MATEMÁTICAS II Examen del 09/06/2011

Solución

Importante Las calificaciones se harán públicas en el aula virtual de la asignatura y en el tablón de anuncios del Dpto. de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión, Módulo D, 3ª planta el 17/06/2011. La revisión será el 21/06/2011 y el 22/06/2011 de 12:00-13:00 horas en el aula D-4-1.

MATEMÁTICAS II 09/06/2011 Tipo A Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de Las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales

1. La matriz 10 1 21 1 0

a bA

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

tiene inversa para:

a) 2 2.a b− ≠ b) 2 2.a b− ≠ − c) 1, 0.a b= − =

2. Si n nA ×∈Μ es ortogonal ( 1 tA A− = ), entonces:

a) A podría ser cualquier valor diferente de cero.

b) 0.A = c) 1.A = ±

3. Sean ( ) ( ) ( ){ }1,2, 1,2 , 0,3, 3,2 , 3,3,0,0S = − − y

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2, 1,2 , 0,3, 3,2 , 3,3,0,0 , 4,2,2,0 .T = − − Entonces:

a) S es un sistema de vectores linealmente independientes y T es un sistema de vectores linealmente dependientes.

b) Ambos, S y T son sistemas de vectores linealmente independientes.

c) S es un sistema de vectores linealmente dependientes y por tanto T también lo es.

4. El conjunto de soluciones del sistema

2 22

0

x y zx y zy z

− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − =⎩

es:

a) ( ){ }2, , , .z z z∈

b) ( ){ }1,0,0 . c) Este sistema no tiene solución.

5. La solución del sistema 22 1

0

xx y

x y z

λ=⎧⎪ − =⎨⎪ + − =⎩

es

positiva para: a) 2 1.λ− < < b) 0 1.λ< < c) 1.λ >

6. Si n nA ×∈Μ es invertible e idempotente

( )2 ,A A= entonces el sistema ( )2 0A A x+ = es:

a) Compatible determinado. b) Incompatible. c) Compatible indeterminado.

7. Si 1 1λ = y 2 2λ = son valores propios de la

matriz 0 1 1

21 1 2

A a b−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

entonces:

a) 1, 1.a b= = − b) .a b= c) No existen valores de ,a b tales que 1 1λ = es valor propio de .A

8. Si el polinomio característico de la matriz A es 3 2( ) 6 9 4,Ap λ λ λ λ= − + − + entonces 1A− es:

a) A no es invertible.

b) ( )23

1 6 9 .4

A A I− −

c) ( )23

1 6 9 .4

A A I− +

9. Una matriz de paso ortogonal de una matriz simétrica ( )3 3xA M∈ puede ser:

a)

1 0 01 20 .3 3

2 103 3

P

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

b)

1 1 23 2 3

1 0 0 .3

1 1 23 2 3

P

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

c)

1 0 01 20 .5 5

2 105 5

P

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

10. Si n nA × es una matriz simétrica y el sistema

Ax b= es compatible indeterminado, entonces la forma cuadrática ( ) 2tQ x x A x= es:

a) Definida positiva. b) Semidefinida positiva. c) Indefinida.

11. La forma cuadrática ( ) 2 2 2

1 2 3 1 1 3 2 3, , 4 4 5Q x x x x x x x x= − + + restringida a

2 3 0x x− = es: a) Definida positiva. b) Definida negativa. c) Indefinida.

12. Si ( ) ( )* *, 0, 1x y = − es un punto crítico del

problema: ( ) 2

2 2

. 12 1

Opt x yx xy y

⎧ +⎨

+ − = −⎩

entonces su clasificación depende de una forma cuadrática ( )1 2,Q h h restringida a:

a) 1 22 0.h h− + = b) 1 22 0.h h+ = c) 1 22 0.h h− =

13. Dado el PPL:

1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 2. :

3 4 123 5 25

8 , 0

x xs a

x xx x

xx x

+

+ ≥− + ≤

≤≥

, se tiene que:

a) No tiene solución. Es no acotado. b) No tiene solución. Es no factible. c) La solución óptima es * *

1 2( , ) (0,5).x x =

14. La solución óptima dual del PPL:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 8 12 10. :

2 3 33 2

4 5, , 0

x x xs ax x xx x x

x x xx x x

+ +

+ + ≥

+ + ≥

+ + ≥

≥

,

es * * *1 2 3( , , ) (0,2,2).y y y = Entonces, el valor óptimo

del problema: 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 8 12 10. :

2 3 33 5

4 5, , 0

x x xs ax x xx x x

x x xx x x

+ +

+ + ≥

+ + ≥

+ + ≥

≥

, es:

a) 14. b) 20. c) 18.

15. Si * *1 2( , ) (6,3)x x = e * * *

1 2 38 19( , , ) ( ,0, )7 7

y y y =

son las soluciones óptimas primal y dual, respectivamente, del PPL:

1 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max 2. :

2 3 310

2 12 , 0

c x xs ax x

x xx xx x

+

− ≤+ ≤+ ≤

≥

, entonces:

a) 1 2.c = b) 1 5.c = c) 1 3.c =

MATEMÁTICAS II 09/ 06 / 2011 Tipo B

Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de Las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales 1. Si n nA ×∈Μ es idempotente ( 2A A= ), entonces:

a) A podría ser cualquier valor diferente de cero.

b) 1A = o 0.A =

c) 1.A = −

2. Sean ( ) ( ) ( ){ }1,2, 1,2 , 0,3,1,2 , 2, 2, 4,0S = − − − y

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2, 1,2 , 0,3,1,2 , 2, 2, 4,0 , 2,2,1,3 .T = − − − −

Entonces: a) S es un sistema de vectores linealmente

independientes y T es un sistema de vectores linealmente dependientes.

b) Ambos, S y T son sistemas de vectores linealmente independientes.

c) S es un sistema de vectores linealmente dependientes y por tanto T también lo es.

3. La matriz 1 10 0 11 1

bA

a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

tiene inversa:

a) Solamente para a y b tales que 2 2.a b− ≠ −

b) Para cualquier valor de a y .b c) No existen valores de a y b para los que

A tiene inversa.

4. La solución del sistema 2 12

0

xx y

x y zλ

=⎧⎪ − =⎨⎪ + − =⎩

es

positiva para:

a) 1.λ <

b) 3 .2

λ <

c) c) 31 .2

λ< <

5. Si n nA ×∈Μ no es invertible, entonces el

sistema ( ) 0A A I x+ = es: a) Compatible determinado. b) Incompatible. c) Compatible indeterminado.

6. El conjunto de soluciones del sistema

2 42

0

x y zx y zy z

− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − =⎩

es:

a) ( ){ }2, , , .z z z∈

b) ( ){ }2,0,0 . c) Este sistema no tiene solución.

7. Si 1 1λ = y 2 4λ = son valores propios de la

matriz 2 3 3

43 3 4

A a b− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

entonces:

a) No existen valores de ,a b tales que 1 1λ = es valor propio de .A b) .a b= c) .a b= −

8. Si el polinomio característico de la matriz A es ( ) 3 23 4 4,Ap λ λ λ λ= − + − + entonces 1A− es:

a) ( )23

1 3 44

A A I+ +

b) ( )23

1 3 44

A A I− +

c) A no es invertible. 9. La forma cuadrática ( ) 2 2 2

1 2 3 1 1 3 2 3, , 4 4 5Q x x x x x x x x= − + − − restringida a

1 3 0x x− = es: a) Definida positiva. b) Definida negativa. c) Indefinida.

10. Si n nA × es una matriz simétrica y el sistema

Ax b= es compatible determinado, entonces la forma cuadrática ( ) 2tQ x x A x= es:

a) Definida positiva. b) Semidefinida positiva. c) Indefinida.

11. Una matriz de paso ortogonal de una matriz simétrica ( )3 3xA M∈ puede ser:

a)

1 1 13 2 6

1 20 .3 6

1 1 13 2 6

P

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

b)

1 1 12 3 6

1 20 .3 6

1 1 12 3 6

P

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

c)

1 1 12 3 5

1 20 .3 5

1 1 12 3 5

P

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12. Si ( ) ( )* *, 1,0x y = es un punto crítico del

problema: 2

2 2

. 22 2 1

Opt x xyx xy y

⎧ −⎨− + + = −⎩

entonces su clasificación depende de una forma cuadrática ( )1 2,Q h h restringida a:

a) 1 22 0.h h− + = b) 1 2 0.h h+ = c) 1 2 0.h h− + =

13. Dado el PPL: 1 2

1 2

1 2

2

1 2

max 2. :

3 4 123 5 25

8 , 0

x xs a

x xx x

xx x

+

+ ≤− + ≥

≤≥

, se tiene que:

a) No tiene solución. Es no acotado. b) No tiene solución. Es no factible. c) La solución óptima es * *

1 2( , ) (0,5).x x =

14. La solución óptima dual del PPL: 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 8 12 10. :

2 3 33 2

4 5, , 0

x x xs ax x xx x x

x x xx x x

+ +

+ + ≥+ + ≥+ + ≥

≥

,

es * * *1 2 3( , , ) (0,2,2).y y y = Entonces, el valor óptimo

del problema: 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 8 12 10. :

2 3 33 2

4 7, , 0

x x xs ax x xx x x

x x xx x x

+ +

+ + ≥+ + ≥+ + ≥

≥

, es:

a) 14. b) 20. c) 18.

15. Si * *1 2( , ) (6,3)x x = e * * *

1 2 38 19( , , ) ( ,0, )7 7

y y y =

son las soluciones óptimas primal y dual, respectivamente, del PPL:

1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max 5. :

2 3 310

2 12 , 0

x c xs ax x

x xx xx x

+

− ≤+ ≤+ ≤

≥

, entonces:

a) 2 2.c = b) 2 5.c = c) 2 3.c =

Soluciones a los tests junio 2011

A B

1 b b

2 c c

3 a b

4 c a

5 c c

6 a a

7 b c

8 c b

9 c b

10 b a

11 a b

12 a c

13 a b

14 b c

15 b a

MATEMÁTICAS II 09/06/2008 Tipo A Apellidos: ................................................. Nombre: ............................ DNI: ..................................

Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema

Una empresa fabrica dos productos, producto A y producto B. Los costes de fabricación son 1 u.m. por cada unidad de producto A y 2 u.m. por cada unidad de producto B. Una vez fabricados, la empresa los vende a 2 u.m la unidad de producto A y 1 u.m. la unidad de producto B. Se pide: 1. Plantear el problema de minimizar los costes de producción considerando que:

a) El ingreso total debe ser al menos de 6000 u.m. b) La cantidad producida de A tiene que ser menor o igual que la de B.

(3 puntos) 2. Obtener la producción óptima de A y B, y el coste mínimo, para el problema planteado en el apartado 1. (6 puntos) 3. Plantear el problema dual asociado al problema planteado en el apartado 1 y obtener su solución. (6 puntos) 4. Si se exigiese que el ingreso fuese al menos 6000+h u.m., siendo h>0, ¿cuánto valdría el coste mínimo? (2 puntos) 5. Observando la gráfica, ¿para qué valores de h puede asegurar que el coste mínimo es el que ha dado en el apartado anterior? Calcular la producción óptima de A y B en función de h. (3 puntos)

Solución del Problema

1. La formulación del problema es:

1 2

1 2

1 2

1 2

min 2. :

2 6000

, 0

x xs a

x xx x

x x

+

+ ≥≤≥

siendo 1x la cantidad producida de A y 2x la cantidad producida de B. 2. La función objetivo es ( )1 2 1 2, 2f x x x x= + y el vector gradiente es ( ) ( )1 2, 1,2 .f x x∇ = El conjunto factible y un vector en la dirección del gradiente están representados en la figura siguiente.

Los vértices son ( )0,6000A = y ( )2000,2000 ,B = si avanzamos en la dirección opuesta al gradiente,

( ) ( )1 2, 1,2 ,f x x−∇ = − deducimos que el punto donde se alcanza el mínimo es ( )2000,2000 .B = Por tanto la producción óptima es 2000 unidades de cada tipo de producto, A y B, y el coste mínimo es ( )2000,2000 6000f = u.m.

3. El problema primal en forma canónica es:

1 2

1 2

1 2

1 2

min 2. :

2 60000

, 0

x xs a

x xx x

x x

+

+ ≥− + ≥

≥

y su dual es: 1

1 2

1 2

1 2

max 6000. :

2 12

, 0.

ys a

y yy y

y y

− ≤+ ≤

≥

En forma estándar, estos problemas son los siguientes:

1 2

1 2 1

1 2 2

1 2 1 2

min 2. :

2 60000

, , , 0

x xs a

x x hx x hx x h h

+

+ − =− + − =

≥

1

1 2 1

1 2 2

1 2 1 2

max 6000. :

2 12

, , , 0.

ys a

y y ty y ty y t t

− + =+ + =

≥

Para obtener la solución del dual, calculamos primero los valores óptimos de las variables de holgura del primal. Como la solución óptima del primal es ( ) ( )* *

1 2, 2000,2000 ,x x = obtenemos:

*

* *11 2*

2

2 2000 2000 60000.

2000 2000 0h

h hh

⎧ ⋅ + − =⇒ = =⎨

− + − =⎩

Por tanto la solución óptima del primal, incluyendo las variables de holgura, es:

( ) ( )* * * *1 2 1 2, , , 2000,2000,0,0 .x x h h =

Para obtener la solución del problema dual aplicamos las condiciones de holgura complementaria. Si la solución óptima del problema dual es ( )* * * *

1 2 1 2, , ,y y t t entonces:

* * *1 1 1* * *

* *2 2 21 2* * *

1 1 1* * *2 2 2

0 2000 00 2000 0

0.0 0 00 0 0

x t tx t t

t th y yh y y

⎧ ⎧⋅ = ⋅ =⎪ ⎪⋅ = ⋅ =⎪ ⎪⇒ ⇒ = =⎨ ⎨

⋅ = ⋅ =⎪ ⎪⎪ ⎪⋅ = ⋅ =⎩ ⎩

Sustituyendo estos valores en las restricciones de igualdad del problema dual en forma estándar se obtiene:

* * * * * **1 2 1 1 2 11* * * * * * *

1 2 2 1 2 2 1

2 1 2 1 13 3

2 2 2 2 1 1.y y t y y y

yy y t y y y y

⎧ ⎧ ⎧− + = − = =⇒ ⇒ = ⇒⎨ ⎨ ⎨

+ + = + = = − = − =⎩ ⎩ ⎩

La solución óptima del problema dual es ( ) ( )* * * *

1 2 1 2, , , 1,1,0,0 .y y t t =

4. La variación del valor óptimo de la función objetivo es * *

1 1,z y b∆ = ∆ siendo 1b el término independiente de la primera restricción en la forma canónica del problema. Entonces * *

1 1 1z y b h h∆ = ∆ = × = y el coste mínimo sería * 6000 .z h= + Esta afirmación es válida para cierto rango de variación de h. 5. Observando la gráfica se deduce que para cualquier valor de h positivo, la solución óptima es la intersección de las rectas 1 22 6000x x h+ = + y 1 2.x x= Se saturan las mismas restricciones que en el problema original lo que implica que la solución óptima dual no cambia. Por tanto puede asegurarse que el coste mínimo es * 6000z h= + para cualquier valor 0.h > La producción óptima en función de h es

* *1 2 2000 .

3hx x= = +

MATEMÁTICAS II 09/06/2011 Tipo B Apellidos: ................................................. Nombre: ............................ DNI: ..................................

Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema

Una empresa fabrica dos productos, producto A y producto B. Los costes de fabricación son 2 u.m. por cada unidad de producto A y 1 u.m. por cada unidad de producto B. Una vez fabricados, la empresa los vende a 1 u.m la unidad de producto A y 2 u.m. la unidad de producto B. Se pide: 1. Plantear el problema de minimizar los costes de producción considerando que:

a) El ingreso total debe ser al menos de 3000 u.m. b) La cantidad producida de B tiene que ser menor o igual que la de A.

(3 puntos) 2. Obtener la producción óptima de A y B, y el coste mínimo, para el problema planteado en el apartado 1. (6 puntos) 3. Plantear el problema dual asociado al problema planteado en el apartado 1 y obtener su solución. (6 puntos) 4. Si se exigiese que el ingreso fuese al menos 3000+h u.m., siendo h>0, ¿cuánto valdría el coste mínimo? (2 puntos) 5. Observando la gráfica, ¿para qué valores de h puede asegurar que el coste mínimo es el que ha dado en el apartado anterior? Calcular la producción óptima de A y B en función de h. (3 puntos)

Solución del Problema 1. La formulación del problema es:

1 2

1 2

2 1

1 2

min 2. :

2 3000

, 0

x xs ax x

x xx x

+

+ ≥≤≥

siendo 1x la cantidad producida de A y 2x la cantidad producida de B. 2. La función objetivo es ( )1 2 1 2, 2f x x x x= + y el vector gradiente es ( ) ( )1 2, 2,1 .f x x∇ = El conjunto factible y un vector en la dirección del gradiente están representados en la figura siguiente.

Los vértices son ( )1000,1000A = y ( )3000,0 ,B = si avanzamos en la dirección opuesta al gradiente,

( ) ( )1 2, 2,1 ,f x x−∇ = − deducimos que el punto donde se alcanza el mínimo es ( )1000,1000 .A = Por tanto la producción óptima es 1000 unidades de cada tipo de producto, A y B, y el coste mínimo es ( )1000,1000 3000f = u.m.

3. El problema primal en forma canónica es:

1 2

1 2

1 2

1 2

min 2. :

2 30000

, 0

x xs ax x

x xx x

+

+ ≥− ≥

≥

y su dual es: 1

1 2

1 2

1 2

max 3000. :

22 1

, 0.

ys a

y yy y

y y

+ ≤− ≤

≥

En forma estándar, estos problemas son los siguientes:

1 2

1 2 1

1 2 2

1 2 1 2

min 2. :

2 30000

, , , 0

x xs ax x h

x x hx x h h

+

+ − =− − =

≥

1

1 2 1

1 2 2

1 2 1 2

max3000. :

22 1

, , , 0.

ys a

y y ty y ty y t t

+ + =− + =

≥

Para obtener la solución del dual, calculamos primero los valores óptimos de las variables de holgura del primal. Como la solución óptima del primal es ( ) ( )* *

1 2, 1000,1000 ,x x = obtenemos:

*

* *11 2*

2

1000 2 1000 30000.

1000 1000 0h

h hh

⎧ + ⋅ − =⇒ = =⎨

− − =⎩

Por tanto la solución óptima del primal, incluyendo las variables de holgura, es:

( ) ( )* * * *1 2 1 2, , , 1000,1000,0,0 .x x h h =

Para obtener la solución del problema dual aplicamos las condiciones de holgura complementaria. Si la solución óptima del problema dual es ( )* * * *

1 2 1 2, , ,y y t t entonces:

* * *1 1 1* * *

* *2 2 21 2* * *

1 1 1* * *2 2 2

0 1000 00 1000 0

0.0 0 00 0 0

x t tx t t

t th y yh y y

⎧ ⎧⋅ = ⋅ =⎪ ⎪⋅ = ⋅ =⎪ ⎪⇒ ⇒ = =⎨ ⎨

⋅ = ⋅ =⎪ ⎪⎪ ⎪⋅ = ⋅ =⎩ ⎩

Sustituyendo estos valores en las restricciones de igualdad del problema dual en forma estándar se obtiene:

* * * * * **1 2 1 1 2 11* * * * * * *

1 2 2 1 2 2 1

2 2 13 3

2 1 2 1 2 2 1 1.y y t y y y

yy y t y y y y

⎧ ⎧ ⎧+ + = + = =⇒ ⇒ = ⇒⎨ ⎨ ⎨

− + = − = = − = − =⎩ ⎩ ⎩

La solución óptima del problema dual es ( ) ( )* * * *

1 2 1 2, , , 1,1,0,0 .y y t t =

4. La variación del valor óptimo de la función objetivo es * *

1 1,z y b∆ = ∆ siendo 1b el término independiente de la primera restricción en la forma canónica del problema. Entonces * *

1 1 1z y b h h∆ = ∆ = × = y el coste mínimo sería * 3000 .z h= + Esta afirmación es válida para cierto rango de variación de h. 5. Observando la gráfica se deduce que para cualquier valor de h positivo, la solución óptima es la intersección de las rectas 1 22 3000x x h+ = + y 1 2.x x= Se saturan las mismas restricciones que en el problema original lo que implica que la solución óptima dual no cambia. Por tanto puede asegurarse que el coste mínimo es * 3000z h= + para cualquier valor 0.h > La producción óptima en función de h es

* *1 2 1000 .

3hx x= = +

MATEMÁTICAS II 09 / 06/ 2011 Tipo A Apellidos: ................................................. Nombre: ............................ DNI: ..................................

Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema con ordenador

Dado el sistema de ecuaciones

50

3 2 12 5

ax y zx y z ty z tx at

− + = ⎫⎪+ − + = ⎪⎬+ + = ⎪⎪+ = ⎭

, se pide:

1. Expresarlo en forma matricial. (1 punto) 2. Discutirlo en función del parámetro a. (4 puntos) 3. Resolverlo para el caso de sistema compatible determinado. (2 puntos) 4. Resolverlo para el caso de sistema compatible indeterminado. (3 puntos) 5. Calcular los menores principales de la matriz tA A+ siendo A la matriz asociada al sistema, es

decir,

1 1 01 1 1 1

.0 1 3 22 0 0

a

A

a

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Indicar el intervalo de valores del parámetro a para el que la forma

cuadrática con matriz asociada tA A+ es definida positiva. (4 puntos) 6. Para a=0, escribir la expresión analítica de la forma cuadrática con matriz asociada .tA A+

Calcular los valores propios de esta matriz y clasificar la forma cuadrática. (3 puntos) 7. Escribir la expresión analítica de la forma cuadrática del apartado anterior restringida a

2 .

z yt x y=⎧

⎨ = −⎩ Obtener la matriz asociada a esta forma cuadrática restringida y clasificarla. (3

puntos)

Nota: Justificar los resultados obtenidos indicando las instrucciones utilizadas.

Solución del problema

1. El sistema en forma matricial es:

1 1 0 51 1 1 1 0

.0 1 3 2 12 0 0 5

a xyz

a t

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. Como la matriz asociada al sistema es cuadrada de orden 4 (el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas), calculamos su determinante y buscamos los valores de a para los que el rango de la matriz es 4. Obtenemos: „ a -1 1 0 † ¦ ¦ ¦ 1 1 -1 1 ¦ #5: DET ¦ ¦ ¦ 0 1 3 2 ¦ ¦ ¦ … 2 0 0 a ‡ 2 #6: 4·a + 4·a - 8 2 #7: SOLVE(4·a + 4·a - 8, a, Real) #8: a = -2 a = 1 Entonces, para 2a ≠ − y 1a ≠ el rango de la matriz asociada al sistema, ,A es igual al rango de la matriz

ampliada, ( )| ,A b e igual al número de incógnitas. Es decir, ( ) ( )| 4,rango A rango A b n= = = donde n

representa el número de incógnitas. Por tanto, para 2a ≠ − y 1a ≠ el sistema es compatible determinado. Estudiamos ahora los casos 2a = − y 1.a = Para 2a = − el rango de las matrices A y ( )|A b es:

„ -2 -1 1 0 † ¦ ¦ ¦ 1 1 -1 1 ¦ #11: RANK ¦ ¦ ¦ 0 1 3 2 ¦ ¦ ¦ … 2 0 0 -2 ‡ #12: 3 „ -2 -1 1 0 5 † ¦ ¦ ¦ 1 1 -1 1 0 ¦ #15: RANK ¦ ¦ ¦ 0 1 3 2 1 ¦ ¦ ¦ … 2 0 0 -2 5 ‡ #16: 4 Como ( ) ( )|rango A rango A b≠ se concluye que para 2a = − el sistema es incompatible.

Para 1a = el rango de las matrices A y ( )|A b es: „ 1 -1 1 0 † ¦ ¦ ¦ 1 1 -1 1 ¦ #18: RANK ¦ ¦ ¦ 0 1 3 2 ¦ ¦ ¦ … 2 0 0 1 ‡ #19: 3 „ 1 -1 1 0 5 † ¦ ¦ ¦ 1 1 -1 1 0 ¦ #22: RANK ¦ ¦ ¦ 0 1 3 2 1 ¦ ¦ ¦ … 2 0 0 1 5 ‡ #23: 3 Como ( ) ( )| 3 4,rango A rango A b n= = < = para 1a = el sistema es compatible indeterminado.

Resumiendo:

- Para 2,1a ≠ − el sistema es compatible determinado, tiene solución y ésta es única. - Para 2a = − el sistema es incompatible, no tiene solución. - Para 1a = el sistema es compatible indeterminado, tiene un conjunto infinito de soluciones.

3. El sistema es compatible determinado para 2,1.a ≠ − Aplicando ROW_REDUCE a la matriz ampliada se obtiene: „ a -1 1 0 5 † ¦ ¦ ¦ 1 1 -1 1 0 ¦ #25: ROW_REDUCE ¦ ¦ ¦ 0 1 3 2 1 ¦ ¦ ¦ … 2 0 0 a 5 ‡ „ 5 † ¦ 1 0 0 0 ——————— ¦ ¦ a + 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 10 ¦ ¦ 0 1 0 0 ——— - ——————— ¦ ¦ 4 a + 2 ¦ #26: ¦ ¦ ¦ 1 ¦ ¦ 0 0 1 0 ——— ¦ ¦ 4 ¦ ¦ ¦ ¦ 5 ¦ ¦ 0 0 0 1 ——————— ¦ … a + 2 ‡

Entonces, para cada valor de a distinto de 2− y 1, la solución es:

5 1 10 1 5 .2 4 2 4 2

x y z ta a a

= = − = =+ + +

4. El sistema es compatible indeterminado para 1.a = En este caso, como ( ) ( )| 3,rango A rango A b= =

sabemos que la solución vendrá expresada en función de una variable. Aplicando ROW_REDUCE a la matriz ampliada se obtiene: „ 1 -1 1 0 5 † ¦ ¦ ¦ 1 1 -1 1 0 ¦ #31: ROW_REDUCE ¦ ¦ ¦ 0 1 3 2 1 ¦ ¦ ¦ … 2 0 0 1 5 ‡ „ 1 5 † ¦ 1 0 0 ——— ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 7 13 ¦ ¦ 0 1 0 ——— - ———— ¦ #32: ¦ 8 8 ¦ ¦ ¦ ¦ 3 7 ¦ ¦ 0 0 1 ——— ——— ¦ ¦ 8 8 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 0 0 ‡ Por tanto, la solución es:

5 1 13 7 7 3 .2 2 8 8 8 8

x t y t z t t= − = − − = − ∈

5. La matriz tA A+ es: „ a -1 1 0 † „ a -1 1 0 † ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 -1 1 ¦ ¦ 1 1 -1 1 ¦ #33: ¦ ¦ + ¦ ¦` ¦ 0 1 3 2 ¦ ¦ 0 1 3 2 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 2 0 0 a ‡ … 2 0 0 a ‡ „ 2·a 0 1 2 † ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ #34: ¦ ¦ ¦ 1 0 6 2 ¦ ¦ ¦ … 2 1 2 2·a ‡ y sus menores principales son:

1 2 3 4

2 0 12 0

2 0 2 0 .0 2

1 0 6

t

aa

M a M M M A A= = = = +

Es decir, 1 22 , 4 ,M a M a= = y: „ 2·a 0 1 † ¦ ¦ #37: DET ¦ 0 2 0 ¦ ¦ ¦ … 1 0 6 ‡ #38: 24·a - 2 „ 2·a 0 1 2 † ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ #39: DET ¦ ¦ ¦ 1 0 6 2 ¦ ¦ ¦ … 2 1 2 2·a ‡ 2 #40: 48·a - 32·a - 31 Para obtener el intervalo de valores del parámetro a para el que la forma cuadrática con matriz asociada

tA A+ es definida positiva resolvemos el sistema de inecuaciones:

2

2 0 4 0

24 2 0 48 32 31 0

aaaa a

>⎧⎪ >⎪⎨ − >⎪⎪ − − >⎩

Usando DERIVE, se obtiene: „ 2 † #41: SOLVE(…2·a > 0, 4·a > 0, 24·a - 2 > 0, 48·a - 32·a - 31 > 0‡, [a]) „ ‹109 1 † #42: ¦a > —————— + ———¦ … 12 3 ‡ #43: [a > 1.203358875] Por tanto, la forma cuadrática con matriz asociada tA A+ es definida positiva para a perteneciente al

intervalo ( )109 1( , ) 1.203358875, .12 3

+ +∞ +∞∼

6. Para a=0 la expresión analítica de la forma cuadrática con matriz asociada tA A+ es:

„ 0 0 1 2 † „ x † ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ ¦ y ¦ #45: [x, y, z, t]·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 1 0 6 2 ¦ ¦ z ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 2 1 2 0 ‡ … t ‡ „ 2 2 † #47: …2·x·z + 4·t·x + 2·y + 2·t·y + 6·z + 4·t·z‡ Es decir, ( ) 2 2, , , 2 4 2 2 6 4 .Q x y z t xz tx y ty z tz= + + + + + Los valores propios de la matriz asociada a la forma cuadrática son: „ 0 0 1 2 † ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ #48: EIGENVALUES ¦ ¦ ¦ 1 0 6 2 ¦ ¦ ¦ … 2 1 2 0 ‡ #50: [6.984735786, 2.372705538, -2.205549229, 0.8481079049] Como hay valores propios positivos y negativos, la forma cuadrática es indefinida.

7. La expresión analítica de la forma cuadrática del apartado anterior restringida a 2 z y

t x y=⎧

⎨ = −⎩ es:

2 2 #52: 2·x·(2·y) + 4·(x - y)·x + 2·y + 2·(x - y)·y + 6·(2·y) + 4·(x - y)·(2·y) 2 2 #53: 4·x + 10·x·y + 16·y

Es decir, ( ) 2 2, 4 10 16 .resQ x y x xy y= + + La matriz asociada es 4 55 16⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

cuyos menores principales valen 4 y

„ 4 5 † #61: DET ¦ ¦ … 5 16 ‡ #62: 39 Como ambos son positivos se concluye que la forma cuadrática restringida es definida positiva.

MATEMÁTICAS II 09 / 06/ 2011 Tipo B Apellidos: ................................................. Nombre: ............................ DNI: ..................................

Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema con ordenador

Dado el sistema de ecuaciones

52 5

3 2 10

ax y zy t

x z tx y z at

+ + = ⎫⎪+ = ⎪⎬+ + = ⎪⎪+ − − = ⎭

, se pide:

1. Expresarlo en forma matricial. (1 punto) 2. Discutirlo en función del parámetro a. (4 puntos) 3. Resolverlo para el caso de sistema compatible determinado. (2 puntos) 4. Resolverlo para el caso de sistema compatible indeterminado. (3 puntos) 5. Calcular los menores principales de la matriz tA A+ siendo A la matriz asociada al sistema, es

decir,

1 1 00 2 0 1

.1 0 3 21 1 1

a

A

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Indicar el intervalo de valores del parámetro a para el que la forma

cuadrática con matriz asociada tA A+ es definida positiva. (4 puntos) 6. Para a=0, escribir la expresión analítica de la forma cuadrática con matriz asociada .tA A+

Calcular los valores propios de esta matriz y clasificar la forma cuadrática. (3 puntos) 7. Escribir la expresión analítica de la forma cuadrática del apartado anterior restringida a

2 .

x zy z t= −⎧

⎨ = − +⎩ Obtener la matriz asociada a esta forma cuadrática restringida y clasificarla. (3

puntos)

Nota: Justificar los resultados obtenidos indicando las instrucciones utilizadas.

Solución del problema

1. El sistema en forma matricial es:

1 1 0 50 2 0 1 5

.1 0 3 2 11 1 1 0

a xyz

a t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. Como la matriz asociada al sistema es cuadrada de orden 4 (el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas), calculamos su determinante y buscamos los valores de a para los que el rango de la matriz es 4. Obtenemos: „ a 1 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ #65: DET ¦ ¦ ¦ 1 0 3 2 ¦ ¦ ¦ … 1 1 -1 -a ‡ 2 #66: - 6·a + 3·a + 9 2 #67: SOLVE(- 6·a + 3·a + 9, a, Real) 3 #68: a = ——— a = -1 2

Entonces, para 32

a ≠ y 1a ≠ − el rango de la matriz asociada al sistema, ,A es igual al rango de la matriz

ampliada, ( )| ,A b e igual al número de incógnitas. Es decir, ( ) ( )| 4,rango A rango A b n= = = donde n

representa el número de incógnitas. Por tanto, para 32

a ≠ y 1a ≠ − el sistema es compatible determinado.

Estudiamos ahora los casos 32

a = y 1.a = −

Para 32

a = el rango de las matrices A y ( )|A b es:

„ 3 † ¦ ——— 1 1 0 ¦ ¦ 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ #69: RANK ¦ ¦ ¦ 1 0 3 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 3 ¦ ¦ 1 1 -1 - ——— ¦ … 2 ‡ #70: 3 „ 3 † ¦ ——— 1 1 0 5 ¦ ¦ 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 5 ¦ #71: RANK ¦ ¦ ¦ 1 0 3 2 1 ¦ ¦ ¦ ¦ 3 ¦ ¦ 1 1 -1 - ——— 0 ¦ … 2 ‡

#72: 4

Como ( ) ( )|rango A rango A b≠ se concluye que para 32

a = el sistema es incompatible.

Para 1a = − el rango de las matrices A y ( )|A b es:

„ -1 1 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ #73: RANK ¦ ¦ ¦ 1 0 3 2 ¦ ¦ ¦ … 1 1 -1 1 ‡ #74: 3 „ -1 1 1 0 5 † ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 5 ¦ #75: RANK ¦ ¦ ¦ 1 0 3 2 1 ¦ ¦ ¦ … 1 1 -1 1 0 ‡ #76: 3 Como ( ) ( )| 3 4,rango A rango A b n= = < = para 1a = − el sistema es compatible indeterminado.

Resumiendo:

- Para 3 , 12

a ≠ − el sistema es compatible determinado, tiene solución y ésta es única.

- Para 32

a = − el sistema es incompatible, no tiene solución.

- Para 1a = − el sistema es compatible indeterminado, tiene un conjunto infinito de soluciones.

3. El sistema es compatible determinado para 3 , 12

a ≠ − Aplicando ROW_REDUCE a la matriz ampliada se

obtiene: „ a 1 1 0 5 † ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 5 ¦ #77: ROW_REDUCE ¦ ¦ ¦ 1 0 3 2 1 ¦ ¦ ¦ … 1 1 -1 -a 0 ‡

„ 13 † ¦ 1 0 0 0 ————————————— ¦ ¦ 3·(2·a - 3) ¦ ¦ ¦ ¦ 5 13 ¦ ¦ 0 1 0 0 ——— - ————————————— ¦ ¦ 2 6·(2·a - 3) ¦ #78: ¦ ¦ ¦ 2·(a - 8) ¦ ¦ 0 0 1 0 ————————————— ¦ ¦ 3·(2·a - 3) ¦ ¦ ¦ ¦ 13 ¦ ¦ 0 0 0 1 ————————————— ¦ … 3·(2·a - 3) ‡

Entonces, para cada valor de a distinto de 32

y 1− la solución es:

( ) ( )( )( ) ( )

2 813 5 13 13 .3 2 3 2 6 2 3 3 2 3 3 2 3

ax y z t

a a a a−

= = − = =− − − −

4. El sistema es compatible indeterminado para 1.a = − En este caso, como ( ) ( )| 3,rango A rango A b= =

sabemos que la solución vendrá expresada en función de una variable. Aplicando ROW_REDUCE a la matriz ampliada se obtiene: „ -1 1 1 0 5 † ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 5 ¦ #80: ROW_REDUCE ¦ ¦ ¦ 1 0 3 2 1 ¦ ¦ ¦ … 1 1 -1 1 0 ‡ „ 7 13 † ¦ 1 0 0 ——— - ———— ¦ ¦ 8 8 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 5 ¦ ¦ 0 1 0 ——— ——— ¦ #81: ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 3 7 ¦ ¦ 0 0 1 ——— ——— ¦ ¦ 8 8 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 0 0 ‡ Por tanto, la solución es:

13 7 5 1 7 3 .8 8 2 2 8 8

x t y t z t t= − − = − = − ∈

5. La matriz tA A+ es: „ a 1 1 0 † „ a 1 1 0 † ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ ¦ 0 2 0 1 ¦ #82: ¦ ¦ + ¦ ¦` ¦ 1 0 3 2 ¦ ¦ 1 0 3 2 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 1 1 -1 -a ‡ … 1 1 -1 -a ‡ „ 2·a 1 2 1 † ¦ ¦ ¦ 1 4 0 2 ¦ #83: ¦ ¦ ¦ 2 0 6 1 ¦ ¦ ¦ … 1 2 1 - 2·a ‡ y sus menores principales son:

1 2 3 4

2 1 22 1

2 1 4 0 .1 4

2 0 6

t

aa

M a M M M A A= = = = +

Es decir, 1 22 , 8 1,M a M a= = − y: „ 2·a 1 2 † ¦ ¦ #86: DET ¦ 1 4 0 ¦ ¦ ¦ … 2 0 6 ‡ #87: 48·a - 22 „ 2·a 1 2 1 † ¦ ¦ ¦ 1 4 0 2 ¦ #88: DET ¦ ¦ ¦ 2 0 6 1 ¦ ¦ ¦ … 1 2 1 - 2·a ‡ 2 #89: - 96·a - 12·a + 25 Para obtener el intervalo de valores del parámetro a para el que la forma cuadrática con matriz asociada

tA A+ es definida positiva resolvemos el sistema de inecuaciones:

2

2 0 8 1 0 48 22 0

96 12 25 0

aa

aa a

>⎧⎪ − >⎪⎨ − >⎪⎪− − + >⎩

Usando DERIVE, se obtiene:

„ 2 #90: SOLVE(…2·a > 0, 8·a - 1 > 0, 48·a - 22 > 0, - 96·a - 12·a + 25 > † 0‡, [a]) #91: [] Por tanto, no existen valores de a para los que la forma cuadrática con matriz asociada tA A+ es definida positiva. 6. Para a=0 la expresión analítica de la forma cuadrática con matriz asociada tA A+ es: „ 0 1 2 1 † „ x † ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 1 4 0 2 ¦ ¦ y ¦ #92: [x, y, z, t]·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 2 0 6 1 ¦ ¦ z ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 1 2 1 0 ‡ … t ‡ „ 2 2 † #94: …2·x·y + 4·x·z + 2·t·x + 4·y + 4·t·y + 6·z + 2·t·z‡ Es decir, ( ) 2 2, , , 2 4 2 4 4 6 2 .Q x y z t xy xz tx y ty z tz= + + + + + + Los valores propios de la matriz asociada a la forma cuadrática son: „ 0 1 2 1 † ¦ ¦ ¦ 1 4 0 2 ¦ #95: EIGENVALUES ¦ ¦ ¦ 2 0 6 1 ¦ ¦ ¦ … 1 2 1 0 ‡ #97: [7.021720961, -0.6325502245, -1.175882986, 4.786712249] Como hay valores propios positivos y negativos, la forma cuadrática es indefinida.

7. La expresión analítica de la forma cuadrática del apartado anterior restringida a 2

.x zy z t= −⎧

⎨ = − +⎩ es:

2 #99: 2·(- 2·z)·(-z + t) + 4·(- 2·z)·z + 2·t·(- 2·z) + 4·(-z + t) + 2 4·t·(-z + t) + 6·z + 2·t·z

2 2 #101: 6·z - 18·t·z + 8·t

Es decir, ( ) 2 2, 6 10 16 .resQ z t z tz t= + + La matriz asociada es 6 99 8

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

cuyos menores principales valen 6 y

„ 6 -9 † #103: DET ¦ ¦ … -9 8 ‡ #104: -33 y se concluye que la forma cuadrática restringida es indefinida.