Matemticas Discretas

Profesor: Juan Carlos Gmez Ramrez Alumno: Eduardo Uribe Gonzlez

Ingeniera en Sistemas Computacionales

Sistemas NumricosSistema OctalEl sistema de numeracin octal es un sistema de numeracin en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeracin binaria. Esta caracterstica hace que la conversin a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeracin decimal.

Sistema BinarioElsistema binario, encienciaseinformtica, es unsistema de numeracinen el que losnmerosse representan utilizando solamente lascifrasceroyuno(0y1). Es el que se utiliza en lascomputadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles devoltaje, por lo cual su sistema de numeracin natural es el sistema binario (encendido1, apagado0).

Sistema DecimalElsistema de numeracin decimal, tambin llamadosistema decimal, es unsistema de numeracinposicionalen el que lascantidadesse representan utilizando comobase aritmticalaspotenciasdel nmerodiez. El conjunto de smbolos utilizado (sistema de numeracin arbiga)se compone de diezcifrasdiferentes:cero(0);uno(1);dos(2);tres(3);cuatro(4);cinco(5);seis(6);siete(7);ocho(8) ynueve(9).

Sistema HexadecimalOtro modo de manejar nmeros binarios es con el uso del sistema de numeracin hexadecimal. Este sistema es de base 16, lo que significa que para cada columna es posible escoger uno de entre 16 dgitos. stos son O, 1, 2, 3, 4,5, 6,7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Para contar en el sistema hexadecimal se inicia en la primera columna a la izquierda del punto hexadecimal y se cuenta desde O hasta F. Una vez que se llena la primera columna, se pone en cero a ella y se suma uno a la segunda columna. Despus del 18, 19, lA, 1B, 1C, 1D, lE, lF siguen el 20, 21, y as sucesivamente. Despus del 9FFF sigue el A000, etc.

ConversionesCONVERSIN DE UN NUMERO DECIMAL A BINARIO

Para esta transformacin es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario

1. Dividimos el numero 42 entre 22. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cociente sea 1.3. El numero binario lo formamos tomando el primer dgito el ultimo cociente, seguidos por los residuos obtenidos en cada divisin, seleccionndolos de derecha a izquierda, como se muestra en el siguiente esquema.

CONVERSIN DE UN NUMERO DECIMAL FRACCIONARIO A UN NMERO BINARIOPara transformar un nmero decimal fraccionario a un numero binario debemos seguir los pasos que mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el numero 42,375.

1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior.2. La parte fraccionaria de la siguiente manera:

Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numero binario correspondiente

Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamos sucesivamente por 2 hasta llegar a 0

Tomamos nuevamente la parte entera , y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha terminado el proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal ser la unin de todas las partes enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del proceso , en donde el primer dgito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo dgito a la segunda parte entera , y as sucesivamente hasta llegar al ultimo .Luego tomamos el numero binario , correspondiente a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo numero binario correspondiente a el numero decimal.

CONVERSIN DE UN NMERO BINARIO A UN NUMERO DECIMALPara convertir un nmero binario a decimal, realizamos los siguientes pasos:

1. Tomamos los valores de posicin correspondiente a las columnas donde aparezcan nicamente unos2. Sumamos los valores de posicin para identificar el nmero decimal equivalente

CONVERSIN DE UN NUMERO DECIMAL A OCTAL

Para convertir un nmero en el sistema decimal al sistema de numeracin Octal, debemos seguir los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo Convertir el numero decimal 323.625 a el sistema de numeracin Octal

1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, para colocar entonces el numero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dgito del numero equivalente en decimal2. Se toma la parte fraccionaria del nmero decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hasta que el producto no tenga nmeros fraccionarios3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dgito correspondiente4. Al igual que los dems sistemas , el numero equivalente en el sistema decimal , esta formado por la unin del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente

CONVERSIN DE UN NUMERO OCTAL A BINARIO

La ventaja principal del sistema de numeracin Octal es la facilidad conque pueden realizarse la conversin entre un nmero binario y octal. A continuacin mostraremos un ejercicio que ilustrar la teora. Por medio de este tipo de conversiones, cualquier nmero Octal se convierte a binario de manera individual. En este ejemplo, mostramos claramente el equivalente 100 111 010 en binario de cada numero octal de forma individual.

CONVERSIN DE UN NUMERO DECIMAL A UN NUMERO HEXADECIMAL

Convertir el nmero 250.25 a Hexadecimal

1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero decimal 16 (base) hasta que el cociente sea 02. Los nmeros enteros resultantes de los cocientes, pasarn a conformar el nmero hexadecimal correspondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeracin hexadecimal posee solo 16 smbolos, donde los nmeros del 10 hasta el 15 tienen smbolos alfabticos que ya hemos explicado3. La parte fraccionaria del nmero a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta que el producto resultante no tenga parte fraccionaria4. Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la unin de los dos nmeros equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece la diferencia entre ellos.

CONVERSIN DE UN NUMERO HEXADECIMAL A UN NUMERO DECIMAL

Como en los ejemplos anteriores este tambin nos ayudar a entender mejor este procedimiento: Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal.

1. Multiplicamos el valor de posicin de cada columna por el dgito hexadecimal correspondiente.2. El resultado del nmero decimal equivalente se obtiene, sumando todos los productos obtenidos en el paso anterior.

Operaciones BsicasSUMA DE OCTALES

En la suma de octales se toman 2nmeros octales y se ponen como una suma y deahsurge la siguiente tabla para poder sumarlos.

+ 0 1 2 3 4 5 6 70 0 1 2 3 4 5 6 71 1 2 3 4 5 6 7 102 2 3 4 5 6 7 10 113 3 4 5 6 7 10 11 124 4 5 6 7 10 11 12 135 5 6 7 10 11 12 13 146 6 7 10 11 12 13 14 157 7 10 11 12 13 14 15 16

Ejemplo: 1 1 1 -----> acarreos o lo que llevo7 4 0 3 5 2+ 2 4 5 6 7_________7 6 5 1 4 1

RESTA DE OCTALES

Para poder restar losnmeros octales, tambinse toman 2nmeros octales y se colocan en forma de resta y y se resta como un decimal pero si noalcanzael numero de arriba a restarlo se le pide prestado al de al lado y el numero que le prestaron se le suma lo que se le presto que es 8 yassepodrlograr la resta.Ejemplo:

8 80 1 2 812 30 7- 6 5 3 2_______ 3 5 5 5

SUMA DE HEXADECIMALES

En la suma de hexadecimales se toman 2nmeros hexadecimales y se ponen como una suma y deahsurge la siguiente tabla para poder sumarlos :

RESTA DE HEXADECIMALES

Para poder restar losnmeros hexadecimales, tambinse toman 2nmeros hexadecimales y se colocan en forma de resta y y se resta como un decimal pero si noalcanzael numero de arriba a restarlo se le pide prestado al de al lado y el numero que le prestaron se le suma lo que se le presto que es 16 yassepodrlograr la resta.

Ejemplo: 1616 16 1624 6 8 9 163 5 7 9 A0 2- 7 A B C 2 5_______________2 D C D D D D

MULTIPLICACINDE HEXADECIMAL

Para multiplicar hexadecimales tomamos dosnmerosdecimales se multiplican teniendo en cuenta la siguiente tabla

Algoritmo de BothDebemos saber que el complemento a uno de un nmero binario escambiar sus ceros por unos, y sus unos por ceros (complementar): (010010 -> ca1:101101) y que el complemento a dos de un nmero binario es el resultado de sumar 1 al complemento a uno de dicho nmero binario:

Realizar una suma con dos nmeros binarios es tarea fcil, pero la multiplicacinresulta algo ms complicada. Con el algoritmo de Booth, resulta mucho mssencillo de implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicacin 62=12:

Partiendo de los nmeros binarios de lamultiplicacin 62 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos nmerosbinarios del doble de tamao (16 en el ejemplo): A, S y P.Partiendo del nmero P (producto) comenzamos a comparar los ltimos 2 bits dela derecha, siguiendo los casos base del recuadro:

Se realizar esta comparacin 8 veces en este ejemplo (nmero de bits de los operandos) y al final de cada comparacin, realizamos un desplazamiento de un bithacia la derecha, manteniendo el ltimo bit de la izquierda, y descartando el ltimobit del lado contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedaran lossiguientes resultados:

Divisin binariaIgual que en el producto, la divisin es muy fcil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.Consideremos el siguiente ejemplo,42 : 6 = 7, en binario:

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo nmero de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisin tomando un dgito ms (1001 entre 100).Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar contenidouna vezen el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el sistema decimal.

Aplicacin de los sistemas numricos en la computacinExiste una cantidad infinita de sistemas numricos, sin embargo, para una computadora, nicamente existen 4, que son el Binario (con base 2), el octal (con base 8), el decimal (base 10) y hexadecimal (base 16). Detallaremos el uso de cada uno de ellos por la computadora.

Sistema BinarioEl Sistema Binario, por ser el sistema base de la computacin y el nico entendido de manera nativa por una computadora, es el sistema en el que est escrita toda instruccin, dato, etc. Est compuesto por dos nicos dgitos que1 y 0 o como en realidad trabaja la computadora, apagado y encendido y se escomo representa todos los datos con los que trabaja la computadora, desde su ms bajo nivel: el hardware. Estos dgitos son llamados bits

Sistema OctalPara trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales se denomina byte y es esta la razn por la que es tan importante el sistema octal, sin embargo una computadora no puede trabajar con el sistema octal como tal, sino que utiliza su conversin en sistema binario, usando tres bits para cada digito octal

Sistema HexadecimalEl sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un byte debido a que al contener ms dgitos es posible usar menos nmeros para representar nmeros ms grandes, haciendo posible que un byte, conformado por 8 bits o trminos binarios, se represente con solo dos trminos hexadecimales, lo que es un ahorro de informacin. Sin embargo, la computadora tampoco reconoce el sistema hexadecimal como tal y, al igual que el sistema octal, lo representa con trminos binarios, empleando conjuntos de cuatro bits, para cada trmino hexadecimal. Sin embargo al presentar informacin al usuario es ms factible presentar A9 que 10101001Sistema DecimalPor ltimo el sistema decimal nicamente se utiliza al interactuar con el usuario, debido a que un usuario comn no est acostumbrado a tratar con diferentes sistemas numricos.

Conversiones

Binario a decimal.El proceso para convertir un nmero del sistema binario al decimal es sencillo; basta con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.

1110 = 141 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2 + 4 + 8 = 14 1010 = 101 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2 + 8 = 10 11101111 = 2281 * 2^7 + 1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 + = 128 + 64 + 32 + 8 + 4+ 2 + 1= 228 1011 = 111 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 8 + 2 + 1 = 11 1111 = 151 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 11011010 = 2181 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 1 + 2 + 4 + 8 = 218 10011110 = 1581 * 2^7 + 0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2 + 4 + 8 + 16 + 128 = 158 00100010 = 340 * 2^7 + 0 * 2^6 + 1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2 + 32 = 34 01001111 = 790 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 2 + 4 + 8 + 64 = 79 100 111 = 391 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 2 + 4 + 32 = 39 10101 = 211 * 2^4 + 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 4 + 16 = 21

1101110 = 2201 * 2^6 + 1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2 + 4 + 8 + 32 +64 = 110 10000001 = 513 1 * 2^7 + 0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 512 = 513 1101111 = 1111 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 2 + 4 + 8 + 32 + 64 =111 101000101 = 3251 * 2^8 + 0 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 4 + 64 + 256 = 325 111111111 = 10231 * 2^8 + 1 * 2^7 + 1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 2 + 4 + 8 +16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 100000000000 = 20481 * 2^10 + 1 * 2^9 + 1 * 2^8 + 1 * 2^7 + 1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 2048 100110 = 381 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2 + 4 + 32 + = 38 1011010000 = 1 * 2^8 + 0 * 2^8 + 1 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 16 + 64 + 128 + 512 = 720 10000000 = 1281 * 2^7 + 0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 128

11111010101 = 20051 * 2^10 + 1 * 2^9 +1 * 2^8 + 1 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 + 4 + 16 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2005 1110011000 =9201 * 2^9 + 1 * 2^8 + 1 * 2^7 + 0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 8 + 16 + 128 + 256 + 512 = 920

Decimal a Binario.Convertir un nmero decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2y escribir los restos obtenidos en cada divisinen orden inverso al que han sido obtenidos.

98 = 110001098 / 2 = 49 049 / 2 = 24 124 / 2 = 12 012 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1

32 = 10000032 / 2 = 16 016 / 2 = 8 08 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 0

27 = 1001127 / 2 = 13 113 / 2 = 6 16 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1

120 = 111100120 / 2 = 60 060 / 2 = 30 030 / 2 = 15 015 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1

320 = 101000000320 / 2 = 160 0160 / 2 = 80 080 / 2 = 40 040 / 2 = 20 020 / 2 = 10 010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0

517 = 1000000101517 / 2 = 258 1258 / 2 = 129 0129 / 2 = 64 164 / 2 = 32 032 / 2 = 16 016 / 2 = 8 08 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 0

14 = 111014 / 2 = 7 07 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1

1124 = 10011001001124 / 2 = 562 0562 / 2 = 281 0281 / 2 = 140 1140 / 2 = 70 070 / 2 =35 035 / 2 = 17 117 / 2 = 8 18 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 0

48 =11000048 / 2 = 24 024 / 2 = 12 012 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1

728 = 1011011000728 / 2 = 364 0364 / 2 = 182 0182 / 2 = 91 091 / 2 = 45 145 / 2 = 22 122 / 2 = 22 011 / 2 = 5 15 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0

138 = 10001010138 / 2 = 69 069 / 2 = 34 134 / 2 = 17 017 / 2 = 8 18 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 0

2005 = 111110100012005 / 2 = 1002 11002 / 2 = 501 0501 / 2 = 250 0250 / 2 = 125 0125 / 2 = 62 162 / 2 = 31 031 / 2 = 15 115 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1

940 = 1110100100940/ 2 = 470 0470 / 2 = 235 0235 / 2 = 117 1117 / 2 = 58 058 / 2 = 29 029 / 2 = 14 114 / 2 = 7 07 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1

54 = 11011054 / 2 = 0 27/ 2 = 113 / 2 = 16 / 2 = 03 / 2 = 1 1

87 = 101011187 / 2 = 43 143 / 2 = 21 121 / 2 = 10 110 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0

302 = 100101110302 / 2 = 151 0151 / 2 = 75 175 / 2 = 37 137 / 2 = 18 118 / 2 = 9 09 / 2 = 4 14 / 2 = 2 02 / 2 = 1 0

80 = 101000080 / 2 = 40 040 / 2 = 20 020 / 2 = 10 010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0

43 = 10101143 / 2 = 21 121 / 2 = 10 110 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0

492 = 111101100492 / 2 = 246 0246 / 2 = 123 0123 / 2 = 61 161 / 2 = 30 130 / 2 = 15 015 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1

Octal a BinarioEl procedimiento para convertir un numero octal a binario es separando cada uno de los nmeros de la cifra octal y dividirlos entre 2 hasta que el cociente sea 1, cada numero de la cifra octal debe contener 3 dgitos, si llegara a faltar se le agregan 0 a la izquierda de la cifra hasta que junte los 3 dgitos, al final se escriben todos los dgitos de cada una de los numero de la cifra octal en la misma posicin en la que se encontraban. 2073 = 0100001110112 / 2 = 1 0 2 = 010

0 / 2 = 0 00 = 000 7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 17 = 111

3/ 2 = 1 13 = 011

5017 = 1010000011115 / 2 = 2 12 / 2 = 1 02 = 010

0 / 2 = 0 00 = 000

1 / 2 = 0 11= 001

671 = 1101110016 / 2 = 3 03 / 2 = 1 16 = 110

7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 17 = 111

1 / 2 = 0 11= 001

127 = 001010111

1 / 2 = 0 11= 001

2 / 2 = 1 0 2 = 010

7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 17 = 111

66 = 110110

6 / 2 = 3 03 / 2 = 1 16 = 110

6 / 2 = 3 03 / 2 = 1 16 = 110

54 = 101100

5 / 2 = 2 12 / 2 = 1 05 = 101

4 / 2 = 2 02 / 2 = 1 04 = 100

1257 = 001010101111

1 / 2 = 0 11= 001

2 / 2 = 1 0 2 = 010

4 / 2 = 2 02 / 2 = 1 04 = 100

5 / 2 = 2 12 / 2 = 1 05 = 101

7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 17 = 111

76430 = 111110100011000

7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 17 = 111

6 / 2 = 3 03 / 2 = 1 16 = 110

4 / 2 = 2 02 / 2 = 1 04 = 100

3/ 2 = 1 13 = 0110 / 2 = 0 00 = 000

Binario a OctalEl proceso para convertir un nmero del sistema binario al octal es sencillo; basta con separar toda la cifra binaria en conjuntos de tres dgitos, empezando desde la derecha, si el ltimo numero no llegase a tener 3 dgitos se le agrega los ceros necesarios para que sea otro conjunto de 3 como los dems, se desarrolla cada conjunto teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el dgito situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda; al final se colocan los nmeros obtenidos segn la posicin que tenan en la cifra octal.

001010111 = 127

001 = 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1010 = 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 2111 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 7

110110 = 66

110 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 6110 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 6

111111 = 77

111 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 7111 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 7

111110100011000 = 76430

111 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 7110 = 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 6100 = 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 4011 = 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 3000 = 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 0

Hexadecimal a BinarioEl proceso para convertir un nmero del sistema binario al hexadecimal es sencillo; basta con separar toda la cifra binaria en conjuntos de cuatro dgitos, empezando desde la derecha, si el ltimo numero no llegase a tener 4 dgitos se le agrega los ceros necesarios para que sea otro conjunto de 4 como los dems, se desarrolla cada conjunto teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el dgito situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda; al final se colocan los nmeros o letras obtenidas segn la posicin que tenan en la cifra octal.

11111010 = FA

1111 = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = F1010 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = A

00101101 = 2D

0010 = 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 21101 = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = D

00001111 = 0F

0000 = 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 01111 = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = F

01001001 = 49

0100 = 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 41001 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 9 11111110 = FE

1111 = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = F1110 = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = E

10100001 =A1

1010 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = A0001 = 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1

10111001 = B9

1011 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = B1001 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 9

0001001010101111000 = 09578

1000 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 80111 = 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 70101 = 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 51001 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 90000 = 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 0

Hexadecimal a binario.El procedimiento para convertir un numero hexadecimal a binario es separando cada uno de los nmeros de la cifra hexadecimal y dividirlos entre 2 hasta que el cociente sea 1, cada numero de la cifra hexadecimal debe contener 4 dgitos, si llegara a faltar se le agregan 0 a la izquierda de la cifra hasta que junte los 4 dgitos, al final se escriben todos los dgitos de cada una de los numero de la cifra hexadecimal en la misma posicin en la que se encontraban.

B9 = 10111001

B = 1111 / 2 = 5 15 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0B = 1011

9 / 2 = 4 14 / 2 = 2 02 / 2 = 1 09 = 1001

12AF8 = 00010010101011111000

1 / 2 = 0 11 = 0001

2 / 2 = 1 02 = 0010

A= 1010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0A = 1010

F = 1515 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1F = 1111

8 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 08 = 1000

C9 = 11001001

C = 1212 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1C = 1100

9 / 2 = 4 14 / 2 = 2 02 / 2 = 1 09 = 1001

A0 = 10100000

A= 1010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0A = 1010

0 / 2 = 0 00 = 0000

17E6 = 0001011111100110

1 / 2 = 0 11 = 0001

7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 17 = 0111

E = 1414 / 2 = 7 07 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1E = 1110

6 / 2 = 2 03 / 2 = 1 16 = 0110 3AB = 001110101011

3/ 2 = 1 13 = 0011

A= 1010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0A = 1010

B = 1111 / 2 = 5 15 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0B = 1011

FE = 11111110

F = 1515 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1F = 1111

E = 1414 / 2 = 7 07 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1E = 1110

F12A = 1111000100101010

F = 1515 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1F = 1111

1 / 2 = 0 11 = 0001

2 / 2 = 1 02 = 0010

A= 1010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0A = 1010

10A = 000100001010

1 / 2 = 0 11 = 0001

0 / 2 = 0 00 = 0000

A= 1010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 0A = 1010

573 = 010101110011

5 / 2 = 2 12 / 2 = 1 05 = 0101

7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 17 = 01113/ 2 = 1 13 = 0011

CC = 11001100

C = 1212 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1C = 1100

C = 1212 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1C = 1100

C0DE = 1100000011011110

C = 1212 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1C = 1100

0 / 2 = 0 00 = 0000

D = 1313 / 2 = 6 16 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1D = 1101

E = 1414 / 2 = 7 07 / 2 = 3 13 / 2 = 1 1E = 1110

Hexadecimal a DecimalEl proceso para convertir un nmero del sistema hexadecimal al decimal es sencillo; basta con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 16, cuyo exponente es 0 en el dgito situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.

C0DE = 4374

C = 10D = 13E = 14

10 * 16^3 + 0 * 16^2 + 13 * 16^1 + 14 * 16^0 = 4152 + 0 +208 + 14 = 4374

B1 = 177

B = 11

11 * 16^1 + 1 * 16^0 = 176 + 1 = 177

F12A =61738

F = 14A = 10

14 * 16^3 + 1 * 16^2 + 2 * 16^1 + 10 * 16^0 = 61440 + 256 + 32 + 10 = 61738

617 = 119

6 * 16^2 + 1 * 16^1 + 7 * 16^0 = 96 + 16 + 7 = 119

139 = 313

1 * 16^2 + 3 * 16^1 + 9 * 16^0 = 256 + 48 + 9 = 313

FD = 253

F = 15D =13

15 * 16^1 + 13 * 16^0 = 240 + 13 = 253

Suma de binarios1. Si la cantidad de1 es parel resultado es 0 y se lleva un 12. La cantidad de 1 a llevar debe corresponder a los pares de 1 sumados

Tabla para sumar0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 01 + 1 = 10

Ejemplo:

10011000 +0001010110101101

Resta binariaTabla para restar:

0 0 = 00 1 = 11 0 = 01 1 = 1

Complemento a 11. Se elige el sustraendo y se haya el complemento (Invertir los 1 por 0)2. Luego se suma el complemento al minuendo3. A ese resultado se le suma 1 sin tener en cuenta el primer dgito de la izquierda

Ejemplo

10001 - 10011 10001 +01100 11101

Complemento a 21. Se elige al sustraendo y se haya el complemento a 2 (invertirlos 1 por los 0)2. Luego se suma ese complementos al minuendo3. A ese resultado no se le tiene en cuenta el primer dgito de la izquierda

Ejemplo 10001 -10011110001 + 01100 11110

Multiplicacin binaria1. Se multiplica cada dgito del multiplicador por el multiplicando2. Se suman los resultados

Ejemplos:

110 * 11 110 110 10010

10110 * 1001 10110 00000 00000 10110 11000110

11101* 101 11101 00000 1110110010001