Matemáticas Financieras

7/17/2019 Matemáticas Financieras

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1. FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO.

COLOMBIA:

FÓRMULA GENERAL DEL INTERÉS SIMPLE:

VF =VA(1+n∗i)

Valor ac!al

El "alor ac!al de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a

un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida.

Derivamos él VA de la fórmula general:

VA= VF

(1+n∗i)

Siendo ésta la fórmula para el valor actual a interés simple, sirve no sólo para

períodos de ao, sino para cualquier fracción del ao.

!l descuento es la inversa de la capitali"ación. #on ésta fórmula calculamos el

capital equivalente en un momento anterior de importe futuro.

Ora# $%r&!la# '(r)"a'a# '( la $%r&!la *(+(ral:

Si llamamos I a los intereses percibidos en el período considerado, convendremos:

I =VF −VA

$a diferencia entre V% & VA es el interés 'I( generado por Valor Actual.

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos54/interes-compuesto/interes-compuesto.shtml

http://www.monografias.com/trabajos6/esfu/esfu.shtml#tabla

http://www.monografias.com/trabajos54/interes-compuesto/interes-compuesto.shtml

http://www.monografias.com/trabajos6/esfu/esfu.shtml#tabla




) también, dada la fórmula general, obtenemos la fórmula del importe de los

intereses:

I =VA (1+n∗i)−VA=VA+V A∗n∗i–VA

I =VA∗n∗i

I * 'principal(+'tasa de interés(+'nmero de períodos(

,I+"(r#)o+(#- I = monto total -o& inversión original

,Pr#a&o#- I = saldo de deuda préstamo inicial

Sí sumamos el interés / al principal Valor Actual, el monto Valor %inal o valor futuro

será.

VF =VA+ I

o

VF =VA(1+i∗n)

Despe0ando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés & el pla"o:

i= I VA∗n

i=

VF

VA−1

n

http://www.monografias.com/trabajos12/cntbtres/cntbtres.shtml






n= I

VA∗i

n=

VF

VA−1

i

1omenclatura:

I * /nterés e2presado en valores monetarios

VA * Valor actual, e2presado en unidades monetarias

VF * Valor futuro, e2presado en unidades monetarias+ * 3eriodo de capitali"ación, unidad de tiempo, aos, meses, diario, entre otros.

) * 4asa de interés, porcenta0e anual, mensual, diario, llamado también tasa de

interés real.

FÓRMULA GENERAL DEL INTERÉS COMPUESTO:

CF =CI (1+i)n

De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se obtiene el capital inicial,

conocidos el capital final, el interés & el nmero de períodos:

CI = CF

(1+ i)n

!l nmero de períodos puede calcularse, conocidos el capital inicial & final & el

interés, despe0ando n en la ltima fórmula, obteniéndose:





n=logCI −logCI

log(1+i)

!l interés puede calcularse, conocidos los capitales inicial & final & el nmero de

períodos, despe0ándolo de esa misma fórmula:

r=( CF

CI )1

n−1=n√ CF

CI −1

,

1omenclatura:

CF* #apital final

CI* #apital inicial

I* 4asas de interés

N*3la"o o nmero de periodos.

ESTADOS UNIDOS:

INTERÉS SIMPLE:

!s un tipo de interés casi e2tinto, es decir nadie &a lo usa. Se calcula en base a un

principal constante en el tiempo, es decir no importa cuánto tiempo pase, el monto

del principal no crecerá, ni decrecerá será siempre el mismo la formula a aplicar

es:S=C ×(1+i)

S/ Valor futuro.C/ Valor actual o principal.I/ 4asa de interés en términos anuales.

INTERÉS COMPUESTO:

5bedece al mismo principio, pero con la diferencia de que se capitali"an los

intereses ganados, es decir que los interés que se van ganando conforme pasa el

tiempo se van aumentando el principal & por consiguiente los nuevos intereses

calculados en base del nuevo principal será ma&ores que los obtenido en los

periodos anteriores.



S=C (1+i)t

S/ Valor futuro.C/ Valor actual.I/ 4asa de interés e2presada en 4asa !fectiva.T/ 1mero de periodos.

$a tasa de interés & el nmero de periodos deben estar en la misma unidad de

tiempo. !sta debe ser efectiva.

0. SISTEMA DE AMORTIACIÓN PARA CANCELACIÓN DE OBLIGACIONES

FINANCIERAS

!l sistema de amorti"ación es la forma de cancelar una deuda inclu&endo sus

intereses, mediante un con0unto de pagos o cuotas, sean periódicas o no, en un

pla"o determinado. Se debe pactar unas condiciones mínimas que determinan lo

que debe comprometerse el deudor, estos son: !l valor de la cuota, su pla"o

vigente de la obligación, costo financiero '4asa de interés que se cobra en la

operación financiera( & el patrón de pago del crédito.

COLOMBIA:Son las diferentes alternativas que ofrecen las entidades financieras a la -ora de

adquirir un crédito:

%igura 6. 4abla de amorti"ación

2/ 3eríodoA3/ 3ago mensualI3/ /nterésV3/ Amorti"ación o cuota de capital



Saldo de capital

A&or)4ac)%+ &(')a+( a5o+o co+#a+( a ca6)al:Se estipula el pago de la deuda o préstamo en cuotas iguales de amorti"ación.

!sta amorti"ación se consigue como el valor del préstamo sobre el nmero de

períodos acordados para el pago. !stas pueden ser vencidas o anticipadas. For&!la:

V k =V p

n

A&or)4ac)%+ co+ c!oa# !+)$or&(#:Se estipula el pago de la deuda o préstamo en cuotas iguales A.

For&!la:

A=V p[ i

1−(1+i)−n ]A&or)4ac)%+ co+ c!oa# !+)$or&(# 7 c!oa# (8ra# 6aca'a#:!l deudor & acreedor pactan el pago de la deuda o préstamo a través de pagos

uniformes & e2traordinarios.

A&or)4ac)%+ co+ c!oa# !+)$or&(# 7 c!oa# (8ra 6!+!al(#6aca'a#:!l deudor se compromete al pago de cuotas uniformes periódicas & de una

o varias cuotas e2traordinarias en diferentes períodos durante el tiempo de

amorti"ación.

F)*!ra 1. A&or)4ac)%+ co+ 6a*o# !+)$or&(# 7 c!oa# (8ra ')#cr(a# 6aca'a#



V p= V f

(1+i)n=V f ×(1+ i)

−n

V p= AV f

(1+i)n=V f ×(1+ i)

−n

V p= A [ 1−(1+i)−n

i ]+ A3

(1+i)3+…+

An−1

(1+ i)n−1+….

Se despe0a A que es la incógnita. !l interés de cada período se calcula

sobre los saldos de capital & se considera el interés efectivo del período.

A&or)4ac)%+ co+ c!oa# !+)$or&(# 7 c!oa# (8ra 6(r)%')ca#

6aca'a#:!l deudor se compromete al pago de cuotas uniformes periódicas & de una

o varias cuotas e2traordinarias en diferentes períodos durante el tiempo de

amorti"ación.

F)*!ra 0. A&or)4ac)%+ co+ 6a*o# !+)$or&(# 7 c!oa# (8ra 6(r)%')ca# 6aca'a#

V p= A [ 1−(1+i)−n

i ]

V p= A [ 1−(1+i)−n

i ]+ A ' [ 1−(1+i1)−n1

i1 ]Se tiene en cuenta la periodicidad de la cuota e2traordinaria que no es

precisamente igual a la cuota ordinaria.



A&or)4ac)%+ co+ c!oa# !+)$or&(# 7 c!oa# (8ra# +o 6aca'a#:!l deudor & acreedor pactan la cancelación de la deuda o préstamo a través de

pagos uniformes con la posibilidad de reali"ar pagos e2traordinarios. Si se reali"a

el pago e2tra se pueden presentar lo siguiente:A$(ca+'o (l "alor '( la# c!oa# !+)$or&(#:• Se consideran las cuotas uniformes:

A=V p[ i

1−(1+i)−n ]• #uando se realice el pago e2tra, se recalcula el valor de las

cuotas uniformes para el nmero de períodos faltantes.

A$(ca+'o (l +9&(ro '( c!oa# !+)$or&(#:• Se consideran las cuotas uniformes:

A=V p[ i

1−(1+i)−n ]• Se reali"a el pago e2tra & con el saldo de capital, la misma cuota

uniforme & tasa efectiva de interés se calcula el nmero de períodos

despe0ando n:

n=log A−log( A−i V p )

log(1+i)

A&or)4ac)%+ co+ 6(ro'o# '( *rac)a:

Se pacta con un período de gracia para iniciar el pago de la deuda o préstamo, es

decir pasara cierto tiempo antes de que se inicien las cuotas.

P(ro'o# '( *rac)a &!(ro#:

Durante el período de gracia los intereses son causados & acumulados a la

deuda, con lo cual se incrementa. Se debe estipular también el sistema de



amorti"ación sea por cuotas constantes de capital, cuotas uniformes, cuotas

crecientes aritméticamente o geométricamente, entre otras.

3ara calcular la deuda acumulada en el período de gracia se utili"a:

V f =V p (1+i)n

Después del período se inician los pagos & se calcula la cuota utili"ando

como valor inicial el saldo de capital acumulado, la tasa de interés & el

nmero de cuotas:

A=V p[ i

1−(1+i)−n ]

F)*!ra ;. E<(&6lo '( 6(ro'o# '( *rac)a &!(ro#

P(ro'o# '( *rac)a co+ c!oa# r('!c)'a#:$os préstamos se reali"an con la condición de que durante un período de

gracia no se reali"an pagos de capital, es decir, el deudor solo paga los

intereses causados, sin -acer abonos al capital, el cual permanece

constante durante ese período. $uego de esto se pacta algn sistema de

amorti"ación.



Se considera como valor inicial el capital inicial, la tasa de interés & el

nmero de cuotas:

A=V p

[ i

1−(1+i)−n

]F)*!ra =. E<(&6lo '( 6(ro'o# '( *rac)a co+ c!oa# r('!c)'a#

A&or)4ac)%+ &(')a+( *ra')(+(:$os pagos se pactan con amorti"ación a través de pagos crecientes o

decrecientes, aritmética o geométricamente. Se debe definir el primer pago & los

siguientes pagos con la le& de formación que -ace que los pagos no sean iguales.

Gra')(+( *(o&r)co• G/ !2presión porcentual.

V P= A1

(G−i) [ (1+G)n

(1+i)n −1]; s i G≠ i

V P= A1× n

(1+i ) ; siG=i



Ak = A1(1+G)k −1

Gra')(+( ar)&)co• L/ #onstante numérica.

V P= A1[ 1−(1+i)−n

i ]+ L

i [ 1−(1+ i)−n

i −

n

(1+i)n ]

A k = A1+(k −1)× L

A&or)4ac)%+ &(')a+( *ra')(+( (#calo+a'o:Son pagos escalonados crecientes o decrecientes, aritmética o geométricamente

que combinan cuotas constantes con cuotas crecientes o decrecientes. Se

conserva la cuota durante un tiempo determinado constante, al final crece o

decrece dependiendo lo pactado repitiéndose esto durante varios períodos.

F)*!ra >. Gra')(+( (#calo+a'o cr(c)(+(

1. Se -a&an valores finales de cada anualidad.0. #on los valores finales se calcula el gradiente.

$a primera cuota será el valor futuro de la anualidad del primer período, con el

cual se podrá determinar el valor de la cuota constante para ese período.

i2=(1+i1)n1

n2−1



V f = A [ (1+i)n−1

i ]A&or)4ac)%+ (+ "alor co+#a+(:

A las cuotas & saldos de capital es necesario a0ustarlos al índice de correcciónmonetaria '3orcenta0e(. !ste tiene más apro2imación en el corto pla"o.

V p= A [ 1−(1+i)−n

i ]#orrección de pagos:

Cuotai− A i= Ak (1+Correcciónmonetaria)

$uego se reali"a una corrección de saldos, a0ustando el valor del préstamo con la

corrección monetaria.

ESTADOS UNIDOS:

!ste sistema de amorti"ación americano se basa en un pago periódico de

intereses, devolviéndose el capital en una sola cuota al final de la vida de la deuda

o préstamo.

• C!oa oal: Solo paga intereses a diferencia del ltimo período donde

cancela la totalidad de capital.• I+(r(#(#: Se calcula sobre saldos.• C!oa '( a&or)4ac)%+ '( ca6)al: nica al vencimiento.

7ipotecas que por lo general se estipulan a uno o dos aos donde e2isten tanto

cláusulas de renovación automática como de cancelaciones parciales.

!ste beneficia a quienes requieran abonar cuotas ba0as durante un período de

tiempo & puedan efectuar la cancelación de capital al vencimiento del pla"o

pactado.

• /nterés del período se calcula sobre lo tomado en préstamo:



I =i × V

V/ 8onto tomado en préstamo)/4asa periódica

• #uota total:C =i ×V = I

9ltimo periodo:

C =i ×V +V

• #uota de a-orro %ondo amorti"ante o sistema de las dos tasas;: #uota

periódica que permita construir un capital para cancelar el principal al

vencimiento:

Deudor paga tasa activa a entidad financiera por el capital de la

deuda o préstamo Distingue una tasa activa por el fondo de a-orro voluntario.

C aorro= V

(1+i ' )n−1

i '

V / #apital a cancelar

+ / #antidad de cuotas a depositar

)? / 4asa de interés pasiva periódica

• 3ago periódico total: $as dos cuotas, la de interés & la de a-orro voluntario.

C t =V i+C aorro

C / #uota 4otal



;. SISTEMA DE CAPITALIACIÓN DE INVERSIONES FINANCIERAS@ CON

CUOTAS FIAS Y CUOTAS ETRAORDINARIAS. FÓRMULAS APLICADAS.

!l sistema de capitali"ación de inversiones financieras se divide en dos grupos, la

capitali"ación compuesta & la capitali"ación simple.

CAPITALIACIÓN COMPUESTA

5peración financiera cu&o ob0eto es la sustitución de un capital por otro

equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicación de la le& financiera

de capitali"ación compuesta.

D(#cr)6c)%+ '( la o6(rac)%+

!l capital final 'montante( '#n( se va formando por la acumulación al capital inicial

'#<( de los intereses que periódicamente se van generando & que, en este caso,

se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación 'n(,

pudiéndose disponer de ellos al final 0unto con el capital inicialmente invertido.

Carac(r#)ca# '( la o6(rac)%+

$os intereses son productivos, lo que significa que:

• A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir

nuevos intereses en los períodos siguientes.

• $os intereses de cualquier período siempre los genera el capital e2istente al

inicio de dic-o período.

=ráficamente para una operación de tres períodos:



D(#arrollo '( la o6(rac)%+

!l capital al final de cada período es el resultado de aadir al capital e2istente al

inicio del mismo los intereses generados durante dic-o período. De esta forma, la

evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

8omento 5:

#<

8omento 6:

C 1=C 0+ I 1=C 0+C 0∗i=C 0∗(1+i)

8omento >:



C 2=C 1+ I 2=C 1+C 1∗i=C 1∗(1+i )=C 0∗(1+i )∗(1+i )=C 0∗(1+i )2

8omento ?:

C 3=C 2+ I 3=C 2+C 2∗i=C 2∗(1+i )=C 0∗(1+i )2∗(1+i )=C 0∗(1+i )3

8omento n:

C n=C 0∗(1+i )n

!2presión que permite calcular el capital final o montante '#n( en régimen decompuesta, conocidos el capital inicial '#<(, el tipo de interés 'i( & la duración 'n(

de la operación.

!2presión aplicable cuando el tipo de interés de la operación no varía. !n caso

contrario -abrá que traba0ar con el tipo vigente en cada período.

A partir de la e2presión anterior 'denominada fórmula fundamental de la

capitali"ación compuesta( además de calcular montantes, podremos, conocidos

tres datos cualesquiera, despe0ar el cuarto restante.



Clc!lo '(l ca6)al )+)c)al

3artiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante & conocidos éste, la

duración de la operación & el tanto de interés, bastará con despe0ar de la misma:

Cn=C 0∗(1+i)n

de donde se despe0a #<:

C 0= cn

(1+i)n

Clc!lo '( lo# )+(r(#(# oal(#

#onocidos los capitales inicial & final, se obtendrá por diferencia entre ambos:

ln ¿C n−C 0



Clc!lo '(l )6o '( )+(r#

Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final &

duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitali"ación

compuesta & despe0ar la variable desconocida.

Cn=C 0∗(1+i)n

$os pasos a seguir son los siguientes:

cn

co

=(1+i)n

n

√C nC

o

=n

√ (1+i)n

n

√C nC o=(1+i )

i=n

√C

nC o−

1



Clc!lo '( la '!rac)%+

#onocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final &

tipo de interés, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitali"ación

compuesta & despe0ar la variable desconocida.

• 3unto de partida:

Cn=C 0∗(1+i)n

• 3asar el #< al primer miembro:

cn

co

=(1+i)n

• !2traemos logaritmos a ambos miembros:

logcn

co

=log(1+i)n

• Aplicamos propiedades de los logaritmos:

logC n−logC 0=n∗log(1+i) !espe"ar #a$uración :

n= logC n−logC 0

log(1+i)

CAPITALIACIÓN SIMPLE

5peración financiera cu&o ob0eto es la sustitución de un capital presente por otro

equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la le& financiera

en régimen de simple.

Descripción de la operación



3artiendo de un capital '#<( del que se dispone inicialmente capital inicial, se

trata de determinar la cuantía final '#n( que se recuperará en el futuro sabiendo las

condiciones en las que la operación se contrata 'tiempo n & tipo de interés i(.

!ste capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial

de los intereses que genera la operación periódicamente & que, al no disponerse

de ellos -asta el final de la operación, se aaden finalmente al capital inicial.

#aracterísticas de la operación

$os intereses no son productivos, lo que significa que:

• A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir

nuevos intereses en el futuro &, por tanto

•

• $os intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, al

tanto de interés vigente en dic-o período.

=ráficamente para una operación de tres períodos:



Desarrollo de la operación

!l capital al final de cada período es el resultado de aadir al capital e2istente al

inicio del mismo los intereses generados durante dic-o período. De esta forma, laevolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

8omento <:

#<

8omento 6:

C 1=C 0+ I 1=C 0+C 0∗i=C 0∗(1+i)

8omento >:

C 2=C

0+ I

1+ I

2=C

0+C

0∗i+C

0∗i=C

0∗(1+2 i)



8omento ?:

C 3=C 0+ I 1+ I 2+ I 3=C 0+C 0∗i+C 0∗i+C 0i=¿C 0∗(1+3 i )

8omento n:

C n=C 0∗(1+¿ )

!2presión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene

constante todos los períodos.

A partir de la e2presión anterior 'denominada fórmula fundamental de la

capitali"ación simple( no solamente se pueden calcular montantes sino que,

conocidos tres datos cualesquiera, se podría despe0ar el cuarto restante.

%inalmente, -a& que tener en cuenta que @n lo que indica es el nmero de veces

que se -an generado '& acumulado( intereses al capital inicial, por tanto, esa

variable siempre -a de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés

'no importando cuál sea(.

#álculo del capital inicial



3artiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante & conocidos éste, la

duración de la operación & el tanto de interés, bastará con despe0ar de la misma:

Cn=C 0∗(1+¿ )

Despe0ando #< resulta:

C 0= cn

(1+¿ )

#álculo de los intereses totales

Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el

capital inicial & sumarlos.

/ntereses totales *

¿C 0∗¿ I 1+C 0∗ I 2+…+C 0∗ I n

I 1+ I 2+…+ ln ¿

C 0∗( I 1+ I 2+…+ ln)



Si i6 * i> * ... * in * i se cumple:

/ntereses totales

¿C 0∗¿ i+C 0∗i+…+C 0∗i I 1+ I 2+…+ln ¿

C 0∗i∗n

#onocidos los capitales inicial & final, se obtendrá por diferencias entre ambos:

ln ¿C n−C 0

#álculo del tipo de interés

Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final &duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitali"ación simple

& despe0ar la variable desconocida.



Cn=C 0∗(1+¿ )

$os pasos a seguir son los siguientes:

3asar el #< al primer miembro:

cn

co= (1+¿ )

3asar el 6 al primer miembro 'restar 6 en los dos miembros(:

cn

co

−1=(¿ )

Despe0ar el tipo de interés, dividiendo por n la e2presión anterior:

i=

cn

co

−1

n



#álculo de la duración

#onocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final &

tipo de interés, partiendo de la fórmula general de la capitali"ación simple &

despe0ando la variable desconocida.

3unto de partida:

Cn=C 0∗(1+¿ )

3asar el #< al primer miembro 'dividir por #< la ecuación anterior(

cn

co

= (1+¿ )

3asar el 6 al primer miembro 'restar 6 a los dos miembros(:

cn

co

−1=(¿ )



Despe0ar la duración n, dividiendo por i:

n=

cn

co

−1

i

Matemáticas Financieras

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