir cuál de los dos números es mayor, en los casos anteriores, no debe hacer creer que pueden comparar cualquier par de números, ya que por ejemplo, números como 67 y 76 pueden presentar mayor dificultad.La numeración oral ayudará a los alumnos, en muchos casos a relacionar el nombre con su escritura y la descomposición aditiva correspondiente, así como a extraer otras informaciones. Un nombre como “treinta y cuatro” permite a los alumnos comprender que se trata de un número formado por 30 y “algo más”, que es mayor que 30, y calcular que le faltan 6 para llegar a 40, etc.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

3.3 Organizar la serie numérica escrita en intervalos de a 10, identificando regularidades de la serie del 0 al 50 (o al 100)

El aprendizaje de la lectura y escritura de los números puede realizarse, por un lado a partir de las situaciones problemáticas que se presenten, escribiendo los números involucrados y por otro, analizando la serie de números hasta por lo menos 50 o 100, organizada en un cuadro de números en filas de 10 números: del 0 al 9 en la primer fila, del 10 al 19 en la segunda, etc. (Si se puede, sería mejor poner un dibujo del cuadro, prestar atención a escribir el 10 (y 20, 30,…) en el inicio de la siguiente línea, no al final de la anterior)El análisis de las regularidades como: todos los números que empiezan con 2 aparecen antes que todos los que empiezan con 3, los que terminan en 7 están todos en la misma columna, después de un número que termina con 5 sigue otro que termina con 6, favorece la apropiación por parte de los alumnos, de la serie de números. Se propondrán distintas situaciones de identificación de números, a partir de distintas informaciones. Se sabe que si están presentes los números de la primera fila (dígitos) y los de la primera columna (decenas) se puede identificar cualquier número del cuadro, sin embargo los alumnos en un principio no podrán utilizar este argumento. Podrán sin embargo usar otros como los siguientes: Si el número “tapado” es el 56 podrán argumentar: Es 56 porque está después del 55, o recitar los números a partir del 50 hasta el número tapado, o porque está abajo del 46, o encima del 66, o porque está antes del 57, etc.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o

Estimación y cálculo mental

Números naturales

3.4 Desarrollar procedimientos de cálculo mental de adiciones y sustracciones de dígitos.

Paralelamente a la resolución de problemas aditivos (de adición y sustracción) y a las escrituras de las operaciones se tratará de hacer evolucionar los procedimientos de conteo y sobreconteo para incorporar resultados memorizados a partir de los cuáles se podrán elaborar otros procedimientos. Por ejemplo, identificar aquéllas sumas que los alumnos ya dominan, tales como 1 + 1, 2+ 2, 5 + 1, etc. y plantear la cuestión de cómo saber el resultado de otras sin necesidad de recurrir a los dedos o dibujos (conteo). Por ejemplo, para 3 + 4 se podrá usar que 3 + 3 es 6 y más 1 dará como resultado 7. El docente podrá preguntar si pueden resolver otros cálculos de esa manera, por ejemplo: 6 + 5, 3 + 2, 6 + 7, etc. Periódicamente el docente podrá recapitular con los alumnos, cuáles son aquéllas sumas que ya todos dominan, y cuáles las que será necesario seguir trabajando. Se puede organizar la escritura de carteles de sumas con un cierto resultado. Se escribe un número, por ejemplo menor que 15, en un cartel para ser colocado en la pared del aula, y los niños van escribiendo sumas que dan tal número como resultado. También y en forma individual, se podrá plantear el análisis de algunos carteles para detectar si se han incluido errores en las sumas propuestas. Los resultados que se vayan dominando sobre la suma, podrán ser utilizados para los cálculos de restas, los que será necesario seguir trabajando en 2° año.

Sen

tid

o n

um

éric

o y

p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Problemas aditivos

3.5 Resolver problemas de adición y sustracción correspondientes a distintos significados.

Se continuará trabajando con problemas que correspondan a distintos significados de la suma y resta: agregar, avanzar, juntar, quitar, separar, comparar, retroceder, etc. Por ejemplo, en juegos de mesa como el de la Oca o Carreras de caballos los alumnos podrán trabajar en situaciones de desplazamientos. Estas operaciones permiten calcular una nueva posición en el tablero o reencontrar una posición anterior. Posteriormente podrán verificar en el tablero.En todos los casos, el docente planteará una reflexión sobre las relaciones entre los números utilizados y las cantidades presentes en el texto y organizará la comparación de distintos procedimientos utilizados por los alumnos, tales como conteo, uso de material concreto, dibujos, sobreconteo, etc.; preguntará además si es necesario dibujar los objetos o recontar nuevamente todos los objetos, enfatizando siempre que sea posible el uso del cálculo mental.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y

med

ida Forma Figuras planas 3.6 Reproducir e identificar patrones.

Reproducir una configuración (frisos o cubrimientos bidimensionales) dada la “baldosa” unidad. (La unidad puede ser una pieza con forma de “L” en dos colores, y se dispone de forma alternada.)Dado uno o más patrones (teselados o cubrimientos bidimensionales) y una colección de “baldosas” unidad, identificar con cuál de ellas se forma un patrón determinado y continuar ese patrón.Según los avances en el aprendizaje, se puede plantear continuar un patrón dibujado sobre papel cuadriculado, y también pedir a los niños que inventen un patrón usando por ejemplo dos colores o cubriendo tantos cuadraditos, etc.

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

FormaRectas y ángulos 3.7 Identificar líneas rectas y curvas

La idea es empezar a distinguir rectas y curvas a través de actividades que impliquen más que solamente observar. Por ejemplo: recorrer trayectorias (las líneas de un embaldosado), recortar figuras planas, seguir el borde de cuerpos o reproducir figuras, etc.Proponer juegos para que den instrucciones: seguir derecho, doblar a la derecha o a la izquierda (o hacia acá, hacia allá), etc. Por ejemplo, guiar a un niño con los ojos vendados para que encuentre “un tesoro” o siga una trayectoria dibujada en el piso (en “L”, en “T”, circular, etc.).Inicialmente todos los niños pueden ver la trayectoria, luego se traza cuando hay uno de ellos con los ojos vendados.

Espacio Sistemas de referencia

3.8 Describir y ocupar posiciones con respecto a un sistema de referencia

En vinculación con el subtema “Representación”, se trata de explicitar con respecto a qué se da una posición. Por ejemplo, dar indicaciones como: colocar un objeto arriba de la mesa, arriba de mi cabeza, debajo de la silla, a mi derecha, delante de mí, en la pared a la izquierda de la puerta, etc. O situar a un alumno en una posición del aula y dar la posición de diferentes objetos del aula respecto del alumno: la pizarra está detrás de Juan, la puerta está a la derecha de Juan, algo que le llega a la cintura ¿está debajo de Juan?, etc. Es conveniente proponer casos en los que se presenten ambigüedades.Determinar la ubicación de elementos de una fila a partir de informaciones espaciales, por ejemplo reconstruir una disposición a partir de informaciones como: Juan estaba entre Pedro y yo, Juan estaba último, Pedro estaba primero, etc..

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y

med

ida Medida Nociones

3.9 Comparar la superficie de dos figuras por superposición o recubrimiento

La idea es percibir la superficie como magnitud, se sugiere variar la forma de las superficies a comparar, inclusive proponer algunas en las que sea necesario cortar un sector para decidir. “Hasta aquí son iguales, pero no sé si esta punta es más grande que esa”.La actividad de comparación puede realizarse con figuras recortadas en primer lugar y luego dibujadas sobre una hoja. También se podrían dibujar de otros tamaños, por ejemplo, que abarquen una hoja de papel periódico, sobre el pizarrón, en el piso. Esto llevará a buscar diferentes estrategias para compararlas, tal vez surja allí la necesidad de elegir una unidad.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

MedidaEstimación y cálculo

3.11 Cuantificar el número de unidades de longitud que entran en una cantidad

En grupos, siguiendo un borde, y no, anticipar cuántas veces entrará una unidad arbitraria (varillas, reglas, hojas de papel, etc.). Sería conveniente que al menos dos grupos trabajen sobre las mismas longitudes, para poder comparar después los resultados obtenidos. Se podría registrar en una tabla las anticipaciones hechas por cada niño (en vinculación con el eje “Manejo de la información”), y verificar luego con varios ejemplares de las unidades consideradas en la anticipación. Se planteará seguramente (a través de la diferencia de valores obtenidos entre los grupos que miden la misma longitud) el problema de alinear las unidades yuxtapuestas, en particular si no hay un borde para seguir. Es importante aquí resaltar el aspecto de la medida como el número máximo que caben determinadas unidades (al inicio tal vez no se tome la misma unidad), sin superposición, en una cantidad determinada. Seguramente sucederá que las unidades no entran un número entero de veces, se verá allí que, por ejemplo con 3 no alcanza a cubrir, y con 4 se pasa. Puede debatirse en esos casos, qué valor es el más adecuado, según el contexto y la necesidad de precisión.Este tipo de actividades, en los primeros grados, están muy vinculas al subtema “Unidades”. En los grados más altos, este último subtema, enfatizará el estudio de diferentes unidades y sus equivalencias.

3.12 Cuantificar el número de unidades de capacidad que entran en una cantidad

Con recipientes de diferentes formas y tamaños, anticipar cuántas veces entrará una unidad arbitraria, luego verificar con varios ejemplares de la unidad vaciando o llenando los recipientes con los ejemplares unidad.Se pueden organizar juegos en los que se identifique un recipiente según el número de unidades que contiene, por ejemplo, entre varias jarras, anticipar y distinguir la que contiene cuatro tazas verdes completas y un jarrito lleno.Se trata aquí de superar el trasvasamiento para comparar capacidades. Estas actividades están muy vinculadas al uso de unidades no estándares de medición, propuesto en el subtema “unidades”.

Versión Preliminar


Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión Análisis de la

información y Representación de la información


3.13 Recopilar datos para obtener nueva información

Analizar y seleccionar información planteada a través de textos, imágenes u otros medios es la primera tarea que realiza quien intenta resolver un problema matemático o más en general responder una pregunta. Desde 1º grado se plantearán problemas sencillos cuya resolución requiera la recolección y organización de la información así como de su representación para la comunicación. Por ejemplo, la pregunta: ¿cómo podría saber el señor de la heladería cuáles son los sabores de helados preferidos por los niños, para disponer de mayor cantidad de esos sabores?, puede ser el motivo para organizar una pequeña encuesta en el grupo preguntando: ¿de qué te gustan los helados? El docente organizará una discusión sobre las posibilidades de respuestas, por ejemplo: ¿se pueden decir dos sabores? ¿Es necesario decir un solo sabor? Esto llevaría a precisar la pregunta a plantear. Los datos recogidos son organizados y presentados en algún tipo de gráfico elaborado por los alumnos que les permita sacar alguna conclusión sobre los helados que les gustan a la mayoría de los alumnos.También debería trabajarse con portadores presentes en la vida cotidiana de los alumnos como: calendarios, horarios de actividades de clase, etc.

Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión


Gráficos3.14 Representar gráficamente

situaciones

Recurrir a la representación gráfica de una situación, puede constituir un buen recurso inicial para poder tener una idea más clara de la situación e incluso poder responder a las preguntas que se planteen. Para representar gráficamente una situación es necesario leer e interpretar la información y seleccionar la que se va a representar. Por ejemplo, representar gráficamente las mesas de un restaurante con los platos, vasos, cubiertos, servilletas, organizadas para un cierto número de comensales; la atención de los niños estará centrada en respetar las cantidades de cada tipo de objetos y el número total de comensales. Las representaciones de los alumnos pueden ser analizadas por el resto de la clase. También podrán plantearse otras interrogantes relacionadas con la situación, que pongan en evidencia la utilidad de la representación: ¿para cuántos comensales alcanzan las mesas?

Versión Preliminar

Versión Preliminar

BLOQUE IV


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

4.1 Resolución de problemas que impliquen la determinación y el uso de relaciones entre los números: estar entre, uno más que, uno menos que, mitad de, doble de, 10 más que, etc.

Tanto en relación con el cuadro de números que se presentó en el bloque anterior como en situaciones problemáticas se favorecerá la expresión de relaciones como las citadas. Por ejemplo, preguntar: si a 4 le sumo uno ¿sigue estando en la misma fila? La variación del número inicial, permitirá observar otra regularidad de la serie, al sumar 1 a cualquier número, salvo el 9, el resultado está en la misma fila. En el caso del 9, al sumarle 1 cambia de fila. O bien plantear: Sin mirar el cuadro ¿entre cuáles números está el número 45?Con la calculadora se podrá plantear ¿qué operación hay que hacer para que aparezca el 57 si ya está en el visor el número 56?


Problemas aditivos

4.2 Resolución de problemas que permitan iniciar el análisis del valor posicional.

Si bien en los primeros años, los alumnos trabajarán con una descomposición de los números en términos de unos, dieces y cienes, se empezará desde 1° año a distinguir entre el número de “dieces” de un número y la cifra correspondiente del número escrito. El dinero es un contexto apropiado para este trabajo ya que permite distinguir por ejemplo, entre “diez pesos” y un billete de $10. 3 billetes de $10, a pesar de ser solamente 3, tienen un valor de $30, y será importante compararlo con una cierta cantidad de monedas, por ejemplo 27 monedas, cuyo número supera ampliamente a los 3 billetes, y sin embargo su valor es menor.También se relacionará con el conocimiento sobre la descomposición de números como suma de un múltiplo de 10 y un dígito: 35= 30 + 5.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Problemas aditivos

4.3 Resolver problemas que involucren grupos de igual cantidad de elementos y repartos mediante procedimientos diversos.

Este conocimiento apunta a que los alumnos trabajen con situaciones en las que se involucran colecciones de un mismo número de elementos y se demanda el número de elementos de la colección completa o, si éste es conocido, determinar el número de elementos de cada colección o el número de colecciones. Esto no significa plantear un estudio sistemático de la multiplicación o de la división que son conocimientos pertenecientes a 2° grado. Los alumnos resolverán estos problemas con procedimientos gráficos, conteo, sumas o restas reiteradas. El docente organizará momentos de explicitación y comparación de procedimientos, atendiendo especialmente a la comprensión de los diferentes roles que pueden jugar los números en cada situación.Por ejemplo: Para el cumpleaños de José, su mamá organiza junto con José, las bolsitas para entregarle a los invitados. Su mamá le dice: En cada bolsita pon un silbato, 3 caramelos y 2 paletas. En dos de las bolsitas agrega una pulserita y un anillito y en las otras dos agrega 2 carritos. ¿Cuántos objetos de cada tipo tendrá que comprar la mamá de José?El dibujo y el conteo de los objetos puede ser uno de los recursos posibles, pero también las sumas y en este caso, frente a una suma como la siguiente 3 + 3 + 3 + 3 = el docente planteará qué representa cada uno de los 3 y por qué sumar 4 veces el 3. De la misma manera se plantearán problemas de reparto en partes iguales.

Cálculo mental

Números naturales

4.4 Desarrollar recursos de cálculo mental para disponer de resultados relativos a la suma y la sustracción: suma de dígitos, complementos a 10, restas de la forma 10 menos un dígito, etc.

Se ofrecerá a los niños, frecuentes oportunidades para la memorización de las sumas de dígitos y de otros cálculos simples que pueden ser usados para resolver los que aún no dominan. En los juegos con dados, los primeros procedimientos utilizados por los alumnos recurren al conteo de cada uno de los puntitos del dado, un paso posterior es reconocer la configuración de cada cara y por ejemplo, sobrecontar para obtener el total de los dos dados, para finalmente obtener mentalmente la suma de las dos cantidades. También pueden empezar a observar las relaciones entre los números a partir de las configuraciones: 5 = 4 + 1, a partir de reconocer los 4 puntos de los vértices con un punto en el centro. El docente organizará momentos de reflexión y de análisis de los procedimientos usados por los alumnos.

4.5 Descomponer números de dos cifras como sumas de un múltiplo de 10 y un dígito.

Las descomposiciones de los números en forma aditiva facilita la obtención de cálculos más complejos. Descomponer números estará relacionado con el tipo de cálculos que se quiera realizar. Por ejemplo un número como 24, puede ser pensado como: 5 + 5 + 5 + 5 + 4, al referirse a plantillas de boletos del Metro que traen cinco boletos cada una. O de 6 + 6 + 6 + 6 en una situación en la que se pretende saber cuántas cajitas de 6 jabones hay que comprar si se necesita tener Versión Preliminar


Man

ejo

de

la i

nfo

rmac


información


4.9 Investigar el número de soluciones de un problema dado.

Se plantearán situaciones en las que sea necesario buscar las distintas posibilidades de realizar una acción. Por ejemplo, plantear una situación de un señor fabricante de mochilas que decide usar 3 colores diferentes: uno para las correas, otro para el cuerpo de la mochila y el tercero para la tapa (se entregará a los alumnos, un modelo de mochila, e incluso varios ejemplares para ser pintados) y se pregunta cuáles son todos los modelos diferentes de mochila que podrá fabricar. Si bien en un principio los alumnos pintarán algunas sin un criterio claro y sin posibilidades de controlar si pintaron todas las posibles, la comparación con sus compañeros y el intercambio organizado por el docente, les permitirá modificar en cierto modo, la intención del problema y centrarse en organizar su búsqueda de manera de asegurar que estén todas las posibles y que ninguna se repita. Este conocimiento se relaciona también con el de identificar atributos o características de los objetos, presentado en el bloque 1.


Relaciones de proporcionalidad

4.10 Resolver problemas que impliquen correspondencias del tipo “más n”

Se trata de resolver situaciones en las que aparezca una relación aditiva constante (sumando o restando). Por ejemplo, Cuatro hermanos tienen las siguientes edades: 3, 5, 11 y 13. ¿Cuántos años tendrá cada uno dentro de 3 años? Posteriormente se puede analizar la diferencia de edades entre ellos, por ejemplo: Si Juan (de 5 años) tiene 2 años más que Luis (el de 3 años), dentro de 3 años ¿seguirá teniendo 2 años más? Uno de los objetivos de trabajar con estas relaciones es que posteriormente puedan diferenciarlas de las correspondencias multiplicativas del tipo “1 a n” o “n a 1” ?

Versión Preliminar

BLOQUE V

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

5.1 Establecer relaciones entre las operaciones aritméticas y la serie numérica

Para avanzar en el conocimiento de la serie numérica, se presentarán actividades que permitan descubrir ciertas relaciones aritméticas entre los números. Trabajando en el cuadro de números del 0 al 100, se puede presentar un juego en el que un gigante salta, partiendo del 0, de 10 en 10. Los alumnos deberán marcar en el cuadro cuáles son los números sobre los que creen va a caer el gigante en cada salto y luego verificarán contando. Pueden observar que sumar 10 a un número, provoca que cambie únicamente la cifra de las decenas. Posteriormente se podría analizar si sucede lo mismo si se parte de cualquier otro dígito. También pueden organizarse juegos de saltos de a 5, o bien, para atrás, partiendo del 100 u otro número. En cada caso, los juegos se complementarán con ejercicios de resolución individual, simulando algunas de las partidas del juego. Ejemplo: Alejo dice que el gigante salió del 6 y que cayó en los siguientes números: 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88 y 98. ¿será verdad?Anota los números en los que va a caer el gigante si sale del 99 y salta de 10 en 10 para atrás. O bien una situación un poco más difícil para alumnos de 1° año: Otro gigante cayó en los números: 8,13,18,23,28,33,38,43,48 .. ¿de qué número salió y de a cuánto eran sus saltos? En todos los casos los alumnos dispondrán del cuadro para verificar sus anticipaciones.


Suma y multiplica-ción

5.2 Realizar cálculos con números de 2 cifras utilizando distintos procedimientos.

No se pretende que los alumnos aprendan el algoritmo tradicional de la suma en 1° año, pero sí que puedan obtener el resultado de sumas de bidígitos como 28 y 34. Una posibilidad es que los alumnos descompongan a 28 y 34 aditivamente como 20 + 8 y 30 + 4, posteriormente sumen 20 + 30 y 12 que es el resultado de 8 + 4. De otra manera, pueden completar 28 a la decena más próxima, haciendo 28 + 2 (pensando a 4 como 2 + 2) y luego 30 + 32. No se exigirá ninguna escritura con paréntesis, se tratará en general de un cálculo mental, con escritura de algunos resultados intermedios.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Problemas aditivos

5.3 Resolver problemas correspondientes a distintos significados de la adición y sustracción.

Se trata de seguir enfrentándose a problemas aditivos donde sean necesarios distintos pasos para su resolución y donde se solicitará la escritura de las operaciones realizadas. El trabajo en paralelo entre resolución de problemas y desarrollo de recursos de cálculo deberían permitir a los alumnos evolucionar en sus procedimientos desde el conteo realizado de los objetos ya sea dibujados o simulados con material concreto, a utilización de los números y operaciones aritméticas. Por ejemplo: Como era el día del niño, en la escuela repartieron golosinas: - Mario recibió 2 caramelos, 4 chupetines, 2 chocolatines y 3 bombones, ¿cuántas golosinas recibió? - Luis recibió 8 golosinas. Le entregó 2 a sus hermanitos y se comió 3. ¿Cuántas golosinas le quedaron? - La tía de Ana ya le había regalado 3 chocolatines y en la escuela le regalaron 6 más, ¿cuántas golosinas tiene ahora? Por otra parte, se pedirá a los alumnos que inventen problemas que se resuelvan con distintos cálculos, por ejemplo 6 + 18 y también 12 – 7. El docente planteará una reflexión sobre la posibilidad de elaborar distintos problemas que se resuelvan con los mismos números y una misma cuenta a pesar de tratarse de contextos y objetos diferentes.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o Estimación y cálculo mental

Números naturales

5.4 Desarrollar procedimientos de cálculo mental par sumar decenas

La suma de decenas es otro de los recursos sobre los cuáles los alumnos pueden apoyarse para realizar cálculos más complejos. También aquí se podrán realizar carteles de sumas de decenas que den por resultados una cierta decena, por ejemplo el cartel de 90. Se podrán encontrar sumas de dos o más decenas en el contexto del dinero o como cálculos mentales. Los alumnos podrán verificar sus resultados realizando el conteo correspondiente y se pretende que puedan identificar y explicitar una regla para sumar decenas: se suman las cifras no nulas y se agrega un cero. Utilizando este recurso y la descomposición de números en múltiplos de 10 y un dígito, podrán realizar cálculos del tipo 38 + 20 como 30 + 20 + 8.


Los números naturales

5.5 Utilizar resultados conocidos y propiedades de los números y las operaciones para resolver cálculos.

Disponer de los pares de sumandos que dan 10, entre otros resultados memorizados, puede permitir a los alumnos tratar diversos cálculos, por ejemplo: para hacer 7 + 6 pueden pensar en (7 + 3) +3 y obtener entonces 13. En el caso de una resta como 14 – 6 puede convertirse en (14 – 4) – 2 = 8 Un motivo especial de reflexión será la selección de la descomposición más adecuada para realizar un cálculo, por ejemplo en 8 + 5 podrá pensarse el 5 como 2 + 3, para evidenciar el complemento a 10 del 8: (8 + 2) + 3 en cambio en el cálculo 9 + 5 será más bien descompuesto en 1 + 4. Se trata de explicitar y comparar las estrategias utilizadas por los alumnos en general en forma oral; se evitará una escritura prematura a la que los niños no puedan dar aún significado. Y también discutir distintas posibilidades de cálculos, sin que se “enseñe” esas diferentes alternativas, sino favorecer que cada uno encuentre sus maneras preferidas. En las sumas de varios sumandos, aparecen ocasiones de utilizar distintos recursos de cálculos. Por ejemplo: 7 + 4 + 3 + 9 = podrá ser realizado a partir de sumar 7 y 3 y luego 9 + 1 y finalmente +3.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma Rectas y ángulos

5.6 Representar líneas rectas o curvas mediante objetos o sujetos, vistos desde distintos puntos.

Las actividades propuestas se vinculan con “Espacio- representación”. La idea es acomodar objetos, por ejemplo, botones sobre una mesa, según diferentes consignas dadas en forma oral, mediante una representación sobre el papel o acordadas por los niños. El control sobre la disposición final surge comparándola con el dibujo y luego por el veredicto del grupo observador con la visión de conjunto. La misma actividad pero con objetos más grandes, sillas por ejemplo, o donde sean los propios niños quienes tienen que organizarse para “dibujar” una letra (la “O”, la “L” ), una viborita, un redondel, etc. El control puede hacerse desde diferentes puntos de vista, es decir desde diferentes puntos del salón de clases, inclusive si es posible desde un primer piso. (¿Cómo se acomodan los niños para que se vea tal figura? Esto como se hace, a otra escala, en las inauguraciones de juegos olímpicos.)


5.7 Identificar las casillas en una cuadrícula

Reproducir en una cuadricula (de puntos o líneas) el modelo pintado en otra, que puede o no tener el mismo tamaño.Este conocimiento requiere que los niños establezcan una correspondencia entre puntos, segmentos, figuras, etc. basándose en las posiciones relativas de los mismos.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Medida Unidades5.8 Medir y comparar capacidades utilizando unidades de medida arbitrarias

Poner a disposición de los niños varios ejemplares de recipientes “grandes” y de otros que puedan funcionar como unidades no convencionales (tazas, jarras, baldecitos, etc.) y utilizar elementos que permitan el trasvasamiento como agua, arena, semillas pequeñas, tierra.Comparar recipientes y verificar luego midiendo. Por ejemplo, el balde es “más grande” que el bidón. Se podría verificar trasvasando de un recipiente a otro, pero ahora se exige el uso de unidades más pequeñas que esos recipientes. Se pide que verifiquen la anticipación y registren. Posiblemente usen diferentes unidades, y midan cada uno o bien usen la unidad para sacar de uno y volcar en el otro. Ese segundo procedimiento se admitirá sólo al comienzo, la idea es que midan y registren cada recipiente. Comparar, y analizar la consistencia de los resultados: el balde es más grande midiéndolo con la jarra, también debe serlo si se usa el tazón. Particularmente al iniciarse en la medición de capacidades, surgirá la cuestión de cuán llena está la unidad y también el recipiente a medir.Cada grupo dispone de un recipiente “grande” y varios ejemplares de un recipiente pequeño (unidad), esa unidad es diferente en cada grupo. Se trata de que cada grupo mida la capacidad del recipiente y registre el resultado obtenido, surgirá una aparente contradicción porque los recipientes grandes son equivalentes pero no sus medidas. La idea es relacionar la capacidad de un objeto, con el número de unidades y el valor de la unidad (en vinculación con el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico”.)Este tipo de actividades, en los primeros grados, se parece a las actividades propuestas en el subtema “Estimación y cálculo”. En los grados más altos, al tratar “Unidades” se enfatizará el estudio de diferentes unidades y sus equivalencias.

Versión Preliminar


Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



5.9 Resolver problemas que involucren correspondencias: “1 a n” (uno a varios) o “n a 1” (varios a uno)

La resolución de estos problemas no implica el aprendizaje explícito de las operaciones de multiplicación y división, ni de los algoritmos, ni de la memorización de resultados. El aprendizaje esencial consiste en poner en juego relaciones entre conjuntos de elementos del tipo “uno a varios” o “varios a uno” y constituirán nuevas ocasiones de atribuir significados a los números además de las trabajadas en el Eje sentido numérico y pensamiento algebraico. Por ejemplo, en un juego de canicas, si una de vidrio puede ser cambiada por 3 canicas de arcilla, se podría plantear ¿cuántas canicas de arcilla se obtendrán al cambiar 6 de vidrio? O bien, en otro contexto ¿cuántas cajas se necesitan para guardar 10 muñecos, si sólo se pueden colocar 2 en cada caja? Para responder a tales cuestiones, los niños podrán utilizar material concreto o empezar a utilizar sus conocimientos sobre los números. Por ejemplo en la situación de las canicas: dibujar y contar de 1 en 1, de 3 en 3, o sumar repetidamente 3 (en el caso del primer ejemplo).

Versión Preliminar

SEGUNDO GRADOMarzo de 2008

BLOQUE I

EJE TEMA SUBTEMAS CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

1.1 Resolver problemas que impliquen la utilización de números en distintos contextos.

Se presentan a los niños problemas que podrían ser identificados como problemas de multiplicación o división, sin embargo no se espera que se utilicen tales operaciones que serán aprendidas más adelante; se trata de ofrecerles situaciones de búsqueda de procedimientos de resolución a partir de los conocimientos que adquirieron anteriormente; de ubicarlos en situaciones abiertas que favorezcan la exploración, la discusión y el intercambio con compañeros para determinar la validez de lo realizado.Por ejemplo: Los alumnos de 2° grado fueron al parque. Fueron 12 niñas, 8 niños, 2 maestras y una mamá. Los alumnos quieren subirse a los autitos chocadores donde entran 4 en cada uno. ¿Cuántos autitos necesitan para poder subir todos los alumnos? Las respuestas diferentes que puedan aparecer, por ejemplo 5 o 6 autitos u otras, según si consideran o no a las maestras y la mamá, permitirá analizar cuál es la cuestión que plantea el problema. Las escrituras también formarán parte de las discusiones en el aula, ya que se continuará el trabajo en este grado sobre el significado de las escrituras y su relación con el contexto.

1.2 Identificar regularidades en la serie numérica oral y escrita

Se continúa trabajando con la serie numérica oral y también escrita. Desde primer grado los niños trabajaron con la serie de números hasta 100, presente en distintos contextos y pudieron realizar algunos descubrimientos, por ejemplo, que en la fila del 40 todos los números empiezan con 4, que cualquier número que empieza con 5 está antes de los que empiezan con 6, con 7, etc. En los primeros bloques de 2° grado no se tratará necesariamente de ampliar la serie a más números, sino de profundizar el estudio de las regularidades y de descubrir la función que juega cada una de las cifras en la escritura de un número. Este conocimiento más profundo sobre los primeros números (hasta 100) puede facilitarles la comprensión del funcionamiento de la serie en otras centenas y de la serie de números en general. Se podrán proponer contextos en los cuales se utilice la serie de números, como por ejemplo en rifas, en álbumes de figuritas, etc. o bien en un cuadro de números del 0 al 100. Identificar uno o varios números a partir de distintas informaciones les permitirá avanzar en la comprensión de cómo se organiza la serie, y utilizar este conocimiento para determinar un número. Por ejemplo, para ubicar el 68 en el cuadro, no es necesario recorrerlo todo, ya que se sabe que está en la fila que empieza con 60.

Versión Preliminar

EJE TEMA SUBTEMAS CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ORIENTACIONES DIDÁCTICASS

enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

1.3 Organizar una colección numerosa en subcolecciones (agrupamientos, configuraciones) para facilitar el conteo de sus elementos o la comparación con otras colecciones

Desde 1° grado los alumnos han determinado el número de elementos de una colección, en general con pocos elementos. Es necesario seguir con actividades relacionadas con este conocimiento, modificando las condiciones en las cuales se solicita. No es lo mismo contar una colección de objetos que se pueden ir desplazando al contar cada uno de ellos, que contar una colección de objetos no desplazables. Si el número de elementos aumenta y estos están representados gráficamente, organizar un proceso de conteo, que no deje ningún objeto sin contar, ni objetos contados dos o más veces, es complejo. La búsqueda de recursos por parte de los alumnos puede incluir el marcado de los objetos ya contados, identificar grupos de objetos dentro de la colección, determinar su cardinal y luego el total, por ejemplo, contando de a 2. Más adelante, con colecciones más grandes, podrán recurrir a contar de a 10 y utilizar la escala de 10 en 10 para determinar el número de elementos.

Problemas aditivos

1.4 Resolver problemas de adición y sustracción correspondientes a distintos significados: agregar, avanzar, juntar, quitar, comparar, retroceder, etc.

Se continúa con el proceso de atribuir significado a las operaciones, es decir, determinar cuáles son los problemas que una operación permite resolver. Se trata de reconocer otros problemas aditivos más allá de los significados más habituales de juntar para la suma y de quitar para la resta, incorporando otros como agregar para la suma y completar para la resta. Por ejemplo: La costurera está cociendo los disfraces para la fiesta. Le pidieron hacer 12 y ya tiene listos 3 ¿cuántos le faltan coser aún? Este significado de la resta es diferente de la idea que tienen los alumnos de quitar una cantidad a otra. Los problemas que se presentan, serán resueltos por los alumnos con sus procedimientos propios, muchas veces a partir del conteo de elementos y posteriormente el docente deberá organizar una discusión de las distintas resoluciones y de las formas de escribir los cálculos realizados. Se analizarán los procedimientos desde el punto de vista de su adecuación y economía. Por ejemplo, en el problema dado anteriormente, distintos procedimientos pueden ser puestos en juego: dibujar 12 marcas, tachar 3 y contar las restantes; contar desde 3 hasta 12 (exige un doble conteo: completar desde 3 hasta 12, pero a la vez determinar cuántos números se fueron agregando), descontar 3 desde 12, agregar a 3 lo que le falta para llegar a 12, utilizando sumas y recursos de cálculo mental, por ejemplo: “si se agregan 2 se llega a 5 y con otros 5 a 10 y finalmente agregar 2 para llegar a 12. Se agregaron 9”. En relación a este procedimiento se discutirá especialmente que si bien se llega, contando por ejemplo al número 12, la respuesta del problema no es 12, sino 9, lo que se agregó para llegar a ese número. (Continúa en la siguiente página)

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico Significado y uso

de los númerosProblemas

aditivos

1.4 Resolver problemas de adición y sustracción correspondientes a distintos significados: agregar, avanzar, juntar, quitar, comparar, retroceder, etc.

En la puesta en común se busca que frente a la diversidad de procedimientos, los alumnos analicen cuáles les parecen más seguros o más rápidos, diciendo por ejemplo: “Si a un número grande le tienes que sacar uno chiquito es mejor contar para abajo que completar para arriba”. Es importante que el docente provea más situaciones donde esas “recomendaciones” que se establecieron puedan ser utilizadas y perfeccionadas.

Cálculo mentalNúmeros Naturales

1.5 Utilizar cálculos memorizados, descomposiciones aditivas de los números, complementos a 10 etc., para constituir un repertorio de resultados de sumas y restas

El desarrollo de procedimientos mentales de resolución tiene un rol fundamental en el pasaje del conteo al cálculo, y constituye un objetivo básico de 1° y 2° grado. Su dominio progresivo, permitirá a los alumnos utilizar posteriormente procedimientos más complejos como los algoritmos (que involucran cálculos de sumas o restas de dígitos) y a la vez controlar los resultados. Se espera que en el inicio de 2° grado, los alumnos puedan – completando los aprendizajes del año anterior - producir rápidamente una buena respuesta a lo que se suele llamar el repertorio aditivo: encontrar uno de los términos a, b o c en a + b = c cuando a y b son dígitos, y en el caso en que alguno de ellos es el número 10. Esto no excluye el conocimiento de otros cálculos, sino que se pretende que todos los alumnos dispongan de al menos tales cálculos. El cálculo mental no se reduce a la memorización de resultados, sino que se buscan procedimientos específicos a cada cálculo, sin necesidad de recurrir a los algoritmos. Por ejemplo, para determinar el resultado de 7 + 8 se puede utilizar el conocimiento de la suma de 7 + 7, más fácil de memorizar y realizar 7 + 7 + 1 =15. No se pretende que los alumnos realicen estas escrituras. Disponer de los pares de sumandos que dan 10 y de las diferencias de la forma 10 – a = , puede permitir a los alumnos tratar diversos cálculos. Así, para 8 + 6 podrán completar a 10 y luego sumar 4: 8 + 2 = 10 y 10 + 4= 14. O bien en la resta 13 – 4 realizar 13 – 3 = 10 y 10 – 1 = 9

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a Forma Cuerpos 1.6 Analizar las características de cuerpos: sólidos o huecos, convexos y no convexos, que se quedan en cualquier posición o no, al ponerlos sobre un plano horizontal o inclinado.

Reconocimiento de superficies planas y curvas, por el tacto, inclusive con los ojos cerrados. La distinción entre plano y plano inclinado permitirá descubrir que el cilindro, por ejemplo, a veces no se queda en la posición que se lo apoya; lo mismo para la esfera. ¿Cómo apoyar un cilindro (lápiz) o un cono sobre un plano inclinado para que no se mueva?Rasar superficies de arena, por ejemplo, con una varilla o una regla, una varilla curva, o formando un ángulo, ¿con cuál varilla se puede generar tal superficie?, etc. Al preparar un postre por ejemplo, cómo mover el molde o una espátula para obtener una distribución pareja de la masa. Introducir vocabulario, pero restringido; la idea no es asociar un vocabulario rico en términos técnicos con alguna representación, sino tener experiencias con los objetos y

Versión Preliminar


comenzar a designarlos (a algunos) por el nombre adecuado.

Versión Preliminar

EJE TEMA SUBTEMAS CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ORIENTACIONES DIDÁCTICASF

orm

a, e

spac

io y

med

ida

MedidaConceptualizació

n 1.7 Comparar y ordenar longitudes

Comparar longitudes entre objetos (siguiendo un borde) o como distancia entre dos objetos que no están unidos físicamente, usando hilo u otros objetos como intermediarios. Esto puede hacerse ante la necesidad de pasar un mueble por una puerta o ventana, anticipar si una biblioteca entra en un determinado lugar, etc.Por comparación directa, ordenar tres a cinco varillas. Intercalar otra en un orden dado. Favorecer experiencias de ordenamiento de varillas por su longitud donde la transitividad permita anticipar cuál es la varilla de mayor (o menor) longitud. Por ejemplo, dadas tres varillas (una roja, una verde, una amarilla) los niños podrán comparar de a dos, y en algunos casos podrán anticipar un orden y en otros no: la roja es más larga que la amarilla y la roja es más larga que la verde, ¿qué relación hay entre la amarilla y la verde? No se puede anticipar, hay que establecerlo “a ojo” si es posible, y si no experimentalmente. Pero si de la comparación se obtiene que la roja es más larga que la amarilla, y la amarilla es más larga que la verde, ¿cómo es la roja con respecto a la verde?, se puede anticipar y verificar después experimentalmente.El objetivo central de incluir la medida en los primeros grados se refiere a brindar oportunidades que otorguen sentido a una práctica: resolver problemas de la vida diaria en ocasiones en las que instrumentos de medición resuelven efectivamente el problema planteado.

Medida Nociones 1.8 Analizar la relación peso-volumen

Ordenar por tanteo, y luego utilizando una báscula. Trabajando con básculas de diferentes tipos, comunicar de qué modo la báscula indica que un peso es mayor que otro: la aguja avanza más en la escala, indica un número más grande, se inclina hacia un lado, etc. Ordenar por peso tres objetos utilizando una báscula, enfatizar el carácter transitivo de la desigualdad. Ordenar tres a cinco objetos según su peso, intercalar otro objeto en el orden dado. Esta actividad favorece el uso de expresiones como: el libro “es más pesado que” la caja, la botellita es “más liviana que” la muñeca, etc.Se sugiere realizar actividades con objetos muy dispares: una bolsita con monedas y una caja vacía de zapatos, etc.Poner en evidencia la independencia entre tamaño y peso cuando se trata de diferentes materiales y la dependencia cuando se trata del mismo material. En estos casos, buscar explicitar la relación entre tamaño y peso: cuando es más grande que el otro, pesa más; es casi la mitad del otro, así que pesará casi la mitad, etc.Dadas dos porciones de plastilina, verificar que son iguales en peso, separar una y anticipar si variará o no su peso.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Medida Nociones 1.9 Comparar tiempos.

Con relojes de arena, según el número de veces que fue necesario invertirlo, comparar la duración de actividades. Si es algún período corto de tiempo, marcar el tiempo con palmadas regulares, número de pasos dados en una marcha regular, etc.Para una misma actividad, comparar cuántas veces fue necesario invertir relojes de arena que tienen diferente duración. La idea es instalar que una unidad más grande que otra, “entra” menos veces en una duración determinada.Para ampliar la idea de tiempo, se pueden plantear actividades en las que los alumnos deben ordenar temporalmente una secuencia de gráficos (recortes) de hechos o actividades cotidianas de los niños, por ejemplo ordenar la siguiente secuencia de imágenes: un niño cepillándose los dientes, durmiendo con la luna en la ventana, ingresando a la escuela, durmiendo con el sol en la ventana, vistiéndose, etc. Es importante que los niños discutan los ordenamientos.

Versión Preliminar

EJE TEMA SUBTEMAS CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ORIENTACIONES DIDÁCTICASM

anej

o d

e la

in

form

ació

n

Análisis de la Información


1.11 Clasificar, ordenar y describir colecciones

A clasificar no se aprende en forma general, sino en actividades en las que la clasificación permite enriquecer los conocimientos sobre las formas, palabras, elementos o hechos que se están clasificando. La aptitud para clasificar y el dominio de los conocimientos en juego progresan casi simultáneamente. Identificar las características comunes a varios objetos, pasa también por la identificación de cada uno de ellos. Las actividades que se planteen deberían presentar situaciones que justifiquen la clasificación a realizar y tengan sentido para los niños; por ejemplo: para ordenar los objetos en distintas cajas, para controlar si están todos, para repartir objetos entre los grupos, etc. Otra actividad interesante en este sentido es “La Aduana”; en ella los niños tienen que adivinar qué figura entre varias (figuras geométricas o dibujos que representen objetos con algunas características semejantes y otras diferentes) “eligió” el maestro, planteando preguntas que los ayuden a descartar o afirmar cuál es la elegida. Las respuestas posibles del que elige el elemento son únicamente Sí o No. Las situaciones de trabajo y juego en el salón también dan oportunidad para realizar clasificaciones con sentido, por ejemplo, el tener que seleccionar los materiales de lectura por algunas de sus características para organizar la biblioteca de aula.También deberían incluirse actividades en las que sea necesario determinar a cuál de las clases pertenece un objeto; por ejemplo, ordenar un nuevo objeto del salón en las cajas ya organizadas o determinar cuál ha sido el criterio utilizado para realizar una clasificación

1.12 Recopilar datos para obtener una nueva información

Se continuará, como en 1° año, con actividades de recopilación de datos para responder a una pregunta.En este año, se podrá profundizar en el análisis de las preguntas que se planteen, en función de la pregunta que se pretende responder. Por ejemplo, si se trata de determinar cuáles son los programas de televisión más vistos por un grupo de niños, no es suficiente preguntar a cada uno: ¿Miras televisión? O ¿te gusta la televisión? O aún ¿qué programas miras? Las respuestas a este tipo de preguntas, difícilmente permiten una cuantificación de la elección de programas. El docente partirá de las preguntas que elaboren los alumnos, las someterá a discusión de todo el grupo para mejorarlas e incluso se podrán poner a prueba con algunos alumnos para determinar finalmente aquéllas más adecuadas.

Versión Preliminar

BLOQUE II


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

2.1 Caracterizar a la serie numérica escrita como formada por intervalos de 10 elementos (decenas)

Siguiendo con el aprendizaje sobre la estructura de la serie numérica y sus regularidades, en particular sobre la organización en intervalos de 10 elementos, se podrán presentar colecciones organizadas de esa manera, por ejemplo, un álbum de figuritas o de fotos, con 10 figuritas (o fotos) numeradas en cada hoja. Se pretende que dado un número los alumnos lo puedan ubicar en la decena (aunque no se le de este nombre) correspondiente y a la vez ubicarlo en el orden correspondiente dentro de ella. Esto permitirá que empiecen a identificar que las dos cifras (en el caso de números mayores que 9 y menores que 100) no tienen la misma función. Así, el número de la izquierda indica en qué decena se lo puede ubicar, conocimientos de este tipo permitirán que los alumnos distingan que números como 34 y 43 no son iguales y que además puedan determinar cuál es mayor a partir de sus escrituras

2.2 Identificar regularidades en la serie numérica para interpretar, producir y comparar escrituras numéricas

El conocimiento del orden de los números dado por la serie numérica, puede permitir a los alumnos resolver problemas como el siguiente: dados los números 34, 57, 41 y 62 adivinar cuál es el número elegido sabiendo que no está en la fila del 60 y es mayor que 50. O bien, se solicita escribir un número que sea menor que 80, que se encuentre en la fila del 50 y que sea menor que 57. ¿Existe una única solución?También se plantearán problemas de comparación de números escritos como sumas o restas. Por ejemplo comparar los siguientes pares: 80 + 8 y 83; 46 y 50 + 4; 70 + 8 y 71; etc. Se busca desarrollar en los alumnos razonamientos del tipo: 80 + 8 es mayor que 83 ya que éste es 80 + 3; o bien cualquier número que empiece con 4 es menor que cualquier otro que empiece con 5, por lo tanto 46 es menor que 50 y por lo tanto también menor que 50 + 4, etc. En cuanto a la introducción de los signos de comparación: < y > se introducirán una vez realizadas variadas actividades de comparación y cuando los alumnos ya dispongan de diferentes recursos para ordenar números

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

2.3 Producir series orales y escritas, ascendentes y descendentes de 10 en 10, de 5 en 5, de 100 en 100

El cuadro de números del 0 al 100, con el cual se puede trabajar sobre las regularidades de la serie numérica, permite a su vez, relacionar el conteo de 10 en 10 o de 5 en 5, con las sumas de 5 y 10 y descubrir las regularidades de estas escalas de números. Se puede organizar una carrera de a pares, en la que partiendo del cero, si sale águila se avanza 10 casillas, si sale sol, se avanza 5 casillas. Gana el primero que logra salir del cuadro. Posteriormente se puede partir de otros dígitos. Por un lado los alumnos pueden empezar a descubrir a qué números se llega, sin hacer efectivamente la suma, cuando se suma varias veces 5 o varias veces 10, partiendo del cero y por otro, identificar el efecto de modificar la cifra de las decenas, sin alterar la cifra de las unidades, que produce en un número, sumar 10: 14, 24, 34, 44, … A lo largo del año, al incorporar números mayores, se reflexionará sobre los cambios que produce sumar 10 o 100, en las cifras de decenas, centenas, etc. Por ejemplo, 117, 127, 137, … pero también 182, 192, 202, … y 156, 256, 356,

Números naturales

2.4 Encontrar resultados de adiciones utilizando descomposiciones aditivas, propiedades de las operaciones, resultados memorizados previamente.

Antes de presentar el algoritmo convencional, es conveniente que los alumnos dispongan de otros recursos para determinar el resultado. Para esto, se desarrollará una actividad sistemática con cálculos mentales, descomponiendo y componiendo números como totalidades en lugar de trabajar con las unidades, decenas, centenas, y realizando cálculos más simples, que los alumnos ya han memorizado y pueden controlar. Se pretende que puedan encontrar el resultado de números como 35 + 28 = utilizando alguno de los procedimientos mentales posibles como los siguientes: 35 + 5 + 3 + 20 lo que lleva a los resultados 40 - 43- 63. Para realizarlo será necesario pensar al 8 como 5 + 3, descomposición que permite “completar” el 35 a la decena más próxima, es decir 40. Luego sumar el 3 que resta de sumar las 8 unidades y finalmente sumar las decenas del 28, es decir 43 + 20 = 63. Este procedimiento implica saber completar un bidígito a la decena siguiente y por lo tanto descomponer un dígito en suma de otros dos según convenga al número que se pretende completar y por otra parte, dominar la suma de decenas. También es posible sumar 35 + 20 = 55 y luego sumar 55 + 8 = pensado como 55 + 5 + 3 = 63. Estos procedimientos se dominarán más en la medida en que se disponga de tales procedimientos más simples, pero a la vez, son los cálculos más complejos los que le dan sentido a dominar los más simples. No se trata de que estos procedimientos se conviertan en otros tantos algoritmos que todos deben dominar. Las actividades de cálculo mental proponen al cálculo como objeto de reflexión, favoreciendo la aparición y el tratamiento de relaciones y propiedades, que en el primer ciclo serán principalmente utilizadas y más tarde, serán reconocidas y formuladas.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico

Significado y uso de las

operaciones

Problemas Aditivos

2.5 Resolver problemas de sustracción en situaciones correspondientes a distintos significados: complemento, diferencia

A lo largo de primer grado, los alumnos empezaron a trabajar, fundamentalmente, con problemas que involucran los primeros sentidos de la suma (reunir y agregar) y de la resta (quitar o completar), en este apartado se plantearán situaciones que permitan seguir profundizando los significados de la sustracción, operación mucho más compleja que la adición y cuyo aprendizaje se desarrolla a lo largo de distintos grados. Por otra parte, se tratará de empezar a discutir qué tipo de escrituras numéricas pueden corresponden a los distintos procedimientos que utilizan para resolver un problema. Se pueden proponer distintos problemas con números que no provoquen dificultades en el cálculo a los alumnos, y organizar el análisis colectivo de las escrituras en relación con los problemas resueltos. En un problema como: A 5 niñas que están en la fiesta ya les dieron sus regalitos, si en total hay 14 niñas, ¿a cuántas falta darles sus regalitos? Pueden aparecer escrituras diferentes como las siguientes: 5 + 9 = 14 y 14 – 5 = 9 Los alumnos pueden dar algunos argumentos: Puse 5 + 9 = 14 porque conté desde 5 hasta 14 y es 9, en cambio los otros pueden haber partido de 14 y restarle 9. Estas dos escrituras, pueden coexistir, ya que corresponden a los procedimientos que utilizaron, sin embargo, en uno de los casos, el resultado no aparece al final de la expresión, es decir a la derecha del signo igual, lo cual no es habitual en las escrituras matemáticas. La escritura de resta adquirirá verdadero sentido, cuando sea justamente esa, la operación que permite obtener el resultado. A lo largo del año, se deberá seguir trabajando sobre las escrituras, por ejemplo; se puede plantear un problema y luego pedir la selección de las escrituras correspondientes: “En el trenecito hay lugar para 27 niños. Ya subieron 24. ¿Cuántos pueden subir todavía?” Y “Con los números del problema se pueden escribir distintos cálculos. Pero no cualquiera corresponde al problema. ¿Cuál de los siguientes cálculos no corresponde al problema? Y se plantea: 27 -24 = 27 + 24 = y 24 + = 27

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida Forma Cuerpos

2.6 Representar e identificar cuerpos mediante el sellado de sus caras o con base en descripciones orales.

Representación gráfica de cuerpos y objetos que están a la vista. El pasaje a la representación plana de cuerpos, pone en juego los datos (propiedades) necesarios y suficientes que caracterizan un cuerpo y prepara para el trabajo con patrones. Como actividad el docente puede pedir que los alumnos “sellen” las caras de un cuerpo para que un compañero, sobre la base del dibujo encuentre el cuerpo de que se trata. En una actividad previa se puede pedir a los alumnos que identifiquen los cuerpos a partir de representaciones (dibujos y sellos) dadas. Otro aspecto importante es la descripción oral de esos objetos. En este caso el docente coloca varios cuerpos (simples) a la vista y pide a cada alumno que seleccione uno de los cuerpos y sin nombrarlo ni dibujarlo, lo describa oralmente (el docente registra cada una de las expresiones) para que otro alumno lo identifique. Es importante la discusión acerca de si la descripción reúne las condiciones necesarias y suficientes para la identificación del cuerpo.

EspacioRepresentación 2.7 Representar desplazamientos

Oralmente primero, y luego según un croquis. Necesidad de acordar en el repertorio de vocabulario y símbolos.Se dibuja una gran cuadrícula en el piso y se ubican una salida y una entrada. Un compañero le dará órdenes a otro para que recorra la cuadrícula según las mismas, mientras que los compañeros que están en los bancos con cuadrículas en papel irán colocando monedas indicando el camino seguido por su compañero. Se compararan los caminos para ver si hubo distintas interpretaciones.Trazar recorridos en una cuadrícula utilizando códigos como: NNNENo NENNN, etc. Plantear problemas con diferentes recorridos para los mismos puntos de partida y llegada.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

MedidaEstimación y

cálculo

2.8 Utilizar la balanza para verificar estimaciones de peso

Dados dos cuerpos, por tanteo, distinguir cuál pesa más. Verificar con una balanza de platillos.Favorecer experiencias de transitividad en la relación de mayor (o menor) con el peso de tres objetos.

2.9 Utilizar un recipiente unidad para verificar estimaciones de capacidad

Comparar “a ojo” la capacidad de dos recipientes de forma muy distinta, anticipar y verificar por trasvasamiento primero y luego vertiendo el contenido de una unidad. Estimar cuántas veces va a entrar la capacidad de tal recipiente (considerado como unidad) en otro, verificar vertiendo la unidad. Si además de líquidos, se usan semillas o arena, favorecer la discusión acerca de rasar la unidad y también el recipiente a medir.Ordenar tres o cuatro recipientes de diversas formas (balón, botellas de dimensiones dispares, etc.) llenos con un mismo tipo de material, sea arena, líquidos, cereales, etc. Anticipar el orden y registrar en una tabla, verificar utilizando una unidad arbitraria, por ejemplo una taza. Aquí se planteará también el problema con rasar.Intercalar en ese orden, otro recipiente. Esto favorecerá experiencias de transitividad en la relación de mayor (o menor).

Versión Preliminar


anej

o d

e la

in

form

ació

n

Análisis de la Información


2.10 Inventar preguntas o problemas que se puedan responder a partir de información contenida en portadores o imágenes

Una de las competencias que se espera lograr en la escolaridad obligatoria es que los alumnos puedan interpretar la información que circula en su entorno por medio de representaciones o escrituras matemáticas.El calendario es uno de los portadores de información cercanos a la vida de los niños: ¿En qué mes es tu cumpleaños? ¿Cuántos fines de semana faltan para que lleguen las vacaciones? Etc. Se trata de plantear algunas preguntas a los alumnos y proponer luego que ellos mismos inventen otras. Estas preguntas pueden ser entregadas a otros grupos de alumnos para que las respondan, y analizar luego en forma colectiva, si las preguntas planteadas pueden ser respondidas a partir de la información contenida en el portador o no

Representación de la

información

Diagrama-Tablas

2.11 Representar gráficamente situaciones

Se trata de representar gráficamente situaciones que están descriptas en un texto. Esta actividad permite también discutir distintas expresiones coloquiales de relaciones matemáticas, como “5 bolsas de 4 manzanas” o “2 cajas con 4 melones cada una” en relación a su representación gráfica. Por ejemplo, se trata de dibujar una situación en la que 10 niños van a buscar agua al pozo y traen los baldes colgados de un palo sostenido por dos niños. Los 4 niños más pequeños traen 2 baldes en cada palo, los otros niños, más grandes, traen 3. Si bien las cantidades involucradas son pequeñas, la relación que se establece entre los datos es más compleja. El docente plantea y organiza la confrontación de los dibujos: ¿Todos los dibujos representan la situación relatada? a fin de permitir el análisis de su pertinencia y utilidad en el marco de la resolución de un problema, atendiendo a las condiciones que plantea la situación

BLOQUE III

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números Naturales

3.1 Comprender y determinar el valor de las cifras en función de su posición en la escritura decimal de un número

El sistema de numeración está organizado según una estructura de agrupamientos recursivos (10 unidades de un orden forman una del orden siguiente, y así sucesivamente). En la escritura del número cada posición confiere un valor que es relativo al nivel de agrupamiento. El conocimiento sobre los números que los alumnos van adquiriendo al descubrir regularidades de la serie numérica, debe ir relacionándose con el conocimiento del valor de cada una de las cifras que componen un número. Por ejemplo, jugando con los palitos chinos, cuyos valores son 1, 2 , 5 y 10 puede discutirse la relación y a la vez la diferencia entre el número de elementos y el valor de los mismos. Así, pueden obtenerse 2 palitos, pero el puntaje puede no ser 2, si los palitos tienen un puntaje de 5 cada uno. Esto constituye para los niños un trabajo muy diferente del conteo habitual en el que cada objeto vale una unidad. También anticipa el conocimiento sobre el sistema de numeración donde una misma cifra puede valer uno o diez de acuerdo con el lugar que ocupa. Se propondrá trabajar en contextos que están organizados en función del sistema posicional decimal (como el dinero) y también resolver problemas de conteo de colecciones que ya están agrupadas de a 10. Por ejemplo, en una situación de fabricación de dulces que envasa en paquetes de 10 caramelos. A partir de esa situación se puede proponer actividades de conteo de una colección (bastante grande, por ejemplo entre 100 y 150) de dulces, comparar dos cantidades, averiguar cuántos caramelos faltan para completar tal cantidad, etc.

3. 2 Identificar más regularidades en la serie de números

La serie de números puede ser ampliada a más números y trabajar por ejemplo con un cuadro de números del 100 al 199 o de alguna otra centena. Una de las particularidades de números de 3 cifras o más, es que puede ya no ser suficiente comparar la primera cifra de cada uno para determinar cuál número es mayor, por ejemplo si los números son 145 y 165. Pensar los números en sus descomposiciones, por ejemplo 100 + 45 y 100 + 65, les ayudará a determinar cuál número es mayor. Se deberá prestar especial atención a los números de la primera decena mayores que 100, ya que un 0 intermedio causa dificultades en los alumnos. En estos casos también será útil considerar el número en su expresión aditiva, por ejemplo 100 + 7. El nombre del número” en muchos casos puede servir de ayuda para la comparación de números. Por ejemplo, los nombres: “ciento siete” y “ciento cuarenta y cinco”, remite a una comparación de bidígitos, conocimientos que se presentarán en el próximo bloque.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones

Problemas Aditivos3.3 Resolución de problemas de adición y sustracción en situaciones correspondientes a nuevos significados

Otro de los significados que es necesario trabajar en relación con la adición y sustracción se refiere a la posibilidad de determinar la cantidad de elementos que tenía una colección antes de que aumente o disminuya. Las operaciones permiten invertir, en el terreno de los números, el sentido de la acción evocada. Por ejemplo: David ganó 8 figuritas y volvió a su casa con 13 figuritas y quiere saber cuántas figuritas tenía al empezar el partido. Se trata de una situación compleja para los alumnos ya que es necesario razonar sobre cantidades desconocidas. Pueden por ejemplo pensar que se debería restar 8 figuritas de la cantidad inicial y el resultado debería ser 13, por lo tanto una escritura como …. – 8 = 13, les puede resultar representativa de la forma en la que pensaron el problema. El estado inicial podrá ser calculado en algunos casos ensayando diversas cantidades y controlando el resultado hasta obtener el resultado. Otros podrán pensar que la cantidad de figuritas que perdió agregadas a las que tenía cuando volvió tiene que ser la cantidad que tenía al empezar a jugar. Para esto alumnos, una escritura como 8 + 13= puede ser significativa. La relación entre las operaciones (el problema habla de una pérdida, pero se suma…), los procedimientos y las escrituras posibles deberán ser discutidas y trabajadas a lo largo del año al enfrentarse a distintas situaciones y a la discusión posterior que organice el docente sobre tales aspectos.

Problemas multiplicativos

3.4 Resolver problemas multiplicativos con factores menores o iguales a 10 mediante sumas repetidas

En primer grado los alumnos empezaron a resolver problemas que tienen que ver con la multiplicación, sin conocer de manera explícita esa operación; resolvieron, por ejemplo, problemas en los que deben establecer correspondencias uno a varios (por cada ficha blanca me dan tres negras); o situaciones en las que, para facilitar el conteo de colecciones grandes, agruparon sus elementos en grupos iguales. En segundo grado el paso más importante que los alumnos dan, desde el punto de vista del cálculo, es la utilización de sumas repetidas en lugar del conteo para resolver problemas multiplicativos como los anteriores, así como el desarrollo de formas económicas de realizar las sumas. Por ejemplo, para 8 veces 6, pueden desarrollar un procedimiento como el siguiente:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 12 + 12 + 12 + 12 24 24 48

En este grado los alumnos aprenden también a identificar las multiplicaciones que corresponden a los problemas que resuelven, por ejemplo, la suma 5+5+5+5 corresponde a la multiplicación 4 veces 5 y se representa “4x5”

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operacionesSuma y Resta 3.5 Establecer y afirmar un algoritmo de la

adición de números de 2 cifra

Para comprender y llegar a dominar los algoritmos es necesario profundizar el conocimiento del sistema de numeración. En apartados anteriores se ha planteando la necesidad de establecer la relación “diez por uno”, componer o descomponer cantidades en unos, dieces, cienes, …, conteo de colecciones agrupando de a 10 y vincular el valor de la cifra con sus posición en la escritura del número. Las actividades que se planteen previamente deberían proveer a los alumnos de diversos recursos para resolver la suma de bidígitos en cálculo horizontal, es decir sin utilizar el algoritmo. Posteriormente el algoritmo puede ser presentado como la forma habitual de cálculo usado por la comunidad en la que viven. Si se presenta a los alumnos un cálculo ya realizado, se les puede demandar de explicar cómo funciona. Los conocimientos que deberían poseer los alumnos (citados anteriormente) y las interacciones entre las distintas explicaciones que provean, deberá permitir la comprensión del algoritmo que deberá ser ejercitado en otros cálculos y en la determinación de errores.

137

+ 49 86

Se trata de mostrar una manera distinta de encontrar un resultado que los alumnos ya pueden determinar por medio de otros procedimientos. En la ejercitación de este algoritmo, cobran más importancia los procedimientos de cálculo mental, porque proveen un recurso de control de los resultados. Se podrán plantear además ejercicios de reflexión sobre los errores más comunes que aparecen, como olvidar la decena “que se llevan” o escribir el resultado de la suma de las unidades en el lugar de las unidades del resultado, obteniendo por ejemplo 716 como resultado de la cuenta anterior.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Cálculo mental Números naturales

3.6 Encontrar resultados de sustracciones utilizando descomposiciones aditivas, propiedades de las operaciones o resultados memorizados previamente.

El dominio que los alumnos puedan lograr de los recursos de cálculo mental, les permitirá confiar en sus posibilidades, contar con recursos de control de los cálculos realizados con un algoritmo, relacionar las operaciones entre sí, descubrir propiedades, etc. En el caso de la sustracción, operación más compleja que la adición, será también necesario plantear actividades específicas para desarrollar tales procedimientos. Por ejemplo, se podrá proponer un juego de tarjetas con cálculos de restas de decenas. Cada alumno deberá decidir si el resultado de su cálculo es mayor, menor o igual a un número dado, por ejemplo 50. Se pretende así favorecer que los alumnos desarrollen la capacidad de estimar diferencias entre decenas, tomando como parámetro que sean iguales a 50, mayores o menores. Pueden aparecer casos en los que ciertos razonamientos bastan, haciendo innecesario el cálculo efectivo, por ejemplo 50 – 30 seguramente será menor que 50, ya que “le sacaste algo a 50, quedó menos, seguro es más chico” o establecer relaciones con las restas de dígitos. 70 – 20 es igual a 50, ya que 7-2=5, para esto último pueden argumentar que 70 es 10 + 10 + … + 10 ( 7 veces) y 20 es 10 + 10, entonces van a quedar 5 “dieces” es decir 50. Esta actividad puede utilizarse también para introducir y utilizar los signos > y < para indicar el orden entre dos números. La actividad presentada no exige tales razonamientos sino que los favorece y el docente podrá aprovechar un momento posterior al juego para discutir los procedimientos y su economía según los casos. También se podrán incluir tarjetas con sumas de decenas, lo cual favorece la relación entre las operaciones. El trabajo del cálculo mental con restas, puede continuarse proponiendo restas en principio fáciles como 40 – 5= o 65 – 20= y discutiendo los procedimientos de los alumnos, por ejemplo ¿cómo resolver 150 – 45=? Podrían pensar en quitar primero 40 y llegar a 110 y luego 5 y llegar a 105 o directamente si ya saben que 50 – 45 = 5. La discusión de estos procedimientos en la clase, permite que ciertos cálculos tengan su aparición en clase como recursos útiles para encontrar ciertos resultados. Una resta del tipo 40 – 17 podría ser resuelta de la mismas maneras como: 40 – 10= 30 y luego 30 – 7 = 23. También podrían aparecer procedimientos como: 40 – 20 = 20 y luego 20 + 3 = 23. De ninguna manera estos procedimientos serán enseñados como algoritmo sino dando posibilidades a los alumnos de desarrollarlos, difundirlos en el aula y discutir su validez y pertinencia según los cálculos propuestos.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida Forma Figuras planas 3.7 Identificar caras de objetos a partir de

sus representaciones planas y viceversa

Se trata de reproducir figuras (cuadrados, círculos, triángulos, rectángulos) a partir de pintar papeles o telas sellando con las caras de algunos cuerpos previamente elegidos: cilindros, prismas, cubos. Podrían hacerse estas actividades con distintas finalidades prácticas: pintar las cortinas de la sala, decorar un papel de regalo, etc. El diseño de los decorados puede acordarse grupalmente a partir de algunas pruebas iniciales. Dada una colección de objetos y de hojas con sellos, distinguir qué objeto lo produjo. Anticipar qué forma quedará marcada con tal objeto. Verificar en cada caso ejecutando la acción. Por ejemplo, el docente dibujará sobre una hoja, en posiciones no muy frecuentes, un rectángulo, un triángulo, un círculo, etc. congruentes con alguna cara de los cuerpos disponibles, y los alumnos deben elegir el cuerpo a pintar para obtener esos sellos. Verifican realizando la actividad. El modelo dado debería permitir varias respuestas: apoyando dos veces la cara de un cubo se obtiene un rectángulo congruente con una de las caras de un prisma, etc.

Pintar algunas caras de cuerpos (para ampliar el universo de figuras a otros polígonos o figuras que no son convexas) y “sellar” una hoja. Reproducir (puede haber instrumentos de geometría disponibles) esa figura sobre papel blanco y elegir cuál es la mejor reproducción y por qué. En esa discusión se pondrán en evidencia cuáles son las propiedades de las figuras que entran en juego en la elección.Recortar las figuras que se obtuvieron por sellado. Esto puede contribuir a distinguir, oportunamente, lados rectos y curvas.


3.8 Identificar el este y el oeste.

En vinculación con ciencias naturales, identificar el este y el oeste. Sería conveniente brindar la experiencia colectiva de ver “salir el sol” y “acostarse” en un espacio relativamente abierto, e identificar los puntos cardinales “este” y “oeste”.Observar cómo se modifica la sombra de un objeto en el transcurso del día.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Medida Estimación y cálculo

3.9 Estimar longitudes y verificar con una unidad.

Dada una unidad de longitud, estimar cuántas veces entra en una cantidad dada. Verificar efectivamente, yuxtaponiendo varios ejemplares de esa unidad. Seguramente sucederá que la unidad no entra un número entero de veces, se verá allí que, por ejemplo con 3 no alcanza a cubrir, y con 4 se pasa. Puede debatirse en esos casos, qué valor es el más adecuado, según el contexto y la necesidad de precisión.Dada una trayectoria poligonal (abierta o cerrada), dibujada en el piso o en una hoja, estimar cuánto mide según una unidad dada, verificar luego. La unidad pueden ser la longitud de hojas tamaño carta, pies, pasos, cuartas, etc. El medir una misma longitud por diferentes grupos que usan una “misma unidad”, por ejemplo los pasos, llevará a debatir los modos de yuxtaponer la unidad y el tamaño de esa unidad. Puede surgir entonces la necesidad de adoptar una unidad estándar, reflexión que favorece la introducción posterior de sistemas de medición compartidos por diferentes sociedades y culturas.Cuando se estimen longitudes donde no se sigue un borde, por ejemplo la distancia del escritorio del maestro a la puerta de entrada, surgirá el problema de determinar qué puntos se consideran como extremos de la distancia a medir: la pata del escritorio que está más próxima a la puerta, el punto medio del lado del escritorio, el centro de la superficie plana, etc.Este tipo de actividades, en los primeros grados, se parece a las actividades propuestas en el subtema “Unidades”. En los grados más altos, este último subtema, enfatizará el estudio de diferentes unidades y sus equivalencias.

3.10 Cuantificar el número de unidades de superficie que cubren otra superficie.

Se trata de anticipar cuántas veces entrará una unidad arbitraria de superficie en otra superficie y verificar con varios ejemplares de la unidad. Se planteará seguramente (a través de la diferencia de valores obtenidos) el problema de no empalmar las unidades. Hay que aprovechar esta actividad para resaltar el aspecto de la medida como el número máximo de unidades que entran (sin superponerlas) en la superficie a medir.

Versión Preliminar


anej

o d

e la

In

form

ació

n Análisis de la información y


información

Búsqueda y organización de la

información

3.11 Inventar preguntas o problemas que se puedan responder a partir de información contenida en diversos portadores

Para trabajar con este conocimiento se podrán organizar actividades de elaboración de preguntas en relación con una imagen o portador de información, por ejemplo, a partir de un dibujo con gran variedad de objetos para la venta, colocados en estantes. El contexto debería permitir plantear preguntas relacionadas no sólo con la cantidad de objetos y sus precios, sino también con la clasificación de los objetos y la ubicación espacial: ¿Qué productos se venden en paquetes? ¿Dónde están las cajas de maíz? ¿Cuántas botellas de aceite hay? ¿Alcanzan $10 para comprar tal o cual mercadería? O preguntas que no pueden ser respondidas con la información contenida en la imagen: ¿Cuántas latas de sardinas se vendieron la semana pasada? ¿Son sabrosas las galletas? La confrontación de las preguntas elaboradas por los alumnos debería permitir mejorar su redacción y precisión, y a la vez clasificarlas en según puedan ser respondidas observando la imagen, o es necesario realizar un cálculo para obtener la respuesta.

BLOQUE IVVersión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

4.1 Utilizar los nombres de los números

Seguramente los alumnos conocen muchos nombres de los números de 2 y más cifras, incluso se han podido apoyar en sus nombres para establecer relaciones con otros números o encontrar descomposiciones aditivas, por ejemplo el nombre del número 18: dieciocho (nombre que puede ser pensado como diez y ocho) facilita la comparación con otros como por ejemplo diecinueve (diez y nueve) o veintinueve (veintinueve). Se pretende seguir analizando y discutiendo las dificultades que aparecen en la tarea de nombrar los números y relacionarlos con su escritura. Por ejemplo, alumnos de los primeros grados, hacen corresponde en ocasiones, al nombre “doscientos ocho”, la escritura con cifras: 2008, (correspondencia literal de las palabras doscientos y ocho, de la misma manera que en un principio podían hacer corresponder “veintiocho” a 208. Las reglas de la numeración oral no coinciden en general con las reglas de la numeración escritas y se tratará de ir identificándolas por medio por ejemplo, de las descomposiciones aditivas y/o multiplicativas que realizarán durante este año. Por ejemplo ante el nombre “ciento cuatro” podrán pensar que se trata de 100 + 4, que es el orden de los cienes y que por lo tanto tendrá 3 cifras; que si se escribe 1004, es número del orden de los miles, etc.; “cuatrocientos seis” podrá en un principio relacionarse con 400 + 6, y en grados posteriores, con el aprendizaje de la multiplicación con cuatro-cientos, es decir 4 x 100. Para trabajar este tema pueden plantearse actividades con varios números de 3 cifras, en la que un alumno elige un número, da su nombre y los demás tienen que señalar cuál es ese número. Algunos números que pueden provocar dificultades en su escritura corresponden a los que incluyen un cero como 305, 207 o bien 720, 330, pero también pueden aparecer en otros como 367, cuyo nombre “trescientos sesenta y siete” podría relacionarse en principio con una escritura como 300607. Se pone en evidencia aquí las relaciones que se deberán estableciendo con por ejemplo, las regularidades de la serie numérica: todos lo números que empiezan con sesenta tienen dos cifras y empiezan con 6, … El docente podrá organizar una discusión posterior con las dificultades que hayan encontrado los alumnos para identificar ciertos números y será la ocasión de empezar a tomar conciencia de la especificidad de las reglas de la numeración oral y de la escrita.


Versión Preliminar

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


operaciones

Suma y Resta 4.2 Establecer y afirmar un algoritmo de la sustracción de números de 2 cifras

Así como se planteó la introducción del algoritmo habitual de la suma una vez que los alumnos hayan aprendido a encontrar los resultados utilizando distintos procedimientos, para la sustracción se podrá presentar una cálculo como 63 – 18 = pidiendo a los alumnos que lo resuelvan y posteriormente mostrar el mismo cálculo resuelto por medio del algoritmo y pedir que traten de explicar cómo se resuelve. Este algoritmo es más complejo que el de suma, ya que exige considerar el primer número como descompuesto convenientemente, por ejemplo: 63 = 50 + 13, para poder extraer 8 de 13 y luego 10 de 50. Seguramente los alumnos tendrán mayores dificultades con este algoritmo con el de la suma y se necesitará mayor tiempo y mayor trabajo en el aula para lograr su dominio así como discusiones del procedimiento y análisis de los errores que cometan los alumnos.


4.3 Resolver problemas multiplicativos correspondientes a distintos significados

Del mismo modo que en relación con las operaciones de suma y resta, se pueden considerar para la multiplicación distintos tipos de problemas ligados a la proporcionalidad directo o ligados a las configuraciones rectangulares. Los primeros se refieren a establecer una relación de proporcionalidad (simple y directa) entre dos magnitudes, por ejemplo número de hojas y precio a pagar, número de fotos y número de hojas en un álbum, etc. con la característica de conocer el valor unitario: número de fotos en una hoja, precio de un objeto (no se supone que se de esta terminología a los alumnos). Estos problemas han sido incluidos en conocimientos anteriores. Se podrán presentar además problemas correspondientes al significado de producto de medidas, que podrían denominarse problemas de arreglos rectangulares. Por ejemplo Armar pisos rectangulares con una cierta cantidad de mosaicos. O bien, determinar el número de trajecitos diferentes para las muñecas con 3 blusas y 4 faldas. En este caso hablamos de problemas de arreglos rectangulares, ya que pueden ser representados como tales: X X X X X X X X X X X Xrepresentando cada X a un trajecito. En cada fila se puede considerar que se utilizó una misma falda con cada una de las 3 blusas diferentes. Las 4 filas corresponden a las 4 faldas de las que se dispone. Se deberá establecer la relación de estas situaciones con las escrituras aditivas en un principio y multiplicativas posteriormente. En una escritura como 3 + 3 + 3 + 3 = 12, será necesario que el docente organice una discusión sobre qué representar en la situación cada uno de los números 3 presentes en la cuenta y distinguir claramente que cada 3 no representa las 3 blusas, sino a ciertos trajecitos: los armados con una misma falda y las 3 blusas.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones

Problemas aditivos y

multiplicativos

4.4 Distinguir problemas aditivos y multiplicativos

Una vez que los alumnos han empezado a identificar las multiplicaciones que corresponden a los problemas que resuelven, es conveniente alternar problemas que impliquen sumas de sumando desiguales (problemas aditivos) y otros que impliquen sumas de sumandos iguales (problemas multiplicativos) para que empiecen a distinguir en que casos los problemas se pueden resolver con una multiplicación y en cuáles no. Este trabajo deberá ampliarse a la discusión sobre las escrituras aditivas y multiplicativas. Dado un problema se podrán presentar distintos cálculos aditivos y multiplicativos y solicitar que seleccionen aquéllos que permitan resolver el problema. Por ejemplo: En la estantería de la tienda hay 6 cajas de 8 botes de leche, pero 3 botes ya tiene fecha vencida. ¿Con cual de las siguientes operaciones se puede averiguar cuántos botes de leche pueden ser vendidos?6 + 8 - 3 =6 x 8 + 3 =6 x 8 - 3 = La discusión sobre la resolución del problema, el resultado y la selección de una escritura deberá ayudar a determinar las relaciones entre las operaciones y a la vez sus características específicas.

Cálculo mental Números naturales

4.5 Calcular mentalmente algunos productos de dígitos utilizando diversas estrategias.

Uno de los propósitos de las actividades de cálculo mental es favorecer que los alumnos encuentren formas económicas de calcular las sumas de sumandos iguales, por ejemplo, sumar el doble de un sumando en lugar del sumando simple. Por ejemplo, para sumar 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = puede sumarse 6 + 6 + 3 y finalmente 12 + 3 = 15. También se propicia que los alumnos vayan memorizando algunos productos de dígitos, lo que les facilitará resolver situaciones que implican cálculos más complejos.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a Forma Figuras planas 4.6 Reproducción de figuras por trazado.

Elaboración de grecas con varios ejemplares de una misma unidad, sea lineal, sea cubriendo el plano.Trazado de grecas, lineales o en el plano sobre papel cuadriculado. (Continuar una greca ya iniciada o diseñar una).

EspacioSistemas de referencia

4.7 Aprender a ubicarse en relación con el entorno

Enfatizar lo relativo de las expresiones: afuera del aula, dentro de la escuela, delante de José, etc. En cada caso, enfatizar el sistema de referencia.Tratar la relatividad de las posiciones izquierda y derecha, si los interlocutores están uno detrás de otro o uno enfrente de otro, o en cualquier posición. Por ejemplo, varios niños alineados, en ronda o que rodean a uno, reconocer la mano izquierda, el pie derecho, etc. de cada uno de ellos

Medida Unidades 4.8 Comparar cantidades de dineroSe trata de familiarizarse con billetes y monedas de distintos valores. Componer una cantidad de dinero dada, de diferentes maneras, así como de comparar cantidades de dinero.

Man

ejo

de

la I

nfo

rmac

ión


Diagramas y tablas

4.9 Lectura de información contenida en portadores diversos.

La escuela primaria debe brindar a los alumnos situaciones en las que sea necesario extraer información de los distintos recursos que se utilizan habitualmente para comunicarla, como tablas, esquemas, textos, gráficos, carteles, etc., y aprender a seleccionar aquélla que necesiten para responder a las preguntas que se planteen. El docente deberá tener en cuenta que la información contenida en el portador seleccionado pueda ser abordada por los alumnos a partir de sus conocimientos y experiencias. También se iniciará el trabajo de lectura con tablas de doble entrada.


Nociones de probabilidad

4.10 Determinar regularidades en los resultados de juegos de azar.

En juegos donde es necesario obtener ciertos valores para ganar, por ejemplo, números del 2 al 12 con un par de datos, los niños podrán observar que algunos números aparecen con menor frecuencia que otros: el 2, 3, 11 y 12. Se trata de una constatación empírica, sobre la cual se podrán iniciar algunas reflexiones sobre la relación entre la dificultad de aparición de ciertos números y las distintas posibilidades de obtenerlo como suma de otros números. Por ejemplo, constatar que el número 7 puede aparecer como suma de varios pares de números 6+1, 5+2 y 4+3 y en cambio el 2 sólo puede resultar de la suma de 1+1.

BLOQUE V

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

5.1 Resolver problemas utilizando descomposiciones aditivas de los números en múltiplos de 10.

La descomposición aditiva en múltiplos de 10, por ejemplo de 325 como 300 + 20 + 5 o bien en términos de “cienes”, “dieces” y “unos” aunque no se escriban aún en términos de productos y sumas, permite comparar números, distinguir el valor de las cifras en función de su posición en la escritura de los números, comprender los algoritmos, estimar resultados, etc. Por ejemplo en el ejercicio: Indicar cuál es el número mayor de los siguientes pares:200 + 40 + 9 y 259 900 y 800 + 90 + 9 o bien 300 + 40 + 8 y 400 + 5, las descomposiciones permiten realizar algunos razonamientos que ponen en juego propiedades de los números o de las operaciones: en el primer caso, pensar en 259 como 200 + 50 y algo más ya es suficiente para determinar que 259 es mayor que el otro número. O en el último caso, lo que se sume a 300 (del orden de decenas y unidades) no puede superar a los 400 del número de la derecha. También podrá utilizarse el dinero como soporte para establecer relaciones entre las descomposiciones aditivas y la escritura de los números. La presencia habitual del dinero en la vida de los alumnos, lo convierte en un objeto familiar con el que la mayoría de los niños tiene algún grado de interacción. Se podrán presentar problemas como los siguientes: Juan tenía en la billetera de sus ventas a la mañana: 3 billetes de $100, 6 billetes de $10 y 6 de $1, ¿cuánto dinero cobró? Es más dinero que lo que cobró ayer que fueron 12 billetes de $10? La relación entre los 12 billetes de 10 con 1 billete de 100 y 2 de 10, permitirá también discutir el valor de cada cifra en la escritura de los números.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to

alg

ebra

ico


operaciones


5.2 Resolver problemas de reparto y agrupamiento (con cocientes alrededor de 10) mediante distintos procedimientos

En este grado escolar se espera que los alumnos desarrollen diversos procedimientos para resolver problemas que implican dividir utilizando sus conocimientos sobre el conteo, la suma, la resta y eventualmente la multiplicación (esta última se empieza a usar de manera más sistemática hasta tercer grado). En problemas de tipo reparto, por ejemplo, repartir en partes iguales 15 dulces entre 5 niños, un procedimiento que los alumnos de este grado deben dominar, es el reparto cíclico (ir repartiendo un dulce por cada niño, hasta agotar los dulces). Este procedimiento no está exento de dificultades: repartir siempre en el mismo orden, dar siempre la misma cantidad, no repartir cuando ya no alcanza para otra ronda. Debido a que los alumnos lo vienen utilizando desde primer grado, se espera que ahora lo puedan establecer gráficamente, por ejemplo, organizando arreglos rectangulares:

X X X X X

I I I I I

I I I I I

I I I I I

“Tres dulces por niño”

Para resolver problemas de división tipo agrupamiento, por ejemplo, “En cada paquete vamos a poner 5 chocolates. ¿Cuántos paquetes formaremos con 30 chocolates?” un primer procedimiento puede consistir en representar los 30 chocolates, formar grupos de 5 y contar los grupos. Un procedimiento que prescinde de la representación y que los alumnos de segundo grado pueden ya utilizar consiste en ir sumando de cinco en cinco hasta obtener 30 y contar el número de sumandos. Además, los alumnos pueden empezar a usar la multiplicación como el recurso para encontrar un cociente. Se recomienda ver los comentarios que se hacen al respecto en tercer grado.En ambos tipos de problemas es importante que los alumnos aprendan a verificar sus resultados. Este hábito puede favorecerse planteando al término de las resoluciones preguntas como ¿están seguros de que estamos bien? ¿Qué podemos hacer para estar seguros? Al principio, las verificaciones pueden hacerse con material concreto (una vez que han encontrado un resultado, pueden hacer el reparto o los agrupamientos con material), pero es recomendable que poco a poco empiecen a usar formas numéricas de verificar: por ejemplo, en un problema de reparto se puede verificar el resultado sumando lo que le tocó a cada niño y viendo si coincide con el total

Versión Preliminar



Números naturales

5.4 Determinar regularidades en las operaciones, que permitan obtener resultado

Para continuar con el estudio de la resta por parte de los alumnos se pueden proponer para encontrar el resultado, series de sumas o restas cuyo análisis permite empezar a determinar algunas propiedades de esas operaciones. Por ejemplo:23 + 5 =23 + 6 = 23 + 7 = 23 + 8 = O bien: 46 – 17 =47 – 17 =48 – 17 =… El docente podrá preguntar a los alumnos si descubrieron algo que les permita encontrar más rápidamente el resultado e incluso inventar nuevos cálculos de ese tipo. Los alumnos podrán dar alguna formulación similar a: si a uno de los números le sumo 1, al resultado también hay que sumarle 1 o, si en la resta al minuendo le sumo un número y dejo el sustraendo igual, el resultado también irá creciendo de a 1. El docente podrá proponer para su estudio otras formulaciones: ¿y qué pasará con el resultado si a cada uno de los dos números de una suma se le suma 1?

Sen

tid

o n

um

éric

o y

p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

5.5 Seleccionar el recurso más pertinente para resolver un cálculos

Una de las capacidades que se deberá lograr que desarrollen los alumnos es la de poder determinar la conveniencia de realizar cálculos mentales o escritos más adecuados en cada caso. Por ejemplo, planteando: ¿cuáles de los siguientes cálculos lo puedes resolver mentalmente y cuáles necesitas escribirlo en columna? 300 + 250 = ; 240 + 240 = ; 548 – 239 = ; 700 – 250 = Si bien cada uno de los alumnos seleccionará el cálculo en función de sus conocimientos y habilidades, el docente podrá organizar un análisis posterior de los cálculos y de los procedimientos posibles de usar en cada caso, esto puede favorecer la circulación de procedimientos en el aula, y a los alumnos tomar conciencia de que pueden resolver muchos cálculos mentalmente y que puedan apropiarse de los procedimientos elaborados por sus compañeros.

Versión Preliminar

EJE TEMA SUBTEMA CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ORIENTACIONES DIDÁCTICASF

orm

a, e

spac

io y

med

ida

Forma Rectas y ángulos5.6 Trazar rectas y circunferencias mediante la regla y el compás.

La idea es completar líneas de puntos, o unir dos puntos con una regla.Con el compás, comenzar a hacer circunferencias, colorearlas y también recortarlas. Con el compás, dibujar anillos. Con ello comienza a evidenciarse los elementos de una circunferencia.


5.7 Ubicar objetos o seres con respecto al propio cuerpo y con respecto a otros objetos.

Enfatizar lo relativo de las expresiones: afuera del aula, dentro de la escuela, delante de José, etc. En cada caso, enfatizar el sistema de referencia.Tratar la relatividad de las posiciones izquierda y derecha, si los interlocutores están uno detrás de otro o uno enfrente de otro, o en cualquier posición. Por ejemplo, varios niños alineados, en ronda o que rodean a uno, reconocer la mano izquierda, el pie derecho, etc. de cada uno de ellos.Se sugiere realizar múltiples actividades de comunicación y después realización efectiva de la acción, donde se utilicen adverbios que indican posición: arriba, abajo, adelante, atrás, etc. Por ejemplo, ante una página de un libro, “más adelante” puede significar ir hacia el inicio del libro, o hacia el final cuando se considera adelante con respecto a la página a la que se refiere en ese momento, etc.Sobre papeles pintados para cubrir paredes, diseños de telas, etc. enfatizar la búsqueda de regularidades: qué es lo que se repite y cómo se repite (a la izquierda del oso está la pelota, etc.).

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Medida Unidades 5.8 Utilizar el calendario (meses, semanas, días).

A través del reconocimiento de actividades que se realizan periódicamente (o no), construir la idea de lo que dura un día, una semana. Reconocimiento de la información que suministra un calendario: división en meses, semanas y días, nombre y orden de los meses, nombre y orden de los días, fechas, etc. Distinguir días laborables, días feriados, meses de vacaciones escolares, etc. En vinculación con ciencias sociales, nombres de días y meses, estaciones del año, etc.Expuestos todos los meses de un año, ubicar las fechas de cumpleaños, los días patrios, identificar sucesos recurrentes: cuántos días pasan de un miércoles a otro, o cuántos días pasan entre actividades escolares (por ejemplo la clase de educación física), qué relación hay entre las fechas correspondientes a un día durante un mes, por ejemplo el primer miércoles es 3, el segundo es 10, etc. (Esta búsqueda de regularidades favorece la vinculación con actividades similares en el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico”).

Versión Preliminar


Versión Preliminar

Man

ejo

de

la I

nfo

rmac

ión



información

5.9 Seleccionar la información necesaria en portadores diversos

La selección de la información necesaria para una tarea, presente en algún portador es una de las capacidades más importantes a desarrollar en la escuela. Por ejemplo, el caso de los carteles con variada información de productos, características de ellos y sus precios a fin de seleccionar aquéllos que se desea comprar. Si se trata de hacer un pastel para el cual se necesitan ciertos productos, se puede proveer a los alumnos un cartel con los productos y precios, atendiendo a que los valores involucrados puedan ser trabajados por los alumnos.

Representación de la información Diagramas-Tablas

5.10 Representar información en tablas de doble entrada

Cuando se dispone de abundante información es conveniente organizarla para poder tratarla y extraer nueva información. Los alumnos deberán aprender a elaborar recursos instrumentos para organizar la información pero también conocer los existentes en la cultura, como las tablas de doble entrada. Estas podrán ser utilizadas para volcar distintas informaciones, por ejemplo: si se conoce que dos equipos (identificados con los nombres Aguilas y Chivas) participan en una triatlón, donde acumulan puntos en natación, maratón y bicicleta. Para volcar los puntajes correspondientes se podrá hacer una tabla de doble entrada como la siguiente:

AguilasChivas

Natación

Maratón

Bicicleta

Totales

Versión Preliminar

Tercer gradoMarzo de 2008

Bloque I


Se

nti

do

nu

mé

ric

o y

pe

ns

am

ien

to a

lge

bra

ico

Significado y uso de

números

Números naturales

1.1 Utilizar la información que provee cada una de las cifras de un número en su descomposición en “unos”, “dieces”, “cienes” y “miles” para resolver problemas.

Comprender el sistema de numeración escrito y en particular la información que provee cada una de las cifras de un número se aprende a lo largo de los años de escolaridad.Se podrá trabajar con colecciones organizadas a partir de agrupamientos de a 10, 100, 1000, etc. Por ejemplo, el encargado de preparar los pedidos de gelatina para los comedores escolares leyó el pedido: Preparar 683 postres de gelatina. Para su reparto colocan las gelatinas en cajas de a 10 y luego 10 cajas las colocan en una caja más grande. Si lleva 7 cajas grandes, ¿le alcanzarán las gelatinas para todos los niños? Y si quisiera llevar justo lo que le piden, cuántas cajas de 100, cuántas de 10 y cuántas gelatinas sueltas debería llevar?La escuela N°23 pidió 405 postres. Recibió 4 cajas de 100 y 5 cajas de 10, ¿les enviaron correctamente el pedido? Este conocimiento sobre las cifras será utilizado también para comparar números, por ejemplo: 398 y 501, para lo cual es suficiente comparar la primera cifra de ambos. ¿Se puede usar ese recurso, es decir comparar solamente la primera cifra de cada número para comparar cualquier par de números, por ejemplo los números 81 y 235? Por otra parte se darán los nombres de unidades, decenas y centenas, referidas en un principio al número de unos, dieces, cienes, …

1.2 Organizar grandes colecciones para facilitar el conteo o su comparación con otras colecciones.

Se continuará discutiendo la necesidad y a la vez comodidad de organizar las colecciones para determinar su número de elementos y facilitar el control del resultado. Si se trata de una colección de objetos móviles los alumnos podrán descubrir que organizada en subcolecciones de a 5 o de 10 elementos, su conteo podrá realizarse fácilmente recurriendo a las escalas del 5 o del 10, y a la vez descubrir que otros números no constituyen una ayuda tan útil como esos números. En los casos de una colección ya organizada en forma rectangular se podrá recurrir a la multiplicación una vez determinados el número de filas y de columnas. Otra posibilidad es marcar cada uno de los objetos ya contados, si no pueden ser desplazados.

Versión Preliminar

EJE TEMA SUBTEMA CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

Se

nti

do

nu

mé

ric

o y

pe

ns

am

ien

to a

lge

bra

ico

Significado y uso de

números

Números naturales

1.3 Identificar regularidades en la serie numérica para interpretar, producir y comparar escrituras numéricas de distinta cantidad de cifras.

Trabajando con números mayores a 100 se podrá organizar un cuadro para alguna centena, por ejemplo desde 700 a 799. En ella se seguirán descubriendo las regularidades ya percibidas con números más chicos. Por ejemplo, que después de un número que termina en 9 sigue uno que termina en 0; que en cada fila se pueden reencontrar los números de una decena, por ejemplo desde 720 a 729. También se podrá analizar qué serie de números se enunciará si se suma de 10 en 10 a partir de cualquier número de este cuadro, o de 5 en 5. Más adelante se podrá también plantear qué sucede si a cualquier número de 3 o cuatro cifras se le suma (o resta) sucesivamente 100 o 1000. Si se resta sucesivamente 10 a 789 se llegará al número 89? Y al 192? Se pedirá a los alumnos anticipar si se llegará o no a ese número, antes de realizar las restas.


Números naturales

1.4 Desarrollar procedimientos mentales de resta de dígitos y múltiplos de 10 menos un dígito, etc. que faciliten los cálculos de operaciones más complejas.

El cálculo mental constituye un recurso importante para estimar o controlar los resultados, para tomar decisiones en algunos casos, … En particular, será necesario seguir trabajando el cálculo mental con restas, ya que su aprendizaje es más lento que el de la suma. Además, al utilizar el algoritmo de la resta de números de varias cifras, se realizan restas de dígitos o de bidígitos menos un dígito, cuyos resultados memorizados facilitan seguir los pasos del algoritmo. Por ejemplo en la resta de 572 – 289 = se deberá realizar 12 – 9 y luego 16 – 8. Las restas con dificultad que aparecen son aquéllas comprendidas entre 10-9, 10-8, … 10 – 1; 11-9…. 11-2,… 17-9, 17-8 y 18 – 9. La reflexión sobre cómo resolver mentalmente tales restas, ayudará a su memorización. Por ejemplo para restar 13 – 8 puede realizarse 13 – 3 = 10 y 10 -5= 5. O bien, podría buscarse el complemento de 8 a 13, agregando 2 para llegar a 10 y luego 3 para llegar a 13. Estos u otros procedimientos realizados por los alumnos serán discutidos y puestos en práctica en otros cálculos.

Versión Preliminar


Se

nti

do

nu

mé

ric

o y

pe

ns

am

ien

to

alg

eb

raic

o


Multiplicación y división

1.5 Obtener de manera rápida los productos de dígitos que se necesiten al resolver problemas u operaciones.

A lo largo del presente grado escolar los alumnos deben ir memorizando los productos de dígitos y deben desarrollar formas de calcular los productos que no se saben a partir de los que sí se saben. A continuación se dan algunas recomendaciones.

Plantear con frecuencia problemas que implican multiplicar dígitos y también actividades en las que se trata únicamente de calcular productos;

Desde el principio del ciclo escolar ir formando un registro colectivo de las multiplicaciones que ya se saben,anotándolas por ejemplo en un cartel bajo el título “Multiplicaciones que ya nos sabemos” (sin poner los resultados).

Favorecer el intercambio de los procedimientos que van encontrando para obtener productos que no se saben a partir de los que ya conocen, por ejemplo, “no sé 8 x4 pero sí sé 4x8”, o bien, para calcular cuántas estampas hay en 6 filas de 7 estampas, sumé las 35 de cinco filas más lo de una fila (es decir, 6 veces 7 es igual a 5 veces 7 más 7)

En determinado momento, los alumnos pueden elaborar un “Cuadro de Multiplicaciones” (también llamado cuadro de Pitágoras) e irlo llenando a lo largo de algunos días. Al hacerlo, pueden identificar regularidades, por ejemplo, todos los números de la fila del 5 terminan en 5 o en 0. Una vez lleno, pueden realizar actividades que apoyan la memorización, por ejemplo: se tapan varios productos con fichas. Por turnos, cada alumno dice el producto que cree que está bajo una ficha, luego la retira y si atina se queda con ella, y si no, la coloca encima de otro producto. Es recomendable que los alumnos no tengan el cuadro todo el tiempo a su disposición para seguir estimulando la memorización.

Versión Preliminar

Versión Preliminar


ORIENTACIONES DIDÁCTICASF

orm

a, e

spac

io y

med

ida Forma Cuerpos

1.6 Construir cuerpos geométricos con distintos materiales. Distinguir caras planas, aristas rectas o curvas. Contar número de caras, aristas, vértices.

Reproducción de cuerpos geométricos simples (esfera, cilindro, cubo, prismas, pirámides, etc.) con plastilina, masa o barro, o con popotes y plastilina, para estudiar sus propiedades. Tipos de manipulación con la plastilina para obtener cuerpos redondos, y para obtener caras planas. Reconocer una superficie plana apoyando una varilla que se sabe es recta, para verificar que se apoya en todos sus puntos. (Inclusive poniendo la varilla en diferentes posiciones, o pasando al ras.)Limitaciones de los materiales para obtener ciertos cuerpos, por ejemplo, con varillas que no son flexibles no se podrá obtener un cilindro. El repertorio de vocabulario específico conviene que sea reducido: “caras”, “aristas”, “cubo”, “triángulo”, “cuadrado”, etc. pero por ejemplo, un cilindro puede ser “como una lata de tomates”, etc.Reconocer, contar y registrar en una tabla (en vinculación con tratamiento de la información) el número de caras, aristas y vértices que tienen cuerpos diferentes. La idea no es trabajar sobre el nombre de los cuerpos. Por ejemplo:

Cuerposaristascaras

vértices

cubo1268

cono121

esfera010

cilindro230Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Medida Nociones

1.10 Comparar, ordenar e intercalar longitudes.

Ordenar objetos por su longitud, intercalar otros. La misma actividad, pero con tiras dibujadas. Por ejemplo, dado el dibujo de una colección de tiras con un extremo común, buscar estrategias que permitan compararlas. (Se sugiere poner a disposición de los alumnos diferentes instrumentos: regla, papel transparente, compás, papel cuadriculado, hilo, etc.).Dada una colección de objetos dibujados en una hoja, comparar distancias entre dos de ellos con recurso al compás. Plantear preguntas del tipo: ¿qué está más cerca, el reloj de la gorra o el anillo de la moneda? También distinguir qué objeto es el más cercano a...Ligada a la conceptualización de longitud, y que conduce a la necesidad de elegir el instrumento adecuado, se puede proponer a los alumnos que comparen y determinen cual es el trazo más largo, previa estimación visual. Los trazos pueden ser del tipo:

1.11 Comparar tiempos. Leer el reloj

Se trata de analizar hechos que abarquen distintas duraciones, por ejemplo: minutos, horas, días, semanas, meses, años. (Cocinar algo, el crecimiento de una planta o una mascota, esperar el verano, etcétera) A través del reconocimiento de actividades que se realizan periódicamente, construir la idea de lo que dura una semana, cuánto pasó si algo sucedió ayer, etcétera.En relación con Sentido numérico y pensamiento algebraico, utilizar fracciones usuales de esas unidades

Ma

ne

jo d

e l

a

info

rma

ció

n



1.12 Obtener nueva información a partir de datos dados.

Plantear y responder preguntas es una de las actividades importantes en Matemática. La información que se provee puede estar presente en un texto, imagen, tabla, etc. Por ejemplo, a partir de conocer información sobre el funcionamiento de una panadería – dada por el docente o recolectada por los mismos alumnos - sobre: cuántos kg de harina se procesan por día, cuántos kg de pan elaboran, cuántos se venden, tipos de bolsas en las que envasa el pan, etc. se pide a los alumnos que planteen preguntas que serán contestadas por sus compañeros. Se pueden plantear condiciones para este trabajo, por ejemplo que la respuesta no esté presente en el texto y que no haya que agregar datos par elaborar las preguntas ni las respuestas. Las preguntas serán objeto de análisis en la confrontación colectiva. Una formulación clara y precisa de las preguntas es uno de los objetivos de este tipo de tarea.

Versión Preliminar

EJE TEMA SUBTEMA CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ORIENTACIONES DIDÁCTICASM

an

ejo

de

la

in

form

ac


información


1.13 Leer información contenida en distintos potadores.

Una gran parte de la información que circula en la vida cotidiana es comunicada a través de medios gráficos como carteles, tablas, esquemas, horarios, etc.En la escuela se pretende que los alumnos, frente a la información disponible aprendan a seleccionar aquélla que necesiten para responder a la pregunta que se plantean. Por ejemplo, los envases de distintos productos de uso habitual proveen distinta información de gran valor para un consumidor. Por ejemplo en una cajita de té en bolsitas se incluye información sobre número de bolsitas, peso de cada bolsita, fecha de envase y caducidad, número de lote, ingredientes, etc. Se podrá preguntar por ejemplo: Si las cajitas se envasan a su vez en cajas de 10 cajitas, ¿cuántas bolsitas habrá en una caja? O ¿Cuál es el tiempo de duración del producto determinado por la empresa?

Versión Preliminar

Bloque II (3°)


Se

nti

do

nu

mé

ric

o y

pe

ns

am

ien

to a

lge

bra

ico


Números naturales

2.1 Comparar u operar cantidades usando composiciones y descomposiciones aditivas y multiplicativas.

Muchas situaciones pueden ser resueltas con facilidad si se conocen distintas representaciones de los números y se es capaz de utilizarlas según la situación que se pretenda tratar o resolver. Así un número como 24 puede ser pensado como 4x6 si se trata de determinar cuántas cajitas de 6 jabones se necesitan comprar para tener 24 jabones, o bien como 30 – 6 para conocer el vuelto que se tiene que recibir al pagar $24 con $30,… También determinar que 200 + 64 > 179, ya que 179 es 100 + una cierta cantidad, que no podrá igualar el 200. En cuanto a las descomposiciones multiplicativas, se podrá determinar que 48 < 36 ya que 48 se puede pensar como 12 x 4 y 36 como 4 x 9.También se podrá plantear: Averiguar cuál es el número mayor: 6 x 9 o 6 x 9 x 2; 14 x 18 o 7 x 2 x 3,… En cada caso puede determinarse el número mayor sin necesidad de calcular el resultado, relacionando los números y las operaciones presentes en cada expresión.

2.2 Relacionar escrituras aritméticas y nombres de números.

El nombre de los números provee información que no siempre es visible en la escritura. Por ejemplo, al pronunciar las primeras palabras de los nombres de algunos números ya se puede saber cuántas cifras tendrá el número, por ejemplo tres mil … tendrá 4 cifras, mientras que la escritura del primer número (o incluso de 2) no determina la cantidad de cifras, por ejemplo 34… Lo anterior es verdad sólo en el universo de los números conocidos por los niños, ya que “tres mil…” podría corresponder al nombre de un número como tres mil millones que tiene más de 4 cifras. Por otra parte, además de la relación entre nombre y escritura del número con cifras, se establecerán relaciones entre nombres y sus descomposiciones aditivas. Por ejemplo, números como “tres mil cinco” cuya escritura es compleja para los alumnos podrán ser relacionados con una expresión aditiva como 3000 + 5 y por lo tanto podrá ser escrito correctamente como 3005.

Versión Preliminar


en

tid

o n

um

éri

co

y p

en

sa

mie

nto

a

lge

bra

ico


Números fraccionarios

2.3 Utilizar las fracciones del tipo m/2n

(medios, cuartos, octavos,…) para expresar oralmente y por escrito medidas diversas.

Para propiciar un primer acercamiento en clase a la noción de fracción se puede aprovechar el uso frecuente que se hace en el comercio de fracciones de unidades de medida, como medios, cuartos y octavos de litro de crema. Se recomienda conseguir una diversidad adecuada de recipientes y plantear actividades como las siguientes: - Estimar el número de veces que el contenido de un bote de un cuarto de litro o de medio litro cabe en un bote de un litro. Comprobar trasvasando - Utilizar oralmente los términos “medio litro, un cuarto de litro” para referirse a la capacidad de los botes correspondientes; inferir el significado de “un octavo de litro” (la cantidad que cabe ocho veces en un litro); - Escribir esas fracciones con notación convencional (1/2 litro, ¼ de litro, 1/8 de litro); Utilizar escrituras aditivas con esas fracciones para expresar diversas cantidades, por ejemplo, “½ litro + ¼ litro”; Las fracciones no unitarias (es decir, con numerador mayor que uno) se pueden introducir como la forma de representar sumas de fracciones unitarias con mismo denominador (¼ + ¼ + ¼ se escribe ¾).- Resolver problemas de comparación y de suma y resta como los siguientes: “La señora Pérez desea comprar 5 y litros y medio de crema. En la tienda nada más hay tres botes de un litro y botes de un cuarto de litro” Indica los botes que debe comprar”; “Luis usó medio litro de pintura para pintar y Rosa usó tres cuartos de litro. ¿Quién usó más pintura?Se sugiere también propiciar la construcción de un sistema de medidas de longitud formado por unidades, medios, cuartos, octavos de unidad (la unidad puede ser el metro o una unidad no convencional), y utilizarlo para medir y registrar la longitud de diversos objetos.

Versión Preliminar


en

tid

o n

um

éri

co

y p

en

sa

mie

nto

alg

eb

raic

o


operaciones


2.4 Resolver problemas multiplicativos correspondientes a distintos

significados de la multiplicación.

Comprender la noción de multiplicación implica identificar a tal operación como recurso para resolver problemas en distintas situaciones. Para la multiplicación se trabajará en situaciones que correspondan a organizaciones rectangulares como en el caso de determinar el número de butacas en un cine conociendo el número de filas y la cantidad de butacas en cada fila. También en situaciones de medida, donde se conoce el número de subcolecciones y el cardinal de cada una y se pretende determinar el total de elementos de la colección. Por ejemplo cuando se sabe que en cada caja hay tantos elementos y que se tienen tantas cajas, o bien que cada botella tiene una cierta capacidad y se quiere conocer la cantidad de líquido que hay en total.En relación con el subtema “Figuras Planas” de este bloque, proponer actividades de conteo de vértices y lados en los polígonos construidos.En relación con el subtema “Unidades” de este bloque, pedir a los alumnos que construyan segmentos de cierta longitud y orientación, o dados dos puntos de una recta marcar el segmento con esos extremos y determinar su longitud. Allí mismo pedir que encuentren otros segmentos en esa recta que posean la misma longitud.Proponer el dibujo de segmentos que cumplan condiciones como: “Tienen un extremo en común”, o “están en la misma recta”, “se cortan por su mitad”, etc. En un juego pedir a los alumnos que marquen un punto en un papel y que encuentren puntos a una distancia determinada, gana el equipo que más puntos encuentra. (Esto último preparatorio para el conocimiento “circunferencia”).


Números naturales

2.5 Utilizar caminos cortos para multiplicar dígitos por 10, por 100 y por

sus múltiplos (20, 30, 200, 300, etc.)

Saber calcular rápidamente productos de dígitos por 10 y 100 y por múltiplos de estos números (20, 300) puede ser muy útil para calcular otros productos y para hacer estimaciones. Se puede, por ejemplo, pedir a los alumnos que usen la calculadora para encontrar productos de varios números por 100. Las operaciones y los resultados se anotan en el pizarrón y se analizan colectivamente las regularidades. Después se les puede plantear: “¿Alguien sabe una manera rápida de multiplicar un número por 100?”. Algunos alumnos pueden proponer poner un cero o dos ceros. Se verifica con la calculadora.

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma

Cuerpos 2.6 Representar cuerpos gráficamenteRepresentación gráfica de cuerpos y objetos que están a la vista. Se trata de analizar la información que da cada tipo de representación.

Figuras planas2.7 Describir e identificar figuras planas

Reproducir el contorno (o hacer sellos) sobre una hoja de papel de las caras de diferentes cuerpos. Calcar todas las caras de un poliedro dado, y controlar que efectivamente están todas. Analizar las figuras obtenidas según: todos los lados rectos o no, y en los polígonos, número de lados. Utilizar vocabulario técnico reducido: “caras”, “lados”, “triángulo”, “cuadrado”, “rectángulo”.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Espacio Representación

2.8 Identificar los puntos cardinales en un lugar conocido. Establecer relaciones entre ellos.

Identificar los cuatro puntos cardinales en un lugar conocido por todos, por ejemplo, en la escuela. Si se hacen salidas grupales, aprovechar esas ocasiones para repetir la actividad.Determinar la posición del sol, desde un lugar cerrado, observando la sombra de un objeto.

MedidaEstimación y

cálculo

2.9 Estimar longitudes y verificar con la regla.

Aunque en grados anteriores los alumnos aprendieron a medir longitudes yuxtaponiendo varios ejemplares de una misma unidad, o iterando una unidad, el uso de la regla necesita un tratamiento específico. Aparecerá, en relación con las unidades de longitud, el reconocimiento del centímetro y del milímetro como unidades de longitud.Actividades de comunicación relativas al trazado de segmentos de longitud dada a través del uso de la regla, pondrán en juego prácticas ligadas a la medición de longitudes: ¿se empieza a medir por el inicio de la regla, por 0 o por 1?, ¿cuál es la longitud de un segmento si llega hasta el número 4 de la regla? ¿qué longitud tiene si llega hasta dos rayitas más después de 5?Se pueden proponer actividades de identificar objetos que estén en un rango determinado de longitud, por ejemplo: buscar algo que mida entre 9 cm y 11 cm, y verificar luego con la regla.

2.10 Utilizar el reloj para verificar estimaciones de tiempo.

Por ejemplo, anticipar una hora dado el inicio y cierta duración; determinar duraciones entre dos horas dadas; dada la hora de finalización de una actividad y su duración, determinar la hora de inicio.Anticipar y luego verificar con un reloj, cuánto se va a demorar la clase en realizar una actividad determinada.

Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



2.11 Elaborar portadores de información.

Paralelamente al trabajo con portadores de información es conveniente plantear a los alumnos situaciones de diseño de portadores. Por ejemplo, diseñar un boleto de camiones con los espacios en blanco necesarios para que al momento de venderlo, pueda ser completado por el encargado. En el aula, esta tarea se planteará sin haber mostrado previamente algunos boletos a los alumnos, ya que diseñarlos implica determinar cuáles serían aquéllos datos que es necesario incluir. La clase puede ser organizada en pequeños grupos y en cada uno de ellos, acordar qué datos incluir y luego realizar el diseño. Esas propuestas serán discutidas en la clase y se acordará la elaboración de un único boleto que incorpore los aportes y modificaciones realizadas. Posteriormente podrá ser cotejado con boletos reales.


información

Diagramas-Tablas

2.12 Diseñar tablas para representar correspondencias entre datos.

En el caso de situaciones en las que se dispone de varios datos y es necesario determinar otros, es práctico organizarlos en una tabla. Por ejemplo, si para las fiestas, en un comercio se ofrece preparar las compras como regalos con un costo de $15, se pueden dar distintos montos de la compra, y es necesario calcular cuál es el nuevo monto. En este caso se está disponiendo de un operador aditivo constante “+15” . Organizados los datos en una tabla es posible establecer otras relaciones numéricas.

Versión Preliminar

Versión Preliminar

Bloque III (3°)


en

tid

o n

um

éri

co

y p

en

sa

mie

nto

alg

eb

raic

o



3.1 Utilizar las fracciones del tipo m/2n

(medios, cuartos, octavos, ...) para expresar oralmente y por escrito el resultado de repartos.

Los repartos, constituyen otra fuente de problemas adecuada para el estudio de las fracciones en el papel de expresar cantidades. Se sugiere plantear repartos concretos (por ejemplo, hojas que representan pasteles, entre niños), en los que los resultados sean a veces menores que una unidad y a veces mayores (3 “pasteles” entre 2 niños, 5 “pasteles” entre 8 niños). Con frecuencia, antes de llevar a cabo un reparto, conviene pedir a los alumnos anticipaciones como: - Decir si creen que a cada quien tocará más o menos de un pastel, más o menos de medio

pastel y argumentarlo.- Dados dos repartos muy fáciles de comparar, por ejemplo, con un término común como en

“un pastel entre cuatro niños” y “un pastel entre dos niños”, decir en cuál creen que los niños recibirán más pastel y argumentarlo.

Después de realizar el reparto físico, los alumnos pueden: - verificar que las partes que obtienen son iguales;- ver si su anticipación fue correcta;- comparar el resultado de su reparto con el que obtuvieron otros alumnos o equipos, pues

cada uno pudo haber hecho particiones diferentes; - expresar el resultado del reparto usando fracciones o escrituras aditivas con fracciones, por

ejemplo, ¾ ó ½ + ¼.Cuando hay varias unidades en juego, o particiones sucesivas de una unidad, ocurre con cierta frecuencia que los alumnos pierden de vista la unidad de referencia de las fracciones y cometen errores como llamar “un medio” a una parte que en realidad es un medio de un medio. Estos errores pueden aprovecharse para que los alumnos se den cuenta de la necesidad de hacer explícita cuál es la unidad de referencia elegida, y también para que empiecen a constatar que distintas escrituras pueden corresponder a la misma parte (por ejemplo, ¼ de unidad = ½ de ½ de unidad.


Números naturales

3.2 Estimar el resultado de un cálculo de suma o resta, a partir de descomposiciones, redondeo de los números, etc.

La estimación de resultados se planteará en distintos cálculos como sumas o restas. Por ejemplo: Sin hacer la cuenta elegir el resultado exacto: 1184 + 1276 y se da como resultados posibles: 2375, 3360 y 2460.Para ello se podrá analizar que la cifra de las unidades del resultado tiene que ser 0 ya que se obtiene de sumar 4 + 6, por lo tanto se podrá descartar el 2375 como posible resultado. Por otra parte, para elegir alguno de los otros dos, puede estimarse que un número como mil cien (más algo) más otro como mil doscientos no puede tener como resultado tres mil y algo, por lo tanto el resultado correcto será 2460.

Versión Preliminar


en

tid

o n

um

éri

co

y

pe

ns

am

ien

to a

lge

bra

ico


Números naturales

3.3 Determinar el recurso más pertinente para realizar un cálculo: calculadora, cálculo mental, cálculo escrito.

La presencia de la calculadora en la vida cotidiana ha provocado la aparición de ciertos objetivos nuevos en el aprendizaje de la matemática, como es el de determinar cuál es el recurso más pertinente para resolver un cálculo. Se espera que los niños puedan determinar que no es necesario recurrir a la calculadora para sumar 2000 + 3000, ni tampoco para sumar números como 280 + 520= ya que puede pensarse que 280 + 20 = 300 y luego al sumar 500 se obtiene 800. Se puede plantear un juego en parejas donde uno de los alumnos posee una calculadora y el otro no, ambos pueden disponer de lápiz y papel. Se organiza un mazo de cartas con cálculos, se da vuelta una tarjeta y el que da el resultado correcto más rápido se anota un punto. Gana el que tiene más puntos al finalizar el juego. Por ejemplo podrán escribirse en las cartas: 300 + 500; 79 + 97; 120 + 80=; etc. y más adelante incluir también productos. El docente planteará el análisis de los cálculos y la anticipación de en cuáles cálculos ganará la calculadora y en cuáles los alumnos que realizan cálculos mentales. Se podrá pedir además que inventen cálculos con los cuales probablemente gane la calculadora y otros con los cuales probablemente gane el cálculo mental.

Versión Preliminar


en

tid

o n

um

éri

co

y p

en

sa

mie

nto

alg

eb

raic

o



3.4 Establecer y afirmar un algoritmo para multiplicar números de hasta tres cifras por un dígito.

En este grado conviene enseñar a los alumnos el algoritmo usual para multiplicar números hasta de tres cifras solamente por un dígito. En cuarto grado estudiarán el algoritmo para el caso general.

El algoritmo debe enseñarse paso por paso, sin la expectativa de que los alumnos lo establezcan por sí mismos, pues esto es poco factible. En cambio, una vez que los alumnos ya sepan aplicar al algoritmo, se les puede pedir que lo comparen con la forma en que ellos hacían las mismas multiplicaciones (descomponiendo un factor). Esto les permitirá ver que los pasos que ellos hacían se encuentran “compactados”.en el algoritmo.

AlgoritmoProcedimient

o anterior:

2 3

135X 7 945

135X 7 35+ 210+ 700= 945

Los alumnos necesitan practicar el algoritmo para dominarlo. Las tareas se pueden diversificar y enriquecer si se combinan con actividades de estimación, de cálculo mental y con el uso de la calculadora para verificar.

Versión Preliminar

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida Forma Figuras planas

3.6 Reconocer propiedades. Ejes de simetría de una figura. Figuras simétricas.

No se piensa en la construcción (con regla y escuadra, o compás) ni de las figuras simétricas ni del eje, solamente la verificación de la simetría por plegado, o a través del calcado sobre un papel transparente.Por plegado, determinar el eje de simetría de una figura o de un par de figuras que son simétricas. Se sugiere proponer ejemplos en los que el eje de simetría no sea paralelo a los bordes de la hoja de papel o del pizarrón.

Dada una colección de figuras (poligonales o no, “geométricas” o no), distinguir por plegado cuáles son las que tienen un eje de simetría.

3.7 Reconocer figuras congruentes.

Se trata de reconocer las figuras congruentes como aquellas que coinciden cuando se las superpone. Se sugiere proponer experiencias en las que haya que hacer diferentes movimientos para lograr la superposición y tratar un universo amplio de figuras a la vez: triángulos, ángulos, cuadrados, círculos, segmentos, figuras de lados curvos, convexas y no.

EspacioSistema de referencia.

3.8 Reproducir figuras en una cuadrícula o red de puntos.

Sobre una red (cuadriculada, triangular, etc. con las rectas trazadas o en una red de puntos igualmente distribuidos) se da un modelo para reproducir en otra red del mismo tamaño. Más adelante se puede plantear comunicar qué puntos se deben unir para reproducir la figura. Se verifica por superposición (en relación con la noción de congruencia). Puede darse también una red de diferente tamaño a la del modelo, ampliada o reducida.Profundizar los procesos de búsqueda de regularidades, y relacionar con el subtema “figuras planas”.

3.9 Ubicar objetos en el espacio.

Describir e interpretar consignas que indiquen la ubicación de objetos en un espacio, “organizado” o no. Por ejemplo, ante un armario, ubicar un objeto que está a la izquierda, en el tercer estante empezando a contar desde arriba, o en el primer cajón de la izquierda, etc. Y también, leer el cartel que está sobre el pizarrón, a la izquierda.


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Medida

Conceptuali-zación

3.9 Comparar superficies.

Este conocimiento está estrechamente vinculado con la estimación y cálculo de áreas. Con varios ejemplares de una misma unidad de área (no necesariamente cuadrada, sino triángulos, rectángulos, círculos, etc.) cubrir una superficie determinada y contar cuántas veces entra esa unidad en la figura. Repetir la medición de esa figura utilizando otra unidad. Analizar los problemas relativos a cuáles son las figuras más convenientes para cubrir una superficie; y dado que las superficies a medir pueden ser poligonales o no se presentarán los problemas de error en la medición, y las mediciones por defecto y por exceso (la menor área que cubre completamente la figura y la que “sobra”).En lugar de cubrir con varios ejemplares de una figura unidad, se puede medir el área con un reticulado (cuadriculado, o triangular, o rectangular) trazado sobre un papel transparente, y puesto sobre la figura (o la figura trazada sobre papel transparente). Al contar cuántas unidades entran en la figura se discutirá qué pasa con los bordes, si se da como respuesta el menor número de unidades que cubre completamente la figura o un número de unidades que supera a la figura. Surge así la idea de estimación de área. Esto se pude realizar con reticulados de distintas formas y tamaños, sean las figuras polígonos o no.

Estimación y cálculo

3.10 Estimar áreas dada una unidad no estándar

Proponer juegos de competencia para la estimación de áreas y posterior verificación, utilizando los métodos desarrollados en el subtema “Conceptualización” de este bloque.

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Medida Unidades

3.11 Comparar longitudes a través del uso de unidades.

Los alumnos disponen de varillas o tiras de papel de diferentes longitudes, varios ejemplares del mismo tamaño. Dos o tres grupos de alumnos miden y registran la longitud de una sala, y otros dos o tres grupos miden otra sala. Se trata de comparar las medidas obtenidas con respecto a una misma sala, y luego entre ambas. Se sugiere no indicar cómo realizar la medición, el problema aquí es cómo medir, cómo registrar y cómo determinar la equivalencia entre las unidades utilizadas.Estas actividades pueden realizarse varias veces, al inicio las unidades pueden ser no estándares y luego, usar varillas que midan un metro, un centímetro, etc. En relación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, utilizar fracciones usuales de esas unidades, decimales o no.

Versión Preliminar

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y

med

ida Medida Unidades

3.12 Utilizar el metro, el centímetro o el milímetro para hacer mediciones efectivas.

No se trata de reforzar las equivalencias, sino proponer mediciones efectivas donde esas unidades estén involucradas. La lectura de la regla de pizarrón, cinta métrica, etc. favorece esas construcciones. En relación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, utilizar fracciones usuales de esas unidades.Plantear el problema de la adecuación entre la longitud a medir y la unidad a usar.

Ma

ne

jo d

e l

a i

nfo

rma

ció

n


Búsqueda y organización de

información

3.13 Organizar información en función de ciertas condiciones.

En el caso de tener que desarrollar una tarea en forma colectiva, con frecuencia se necesita organizar la información y para ese caso las tablas pueden ser de gran ayuda. Por ejemplo si se trata de las actividades del aula como: limpiar el salón, tomar asistencia, repartir el material, etc. que realizarán distintos equipos cada semana, se pretende que los alumnos elaboren un registro que guarde esa información y que pueda ser consultado cada día por cualquier persona de la escuela. El docente podrá proponer una tabla de doble entrada si no es incluida por los alumnos. La situación podrá ser la siguiente: Los miércoles todos los equipos se ocupan del aseo antes de la clase. Los Lunes, Martes y Viernes los equipos 1 y 3 reparten el material. El equipo 4 toma asistencia todos los días. Los días Lunes, Miércoles y Viernes el equipo 5 controla la puntualidad y los días Martes y jueves el equipo 2.

Relaciones de proporcionalida

d

3.14 Resolver problemas en los que se conoce el valor unitario o hay que calcularlo.

Se trata de problemas donde se conoce una relación entre una cierta cantidad y la unidad y se pregunta pro el valor correspondiente a otros datos; o entre dos valores y se pregunta por el valor correspondiente a la unidad.

Bloque IV (3°)


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico



4.1 Identificar escrituras equivalentes con fracciones (escrituras aditivas, escrituras mixtas).

Tanto en las situaciones de medición como en las de reparto pueden aparecer distintas expresiones con fracciones para expresar una misma cantidad. Por ejemplo, del reparto “3 unidades entre 4” pueden aparecer ½ + ¼; ¼ + ¼ + ¼. Esta diversidad de escrituras puede aprovecharse para que los alumnos determinen si son o no equivalentes y para que empiecen a formar un repertorio de equivalencias básicas, por ejemplo 2/4 = ½; 4/4 = 1. Desde este grado, los alumnos pueden empezar también a anotar números en forma mixta, por ejemplo, 3/2 = 1½

4.2 Comparar fracciones en casos sencillos.

La actividad de anticipar, argumentar y eventualmente verificar cual de dos medidas fraccionarias es mayor ayuda a comprender la noción de fracción. Por ejemplo, se anotan en el pizarrón las medidas de dos tiras digamos, ¾ y 3/8, y se pide a los alumnos que digan cual creen que es más larga y por qué. Después, se verifica produciendo las tiras. Las comparaciones deben ser fáciles de anticipar, por ejemplo, entre fracciones con mismo numerador o mismo denominador.

Versión Preliminar



operaciones

Problemas aditivos y

multiplicativos

4.3 Resolver problemas que involucran distintas operaciones.

Si bien se trabajan problemas que se resuelven con las distintas operaciones que se van aprendiendo es importante plantear situaciones donde tengan que relacionarlas. Por ejemplo en problemas como el siguiente: Joselo y María ayudan a su papá a acomodar las naranjas para vender. Llenan bolsas con 35 naranjas y otras con 25. Ya colocaron 210 naranjas en bolsas de 35 y 150 en bolsas de 25, ¿cuántas bolsas llenaron? A la mañana vendieron 3 bolsas de 35 naranjas. ¿Cuántas naranjas les quedaron para vender a la tarde?Por otra parte se podrá presentar una lista de problemas “cortitos” (diferentes a problemas como los anteriores que poseen una cierta cantidad de datos) y solicitar que indiquen qué operación tienen que realizar entre los datos para encontrar el resultado de ciertos - En el patio hay 15 niñas y 17 niños, cuántos alumnos hay en el patio?- Si tenemos 24 botones para ponerlos como “ojitos” a ositos de juguete, ¿para cuántos ositos alcanzarán?- ¿Cuántas salchichas hay en 5 paquetes, si los paquetes tienen 6 salchichas? - Mamá preparó 26 tamales para la comida, 17 son de mole y el resto de dulce. ¿Cuántos tamales son de de dulce?- Etc. Se pedirá a los alumnos que indiquen en una tabla si para resolverlos hay que sumar los datos, restarlos, multiplicarlos o dividirlos. Se discutirá si hay diferentes respuestas, como resolver un problema de multiplicación utilizando sumas, haciendo notar que en la consigna se especifica determinar una operación “entre los datos”. Posteriormente se podrá pedir que inventen problemas que se ubiquen en las distintas columnas de la tabla.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones


4.4 Resolver problemas de multiplicación cuyo producto sea hasta del orden de las centenas mediante diversos procedimientos.

En este grado los alumnos aprenden a resolver problemas que implican multiplicar factores mayores que 10. Al principio, y dado que la suma repetida resulta ahora demasiado larga, los alumnos pueden utilizar procedimientos informales como duplicar de manera sistemática. Por ejemplo, si se trata de averiguar cuánto se paga por 24 pelotas de $35 cada una, pueden calcular el precio de dos pelotas, luego de cuatro, de ocho, de dieciséis y finalmente sumar el precio de dieciséis pelotas con el de ocho. Actividades como encontrar un producto conociendo otro son útiles para también para analizar el papel que juega cada factor y para sugerir estrategias de cálculo mental, por ejemplo, calcular el producto 25 X32, sabiendo que el de 25X30 es 750.Después de haber explorado algunos procedimientos, y antes de que se les enseñe el algoritmo para multiplicar, se puede propiciar que los alumnos pongan en juego una importante estrategia en la que se basan prácticamente todas las técnicas para multiplicar: descomponer los factores. Una forma de propiciar esta estrategia consiste en trabajar con superficies rectangulares cuadriculadas. Por ejemplo, se plantea la tarea de calcular cuántos cuadritos hay en un rectángulo de 12 cuadritos de ancho por 35 de largo. ¿Hay algún camino mejor que el de contar todos los cuadritos? Los alumnos pueden proponer sumar 12 veces 35 cuadritos. En algún momento, si los alumnos no lo proponen, se les puede mostrar otro recurso: dividir la superficie en rectángulos más pequeños. Surge entonces una nueva cuestión que puede analizarse en clase ¿cómo conviene dividirla?Si los alumnos ya conocen las formas rápidas de multiplicar por 10 y por 100, a lo largo de varias experiencias, analizando cada vez qué particiones resultan más prácticas, se les puede ayudar a ver las ventajas de partir el rectángulo en decenas y unidades, como se muestra en la figura.

30 5

10

2

NOTA: Poner a la izquierda del cuadro 10 en la primera parte y 2 en la parte más cortitaPara encontrar producto de 12 x 35, se suman entonces los siguientes productos parciales:5X2 = 105X10 = 5030X2 = 6010 X 30 = 300 420

Versión Preliminar

Versión Preliminar


Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y

pen

sam

ien

to

alg

ebra

ico


operaciones


4.5 Identificar explícitamente a la división a partir de los procedimientos utilizados.

Los alumnos han resuelto problemas de división desde segundo grado, usando las operaciones que ya conocen de nuevas maneras, sobre todo la suma y la multiplicación. Sin embargo, ellos no tienen manera de saber que lo que están haciendo corresponde a nueva operación que se llama división, por lo que esto debe enseñárseles, así como la representación convencional a : b = c. La calculadora puede ser útil en esta tarea.

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

FormaRectas y ángulos

4.6 Identificar ángulos como cambios de dirección

En vinculación con actividades deportivas y el eje “Números y operaciones”, los niños realizarán un giro, medio giro, cuarto de giro. Conviene reforzar de alguna manera el giro (sosteniendo los brazos extendidos al frente, o indicando en cada caso qué se ve al frente, etc. para acentuar de algún modo el cambio de dirección). Distinguir si se gira hacia la izquierda, o a la derecha, vincular con sentido de giro horario o antihorario.Trazados algunos polígonos en el piso, los alumnos recorren sus lados caminando, e indican primero adónde cambian de dirección (primero hacia el árbol y ahora hacia la puerta), y luego con mayor precisión si el giro es hacia la izquierda o hacia la derecha, mayor o menor que un cuarto de giro.


4.7 Identificar las casillas de una cuadrícula.

Se sugiere cambiar los tamaños de las cuadrículas, las estrategias para identificar las casillas pueden variar si se trabaja sobre una hoja o sobre un patio de juegos. Y también se sugiere considerar diferentes posiciones (en una cuadrícula sobre una mesa o en una cuadrícula sobre el pizarrón). Por ejemplo, reproducir en una cuadricula en blanco trazada sobre una hoja, un modelo pintado en otra cuadrícula más grande que está en el pizarrón.Una actividad que puede plantearse para iniciar la representación de posiciones en el plano es colocar una ficha, por ejemplo en una posición sobre un tablero de ajedrez y comunicar la posición a otros alumnos de modo que puedan descubrir la posición de la misma. Otra actividad: a partir del trazado de una cuadrícula sobre un dibujo o foto encontrar objetos elegidos en secreto de la imagen mediante juegos de comunicación entre los niños sobre donde está, pero sin comunicar las características del objeto. También se puede recurrir a “la batalla naval”.En vinculación con el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, ubicar un número en una tabla pitagórica, por ejemplo de multiplicación, o en una tabla de números organizados por decenas del 0 al 99.

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Medida Unidades4.8 Unidades estándar de capacidad y peso: el litro, el mililitro, el gramo, el kilogramo, la tonelada.

El litro y el kilogramo como unidades habituales de capacidad y peso, ya se instaló en el segundo grado. Ahora se trata de introducir otras unidades, adecuadas a las cantidades a medir. Buscar en cajas de medicamentos y los dosificadores, vasos graduados para la cocina, etc. la indicación de la capacidad. Seguramente aparecerán medidas de volumen, pero no se tratarán en este grado; lo que interesa es distinguir el litro del mililitro.Lo mismo para el gramo y el kilogramo, y los usos de la tonelada (en qué contextos aparece la tonelada como unidad de medida).Lo que podía ser verificado experimentalmente en las unidades de longitud, se trata aquí de conocer las relaciones entre unidades estándares de peso y capacidad. En relación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, utilizar fracciones usuales de esas unidades decimales o no: ½ , ¾, ¼ kilo o litro. No se trata solamente del uso cotidiano en el vocabulario, sino de proponer actividades donde efectivamente haya que determinar medio kilo a partir por ejemplo de un paquete de un kilo de azúcar y usando una báscula.Plantear el uso de unidades diferentes para un mismo elemento, por ejemplo litro o kilo de helado.

Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión


Nociones de proporcionalidad

4.9 Resolver problemas sencillos donde se conoce una correspondencia del tipo “por cada n, m”

Una situación que se puede presentar es la siguiente: En una juguetería se venden las canicas a 3 por 2 pesos. ¿Cuántas canicas se pueden comprar con 10 pesos? Y con 16 pesos? Y ¿cuánto costarían 9, 6, 15, … canicas? Se trata de situaciones que pueden ser resueltas por medio de sumas reiteradas o multiplicaciones con números naturales aún cuando el valor unitario no sea un número natural.


información

Diagramas y tablas

4.10 Extraer información de la Tabla de Pitágoras (o Cuadro de multiplicaciones)

El análisis de la tabla de Pitágoras con los productos desde 0x0 hasta 10x10 puede permitir a los alumnos ampliar su comprensión de la multiplicación y de los números, descubrir regularidades y en particular proveerles recursos para obtener distintos productos a partir de los conocidos; más adelante podrá ser utilizada para obtener cocientes. Por un lado se puede organizar juegos que consisten en tapar algunas casillas sueltas (o 2 o 3 casillas seguidas) y que los alumnos deban adivinar cuáles números están tapados y explicar por qué consideran que ese es el resultado tapado. O bien a partir de un número en particular, por ejemplo, el 25, cada alumno debe inventar productos cuyos resultados sean números “vecinos” al dado, por ejemplo que se encuentre arriba, a la derecha, a la izquierda, abajo. También se discutirán las regularidades: todos los números de la columna (o fila del 5) terminan en 0 o en 5, y pueden ser obtenidos a partir del 0 con la escala del 5; se encuentran los mismos números en forma simétrica con respecto a la diagonal de la tabla, esto pone de manifiesto la conmutatividad de la multiplicación.

Versión Preliminar

Bloque V (3°)


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o



5.1 Elaborar e interpretar representaciones gráficas de las fracciones.

Las actividades anteriores de medición y de reparto llevan a fraccionar magnitudes continuas (longitudes, superficies). Para reforzar los aprendizajes que se favorecen con esas actividades, en particular el estudio de la fracción como expresión de una relación entre una parte y un todo, es conveniente plantear además actividades en las que los alumnos elaboren o interpreten representaciones gráficas de las fracciones como las siguientes: - dada una fracción, por ejemplo ¼, marcar (sombrear, iluminar) la parte de una superficie

rectangular que se da como unidad o, recíprocamente, - dada una parte marcada en una superficie rectangular, identificar la fracción que corresponde. Deben incluirse situaciones en las que la unidad de referencia no está previamente subdividida en el número de partes que indica el denominador, por ejemplo,”Iluminar 1/4 de la figura”

Cuando se trata de representar fracciones dadas, las unidades de referencia pueden no estar subdivididas. En estos casos, los alumnos deberán aprender a decidir colectivamente cuándo la representación puede considerarse correcta y cuándo no, por ejemplo, será incorrecta cuando las partes son muy notoriamente desiguales). Conviene también solicitar formas distintas de representar una misma fracción, por ejemplo, marcar la mitad de la superficie de un cuadrado de varias maneras, para propiciar una comprensión de la fracción más allá de la forma.Las representaciones de las fracciones que los alumnos aprenden a realizar tenderán a convertirse en recursos para hacer anticipaciones sobre distintas relaciones o cálculos con fracciones.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


operaciones


5.2 Establecer algunas relaciones y propiedades de la división.

La división aparece como una operación diferente a las tres operaciones aprendidas anteriormente con los números naturales ya que su resultado está dado por 2 números (cociente y resto) y no por uno como en las otras operaciones. Los alumnos deberán aprender que relaciones se pueden establecer entre esos cuatro números, los dos dados: dividendo y divisor y los dos que conforman el resultado: cociente y resto.En distintas situaciones se podrán identificar algunas propiedades de la división como que al aumentar el dividendo, aumenta el cociente; y que al aumentar el divisor, disminuye el cociente. También pueden analizar cómo varía el residuo cuando el dividendo va aumentando o disminuyendo de uno en unoSe podrán plantear situaciones en las cuáles uno permanece constante, por ejemplo el divisor y otras donde el divisor varía pero el dividendo permanece constante. Por ejemplo, una situación de recolección de huevos donde para su venta se envasan en cajitas de a 6. A partir de la recolección de cantidades diferentes aparecerán distintos cocientes (cajitas completas) y restos (huevos con los que no se alcanza a completar otra caja).O bien se dispone de un mazo de cartas de 48 cartas, y se las distribuye a distintas cantidades de alumnos, por ejemplo, 2, 4, 6 … y también un número por el cuál no es divisible 48 como 5. En las distintas situaciones se trabajará la relación entre los números que conducirá más adelante a la relación D = dxq + r con 0≤r < d. Esta expresión no será dada a los alumnos en este nivel.

5.3 Encuadrar el resultado de divisiones entre potencias de 10: 1, 10, 100, 1000.

Si se puede determinar que el resultado de una división se encuentra entre 10 y 100, se podrá saber que el cociente tiene 2 cifras, ya que es menor que 100 y mayor que 10. Pero también a partir de multiplicar el divisor por 10 (o por 100) se podrá apreciar el tamaño posible del cociente. Por ejemplo, en el cálculo: 3100: 28, se podrá determinar que el cociente tendrá que estar comprendido entre 100 y 1000 (ya que 28x100=2800 y 28x1000=28000) y que por el tanto tendrá 3 cifras. Pero además se puede estimar que el cociente deberá ser un número cercano a 100, ya que la diferencia entre 2800 y 3100 es pequeña. Para eso se podrá calcular 28x10=280 y sumarlo al 2800 obteniendo 3080. Como con la diferencia no se puede volver a dividir, el cociente será 110 y el resto 20. Estos procedimientos permiten determinar en todos los casos el número de cifras del cociente y en algunos casos estimar con facilidad la primera cifra del cociente.

Versión Preliminar



Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


operaciones

Problemas aditivos

5.4 Resolver problemas sencillos que implican sumar o restar fracciones (medios, cuartos, octavos).

Ciertos aspectos de la adición de fracciones se empiezan a ver prácticamente desde que se comienza a trabajar con fracciones, por ejemplo, en la utilización de escrituras aditivas.A lo largo del año pueden irse planteando otros problemas que impliquen sumas o restas de fracciones con el mismo denominador. Conviene que, con frecuencia, los alumnos verifiquen, con el auxilio de alguna representación, sus resultados. Por otra parte, es conveniente insistir, cada vez que sea necesario, en la unidad de referencia. Al trabajar en el plano de las representaciones gráficas o concretas, un problema como: “Luis tiene un listón de ¾ de metro, le corta un pedazo de ¼ de metro, ¿qué fracción de listón le quedó?”, podría propiciar una respuesta como “2/3”, pues quedan dos partes de una tira dividida en tres partes.

Cálculo mental

Números naturales

5.5 Utilizar el repertorio multiplicativo para resolver divisiones.

Para encontrar el cociente de una división se puede recurrir a la relación de esta operación con la multiplicación a través de la pregunta: ¿cuántas veces está contenido el divisor en el dividendo? Esta es la pregunta que se plantea para realizar el algoritmo de la división. La respuesta puede ser un número exacto de veces o bien sobre un resto. Las preguntas podrán ser del tipo: ¿cuántas veces entra 4 en 24? Y en 45? En el primer caso la respuesta es 6, y en la segunda es 11, pero sobra 1. Y también puede plantearse: ¿Por cuánto hay que multiplicar a 6 para obtener 30? Para responder a estas preguntas los alumnos podrán utilizar la Tabla de Pitágoras.

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a


5.6 Trazar segmentos congruentes a uno dado.

Se trata de utilizar diferentes recursos, según ciertas condiciones, para obtener segmentos congruentes a uno dado. Ya los alumnos cuentan con: compás, papel transparente, regla, además de hilo, varillas, etc. Se sugiere proponer segmentos trazados o no (dados sus extremos), de diferentes longitudes en hojas de papel, en el piso, sobre el pizarrón, etc. Se sugiere tener en cuenta que el modelo y la reproducción estén o no sobre rectas paralelas, para favorecer la conservación de longitudes. Se puede vincular este contenido con los relativos a la reproducción de figuras.


5.7 Ubicar objetos sobre una cuadrícula.

Se pueden proponer actividades de comunicación en las que, por ejemplo, un equipo elige un cuadro y coloca dentro de él un objeto, después da información (oral o escrita) a los demás equipos para que éstos puedan colocar un objeto en el mismo cuadro.

Medida Unidades5.8 Estimar la relación entre la unidad elegida, y la medida para una cantidad dada.

Para cada magnitud estudiada, ofrecer experiencias de medir una misma cantidad con diferentes unidades, y analizar qué relación hay entre la unidad y el número de veces que entra. Por ejemplo, para una cantidad dada, si la unidad se duplica, la medida se hace la mitad, etc. Estas actividades están en vinculación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”.

Versión Preliminar



Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



5.9 Decidir estrategias en función del análisis de resultados posibles en juegos sencillos de azar.

Por ejemplo, en un juego con un dado, los alumnos deben elegir entre dos opciones: ganar un punto cada vez que sale el 1, 2 o 3 o ganar un punto cuando sale el 4, 5 o 6. Cada grupo de alumnos elige una de las dos opciones y se tira el dado 30 veces. Cada vez, los equipos se anotan o no un punto de acuerdo a la cara del dado que apareció. Antes de jugar nuevamente el docente plantea la posibilidad de cambiar de opción, para ello, los alumnos pueden analizar y discutir los resultados obtenidos en la primera partida. Este tipo de actividades, apunta a permitir la formulación de conjeturas – verdaderas o no – por parte de los alumnos, sobre la frecuencia de aparición de algunos sucesos; por ejemplo, en el juego mencionado: “los números más grandes salen mucho más que los chicos” y rechazarlas o no por medio de la experimentación. La discusión y análisis de las afirmaciones realizadas debería permitirles ir modificándolas.

Versión Preliminar

CUARTO GRADOMarzo de 2008

BLOQUE I


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

1.1 Resolver problemas que impliquen el análisis del valor posicional a partir de la descomposición de números basada en la organización decimal del sistema, la explicitación de las relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a un número y la interpretación y utilización de la información contenida en la escritura decimal.

Los conocimientos incluidos en este apartado se refieren fundamentalmente a que los alumnos sean capaces de explicitar las relaciones aritméticas subyacentes a un número y que sean capaces de utilizar la información contenida en la escritura decimal para desarrollar métodos de cálculo, redondeo, aproximación, encuadramiento, etc. y que les permitan resolver problemas.Se busca que los alumnos puedan “pensar” un número de muchas maneras según el problema que están enfrentando. Un número natural puede descomponerse aditiva y/o multiplicativamente de distintas maneras, por ejemplo 3000 + 300 + 500 + 587 o 2x1500 + 1300 + 11 x 5 + 32. Para conocer a qué números corresponden es necesario realizar el cálculo. Sin embargo, si se conoce la descomposición 4x1000 + 3x100 + 8x10 + 7, puede determinarse el número escribiendo únicamente los coeficientes de las potencias de 10 en la descomposición anterior y queda entonces formado el número 4387. Los alumnos deberán descubrir esta propiedad de la descomposición polinómica, formada por la suma de potencias de 10, multiplicadas por coeficientes menores que 10, a partir de las actividades y reflexiones que proponga el docente sobre descomposiciones – incluyendo distintos casos, por ejemplo, aquellas que no posean cierto nivel, por ejemplo: 9x1000 + 84 - y escritura de los números correspondientes. Los alumnos también podrán analizar que si se conoce la descomposición polinómica de dos números, pueden ser comparados a partir de los coeficientes de las mayores potencias de 10. Por ejemplo, los números 1200 + 234 + 8 y 4x1000 + 5x100 + 7 que pueden ser comparados con cierta facilidad - si se considera a 1200 como 1 x 1000 + 2x100 – a partir de comparar únicamente los coeficientes de 1000 en ambos números. Si los alumnos han iniciado en grados anteriores el análisis del sistema posicional en términos de cantidad de “unos”, “dieces”, “cienes” y “miles” de un número, se los relacionará con las denominaciones habituales de unidades, decenas, centenas, etc.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico



1.2 Resolver problemas en los que se requiera expresar y comparar medidas de longitud, capacidad, etc. utilizando fracciones menores o mayores que la unidad, en forma numérica y gráfica (medios, cuartos, octavos, tercios, sextos, …)

En 3° grado los alumnos han trabajado con fracciones cuyo denominador era en general una potencia de 2, esto puede llevarlos a que frente a cada situación intenten hacer particiones en mitades. Necesitan varias experiencias y compartir y discutir los hallazgos de sus compañeros para aprender a hacer nuevas particiones, en 3, 5, 6, … partes iguales. También se genera una mayor diversidad en las formas de realizar los repartos, por ejemplo, para 2 pasteles entre 3, pueden obtener ½ + 1/6 o 1/3 + 1/3, lo que brinda nuevas ocasiones de estudiar la equivalencia de las distintas expresiones, con apoyo del material. También ocurrirán con más frecuencia errores como asignar 1/3 en lugar de 1/6 a la porción que se obtiene al partir un medio en tres partes. Estos errores constituyen buenas ocasiones para analizar el papel de la unidad de referencia. En situaciones de medición, el sistema de medidas formado por medios, cuartos y octavos de unidad, que los alumnos utilizaron anteriormente puede complementarse con fracciones de unidad generadas por 1/3 de la unidad: 1/3, 1/6, 1/9. Esto permitiría a los alumnos identificar escrituras equivalentes como 2/6 = 1/3 o 3/6 = ½. Los alumnos deben seguir aprendiendo a expresar fracciones mayores que la unidad en distintas formas, por ejemplo 5/3 como 1 2/3 y 1 + 2/3.

Números decimales

1.3 Determinar cantidades equivalentes utilizando los valores de $1, $10, $100 (billetes o monedas) y de 10, 20 y 50 centavos.

No se pretende que en el inicio del año escolar los alumnos escriban precios y medidas con punto decimal, si bien lo harán de esa manera en los siguientes bloques. Se trata de realizar composiciones y descomposiciones de cantidades de dinero utilizando diferentes monedas y estableciendo equivalencias entre ellas. Las equivalencias permiten poner en juego algunas relaciones entre pesos y centavos que se constituirán en el punto de partida para estudiar las relaciones entre enteros, décimos y centésimos.Ejemplos: Usando billetes y monedas, escribir de distintas maneras, diferentes cantidades como $1,50, $12,20, etc.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones

Problemas aditivos

1.4 Resolver problemas que involucren nuevos significados de la adición

Los alumnos han aprendido a resolver variados problemas que se resuelven con sumas y restas. Sin embargo pueden aún establecerse nuevas relaciones que corresponden a otros significados como es el caso de operar con transformaciones. Por ejemplo, Mariela juega a las canicas, el lunes perdió 8 y el martes volvió a jugar. Cuando hizo cuentas dijo que entre los dos días había ganado 10 canicas. ¿Qué habrá pasado en el 2° día? ¿Ganó o perdió? Y cuántas canicas?En este caso se conocen dos transformaciones: la primera es una pérdida, la segunda se desconoce, pero se sabe el resultado final de ambas transformaciones. Trabajando con problemas de este tipo u otros que involucren transformaciones, los alumnos podrán ir descubriendo que a pesar de no conocer la colección inicial, pueden encontrar nuevas informaciones operando sobre las transformaciones que se realizan a la colección.En este grado se deberán complejizar los problemas aditivos, variando el número y tamaño de los números, las transformaciones que se conocen y la incógnita, así como la forma de presentación como gráficos, esquemas, tablas y plantear problemas con más de una operación.


1.5 Resolver problemas que involucren distintos significados de la multiplicación y desarrollar procedimientos para el cálculo.

Se trata de seguir discutiendo sobre las distintas situaciones que pueden ser resueltas por una multiplicación, por ejemplo, situaciones de proporcionalidad, de producto de medidas (organizaciones rectangulares) o problemas simples de combinatoria. Como ejemplo de los problemas que involucran organizaciones rectangulares se pueden mencionar los embaldosados y otros como: ¿Alcanzarán las butacas del teatro para los 400 alumnos de una escuela, si en el teatro hay 23 filas de 19 butacas cada una? En cuanto a los problemas de combinatoria, los alumnos han tenido oportunidad previamente de resolver algunos de estos problemas por medio de procedimientos como listado de todos los elementos que cumplen las condiciones enunciadas. En este grado, avanzarán en la búsqueda sistemática y exhaustiva de las distintas posibilidades.Relacionados con los procedimientos de cálculo, se trata de retomar algunos de ellos elaborados en grados anteriores, como sumas y restas reiteradas, enfatizando en los casos en que sea pertinente el uso del cálculo mental y el algoritmo convencional elaborado en 3° grado. Se propiciará además la discusión sobre la selección del tipo de cálculo a efectuar a partir de los números involucrados. Por ejemplo, mental para cálculos como: 150 x 8 (realizando por ejemplo la multiplicación por 4 y luego por 2); algoritmo escrito para otros como 78 x 9

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Forma Cuerpos

1.6 Explorar cuerpos geométricos para analizar diferentes propiedades: convexidad, todas (algunas) caras planas, todas (algunas aristas rectas), todas sus aristas curvas, número de caras, aristas y vértices, etc.

Se trata de la construcción de cuerpos con distintos materiales (sólidos con plastilina, recortando panes de jabón; con popotes y plastilina; cubriéndolos con figuras) para estudiar sus propiedades. Al contar caras, aristas y vértices, se sugiere incluir conos (1 arista, 2 caras, 1 vértice), cilindros (2 aristas, 3 caras, 0 vértices) y esferas (0 aristas, 1 cara, 0 vértices) toro (una dona, 0 aristas, 1 cara, 0 vértices), semiesfera (1 arista, 2 c, 0 v).En vinculación con el eje “Manejo de la información” los alumnos pueden construir tablas en las que consignan para cada cuerpo, el resultado del conteo de aristas, caras y vértices, e inclusive distinguir la cantidad de caras planas, aristas curvas, etc.Distinguir “todos” y “algunos” en relación con ciertas propiedades. Verificar por algún medio experimental las propiedades enunciadas, por ejemplo encontrar técnicas para hacer sellos y no olvidarse de una cara, o verificar que todos los sellos que se pueden realizar con las caras son polígonos, o todas sus aristas son curvas, etc.

Figuras planas1.7 Distinguir algunas figuras que constituyen las caras de los cuerpos.Reconocer figuras congruentes.

En vinculación con el conocimiento anterior, de estudio de los cuerpos, se trata de distinguir cuerpos que tienen todas las caras triangulares, rectangulares, etc.; o alguna cara circular, o cuadrada, etc. o ninguna cara cuadrada, etc. Ya que los alumnos tienen desde el primer grado experiencias con diferentes polígonos, tal vez sea oportuno introducir y usar ese término. No se trata de incorporar muchos nombres de distintas figuras, sino más bien de retomar los ya conocidos.A través de la superposición de sellos (o a través de la medición en el caso de aristas rectas) determinar la congruencia de caras planas o aristas.

Espacio Representación 1.8 Interpretar y diseñar trayectorias.

Con el apoyo de croquis de lugares conocidos, se trata de hacer descripciones orales sobre la ubicación de dichos lugares. Por ejemplo, si se trata de un sector urbano, se pueden distinguir las avenidas que están próximas a la escuela o algún edificio significativo, indicando el norte hacia la parte superior de la hoja. En otro sentido, los alumnos pueden dibujar trayectorias para indicar cómo se puede llegar a un lugar determinado o cuál es la vía más rápida.

En estrecha vinculación con “Estimación y cálculo”, se trata de distinguir el

Versión Preliminar


anej

o d

e la

in

form

ació

n



1.10 Leer información contenida en distintos portadores

A lo largo de la escolaridad primaria, los alumnos deberían avanzar en su comprensión de la información que se encuentra presente en distintos portadores de la vida en sociedad. En cada uno de los grados, se seleccionarán ejemplos relacionados con los contenidos de ese grado. Por ej. En un cartel se puede leer:Duela (es una madera de poco ancho, que se vende en listones, que se encastran unos en otros, para hacer pisos o techos) de 1° 1½ x 3 $5 m2, cuyo significado es: Vendo madera llamada duela, de primera (1°) calidad, de largo 1 ½ metro y 3 cm de ancho, cuyo precio es de $5 el metro cuadrado. Es interesante discutir con los alumnos que con frecuencia los anuncios están destinados a un sector específico de la sociedad y en un cierto contexto. El conocimiento de los interesados, les permite por ejemplo, determinar cuáles son las unidades de medida utilizadas. Los interesados en comprar duela, saben que la longitud se mide en metros y el ancho en centímetros. Se puede plantear a los alumnos que busquen información en su entorno o diseñen otros carteles utilizando ese tipo de escritura.


1.11 Resolver problemas que involucren relaciones aditivas entre conjuntos de datos.

Paralelamente a las situaciones de proporcionalidad se debe organizar un trabajo con relaciones aditivas. Un ejemplo característico de esas relaciones es la diferencia de edad entre hermanos. Se puede plantear: Jorge tiene 4 años y su hermano mayor tiene 9, ¿qué edad tendrá el hermano de Jorge, cuando éste tenga 8 años? ¿Y cuándo tenga 15? Y cuando el hermano tenga 20, cuántos años tendrá Jorge?Uno de los recursos de los alumnos para encontrar la edad del hermano de Jorge, puede consistir en relacionar las diferentes edades de Jorge, por ejemplo, pensar que cuando Jorge tenga 8 años, doble de 4, entonces el hermano también tendrá que tener el doble de edad, es decir tendrá 18, y verificar que esta respuesta no es correcta, ya que si Jorge pasó de 4 a 8, significa que transcurrieron 4 años, por lo tanto su hermano tendrá 13 años. Se tratará de identificar que siempre habrá la misma diferencia de edad entre ellos. Trabajar con este tipo de relaciones permitirá también acotar el dominio de utilización de la proporcionalidad, ya que no en todas las situaciones donde se relacionen datos, se verificará que “al doble le corresponde el doble”

Versión Preliminar

BLOQUE II


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o



2.1 Calcular fracciones de magnitudes continuas (longitud, superficie de figuras) y recíprocamente, establecer qué fracción es una parte dada de una magnitud

En 3° grado los alumnos empezaron a aplicar fracciones del tipo m/2n (medios, cuartos, octavos) a magnitudes continuas como longitudes o superficies y también a identificar las fracciones que corresponden a partes de dichas magnitudes (se recomienda ver el comentario correspondiente en tercer grado) En este grado pueden resolver una gama más amplia de problemas: las fracciones que se aplican o se identifican pueden ser distintas a m/2n , pueden ser unitarias o no unitarias, mayores o menores que la unidad. Las unidades de referencia pueden ser diversas: superficies de rectángulos, de triángulos, de círculos, de figuras irregulares sobre las que pueda iterarse una subunidad. Cuando se trata de identificar la fracción que corresponde a una parte de unidad, pueden introducirse situaciones en las que la unidad está subdividida en un número de partes distinto al que indica el denominador o en partes desiguales, por ejemplo:¿En qué figura está pintada la mitad de la superficie? ¿La tercera parte? ¿La cuarta parte?

Cuando la unidad es la superficie del círculo, los alumnos pueden establecer qué fracciones se pueden marcar trazando diámetros (medios, cuartos, octavos, …) y cuáles en cambio requieren de trazar radios o diámetros y radios. Debe recordarse que no se trata de que los alumnos hagan representaciones muy precisas, únicamente lo suficiente para poder identificar sin ambigüedad de qué fracción se trata. Y en otro contexto, preguntar: ¿qué parte del terreno le tocó a Juan si sólo le dieron 50 m2? Finalmente, en este grado los alumnos pueden empezar a resolver situaciones en las que no se da la unidad de referencia, pero sí la parte, y debe construirse la unidad, por ejemplo: “Esto es 1/5 de barra de chocolate. Dibuja la barra completa”

Versión Preliminar

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico Significado y

uso de los números

Números decimales

2.2 Utilizar escrituras con punto decimal hasta centésimos en contextos de dinero y medición. Leer, escribir y comparar precios que involucren pesos y centavos, escritos como números decimales

Si bien, la justificación de por qué escribir $2 y 50 centavos como $2.50 será tratada en grados posteriores, se iniciará su uso en éste, tomándolo como un conocimiento social. Se trata de representar con escrituras con punto decimal, cantidades determinadas a partir de pesos y centavos. Por ejemplo, se pedirá formar con, únicamente monedas de 20 centavos, la cantidad de $2.00. Se tratará de escribir la equivalencia obtenida, por ejemplo 2 = 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 o bien 10 x 0.20. De la misma manera: si se dispone de 3 monedas de 50 centavos, y una de 20 centavos se tendrá la cantidad de $1.70. Dado que se trabajará en contextos de dinero o medidas, sólo se utilizarán dos cifras decimales. Estas actividades deberán permitir a los alumnos ir construyendo el significado de número decimal como aquél que tiene un número finito de cifras decimales, si bien este concepto, adquirirá su pleno significado cuando se trabaje en la secundaria, con números que posean un número infinito de cifras decimales, iguales o no. Los números naturales son decimales, ya que puede considerarse que tienen cero cifras decimales. Entonces es importante trabajar a la vez con precios enteros junto con precios expresados con punto decimal. En este grado, los alumnos deberán también aprender a comparar precios a partir de su escritura, por ejemplo: comparar $3.50 con $4 y con $3.05, relacionándolos primero con los billetes y/o monedas necesarios para pagarlo y posteriormente con los valores.(Nota: relacionar con el tema Medida, si ya se puede trabajar con escribir 3 m 5 cm como 3.05 m)


Números naturales

2.3 Producir series orales y escritas de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100,… a partir de cualquier número en forma ascendente o descendente.

Con frecuencia el recitado de los números se practica únicamente en 1° o 2° grado, sin llegar por lo tanto a números mayores. Se sabe que el pasaje a la siguiente decena o a la siguiente centena, causa dificultades a los alumnos, por lo tanto se debería elegir esos pasajes para recitar números. Por ejemplo, decir los 10 próximos números de la serie numérica desde el 297 o los 5 números anteriores al 402.De la misma manera solicitar por ejemplo, series orales de 100 en 100 a partir de 89. En estas ocasiones se trata de continuar discutiendo sobre las regularidades de la serie y de las modificaciones que produce en los números, adicionar o restar unos, dieces, etc. Otra actividad que pone en juego estas relaciones es la siguiente: el docente va escribiendo números en el pizarrón mezclando unos, dieces, cienes o miles, escritos con cifras, y los alumnos por turnos dicen el resultado de sumar el número escrito por el docente al total enunciado por el alumno anterior.Ejemplo: si el docente va escribiendo la serie de números: 1-10-10-10-1-1-100-100-10 … los alumnos por turno deberían ir diciendo 1- 11 – 21 – 31 – 32 – 33 – 133 - 233 - 243 … sin enunciar la suma correspondiente.En cada caso, es necesario sumar “uno” al número anterior, la dificultad consiste en Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones


2.4 Determinar reglas prácticas para multiplicar rápidamente por 10, 100 1000, etc.

Dado que el sistema de numeración que se utiliza es el decimal, el número 10 y sus potencias juega un papel especial en los cálculos. Cualquier número puede ser descompuesto en potencias de 10, y por lo tanto las operaciones que se realicen con los números, serán finalmente operaciones sobre las potencias o múltiplos de 10. Por ejemplo, en la multiplicación puede verse que multiplicar por 35 remite a multiplicar por 30 (3 x 10) y por 5 y sumarlos. Por lo tanto el dominio que se tenga de las multiplicaciones por 10, sus múltiplos y potencias, beneficiará sin duda tanto el cálculo mental como los algoritmos y el control que los alumnos puedan ejercer sobre sus resultados. Si se quiere obtener el resultado de 8 x 10 que es igual a 10 + 10 + … + 10 se podrá razonar que se obtuvieron 8 decenas, es decir 80 unidades, por lo tanto se agregará un cero al número 8 original. La calculadora también permitirá estudiar regularidades en los productos con estos números. Es importante aclarar que estas reglas adquirirán su pleno sentido cuando sean utilizadas para resolver cálculos más complejos.

Problemas aditivos

2.5 Resolver problemas que impliquen suma o resta de fracciones en casos sencillos con distintos procedimientos. Elaborar e interpretar representaciones gráficas de las fracciones.

Se trata de sumar fracciones conocidas, relacionables con situaciones de reparto o medición como medios, cuartos, tercios, etc. sin necesidad de trabajar con el algoritmo usual. Por ejemplo, podrán plantearse, en contextos gráficos o de medición, sumas o restas como ½ + ¼; 1 – ¾ ; etc. Es recomendable usar con frecuencia situaciones en las que los alumnos anticipen, argumenten y luego puedan verificar sus anticipaciones.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones


2.6 Resolver problemas que involucren distintos significados de la división

Para seguir indagando sobre la división, se debería plantear a los alumnos situaciones que presenten distintas problemáticas. Por ejemplo, problemas de reparto con incógnita tanto en la cantidad de partes como en el valor de cada parte, utilizando distintos procedimientos (suma o resta) o cálculo mental. Por ejemplo: El pirata Barbaroja llegó con su navío averiado al puerto; para quedarse en él y poder arreglarlo, deberá pagar 8 monedas de oro por día. ¿Para cuántos días le alcanzarán las 50 monedas que tiene? Si necesitara quedarse 2 días más, ¿cuántas monedas más tendría que conseguir? Ya transcurrieron 4 días, ¿cuántas monedas tendrá que entregar por ese tiempo? Como no pueden arreglar el navío en el tiempo previsto, el pirata ofrece entregar también sus 56 monedas de plata, a lo largo de 4 semanas, entregando siempre la misma cantidad. ¿Cuántas monedas de plata tiene que entregar por semana? En esta situación aparecen los dos significados básicos de la división, el de medición (que contesta a la pregunta: ¿para cuántos días le alcanza? y el de reparto, en el caso de las monedas de plata. Por otra parte, una de las preguntas sobre el pago del total de su estadía en el puerto, si agregara 2 días más, implica considerar el residuo de 2 monedas que le sobraron, de manera que si debe entregar 8 monedas por día, para los 2 días necesitará 16 monedas pero como ya tiene 2, tendrá que conseguir 14 monedas más. Otro procedimiento posible sería determinar el número de monedas a entregar en 8 días es decir: 8 x 8 = 64, descontar las 50 monedas que ya tiene y contestar que necesita conseguir 14 monedas más. En un mismo contexto, aparecen así distintas preguntas y distintos aspectos de la división, para seguir profundizando en su estudio.

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma Cuerpos2.7 Construir cuerpos geométricos por yuxtaposición de otros y describirlos

Por yuxtaposición de cuerpos, obtener formas “nuevas” o ya conocidas. Lo mismo si se cortan sólidos, por ejemplo hechos en jabón. Así, con estos dos armo “como la torre de una iglesia”, o con estos armo un cubo grande, o cortando aquí tengo “como una moneda”, o un cuerpo cuyas caras son todos triángulos, etc.Observación, descripción y representación de objetos desde distintos puntos de vista (inclusive desde arriba), por ejemplo, una tetera, un muñeco, un ramo de flores de diferentes clases, etc. Se sugiere apoyar el objeto sobre una mesa de vidrio, y adoptar también el punto de vista “desde abajo”.

El análisis de las propiedades de los objetos permite definir criterios para que se los reconozca sin necesidad de señalarlos o nombrarlos directamente. Esta designación de los objetos en función de sus propiedades implica un proceso lógico complejo que requiere abstraer las características del objeto. Cobra importancia, en este sentido, no sólo establecer qué es el objeto, sino también lo que no es, es decir, la negación de un atributo para establecer inferencias respecto de lo que es.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Forma Figuras planas

2.8 Explorar figuras planas: polígonos o no, convexos o no, número de lados, congruencia de lados y ángulos, existencia de ángulo recto. Nombrar los polígonos según el número de lados.

Dada una colección de figuras recortadas, algunas obtenidas del “calcado” de caras de cuerpos, analizar: todos (algunos, ningún) lado recto, convexos o no convexos, número de lados, vértices, todos (algunos) lados congruentes, etc. Noción de ángulo interior a un polígono. Se sugiere hacer juegos de identificación, similares a los planteados en el estudio de cuerpos. Sobre una mesa colocar diversas figuras –cuadrados, rectángulos, pentágonos, triángulos, círculos, paralelogramos, trapecios, etc. El docente elige una de ellas, sin decir de cual se trata. Luego los niños, en grupos, formulan preguntas (¿Es convexo? ¿Cuántos lados tiene?, ¿Es polígono? ¿Tiene ángulo recto?, ¿Cuántos vértices posee?, etc.) Para identificar la figura elegida. Las preguntas formuladas se escriben en el pizarrón para luego poder discutir la “validez de cada una”. Ganará el grupo que descubra la figura con la menor cantidad de preguntas. Luego son los alumnos los que ocupan el lugar del docente.Continuar el trabajo realizado en “Rectas y ángulos” del Bloque I comparando los ángulos de un polígono, en forma directa (plegando la figura o calcando los ángulos) y con intermediario (un ángulo obtenido por plegado de un papel o recortado, por ejemplo con una escuadra). Agregar, a los criterios anteriores, la clasificación de polígonos según la existencia de ángulo recto y ángulos congruentes. Verificar experimentalmente las propiedades enunciadas.Se sugiere usar la designación de polígonos según el número de lados.

Espacio Representación 2.9 Leer planos y mapas viales.

Se trata en primer lugar de identificar los códigos y luego realizar observaciones sobre espacios conocidos o próximos al lugar de residencia. Hay que comentar sobre la forma adecuada de colocar el plano y después, por ejemplo, analizar diferentes trayectorias para ir de un lugar a otro, diferentes trayectorias según el medio de transporte.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Medida Unidades

2.10 Reconocer por su tamaño el m2, el dm2 y el cm2 .

Es importante que los alumnos perciban el tamaño de las unidades más usuales para medir superficies y que las usen para realizar mediciones efectivas. Por ejemplo, medir superficies con varios ejemplares de cuadrados de un metro, de un decímetro y de un centímetro de lado. Escribir esas cantidades. Plantear problemas que incluyan precios por metro cuadrado y a la vez precios por metro lineal como es el caso de las telas.Construir cuadrados de un metro de lado y de un centímetro (con regla y escuadra), y asignarle la denominación correspondiente. Así, un metro cuadrado como unidad de superficie, es un cuadrado de un metro de lado. Estimar áreas y verificar a través de la medida. Dada una medida, por ejemplo 2 ½ metros cuadrados, o 20 centímetros cuadrados, construir una figura en el piso que tenga esa medida. Reconocer contextos en los cuales sea más adecuada una unidad que otra.

2.11 Resolver problemas que impliquen el uso de unidades de capacidad y peso.

Problemas de adición y sustracción. Por ejemplo, con dos pesas de 200 g, una de un kilogramo, y una de 50 g, ¿Cómo pesar 1050 gramos? ¿Y cómo pesar 350 gramos?

Lectura de cantidades escritas sobre envases de diferentes productos, o el mismo producto y diferentes marcas para comparar unidades utilizadas, peso bruto y peso neto.

Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



2.12 Resolver problemas que involucren relaciones del tipo “n a m” teniendo como dato el valor unitario, una regla de correspondencia o dos reglas sucesivas.

Se continuará trabajando con problemas reconocidos habitualmente como problemas de valor faltante, es decir aquéllos en los que se conocen tres datos y es necesario encontrar otro, disponiendo de distintas informaciones.Por ejemplo: 1- (se da el valor unitario): En la Editorial empacan los libros en cajas de 12 libros. ¿Cuántos libros se pueden empacar en 4 cajas, en 7? Hay que determinar nuevos valores sabiendo que cada caja contiene 12 libros.2- (Se da una regla de correspondencia) Los chicles se venden a razón de 3 chicles por $2.00 ¿Cuántos chicles se pueden comprar con $8.00? y ¿cuánto cuestan 15 chicles? ¿y 18 chicles?En este grado debería darse la oportunidad a los alumnos de hacer evolucionar sus procedimientos hacia la utilización de la multiplicación y división de enteros, en tanto factores internos, planteando una reflexión sobre ellos, analizando sus dominios de aplicación y economía, etc. Es por este motivo que se deben dar valores que guarden una relación de enteros con los datos dados, por ejemplo, solicitar el precio de 15 chicles, pero no de 16.

Versión Preliminar


anej

o d

e la

in

form

ació

n


información

Diagrama-Tablas

2.13 Registrar en tablas los datos de problemas de proporcionalidad de valor faltante.

En los problemas de valor faltante, es importante plantear la pregunta para distintos valores e incluso solicitar la representación de los datos en una tabla ya que ordenarlos en ella, puede ayudar a percibir ciertas regularidades, que de otro modo quedarían ocultas. Por ejemplo, ver más claramente que si se tiene el dato de 3 cajas y su precio, para calcular el precio de 9 cajas basta multiplicar por 3; o por 5 en el caso de averiguar el precio de 15 cajas. En la utilización de tablas se debería cuidar que desde el inicio los alumnos representen toda la información necesaria para poder identificar claramente los datos, por ejemplo, escribir los encabezados de cada columna. Estos deberán estar dados en términos de magnitudes y no de unidades, por ejemplo: podrán ser encabezados: Número de cajas, pero no cajas…. Longitud (en metros) pero no metros. Se debe provocar además una discusión sobre correspondencias entre cantidades que pueden ser dadas en distintas unidades y por lo tanto obtener distintos valores numéricos sin que varíe la relación establecida. Si se conoce el precio de un metro de cinta, se pueden calcular los precios de trozos, medidos tanto en metros como en centímetros.

BLOQUE III

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

3.1 Determinar la ubicación de números en la recta numérica a partir de distintas informaciones.

Para representar números en la recta numérica se utiliza una serie de convenciones que los alumnos descubrirán al resolver las cuestiones planteadas, al poner en juego las propiedades de los números y en las discusiones que organice el docente.Por ejemplo, si ya están representados en una recta, el 0 y el uno, para ubicar el número 9 será necesario iterar la unidad 8 veces a partir del uno. Si se pide ubicar el 18, podrá iterarse una vez, la distancia entre 0 y 9, previamente establecida; queda de esa manera establecida una diferencia entre una única ubicación del número 9 y la posibilidad de representar una distancia de 9 unidades en distintos lugares en la recta.En otro ejemplo, se puede solicitar representar los números 9, 15 y 33 conociendo la ubicación de los números 17 y 25. Para representar los números solicitados, será necesario determinar una unidad, por ejemplo el punto medio del segmento [17, 25] que corresponde al número 21, y de la misma manera, ubicar el número 19 en el punto medio de uno de los segmentos determinados. Dado que ya se ha determinado la longitud de 2 unidades - entre 17 y 19 - se las podrá iterar a la izquierda del punto correspondiente al 17 y obtener la ubicación del 15. E iterando la longitud de 8 unidades a partir del 25, obtener la ubicación del número 33, etc. Por otra parte, aprender a representar números en la recta incluye aprender a graduar la recta de acuerdo a los números que se pretende representar. Por ejemplo, si se pide ubicar los números: 175, 250, 300 y 475, en una recta sin graduación, se podrá tomar en ella un origen y un segmento que corresponda a 100 unidades, y al iterar tal unidad se obtendrán los números 200, 300, etc. y partiendo los segmentos en 2, 3, 4 o 5 partes iguales, obtener la ubicación de los demás números.

Versión Preliminar

0 100


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico



3.2 Comparar fracciones en casos sencillos. Identificar fracciones equivalentes

Los casos sencillos de comparación de fracciones son aquéllos en los que no hace falta obtener un denominador común, por ejemplo, cuando las fracciones tienen el mismo denominador o mismo numerador o cuando una fracción es mayor que la unidad y la otra menor. Es conveniente que los alumnos anticipen qué fracción es mayor o menor y que argumenten su decisión. Después pueden comprobar sus respuestas construyendo las partes de unidad que corresponden a esas fracciones, o bien representarlas gráficamente. Del mismo modo, podrán determinar que distintas fracciones pueden representar el mismo número. Por ejemplo, 2/3 y 4/6. Es importante discutir en la clase que si bien, tanto el numerador como el denominador de la segunda fracción son mayores que el numerador y denominador de la primera, no sucede que la segunda fracción es mayor que la primera, ya que ambas representan el mismo número. En las situaciones que se han presentado desde 3° grado, ya han aparecido seguramente distintas expresiones con fracciones para expresar una misma cantidad. Por ejemplo en situaciones de reparto, si se quiere repartir entre 4 niños un pastel y medio, pueden aparecer escrituras como ½ + 1/8 o ¼ + ¼ + 1/8, etc. En este grado se propiciará además que los niños puedan relacionar escrituras numéricas, aunque no se refieran a una situación concreta, y establecer distintas expresiones equivalentes. Por ejemplo, escribir 1 como: ½ + ½ o ¼ + ¼ + ½ o incluso 1 ½ - ½ , etc. Siempre que sea necesario se recurrirá a situaciones concretas o gráficos a fin de preservar el sentido que para los alumnos puedan tener tales escrituras. Las actividades y las reflexiones sobre las escrituras contribuirá a que los alumnos consideren a una fracción como un número que puede ser comparado con otros, sumado, etc. y tener distintas formas de ser expresado.


Números naturales3.3 Determinar productos o cocientes

apoyándose en propiedades de las operaciones

Las propiedades de la multiplicación y división que los alumnos han empezado a identificar en grados anteriores e incluso en este mismo, pueden ahora ampliarse y ser utilizadas. Se trata de resolver cálculos mentalmente aprovechando el conocimiento de tales propiedades. Por ejemplo: 350 x 12 = 350 x 10 + 350 x 2 considerando a 12 como 10 + 2, o bien 4280: 4 = 4280: 2 y luego el resultado dividir nuevamente por 2.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico



3.4 Determinar expresiones equivalentes y calcular el doble, mitad, cuádruplo, triple, etc. de las fracciones más usuales (1/2, 1/3, 2/3, ¾, etc.)

Disponer de algunos resultados memorizados, ayuda a poner en relación distintos números y facilitar los cálculos. Por ejemplo, disponer de una igualdad como ¾ = ½ + ¼ es de gran utilidad en sumas como: 7 ¾ + ½ o, si se pretende sumar 5/6 varias veces, puede resultar más fácil considerar que 5/6 es ½ + 1/3. De la misma manera se trata de poder calcular la mitad de una fracción como 4/5 sin necesidad de utilizar un algoritmo. El docente propiciará la formación en el aula de un ambiente que favorezca la producción de procedimientos propios, de encontrar nuevas relaciones entre las fracciones que puedan ser utilizadas para facilitar los cálculos. Disponer de un algoritmo general, incluye aprender sus condiciones de uso, por lo tanto para aquéllos cálculos en los que no sea necesario utilizarlo, se deberá disponer de procedimientos más simples de cálculo mental.


operaciones


3.5 Explorar propiedades de las operaciones de multiplicación y división, estableciendo relaciones entre sus componentes: factores, dividendo, divisor, cociente, residuo.

Se trata de iniciar el análisis de propiedades de la multiplicación y de la división, que podrán ser estudiadas por los alumnos por medio de ejemplos. Si se duplica uno de los factores de una multiplicación, ¿se duplicará también el resultado? Ej. 3 x 4 = 12, ¿cuál será el resultado de multiplicar 3 x 8= ? Además de su utilidad en el cálculo mental, estas reflexiones proporcionan mayor conocimiento sobre las operaciones, al observar por ejemplo que en la suma esa propiedad no se verifica, ya que duplicar uno de los sumandos, no produce que el resultado se duplique. En relación a la división, puede plantearse el análisis de que, si el dividendo aumenta y no se modifica el divisor, el cociente también aumentará, y si el dividendo queda fijo y se aumenta el divisor, el cociente disminuye.


3.6 Resolver problemas de multiplicación por bidígitos, mediante distintos procedimientos, en particular, diversas descomposiciones de uno de los factores. Establecer un algoritmo de multiplicación por bidígitos.

En relación con la resolución de los problemas, desde 3° grado los alumnos han ido elaborando distintos procedimientos para obtener el producto de dos números. En este grado conviene enseñar a los alumnos el algoritmo usual para multiplicar números de hasta tres cifras por un número de dos o tres cifras.El algoritmo debería enseñarse en relación con los procedimientos que los alumnos han ido estableciendo, en particular al descomponer uno de los factores. Por ejemplo: 236 x 35, a partir de las multiplicaciones por 30 y por 5 y sumarlas. Los alumnos necesitan practicar el algoritmo para dominarlo. Las tareas se pueden diversificar y enriquecer si se combinan con actividades de estimación, de cálculo mental y con el uso de la calculadora para verificar. Por ejemplo, frente al cálculo 350 x 12, se espera que los alumnos puedan intentar una descomposición como 350 x 10 y 350 x 2, cuyos resultados son 3500 + 700 = 4200. Los alumnos podrán establecer algunos recursos como el anterior, constatarlos con la calculadora y utilizarlos en otros cálculos.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Forma

Figuras planas3.7 Construir polígonos sobre una red de puntos y elaborar redes para construir ciertos polígonos.

Según la experiencia de los alumnos, las redes en cuadrícula podrían ser consideradas como representación de un geoplano. Se trata de trazar diversos polígonos y analizar sus propiedades. Por otra parte, sobre distintos tipos de redes (triangulares, rectangulares) verificar cuáles polígonos se pueden trazar y analizar sus propiedades, por ejemplo, paralelismo de lados, congruencia de lados, etcétera. Por ejemplo, con redes en forma de cuadrícula no se pueden obtener triángulos que tengan sus tres lados iguales.

Rectas y ángulos3.8 Trazar ángulos dada su amplitud o que sean congruentes a uno dado.

El trabajo puede abarcar desde la construcción de un transportador por parte de los propios alumnos. Habrá que recortar un círculo de plástico transparente y, con un plumón de punto fino dividirlo en cuatro y luego en doce partes iguales, con lo cual se podría tener la medida precisa o aproximada de varios ángulos. La ventaja de este transportador no convencional es que deja ver la circunferencia completa y la relatividad de la línea que sirve como punto de partida.

Es importante resaltar el hecho de que la medida de un ángulo depende de la amplitud y no de la longitud de sus lados.

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Espacio Representación3.9 Interpretar planos de edificios

conocidos

Por ejemplo, de un sector de la escuela. Se trata de interpretar el plano: distinguir los códigos que representan paredes, puertas, sanitarios, etcétera. Hay que poner el plano sobre una mesa en la misma disposición del edificio y luego rotado. En cada caso, se trata de ubicar algo en el plano, por ejemplo, tal puerta, tal sala, dónde se localiza en el plano y viceversa, esta puerta aquí dibujada, ¿a cuál corresponde en el edificio?

Medida Unidades

3.10 Conocer el grado como una unidad del sistema sexagesimal de medida. Usar el transportador para medir ángulos

Ya las divisiones del transportador no convencional funcionaron como unidades no estándares de medida de ángulos. Ahora se trata de introducir el grado sexagesimal y su definición a partir de un ángulo recto: es la noventava parte de un ángulo recto. Esta definición contribuirá a dar una idea de la amplitud de un ángulo de un grado. (Quizás se pueda pedir a un grupo de alumnos que trace en el pizarrón un ángulo de un grado e inmediatamente uno de noventa grados).Usar el transportador sencillo para medir ángulos en diferentes posiciones.En juegos de comunicación, construir ángulos dada su medida, verificar a través de la medición y también por superposición entre varias producciones para verificar la congruencia.

Versión Preliminar


anej

o d

e la

info

rmac

ión

Análisis de la información y

representación de la

información


3.11 Comparar razones en casos simples

Los casos sencillos de comparación de razones consideradas estas últimas como relaciones entre dos números, son aquellos en los que se las puede comparar directamente sin necesidad de recurrir a un valor común. Por ejemplo, en un comercio se venden 3 paquetes de galletas por $10.00 y en otro, se venden 7 paquetes por $20.00. ¿En cuál conviene comprar? En este caso, se puede razonar que si se pueden comprar 3 paquetes por $10.00, por 6 se debería pagar $20.00, sin embargo en el otro negocio, se obtendrían 7 paquetes. En situaciones en las que se indaga sobre la conveniencia de comprar un cierto producto, es importante discutir con los alumnos, que se trata, únicamente de un análisis de precios. En el ejemplo anterior, si bien comprar en un negocio le conviene más que en otro, la decisión dependerá de cuántos paquetes se necesita o se quiere comprar, ya que el precio más económico corresponderá a comprar 6 o 7 paquetes. Esta es una decisión del consumidor. La matemática permite hacer un análisis de posibilidades.


representación de la

información

Nociones de probabilidad y

Diagramas-tablas

3.12 Contrastar anticipaciones con la frecuencia de aparición de un suceso, mediante el registro de resultados de experiencias aleatorias en tablas de frecuencias.

En situaciones que pueden realizarse en el aula como tirar un dado, se puede plantear que cada alumno elija el número entre 1 y 6, que considere que saldrá la mayor cantidad de veces si se tira el dado 30 veces. Posteriormente se lanza el dado, y cada alumno se anota un punto si salió el número que eligió. Se pretende determinar que cada valor debería aparecer aproximadamente la misma cantidad de veces si el lanzamiento se repite un número bastante grande de veces. Los datos obtenidos podrían ser registrados en una tabla, ya que organizarlos de esta manera permite visualizar y comparar más fácilmente el total de veces que apareció cada uno de los valores. Las tablas de frecuencia poseen dos columnas, en una – relativa al caso mencionado - se ubicarán los distintos valores de los dados y en la otra el número de veces que apareció cada uno.

Versión Preliminar

BLOQUE IV


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to

alg

ebra

ico


Números naturales

4.1 Relacionar el nombre de los números con su escritura en cifras. Comparar y ordenar números naturales a partir de sus nombres o de su escritura con cifras, utilizando los signos correspondientes: > y <.

Trabajar con la numeración oral, deberá permitir a los alumnos establecer relaciones con la numeración escrita y percibir a la vez que las reglas que se utilizan para nombrar los números, no son las mismas que para escribirlos. Por ejemplo, si se conoce el nombre de un número como: tres mil seiscientos cuarenta y dos, al enunciar las primeras dos palabras: tres y mil, ya se puede determinar que el número tendrá 4 cifras. En cambio si sólo se conoce la primera cifra (el 3) de ese número, no puede determinarse el número de cifras que tendrá en total. Esto se debe a que el nombre del número incluye la potencia de diez correspondiente. También es interesante que los alumnos analicen si se puede utilizar el número de palabras necesarias para nombrar un número como criterio para compararlo con otros números. Por ejemplo, para nombrar el número 4000, se necesitan dos palabras, cuatro y mil, mientras que para el número 246 se necesitan cuatro palabras (considerando dos-cientos-cuarenta-seis) y sin embargo el primero es un número mayor que el segundo. En la numeración escrita el número de cifras se puede utilizar como criterio para comparar dos números: si un número tiene más cifras que otro – aún si no se conocen sus cifras, se puede asegurar que es mayor que otro que tiene menor cantidad de cifras.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico



4.2 Aplicar fracciones a cantidades enteras y recíprocamente, establecer qué fracción es una parte dada de una cantidad

Para conocer el tamaño de una cantidad entera se utilizan los números naturales, por ejemplo, si en una colección de 100 cuentas para hacer collares, 20 son rojas, basta con decir “20 son rojas” o “20 de las 100 son rojas”, no hace falta decir “1/5 son rojas”. Pero cuando las cantidades varían y se quiere que una colección siga siendo siempre la misma parte de la otra, puede resultar muy práctico usar fracciones, por ejemplo: En un taller de cuentas producen distintas cantidades cada día para hacer collares. De las cuentas que se fabrican, quieren pintar 1/5 de rojo, 2/5 de blanco y 2/5 de azul. Indica cuántas deben pintar de cada color cada día:

Días de la semanaTotal de cuentas fabricadasCuentas rojas (1/5 del total) Cuentas blancas (2/5 del total) Cuentas azules (2/5 del total)

LunesMartesMiércolesJuevesViernes

20501007030

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones

Adición y multiplicación

4.3 Encontrar y escribir destintas descomposiciones aditivas o mixtas (adiciones y multiplicaciones) de un número

En Matemáticas es importante conocer distintas expresiones equivalentes de una misma cantidad, para disponer de unas u otras según las situaciones que se presenten. Por ejemplo, entre las escrituras: 3x5 + 5 = 2x4 + 12 = 8x2 + 4 = 4 x 5 = 3x6 + 2 = la última puede ser utilizada para calcular mentalmente el número de caramelos que le toca a cada uno de 3 niños si se reparten 20 caramelos y se quiere que todos reciban la misma cantidad, o la escritura 4x5 para el caso de repartir 20 caramelos en 4 niños. Por otra parte, en estas actividades el signo igual comienza a cobrar un sentido diferente al habitual, que indica que el número que está a la derecha es el resultado del cálculo anterior y a plantearse como indicador de equivalencia. Una igualdad puede ser considerada como dos expresiones diferentes de una misma cantidad.

Problemas aditivos

4.4 Resolver problemas que impliquen la suma o resta de números decimales en el contexto del dinero. Expresiones equivalentes.

En el contexto del dinero, todas las cantidades tendrán dos cifras decimales, ya que el uso habitual no incluye una escritura como $2.3. Este hecho puede favorecer que los alumnos consideren la parte entera y la decimal de un número, como dos sistemas autónomos. Será importante en los grados siguientes, trabajar especialmente este aspecto, con decimales con distinto número de cifras decimales, que permitirá a los alumnos comprender la relación entre parte entera y decimal. Algunos errores frecuentes corresponden a decir por ejemplo, que 3.5 es menor que 3.18 ya que 5 es menor que 18. Si todos los números tienen igual número de cifras decimales, la discusión sobre esos aspectos no aparecerá. Los alumnos podrán determinar con cierta facilidad formas de encontrar el resultado de sumas y restas de números decimales, en el contexto del dinero y de su uso habitual. Ese conocimiento les permitirá además disponer de un control semántico de los resultados. Por ejemplo si para $3.80 + $5.90 obtienen $8.70 por no considerar que los centavos formaron un peso, podrán estimar que si ambos números son muy cercanos a $4.00 y a $6.00, su suma debería estar cerca de $10.00 y no de $9.00

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


operaciones


4.5 Encontrar una forma práctica de dividir un número múltiplo de 10 entre 10, 100, 1000.

Estableciendo la relación entre operaciones inversas como multiplicación y división se podrán determinar los cocientes de dividir entre potencias de 10. Por ejemplo, para determinar el cociente de 580:10 se podrá preguntar, cuál será el número que multiplicado por 10 de 580 y de esa manera determinar que el cociente será 58. Se trabajará en este grado, únicamente con números múltiplos de 10, evitando tener que recurrir a los decimales. Podría también incluirse ejercicios de números no múltiplos de 10, y buscar un cociente entero. Por ejemplo, 246: 10, dando como cociente 24 y residuo 6. Esto debería permitir establecer una relación entre las operaciones, en este caso la división, con las propiedades del sistema de numeración (ya que se trata de determinar el número de decenas del número 246 y las descomposiciones de los números bajo ciertas condiciones, en este caso 246 como 240 + 6.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida

Forma

Cuerpos4.6 Utilizar .el vocabulario específico en juegos de identificación de cuerpos.

Se pueden desarrollar juegos de identificación en los que se apliquen los conocimientos del bloque anterior. Sobre una mesa colocar diversos cuerpos –cubos, prismas, pirámides, cilindros, conos, etc. El docente elige uno de ellos, sin decir de cual se trata. Luego los niños, en grupos, formulan preguntas (¿Cuántas caras tiene?, ¿Todas sus caras son planas?, ¿Todas sus caras son polígonos? ¿Cuántos vértices posee?, etc.), para determinar el cuerpo elegido por el docente. Las preguntas formuladas deben ser escritas en el pizarrón para luego poder discutir la “validez de cada una”, y en caso de que no usen vocabulario técnico (“se parece a un zapato”, “tiene una punta”, etc.) cómo rescribirla utilizando un vocabulario apropiado en el campo de la geometría. Ganará el grupo que descubra el cuerpo con la menor cantidad de preguntas.Una variante de esta actividad, es que cada grupo, por turno formula una pregunta que puede responderse con “sí” o “no”, y se escribe en el pizarrón con la respuesta. Es muy importante valorar el trabajo en colaboración en cada grupo para formular la mejor pregunta posible, según la información recogida hasta el momento. El docente debe crear un espacio de discusión en cada grupo antes de que formulen la cuestión. Gana el equipo que identifica el cuerpo.También puede proponerse un juego de comunicación entre grupos, con la dinámica ya trabajada en grados anteriores.

Figuras planas4.7 Clasificar triángulos respecto a sus lados y ángulos.

Por comparación directa entre sus lados y ángulos, buscando ejes de simetría por plegado, distinguir congruencia de lados, congruencia de ángulos y existencia de ángulo recto. Para determinar la congruencia de lados se puede utilizar un compás o marcar sobre el borde de una hoja la longitud de los lados, o medir con regla. Se sugiere definir al triángulo isósceles como el que “tiene dos lados iguales” e incluir entonces los equiláteros en esa clase (y no como se da frecuentemente que los triángulos isósceles “tienen dos lados iguales y uno desigual” lo cual conduce a clases disjuntas).Para el tratamiento de las inclusiones, se puede pedir a los niños que, de un conjunto variado de triángulos (pueden ser triángulos dibujados o recortados) encuentren el señalado por medio de instrucciones como: El triángulo rectángulo que es isósceles; o el isósceles que es equilátero; o el acutángulo que es isósceles, etc. Más adelante el maestro puede elegir uno y los alumnos utilizando la clasificación anterior formular preguntas para determinarlo.Se pueden utilizar las mismas consignas para construir diferentes tipos de triángulos.

Para llegar a la fórmula hay que insistir en contar el número de filas o columnas y el Versión Preliminar


anej

o d

e la

in

form

ació

n



4.10 Comparar dos o más eventos a partir de sus resultados posibles (sin cuantificar la probabilidad) usando relaciones tales como: “es más probable que…” “es menos probable que…”

En situaciones de juego en las que los alumnos tienen que elegir un número, se plantean problemas de comparación del número de ocurrencias que pueden aparecer. Por ejemplo, En una cuadrícula dibujada en el patio, se numeran las casillas sobre uno de los lados del 1 al 12, se reparten al azar esos números a esa misma cantidad de alumnos y cada uno se coloca en la casilla que tiene su número. El docente tira dos dados y el niño que tiene el mismo número que la suma de los puntos marcados por los dados avanza una casilla hacia el otro extremo. El juego se termina cuando uno de los alumnos llega al otro extremo. Entre uno y otro juego, el docente reparte nuevamente los números al azar y plantea a los alumnos si pueden prever quién o quienes serán los posibles ganadores en cada partida. Las afirmaciones encontradas de los alumnos pueden servir de base para discutir y argumentar sobre cuáles son los números más probables y cuáles los menos.

Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión


Medidas de tendencia central y

dispersión

4.11 Representar un conjunto de datos por medio de su valor más frecuente (moda)

En algunas de las situaciones a las que se han enfrentado los alumnos en grados anteriores, necesitaban determinar cuál era el valor más frecuente, por ejemplo, cuál era el número que apareció más veces al tirar un dado. Se trata ahora de nombrarlo: moda y analizar su utilidad como representante de una distribución de frecuencias, es decir de una serie de datos con su frecuencia de aparición. La moda no es siempre un recurso eficaz para caracterizar a una situación, dado que para determinarla sólo se considera el valor más frecuente y no los demás. Si pensamos en las notas de dos alumnos: Federico: 1 – 2- 3- 4 - 7- 7 y Mariana: 6- 7- 7- 8- 9- 10, a pesar de que en ambas series de notas la moda es 7, no se puede considerar como similares, el rendimiento de ambos alumnos. Sin embargo, en algunas situaciones es la única característica de valor central que puede tomarse; por ejemplo si se contabiliza la cantidad de hombres, mujeres y niños presente en un festival, la moda indicará cuál de las tres clases tuvo mayor cantidad de personas. O bien, si en la fábrica de zapatos tienen que determinar de qué número sería bueno fabricar más pares, es aconsejable averiguar cuál es el número de zapatos que más se vende en las zapaterías.

Versión Preliminar

BLOQUE V


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to

alg

ebra

ico


operaciones


5.1 Establecer y ejercitar un algoritmo para dividir números de hasta 3 cifras entre un número de una o dos cifras.

Como se ha mencionado en relación con otras operaciones, se propone que la construcción de algoritmos se plantee a partir de las situaciones de exploración que realicen los alumnos para encontrar resultados, utilizando propiedades de los números y de las operaciones. El algoritmo de la división es especialmente complejo, ya que pone en juego un amplio conocimiento del valor posicional de la multiplicación y de la resta. Un algoritmo que conserve el valor del dividendo sin descomponerlo en unidades, decenas,… permitirá a los alumnos conservar un poco más el sentido de los distintos cálculos implicados en el algoritmo. Para esto, será importante contar con la disponibilidad de ciertos resultados de productos como los productos por 10, 20, 100, etc. Por otra parte, estimar el número de cifras del cociente - que se incluye como conocimiento en este mismo bloque - podrá también ayudar a controlar los resultados obtenidos.No se buscará un único algoritmo. En relación con la división, al final de este grado los alumnos deberían poder determinar el número de cifras del cociente, estimar aproximadamente el resultado, y obtener en casos simples los resultados de las divisiones por medio del cálculo mental o algún algoritmo.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones


5.2 Estimar cocientes de divisiones por una cifra y encuadrar el resultado de una división entre potencias de 10. Determinar el número de cifras del cociente.

El control de los resultados y la comprensión de las acciones realizadas para resolver un problema o un cálculo, puede facilitarse si se pueden estimar los cocientes a partir de las propiedades de las operaciones y de la relación de la división con la multiplicación. Por ejemplo, el cociente de 359 : 3 tiene que ser un número mayor que 100, ya que 100 x 3 = 300 pero seguramente menor que 1000 ya que 1000 x 3 =3000 por lo tanto el cociente tendrá 3 cifras. Esta afirmación fue obtenida a partir de encuadrar el cociente entre potencias de 10. Por otra parte, considerando que 359 está muy cerca de 360, y este número puede descomponerse como 300 + 60, se obtendrá una muy buena aproximación dando como cociente a 120, dado que 300:3= 100 y 60 : 3 = 20. Puede verse que disponer de un repertorio amplio de resultados memorizados favorecerá establecer nuevas relaciones y realizar nuevos cálculos que a su vez seguirán enriqueciendo tal repertorio. Es importante presentar a los alumnos cálculos en los que con frecuencia se detectan errores, discutir el motivo de esos errores y elaborar recursos de control para evitarlos. Por ejemplo: Determinar mentalmente 707:7= en el que aparece con frecuencia el resultado 11 en lugar de 101. La descomposición del número 707 como 700 + 7, permitirá controlar el resultado y desechar un resultado como 11 ya que el cociente debería ser del orden de “100 y algo”.

Problemas Multiplicativos

5.3 Resolver problemas de división que involucren el análisis del resto.

Uno de los significados de la división, presente desde grados anteriores, es el de reparto, considerado como uno de los más fáciles de trabajar en el inicio del estudio. No obstante es necesario en este grado avanzar hacia el análisis del resto, conocido comúnmente como “lo que sobra”. Puede plantearse una serie de problemas en el mismo contexto, donde se pongan en juego las relaciones entre los distintos elementos de la división. Por ejemplo: En un salón de banquetes, se preparan mesas para 12 comensales. Si van a concurrir 146 invitados, ¿cuántas mesas deberían preparar? ¿Cuántos invitados más podrían llegar si se quiere que todos dispongan de lugares en las mesas preparadas? Los invitados, podrían organizarse en las mesas de manera de dejar 2 lugares vacíos en cada una? Y uno? Una familia de 4 personas quiere sentarse sola en una mesa, ¿alcanzarán los lugares en las otras mesas para los demás invitados? Si bien por los números involucrados las divisiones no plantearan demasiadas dificultades a los alumnos, la complejidad está dada por la gran cantidad de datos y relaciones que es necesario controlar para resolver las preguntas.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


operaciones


5.4 Resolver problemas que impliquen multiplicar fracciones por un número natural (pequeño)

Una vez que los alumnos saben sumar medidas fraccionarias pueden resolver problemas que impliquen multiplicar dichas medidas por números naturales, recurriendo a la suma de las fracciones: Ejemplo: En la fiesta de la escuela se consumieron 7 botellas de ¾l. de jugo. ¿Cuántos litros de jugo se consumieron? Podrán sumar 7 veces ¾, cálculo que podrá ser resuelto considerando que con dos veces ¾ se puede tener 1 ½ l, por lo tanto con 4 botellas, se tendrán 3 litros, y por lo tanto para conocer el total de las 7 botellas, se pueden sumar el jugo de las 2 botellas y de 4 botellas y obtener 4 ½ l al que faltaría agregar una botella más y obtener como total 5 ¼ l.Posteriormente se podrá establecer un algoritmo para resolver estas operaciones.


5.5 Resolver situaciones de multiplicación de números decimales por un número natural que hagan referencia a precios expresados en pesos y centavos.

En el trabajo con dinero se pueden presentar situaciones en las que se necesite sumar una misma cantidad un cierto número de veces. Por ejemplo, María compra 9 cuadernos de $7.50 ¿le alcanzará para pagar, con los $50.00 que tiene?En un principio esta suma puede ser realizada adicionando por una parte los 50 centavos del precio de cada cuaderno, lo que daría $4.50 y por otra los pesos, dando como total $67.50. Posteriormente se puede analizar que en una multiplicación de un decimal por un entero puede realizarse el mismo algoritmo que con números enteros, atendiendo a colocar el punto en el lugar adecuado. En el contexto del dinero no se presenta mayor dificultad por el uso constante de dos cifras decimales.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números naturales

5.6 Calcular complementos a los múltiplos o potencias de 10, así como distancias entre números naturales.

Con la finalidad de ampliar el conocimiento de los números y de la serie numérica, se plantearán ejercicios en los que se requiera calcular el complemento de un número a un múltiplo de 10 (como 30, 60, etc.) o una potencia de 10 (100, 1000, etc.) Por ejemplo, 582 + … = 1000. También corresponden a este conocimiento actividades en las que se requiera determinar entre 2 o 3 números cuál es el más cercano a, por ejemplo 100. ¿Cuál de los 3 números siguientes está más cerca de 100, 209 - 108 u 89? La elección de los números permitirá discutir que la distancia entre dos números es independiente de la posición relativa de ambos. En el caso anterior, el más cercano a 100 es el 108, a pesar de que “se pasó” como dirían los alumnos. También se podrá reflexionar sobre los procedimientos para determinar las distancias, tanto en situaciones más o menos simples como el caso anterior o más complejas, como determinar la distancia entre 759 y 1000, donde se podrá completar sucesivamente la decena, la centena o la unidad de mil correspondiente: “con 1, se llega a 760, con 40 se llega a 800 y con 200 a 1000, por lo tanto la distancia de 759 a 1000 es 1 + 40 + 200 = 241”. Este razonamiento es complejo para los alumnos en un principio, dado que se necesita “ir completando” el número menor hasta llegar al mayor, para luego sumar lo que se fue adicionando en cada caso. Como se trata de completar a decenas, centenas, etc. se obtienen siempre números “redondos”, es decir terminados en uno o varios ceros, como 40 y 200 y por lo tanto adecuados para el cálculo mental. Este último razonamiento está relacionado con encuadrar números naturales entre dos decenas consecutivas, entre dos centenas, etc.

Versión Preliminar


orm

a, e

spac

io y

med

ida


5.7 Trazar rectas paralelas, secantes o perpendiculares en el plano.

La idea es caracterizar rectas paralelas y perpendiculares, y no solamente asociar el nombre con una posición determinada. Así, las rectas secantes son las que tienen un punto en común, las perpendiculares son las secantes que determinan cuatro ángulos congruentes. Y las rectas paralelas son las perpendiculares a una misma recta. (Esta definición exige más de lo que debiera, ya que no es necesario que los ángulos sean rectos, es suficiente con que sean congruentes los ángulos correspondientes, pero es válida como un conocimiento transitorio.) Tratar también la definición de rectas paralelas como las que no son secantes, y utilizar las relaciones de inclusión: “Todas las rectas perpendiculares entre si, son secantes” , “algunas rectas secantes son perpendiculares”, etc.Construcción de ángulos rectos, rectas paralelas y perpendiculares por plegado de una hoja. Uso de la regla y la escuadra para trazar rectas perpendiculares (en diferentes posiciones) y paralelas.Reconocimiento de rectas perpendiculares y paralelas con ayuda de una escuadra.

Medida Unidades

5.8 Utilizar el vocabulario asociado a diferentes duraciones. Leer y comunicar la hora y la información que brinda el calendario, día, semana, semana laboral, quincena, semestre, cuatrimestre, etc.

En vinculación con los contenidos correspondientes a la conceptualización, en este mismo bloque, leer y comunicar diferentes tipos de relojes (digitales o no) y del calendario. En vinculación con ciencias sociales, nombre de los meses y estaciones. del año. Reglas nemotécnicas para recordar el número de días de cada mes. En vinculación con el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, búsqueda de regularidades en el calendario. Por ejemplo, si hoy es lunes 21, ¿qué fecha será el próximo lunes? También en vinculación con ese eje, usar fracciones de unidades de tiempo: medio día, media hora, cuarto de hora, etc. Conocer diferentes modos culturalmente vigentes de indicar una hora, por ejemplo: “las trece y cuarenta”, “la una y cuarenta” o “faltan veinte para las catorce”, o “faltan veinte para las dos”.Resolver problemas, como lo planteado en “Conceptualización”, que involucren otras unidades de tiempo: anticipar un día de finalización de una actividad, dado el inicio y cierta duración; determinar duraciones entre dos días dados; dada la fecha de finalización de una actividad y su duración, determinar la fecha de inicio; dada la periodicidad en que se administra un medicamento y el número de dosis a ingerir, determinar la duración del tratamiento; etc.

Versión Preliminar


anej

o d

e la

in

form

ació

n


Diagramas y tablas

5.9 Resolver problemas simples que exijan una búsqueda exhaustiva de posibilidades (problemas de conteo)

Muchos problemas que pueden resolverse matemáticamente se relacionan con contar la cantidad de elementos de una colección organizada de cierta manera. Son el objeto del cálculo combinatorio y ponen en juego un sentido diferente de la multiplicación, por lo tanto este conocimiento estará muy relacionado con los del eje Sentido numérico y Pensamiento algebraico. Por otra parte, se trata de organizar y representar las distintas posibilidades, buscar formas de representación que permitan controlar la exhaustividad en el conteo y evitar contar dos veces el mismo elemento. Estas formas o esquemas pueden surgir ante las pregunta del docente: ¿cómo están seguros de que no les falta ninguno? ¿O que no hay repetidos? Por ejemplo, en una tarea de dibujar todas las banderas posibles con 3 colores,

Quinto gradoMarzo de 2008

BLOQUE I


Versión Preliminar

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

1.1 Resolver problemas que impliquen el análisis del valor posicional a partir de la descomposición de números.

Este conocimiento, ya incluido en 4° grado, deberá seguir presente para profundizar el estudio de las relaciones en juego, a partir de un mayor conocimiento y trabajo con las operaciones de multiplicación y división. La descomposición de números podrá basarse en la organización decimal del sistema, la explicitación de las relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a un número o en la interpretación y utilización de la información contenida en la escritura decimal. Por ejemplo, 98 puede ser descompuesto de distintas maneras: como 90 + 8; 45 + 45 + 8 o 48 + 48 +2. Sin embargo, para dividir mentalmente 98 : 12, se podría buscar una descomposición en múltiplos de 12 , por ejemplo 48 + 48 + 2.Una vez encontrada la descomposición, se podrá dividir cada sumando entre 12, y encontrar 4 + 4 = 8 como cociente y un residuo de 2. Se trata de que los alumnos aprendan no sólo a descomponer números de distintas maneras sino a seleccionar la descomposición más adecuada para la situación planteada, para esto el docente organizará discusiones sobre los procedimientos que elaboren los alumnos o propuestos por él mismo. . Otra situación posible es la siguiente: Si en el visor de la calculadora aparece el número 7356, ¿cómo lograr que aparezca el número 7056 sin borrar? Si aparece el número 32 574 ¿cómo lograr que aparezca sin borrar el 30 074? En estos ejercicios es necesario utilizar la información contenida en la escritura decimal, por ejemplo que en 7 356, el 3 es equivalente a 300 unidades, por lo tanto para lograr que aparezca el número 7056 será suficiente restar 300 al número original.


Versión Preliminar

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o



1.2 Utilizar fracciones para expresar el cociente de la división de una medida entera entre un número natural (2 pasteles entre 3; 5 metros entre 4, etc.)

En grados anteriores los alumnos aprendieron a encontrar el resultado de un reparto como “3 pasteles entre 4 niños” haciendo o representando el reparto. Se trata ahora de que logren anticipar que la fracción que resulta de dividir n unidades en m partes, es n/m de la unidad. Esto puede pensarse de las siguientes maneras:- suponer que la división se hace unidad por unidad, por ejemplo, si en el reparto “4

pasteles entre 5” se repartieron los pasteles uno por uno, de cada pastel tocará a cada quien 1/5, y por lo tanto de los cuatro pasteles tocan 4/5.

- Al resolver varios problemas de reparto manteniendo constante el divisor (un pastel entre 5 niños, dos pasteles entre 5 niños, tres pasteles entre 5 niños, etc.) Esto permite observar que conforme el dividendo (número de pasteles) pasa de 1 a 2 a 3 a 4, etc. al resultado le ocurre lo mismo (pasa de 1/5 a 2/5 a 3/5, etc. Esto ayuda a establecer también que en un reparto como 4 pasteles entre 5 niños, debe tocar a cada quien 4 veces lo que tocaría si el reparto fuera de un solo pastel, por lo que 4 pasteles entre 5 niños es igual a 4 veces 1/5.

Otro problema que se puede plantear es el siguiente: En cinco pasos, el Robot A avanza una unidad, el Robot B avanza dos unidades, el Robot C avanza 3 … ¿Cuánto avanza cada uno en un solo paso?


operaciones

Problemas aditivos

1.3 Resolver problemas que impliquen el uso de las fracciones en distintos contextos: repartos, medidas, particiones, etc.

En el inicio del curso se plantean problemas con el tipo de fracciones que han trabajando previamente, a fin de continuar desarrollando distintos procedimientos como estimaciones, representaciones gráficas, uso de descomposiciones aditivas y equivalencias numéricas. Por ejemplo: a) hallar la medida de un segmento AB considerando una fracción (por ejemplo, 1/5) como

unidad.b) Determinar qué parte del área de un rectángulo representa la región sombreada *** PINTAR dos de los rectangulitos de la derecha arriba***

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o Significado y uso de las

operaciones


1.4 Resolver problemas que exijan una búsqueda exhaustiva de posibilidades (problemas de conteo)

Se continuará con el planteo – como en 4° grado – de situaciones en las que se trate de ordenar y contar una colección de objetos que cumplan ciertas condiciones. Cuando sea posible se representará la colección en diagramas de árbol, para facilitar la búsqueda sistemática de posibilidades y el control del conteo. Por ejemplo, ¿cuántos números de 4 cifras distintas se pueden escribir con las cifras 2, 1, 3 y 4? La representación gráfica en forma de árbol o tabla puede ayudar a los alumnos a descubrir la estructura multiplicativa de algunas de estas situaciones. En el ejemplo anterior, se puede considerar que para la primera cifra se tienen 4 posibilidades, una por cada cifra dada, lo cuál puede ser representado por 4 ramas de un árbol. Para la segunda cifra, una vez fijada la primera, sólo quedarán 3 posibilidades; por lo tanto del extremo de cada una de las 4 ramas, saldrán 3 ramas. A su vez, quedarán 2 posibilidades para elegir la tercera cifra, y finalmente una sola opción para la última cifra. Por lo tanto, el árbol tendrá inicialmente 4 ramas, de cada una de las cuales saldrán 3, luego 2 y finalmente 1. El número total de posibilidades resultará del producto: 4 x 3 x 2 x 1. *** Incluir un árbol con esa forma***Los alumnos necesitarán en muchos casos la escritura de todos los números para obtener el total. El docente organizará un análisis de los procedimientos y de la relación que se puede establecer con las ramas del árbol y la multiplicación. Incluir una colección de muchos elementos, facilita la búsqueda de procedimientos más económicos que la escritura de todos.

Posteriormente podrá plantear: ¿y si se pueden repetir las cifras?

Estimación cálculo mental

Números naturales

1.5 Elaborar recursos de cálculo mental para resolver operaciones y estimar o controlar resultados.

En este grado se debe seguir trabajando con la elaboración de recursos aditivos y multiplicativos de cálculo mental con números mayores. Algunos de estos cálculos son los siguientes:

- Sumas de la forma: 2 000 + 5 000= ; 25 000 + 2 850= ; …- Restas de la forma: 807 000 – 3000=; 903 500 – 100= ; ….- Dobles y mitades de números: 2 530 x 2= ; 48 500 : 2 = ; …- Productos de la forma: 500 x 6 000 = ; 423 x 10 000 = ; …- Distancia entre dos números: entre 3 670 y 5 000 ; entre 12 090 y 20 000- Escalas ascendentes y descendentes de 1 000 en 1 000, de 10 000 en 10 000 a partir de cualquier número.

- Cálculo del número de cifras de un cociente.- Productos y divisiones: 42 497 : 7 = ; 21 120 x 3 = ; 3 000 467 x 10 000 = ; … Cabe aclarar que cuando se trabaja con números grandes, con frecuencia se necesita ver el cálculo escrito para realizar las operaciones con un poco más de comodidad, sin que esto signifique usar el algoritmo habitual. La ubicación de todas las cifras de números grandes (más de 5 o 6 cifras) o el número de ceros dificulta el control del cálculo, si no se dispone del número escrito.

Versión Preliminar



orm

a, e

spac

io y

med

ida

Forma

Cuerpos

1.6 Construir, armar y representar cuerpos para analizar sus propiedades: número de caras y congruencia, número de vértices, congruencia de aristas.

Se trata de cubrir un cuerpo con figuras planas, no importa si no es una sola pieza. Podría iniciarse por calcado de caras planas, pero sería importante incluir también cilindros y conos. Como un desafío, trazar piezas que cubran más de una cara, e inclusive dónde dejar “pestaña” para que se pueda pegar.

Conviene analizar lo que se puede ver en cada tipo de representación, por ejemplo, un desarrollo destaca número de caras y congruencia; una representación con popotes y plastilina permite ver con claridad el número de vértices y aristas.

Figuras planas

1.7 Componer y descomponer figuras. Analizar el área y el perímetro.

Por ejemplo con el tangram, obtener diferentes diseños con todas las piezas del rompecabezas, o ¿con cuáles de las piezas es posible obtener otra del mismo juego? Y también con otros polígonos: con dos triángulos rectángulos congruentes,

¿qué figuras se pueden obtener? ¿Y con cuatro? ¿Y con un rectángulo y dos triángulos rectángulos congruentes de modo que uno de los catetos sea congruente a un lado del rectángulo?, etc.

O, dado un rectángulo o un cuadrado, descomponerlos en triángulos rectángulos; dado un paralelogramo descomponerlo en triángulos o en un rectángulo y dos triángulos rectángulos, etc. Para evitar en esta actividad problemas de construcción, se sugiere el plegado y el recortado, o trabajar sobre una cuadrícula. La idea es remarcar que al componer o descomponer figuras, es posible obtener otras que tienen la misma área, aún cuando no se conserve el perímetro y posean diferentes propiedades.¿Cómo son los cuatro triángulos que se forman plegando un cuadrado como en la figura? (“Congruentes, y rectángulos isósceles”, es la respuesta a obtener. No se espera que aparezca inmediatamente, la idea es profundizar la búsqueda y verificar experimentalmente las propiedades enunciadas.)

Descomponer polígonos, regulares o no, en triángulos. En vinculación con el eje “Manejo de la información”, construir una tabla con el número de lados y la menor cantidad de triángulos en que se puede descomponer cada polígono, y buscar regularidades.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma Recta y ángulo 1.8 Identificar ángulos, segmentos y puntos

En las actividades de reproducción de figuras con el tangram -en particular en aquellas figuras a reproducir que no tienen el mismo tamaño que las piezas del rompecabezas- los ángulos interiores de esos polígonos cobran un interés particular (son congruentes)Para identificar segmentos y puntos, se sugiere remitirse a experiencias realizadas con cuerpos y figuras, es decir tratar esas nociones a partir de aristas, lados y vértices.

Espacio Representación 1.9 Construir planos de edificios conocidos.

Se sugiere visitar algún edificio cercano a la escuela o hacer un plano de la propia escuela. No se trata de hacerlo a escala pero sí de ponerse de acuerdo en ciertos códigos, por ejemplo, para señalar las puertas, las paredes, y respetar la distribución de los espacios.

Medida Conceptualización1.10 Identificar las medidas que son necesarias para calcular el perímetro o el área.

Por ejemplo, ¿qué medir para averiguar cuántos árboles frutales entran en un terreno cuadrado, si se quiere que la distancia entre ellos sea de 4 metros?¿Qué medir para averiguar cuántas losetas son necesarias para cubrir las paredes de la cocina?¿Qué medir para averiguar la cantidad de pintura que se necesita para pintar una habitación?

MedidaEstimación y

cálculo1.11 Construir una fórmula para calcular el perímetro de polígonos.

La idea es hacer un polígono cualquiera (convexo o no, inclusive de diferentes tamaños, en el patio, o en una hoja de papel de diario), medir sus lados y calcular el perímetro. Sobre una hoja, trazar un polígono y yuxtaponer con el compás los lados sobre una recta y luego medir con la regla. Después de esas actividades, expresar la fórmula como suma de lados y luego como producto cuando es posible.Dada una medida de longitud, expresada en números decimales, construir un triángulo (u otro polígono) que tenga ese perímetro. Por ejemplo, construir un triángulo cuyo perímetro es 14.6 cm.

Versión Preliminar


Versión Preliminar

Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



1.12 Elaborar, leer e interpretar tablas de frecuencias

El listado de los distintos valores o modalidades de una variable junto con las frecuencias absolutas de aparición de cada valor es el resumen más primario de una colección de datos y recibe el nombre de distribución de frecuencias. Puede representarse mediante una tabla de frecuencia, donde figuran en una columna cada modalidad de la variable y en otra las frecuencias absolutas. Por ejemplo, una tabla como la siguiente permite a Don Juan conocer la mercadería que guarda en su depósito.

Cajas deNúmeros de cajas

fideos10

arroz14

harina7

té9

Total 40

Una vez que hayan trabajado con porcentaje, los alumnos podrán considerar además las frecuencias relativas, es decir, la relación entre la frecuencia absoluta y el total. Por ejemplo, afirmar que la frecuencia relativa del té, es 0,225, lo que indica que el total de cajas de té es aproximadamente la cuarta parte del total de cajas del depósito.

Versión Preliminar


Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



1.13 Resolver problemas de valor faltante en una correspondencia “por cada n, m” usando diversos procedimientos. Definir situaciones de proporcionalidad.

Se propondrán situaciones en las que el valor unitario no es un dato del problema pero se conoce una correspondencia entre otros valores. Para resolverlas, se pueden utilizar las propiedades que se han descubierto en grados anteriores: conservación de razones internas, identificación de un factor constante, determinación del valor unitario.En algunos casos el problema puede resolverse mediante un valor intermedio, por ejemplo, si se conoce la correspondencia entre 4 y 14 y se quiere determinar el valor correspondiente a 6, puede calcularse primero el valor correspondiente a 2 (que es 7) y luego sumar los valores correspondientes 4 y 2 para obtener el correspondiente a 6 (propiedad aditiva)

También se presentarán situaciones que incluyan dos reglas sucesivas de correspondencia, por ejemplo: Luisa trabaja en Monterrey. De cada 5 pesos que gana ahorra 3 y de cada 12 pesos que ahorra manda 7 a su mamá que vive en Oaxaca. La semana pasada ganó 1 000 pesos. ¿Cuánto mandará a su mamá? En este grado se definirá una situación de proporcionalidad como una relación que cumple la propiedad de los factores internos, es decir, que si se multiplica (o divide) un valor por un número, su correspondiente queda también multiplicado (o dividido) por el mismo número. Esta propiedad suele enunciarse como: “al doble, le corresponde el doble”, “a la mitad le corresponde la mitad”, etc.

Versión Preliminar


Versión Preliminar

Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión


informaciónDiagramas –

tablas1.14 Elaborar, leer e interpretar

diagramas rectangulares

En muchas situaciones es necesario trabajar con dos variables a la vez y con los valores que toma cada una de ellas para obtener nueva información. Por ejemplo, si se trata de averiguar si hay más alumnas que alumnos según el nivel escolar en el que se encuentren, se tendrán 4 datos: número de alumnas en primaria y en secundaria; y número de alumnos en primaria y en secundaria. Un diagrama rectangular o tabla de doble entrada conocido también como diagrama de Caroll, permite representar esta información, ubicando una de las variables en el sentido horizontal y la otra en el sentido vertical; cada una con dos subdivisiones, para obtener los 4 casilleros en los que se anota la información recopilada. Esta tabla permite obtener la información del número de alumnos en primaria – sumando los dos casilleros de la columna Primaria y también los de Secundaria; así como el número de varones y de mujeres, sumando los valores de cada fila. En el cuadrito de la derecha, abajo podrá encontrarse el total de alumnos de la escuela, que se puede obtener tanto al sumar los totales de las dos filas, como los totales de las dos columnas.

NivelSexo

Primaria

SecundariaTotales

Mujeres247106

Varones253194

Totales

Versión Preliminar

BLOQUE II


Versión Preliminar

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o



2.1 Ubicar fracciones en la recta numérica

Las actividades de ubicación de fracciones en la recta numérica brindan la oportunidad a los alumnos para avanzar, tanto en el conocimiento de las fracciones, como de la relación que guardan. Por ejemplo, si se trata de ubicar 7/3, algunos alumnos graduarán en tercios todos los segmentos unitarios, desde el 0 hasta 4. Otros sin embargo, reconocerán que 7/3 es igual a 2 + 1/3, por lo tanto no necesitarán realizar tales particiones y sólo dividirán en 3 partes iguales el segmento [2,3]. El docente organizará discusiones de análisis de los distintos procedimientos, en cuanto a su economía, comprensión y precisión. Se podrá además, plantear la representación de fracciones a partir de distintas informaciones como: Ubicar 5/3 y 6/4 conociendo la ubicación del 0 y de 1/2; o ubicar 5/6 y 1/12 conociendo la ubicación del 0 y del 2/3.

Números decimales

2.2 Utilizar fracciones decimales (denominador 10, 100, 1000) para

expresar medidas. Identificar equivalencias entre fracciones

decimales. Utilizar escrituras con punto decimal hasta centésimos en contextos

de dinero y medición.

Así como la división sucesiva en mitades genera un sistema de medidas, la división sucesiva en 10 partes genera otro sistema, el de las fracciones decimales, importante por la gran facilidad que ofrece para manipular las fracciones y por ser el que se usa comúnmente. Un contexto adecuado para introducir estas fracciones es el de la medición de longitudes. Pueden hacerse actividades en las que: 1) dado un sistema de tiras (la unidad, el décimo, el centésimo) se midan longitudes, se registren, se comparen; 2) dadas dos medidas, se anticipe cuál es mayor y después se verifique. Las mismas actividades pueden aprovecharse para que los alumnos identifiquen algunas equivalencias entre fracciones decimales y expresiones aditivas con fracciones decimales, por ejemplo 10/100 = 1/10; 30/100 = 3/10; 23/100 = 2/10 + 3/100. A partir de cierto momento, los alumnos deben aprender a expresar las fracciones decimales con notación decimal (escritura con punto). Después de introducir dicha notación, deben plantearse numerosas actividades como las anteriores, ahora con medidas expresadas en notación decimal, para permitir que los alumnos la vayan comprendiendo. Por ejemplo, al comparar las medidas 0.6 unidades y 0.54 unidades, es probable que muchos alumnos anticipen que la segunda es mayor. La verificación con material o la comparación de los números expresados como fracciones decimales puede ser de gran ayuda para superar estos errores. Otro contexto que puede resultar útil por la familiaridad de los alumnos con él es el dinero.


Versión Preliminar

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


operaciones


2.3 Resolver problemas que impliquen el uso de múltiplos de números naturales.

Se pueden plantear distintas situaciones en relación con un mismo contexto que permitan a los alumnos determinar algunas características de la noción de múltiplo. - Si en la serie numérica se parte de número 3 y se enuncian únicamente los

números siguientes de 4 en 4, ¿se dirá el número 46?- Si se parte de 0 y se va de 3 en 3, ¿se dirá el número 42?- Si se parte de 1 y se va de 5 en 5, ¿se dirá el número 76?- Si se parte de 2 y se va de 4 en 4 ¿se dirá el número 87?

Los alumnos pueden elaborar algunos recursos para llegar a la respuesta, entre ellos escribir todos los números que se enuncian y constatar si se dijo o no el número dado en el enunciado. Si se elijen números más grandes, se propiciará la evolución de los procedimientos para evitar tener que escribir todos los números. El número elegido para saltar también puede influir en los procedimientos, por ejemplo, en el segundo ejercicio, los alumnos pueden conjeturar que los números que se obtienen son los de la escala del 3, o sea que si el número dado está en la escala del 3, se dirá. ¿Cómo determinar si un número está o no en la escala del 3? Será necesario observar que todos esos números se pueden pensar como 3 multiplicado por algún otro número. En otros casos, será necesario primero restar el número desde el cual se partió antes de buscar las características de los números dados. No se pretende que los alumnos lleguen a establecer que un número se dirá si luego de restar el número de inicio, al dividirlo por el número con el cuál se dan los saltos, se obtiene un residuo cero, sino que dado un número, empiecen a estudiar el conjunto de números que se obtienen al multiplicar dicho número por números enteros. Se buscará además, en este grado, que los alumnos puedan producir y reconocer los múltiplos de números como 2, 5 y 10.

Versión Preliminar


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


operaciones


2.4 Encontrar las relaciones:D = c x d + r y r <d y utilizarlas para

resolver problemas.

En la resolución de problemas de división y en otros temas relacionados, los alumnos han empezado a establecer algunas relaciones entre los elementos de una división: Dividendo (D), divisor (d), cociente (c ) y residuo (r). Se trata ahora de estudiar nuevas relaciones. Por ejemplo, pedir que inventen divisiones que puedan ser resueltas mentalmente y cuyo residuo sea 200. En un principio los alumnos prueban con distintos números y con frecuencia presentan divisiones en las cuales el residuo es mayor que el divisor, por ejemplo 600: 2 = 200 y residuo 200. Puede verse que se verifica la primera condición de la división, ya que D = cd + r sin embargo, no verifica la segunda, ya que r > d. Este ejercicio permite así, tomar conciencia de esa propiedad que no siempre se explicita en clase: en la división se busca el mayor cociente que multiplicado por el divisor sea igual o se acerque lo más posible al dividendo. Existen muchas igualdades en las que D = d x c + r, pero sólo una en la que además r < d. Buscando producir muchas divisiones con tales características, los alumnos pueden descubrir que a partir de una de esas divisiones, por ejemplo 500 dividido entre 300 con cociente 1 y residuo 200, se pueden obtener otras con el mismo residuo, cada vez que se le sume 300 al dividendo. Al hacerlo se van obteniendo cocientes sucesivos: 1, 2, 3, … mientras que el residuo se mantiene igual a 200. El pedido que las divisiones inventadas puedan ser resueltas mentalmente, centra la actividad de los alumnos en las relaciones entre los datos y no en la complejidad de los cálculos.



2.5 Elaboración de recursos de cálculo mental en relación con fracciones.

Ampliando el cálculo mental que se ha planteado en grados anteriores, se trata ahora de elaborar recursos para calcular mentalmente fracciones de un entero. Por ejemplo, 1/8 de 248 como la mitad de la mitad de la mitad, es decir 248 – 124 - 62 – 31. O bien, 1/3 de 3 015 como 1/3 de 3 000 más 1/3 de 15, es decir 1 005. También se incluyen ejercicios para reconstruir mentalmente una fracción o un entero usando fracciones de una o varias clases. Por ejemplo, formar 5/4 usando sólo medios y octavos; 7/6 como suma de tercios, sextos y doceavos, 12/5 como suma de décimos.

Versión Preliminar



orm

a, e

spac

io y

med

ida

Forma

Cuerpos

2.6 Clasificar prismas según el número de caras, aristas y vértices; polígonos que forman sus caras; congruencia de caras o aristas, etc.Definir prismas y pirámides y sus alturas.

Como se trató en grados anteriores, un modo de distinguir prismas de pirámides es pensar en generarlos por el desplazamiento de un polígono bajo ciertas condiciones, y las pirámides determinadas por un polígono y un punto no perteneciente a ese plano. A esta altura ya se pueden tratar formalmente esas definiciones como las correspondientes a prismas y pirámides rectos y de manera similar para el cilindro y el cono. Esa forma de generar prismas rectos pone de relieve la noción de base (es el polígono que se desplaza) y altura (la longitud del desplazamiento perpendicular al plano del polígono base), nociones que son importantes en el cálculo de volumen.

Figuras planas

2.7 Construir triángulos y cuadriláteros

Con instrumentos de geometría (regla, escuadra, compás y transportador) sobre papel blanco. Podría ser a través de un juego de comunicación –lo cual favorece el uso de vocabulario preciso- o de autocomunicación, en los cuales se incluya cualquier tipo de triángulos y cuadriláteros, conocidos o no por los niños. Es importante que la figura esté bien determinada y se verifique el resultado de la construcción por superposición con un modelo. La idea es plantearlo como problema de construcción (datos, relaciones entre ellos, incógnita). En vinculación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, se sugiere expresar los datos en números decimales, por ejemplo: 3.5 cm.

EspacioRepresentaci

ón2.8 Leer mapas de zonas urbanas o rurales, conocidas o desconocidas.

Lectura de mapas de zonas urbanas o rurales conocidas, y luego de zonas desconocidas. Interpretar mapas de rutas. Identificar en mapas los puntos cardinales.Dar indicaciones, cuando emisor y receptor tienen el mismo plano, para ir de un lugar a otro en diferentes medios de movilidad.Hacer un croquis de una zona conocida para indicar una trayectoria, verificarla sobre el terreno, acordar sobre el vocabulario y la forma de representar las referencias.Reconocimiento de códigos (números de rutas, localidades según el número de habitantes, distancias indicadas en kilómetros, etc.) en un plano vial, y anticipar decisiones del tipo “si vengo por tal ruta, para ir a tal localidad, tengo que seguir hasta el cruce y allí tomar a la izquierda”. O al llegar a tal lugar, hay que ir hacia el este. O si estoy en tal lugar, tomo tal ruta, ¿a qué localidad voy a llegar primero?, etc.

Med

ida


2.9 Construir una fórmula para calcular el área del paralelogramo.

En relación con las actividades de equivalencia de figuras, transformar un paralelogramo en un rectángulo equivalente. Deducir la fórmula del área del paralelogramo..

Unidades2.10 Realizar conversiones entre los múltiplos y submúltiplos del metro, el litro y el kilogramo.

En relación con el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico” estudiar sistemáticamente el Sistema Internacional de Medidas (SI): buscar equivalencias, describir medidas con escritura decimal, realizar conversiones que exijan multiplicaciones y divisiones por potencias de diez, etc.Introducir la hectárea y el área como unidades estándar para medir ciertas superficies de tierra.En relación con el eje “Manejo de la información”, interpretar precios dados por unidad de superficie (en metros cuadrados y en medidas agrarias), o rendimiento de un grano en toneladas por unidad de superficie, etc

Versión Preliminar



Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión


Relaciones de proporcionalid

ad

2.11 Identificar y/o aplicar un factor constante de proporcionalidad en

situaciones con datos enteros (y factor entero)

Se presentarán situaciones en las que se trate de aplicar un factor de proporcionalidad, en contextos donde se trabaja con correspondencias entre magnitudes de la misma naturaleza, por ejemplo precios, longitudes, pesos, etc. Por ejemplo: Los precios actuales son el doble de los que había hace 10 años. Calcular los precios actuales de varios productos, conociendo los precios de hace 10 años. Como en otros casos de relaciones entre datos, es importante que los alumnos lleguen a formular esta relación en términos de, por ejemplo, siempre hay que multiplicar por 2 para obtener el precio actual. Y también identificar en una serie de datos eventualmente ordenados en una tabla, cuál es el número - siempre el mismo - por el que hay que multiplicar los valores del primer conjunto para obtener los valores del otro conjunto. Por ejemplo, en una situación de intercambio en la que por cada cupón azul se dan tres amarillos y se conocen distintos pares de valores correspondientes, determinar que “siempre se multiplica por 3”. Esta determinación debería servir también para obtener nuevos valores, sin necesidad de determinar nuevas relaciones entre los valores. Por ejemplo si se conoce que a 5 le corresponde 15 y que, para todos los valores la relación es de 1 a 3, si se quiere determinar el valor correspondiente a 19, resulta más cómodo multiplicarlo por 3, que tratar de determinar la relación entre 5 y 19. Otra situación posible se relaciona con las escalas: Un lado mide 2 cm en el dibujo original, debe medir 6 cm en la copia. Calcular la medida de los demás lados en la copia. Los alumnos podrán inferir la fórmula: “medida de un lado de la copia = 3 x medida del lado correspondiente de la figura original. En ambos casos se trabajará con factores enteros y en particular números pequeños, cuyas relaciones puedan ser determinados con facilidad por los alumnos.

2. 12 Comparar razones en casos simples

Se trata de determinar si una razón es mayor o menor que otra, en casos en que pueda determinarse sin cálculos numéricos, o por medio de relaciones como el doble, mitad (es decir, obteniendo razones equivalentes a una dada) o con valores unitarios. Ej. Si se prepara un jugo con 3 vasos de agua por cada 2 vasos de jugo concentrado y en otro caso se prepara con 6 vasos de agua por cada 3 de jugo, está claro que el primer jugo resultará más concentrado que el segundo, ya que al pasar al segundo se duplicó el número de vasos de agua, pero no el de jugo, quedando así más aguado. Una razón equivalente a la primera sería por ejemplo, 6 de agua por 4 de jugo; con estas medidas el jugo tendría el mismo sabor. El segundo jugo tiene como este último, 6 vasos de agua, pero sólo 3 de jugo, por lo tanto el jugo será más aguado.En otras situaciones se puede pasar por el valor unitario, especialmente cuando se trata de un valor entero, fácil de identificar. Por ejemplo, si se cambia 1 cupón azul por 5 amarillos y en otro caso, se cambian 2 cupones azules por 8 amarillos se puede ver que en el primer caso con un cupón azul se puede obtener 5 amarillos, en cambio en el segundo caso, con 1 azul se obtienen 4 amarillos, pudiendo entonces concluir que en el primer caso se obtienen más amarillos por la misma cantidad de azules.


información

Diagramas-Tablas

2.13 Buscar y organizar información sobre

magnitudes continuas.

En las actividades de búsqueda de información y relacionado con un mayor dominio de los números decimales por parte de los alumnos, se incluirán contextos con medidas, por ejemplo, longitud, peso, etc. esto permitirá el trabajo con variables continuas y obligará a la definición de intervalos para representar los datos en una tabla de frecuencias. Por ejemplo, realizar una encuesta sobre las alturas de los alumnos de la clase. Casi, con seguridad se obtendrán valores distintos unos de otros con frecuencias absolutas pequeñas. Por lo tanto, una tabla de frecuencias de cada uno de los valores encontrados, no constituye un buen resumen estadístico. En ese caso se definen intervalos de valores y se cuentan las frecuencias de los valores en cada intervalo de clase, es decir, se cuenta cuántos alumnos tienen una altura incluida en ese intervalo.

Versión Preliminar

BLOQUE III


Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

3.1 Establecer relaciones entre las reglas de funcionamiento del sistema de numeración oral y las de otros sistemas no decimales.

El estudio de la numeración oral ya se inició en 4° grado, en éste se tratará de analizar sus reglas así como las de otros sistemas de numeración, como el sistema romano. Una profundización en el conocimiento del sistema de numeración oral puede realizarse analizando la descomposición aritmética que corresponde a los distintos nombres de los números. Por ejemplo, el nombre “mil ciento tres” corresponde al cálculo 1000 + 100 + 3, mientras que “seis mil” corresponde al cálculo 6 x 1000. Puede observarse que en un caso se trata de una descomposición aditiva y en el otro, multiplicativa. Por otra parte, se puede plantear la siguiente actividad: Armar todos los números posibles con cifras, a partir de las palabras: tres, cien (o cientos), seis, mil, con la condición de utilizar cada una de las palabras solamente una vez, y utilizar las cuatro en cada número. Por ejemplo, se puede escribir: tres mil seiscientos (3600), o bien seis cientos tres mil (603 000) etc. La ubicación de los ceros es una dificultad para los alumnos, incluso para algunos alumnos mayores. Con frecuencia recurren a una traducción literal del nombre del número, por ejemplo para tres mil seis cientos, escriben 3000600 (ya que escriben lo que escuchan: tres mil (3000) seiscientos (600). La lectura del número obtenido (tres millones, seiscientos) permitirá percibir el error y analizar las reglas de formación de los nombres de los números.En relación con el sistema romano, además de considerarlo un sistema aún presente en algunos pocos objetos de uso cotidiano o que permite identificar los siglos, se enfatizará el análisis de las reglas de formación de los números y la comparación con el sistema decimal. La dificultad del sistema romano para realizar operaciones permitirá comprender la influencia del sistema en el desarrollo de los algoritmos de cálculo.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico



3.2 Identificar y generar fracciones equivalentes, usarlas para comparar fracciones con distinto denominador

Los estudiantes ya han identificado fracciones equivalentes desde tercer grado. Se trata ahora de que establezcan la propiedad que caracteriza a las fracciones equivalentes y que permite generarlas: multiplicar o dividir el numerador y el denominador por un mismo número. Hay varios caminos para establecer esta propiedad, es recomendable que a lo largo del año los alumnos recorran algunos:- Analizando equivalencias ya conocidas: por ejemplo, a partir de las equivalencias ½ =

2/4 = 3/6 = 4/8, se observa que los numeradores y denominadores se multiplican por un mismo factor.

- Analizando lo que ocurre cuando se multiplica solamente el numerador de una fracción o solamente su denominador. Si se multiplica el numerador por 3 se obtiene una fracción 3 veces mayor, si se multiplica el denominador, se obtiene una fracción 3 veces menor. Si se hacen las dos acciones sucesivamente, se obtiene una fracción del mismo valor.

- Partiendo de “repartos equivalentes” los alumnos pueden anticipar que, cuando los datos de un reparto son el doble, el triple, etc. de los datos de otro reparto, los resultados de ambos serán iguales: 1 pastel entre 3 niños arroja el mismo resultado que 2 pasteles entre 6 niños, 3 pasteles entre 9 niños, etc. Si además registran los resultados con las fracciones 1/3, 2/6 y 3/9 puede relacionarse la equivalencia de los repartos con la equivalencia de las fracciones que resultan de dichos repartos.

El hecho de que, para comparar o para sumar dos fracciones pueda sustituirse una de éstas por otra equivalente puede ser difícil de comprender por los alumnos. Es conveniente empezar con casos sencillos, por ejemplo, con medios, cuartos y octavos. Si, a raíz de otras actividades, los alumnos han formado pequeños repertorios de fracciones equivalentes, puede ayudar el que las tengan registradas y al momento de necesitar sustituir una fracción, la busquen en la lista correspondiente. Es recomendable usar la recta numérica para verificar el resultado de las comparaciones.

Versión Preliminar


enti

do

nu

mér

ico

y p

ensa

mie

nto

alg

ebra

ico


Números decimales

3.3 Usar escrituras con punto decimal hasta milésimos para expresar medidas. Comparación y orden

Para afirmar la comprensión de los números decimales, se recomienda plantear actividades de comparación de longitudes o superficies rectangulares como la siguiente: dadas las medidas 1.5 metros; 1.05 metros; 1.50 metros; 1.465 metros, ordenarlas de menor a mayor, argumentar la respuesta y después verificar construyendo dichas longitudes y/o ubicando los números en una recta numérica. Pueden plantearse preguntas sobre la parte decimal de un número que permitan apreciar ciertas diferencias con los números naturales: ¿qué sucede si se agrega un cero a la derecha? ¿y a la izquierda?La introducción de milésimos puede dar pie a preguntas como: ¿hay fracciones decimales todavía más pequeñas? ¿qué fracción se obtiene si se divide un milésimo en 10? Con apoyo en la recta numérica, pueden plantearse problemas como: Encontrar un número más grande que 0.2 y más pequeño que 0.3; ¿existe un número entre 0.25 y 0.26? …Actividades como las anteriores deben aprovecharse también para que los alumnos sigan aprendiendo a establecer equivalencias básicas entre decimales como las siguientes: 1/10 = 10/100 = 100/1000; 235/1000 = 2/10 + 3/100 + 5/1000 = 0.235. Esta última igualdad muestra la relación entre la posición de las cifras y las potencias de 10 de los denominadores correspondientes.


operaciones

Problemas aditivos

3.4 Resolver problemas que implican sumar o restar fracciones (denominadores diferentes) y números decimales

Las recomendaciones que se hicieron para el tema de comparación de fracciones con denominadores diferentes son pertinentes también para la suma y resta de fracciones. Es conveniente seguir planteando problemas en los que los alumnos, después de encontrar el resultado de un problema de suma o resta, tengan la posibilidad de argumentar su respuesta y de verificar sus resultados de alguna manera, por ejemplo, usando la recta numérica. En este grado se espera que los alumnos adquieran un cierto dominio de la suma de fracciones usando fracciones equivalentes.


3.5 Usar la calculadora para reconstruir el residuo de la división.

Al resolver con la calculadora algunas divisiones, se obtienen números decimales como resultado. ¿Cómo obtener un residuo entero? La relación D = dxc + r permite determinar el residuo, ya que r = D – d x c. Se trata de que sean los alumnos los que determinen esta relación, como se planteaba en el apartado 2.4 Se puede plantear un ejercicio como el siguiente: Al dividir con la calculadora 84 entre 32 se obtiene 2.625 ¿cómo se puede obtener el residuo entero? Los alumnos podrán estimar algunos resultados, anticipar algunas relaciones y finalmente probar en la calculadora. Se podrá pedir que prueben con otras divisiones para determinar si la conjetura elaborada es una regla general o un caso particular.

Versión Preliminar

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma Figuras planas 3.6 Construir teselados con figuras diversas.

Dada una colección de diferentes figuras simples: cuadrados, rectángulos, paralelogramos, triángulos, hexágonos regulares, etc. construir teselados con una misma figura o con combinaciones de éstas. Descubrir en papeles pintados, o diseños sobre telas, cuál es el patrón (figuras en cierta disposición) que se repite, y describir cómo se repite. Plantear la posibilidad de reducir el patrón en caso de que haya alguna simetría. Analizar, sobre una lámina que muestre algún teselado sencillo del palacio de la Alhambra, cuáles son las figuras que intervienen y cómo están dispuestas. Sobre papel cuadriculado, se podría reproducir y sería una actividad de construcción de polígonos.


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Espacio Representación 3.7 Interpretar mapas de rutas.

Se sugiere plantear actividades que impliquen reconocer los códigos en un mapa vial (números de rutas, localidades según el número de habitantes, distancias indicadas en km, etc.), y calcular distancias según los valores indicados en el mapa, comparar mapas de una misma zona hechos con diferente escala (en vinculación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”), orientar el mapa según los puntos cardinales y analizar cuáles son las indicaciones que no varían (y las que sí lo hacen) si emisor y receptor tienen el mapa en diferente orientación: entre las primeras, “sales de A por tal ruta y en el primer cruce, tomas a la izquierda, rumbo a B”, entre las segundas: “sales de A hacia abajo...” Reflexionar qué pasa si la indicación toma en cuenta los puntos cardinales: “tomas la autopista que sale de A hacia el este...”

Medida

Conceptualización 3.8 Identificar y comparar volúmenes.

Dar experiencias de llenar con cajas o con objetos (libros de igual tamaño) cuerpos huecos, también dar posibilidad de tratar con sólidos, en cada caso grandes y pequeños (por ejemplo, iniciar el llenado de una sala con cajas de televisores). La idea es determinar el volumen de un cuerpo aditivamente. Comparar el volumen de cuerpos por distintos medios: directamente, o a través de una unidad. Con varios ejemplares de unidades, construir cuerpos con diferentes propiedades (inclusive diferente superficie total) y volumen equivalente.

Unidades3.9 Identificar los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado y las medidas agrarias.

Se trata de interpretar precios dados por unidad de superficie en medidas agrarias, o rendimiento de un grano en toneladas por unidad de superficie.

Versión Preliminar

Man

ejo

de

la

info

rmac


información y Representación

de la información


3.10 Establecer el porcentaje como regla de correspondencia 100 n

Se plantean problemas a partir de la correspondencia 100 n. Por ejemplo, en un supermercado por cada $100 de compra se regala un bono de $2.00, ¿cuánto dinero en bonos regalarán por una compra de $200.00? Y por $300.00? Y por $450.00? Para resolver estos problemas se podrán utilizar procedimientos similares a los utilizados en los problemas de valor faltante. El pasaje por el valor intermedio 100, se constituirá progresivamente en un buen recurso en muchos casos, para comparar dos razones. Posteriormente, se empezará a usar la escritura n% para indicar “n de cada 100” y se relacionará con la expresión con fracciones: n/100. Se espera que en este grado, los alumnos lleguen a identificar algunas fracciones simplificadas que corresponden a porcentajes: 50% es ½, 25% es ¼, 75% es ¾, 20% es 1/5, 10% es 1/10.


Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



información


3.11 Determinar los elementos del espacio muestral de un evento

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral. Por ejemplo, cuando se lanza un dado, el espacio muestral está formado por los números 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Conocer los elementos del espacio muestral de un experimento puede permitir prever si dos o más eventos son igualmente probables, si es un evento imposible, seguro, etc. En caso de trabajar con espacios muestrales más complejos, se puede recurrir a los diagramas de árbol para representarlos. Se tratará además de analizar si un suceso es probable, seguro o imposible. Por ejemplo, si en una caja se colocan 3 bolas amarillas, 4 azules y 1 verde, se pueden dar distintos tipos de sucesos en la experiencia de sacar una bola de la caja y anotar su color. Sacar una bola azul, es un evento posible (o probable) ya que hay bolas azules en la caja, en cambio el evento: sacar una bola roja es un evento imposible (improbable) y sacar una bola que no sea roja es un evento seguro. En el ejemplo inicial, se puede prever que el evento “sale un número par” es igualmente probable que el evento “sale un número impar” ya que en ambos hay 3 casos en el espacio muestral, así como que salga un número mayor que 6 será un evento imposible.

Versión Preliminar

BLOQUE IV


Versión Preliminar

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o


Números naturales

4.1 Investigar sobre las reglas de funcionamiento de sistemas de numeración antiguos no posicionales como el egipcio o chino-japonés.

Se analizarán los sistemas desde el punto de vista de las características de un sistema: número de símbolos necesarios para escribir todos los números, descomposiciones aritméticas, existencia o no del cero, criterios de comparación y se compararán con las del sistema decimal.

Números decimales

4.2 Resolución de problemas que involucren al valor posicional en la notación decimal

Para avanzar en la comprensión de los números decimales, se plantean ejercicios que requieran la interpretación y utilización de la información contenida en la escritura decimal. Por ejemplo, 1) Escribir en la calculadora el número 1.25 y sin borrarlo, realizar una operación para que en la pantalla se muestre un 1 en lugar del 2. 2) usar la calculadora para proponer cuentas cuyo resultado sea 0.1; 0.01, etc. 3) Completar para llegar a: 3.47 + … = 3.50 ; 7.02 - … = 7; 5.87 + … = 5.974) Escribir el número formado por 15 décimos, 12 centésimos y 17 milésimos.


operaciones


4.3 Resolución de problemas que impliquen la búsqueda de divisores de un número.

La noción de divisor permite establecer nuevas relaciones entre los números naturales. Dado un número, se pueden determinar todos aquéllos números que lo dividen exactamente, es decir, aquéllos por los cuales al dividirlo se obtiene residuo nulo. Por ejemplo, Una artesana quiere hacer collares iguales con las 24 cuentas que tiene y no quiere que le sobre ninguna cuenta. ¿Cuántos collares puede hacer y cuántas cuentas llevaría cada collar? Las respuestas posibles son: 1 collar de 24 cuentas, 2 collares de 12, 3 de 8, 4 de 6, 6 de 4, 8 de 3, 12 de 2 y 24 de 1. Se dice que 1,2,3,4,6,8,12 y 24 son divisores del número 24. Estos problemas pueden ser resueltos probando con números cuyo producto sea el número dado o que al dividirlos se obtenga residuo nulo. El docente organizará discusiones en la clase a fin de que tales ensayos se realicen de forma sistemática, con el fin de asegurar la exhaustividad de los divisores encontrados.

4.4 Multiplicar números fraccionarios y decimales por números naturales

Una vez que los alumnos saben sumar medidas fraccionarias o decimales, pueden resolver problemas que impliquen multiplicar dichas medidas por números naturales, utilizando la suma; por ejemplo: Se forma una tubería uniendo 7 tramos de 0.75 metros ¿cuánto mide la tubería de largo? Deben sumar 7 veces 0.75 m. Posteriormente pueden establecer un algoritmo para resolver estas multiplicaciones. Estos casos son sencillos porque el factor que indica el número de veces (7 tramos) es entero. Cuando dicho factor es decimal, el sentido de la multiplicación es mucho más complejo, por lo que esas multiplicaciones se estudian hasta sexto grado y en secundaria. En este grado los alumnos deben establecer y practicar también los caminos cortos para multiplicar entre potencias de 10 (10, 100 y 1000) corriendo el punto decimal hacia la derecha y agregando los ceros que sean necesarios.


Versión Preliminar

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o

Estimación y Cálculo mental

Números decimales y fraccionarios

4.5 Elaborar recursos de cálculo mental con números fraccionarios y decimales.

Los alumnos también deberán disponer de resultados memorizados y de recursos de cálculo mental con fracciones y decimales. Por ejemplo: Dobles y mitades de fracciones: doble de 1/3; mitad de 6/5; mitad de ¾, etc. Sumas de fracciones más usuales: ½ + ¼ = ; ½ + 3/4 = ; 2/3 + 1 = ;… Suma de decimales de la forma: a + b = 1; a + b= 10; … Restas de la forma: 1 – 0.25=; 10 – 1.50= ;… Encuadramiento de decimales y fracciones entre dos enteros: 31 < 31.24 < 32; 1 < 8/5 < 2; …Encuadramiento de decimales entre dos números decimales con una cifra decimal: 5.1 < 5.189 < 5.2

Versión Preliminar

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma Figuras planas4.6 Trazar triángulos con regla y compás.

No es fácil para los niños entender que un instrumento que sirve para trazar circunferencias se pueda utilizar para trazar figuras con lados rectos. Se sugiere proponer actividades como transportar segmentos sobre una recta yuxtaponiéndolos, en relación, por ejemplo, con la medida del perímetro de un polígono.Se trata de construir con esos instrumentos triángulos congruentes a uno dado (es decir que no se plantea el problema de que con tres segmentos cualesquiera no siempre es posible construir un triángulo). Hay muchas dificultades para construir un triángulo, por ejemplo, dadas las longitudes de sus lados, porque a esta edad para la mayoría de los alumnos la orientación del triángulo todavía es constitutiva de la noción. Un problema es qué medir y dónde trazar los arcos que permiten resolver la construcción.Para evitar interferencias con la posición, se puede trabajar con figuras recortadas, es decir, tanto el modelo como el resultado de la construcción, que estén recortados. Se verifica la congruencia por superposición. Cuando la posición deja de tener tanto peso, como resultado de varias construcciones en las cuales moviendo la figura finalmente se logra la superposición (en caso de que la construcción sea correcta), se puede trabajar sobre una hoja de papel e inclusive el docente puede proponer la construcción de un triángulo determinado a partir del dibujo de uno de sus lados. La posición de este lado puede permitir o no construir el triángulo –por las dimensiones de la hoja- sin necesidad de rotarlo. La idea aquí es poder pensar que la congruencia es independiente de la orientación de la figura.


4.7 Ubicar objetos sobre una cuadrícula.

Ya en tercer grado se trató de identificar las casillas de una cuadrícula . Se trata de retomar y profundizar esas actividades. En un patio embaldosado, en el aula, y luego sobre una cuadrícula, hacer juegos de comunicación para determinar la posición de algo o alguien, sin haber fijado previamente el sistema. Pueden surgir, mensajes del tipo: está en la casilla de la tercera fila y cuarta columna, sin precisar desde dónde se empieza a contar. Se trata de que surja esa necesidad, es decir determinar el punto al que le corresponde las coordenadas (0, 0).Se sugiere utilizar contextos en los que habitualmente se usa ese modo de ubicación en el plano, como una localidad numerada en un teatro (filas y número de butacas, inclusive pares e impares), juego de la batalla naval, etc.


Versión Preliminar

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

MedidaEstimación y

cálculo

4.8 Deducir la fórmula para calcular el área del paralelogramo, triángulo y trapecio.Calcular perímetros o áreas de figuras que resultan de la combinación (por yuxtaposición o sustracción) de otras

Descomponer rectángulos y paralelogramos en triángulos trazando una diagonal, para deducir la fórmula del área del triángulo. Estudiar las relaciones entre el área y las medidas de base y altura en triángulos diversos, manteniendo dichas medidas constantes. En vinculación con el tema “Forma”, identificar los tres pares (base-altura) en un triángulo, calcular el área para cada par y discutir los resultados. O, dados triángulos congruentes trazados sobre una hoja, cada grupo calcula el área e indica qué base y altura utilizó, comparar los resultados obtenidos.

Otra actividad vinculada fuertemente con la comprensión de la relación entre base, altura y área en triángulos, lo ofrece la subdivisión del lado considerado base en dos, tres o más segmentos congruentes. ¿Cómo es la base y la altura de cada uno de los triángulos que surgen de la subdivisión? En vinculación con el reconocimiento de equivalencia de área, ¿cómo son las áreas de los triángulos que surgen de cada subdivisión? Se puede inferir que cuando los triángulos son congruentes entonces las áreas son iguales, pero no es siempre verdadero que cuando las áreas son iguales, los triángulos son congruentes.Para deducir el área del trapecio, se puede dar ocasión a los alumnos de descomponer en figuras “convenientes” (porque son conocidas, porque ya tenemos la fórmula para calcular el área, etc.) y mostrar la fórmula como una decisión económica para el cálculo.

Versión Preliminar


Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

a

Medida Estimación y cálculo

Problemas de cálculo, por ejemplo con figuras sombreadas. Como un modo de verificar el cálculo, se puede subdividir una cuadrícula como en la figura y calcular el área de las distintas subdivisiones numeradas, que a su vez están compuestas por triángulos y rectángulos. El reticulado sirve para aportar la unidad de medida. Se puede verificar que la suma de las áreas es igual al área del rectángulo grande.Plantear problemas del tipo: ¿qué hace falta saber para calcular el área de la zona verde? ¿Y de la zona azul? Es importante distinguir un dato de la información que se infiere del dibujo, reconociendo que ésta última puede ser ambigua.En vinculación con “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, dar las longitudes expresadas en números decimales

Versión Preliminar

1

4

23

5


anej

o d

e la

In

form

ació

n



4.9 Resolver problemas que involucren relaciones aditivas entre conjuntos de datos.

Paralelamente al estudio de las relaciones de proporcionalidad, los alumnos deberán continuar con el estudio de otras relaciones tales como las aditivas, es decir, de la forma y = a + b y otras de la forma y = ax + b. Algunos contextos posibles son las diferencias de edad: Juan tiene 4 años y su hermano 7 años o bien para el segundo caso: El taxi cobra $5.00 por el banderazo y $0.85 por cada 200 metros recorridos. Se puede plantear a los alumnos el cálculo de valores faltantes, apoyándose en tablas y gráficas; expresar la “formula” en casos simples y distinguir estas relaciones de las relaciones de proporcionalidad, tal como se plantea en el bloque siguiente.


informaciónGráficos

4.10 Conocer las convenciones de una representación en gráfico de barras y utilizarlo para la lectura u organización de información.

Las distribuciones de frecuencias de las variables pueden representarse mediante tablas y gráficos. Estos últimos permiten resaltar las principales características de la distribución. En particular los diagramas de barras, permiten ilustrar visualmente ciertas comparaciones de tamaño, especialmente cuando se precisa comparar dos muestras. Se deberá partir de gráficos que los alumnos elaboren por sí mismos, que se analicen en la clase y se perfeccionen a fin de comunicar más claramente la información, antes de dar a conocer los gráficos convencionales. Como para las tablas, los alumnos deberán habituarse a indicar en cada gráfico, la distribución que se está graficando, las variables que se representan en cada eje y su graduación. La precisión de los trazados en este caso, es fundamental, ya que debe permitir la apreciación visual de la información correcta.

Versión Preliminar

BLOQUE V


Versión Preliminar

Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o



5.1 Expresar la razón que guardan dos cantidades (a de cada b) por medio de fracciones, en casos sencillos.

Las situaciones en las que tiene más sentido considerar la razón entre cantidades son aquellas en las que las cantidades varían mientras que su razón es constante, es decir, son situaciones de proporcionalidad. Los alumnos pueden haber trabajado en grados anteriores con razones expresadas mediante números enteros, por ejemplo: “5 de cada 20 alumnos usan lentes”; “por cada 5 pesos se descuentan 2”, etc. Ahora se trata de que establezcan que toda razón del tipo “a de cada b” puede expresarse con la fracción “a/b de”. Los casos más sencillos son aquellos en los que la relación es entre un todo y una parte, la fracción en juego es simple (medios, cuartos) y las cantidades que se generan son enteras, como en el ejemplo siguiente: Una tienda ofrece la siguiente promoción: Por cada 10 pesos de compra, se descuentan 2 pesos. Los alumnos pueden calcular primero lo que se descuenta por distintas cantidades (que sean múltiplos de 10) y registrar los resultados en una tabla. Posteriormente, puede preguntarse: ¿siempre se descuenta la misma fracción del precio? Puede plantearse también la tarea de comparar descuentos expresados de distinta forma, por ejemplo: una tienda ofrece descontar 2/5 del precio, otra ofrece descontar 3 pesos de cada 10 y otra más ofrece “3 productos pagando 2”. En el tema de proporcionalidad del eje Manejo de la Información se desarrolla más este contenido.

Números decimales

5.2 Ubicar números decimales en la recta numérica

Análogamente al trabajo de ubicación de fracciones en la recta numérica se plantean situaciones con números decimales, atendiendo a relacionarlos con fracciones y con números enteros. Por ejemplo: 1) Dados en la recta los números 4.3 y 4.4 ubicar: 4.34 y 4.2) Dados en la recta los números 1.5 y 3 ubicar: 1.7 ; 2.5 y 3.01.


operaciones


5.3 Dividir números naturales para obtener un cociente decimal

El principio en el que se basa el algoritmo para la división de números naturales con cociente decimal constituye una extensión del que se venía usando para cocientes enteros: el residuo entero se convierte en décimos, para seguir dividiendo. Los décimos sobrantes se convierten en centésimos, etc. A continuación se dan dos recomendaciones:- permitir que los alumnos exploren previamente algunos caminos para encontrar cocientes

decimales, al resolver problemas como los siguientes: Se pagaron $490.00 por 200 lápices. ¿Cuánto costó cada lápiz? Cuatro niños se quieren repartir 150 pesos, ¿cuánto tocará a cada uno? Se va a dividir una tira de cartoncillo de 3 metros en 8 partes, ¿cuánto medirá cada parte?

- Al principio hay que plantear divisiones cuyo cociente pueda expresase de manera exacta con décimos, centésimos o milésimos.

Cabe señalar que, en este grado escolar, el estudio de la división de números naturales con cociente decimal se hace con problemas del tipo partición o reparto. Los problemas de división del tipo “comparación” con cociente decimal son más complejos, por lo que se estudian en grados posteriores. Por ejemplo: El precio de una mercancía pasó de 2 a 5 en 3 años, ¿cuántas veces aumentó?


Números naturales

5.4 Utilizar las propiedades de las operaciones inversas para encontrar resultados.

Se trata de lograr que los alumnos establezcan relaciones entre operaciones inversas como la multiplicación y la división. Ej. Sabiendo que 35 x 24 = 840, encontrar el resultado de 840/ 7 = ; 840 / 24 = ; .. O bien, en relación con las propiedades de la división: Sabiendo que 476 x 36 = 17136 calcular: 476 x 360 = ; 4760 x 3600 = ;


Versión Preliminar

Fo

rma,

esp

acio

y m

edid

aForma Figuras planas 5.5 Localizar y trazar las alturas de un

triángulo cualquiera.

Se trata de definir la altura de un triángulo como el segmento perpendicular que va de un vértice al lado opuesto. Es fundamental el trazado de las tres alturas de triángulos en diferentes posiciones para comprender la fórmula que permite calcular el área de un triángulo cualquiera (ver el subtema “Estimación y cálculo” en este bloque). Se sugiere además identificar bases y alturas correspondientes en triángulos obtenidos al trazar una diagonal en cuadrados, rectángulos, trapecios y paralelogramos.

Medida Unidades 5.6 Establecer relaciones entre unidades y periodos de tiempo.

Unidades adecuadas para el tiempo geológico, histórico, en relación con la vida de una persona, en relación con el transcurso de un año, cotidianamente, etc. En relación con el eje “Sentido numérico y pensamiento algebraico” , señalar lo irregular de los agrupamientos con respecto al sistema decimal de numeración.Representar sobre una recta el tiempo histórico en siglos, usando los números romanos, y analizar cómo se corresponde esa designación con los números decimales. Así, la llegada de Colón a América sucedió en el Siglo XV, en el año 1492.


Versión Preliminar

Man

ejo

de

la i

nfo

rmac

ión



5.7 Distinguir las situaciones de variación proporcional de las que no varían proporcionalmente

El estudio de situaciones de variación proporcional debe ser acompañado del estudio de otras situaciones en las que la variación no es proporcional. Por ejemplo, con frecuencia se pueden ver carteles con ofertas en distintos productos como en el siguiente:

¡¡¡EXCELENTES MANZANAS!!!1Kg $ 152 Kg $ 283 Kg $ 426 Kg $ 85

Se solicita a los alumnos que opinen sobre estos precios. Puede observarse una práctica común en el comercio, de cobrar menos de lo que correspondería, al aumentar la cantidad comprada. De esa manera no resulta el mismo precio comprar 2 kg por $28.00, que 2 kilos comprados de a uno, que costarían 15 x 2 = $30.00. En el caso de comprar 6 kg, existen 3 precios diferentes, según la forma de comprarlos: $90.00 si se compran 6 bolsas de 1Kg; $84.00 si se compran 3 bolsas de 2 kg o si se compran 2 de 3 kg; y se pagan $85.00 si se compra una bolsa con los 6 Kg. Si bien en algunos casos se obtiene una reducción del precio total, en otras no es así, como en el caso en que hemos visto. Se trata de que los alumnos observen que si se compra el doble de fruta no se paga el doble, y que en esta situación es difícil anticipar cuánto habrá que pagar por un cierto número de kilos de manzana. Para que una situación sea de proporcionalidad, si una cantidad aumenta al doble o al triple, la otra cantidad también debe aumentar al doble o al triple. Hay que señalar que en una situación de proporcionalidad, a partir de algunos datos, es posible determinar el valor correspondiente a cualquier otro valor; esto no es posible en el ejemplo analizado anteriormente. Será interesante plantear situaciones de la vida de los bebés, como tablas de la estatura y peso en los primeros meses de edad y analizar si a partir de esos datos se puede anticipar la estatura o peso en otras edades. También puede retomarse el tema de perímetro y superficie de un cuadrado para analizar la relación entre la longitud del lado del cuadrado y su perímetro. Se trata de una relación de proporcionalidad, ya que si se duplica el lado de un cuadrado, se duplica el perímetro y esto sucede para cualquier número por el cual se multiplique la longitud del lado; en cambio, con respecto al área, no sucede lo mismo, si se duplica la longitud del lado, la superficie no se duplica, sino que se cuadruplica. La comparación de relaciones de proporcionalidad con relaciones que no lo son, sirve para identificar algunas de las propiedades características de una relación de proporcionalidad.

Ej. Los factores internos se conservan (al doble le corresponde el doble, etc.)El valor unitario que se desprende de cualquier par de valores en correspondencia es siempre el mismo

Existe un número, el factor de proporcionalidad, que al multiplicarse por cualquier valor del primer conjunto, arroja el valor correspondiente del segundo conjunto (factor entero)

Versión Preliminar


anej

o d

e la

in

form

ació

n


Medidas de tendencia

central y de dispersión

5.8 Representar un conjunto de datos por medio de la media (promedio)

La media es una buena estimación de una cantidad desconocida, cuando se han hecho varias medidas de la misma. Por ejemplo, si un objeto pequeño es pesado por 8 alumnos con un mismo instrumento, se pueden obtener diferentes valores; en este caso una buena estimación del peso real estará dada por la media.

Se presentarán problemas que impliquen la búsqueda de promedios y modas (con la cual se trabajó en 4° grado) en particular algunos en los cuales se pueda discutir la pertinencia de una u otra medida. Por ejemplo, el caso de una empresa en la que los sueldos de los empleados son los siguientes: 4000, 3100, 2500, 2000, 2000, 1000, 700, 600, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500 el promedio es aproximadamente 1293, sin embargo no es una medida representativa de los sueldos de esa empresa.

Versión Preliminar

SEXTO GRADOMarzo de 2008

Bloque I



Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


Números naturales

1.1 Lectura, escritura y comparación de números de diferente cantidad de cifras

Los alumnos deben saber que para leer un número conviene separar las cifras en grupos de tres; en cualquiera de esos grupos, el número se lee como un número de tres cifras. Por ejemplo: el número 309 476 512 ya ha sido separado en grupos de 3 cifras, tanto el primero de la derecha (512), como el segundo (476) y tercer grupo (309) se le como si fueran números de 3 cifras independientes. Sus nombres son: quinientos doce; cuatrocientos setenta y seis y trescientos nueve. Sin embrago, en la lectura del número dado, 476 se acompaña de la palabra “mil” que indica la tercera potencia de 10, y 309 por la palabra millones, indicando la 6 potencia de 10. En la numeración oral, no se mencionan todas las potencias de 10, sino sólo las potencias múltiplos de 3.La separación en grupos de 3 cifras facilita además la comparación entre números.Conviene plantear la cuestión de determinar una regla de comparación de números de cualquier cantidad de cifras y determinar que el número de cifras de un número puede ser usado como criterio para la comparación. También se trabaja en la ubicación de números en la recta numérica, a partir de distintas informaciones. Por ejemplo, si se conoce la ubicación del 5000, ubicar los números, 20 000, 15 000 y 2 000. Se trata de determinar relaciones entre los números que faciliten la ubicación, por ejemplo, iterando la distancia del 0 al 5000 se puede ubicar el 10 000, y repitiendo el proceso, esta vez con la distancia del 0 al 10 000, se ubicará el 20 000; en el punto medio entre 10 000 y 20 000 el número 15 000, etc.


1.2 Interpretar a/b como cociente de a entre b, es decir, como el número que

multiplicado por b da “a”.

En años anteriores, la escritura fraccionaria ha adquirido distintos significados, en particular en referencia a la partición de una “unidad”.Es necesario ampliar el significado de una fracción alrededor de tres ideas fundamentales:-el cociente a/b es un número-el producto a/b por b es igual a “a”-el número a/b puede ser aproximado por un decimalPor ejemplo 7/3 es un número que se puede pensar como:-7 veces un tercio-El tercio de 7 o el número que multiplicado por 3 es igual a 7-Un número cuyo valor aproximado es 2.33Debe quedar claro que todo número decimal puede escribirse bajo la forma de un cociente. Por ejemplo 0.5 = 5/10. Por el contrario, ciertos cocientes no son números decimales: 7/3#2.33

Versión Preliminar



Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


Números decimales

1.3 Comparar, ordenar y encuadrar números decimales

La mayor parte de los errores de los alumnos en relación con el orden de los decimales, provienen de una interpretación errónea de las escrituras con punto. Las reglas utilizadas para comparar, encuadrar, y posteriormente intercalar números deben ser justificadas apoyándose en el significado de las escrituras decimales. La ubicación en la recta numérica puede ser un buen recurso para estas actividades.Es sabido que muchos alumnos consideran a los números decimales como dos números enteros separados por un punto. Esta concepción, en la comparación de números como 2.15 y 2.126, apoya la afirmación de los alumnos de que 2.126 es un número mayor porque 126 es mayor que 15. Apelar a la relación con las fracciones decimales, deberá ser una trabajo permanente, a fin de afianzar las ideas correctas sobre estos números. Así, la expresión con fracciones decimales: 2.15= 2+1/10+5/100 y 2.126=2+1/10+2/100+6/1000, permitirá a los alumnos concluir que 2.15 es un número mayor que 2.126. Además, deberán poder concluir en que no es correcto utilizar el número de cifras de la parte decimal para decidir sobre el orden de los números decimales.En algunos casos, la parte entera, independientemente de la parte decimal puede decidir el orden. Por ejemplo 5.0123 y 7.1.También deberán encuadrar con facilidad números decimales, ya sea entre enteros o entre decimales con una cifra decimal, con dos, etc.Por ejemplo, 5.231 es mayor que 5 y menor que 6; pero a la vez puede encuadrarse entre números con una cifra decimal: es mayor que 5.2 y menor que 5.3 Finalmente, también puede incluirse entre 5.23 y 5.24.El encuadramiento de números entre otros con ciertas condiciones, la comparación de 2 o más números decimales y la ubicación en la recta numérica son conocimientos que pueden complementarse y apoyarse mutuamente

Versión Preliminar



Sen

tid

o n

um

éric

o y

pen

sam

ien

to a

lgeb

raic

o

Estimulación y calculo mental

Números naturales

1.4 Realizar las operaciones con números naturales con diferentes

recursos: mental, con algoritmo o con calculadora

El dominio de los diferentes recursos de cálculo debe ser suficiente para que en la resolución de problemas no se convierta en un obstáculo. Por otra parte los alumnos deben poder seleccionar el recurso de cálculo más adecuado a la situación dada. Se trabaja en este grado con números de distintas cantidades de cifras, pero no se exigirá el dominio de los algoritmos para números cualesquiera. Se privilegiará siempre que sea posible el recurso al cálculo mental, que será objeto de actividades regularmente.Por ejemplo, los alumnos deberán poder estimar el resultado de cálculos como: 285 368+19 389+697 207= redondeando por ejemplo, el primer número a 280 000, el segundo a 20 000 que sumados dan 300 000 y agregando al final 700 000 para obtener 1 000 000. En situaciones de pago en mensualidades, si interesa el cálculo del monto que se pagará de más por el pago en cuotas: por ejemplo, una computadora cuesta $13 000.00 y se ofrece pagarla en 12 cuotas de $1189.90 por mes, ¿cuál es la diferencia con el precio al contado si se paga en cuotas? Redondear el monto de la cuota a $1200.00 permite, al multiplicarlo por 12, determinar que se pagaría un total de aproximadamente $14 400. Y si se conoce el monto total a pagar y no el precio de cada cuota, los alumnos deberían poder calcular cual debería ser ese valor, al encontrar aproximadamente el cociente del total entre el número de cuotas. Sin embargo, el cajero deberá realizar el cálculo exacto, con el algoritmo o con la calculadora, para efectivamente determinar la cuota a pagar. Es la situación la que determina el tipo de cálculo seleccionado.

Versión Preliminar

For

ma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma

Cuerpos1.5 Construir y armar patrones de prismas y pirámides

Si los niños no han tenido experiencias en la construcción de patrones, conviene dar la posibilidad de “cubrir” el cuerpo (rotando y dibujando las caras, y luego recortarlas, en una sola pieza o no). El trabajo con patrones fortalece el reconocimiento de elementos de cuerpos y figuras, por ejemplo la relación arista del cuerpo y lado del polígono; vértice de una pirámide y vértices de los triángulos que forman sus caras laterales; etc.Puede darse el cuerpo a la vista y patrones incompletos para que los alumnos los completen, o bien sólo el cuerpo para que los alumnos decidan qué figuras planas lo “cubren” y en qué disposición. También se pueden dar desarrollos que no son patrones porque no es posible hacer coincidir lados para formar aristas; el problema en este caso es redistribuir las caras para que se pueda armar

Figuras planas1.6 Trazar polígonos regulares inscritos en una circunferencia, mediante el ángulo central.

La construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia, a través del cálculo del ángulo central podrá contribuir a la deducción de la fórmula del área del círculo. Es muy importante el análisis de los elementos de los polígonos inscritos en una circunferencia: lados del polígono, radio de la circunferencia, apotema, ángulo central, ángulo interno, etc.



Versión Preliminar

For

ma,

esp

acio

y m

edid

a


1.7 Identificar, definir y trazar rectas paralelas, rectas secantes y perpendiculares en el plano. Identificar ángulos rectos, agudos y obtusos.

Retomando lo trabajado en cuarto grado, reconocer y verificar experimentalmente las posiciones relativas de dos rectas en el plano, y los ángulos que se forman. Enunciar las respectivas definiciones y analizar la importancia de las condiciones que aparecen en esas definiciones. Se puede proponer que los alumnos enuncien una definición y el docente trace figuras que cumplen con ella pero que no corresponden a la figura nombrada. Por ejemplo, “dos rectas son paralelas si no se cortan”. El docente dibuja dos rectas que no se cortan en el pizarrón pero que evidentemente no son paralelas; etc.En vinculación con representación de puntos en el plano (subtema "sistemas de referencia”), ubicar puntos que tienen igual abscisa, igual ordenada, etc. Lo cual da rectas paralelas a los ejes de coordenadas.Dado un modelo de ángulo recto (una escuadra, una hoja de papel, un plegado) comparar con otros ángulos (mayores o menores) en distintas posiciones, con lados cuyo trazado es de diferente longitud pero los ángulos son rectos. También se puede comparar con los ángulos interiores de un polígono, o con los ángulos que se forman al trazar las diagonales de un cuadrilátero. En vinculación con el subtema “Medida”, medir con transportador ángulos en diferentes posiciones, algunos en los que sea necesario prolongar los lados. Construir ángulos de amplitud dada con vértice en una recta.

Espacio Representación1.8 Calcular, de manera aproximada, la distancia de un punto a otro, con ayuda de un mapa.

Cálculo aproximado de la distancia real que corresponde a dos puntos en el mapa, en vinculación con el eje “Manejo de la información”, aplicando proporcionalidad. Comparación de mapas de una región con diferentes escalas. Lectura y comprensión de códigos usados en mapas.

Medida


1.9 Calcular superficies laterales y totales de prismas, pirámides y cilindro.

A partir de cuerpos que estén disponibles, primero construir los patrones para calcular el área total de las caras. Luego sin construir el desarrollo y finalmente en problemas del tipo: ¿cuánto cartón será necesario para hacer una caja cúbica de 25 cm de arista?

Unidades1.10 Analizar cómo varía el perímetro y el área de los polígonos, en función de la medida de los lados.

En relación con “Manejo de la información”, la idea es hacer tablas de valores para ver cómo varía el perímetro de triángulos, cuadrados, rectángulos, en función de la variación de la medida de sus lados (si varía 1, 2, 3, o el doble, el triple, la mitad, etc.). Si los lados se duplican, también lo hace el perímetro. Si se suma una cantidad fija a los lados, el perímetro no aumenta esa cantidad.En polígonos regulares, registrar qué pasa con la longitud de cada lado si se duplica, triplica, se reduce a la mitad, etc. el perímetro. En estos casos, analizar y verificar qué sucede con los ángulos.Se sugiere realizar las mismas actividades para el área.

Versión Preliminar



Versión Preliminar

Man

ejo

de la

info

rmac

ión

En 5° grado los alumnos aprendieron a calcular un porcentaje de una cierta cantidad, a partir de la correspondencia de 100 – n. En este grado se llegará a establecer un procedimiento general válido para cualquier monto. Antes de construir este conocimiento los alumnos deberán adquirir cierto dominio en el cálculo de algunos porcentajes, por ejemplo: Determinar los nuevos precios de varios objetos a los que se les hace un descuento del 10%, los precios originales se encuentran en la siguiente tabla:

Versión Preliminar

PrecioRebajaPrecio Rebajado

$500.00$50.00$450.00

$150.00

$45.00

$200.00

$350.00

$30.00



Versión Preliminar

Man

ejo

de la

info

rmac

ión


Diagrama - tablas1.13 Resolver problemas con información dada en ciertos portadores como tablas o gráficos

Si se conoce información dada en tablas, se pueden extraer los datos incluidos en ellas, pero también se los puede interpretar, extrayendo más información de la que puede ser leída directamente.Por ejemplo

DistanciaTiempo

HorasMinutosSegundos

Amalia100 m

020

Beto50 m

00

50

Catalina150 m

02

51

En esta tabla se puede leer

Versión Preliminar

Versión Preliminar

BLOQUE II



Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


Números naturales y decimales

2.1 Conocer y utilizar el valor de las cifras en función de sus posiciones en la escritura de un número natural o de un decimal.

Se trata de enriquecer y consolidar los conocimientos de los alumnos sobre la numeración de posición y el orden de los números naturales y decimales. Por ejemplo, determinar el numero de décimos que tiene el número 3.47= 34/10 + 0.07 ya que 3.47 puede ser escrito 3 + 4/10 + 7/100 y a la vez 3= 30/10.O bien , encontrar en cada lista el número que no es igual a los demás:0.250 25/100 250/100 0.257+ 7/10 70.70 70 + 70/100 70.700O: Escribe de la forma más simple posible: 25 + 150/100; 3+ 25/100; 34+ 2200/1000; 11/10 + 1111/1000.


2.2 Representar fracciones y decimales en la recta numérica.

Además de usar la recta numérica para verificar anticipaciones sobre orden y equivalencia, los alumnos pueden abordar variantes en las que no se da el origen (el cero) o no se da la unidad. Estas variantes constituyen nuevas ocasiones para reflexionar sobre el papel del numerador y del denominador y sobre la noción de unidad, entre otros aspectos. Dado el origen (cero) y la fracción ¾, localizar el número 1, ( o más difícil, localizar otra

fracción). Dada la fracción ¾ y el 1, localizar el origen Dada la fracción ½ localizar el origen y el 1 (hay infinitas soluciones) El segmento de 0 a 2 aparece dividido en tres partes iguales, asignar a cada parte la

fracción que le corresponde (este ejercicio es difícil, requiere considerar que 2:3= 2/3)Con decimales se pueden plantear ejercicios similares, por ejemplo, dado el número 0.3 y el origen, localizar el 1; dado el 0.3 y el 0.7 localizar el 0.75.


operaciones


2.3 Establecer propiedades de la división de naturales

Se continua el análisis de la relación D = c x d + r y r < d para resolver problemas. Por ejemplo: Calcular el dividendo sabiendo que el divisor es 7, el cociente 31 y el residuo 5¿Cuántos números se pueden encontrar?Proponer una cuenta de dividir en la cual el divisor sea 4 y el cociente sea 21. ¿Hay una sola cuenta o más de una? ¿Cuántas hay?Por otra parte, se tratará de analizar ciertas propiedades de la división. Por ejemplo, 30 dividido entre 7 da 4 de cociente y 2 de residuo. Al duplicar el dividendo y dejar el mismo divisor, es decir 60 dividido entre 7, da 8 (doble del cociente anterior) y además se obtiene 4 de residuo. ¿Sucederá lo mismo para cualquier par de números que se tomen como dividendo y divisor? Esto no ocurre así en otros casos, por ejemplo, si se trata de dividir 34 entre 7. Se propiciará una búsqueda de diferentes ejemplos, sin pretender que los alumnos establezcan las condiciones generales, en las cuales ocurre tal conjetura.

Versión Preliminar



For

ma

Esp

acio

y M

edid

a

Forma Cuerpos2.4 Establecer la relación entre el volumen de prismas y pirámides.

La construcción de diferentes poliedros de medidas adecuadas, puede proveer el material para trasvasar arena de uno a otros, o armar un cubo por ejemplo con tres pirámides. Se puede proveer a varios grupos de alumnos de un prisma y una pirámide con bases y alturas iguales que se puedan sumergir en líquido y así, en vinculación con el eje “sentido numérico y pensamiento algebraico”, pedir que determinen la razón entre los volúmenes. Esto también se puede realizar con recipientes que cumplan esas condiciones, llenándolos con líquido o arena y viendo cuantas pirámides llenas son necesarias para llenar el correspondiente prisma.

Espacio Representación2.5 Describir rutas, la más corta, la más larga, equivalentes, para ir de un lugar a otro, con ayuda de un mapa.

Trazar diferentes recorridos en mapas de la localidad donde viven los alumnos y luego comparar las distancias. De ser posible hacer un recorrido a pie o en automóvil y ubicar en el mapa esa trayectoria.Dado un sitio determinado de la zona, anticipar decisiones espaciales (cruzar la calle, ir hacia la izquierda, etc.) para llegar a ese sitio. Seguir, trazar, caminos alternativos para desplazarse de un lugar a otro cuando hay diagonales, calles que nos son rectas, etc. ¿Cuál es el camino más corto a pie?

Medida


2.6 Calcular, mediante diversos procedimientos, la longitud de una circunferencia.

Con un hilo, rodear diferentes objetos circulares, y hallar en cada caso el cociente entre esa longitud y el diámetro. En vinculación con el eje “Manejo de la información” organizar los datos en una tabla. Analizar los errores en las mediciones y dar el valor aproximado de pi con dos cifras decimales (para lograr esta precisión será necesario trabajar con objetos circulares que tengan un diámetro mayor a 15 cm).Expresar medidas de tubos, caños de agua, etc. en términos de longitud del diámetro: “es un caño de 30 cm”, o una manguera “de media pulgada”, etc.

Unidades

2.7 Establecer relaciones entre unidades del Sistema Internacional de Medidas (SI) y las unidades más comunes del sistema Inglés

Se trata de que los alumnos sepan hacer aproximaciones para interpretar expresiones que se usan en la vida real. Por ejemplo: Un avión vuela a 25 000 pies sobre el nivel del mar, ¿cuál es esa altura en metros? Un calvo mide 2+1/2 pulgadas de largo, ¿cuántos centímetros? Se utilizarán tres galones de pintura, ¿cuántos litros?Interpretar y calcular equivalencias entre divisas de diferentes países, por ejemplo: ¿cuántos pesos se necesitan para comprar 50 dólares? Por supuesto, hay que averiguar el tipo de cambio actual.

Versión Preliminar



Versión Preliminar

Man

ejo

de la

info

rmac

ión



información

2.8 Interpretar información contenida en distintos portadores.

Una de las competencias necesarias de un ciudadano es poder comprender la información matemática que circula en distintos portadores, en la vida cotidiana. Por ejemplo, en el envoltorio de un paquete de hojas se puede ver esta información:

A4 / 80 g / m2

210 mm x 297 mm500 hojas

Papel alcalino alto blanco

Esta etiqueta identifica a un tipo de papel. Se tratará de entender a qué se refiere la información que proporciona, como tamaño de papel (A4), gramaje que se mide en gramos por m2, medidas de cada hoja en milímetros, número de hojas que contiene el paquete y calidad del papel.


2.9 Resolver problemas que involucren relaciones “por cada n, m”

Se considera ya un caso general, dado que no se pide que uno de los números sea múltiplo del otro, y los valores faltantes pueden ser números fraccionarios.Para resolver los problemas se espera que los alumnos identifiquen la existencia de un factor constante de proporcionalidad, cuando éste es entero; lo relacionen con el valor unitario; lo utilicen para calcular otros valores y para expresar, en algunos casos, la fórmula general de la relación. Por ejemplo, en una escala en la que a un lado de 3 cm le corresponde un lado de 12 cm, identificar el factor de proporcionalidad, en este caso también llamado factor de escala (4), lo utilicen para calcular otras medidas, y para expresar la fórmula, por ejemplo, medida de un lado A’ = 4 x medida del lado correspondiente de A.Dado un factor de proporcionalidad entero, determinar el factor inverso (el inverso de “ por n” es “entre n”; el inverso de “entre n” es “por n”) Por ejemplo, en el caso del cuadrado, Lado = Perímetro entre 4.Empezar a aplicar y a identificar factores sencillos de proporcionalidad fraccionarios, en relaciones entre magnitudes de la misma naturaleza. Ejemplo 1: El interés mensual es 7/100 de la cantidad ahorrada. Calcular el interés para varias cantidades ahorradas, que sean múltiplos de 100 (dividiendo entre 100, multiplicando por 7). Ejemplo 2: Si de cada 50 pesos prestados, el banco cobra 1 peso cada mes, ¿cuánto cobra el banco por cada peso? ¿qué fracción del préstamo cobra el banco por intereses?En este grado se identificarán y nombrarán las propiedades de la proporcionalidad; conservación de factor de proporcionalidad constante y propiedad aditiva

Versión Preliminar


ORIENTACIONES DIDÁCTICASM

anej

o de

la in

form

ació

n


Medidas de tendencia central y de dispersión

2.10 Resolver problemas que involucren el uso de la media (promedio) y la mediana.

Se deberán presentar situaciones tanto de cálculo de promedio como de determinación del número de datos o de algunos de esos datos. Los distintos problemas permitirán la utilización de propiedades de promedio o media y su formulación por parte de los alumnos. Por ejemplo, en un problema como el siguiente: Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de 60 kg. y de los hombres es 90 kg. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas que hay en el el ascensor? Una respuesta rápida pero errónea es calcular la media entre 60 kg y 90 kg, obteniendo 75 kg de peso medio, pero eso no tendría en cuenta que el número de mujeres es diferente del de los hombres. Para encontrar el peso medio se podrá utilizar una propiedad de la media: los distintos valores desconocidos de los cuáles se conoce su media, pueden ser remplazados por ella.Por lo tanto, se podrá sumar 60 cuatro veces y 6 veces 90 y calcular el promedio, dividiendo el resultado entre 10, obteniéndose el peso medio correcto de 78 kg.Resulta interesante comparar las distintas medidas de tendencia central de una colección consideradas como representantes de ella. Por ejemplo, se elige al azar una muestra de 18 hombres, se les toma la talla de camisa y se obtienen los siguientes datos: 37,37,38,38,39,39,39,40,40,40,41,41,41,42,42,42,42,42.Si bien la media y la mediana es 40, al fabricante le es más útil la moda, que es 42. Es decir, le va a interesar más saber qué talla de camisa debe fabricar más.

Versión Preliminar

Bloque III



Versión Preliminar

Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


Números naturales

3.1 Determinar múltiplos de números naturales

Un múltiplo de un número a es el número que se obtiene multiplicando el número a por cualquier otro número natural. Ya se ha iniciado este aprendizaje en los grados anteriores con el doble, triple, etc. de un número. En este grado se trabaja con la noción en general de producto por cualquier número. Se puede establecer una relación entre los resultados en “la tabla de un número” con los múltiplos de ese número. Por ejemplo, todos los números que aparecen como resultados de la tabla del 5 con múltiplos de 5 y todos los múltiplos de 5, (al menos los 10 primeros) aparecen en la tabla. El análisis de las regularidades permitirá a los alumnos determinar que todos los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5. De la misma manera se analizarán los múltiplos de 2, de 3, de 10, 100, etc.Se podrán plantear algunas situaciones como: Si se empieza en el cero y se cuenta de 3 en 3, ¿se dirá el número 28? 0 bien, en un juego de pistas, se sabe que el caballo rojo salta de 4 en 4 hasta la llegada en el casillero 50, y el caballo verde tiene que saltar de 3 en 3, ¿Puede haber una trampa entre el 20 y el 25 que ninguno de los dos caballos caiga en ella?En otro bloque se relacionará a los múltiplos con los divisores.

Números fraccionarios y

decimales

3.2 Comparar fracciones y decimales, identificar diferencias entre el orden de los decimales y el orden de los números naturales al analizar la propiedad de densidad.

Los alumnos deben constatar que entre cualquier par de números decimales, es posible identificar siempre otro número. Esta es la propiedad de densidad de los decimales. Por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 está 0.15. Entre 0.15 y 0.16 está 0.151... La recta numérica constituye un recurso útil para este trabajo, eventualmente haciendo “ampliaciones” de los segmentos de recta que se necesitan subdividir.La misma constatación puede hacerse con fracciones, aunque esto requiere de más trabajo y no constituye un objeto de estudio en la escuela primaria. Para encontrar números entre dos fracciones dadas, conviene reducir a un mismo denominador y después, si es necesario, a denominadores cada vez más grandes. Por ejemplo para ubicar fracciones entre 1/3 y ½, éstas se convierten a 2/6 y 3/6 y luego a 4/12 y 6/12. Una vez hecho esto, es fácil identificar ubicar la fracción 5/12 entre las dos fracciones dadas: 1/3 y ½. Para encontrar una fracción entre 5/12 y 6/12 se puede convertir a 10/24 y 12/24.A raíz de actividades como las anteriores, pueden plantearse preguntas para reflexionar y debatir, por ejemplo: Si trabajamos solamente con números naturales, ¿Cuál es el número mayor que 5 que está más cerca de él (el sucesor de 5)? ¿Y si trabajamos con decimales? ¿5.1? 5.01?... ¡no hay sucesor...!Uno de los usos que se ha dado a la propiedad de densidad de los decimales es en situaciones de clasificación, por ejemplo, para clasificar los libros en una biblioteca. Puede presentarse a los alumnos un problema como el siguiente: Los libros de una biblioteca deben clasificarse y numerarse. ¿Cómo hacerlo?Considerar, por ejemplo, que hay libros sobre tres o cuatro temas y en cada tema los hay de distintos autores. La pertinencia de los decimales aparece cuando, una vez numerados los libros, llega uno más que va entre dos que ya estaban numerados, ¿qué número ponerle?.

Versión Preliminar


ORIENTACIONES DIDÁCTICASSe

ntid

o nu

mér

ico

y pe

nsam

ient

o al

gebr

aico Significado y uso

de los númerosProblemas

multiplicativos3.3 Resolver problemas de conteo mediante procedimientos informales

En este caso se trata de, a partir de los elementos de un conjunto, formar el mayor número posible de grupos con un número dado de elementos, que difieran al menos en uno de los elementos, sin tomar en cuenta el orden. Algunos ejemplos de este tipo de problemas son:

a) Si se dispone de 5 sabores diferentes de helados, encontrar todas las formas diferentes para un helado de tres sabores.

b) Si se dispone de cinco tipos de flores, encontrar todos los arreglos diferentes que se pueden hacer con cuatro tipos de flores.

No se trata en este grado de utilizar la fórmula para calcular el total, sino de encontrar algún recurso para estar seguros de que efectivamente se tienen todas las formas diferentes.

Estimación y calculo mental

Números naturales

3.4 Establecer el orden de magnitud de un cociente de números naturales.

Se continuará el trabajo iniciado en grados anteriores sobre la determinación del número de cifras de un cociente. Este caso, se trata de estimar aproximadamente el cociente entre dos números naturales.Por ejemplo, entre los números 3 026 y 34, puede en primera instancia determinarse que el cociente tendrá 2 cifras dado que 34x100=3 400 que supera al dividendo. Por otra parte, el cociente será menor que 90 ya que 90 x 34= 3 060. Sin embargo ya se encontró una buena aproximación, el resultado es muy cercano a 90.Una variante es pedir que se seleccione, sin realizar el algoritmo, el cociente exacto de la división dada entre las tres opciones presentadas:

9984 : 128 = 108 78 82

Si se trata de un cociente exacto, la cifra de las unidades tiene que ser 8, ya que el cociente multiplicado por el divisor, deberá dar 9984. Considerando la cifra de las unidades se puede entonces eliminar el 82. De los dos números restantes, 108 debe ser descartado ya que 128 x 100 es 12 800.

Versión Preliminar



Versión Preliminar

Forma Figuras planas3.5 Clasificar los cuadriláteros.

Es importante verificar por métodos empíricos (plegado, medición, superposición, etc.) las propiedades que se enuncian. No es necesario llegar a la institucionalización de la clasificación de cuadriláteros, pero se sugiere tratar la inclusión. Por ejemplo, el cuadrado es un rectángulo cuyos lados son congruentes, y también es un rombo cuyos ángulos son rectos, y también un paralelogramo porque sus lados son paralelos, etc. En vinculación con el eje “Manejo de la información” y a modo de resumen, los niños completan tablas con las propiedades de los cuadriláteros:

FiguraLados paralelosDiag. Perpend.Ejes de Simetr Áng interiores

cuadradosisi4rectos

rombo

....

Esas tablas también pueden usarse Versión Preliminar



Versión Preliminar

Man

ejo

de la

info

rmac


información y Representación

de al información


3.8 Resolver problemas en los que se involucre el concepto de porcentaje.

Se plantean problemas en los que es necesario calcular el porcentaje o es uno de los datos del problema. Además de la correspondencia 100 – n estudiada en grados anteriores y en el Bloque 1 de este grado, se continuará el trabajo con el porcentaje a partir de su relación con la fracción decimal n/100. Por ejemplo, en el caso en que sea necesario calcular el 15%, éste puede ser expresado como 15/100, o como 0.15, lo que puede facilitar los cálculos. En todos los casos se trabaja con porcentajes enteros.También se deberán presentar situaciones de comparación de dos distribuciones, por ejemplo, si se conocen las cantidades de alumnas y alumnos de 3 escuelas diferentes que participaron en un torneo:

AlumnasAlumnos

A4298

B3090

C54146

Y se quiere saber cuál escuela tiene una mayor proporción de alumnos, se puede recurrir a la comparación de razones, que no es en este caso el procedimiento más eficaz. Otra posibilidad es calcular el porcentaje de alumnas en el total de alumnos de cada escuela y obtener así los porcentajes: 30%, 25% y 27% que permiten responder a la pregunta a partir de la comparación de 3 números enteros.Por otra parte, los alumnos tendrán que aprender que si a una cantidad se le ha aumentado el 15%, el total se puede obtener multiplicando la cantidad inicial por 1.15; ésta debería ser la respuesta de los alumnos ante la pregunta: ¿se puede calcular un aumento del 15% de una cantidad realizando una única operación? En lugar de las dos operaciones habituales: calcular el 15% y luego sumar esa cantidad al monto original. Este recurso es especialmente útil cuando se Versión Preliminar

Versión Preliminar

Bloque IV



Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


Números naturales

4.1 Determinar los divisores de un número

A partir de la noción de múltiplo se puede definir divisor, ya que si un número a es múltiplo de otro b, se dice que b es divisor de a. También puede definirse diciendo que si un número divide a otro exactamente se dice que ese número es divisor del otro.Es importante relacionar y a la vez diferenciar esta idea de divisor de uno de los términos de la operación división que también se llama divisor. Para ampliar el conocimiento de los números naturales, la idea de divisor permite poner en relación a un número con un conjunto de números, por ejemplo, relacionar 8 con 1, 2 4 y 8, sabiendo que al dividir 8 entre cualquiera de esos números se obtendrá 0 como residuo. Por ejemplo, si se tienen 16 flores y se quiere con ellas armar arreglos de la misma cantidad de flores, ¿cuántas flores podrá tener cada arreglo?Se puede armar un arreglo de 16 flores, 2 de 8, etc. hasta 16 arreglos con una flor cada uno. Los números 1,2,4, 8 y 16 son divisores de 16 y a la vez 16 es múltiplo de cada uno de esos números. Por otra parte, se analizará si un número puede se divisor de más de un número, por ejemplo se puede pedir: Dar al menos 3 números de los cuales 2 sea un divisor.


4.2 Convertir fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximar algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.

Los alumnos deben lograr pasar con fluidez de la notación decimal (números con punto) a la notación fraccionaria y viceversa, por ejemplo, 23.075 = 23 + 7/100 + 5/1000 o bien 23 + 75/1000. Algunas fracciones que no tienen como denominador una potencia de 10 (10, 100, 1000,...) son equivalentes a una fracción decimal, por ejemplo, 2/5 = 4/10, mientras que para otras no hay ninguna fracción decimal equivalente, por ejemplo 1/3. Aunque la razón de ser de esta diferencia se estudia en secundaria, en sexto grado los alumnos pueden tener experiencia en buscar la expresión decimal de distintas fracciones. Lo anterior se puede observar, por ejemplo, cuando se recurre a la división del numerador entre el denominador: 2/5 = 2:5 = 0.4 o 2/3 = 2:3 = 0.666...Considerando que para los alumnos de sexto grado puede no ser evidente todavía que una fracción es equivalente a una división, vale la pena plantear situaciones en las que ellos vean la pertinencia de dividir; por ejemplo: “Una tira de dos metros se va a dividir en tres partes iguales, ¿Cuanto mide cada parte?Dar un resultado con fracción y con notación decimal”. Al hacer la división de dos metros entre 3, aún convirtiendo los metros a centímetros o a milímetros, los alumnos notarán que, a diferencia de otras divisiones, lo que obtienen es una aproximación. Una conclusión a la que pueden llegar en este grado es que hay fracciones (o divisiones) que se pueden expresar con decimales “que terminan” y otras que solamente se puedes aproximar. En este último caso conviene identificar el período, esto es, el conjunto de cifras que a partir de cierto momento, se repite.

Versión Preliminar


ORIENTACIONES DIDÁCTICASSe

ntid

o nu

mér

ico

y pe

nsam

ient

o al

gebr

aico


operaciones


4.3 Resolver problemas de combinatoria que involucren problemas de permutación sin repetición.

El total de permutaciones en un conjunto de n elementos se define como las distintas formas de ordenar los elementos de la colección, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.Ejemplo. ¿Cuatro amigas compran números consecutivos de boletos para ir al teatro, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse? Nuevamente no se tratará de definir permutaciones ni de utilizar fórmulas para su cálculo. Los alumnos podrán utilizar un diagrama de árbol o un gráfico para asegurar la exhaustividad de la búsqueda.


4.4 Dividir un número fraccionario o decimal entre un número natural

El interés de que los alumnos aprendan a dividir fracciones entre números naturales, radica principalmente en la comprensión más profunda que pueden obtener acerca de las fracciones que han venido estudiando. Se recomienda realizar el estudio de esta operación con fracciones fáciles de presentar concreta o gráficamente. Se trata de que aprendan a resolver situaciones en las que la fracción expresa una cantidad que será objeto de partición, por ejemplo: ¼ de una superficie rectangular dividida entre 3; 2/5 de metro entre dos. Los alumnos pueden establecer dos procedimientos:

-cuando el numerador es múltiplo del divisor basta con dividir al numerador, por ejemplo, 4/5 de metro entre 2 = 2/5 de metro.

-cuando el numerador no es múltiplo del divisor puede buscarse una fracción equivalente cuyo numerador sí lo sea, por ejemplo 2/3:4 = 4/6: 4 = 1/6 o bien, se puede multiplicar el denominador: 2/3 de terreno entre 4= 2/12 de terreno, ya que 2/3: 4= 8/12: 4= 2/12. En este caso se pone en juego una relación inversa entre el denominador y la fracción: al multiplicar el denominador por n, la fracción se hace n veces más pequeña.Por otra parte, se espera que en este grado los alumnos extiendan el alcance de la técnica que usaban para dividir enteros a la división de un número decimal entre un número natural. Al igual que en la división de una fracción, se recomienda estudiar esta operación en contextos en los que el decimal expresa una medida que será objeto de partición, por ejemplo: 25.7 metros entre 5; $50.35 entre 10, etc.A partir de cierto momento, se deben establecer y practicar los caminos cortos para dividir entre potencias de 10 (10, 100 y 1000) corriendo el punto decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor. Una de las aplicaciones frecuentes de estas divisiones es la de los cambios de unidad en el Sistema Internacional de Medidas, por ejemplo, 25 cm = 2.5 dm = 0.25 m. Antes de realizar este tipo de conversiones, es conveniente recordar las experiencias en las que se exploró la relación inversa entre el tamaño de una medida y el tamaño de la unidad, por ejemplo: a una unidad 10 veces mayor, corresponde una medida 10 veces menor.

Versión Preliminar



Versión Preliminar

For

ma,

esp

acio

y m

edid

a

Forma Figuras planas

4.6 Trazar e identificar circunferencias y sus elementos: radio, diámetro y centro.Distinguir puntos interiores a la circunferencia: definir círculo.

Determinar en un primer momento con regla muchos puntos que estén a una distancia dada de otro considerado fijo. Cuando se trazan muchos puntos con esa condición, se empieza a percibir una circunferencia y entonces surge el compás como el instrumento que permite marcar rápidamente todos los puntos del plano que cumplen esa condición. Esta actividad es importante para comprender la definición de circunferencia.Trazar circunferencias con hilo y un punto fijo (como hacen los jardineros), determinar el centro de una circunferencia que se trazó siguiendo el borde de un plato o un vaso sobre una hoja de papel, o sobre una superficie que no se puede plegar. Es posible que surjan propiedades: un diámetro es la mayor de las cuerdas, un diámetro es eje de simetría, la intersección de dos diámetros da el centro, etc. Trazar circunferencias con compás dado el diámetro, o dado el centro y el radio a través de un segmento, etc.Por comparación con el radio, distinguir puntos interiores a la circunferencia; esto es básico para comprender la diferencia entre circunferencia y círculo.Otra actividad que se puede proponer en torno a estos conocimientos es determinar los puntos que equidisten de los extremos de un segmento trazado sobre una hoja. Seguramente surgirá el punto medio del segmento, pero se trata de hacer una competencia entre grupos para ver quién encuentra más puntos. La mediatriz del segmento es la recta cuyos puntos equidistan de los extremos del segmento y esta noción es de suma utilidad para determinar rectas perpendiculares y paralelas, el centro de una circunferencia (el centro es el punto de intersección de las mediatrices de dos cuerdas no paralelas), construir triángulos isósceles y equiláteros etc. Si el docente lo considera apropiado, puede proponer la construcción de la mediatriz de un segmento con compás.


4.7 Localizar puntos en un globo terráqueo.

En caso de disponer de una representación esférica de la tierra, estudiar el sistema de referencia. Localizar un lugar dadas su latitud y longitud, y viceversa. (Vincular con ciencias sociales.)

Medida


4.8 Deducir la fórmula para calcular el área del círculo.

Para deducir la fórmula del área de un círculo es imprescindible haber trabajado con la construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y dar la relación entre apotema y radio cuando el número de lados del polígono es muy grande.

Unidades

4.9 Relacionar el decímetro cúbico y el litro. Deducir otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos. Conocer e interpretar unidades culturalmente usuales para diferentes magnitudes

Experimentar concretamente la relación entre decímetro cúbico y litro y deducir por ejemplo la relación entre centímetro cúbico y mililitro (constatar su uso en botellas, en productos medicinales, etc.)Relacionar volumen y peso, plantear el problema si se trata de agua o de otros materiales (arena, por ejemplo).Interpretar unidades como la del caudal de líquido: tantos metros cúbicos por segundo.Conocer otras unidades en diferentes magnitudes: barril (petróleo); quilates (oro); relación entre la denominación de un siglo y la cantidad de centenas de los años correspondientes (al Siglo XX le corresponden años con diecinueve centenas).

Versión Preliminar



Versión Preliminar

Man

ejo

de la

info

rmac

ión


Nociones y probabilidad

4.10 Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

Los alumnos ya han realizado experimentos aleatorios con dados o monedas en grados anteriores. Se tratará en este grado de determinar el espacio muestral en situaciones más complejas. Por ejemplo, jugando con 2 dados y una tira de números del 1 al 12, cada alumno elige un número por turno (cada uno tendrá un número distinto del de los demás) y por turno tira los 2 dados. Si la suma de los puntos es el número elegido por él, gana un punto.

123456789101112

Se juega a 20 partidas. Gana el que acumuló más puntos. La primera elección de un número, puede que sea realizada al azar prefiriendo uno u otro número sin considerar las posibles sumas que lo tienen como resultado. Pero el análisis de los números ganadores y de las partidas, en la discusión posterior global que organice el docente, llevará a los alumnos a determinar si algunos números tienen más posibilidades de salir que otros. Esto podrá fundamentar la selección de un número en las próximas partidas.

Relación de proporcionalidad

4.11 Resolver problemas relativos a la comparación de razones

Una de las situaciones más habituales de la vida cotidiana en las que puede utilizarse la proporcionalidad es la de comparar precios de un mismo producto en distintos comercios o con presentaciones diferentes. Para resolver es necesario comparar las 2 razones que se pueden establecer entre los datos. Por ejemplo, en el negocio A, 250 g de queso cuestan $ 24.50 y en el negocio B, 350 g del mismo queso cuestan $ 35.60. ¿En cual de los dos negocios es más barato ese tipo de queso?Uno de los procedimientos posibles es encontrar el precio de una cantidad común que puede ser 1 g, 50 g o 100 g. Se analizará en los problemas cuál es la pertinencia de elegir uno u otro, según los datos numéricos de la situación. O bien, partir de una cantidad común de dinero y determinar los pesos del queso correspondiente, por ejemplo $1.00, $5.00, etc.En otros casos se podrá recurrir al cálculo del porcentaje como se propuso en el conocimiento 3.8.Es importante así mismo, analizar el razonamiento utilizado. Si se busca el precio de una cierta cantidad común, por ejemplo 50 g, podrá razonarse de esta manera: en el negocio A, 50 g de queso cuestan $24.50/5= $4.90, en cambio en el negocio B, 50 g cuestan $35.60/7 = $5.09, por lo tanto, el precio del queso es menor en el negocio A.

Versión Preliminar

Bloque V



Versión Preliminar

Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


operaciones


5.1 Resolver problemas que involucren la búsqueda de divisores o múltiplos comunes a varios números.

En bloques anteriores se trabajó con la idea de múltiplos y divisores. Un concepto importante relacionado con ellos es el divisor común o múltiplo común. Ejemplo: Se quieren armar cajas con cierta cantidad de dulces. Si se ponen 2 en cada caja, no sobra ninguno, si se ponen 3 en cada caja tampoco sobra ninguno y si se ponen 5 dulces en cada una, no sobra ninguno. ¿Cuántos dulces habrá si se sabe que hay entre 80 y 100 dulces? En este caso el menor número que cumple con la condición señalada es 30, ya que éste es múltiplo común de 2, 3 y 5, pero como la cantidad de dulces está entre 80 y 100, el resultado es 90, que es múltiplo de 30 y está entre 80 y 100.También se podrá empezar a plantear la validación de algunas afirmaciones: “Si un número es múltiplo de 2, también es múltiplo de 4”, “Si un número es múltiplo de 10 también es múltiplo de 5”, si bien en este grado se espera que los alumnos resuelven estas cuestiones escribiendo los múltiplos correspondientes e infiriendo ciertas regularidades.


5.2 Resolver problemas multiplicativos con valores fraccionarios o decimales mediante procedimientos

no formales.

Comprender la noción de multiplicación por una fracción o por un número decimal implica, para los alumnos del nivel básico, construir una noción de multiplicación distinta a la que han construido con los números naturales. En este caso los alumnos han aprendido a interpretar la multiplicación como una suma repetida y, en consecuencia, como una operación que agranda, ¿Qué puede entonces significar para ellos multiplicar por 2/3 o por 0.3?Ciertamente, el algoritmo para multiplicar fracciones es muy sencillo, pero, ¿de qué serviría a los alumnos saber ejecutar ese algoritmo si no pueden darle algún sentido? Debido a esta complejidad conceptual, el estudio explicito y formal de la multiplicación por fracciones y decimales se realizara hasta la secundaria. Sin embargo, en la primaria, y sobre todo en sexto grado, los alumnos pueden avanzar en los antecedentes de esta operación, de varias maneras.Por una parte, pueden seguir utilizando la expresión “a/b de ... antes de que ésta sea designada como multiplicación (pueden calcular, por ejemplo ¾ de 60, o incluso ¾ de ½, sin saber que se trata de multiplicaciones); por otra parte, pueden resolver algunos problemas de proporcionalidad que, aunque formalmente implican multiplicar por una fracción, esta operación no se hace explícita. A continuación se muestra en par de ejemplos.Ejemplo 1: “Un tren de un parque da vueltas alrededor de un circuito de 12 km.Calcular los valores que hacen falta en la tabla siguiente:Vueltas

1235

1 1/22 3/45/6

5 1/40.251.32.5

km.12

En este ejemplo se trabaja con una relación

Versión Preliminar



Versión Preliminar

Sen

tido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


operaciones


Variante: el circuito mide una fracción de unidad, por ejemplo, 4/5 de milla:

En esta variante debe calcularse una fracción de fracción, por ejemplo ¾ de 4/5 de milla. Un camino es calcular primero ¼ de 4/5 de milla.Otra variante: calcular los números de vueltas.

Vueltas1

km603015106

Versión Preliminar

Vueltas1231/23/4

Millas4/5

Man

ejo

de in

form

ació

n



5.4 Resolver problemas que involucren constantes de proporcionalidad particulares

Algunas constantes de proporcionalidad poseen nombres que las identifican, como escala, densidad, velocidad. Se les presentarán problemas a los alumnos en los que se pongan en juego distintas situaciones relativas a estos conceptos.Por ejemplo, representar a escala el edificio de la escuela, después de haber tomado las medidas necesarias. La relación de proporcionalidad subyacente es la que se establece entre las medidas del edificio y el croquis que se quiere trazar. Si bien se puede partir de trabajar con una relación establecida entre dos magnitudes homogéneas, por ejemplo longitud y de una relación del tipo m – n, por ejemplo, 1 cm - 2 m, posteriormente se considerará la constante de proporcionalidad, denominada factor de escala, que exigirá tener en cuenta las unidades de medida, se tratará de la razón 1/200. Una vez hallada, esta constante permite calcular cualquier distancia en el croquis si se conoce la correspondiente en el edificio o a la inversa.Este conocimiento se tratará en relación con los del eje Medición y Espacio.



Man

ejo

de in

form

ació

n



5.5 Identificar las situaciones de proporcionalidad, mediante las propiedades de este tipo de relación.

Al comparar relaciones de proporcionalidad con relaciones que no lo son, identificar las siguientes propiedades de una relación de proporcionalidad:-Los factores internos se conservan (a doble le corresponde el doble, etc.)-se verifica la propiedad de la aditividad (a la suma de dos cantidades cualesquiera en un columna les corresponde la suma de sus correspondientes en la otra columna).-El valor unitario que se desprende de cualquier par de valores en correspondencia es siempre el mismo (valores unitarios enteros o no enteros)-Existe un número entero o fraccionario que al multiplicarse por cualquier valor del primer conjunto, arroja el valor correspondiente del segundo conjunto. Estos números (entero o fracción) son “factores de proporcionalidad”.-Los “productos cruzados” entre dos pares de cantidades correspondientes son igualesEstas mismas propiedades permiten determinar si una situación es o no de proporcionalidad.

Nociones de Probabilidad

5.6Comparar la probabilidad teórica de un evento simple con su probabilidad frecuencial.

Con monedas, dados, u otros objetos, los alumnos pueden por ejemplo, comprar la probabilidad teórica de que caiga águila (1/2) con la probabilidad frecuencial, al realizar el experimento de lanzar una moneda muchas veces. La realización de la experiencia muchas veces les permitirá comprobar que aproximadamente sucede de esa manera. Es decir, que si el experimento se realizara una gran cantidad de veces, el número de águilas tendría que ser aproximadamente el mismo que aparece sol.

Versión Preliminar


Versión Preliminar

Man

ejo

de in

form

ació

n


Diagramas y tablas

5.7 Organizar información seleccionando un modo de presentación adecuado.

La organización de la información y su presentación posterior en un cuadro o en una tabla, es en general una actividad más compleja que la de extraer e interpretar datos ya presentes en ellos. En este grado, se centrará el trabajo de este eje especialmente en la tarea de organización y presentación de la información: elección de las categorías o entradas para las tablas apropiadas, agrupamiento de datos, etc. Por ejemplo , dada una serie de datos como en el siguiente caso:En el Club Regatas, todos los años se organiza un torneo deportivo. En cada deporte se forman distintos equipos que compiten durante un fin de semana. En la tabla están escritos algunos puntajes de dos de los deportes. Completar los datos que faltan:

EquiposPuntaje del sábadoPuntaje del domingo Total

TENISRojo 127224

Azul

145360

BASQUETRojo208

453

Versión Preliminar

Versión Preliminar

matematicas

Education

Transcript of matematicas