Matemáticas economia

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 Matemáticas, Economía y Scientific Workplace Félix Martínez de la Rosa Departamento de Matemáticas. Universidad de Cádiz

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Matemáticas, Economía y Scientific Workplace

Félix Martínez de la Rosa Departamento de

Matemáticas. Universidad de Cádiz

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II

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Indice general

0.1. Prólogo ...................................................................................................................... 1

0.2. Ordenes básicas de Scientific WorkPlace.................................................................. 2

0.3. Procesando textos .................................................................................................... 13

0.3.1. Elección de un estilo.................................................................................... 13

0.3.2. Compilado de texto normal......................................................................... 15

0.3.3. Compilado de texto en —TEX..................................................................... 15

0.3.4. Insertando................................................................................................... 16

0.3.5. Marcadores.................................................................................................. 18

0.3.6. Indice de materias....................................................................................... 18

0.3.7. Fórmulas...................................................................................................... 19

I Álgebra 21 1. Matrices 23

2. Sistemas de ecuaciones lineales 33

21.Método de Gauss...................................................................................................... 3422.Método de Leontief................................................................................................... 44

2.2.1. Condición de Hawkins-Simon...................................................................... 49

3. Espacios vectoriales 53

31.Base de un espacio vectorial.................................................................................. .. 56

32.Subespacios vectoriales............................................................................................ 59

4. Diagonalización 65

4.1. Diagonalización ortogonal...................................................................................... ... 78

4.1.1. Formas cuadráticas ....... ... 79

II Cálculo (una variable) 85 5. Sucesiones 87

6. Series 95

61.Criterios de convergencia para series de términos positivos . . . . 96

62.Interés simple y compuesto ..................................................................................... 103

7. Punciones reales de una variable 107

III

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71.Gráficas de funciones reales..................................................................................... 107

72.Función de Costo, de Ingreso y de Beneficio.......................................................... .. 119

73.Punto de equilibrio entre ingresos y gastos.............................................................. 121

74.Oferta y Demanda..................................................................................................... 122

75.Otras gráficas............................................................................................................ 125

76.Polinomios de ajuste.............................................................................................. ... 131

8.Límites y continuidad 135

9.Derivación 145

91.Rectas tangentes................................................................................................... ... 149

92.Razón de cambio....................................................................................................... 153

93. Teoremas sobre funciones derivables ...................................................................... 154

94.Optimización .......... 156

9.41.Extremos relativos..................................................................................... 156

9.42.Extremos absolutos .................................................................................. 165

95.Crecimiento, concavidad, convexidad y puntos de inflexión . . . . 167

96.La diferencial y el Análisis Marginal....................................................................... ... 169

97.Cambio porcentual ........... 173

98.Elasticidad de la demanda........................................................................................ 174

9.8.1. Niveles de elasticidad ................................................................................. 176

99.Polinomios de Taylor ............ 177

910.Series de potencias................................................................................................ 179

9.10.1. Funciones desarrollables ............. 181

911.Iteraciones ... 185

10.1ntegración 189

101.Integrales Indeinidas ........ 189

102.Integrales Deinidas ....... 193

10.21.Cálculo de áreas ...... 196

10.22.Integrales impropias ....... 201

103.Excedente del Consumidor ......... 207

104.Inventario diario promedio ......... 209

105.Valor presente de un flujo de ingresos.................................................................. 210

III Cálculo (dos variables) 217

11. Punciones reales de dos variables 219

11.1. Gráicas de funciones de dos variables ................... 219

11.1.1. Curvas de nivel .......... 222

112.Función de Cobb-Douglas...................................................................................... 223

113.Otras gráicas ...... 226

12. Límites dobles y derivadas 235

121.Límites dobles........................................................................................................ 235122.Derivadas parciales ...... 237

III

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123.Plano tangente ....... 240

124.La diferencial total ........ 242

125.Derivación de funciones compuestas .............. 246

126.Funciones implícitas ......... 249

12.6.1. Cambio compensatorio ........... 252

13. Optimización 255

131.Extremos relativos ........ 255

13.1.1. Matriz Hessiana .......................................................................................... 258

132.Extremos condicionados ......... 263

133.Extremos absolutos ...... 270

14.Ecuaciones diferenciales

275

III

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ÍNDICE GENERAL

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0.1. PRÓLOGO 1

0.1. Prólogo

Hoy en día es difícil encontrar una casa en la que no haya un ordenador dotado de numerososprogramas de utilidad. Nuestros alumnos, por tanto, también disponen de esta herramienta. Esto está

permitiendo que vayan cambiando, progresivamente, los hábitos de estudio y los de enseñanza. Además,

la implantación del espacio europeo en la enseñanza va a exigir un cambio en nuestra forma de enseñar,

y un cambio en el trabajo de los alumnos.

En particular, en las asignaturas de matemáticas este cambio está siendo muy acusado, y

probablemente lo será aún más en el futuro. Los profesores de matemáticas debemos pensar que si el

alumno dispone de programas adecuados, no tiene sentido el estudio de algunas técnicas de cálculo,

tediosas en extremo, que no aportan nada a la comprensión de los conceptos implicados. Por otro lado,

este ahorro de tiempo puede emplearse en mejorar la comprensión de los conceptos, o en la realización

de ejercicios cuyos datos no sea posible manipular sin ayuda de un ordenador.

La herramienta matemática que proponemos como complemento a esta nueva forma de enseñanza

es el programa Scientific WorkPlace. Este programa es un procesador de texto que tiene implementado

un programa de Cálculo, Maple, que le permite efectuar e incorporar, en el mismo texto, las operaciones

deseadas. Esto hace posible que, además de resolver los problemas, el alumno pueda confeccionar sus

apuntes o trabajos con mucha facilidad. Incluso si se desea, pueden obtenerse documentos en Latex con

la misma facilidad. Hay que destacar la sencillez de manejo del programa tanto en el tratamiento de texto

como en la realización de cálculos matemáticos, y la gran calidad de las gráicas.

El presente libro está destinado a los alumnos que cursan la asignatura de Matemáticas

correspondiente al primer curso de los estudios de Económicas y Empresariales. El libro se divide en las

partes: Álgebra y Cálculo en una y dos variables. Las instrucciones necesarias del programa Scientiic

WorkPlace (válidas para cualquier versión del programa), tanto para las matemáticas como para el

procesador de texto, se detallan en la primera parte del libro, antes de empezar la asignatura de

matemáticas.

En los capítulos se van alternando la presentación de los conceptos teóricos (expuestos en forma

breve), la realización de ejercicios resueltos con Scientiic WokPlace y la introducción de conceptos

económicos. En cada capítulo aparecen, en varias ocasiones, tres dibujos: el dibujo £j indica que se va a

introducir

algún concepto matemático o económico; el dibujo indica que se va a introducir una orden

nueva del programa Scientific WokPlace; el dibujo indica que se va a hacer alguna observación

acerca de alguna irregularidad del programa. Por último, señalamos que algunos secciones se

salen de lo que es un curso de matemáticas para la economía, pero las hemos incluido por

encontrarlas interesantes.

CÁDIZ, 2004.

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en la parte superior de la pantalla dentro de la barra Standard:

 ÍNDICE GENERAL

0.2. Órdenes básicas de ScientificWorkPlace

Scientific Work Place es un procesador de texto, que tiene implementado un programa de

Cálculo, Maple, que permite efectuar e incorporar, en el mismo texto, las operaciones deseadas.

SWP tiene dos modos de funcionamiento distintos: el modo de inserción de texto y el de

matemáticas. Por defecto, el programa se sitúa en el modo texto. Este modo se distingue porque

aparece el

Pulsando en él se transforma en el símbolo el modo matemático. En la parte inferior de la

pantalla se encuentra la barra de estilo, con la que podemos cambiar el tamaño de la letra,

centrar un párrafo, etc. Nos detendremos en el uso del modo matemático y realizaremos

distintas prácticas, donde desarrollaremos algunas de susposibilidades. Para trabajar con comodidad debemos seleccionar, con la orden View/ Toolbars,

las siguientes barras de herramientas:

Math :

Nx (□)

[□]

2 S  jflb

para escribir fracciones, subíndices, superindices, radicales, para introducir las matrices,

funciones o símbolos especiales, llaves, paréntesis, corchetes, dar espacio a las expresiones

matemáticas, etc.

Symbol:

± +4

=? i? -?

3*

contiene las operaciones más comunes de Maple: evaluar, evaluar numéricamente, simpliicar,

expandir, dibujar, deinir funciones, etc.

Para utilizar el método matemático, usamos la ventana Maple y obtenemos una cascada de

posibilidades que iremos desarrollando en sucesivas prácticas.

Nota acerca de las distintas versiones del programa Scientific WorkPlace.

<¡^> La mayoría de las órdenes que utilizaremos en este libro son comunes a las

versiones 3.0 y 4.0 del programa Scientific WorkPlace. En algún caso existe alguna

mínima diferencia que iremos aclarando donde corresponda.

La versión 3.0 dispone del paquete matemático Maple.La versión 4.0 dispone de Maple y de MuPAD. En este libro se ha empleado Maple. Si

M que nos indica que estamos en

cas.

Compute:

8

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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE

disponemos de la versión 4.0, la manera de tener activo Maple es usar las órdenes Tools/ 

Computation Setup/ Engine Selection, y elegir Maple.

 Todas las versiones del programa disponen del comando Help. Este comando dispone

de una enciclopedia donde se desarrollan los principales conceptos matemáticos.

Además, la opción Help/ Search nos permite buscar cualquier palabra que queramos.

Las funciones matemáticas (el seno, coseno, logaritmos,etc.) deben ser escritas

en modo matemático con el nombre con que las reconozca el programa. Por ejemplo el

seno se escribe sin. Sabremos que están bien escritas si al escribirlas se ponen grises. En

la opción

se pueden seleccionar estas funciones.sineos

Para evaluar una expresión, la escribimos en modo matemático, ponemos el cursor

 justo al final de dicha expresión y usamos la orden Maple/ Evalúate (Compute/ Evalúate

en la versión 4.0), o

bien pulsamos en

En general la secuencia de órdenes comienza con la palabra Maple en la

versión 3.0, y con la palabra Compute en la versión 4.0.

Para sustituir valores en una expresión se introduce la expresión en un corchete

y se ponen los valores como subíndice. Finalmente se usa la orden Maple/ Evaluate

(Compute/ Evaluate en la versión 4.0) .

Ejercicio 1 Evaluar 3 X 2 + 5(3 - (8 + 0.59))

9

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In x ln

ÍNDICE GENERAL

| Solución

Con la orden Evaluate obtenemos el valor —21. 95

E jercicio 2 Expresar en función de logaritmos neperianos: a) log2  x 

b) log10

Solución

a)Con la orden Evaluate obtenemos log2

b)Con la orden Evaluate obtenemos logio xln 2+ln 5 '

E jercicio 3 Expresar 3°54' % 3°7'28"

en radianes. Solución

El símbolo del grado lo tomamos pulsando en o, y lo ponemos como

exponente del 3 mediante] N X  | , Para el símbolo del minuto y del

segundo se usa el que está en el teclado bajo el signo de interrogación).

Con la orden Evaluate aplicada a 3°54' obtenemos 77 .

Con la orden Evaluate aplicada 3°7'28"a obtenemos 4Q <50O 71 -1

E jercicio 4 Calcular con la

orden Evaluate: a) \—5\ = 5

b) máx(2, 7) c) mín(5, 8)

") G )

e)

( f )

f) 5!

Solu

ción

a)\ — 5\ = 5 ( las barras verticales en la opción

b)máx(2,7) = 7.

c)mín (5, 8) = 5.

d)(4) =70 ( los números combinatorios están

e)(243) = 8855.

f)5! = 120.

E jercicio 5 Calcular:

a)El producto escalar (2, —1, 4) • (9, 4, —10).

b)El producto vectorial: (2, —1, 4) X (9, 4, —10).

c)El módulo del vector (2, 3, 2).

| Solución

a)El producto escalar es: (2, —1,4) • (9,4, —10) = —26

b)El es: (2, —1,4) X (9,4, —10) = (—6, 56,17).

c)Elmódulo del vector es: ||(2, 3, 2) y = v/17 ( la barra doble se

r i

 x.

 x =

 x 

()[]

en

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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE

obtiene de

()[] )

E jercicio 6 Calcular la expresión x2  + 2x — 5  para x = 2 % x = 5 |

Solución

Con la orden Evaluate obtenemos:

[x2 + 2x — 5]x=2 = 3 [x2 + 2x — 5]x=5 = 30.

Ejercicio 7 Calcular la expresión x3y2 — 5xy + 8 para x = —3, y = 2.

| Solución

Con la orden Evaluate obtenemos:

— + 8]x=_ 3>y=2 = —

Ejercicio 8 Calcular el valor de la expresión x2 + 2x — 5 en x = b,

menos en x = a.

| Solución

Con la orden Evaluate

obtenemos: [x2 + 2x -

5]x=a = 62 + 26 - a2 -

2a.

Ejercicio 9 Calcular el valor de la expresión cos xy en x = a menos en y

= 6 Solución

Con la orden

Evaluate

obtenemos: [cos

xy]yzb = cos ay —

cos xb.

jfc Si queremos obtener un valor aproximado de unaexpresión,

usamos la orden Evaluate Numerically, o bien I * I

El número de dígitos que aparece en la evaluación numérica

puede cambiarse con la orden Maple/ Setting/ Digits Used in

Display [Compute/ Settings/ General/ Set Document Values en laversión 4.0).

Ejercicio 10 Un valor aproximado de 3 X 2 + 4 + e2 + ln4 es 15.525.

Ejercicio 11 Un valor aproximado de sin xdx es 0. 95645.

Ejercicio 12 Un valor aproximado de eos 2.4 = —0.737 393 715 5

Ejercicio 13 Un valor aproximado de e2 + ln4 con 5 dígitos es 8.

7754.

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ÍNDICE GENERAL

Para desarrollar o expandir una expresión usamos la

orden Expand, o bien

E jercicio 14 sin(x + y) = sin x eos y

+ eos x sin y. E jercicio 15 (x + 3)3

= x3 + 9x2 + 27x + 27.

171» i/» i / , \ tan y+tan xEiercicio 1! tanlx + y) = ,—, " , . J v f) 1 —tan y tan x

E jercicio 17 sin 20 = 2 sin 6 eos 6

E jercicio 18 sin(a + b) = sin a eos b + eos a sin b

E jercicio 19 eos 46 = 8 eos4 6 — 8 eos2 6 +1.

E jercicio 20 Q) = 2n2 — 2n'

Con la orden Combine/ Trig Functions, se simplifican las

expresiones trigonométricas.

E jercicio 21 8 eos4 6 — 8 eos2 6 + 1 = eos 46.

E jercicio 22 sin a eos b + eos a sin b = sin (a + b).

E jercicio 23 eos2 6 + 7sin2 6 — ese 6 = —3 eos 26

+ 4 — ese 6.

Con la orden Combine/ Logs, o con Combine/ 

Exponentials, o con Simplify, se simplifican expresiones con

logaritmos, con exponenciales, etc.

El número e se obtiene escribiendo e en modo matemático. La

unidad imaginaria se obtiene escribiendo i en modo matemático.

E jercicio 24 In a +

In b = ln a6.

E jercicio 25 ln a —

ln b = ln a. E jercicio

26 (2x+y)x = 2(x+yK 

E jercicio 27

ex+4e2x~7 = e3x~3.

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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE

E jercicio 28 (2 +

3¿)2 = —5 + 12¿.Ejercicio 29 2±f = | + f i.

Ejercicio 30 (2 + 3i) (5 — 4i)2 = 138 — 53i.

Ejercicio 31 re1* = r cos t + ir sin t.

Ejercicio 32 |7 + 8i| = VTT3.

Ejercicio 33 Re(4 + 6i) = 4.

EJercici° 34 Im(^) = b^ — ac4dP .

Ejercicio 35 (a + bi)* = a — ib.

Ejercicio 36 Dada la expresión (r(cos t + i sin t))3, con Expand

obtenemos:

r cos t + 3ir cos t sin t — 3r cos t sin t — ir sin t

 Aplicando a la misma expresión la orden Combine/ Trig Functions

obtenemos:

r3 cos 3t + ir3 sin 3t

% con Factor se obtiene:r3 (cos 3t + i sin 3t)

Ejercicio 37 Dado el número complejo 5 + 6i, su módulo % su

argumento son: |5 + 6i| = V6T, y arctan 6 = 0.

876 06.

5

EntoncesVöT (cos 0. 876 06 + i sin 0. 876 06) = 5 + 6i.

fjfc Las órdenes Simplify, Factor  y Expand, permiten

simplificar, racionalizar, factorizar y desarrollar polinomios y

fracciones algebraicas.

Ejercicio 38 Con la orden Factor se obtiene

3x2 + 3x 5x2 + 3 _ 46x4 + 9x3 + 83x2 + 21x

+ 21 8x2 + 7 + 2x2 + x + 7 _ (8x2 + 7)

(2x2 + x + 7)

Ejercicio 39 Con la orden Factor se obtiene ^ _ 

13

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ÍNDICE GENERAL

Ejercicio 40 Con la orden Factor se obtiene g = — j| —  JJV^

Ejercicio 41 Con la orden Expand se obtiene

(x + 2)2 (3x + 1) = 3x3 + 13x2 + 16x + 4

Ejercicio 42 —a descomposición en factores de 27x5—54x4+18x3+16x2

—5x—2 es (x — 1)2 (3x — 2)(3x + 1)2.

Ejercicio 43 —a descomposición en factores de x3+y3 es (x + y) (x2 — xy

+ y2) Ejercicio 44 —a descomposición en factores de x5 — y5 es — (y —

x) (y4 + y3x + y2x2 + yx3 + x4) Ejercicio 45 —a descomposición en

factores de 12444 es 223 X 17 X 61. Ejercicio 46 —a descomposición en

factores de 17244 es 2232479.

La orden Polynomials/ Divide, realiza el cociente de dos

polinomios.

Con la orden Polynomials/ Roots, obtenemos las raices de un

polinomio.

Con la orden Polynomials/ Partial Fractions, se descompone

un polinomio en fracciones simples.

Ejercicio 47 —a división 3 X  2+3 x es 3 + 0 2 .%

 J 8x2+7 8 8x2+7

Ejercicio 48 —a división 2x+1 es 2 + ^ .

Ejercicio 49 —as raices de 3x3  + 13x2  + 16x + 4 son —

3, —2, —2. Ejercicio 50 —as raices de ax 2 + bx + c son

2a (— b+^ )) - 2a (— b—v/(b2—^))

1Ejercicio 51 —as raices de x3 + x2 — 7x son 0, — ^ + 2v/29, — 2 —2v/29

x + 2

Ejercicio 52 —a descomposición de — enfracciones simples es

(x — 1)(x + 3)2

3 1 3

16 (x — 1) + 4(x + 3)2 — 16 (x + 3)

2Ejercicio 53 La descomposición de 2 2 en

fracciones simples es(x + 1) (x + 1)

1 1 1 -1 + 2x x 

2(x + 1)2 + X+1 -  2 x2 + 1 - (x 2 + 1)2

14

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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE

Con la orden Polynomials/ Sort ordenamos las potencias

de un polinomio.

El máximo común divisor de varios números o polinomios es

la función: gcd y el mínimo común múltiplo es: lcm.La orden Solve/ Exact  nos permite despejar una vari-

able en una ecuación y resover una ecuación o una inecuación.

La orden Solve/ Numeric nos permite obtener soluciones

aproximadas de una ecuación.

La orden Solve/ Numeric también nos permite seleccionar la

solución de una ecuación que pertenezca a un intervalo, basta

con especificar el intervalo en el que está.

Ejercicio 58 5x 2 + 3x = 1, solución: x = — + V29, x = —  J| J — V29.

Ejercicio 59 x2  — 2 = 0, solución: x = V2, x = —V2. Ejercicio 60 x2 — 2

= 0, solución: x = —1. 414 2, x = 1. 414 2.

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()[]

73 74 X ="67,Z = — 67,y = — 67

ÍNDICE GENERAL

Ejercicio 61 x2 — 2 = 0,x G (0, 2), solución: x = 1. 4142.

Ejercicio 62 x3 + x2 — 7x,x G (—4, —2), solución x = —3.192 582404.

Ejercicio 63 - + - = 2, solución: x = ,y „ . J x  y ' — 1+2y

Ejercicio 64 x2 — 5x + 6 < 0, solución: 2 < x,x < 3. Ejercicio 65 2xr

— > 0, solución: x < — |, 1 < x. Ejercicio 66 |3x + 1| < 1, solución:

— | < x,x < 0.

Los sistemas de ecuaciones se introducen en forma de matriz eligiendo

tantas filas como ecuaciones y una sola

La llave del sistema se obtiene en||_ el lado

izquierdo la línea de puntos para el derecho.

Para resolverlos ponemos el cursor justo al final del sistema y usamos la orden Solve/ 

Exact o bien Solve/ Numeric.

Ejercicio 67 Resolver 

x — 3y + z

= 6 2x +  y 

+ 5z = 1 3x

+ 4y — z =

8

| Solución

Con la orden Solve/ Exact se obtiene

253 167 'z

Ejercicio 68 Resolver 

2x + 2zx

= 0 —2y

+ 2yz = 0

x2 + y2 =

4

| SoluciónCon la orden Solve/ Exact se obtiene:

{x = 0,z = 1,y = 2} , {x = 0,z = 1,y = —2} {y = 0,z =

—1,x = 2} , {y = 0,z = —1,x = —2}

-a resolución directa de los sistemas no lineales presenta problemas. En

ocasiones no se obtienen soluciones o no se obtienen-todas. A veces, para obtener

todas las soluciones de un sistema no lineal, debemos expresar algún coeficiente

en forma decimal y usar la orden Solve/ Exact.

Ejercicio 69 Resolver 

pulsando en

columna.eligiendo el corchete para

16

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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE

( x2 + y2

= 5 í x2 -

y2 = 1

| Solución

Con la orden Solve/ Exact  no se obtiene solución. Con la orden Solve/ Numeric se

obtiene la solución:

y = -1. 4142,x = 1. 7321

Ejercicio 70 Obtener todas las soluciones de

( x2 + y2

= 5 í x2 -

y2 = 1

| SoluciónEscribimos el sistema en la forma

 J x2 + y2 = 5.0

Con la orden Solve/ Exact se obtienen las soluciones:

{x = —1. 7321,y = —1.4142} , {y = —1. 4142,x = 1. 7321} {x = —1. 7321,

y = 1.4142} , {x = 1. 7321,y = 1.4142}

Para obtener una raiz en particular, debemos especiicar el intervalo

donde se encuentra e incorporar este dato en una nueva ila de la matriz en la que

se pone el sistema.

Ejercicio 71 Dado el sistema

x2 + y2 = 5x2 — y2 = 1

obtener la solución que verifique que y G (1, 2).

I

Soluci

ón

Escribimos

x2 +

y2 = 5

x2 - y2

= 1 y

e (1,2)

Con Solve/ Numeric se obtiene la solución:

x = 1. 7321, y = 1.4142

Para asignar valores a una variable o para definir funciones, matrices, etc, se

usa la orden Define/ New Definition (Definitions/ 

í(«LPara

17

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ÍNDICE GENERAL

New Definition en la versión 4.0) , o bien pulsamos en

asegurarnos que tenemos definido lo que queremos hay usar la orden Define/ 

Show Definitions (Definitions/ Show Definitions en la

versión 4.0) o bien pulsamos enCon la orden Define/ Clear Definitions (Definitions/ Clear Definitions en la

versión 4.0), podemos eliminar todas las definiciones.

Debemos usar nombres distintos para los distintos objetos que definamos.

Antes de empezar un ejercicio nuevo debemos tener la precaución de borrar las

deiniciones anteriores para que no se produzcan errores.

E jercicio 72 Calcular para a = 4 los valores de las expresiones a3 + 7a % 2a — a2 + I

| Solución |

Definimos a = 4. Aplicando la orden Evaluate a la expresión a3 + 7a se obtiene a3 +

7a = 92. Para la expresión 2a — a2 + I se obtiene 2a — a2 + I = —6.

E jercicio 73 Definir la función f (x) = x2 + 3x — 2, % obtener los valores a) f (2) b) f (f 

(2)) c) f(3) — f (2) d) f '(x)

e) f '(—3) f)  J f (x) g) ¡2 f (x)

| Solución

a) f (2) = 11« b) f (f (2)) = c) f (x)]2 = 8

d) f '(x) = 2x + 3 e) f '(—3) = 2x — 18

f) J f (x) = 2 x2 — 2x + 1 x3 g) J12 f (x) = 3 x2 — 2x + 2|x3

E jercicio 74 Obtener una tabla de valores de la función f (x) = x2 + 3x — 2, para x = 1,

2, —1, —2.

ISolución  Definimos la función /(x) = x2 + 3x — 2. Escribimos

/ x \ 1

2

—1

—2

Con la orden Evaluate se obtiene

/ x2 + 3x — 2 \

V 1

Si escribimos juntas ambas matrices y aplicamos la orden Matrices/ Concatenate,

obtenemos:

/ x \ / — 2 x — 2

1 2 1 2

2 8 , concatenate: 2 8

—1 —4 —1 —4

V —2 / V —4  )

l—2 —4

18

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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE

Ejercicio 75 Definir las funciones f (x) = x3 % g(x) = 2^r' % realizar las operaciones:

a)-a suma f (x) + g(x)

b)La división M

c)Las funciones compuestas (f o g) (x) % (g o f )(x)

Solucióna) f (x) + g(x) = x3 + 2±x

b) g(x) 2+x

c) (f o g)(x) = ^ y (g o f)(x) =

0.3. Procesando textos

0.3.1. Elección de un estilo

Para abrir un fichero nuevo, usamos la orden File/ New, o bien utilizamos

Podremos elegir entre varias opciones para confeccionar apuntes cortos,

hojas de problemas, etc. También podremos escribir un libro en formato LTEX. escribir

cartas, artículos, exámenes, etc. Cada estilo posee la barra de herramientas Tag en la

orden View/ Toolbars:411 3i J rRemove Item Tag Section/Body Tag

 Text TagItem Tag

En la parte derecha (Tex Tag) están los distintos tipos de letra de cada estilo que

elijamos: Bold, Italics, Slanted, Typewriter,Sans Serif, etc. Ahí también. r i mLdiiiuici

i

Huge

,están los distintos tamaños de letra de cada estilo que elijamos:

huge, LARGE, large, etc.

En la parte central (Section/ Body Tag), están las cabeceras de cada estilo que

elijamos: Section, Subsection, Subsubsection, etc. Ahí mismo podemos elegir: Centered,

para centrar un párrafo, o Bod% Text, para escribir normalmente, etc.

En la parte izquierda (Item Tag) están las etiquetas de cada estilo que elijamos.

Sirven para destacar y numerar las deiniciones, ejemplos, teoremas, etc. Si usamos el

compilador L-TEX(Typeset/ Preview), estas etiquetas se numeran automáticamente. Para

salirnos del entorno de una etiqueta, hay que usar la Aecha verde de la izquierda.

  También, en la parte izquierda, tenemos la opción de numerar. Pulsamos

Numbered List Item y obtenemos:

1.Damos a Enter.

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ÍNDICE GENERAL

2.Damos a Enter.

a) Esto sale borrando el número 3, y pulsando en Numbered List Item.

1)Esto sale, repitiendo el paso anterior.

2)Esto sale, dando a Enter.

Para salirnos de la numeración, pulsamos la flecha verde de la izquierda. Si pulsamos

en Bullet List Item, obtenemos:

■Damos a Enter.

■Damos a Enter.

• Esto sale borrando el punto anterior y pulsando en Bullet List Item. o Esto

sale, repitiendo el paso anterior. o Esto sale, dando a Enter.

Podemos mezclar las dos numeraciones. También podemos numerar usando laopción Description List Item, con ésta obtenemos un recuadro. Pulsando en él y con la

opción Custom, escribimos lo que queramos dentro del recuadro.

El estilo base que hallamos elegido, puede ser modiicado con la orden File/ St%le,

aunque es recomendable no cambiarlo.

0.3.2. Compilado de texto normal

Para ver la página que estamos realizando, tal y como sale en la pantalla de

ordenador, podemos usar la orden File/ Preview, o bien . Las características

de la página pueden modificarse con la orden File/ Page Setup. Con esta orden

obtenemos un cuadro con las siguientes opciones:

1.La opción Margins, permite modificar los márgenes laterales, superior e inferior, e

incluso poner márgenes de espejo, en Mirror Margins.

2.La opción Headers/ Footers, nos permite poner algún encabezamiento o pie a la

página, y podremos hacerlo en todas las páginas, las pares o las impares. Pulsando

en la almohadilla correspondiente, podremos numerar las páginas.

3.La opción Counters, nos permite elegir el tipo de numeración de las páginas, y el

número de inicio.

0.3.3. Compilado de texto en LTEX

Para ver la página que estamos realizando, en modo LTf^X, usar la orden

Typeset/ Preview, o bien pulsar en . Si compilamos LTgX, el documento trae el diseño depágina prefijado. Este diseño se puede cambiar, escribiendo las órdenes (directamente

en lenguaje L-TEX) en la opción T%peset/ Preamble. Otras posibilidades son:

1.Con la opción T%peset/ Front Matter, podemos crear un título, una tabla de

contenidos, un resumen o abstract, etc. Para ello seleccionamos los item en la parte

inferior izquierda de la pantalla.

Seleccionamos Title, y junto a él escribimos el título del documento. Se-

leccionamos MakeTitle, para que se compile el título. Seleccionamos Author,

para poner el nombre del autor. Seleccionamos Abstract, para escribir el

resumen. Seleccionamos MakeTOC, para obtener el índice de contenidos.

Seleccionamos MakeLOF, para obtener un índice de figuras. Seleccionamos

MakeLOT, para obtener un índice de tablas.

2.Para que el lenguaje base sea el español, y nos salga Resumen, en lugar de abstract,

por ejemplo: en T%peset/ Options and Packages/ Class Options/ Modif%, elegir

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0.2. ÓRDENES BÁSICAS DE SCIENTIFIC WORKPLACE

Language: Spanish, y en: T%peset/ Options and Packages/Package Options/ Add,

elegir Babel, y en Modif% elegir: Spanish.

3.Con la opción T%peset/ Options and Packages/ Class Options/ Modif%, tenemos varias

posibilidades. Destacamos:

a) El tamaño de la letra se cambia con: Body text point size.

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estoesunejemplo

1Nota a pie de p?gina

ÍNDICE GENERAL

b)Podemos escribir a dos columnas con: Columns.

c)Con Print side, podemos preparar las hojas para imprimir por una o dos caras.

4. Para poner una nota a pie de página o una nota al margen, usar la orden Insert/ Field/ Note

(Insert/ Note en la versión 4.0) 1, o pulsar en ^= (de

la barra Field). Podremos elegir el tipo de nota en la opción Type of Note

Nota al margen y escribir el texto de la nota.

5.Si nuestro documento lo permite, podemos crear referencias bibliográficas. Para ello,

pondremos al final del trabajo la etiqueta Bibliography item. En el cuadro que aparece,en

la opción key, escribimos un número, damos a OK, y junto al número ponemos el título del

libro. Para citar

un libro hay que pulsar en | W |. en el lugar donde lo queramos citar, y escribir el número

del libro de la lista que hemos hecho en la ventanilla Key .

6.En la opción Typeset/ Preamble, podemos introducir órdenes, directamente en lenguajeLTEX. Dos órdenes útiles son:

\textwidth13cm y \textheight22cm

Con estas dos órdenes podremos manipular el ancho y la altura del texto. Las etiquetas

para los teoremas, ejemplos, pruebas, etc, pueden ponerse en español con la opción

Typeset/ Preamble. Por ejemplo, seleccionamos: \newtheorem{example}[theorem]

{Example}

y escribimos la palabra Ejemplo, en lugar del último Example. Igual para el resto de

etiquetas.

0.3.4. Insertando

Con la orden Insert, podemos insertar tablas o introducir espacios.

Tablas

Para crear una tabla usar la orden Insert/ Table. Con ella elegimos el tamaño de la tabla.

Pulsando dos veces en la tabla, o bien poniéndonos al final de la tabla y usando la orden Edit/ 

Properties, podemos alinear los elementos de la tabla la izquierda, centro o derecha. Por

ejemplo:

esto es

un ejemplo

esto es

un ejemplo

esto es

un ejemplo

Pulsando dos veces en la tabla, o con la orden Edit/ Properties, podemos elegir la posición de

la tabla respecto del texto, con la opción Alignement :

texto ,__________,_____________, texto \—T  :— textoesto es

un ejemplo

esto es

un ejemplo

Pulsando dos veces en la tabla o en cualquiera de sus celdillas, o con la orden Edit/ Properties, podemos separar los elementos

con líneas simples, dobles o con ninguna línea, con la opción Unes:

esto es esto es

un ejemplo un ejemplo

esto es

un ejemplo

 También, con la orden Edit/ Insert Row y Edit/ Insert Column, podemos añadir filas y columnas a la tabla en la posición que

queramos.

Si queremos hacer un índice de tablas, deberemos introducir las mismas mediante la orden File/ Import Fragment, e importar el

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0.3. PROCESANDO TEXTOS

fichero table4 3.frag. Aparece una tabla de orden 4x3.

Si nos situamos justo al final de la tabla, con la opción Edit pueden añadirse filas y columnas. Para suprimir alguna fila o columna

basta señalara en negro con el ratón y suprimirla. Para darle un nombre a la tabla, pulsamos dos veces en la etiqueta caption, y

sustituimos la palabra Table Caption por el título que queramos.

Espacios

Con la orden Insert/ Spacing, podemos introducir espacios horizontales, verticales, etc:

1.Con Insert/ Spacing/ Break, podemos obtener cambios de línea, o cambios de página.

2.Con Insert/ Spacing/ Rule, podemos insertar rayas de distinto tipo, por

ejemplo:

3. Con Insert/ Spacing/ Vertical Space, pueden introducirse espacios verticales de distinto tamaño, para separar las líneas. Con la

opción Custom, podemos elegir el tamaño del espacio vertical.

4. Con Insert/ Spacing/ Horizontal Space, o bien con | S..OT | , pueden introducirse espacios horizontales de distinto

tamaño. Con la opción Custom/ Fixed, podemos elegir el tamaño del espacio horizontal. Con Custom/ 

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Nos podemos referir a la p?gina en la que est? el teorema o a su n?mero. Las figuras pueden marcarse escribiendo en Key de la opci?n —abeling, del cuadro de propie

ras, con su cor?respondiente n?mero de p?gina, al final del libro. En el lugar en que est?n las palabras que queramos citar, damos a Insert/ Field/ Index Entry (Insert/ 

 jemplo: funci?n continua, funci?n derivable, dominio de una funci?n, escribimos, en Primary: funci?n, y en Secondary vamos escribiendo: dominio, continua, etc. An?l

gment, e importo el fichero Index.

do en la casilla de Generate a Index. Si queremos exportar el ?ndice de materias con la opci?n Portable I—TE<(*-tex), debemos:

En la ventanil-

. En Typeset/ Preamble, escribimos \hich makeindex

ÍNDICE GENERAL

Stretchy/ Discard at —ine End, podemos escribir: Si usamos la

opción Nothing:

Aquí y aquí. Si usamos la opción -ine podemos escribir

Así y___________________________________________________________________________________así.

Si usamos la opción Dots podemos escribir

Así y .... así.

O poner una línea:

0.3.5. Marcadores

Para marcar algo a lo que nos vayamos a referir más tarde, por ejemplo un teorema, nos ponemos

al final del mismo y damos a Insert/ Field/ Marker 

(Insert/ Marker en la versión 4.0), o pulsamos en L^|(de la barra Field). En

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0. . PROCESANDO TEXTOS

2. En TypesetZ Options and PackagesZ Package OptionsZ Add, elegimos makei-

dx

0.3.7. Fórmulas

Para destacar una fórmula en el centro de una línea pulsar

arriba

Pulsando en 1=1 podemos escribir: en línea, o bien: en líneaabajo

Pulsando en Í=M se consiguen efectos como:

ejemplo , ejemplo, ejemplo, ejemplo, ejemplo, ejemplo

Combinando lo anterior podemos escribir, por ejemplo:

n -vecesn-veces

ai + a2+.............a„ o bien ai+a2+.

Las características de una fracción, y de otros símbolos como  J , pueden modificarse pulsando

dos veces sobre la expresión, o con la orden Edit/ Properties, por ejemplo:

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

Para escribir los límites de integración en una integral, ponemos el símbolo

para el límite inferior y enpara el superior, por

ejemplo: JJ sin xdx. Pulsando dos veces en la integral (o con la orden Edit/ b

Properties) y tomando la opción Above/ Below, se puede escribir  J sin xdx.a

Asimismo podemos escribir:

n2   + l n2  + l— o lim —

Ln=l n o n  y llm«n=1

Si queremos que al escribir un límite (o cualquiera de las expresiones de la ), nos aparezca

siempre de la forma última, podemos hacerlo con lalistaorden Tools/ User Setup/ Math/ Math Name.

Si vamos a repetir muchas veces una expresión, por ejemplo llm , y queremosn^oo

escribir menos, podemos usar la orden Tools/ Automatic Substitution. Por ejemplo, en la caja

Keystokes ponemos lom, y en la caja Substitution ponemos llm .n^oc

Entonces, cada vez que escribamos lom en modo matemático aparecerá: llm .n^oc

Para eliminar la sustitución automática, escribimos lom en la caja Keystokes, y pulsamos en

Remove.

Si queramos hacer un listado de figuras, en el cuadro de propiedades de la gráfica debemos

elegir la opción Frame/ Floating here. En la opción Labeling, del cuadro de propiedades, en la

ventanilla Caption Text, escribimos el nombre con el que queramos que aparezca en la lista de

figuras. En esta misma opción, podemos marcar la figura en la ventanilla Key.

N Ny pulsamos en

sin

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Parte I

Algebra

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27

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Capítulo 1

Matrices

Una matriz de orden m X n es un conjunto de números dispuestos en mfilas (horizontales) y en n columnas (verticales). Se denotan en la forma

A = R j }

para 1 < i < m, 1 < j < n. El número ai j representa el elemento de la fila i y la

columna j de la matriz A. El conjunto de matrices de orden m X n se denota por

MmXn.

La traspuesta de una matriz A de orden m X n tiene orden n X m y se obtiene

cambiando las filas de A por sus columnas. Se denota por AT .

La suma de dos matrices del mismo orden se realiza sumando los elementos de

ambas matrices que están en la misma posición. El producto de un número por

una matriz se realiza multi-

plicando el número por cada elemento de la matriz.

El producto A • B de dos matrices A = {ai j} £ M {bj} £ MnXp esuna matriz C = {cj} £ MmXp, siendo

Cij = aublj + a¿2fr2j + ••• + iinbnj

es decir cij- se obtiene multiplicando el primer elemento de la fila i de A y de la

columna j de B, más el segundo elemento de la fila i de A y de la columna  j de B ,

etc.

na matriz es cuadrada si tiene el mismo número de ilas que de columnas.

El conjunto de matrices cuadradas de orden n se denotapor Mn.

La diagonal principal de una matriz cuadrada A = {c ij} £ Mn la forman los

elementos c ii.

Una matriz cuadrada, A £ Mn, es invertible si existe otra matriz, A-1

£ Mn, queverifique

A-A"1 = A-1 • A = /

donde I £ Mn es la matriz identidad (todos sus elementos valen 0 salvo los de la

diagonal principal que valen 1).Cada matriz cuadrada, A £ Mn, tiene asociado un número denominado

determinante de A (det A). Una matriz cuadrada es in-vertible si y sólo si su

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.Podremos introducir el numero de filas y columnas

determinante es no nulo.

£j Una fila (o columna) de una matriz es combinación lineal

de las demás si se puede obtener como suma de las otras ilas (o columnas)

multiplicadas por números.

Se dice que una matriz A £ MmXn  tiene k filas (o columnas) linealmente

independientes si ninguna de ellas se puede expresar como combinación lineal

de las k — 1 restantes. Al número máximo de ilas (o columnas) linealmente

independientes de una matriz se le denomina rango de la matriz.

Se llama menor de orden k, de una matriz, a cualquier determinante de orden

k formado por los elementos comunes a k ilas y a k columnas de la matriz.

El rango de una matriz es igual al orden del mayor menor distinto de cero que

es posible formar con los elementos de la matriz.

Si el determinante de una matriz cuadrada, A £ M n, es no nulo entonces su

rango es n

El método más rápido para escribir una matriz, es usar el

que queramos. Las operaciones con matrices se simplifican si se de-

finen previamente las matrices.

Si definimos una matriz y aplicamos la orden Matrices, se obtienen una

cascada de posibilidades:

Con Matrices/ Determinant, calculamos el determinante de una matriz

cuadrada.

Con Matrices/ Rank, calculamos el rango.

Con Matrices/ Transpose, calculamos la traspuesta.

Con Matrices/ Inverse, calculamos la inversa.

Con Matrices/Trace, calculamos la traza o suma de los elementos de la

diagonal principal de una matriz cuadrada.

(En la versión 4.0 las secuencias comienzan con Compute).

Ejercicio 76 Calcular el determinante, el rango, la traspuesta, la inversa, la adjunta % la

traza de la matriz 

A = I 3 —7 —2

V 3 —7 1 y

Solución

Definimos la matriz y aplicamos las distintas opciones de la orden Matrices:  A,

determinant: —3  A, rank: 3

 A, transpose:

Las operaciones con matrices se realizan deiniendo las matrices, escribiendo la

expresión y usando la orden Evaluate.Para multiplicar dos matrices las ponemos una al lado de la otra, sin colocar ningún

símbolo entre ambas, y aplicamos la orden Evaluate.

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Usando la función predefinida det y la orden Evaluate, también podemos calcular el

determinante de una matriz cuadrada,  A.  También se puede calcular escribiendo |A | y

evaluando.

La traspuesta de  A, puede calcularse escribiendo  A T.

La inversa de una matriz cuadrada, A, puede calcularse escribiendo  A -1 . La inversa de

 A  también se obtiene aplicando a la matriz la orden Matrices/ Adjugate y dividiendo la

matriz obtenida por el valor det  A. Por ejemplo para

 A = I 3 —7 —2

3 —7 1

aplicando la orden la orden Matrices/ Adjugate tenemos

—21 2 4 \ —9

1 2

0 1 —1

dividiendo cada uno de sus elementos por d t  A = —3, se obtiene

Si dos matrices no son multiplicables, por ejemplo A £ MmXn y B £ M k  X p  para n

= k, al evaluar el producto de ambas no obtendremos respuesta. Lo mismo ocurrirá si

queremos hallar la inversa de una matriz que no sea cuadrada o que su determinante sea

nulo.

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cicio 77 Sean las matrices siguientes:

1 3 —1 ? —2 1 2? ? 2

a = ? 4 ? 5 ] $ b = ? 9 12 —5 ] $ c = ? —3 1 —6

\hich —5 2 —2 / V 2 —1 12/ V ? 1 5 )

45 35 —24

58

14 37 34

1691

13 19 18231

a)Calcular ab + c.

b)Calcular la inversa de a ■

c)Calcular (3a + 2b T)c

d)Calcular una matriz x, tal que axb = c

e)¿Se verifica que (a + b) = a2 + 2ab + b2 ?

f)Calcular una matriz x tal que [(ax) T + b]

g)Calcular a3.

1= c.

| Solución

a)

ab + c = I 7 —12 58 37

b)

(a — b)-1 =

69 182 _5_ 1399 364 1 0

28 y

c)

(3a + 2b T )c—21 28 —151

88 37 —63

248 14 88

d) Por ser det a = —69 = ° y det b = 2°3 = °, existen a 1 y b 1, por tanto:

=-1cb-1

10911 466913 744 466910 2794669 14 007

1153 \ 14 007 i172 14 007

e)

(a + b)2

14 13 169

157 20 19

0 0

100 ; a2 + 2ab + b2

52 46 97

127 56 25

14 3

92

b.

36114

503814007715714

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y = (a + 2b) _1(-3a)

( ^ -O -712 -34CAPÍTULO 1. MATRICES

f) Por ser det c = 214 = °, y det a = —69 = °, existen c 1 y a 1, por tantoo (

/ 815 13 499 16 567 \

' 73837383

7383 i1 (e"1 " b)"

Vg) Con la orden Evalúate obtenemos:

-58 137a3 =

-158 77 -146

2x + ay = a

donde ax — by = 2a

% x,e y son dos matrices cuadradas de orden 2.

-12 1o

| Solución

Multiplicando la segunda ecuación por -2 y sumando ambas se obtiene:x = 2a + by

Ejercicio 79 Averiguar, para que valores de a, es invertible la matriz:

B

| Solución

Su determinante es:

det B = 3 - 8a + 6a2 - a4 = (a + 3) (a - 1)3

Sus raices son —3 y 1. Luego B es invertible si a = 1, —3. Ejercicio 80

Hallar el rango, según los valores de x, de la matriz:

 A

( 1 1 0 2 \

1 -1 1 3

-1 2 4 2\ 3 2 4  x  J

| Solución

Su determinante es det  A  = — 11x + 11°, que se anula para el valor x = 1°. Por tanto, para

x = 1°, el rango es 4.

Para x = 1°, sustituyendo en la matriz, y usando la orden Matrices/ Rank, se obtiene rango

3.

 

125314766

23157383

3910714

7666230

28 90114 76611915 /7383 /

-45

159

86

-91

77

Ejercicio 78 Resolver el sistema matricial % b

( o 1   4

)'

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a

a 1 1 1

32

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/12

1

33

Si en el problema anterior aplicamos directamente la orden

Matrices/ Rank, obtenemos rango 4, independientemente del valor de x, lo cual es falso.

Ejercicio 81 Estudiar, según los valores de m % n, el rango de la matriz:

1 3 -3

1 -1 5

0 n m

m 1 -4 ¡

| Solución

 Tomemos el menor

1 3 -3

1 -1 5 = 24 + 12m

m -1 -4

Por tanto si m = —2, el rango es 3. Para m

= —2 queda la matriz

1 3 -3

1 -1 5

0 n -2

2 1 4

 Tomemos el menor1 3 -3

1 -1 5 = 8 - 8n

0 n -2

Por tanto si m = — 2 , n = 1 , el rango es 3. Para m

= —2 y n = 1 queda la matriz:

( 1 3 —3 \

1 —1 5

° 1 —2

—2 —1 —4

cuyo rango es 2.

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1 1 3 2

13

4-2

2

V2 3

31

cuyo rango es 2.

s de inter?s

den Matrices/ Reshape, nos permite colocar una serie de n?meros, en forma de matriz. Por ejemplo, sean los n?meros:

21,1, ?, 23, ?, —3, —7, —6,4,32

n Matrices/ Reshape, para 4 columnas, obtenemos:

21 1 ? 23 ? —3 —7 —6 ] 4 32

CAPÍTULO 1. MATRICES

Ejercicio 82 Estudiar, según los valores de x,y el rango de:

1 2 1

x 1 3

4 -2 2

y 3 1

| Solución

 Tomemos el menor

1

x

4 2 28 6x

Por tanto si x = ^, el rango es 3. Para x =

^ queda la matriz:

 Tomemos el menor143

4 y 1

1434

y

2 1

1 3

21

16

+ 8y

Por tanto si Para x ==14

3 143 ' y = 3 el rango es 3. 3 queda la

matriz:

f% La orden Matrices/ Concaténate, nos permite encadenar dos matrices del mismo

orden y formar una nueva matriz. Por ejemplo:

( s 1 ) ( " 1 ) ■ — ( s 1 " 1 )

Con la orden Matrices/ FUI Matrix se pueden generar varios tipos de matrices:

Usando la opción Matrices/ FUI Matrix / zero, obtenemos una matriz, del orden que

queramos, tal que todos sus elementos son el cero.

Usando la opción Matrices/ FUI Matrix / Identity, obtenemos una matriz, del orden que

queramos, con unos en su diagonal principal y cero en el resto de lugares.

Usando la opción Matrices/ FUI Matrix/ Random, obtenemos una matriz con

elementos aleatorios.

Usando la opción Matrices/ FUI Matrix / Jordan Block, obtenemos una matriz de Jordan,

del orden y con los elementos que queramos.

sando la opción Matrices/ Fill Matrix/ Band, se crea una matriz con los valores quequeramos alrededor de la diagonal principal. Para ello debemos introducir un número

impar de valores. Por ejemplo, introduciendo primero, el valor a, y después los valores a,

b, c, y con el orden 3 X 6, se obtienen las siguientes matrices:

a 0 0 0 0 0 \ / b c 0 0 0 0 \

0 a 0 0 0 0 ] í  a b c 0 0 00 0 a 0 0 0 0 a b c 0 0

Usando la opción Matrices/ Fill Matrix/ Define" by function, obtendremos una matriz

cuyos elementos se obtienen mediante la función que queramos.

Ejercicio 83 Definimos f (i, j) = 9. Con el orden 3 X 4, % con Matrices/ Fill-Matrix/ Defined byfunction obtenemos la matriz:

34

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35

9 9 9 9

9 9 9 9

9 9 9 9

Ejercicio 84 Definimos g(i,j) = x j  1. Con el orden 3 X 4, % con la opción Matrices/ FillMatrix/

Defined by function obtenemos la matriz de Vandermonde:

1   X\ X-^ X-^ \

1 x2 x¡ x|

1 X3 X -2 x¡ /

Ejercicio 85 Para conseguir matrices con la notación habitual definimos f -aio¿+j ■ Con el

orden 4 X 4, y con la opción Matrices/ FillMatrix/ Defined by function se obtiene:

( ai i ai2 ai3 ai4 \ a2i

a22 a23 a24 a3i a32a

33a

34 a4i a42 a43a44

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36 CAPÍTULO 1. MATRICES

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Capítulo 2

Sistemas deecuaciones lineales

n sistema de ecuaciones lineales es una expresión de la forma  AX =

B, donde  A es la matriz de los coeficientes, de orden m  X  n, X es la matriz de

las incógnitas, de orden n  X   1, y B es la matriz de los términos

independientes, de orden n X 1. Se llama matriz ampliada a la matriz (A/B)

obtenida añadiendo a la de los coeicientes la columna de los términos

independientes.

Un sistema es compatible (tiene solución) si el rango de  A  coincide con el

de (A/B). En caso contrario el sistema es incompatible.

Si un sistema es compatible y el rango coincide con el número de incógnitas,

entonces tiene solución única. Se denomina compatible determinado.

Si un sistema es compatible y el rango es menor que el número de incógnitas,

entonces tiene ininitas soluciones. Se denomina compatible indeterminado.

Un sistema es homogéneo si los términos independientes son todos nulos.

Estos sistemas son o bien compatibles determinados (y la única solución es la

solución nula) o compatibles indeterminados.

Los sistemas de ecuaciones pueden resolverse si los introducimos en

forma de matriz columna (cada ecuación en una columna) y usamos la orden

Solve/ Exact 

37

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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicio 86 Resolver el sistema:

3x — z = 2 4x — y + 2z = 7 + 2y — z = —3

| Solución |

Con la orden Solve/ Exact, obtenemos: z = g,x =  T¡¡ J,y = — f| Ejercicio 87

Resolver el sistema:

 x — 3z = 0 x

— y = 1

Solución

Con la orden Solve/ Exact, introduciendo las variables x,y, obtenemos: x 3z — 1. Por tanto lasolución depende del parámetro z.

Ejercicio 88 Resolver, en la forma matricial, el sistema:

3x — z = 2 4x — y + 2z = 7 + 2y — z = —3

| Solución

Para resolverlo en forma matricial, definimos las matrices:

30 — 1 \ / 2

4—1 2 ] ,b = í  7 | ,c

7 2 —1 / \ —3

Entonces, el sistema viene dado por la ecuación ac = b. Se verifica que det a — 24 = 0, por

tanto la solución es:

17/24

-47/12 1/8

2.1. Método de Gauss

L^J Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es usual simplificar sus

ecuaciones de modo que se obtenga otro mucho más fácil pero con las mismas

soluciones. Estas simpliicaciones conforman los métodos de Gauss. Una simplificación

parcial del sistema se denomina elimininación Gaussiana, mientras que lasimplificación total se denomina método de Gauss-Jordan.

La elimininación Gaussiana se realiza aplicando la orden Matrices/ Fraction-free

Gaussian Elimination a la matriz ampliada del sistema.

El método de Gauss-Jordan, se realiza aplicando la orden Matrices/ Reduced Row

Echelon Form a la matriz ampliada del sistema.

Ejercicio 89 Resolver, usando la eliminación Gaussiana, el sistema:

3x — z = 2

4x — y + 2z = 7

4

7

{

4

7x

4

7x

38

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2.1. MÉTODO DE GAUSS

: + 2y — z = —3

SoluciónAplicando la orden Matrices/ Fraction-free Gaussian Elimination a la matriz del sistema:

3 0 —1 2

4 —1 2 7

7 2 1 3

se obtiene:3 0 —1 2

0 —3 10 13 0 0 —24

—3

Por tanto de la tercera ecuación tenemos que: z = . De la segunda ecuación tenemos que: —3y

+ 10z = 13; despejando y se obtiene y = [4^z — 33 ] z _=

— jr; . Finalmente de la primera ecuación, tenemos que 3x — z = 2; por tanto:x

= [ 3z

+ 3 ] z_ = 24.

Ejercicio 90 Resolver, por el método de Gauss-Jordan, el sistema:

3x — z = 2 4x — y +

2z = 7 7x + 2y — z =

—3

ISolución  Aplicando la orden Matrices/ Reduced Row Echelon Form a la matriz del sistema

' 3 0 -1 2

4 - 1 2 7

^ 7 2 -1 -3

se obtiene:

1 0 0 17/240 1 0 -47/24

0 0 1 1/8

con lo cual se tiene directamente la solución x = T¡g , y = - jr;, z = g.Ejercicio 91 Discutir, según los valores de a, el sistema:

x + ay — z = —1 3x + y + z =

a ax — y + 2z = 1 + a

| Solución

El determinante de la matriz de los coeficientes es (a — 2) (a — 3) . Por tanto, para a = 2, 3, el

sistema es compatible determinado. Para a = 3, la matriz ampliada es:

1 3 —1 —1 \ 31 1 3

3 —1 2 4

Aplicando el método de Gauss-Jordan obtenemos:

1 0 12

0

0 1 12

0

0 0 0 1

Por tanto el sistema es incompatible para a = 3. Para a = 2, la

matriz ampliada es:

1 2 —1 —1

3 1 1 2

Í 

39

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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2 —1 2 3

Con el método de Gauss-Jordan obtenemos:

1 0 3 5 1

0 1 4 5 — 1

0 0 0 0

Por tanto el sistema es compatible indeterminado para a = 2.

Asimismo, aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz ampliada, obtenemos:

1 O O O 1 O

O O 1¿

n -i a — 3 a — i a —3 -a-2

3

Esto parece indicarnos que existe solución única para a = 3, lo cual sabemos quees

Ejercicio 92 Resolver, según los valores de a, el sistema homogéneo:

(8 - a)x + 2y + 3z + ai = O x + (9 -

a)y + 4z + at = O x + 2y + (1O -

a)z + at = O x + 2y — 3z + at = O

| Solución

El determinante de la matriz de los coeicientes es:

det

8 - a 2

1 9 — a1 2

1 2

3 4

1O — a3

a a

a a —a (—13 + a) (—7 + a)2

Por tanto, para a = 13, 7,0, el sistema es compatible determinado y la solución es la trivial.

Para a = 0, la matriz ampliada es:

8 2 3 O O

1 9 4 O O

1 2 1O O O

1 2 —3 O O

Con el método de Gauss-Jordan obtenemos:

1 0 0 0

Si un sistema depende de parámetros la solución directa del mismo puede

dar lugar a soluciones erróneas. Por ejemplo en el ejercicio anterior:

Si usamos la orden Solve/ Exact, obtenemos:

a — 1 a2 — a — 2 a — 1x = , z = , y =

3 , y  a - 3

que es una respuesta engañosa porque parecería que hay una solución única si a =

3, que es falso.

icarnc

falso.

40

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2.1. MÉTODO DE GAUSS

0

0 1 0 0

0

0 0 1 0

0

0 0 0 0

0

Por tanto para a = 0, el sistema es compatible indeterminado, y la solución es: x = 0,y = 0,z =

0,t = t.

Para a = 7, la matriz ampliada es:

1 2 3 7 0

1 2 4 7 0

1 2 3 7 0

1 2 —3 7 0

41

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z = —39t' t

= —39t, y Ejercicio 93 Sea la matriz A =

—91t

2 't

Hallar el valor de a para que tenga1 2

3 a

la ecuaci?n matricial AX = O, donde X ? M2 % O es la matriz nula de M2 . Hallar la forma general de la matriz X.

La ecuaci?n matricial AX

12-3

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Con el método de Gauss-Jordan obtenemos:

1 2 0 7

00 0 1 0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

Por tanto para a = 7, es un sistema compatible indeterminado. La solución es:

z = 0, y = y, t = t, x = —2y — 7t.

Para a = 13, la matriz ampliada es:

/ —5 2 3 13 0 \ 1 —4

4 13 0

1 2 —3 13 0 1 2 —3

13 0

Con el método de Gauss-Jordan obtenemos:

1 O O 39 O

O 1 O ^ O

O O 1 39 O

O O O O O

Por tanto para a = 13, es un sistema compatible indeterminado. La solución es:

| Solución

 Tomemos X ( x  y \

\ z *  )

( 1 2 \ ( x y \ = ( O O \

^ 3 a ) \ z t ) \ O O J

9 es:

Esto da lugar al sistema de ecuaciones homogéneo:

x + 2z

y + 2t

3x + az

3y + at

42

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-15

2412

6Aplicando Gauss se obtiene:

2.1. MÉTODO DE GAUSS

La matriz de los coeicientes es:

1 0 2 0 1 0

3 0 a0 3 0

Su determinante es (a — 6)2. Por tanto si a = 6, la solución es la trivial. Para a = 6 la

matriz ampliada es:

1 0 2 0

0

0 1 0 2

0

3 0 6 0

0

0 3 0 6

0

Aplicando el método de Gauss-Jordan obtenemos:

1 0 2 0

0

0 1 0 2

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

Por tanto la matriz X tiene la forma:

X f -2a -26 \ ^ a 6 )

Ejercicio 94 Discutir, según los valores de a, el sistema:

x + 2y — 3z = 4 3x — y + 5z = 2

4x + y + (a2 — 14)z = a + 2

| Solución

La matriz de los coeicientes es:

1 3 4ti

Su determinante vale —7a2 + 112 = —7 (a es un

sistema compatible determinado. Para a = 4 la

matriz ampliada es:

-3

5

14

4) (a + 4). Por tanto si a ^ 4 , -4

1

O

O O

1

-2 O

7 \10 7O

2O

a

43

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-3a + 2292 ",y +

461

13 f + b

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Por tanto, si a = 4 es un sistema compatible indeterminado.

Para a = —4, aplicando Gauss-Jordan a la matriz ampliada se obtiene:

1 0 0 10 0 1 0

-2 00 1

Por tanto si a = — 4 es un sistema incompatible.

Ejercicio 95 Discutir, según los valores de a % b, el sistema:

x + 2y = a 3x — y

= 1 x + y = a —

3 2x — y = a + b

Solución

La matriz ampliada es

 Tomemos el menor

Por tanto si a = 22 es un sistema incompatible. Para a = 22

se obtiene la matriz ampliada:

 Tomemos el menor

Por tanto si a = 22 y b ^ es un sistema incompatible.tenemos la matriz ampliada:

1 2 223 \

3 -1 1

1 1 133

2 -1 13

/

Aplicando Gauss-Jordan se obtiene:

1 O43

\

O 1 3

O O O

O O O /

Por tanto si a = 22 y b = —23 es un sistema compatible determinado. Ejercicio 96 Discutir, según

los valores de a, b, el sistema:

x + 2y + t = 1 —x — 3y

o

s22Paray b3

Í 

44

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2.1. MÉTODO DE GAUSS

— z = b x + az = 1 x

— y + z + t = 0

ISolución  La matriz ampliada del sistema es:

/ 1 2 O 1 1

—1 —3 —1 O b

1 O a O 1

V 1 —1 1 1 O

 Tomemos la matriz de los coeficientes:

/ 1 2 0 1 \

—1 —3 —1 0

1 0 a 0

1 —1 1 1

Su determinante es —6 + 3a. Por tanto si a = 2 el sistema es compatible determinado.

Para a = 2 la matriz de los coeicientes tiene rango 3. Sustituimos a = 2 en la matriz

ampliada y queda:

/ 1 2 0 1 1 \

—1 —3 —1 0 b

1 0 2 0 1

1 —1 1 1 0

 Tomamos el menor:/ 2 0 1 1 \

—3 —1 0 b

0 2 0 1

—1 1 1 0

Su determinante vale12 + 6b. Por tanto si a = 2 y b = —2 el sistema es incompatible.

Para a = 2,6 = —2, la matriz ampliada queda:

V

2 -3

O -1

O 1

1 O 2 O

1 1

1

2 1O

Aplicando el método de Gauss-Jordan se obtiene:

O 1 O - f i

O O 1 - f i

O O O O O

Luego para a = 2,6 = —2, el sistema es compatible indeterminado.

Ejercicio 97 Entre todas las familias de un pueblo suman 252 hijos. Las hay 

de dos tipos, las que tienen 6 hijos y las que tienen 2 hijos. Si el número de las que tienen 6 hijos

dobla a las otras, calcular el número que hay de cada tipo de amilia.

| Solución

45

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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sea x el número de familias con 6 hijos, y sea y el de familias con 2. Se cumple que x = 2y.

Por otro lado la suma total de hijos es 6x + 2y = 252. Se tiene el sistema:

í x — 2y = 0 \ 6x +

2y = 252

Con la orden Solve/ Exact obtenemos la solución: y = 18, x = 36.

Ejercicio 98 Un ganadero le da de comer a sus vacas una mezcla de dos tipos de alimentos, A y 

B. Un kilo de A proporciona a una vaca el 10% de las proteinas y el 15% de las vitaminas que

necesita a diario. Un kilo de B proporciona el 12 % de proteinas y el 8 % de vitaminas. Calcular 

los kilos que hay que dar a cada animal para conseguir el 100 % necesario diario de proteinas y 

vitaminas.

Solución

y los kilos de p

proteinas que se está proporcionando es 0.1x + 0.12y, y la cantidad de vitaminas Para conseguir

el 100 % de ambos conceptos debe cumplirse

que:

O.1x + O.12y

O.15x + O.O8y

Con la orden Solve/ Exact obtenemos la solución: y

de A.

5 kilos de B, x = 4 kilos

Ejercicio 99 Un viajero por Europa gastó en hospedaje 30 euros al día en Italia, 20 euros en

Francia y 20 en España. En alimentos gastó 20 euros al día en Italia, 30 en Francia y 20 en

España. En copas gastó 10 euros diarios en cada país. Si al final del viaje había gastado 3J0

euros en hospedaje, 320 en alimentos y 1J0 en copas, calcular el número de días que estuvo en

cada país.

| Solución

Sean x,y,z el número de días pasados, respectivamente, en Italia, Francia y España. Los

gastos de hospedaje han sido 30x + 20y + 20z, los de alimentos han sido 20x + 30y + 20z, y los

de copas han sido 10x + 10y + 10z. Por tanto tenemos el sistema:

30x + 20y + 20z = 340

20x + 30y + 20z = 320

10x + 10y + 10z = 140

Con la orden Solve/ Exact  obtenemos la solución: x = 6, y = 4,z = 4 días en Italia, Francia y

España, respectivamente.

Ejercicio 100 Un granjero que tiene gallinas, cerdos y vacas, proporciona a sus animales

alimentos del tipo A, B y C. Cada gallina consume 1 unidad del alimento A, 1 del B y 2 del C.

Cada cerdo consume 3 unidades de A, J de B y 5 de C. Cada vaca consume 2 unidades de A, 1 de

B y 5 de C. Si se dispone cada mes de 15000 unidades de A, 10000 de B y 35000 de C, calcular cuantos animales de cada clase se pueden mantener.

Sea x los kilos del producto A, y sea y los kilos de producto B. La cantidad de oteinas

0.15x + 0.08y.

46

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2.1. MÉTODO DE GAUSS

Soluciónción

Sean x,y,z el número de gallinas, cerdos y vacas, respectivamente. Las unidades empleadas

del alimento A son x + 3y + 2z. Las del tipo B son x + 4y + z, y las del tipo C son 2x + 5y + 5z.Por tanto tenemos el sistema:

x + 3y + 2z = 15000 x +

4y + z = 10000 2x + 5y +

5z = 35000

Con la orden Solve/ Exact obtenemos la solución:

y = z — 5000, z = z, x = —5z + 30 000

El sistema es compatible indeterminado. Para que tenga sentido ha de ser

y = z — 5000 > 0 y x = —5z + 30000 > 0

por tanto 5000 < z < 6000. La cantidad de gallinas y de cerdos estará en función del número de

vacas.

Ejercicio 101 Una empresa fabrica tres productos. Para ello necesita tres materiales en las

cantidades indicadas en la tabla:

Producto 1 Producto 2 Producto 2

material 1 2 2 2

material 2 1 2 0

material 3 2 1 3

Supongamos que sólo se disponen de 12,5 % 13 unidades respectivamente de cada material.

a)Hallar los planes de producción (x,y,z) que agotan las disponibilidades de cada material.

b)Si los precios de venta da cada producto son 15,10 % 9, respectivamente, hallar el plan de

 producción con el que se obtenga ma%ores beneficios.

| Solución

a)Planteamos el sistema:

2 2 2 \ / x \ / 1 2 \ 1 2

0 W y   ] = í  5 1 2

1 3 / \ z / Vi 3 /

Su solución es x = 7 — 2z, y = —1 + z, z = z.

b)Las condiciones que se deben dar inicialmente son:

7 — 2z > 0

— 1 + z > 0

z > 0

De aquí se obtiene la solución 1 < z < |. Por tanto z puede valer 2 o 3.

Si z = 2 serán x = 3, y = 1, y los ingresos serán 15 • 3+10 • 1 + 9 • 2 = 73 Si z = 3 serán x

= 1, y = 2, y los ingresos serán 15 • 1 + 10 • 2 + 9 • 3 = 62 Por tanto el mayor ingreso sale

si z = 2.

2.2. Método de Leontief 

t+J Un modelo que se usa en Economía es el modelo de entradas y salidas de

Leontief (premio Nobel de Economía en 1973). Supongamos que un sistema económico

47

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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

tiene n industrias y cada industria tiene dos tipos de demanda: externa (procedente de

fuera del sistema) e interna (procedente del mismo sistema).Se utiliza la siguiente

notación:

ei: demanda externa ejercida sobre la industria 1. demanda

externa ejercida sobre la industria 2.

en: demanda externa ejercida sobre la industria n.

Se considera la matriz A = (a.¿ j ) i <i,j<n siendo:

an: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que

la industria 1 produzca una unidad.

ai2: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que

la industria 2 produzca una unidad.

a2i: número de unidades que se le piden a la industria 2 para que la industria 1

produzca una unidad.

a22: número de unidades que se le piden a la industria 2 para que la industria 2produzca una unidad.

ai  j: número de unidades que se le piden a la industria i para que la industria j

produzca una unidad.

Se denomina xi al número de unidades producidas por la industria i, entonces:

aiixi: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria 1

produzca xi unidades.

ai2x2: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria 2

produzca x2 unidades.

ainxn: número de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria n

produzca xn unidades.

Entonces es claro que aiixi + ai2x2 + ...ainxn + ei es la demanda total (externa e

interna) sobre la industria 1. Por tanto al igualar la demanda total a la salida de la

industria 1 se obtiene:

aiixi + ai2x2 + ... + ainxn + ei = xi

Haciendo lo mismo con el resto de industrias obtenemos el sistema:

aiixi + ai2x2 + ... + ainxn + ei = xi

a2ixi + a22x2 + ... + a2nxn + e2 = x2

ani xi + an2 x2 + ... + annxn + en = xn

A la matriz del sistema A = (ai j)i<i)j<n se le denomina matriz tecnológica y sus

coeficientes ij se denominan coeficientes técnicos o de producción.

Ejercicio 102 Sea un sistema económico con tres industrias A, B % C. -a tabla de

demandas internas es:

 A B C

 A 0.2 0.5 0.15

B 0.4 0.1 0.3

48

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2.1. MÉTODO DE GAUSS

C 0.25 0.5 0.15

mientras que las demandas externas son 10, 25 % 20. Hallar la salida de cada industria para quela o erta iguale a la demanda.

| Solución

El número 0.25, por ejemplo, es el número de unidades que se le piden a la industria C para

que la industria A produzca una unidad. Sean x, y, z el número de unidades producidas por A, B y

C. El modelo de Leontief es:

0.2x + 0.5 y  + 0.15z + 10 = x 0.4x +

0.1 y + 0.3z + 25 =  y  0.25x + 0.5 y  +

0.15z + 20 = z

Con la orden Solve/ Numeric se obtiene la solución:

z = 125.82106, y  = 118. 742 92, x = 110. 305 78

Por tanto el número de unidades que las industrias A, B y C deben producir para que la oferta

iguale a la demanda debe ser, aproximadamente, de 110, 119 y 126 unidades, respectivamente.

Ejercicio 103 Sea un sistema económico con tres industrias A, B % C. -as tablas de demandas

internas % externas (en miles de euros) son:

 A B C Demanda externa

~A~ 0.293 0 ~0 ~A~ 13.213

B 0 .014 0.207 0.017  B 17.597 ______________________ 

~C~ 0.044 0.010 0.216 C 1.786

Obtener el modelo de Leontief % el valor en miles de euros de los productos de A, B% C para equilibrar la oferta % la demanda.

| Solución

Sean x,y,z los valores respectivos de los productos de A, B y C. El modelo de Leontief es:

0.293x + 13.213 = x 0.014x + 0.207 y  + 0.017z

+ 17.597 =  y  0.044x + 0.010 y + 0.216z +

1.786 = z 

Aplicando la orden Solve/ Numeric en el sistema se obtiene la solución

x = 18. 688 826, z = 3. 615 1619, y  = 22. 597 858

Ejercicio 104 Resolver el modelo de Leontief, donde las matrices de demanda interna %

externa son:

(   1 1 1

( 3 2 6

12 3 6 /| Solución

El modelo de Leontief es

| x + r; y  + | z + 10 = x I x + 3 y 

+ | z + 15 =  y  Y2 x + 1  y  + ^ z +

D

 = (10

 )

49

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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

30 = z

Aplicando la orden Solve/ Numeric en el sistema se obtiene la solución:

 y  = 55.102 041, x = 72. 653 061, z = 65. 306 122

£j El Modelo de Leontief se puede reescribir en la forma: (1 - an)x i - ai2x2 - ... -

ainin = ei

I -C i2lXi + (1 - CÍ22)X 2 - - .a2„x „ = e2

^ &RL\ X \ an2X2 ••• (1 ann)xn en

A la matriz de este sistema: I — A, se le denomina matriz de Leontief. Si esta matriz es

invertible entonces existe solución única para el modelo.

Ejercicio 105 Una antena (A) está formada por 3 crucetas (C), 6 tornillos (T) % 3 barras (B). A

su vez cada cruceta consta de 1 tornillo % 2 barras.¿Cuántas antenas, crucetas, tornillos %

barras se deben fabricar para atender a un pedido de 2 antenas , 3 crucetas, J tornillos % 5

barras?

Solución

La tabla siguiente resume la información del enunciado:

Producto: A Producto:C Producto: T Producto: B

antena 0 0 0 0

cruceta 3 0 0 0

tornillo 6 1 0 0

barra 3 2 0 0

En cada columna se detalla lo que el correspondiente producto necesita de los demás. La matriz

que se obtiene es la matriz de demanda interna de este problema,  A, mientras que el pedido

constituye la matriz de demanda externa, D:

2

3

4

V 5 y

50

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2.2. MÈTODO DE LEONTIEF 

í a \

c t 

producción necesaria de antenas, crucetas, tornillos y barras. Despejando  X  obtenemos lasolución:

/ 2 \9

25

Es decir hay que fabricar 2 antenas, 9 crucetas, 25 tornillos y 29 barras.

Ejercicio 106 Una percha (p) está compuesta de una barra grande (g), una base (b) % cuatro

barras chicas (ch). -a base se une a la barra grande con cuatro tornillos (t). -as barras chicas se

unen a la grande con 2 tornillos cada una. ¿Cuántas perchas, bases, etc. deben fabricarse para

atender un pedido de 5 perchas, 3 bases % dos barras chicas?.

Solución

La tabla siguiente resume la información del enunciado:

P g b ch t

p 0 0 0 0 0

g 1 0 0 0 0

b 1 0 0 0 0

ch 4 0 0 0 0

t 0 0 4 2 0

De forma análoga al problema anterior obtenemos las matrices de demanda interna y externa

X = (I - A) _1D

5

5

8

Eshay que fabricar 5 perchas, 76

tornillos.

22

V76 7barras grandes, 8 bases, 22 barras chicas y

  = representa la

X = (I - A) _1D

Por

51

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CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.2.1. Condición de Hawkins-Simon

Observemos que en el Modelo de Leontief las soluciones deben ser nonegativas (ya que no tienen sentido producciones negativas). La condición de Hawkins-

Simon nos permitirá saber si una matriz tecnológica da lugar a un vector de producción

que satisfaga las demandas requeridas.

Sea A £ Mmxn una matriz cuyos elementos son no negativos y sea r £ R. La condición

necesaria y suficiente para que el sistema (r 7 — A)X = C tenga solución no negativa, para

cada matriz C £ Mn x i con elementos no negativos, es que todos los menores principales

de (rl — A) sean positivos.

Los menores principales de una matriz A = {a.¿ j} son

&i = an , A2

an ai2

«21 022A3

«ii ai 2 ai3 «21 a22

a23 «3i ^32 a33 etc.

Ejercicio 107 Averiguar si el sistema (3/ — A)X = C tiene solución no negativa para

1 1 0

| Solucióna) Sea la matriz

2 1 0

37- A  0 2 0

1 0 1

Sus menores principales son:

Ai = 2, A2 4, A3 = |3/ - A| 4

Al ser todos positivos, el sistema (3/ — A)X = C tiene siempre solución no negativa.

b) Sea la matriz

2 -1 -1

37 — A  -2 0 0 0 0 2

Sus menores principales son:

Ai = 2, A2 2

2 0-2, A3 = |37 - A| = -4

No se cumple la condición de Hawkins-Simon y por tanto existe C tal que el sistema (37 — A)X =

C no tiene solución no negativa.

Ejercicio 108 Supongamos que la matriz tecnológica de una economía es:

 A ' 3 2 6 1I I I4 4 8

 J_  I  I /12 3 6 /

 Averiguar si el modelo de —eontief tiene solución sea cual sea la demanda externa

ISolución   Tomemos la matriz de Leontief:

I - A

23I4 J_ 

I2

1 1

1

2 3 0

a) A : b) A01 0

 

52

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2.2. MÉTODO DE LEONTIEF 

6 \8 6 /

Sus menores principales son:

2

I 34 4

1 3' &38 ' 3

II - A|49 192

Por ser todos positivos, el modelo de Leontief tiene solución sea cual sea la demanda externa.

Ejercicio 109 Supongamos que la matriz tecnológica de una economía es:

A

0.1 0 0.1 0.3 0.6 0

0.4 0 0.2

a) Averiguar si el modelo de -eontie tiene solución sea cual sea la demanda externa.

b)Hallar la solución para una demanda externa de 200, 200, J00.

ISolución  a) El modelo de Leontief puede escribirse en la forma (I — A)X = e donde A es la matriz de

demanda interna y e la de la externa. Los menores principales de la matriz

0. 9 0 —0. 1A = I —0. 3 0.4 0 0. 4

0. 8

son:

&1 = 0.9' A2 0.9 0 -0. 3 0. 40. 36' A3 = |I — A| =0.272

Al ser todos positivos, existe solución del modelo de Leontief, sea cual sea la demanda externa.

200

b) Para e = I 200 I el modelo de Leontief queda: \ 400 )

0. 9x — 0.1z = 200 —0.

3x + 0.4 y  = 200 —0.4x

+ 0. 8z = 400

Su solución es

 x = 294.117 65, z = 647. 058 82, y  = 720. 588 24

Es decir el primer sector deberá producir, aproximadamente, 294 unidades, el segundo 720, y el

tercero 647.

0

53

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54 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Capítulo 3

Espacios vectoriales

L+J Un espacio vectorial es un conjunto V dotado de dos operaciones: una

operación interna, + , con la que (V, +) es un grupo conmutativo, y una operación

externa, • , que relaciona los elementos de V con números reales, con las

propiedades:

a • (u + v) = a • u + a • v ; (a + b) • u = a • u + b • u

(ab) • u = a • (b • u) ; 1 • u = u

donde a, b £ R, y u, v £ V.

Los elementos de V se denominan vectores.

Ejemplos de espacios vectoriales son: Rn formado por los elementos (ai,

a2, ...an); Mrnxn formado por las matrices de m filas y n columnas; Pn(x) formado por

los polinomios de grado < n.

(_j_í  Un vector v  £ V  es combinación lineal de { u \ , U 2 , ■■■un} si se

expresa en la forma:

v = aiui + a2u2 + ... + anun, donde a¿ £ R

Una familia de vectores se denomina sistema de generadores de V si cada

vector de V es combinación lineal de esos vectores.

Una familia de vectores es linealmente dependiente si alguno de ellos se

puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario esta

familia de vectores se dice que es linealmente independiente.

Una familia de vectores {ui ,u2 , ...un} es linealmente independiente si de

la igualdad

aiui + a2u2 + ... + anun = O, donde a¿ £ R

se deduce que cada a¿ es nulo.

De la igualdad aiui + a2u2 +... + anun = O, se obtiene un sistema homogéneo.

Si el rango de la matriz de los coeficientes de este sistema coincide con el

55

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número n de vectores, la familia es linealmente independiente.

La independencia lineal de una familia de vectores de Rn se averigua tomando

la matriz cuyas filas (o cuyas columnas) son dichos vectores. Si su rango coincide

con el número de vectores entonces esta familia es linealmente independiente.

Ejercicio 110 Dados los vectores

u = (1, 0,0,-1) ,v = (0,-1, 0,1),w = (1,1, 0,0)

a) Averiguar si son linealmente independientes.

b) Averiguar si el vector (—1,1,1,0) es combinación lineal de u, v, w.

Solución

a)El rango de la matriz:

1 0

0 —1 0

— 1 0

1

1 1 0 0

es 3, por tanto, u,v,y w, son linealmente independientes.

b)El rango de la matriz:

/ 1 0 0 —1

0 —1 0 1

1 1 0 0

V —1 1 1 0

es 4. Por tanto el vector (—1,1,1,0) no es combinación lineal de u,v, w.

Ejercicio 111 Estudiar la dependencia lineal, según los valores de a, de los vectores

(1,1,0, —1), (—1,2,1,0), (2,1,0,0), (—2,0,a, 1)

| Solución

 Tomemos la matriz:

/ 1 1 0 — 1 \

—1 2 1 0

2 1 0 0

—2 0 a 1

Su determinante es 3 — 5a. Por tanto si a = | los vectores dados son linealmente

dependientes.  También puede hacerse aplicando la orden Matrices/ Fraction-Free Gaussian

Elimination a la matriz. Obtenemos:

56

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/ 1 1 0 —1 \

0 3 1 —1

0 0 1 5

\ 0 0 0 3 — 5 a /

Por tanto, la dependencia lineal se tiene para a = |.

Ejercicio 112 Hallar el valor de a& para que sean linealmente dependientes los vectores

(1, —3, —1,a), (1,2, —1,0), (—2,1, 2,3)

ISolución  Aplicamos la orden Matrices/ Fraction-Free Gaussian Elimination a la ma-

triz:

1

 

1

-2

y obtenemos:

-1 a

0 -a

0

15+

5a

Por tanto la dependencia lineal se tiene para a =

Ejercicio 113 Hallar a % b para que la familia

{ ( J O- ( 2 ¡ ) ■ (0

0 ) }

forme un sistema linealmente dependiente.

Solución

Expresando las matrices de Mm   xn  como vectores de Mm  x  n, por tanto podemos

considerar la matriz1 2 0 1

a

1

2

3

0 1

b 0

 Tomamos el menor2 0 1

5b 2

57

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Por tanto si  b =

-Sustituimos b

■|, la familia es linealmente independiente. = — | en la matriz

y se obtiene:

0 1

01

2 3

10

 Tomamos el menor

0 1

12 41— a5 5

Por tanto para a = 3 y b la familia es linealmente dependiente.

3.1. Base de un espacio vectorial

L-f -í Se llama base de un espacio vectorial V , a una familia de vectores que

es sistema de generadores y linealmente independiente. El número de elementos

de la base se denomina dimensión, dim(V ), del espacio vectorial.

Dada una base {ui , 1*2, . . .u n} de  V , cualquier vector  v  se puede expresar

como combinación lineal de ella en la forma:

 v = a iM i + a2u2 + ... + a nun, donde a¿ G M

f^J Los números (ai , a2,an) se denominan coordenadas de  v  en la base {ui,

12, ...un}.

Sean B = {u i,u 2, . . .un} y B' = {ui,u2, ...un} dos bases de  V . Sea u G  V  .Se

denominan Mg [u ] y Mgi [u ] a las coordenadas de u respecto de las bases B y B' .

Se verifica que

MB [u] = PMB- [u]

donde P es la matriz de paso de la base B a la base B' cuya i-ésima columna son

las coordenadas de ui respecto de B.

Ejercicio 114 Comprobar que los vectores (1, 3,4) , (—1, 2,0) , (5, 7, — 1), son base de

M 3 , % hallar la coordenadas "el vector (7, 5, 3) respecto "e dicha base.

| Solución

Esos vectores forman base pues el rango de la matriz:

1 —1 5

32 7

40 —1

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.1. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL 57

59

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es 3. Las coordenadas (x,y,z) del vector (7, 5, 3) cumplen:

x (1,3,4) + y (-1,2,0) + z (5, 7,-1) =

(7, 5, 3) Pueden hallarse resolviendo, con la orden

Solve/ Exact, el sistema:

x — y + 5z = 7

3x + 2y + 7z = 5

4x — z = 3

La solución es x = , y = — -yg-, z = yg . Notemos que:

70 (1, 3,4) — ^ (—1,2,0) +

I(5, 7, —1) = (7, 5,3)

Ejercicio 115 Averiguar si es una base de

P3(x) la familia {(2 —

x)g, (x — 1)3, (x

+1)2,x3,x2}

| Solución

En primer lugar desarrollamos los polinomios: (2 —

x)3 = —x3 + 6x2 — 12x + 8 (x — 1)3 = x3 — 3x2 + 3x

— 1 (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 La familia es sistema

de generadores si siempre hay solución de:

ai(—x3 + 6x2 — 12x + 8) + a2(x3 — 3x2 + 3x — 1) +

a3(x2 + 2x +1) +a4(x3) + a1(x

2) = a + bx + cx2 + dx3