Matematicas l COU. Problemas Resueltos. Tomo 1 [Edelvives]

Tomo 1

Matrices y sistemas. Espacio afn y eucldeo.

~'-Jt'..5 """""""---

Autores: Benigno Gil Maralf6n

ngel de la Llave Canosa

Pruebo~ de acce~o

Problemas resueltos de

MATEMTICAS 1 COU. Opciones A y B

romo 1

Matrices y sistemas Espacios afn y eucldeo

Coord irntCineditor;.i: Grablldodecvbie,.. . Esc her

Dibujos Migue l Angel del Caatillo J lm.nez

Cl Editoria llui VI,.,.. l990 ISBN: fM 21i319130iobracompleta l

84-21>31918 1 horn o 11 Oepsitolegal Z.2633-90

lmpre-sooo Eopal\81 Prlnted In Spal n Talleresgr.,icoo Ed elviv.,.

50012Z.

PRESENTACIN --------El objcttvoprimo

' PROGRAMACIN E NDICE

1 : .. 1-.,-,_-. -.-.. -.. - .-.. -.. -.. -. ---Matri(;es y sistema:

\.2. Mu~fplicacin de rnatriou 16 2.1 . Determinll1r.de...,amatrlz . . . .. .. 27 2.2.Propied&

T EMA 1-1.1 . -------Matrices

Ej~ rcicios r esuel tos

SiotOioltiplaolo-odaipoloiMporJ, ... tM':

J.(--Ad B) l Ad l l (~ !) (: :; !:!)(: 1!) __ ............ llpri-~

J. HolkuIIQmolrlSolucin de los e je rcicios propuestos 1. Oad2olasooaui>f< (i _;).a (~ ~~~ C -~ -~). kW

l. OnctmirWM&tr""'loyB,.bi

. Sellomaui\Ioliuporl\ouatldoll>$0lom

f.Demoo.lrlfquoj-oI"'*'-M...>r1op

11.>Qofiii0Uicuuiaqo.los .. __ ,,r..,_, Uu.-.ir.cuadndaA,-- ... --..... i>l-lllmi

Comol, lj,otdedu

J E.It.lltlu...,rkaNadr_do.....,,.rulos,de~o...,olo_..;6o. ~n~ ..... lollio:i6n, .. __ nl

TEMA r-1.2 . -----Multiplicacin de matrices

Ejercicios resue ltos

1./loMolo-ric//

Solucin de los ejercicios propuestOs l. Comprobarp&no\a>motripo

;(A,.B,)'B,'Ai.

AjA,. B,' II, J(A1 B,)' A1 B,.

(A.1B,)' A

111 Aj B,' B,' Aj.ra'I'I< AjJI; ___ __

Bj Aj II,A, AoII,(W

L..u.SO.maori

Apliandolapropiedodotinribu1iva,lal'fOI)Oiicincion

1. eompm~wq ..... ,..doo..,.ml

. (' '') (" ') 0-10. lll' S-l\ Ll!

"('''') (' ' '') 1110 0011 Oll!. 0001: 0011 0001

"(''-') 1' - -! ~ -! . -; -i :

"(' ''') (') 001) l 1100. l OllO 1

(WH' ') (~ ''') li~H") (~ ''') A 0-1 O : B lll S-l 1 A, ,,A,,, lll B,,,e,,.

A1;B~1 + A1_1Bu (l -l) (i) + (1) (1) (4) t (1) (!); AuB1 + A1,1Bu (! -l)- (~ ~) + (1) -(l l) (!.! -l) t (l l) (19 l)

(" " ") (" " ") A B -l-2 - 1 - l - 2 - 1 1',. Sl'J l ! l9 l """'"~- -~,(.' '') A lll O;

o 1 )j 00 ll

Muhi~ !""" CO]&I,Kdrno:

(.' '') B 0011 . 000 l 0001

(~ ~) . ~~ !l. (i ~). ~~ ~) . ~~ ~): ~~ ~){~ ;.~ ~) (~ :J (~ ,!):

(~ ~) . (~ ~) . t: ~) . (~ ~) . (~ ~): ~~ !l!: ~l U :J(! :J - 1~ ~~ . u~'~""'~' "' ("' ') ('o' ') A. B 0 l 1 l~ O l 1 1 P,

00110 00110 000. 000.

,, , ... ~ ........... (-'-*') (-:1-:) A _! ~ ~ -! ; B =i8 . M~i~poreajas,ICti

& .. .,.OIIdodo>iooilataldtlol>fdiA

u-v - U ~)(O'~,) (~ -~) - w: " w . l_: ; 1: -; . 1: :J . ' v-u - ( -~ _nU ~) (~ -~ J - w: '' 1-: _:J 1-: _:J I::J , 1-: _:J 1: -; . _:; . o,

w-u - (~ -~)(_~ ~) (~ ~} - 1: w-v - (~ -~)(! -~J U ~) - u; w 1: -: 1: -; . 1-: _: . '

si/. p.u.v.w.

S.obocfvawnt>ikquclollblaeuimori

TEMA I-2. 1. -----Determinante de una matriz

Ejercicios r esueltos l . (k.,,.,_ iror:or..._oltortoi lbmi"'Jpmtot

Sol uci n de los ejercicios propuestos

bJ ..... ,.,.,: d}o.......,o,a,,

/l.pliconl:l.l ol:l,4no;l,!no;2,1 >1;2,4oo:l,!I'ID: l,no:

Elnmoro

' :.,~:::::...-:~~:,~:""==::O:~",:=~ol Sibayolluoa"lo6n (f>ropw"o'"ll:Vo>. tk~-1

Mmorcomplemonwjod

ICI (4i + O+l0:< - J0 + 0 + 161 - l (-l-

b) ' ' o ~ o ~ '- ' . 0: o . o. l.' ' ' '

L.airoesc\ dpricooOanPortalttn.elvalo

TEMA 1-2.2.--- Propiedades de los determinantes

Ejercicios r esueltos

;90b" l"l l :. :, ~ ~ ~tkl..-mwm.,thv~--;. s...,,;,u)'ll por1U>Umooon la l ~muhipliIilu,..lt.l.'No pot$U>UOl.IHH Ia 2'muldpbcadapoc -a,-o(o.b,

J. Sbtd=rro!IM.~rqw .. mMIIfplotk l ~#d""'"'i"'m"/~ ~ !1 SuMitu)'al

E!prl...,d'...,.....,,. p.>~~I&!I(

1 ' _, '-'11 '_,. '11 '_, '11 ' _,. '1 11 1 l -2 !.' o 1 l -l ~ _ , ) o - 1 !,! - J ! o o !1 l-2 0-1 l-l 0-1 l-l 0-1 l-l 0-1 _ , l-l 1 -1 l-l 1 - 1 l-l 1 - 1 l - l 1 ~u -l J -r l ~- l ~l -~ -r Jl - - ~- ~- -l l.

,._ ..... ..., ....................... n..,;.ptao.

S.t>IO:ola~ f ..

1: ' '.' y, :: ~ 1 1. HollaT O >I b 1 ~ ) 2 del

!O lO

gJS..Sarlaconloprimono muloiplioadlporiOO y coolo

1' '"11 ' ' ' 1 1' '' '1 i!~~ - ;! ~ ~ 5 :!~~ - lk i. lO lO l l lO l l lO 1010 1''' '1 9., Caklllatddetouaru.ylo

El .. loo. jV,I a: IV1j l ;, ~~ lo,-o,J.

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~ .. - .............. -...__.Lo....,.-,..--larqlook SW..ot 'l>'.

1- ' ,. _ , ' - ' 1

n.eom...-- lo- ' - '- 1 -lo(a - l)(a - !leo - l). lrr-t ' - t ' -11

s.-- .. ~------- ...... ..-.(pon o' - ' - r'-1l,._..loroslolldoillimM-IIOquo:multuolraurleolo---

n::,~~ .. ..-.wo~oo~~ao.._,.,...,_,...,_.,,.....,.,.. ..

IAI !.lo - IHo - lHo lJ H : ;':~:![!.!

l" l (a-l)(a-ll(o - l)\1) 1: : :!1 -:Z..(o-l)lo - l)(a-l)

1' _, .. ll.f'rctlor .... O 11 0 - l oc- ttd . o o -4 o o b-< o o

liEIIddot

1' . o ' 1 l - l l l lt. Resol= lo Uxin l ~ 6 0 0. o 1 -

(48 +o + 2()x- )()+o+ 16) - l(-24< ~o + lb. - 11- o+ ll'). +J(-h0 - 6> - J - l' - 0) 0;

48 + 20:< -10+ 16 +48>.- .._, + lli - lh - l&x - 9 - l l' O: -1Sx1 + 14x + 61 0;

ll'-lf-61 0;

llfilii+l6ij 14162 76 )$ 48 ' ---.---~ ~ ""iii ""'if': -30-J

lS.DilponlododeGo..,,

' 1' ''1 Eld

lp: '' ''

~ qJ : o 1 J

o ~ qJ : l o 1 2 J

~ ~ : qJ! ~ o o o o 1[]

Al)lic&r.dol>.r'Jiod

TEMA I-3.1.- Dependencia lineal. Rango de una matriz

Eje rcido :> res ueltos

1, O.r"m~k>t--'O>d

So ltu: i n d e los e jercidos pro pueSto!'

l. lM~rui

UnodeW~uci-.dOOn .. oiollo.,bitn i& Om.QU

[- d) 11.2 ... ) + $(1,1,!) U.O.Zl - l ~ O. . ~~ - ~

;,..~=~ -_;:~;o'--02 - ll l - l f. l - lrh -+-+ L& ....._ ....... _.__ .. ...,.......-.4 (-+J. '+-+ !f f l.

Po

!! ~ H - ~ 1! ~ -!1 - ~ 1! ~ -!1-~ 1:! -!I O. Aloer""los'odo

(2 - ~) 1(4 - l.)(l-1.) - 1) (1 - 1.)(11- lA - 4~ + A' - 1) (2 - I.)(A1- 7A + 10) O -

- [ !.-_\; ~,o - o - [: : ;,:t~ - 2...p- - ).., - ~.~, - 1 9. DadoolooVtt> .. (m, - 1,0,1),(0,m, - l,l)y(1.0. - 1,2)dllo ol siruilemado--rno,, k, y k,:

[_::: ... .. ::- -: ::-.. . :: - k,- t, - 0 ... ... .,. o. k,+ k,+lk O k,+ k,+lk, O

S.rcd..uolillem.o>ouoequiltelo i& CI!:orueao.>

Enro qL>< A "pu"pre-A ~ B + f C(, fE RJ

/"'-I

k, . + ~, . " ~ k,(1.2.J) ~ k,(!.-!.ll k (0,0,0)

[ ....... . 2k, - ~, ~ o. Jk, + k, ~ o. Su,.ndolfiecuacione>prin>

O. l orimOUM:io~S- 2 t -7 - -la+ , . _ ,.: [ " -. [ .. . -. o- B -~ - - 1 "'- 411 +, - R

lJ.Dol

TEMA I-3 -2- -----Matriz inversa Ejercidos resueltos 1. ,_,,~icidod

~u - 1-: !1-l; ~u - ~~ !J ll: .. .,. - ~~ .:J -!; AM I~ -~1-l; ... -- 1~ .!1 !; .... . u ~1 -2.

'('" ... '") '( -' _,_, ) (-' _,_,) ~---- ::: :: ~: " 1 -~ ~~ -~ -~ ~~ -i .

- (' ') (' -' )-(' ' "' ) (' ')] 12 - 1 1 2 -2-1 + 2 o 1 - A A ( -~ -: J(: ~ - (.;~: _;~i) (~ ~)

('"') 0200 11,1 0010; 000 4

('"') 1200 b} 12 10. 1214

o,IAJ ,.,-..,..,.,..udLqonal oud

~/Al ser una marr.

(1+0+00+0+00+00) ('")

l,-1, . o. oto o t 1. o o. o. o o 1 o ~ l j1 - ,, 0 + 0+00000+01 001

.,(' ,_, , - 6-1 o

l.a

1, Probatqot~lllllri>lnv&Mal

cnd.-MetXM(oiunomauizticncineru,wdctcrmiiWit

~,.;..~~=:"cuo

Como iAI l: il l-I I D.l

C....OIMI ~ ~ -: -~ ~ 1-0 1 ~ O.W..tla-.U.Iorno M 1ckla....ui

Como lA Bl 1! ~~ 1 XI - 20 JO" G, ol>l< lr.m&lril.lneno(A 8)"1 l.ooodj.,.oo

TE>IA I-4. 1. --Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de Cramer

Ejer cicios resueltos

' --.---... -.:-....--! ~-~ .. :-:1 ..... --.,.. .... --rZ:,..-.-....--...... pr-.E.- .. u ... clt-.-~- .... .....,_ -r..-... -~.-

H..._, . ,,,.,;...,.,,.,,,&Ikcir.--1~-"'

l. !! IWI1ma!ri1odjunl1

. . J .... 19 -l ( o,._,.-') l.amalrL

1,_,,, . '

Q) h.~_..,_ ~ 2 l+r- -l

l .. y+ k 10 ~) ~-.27.--~ - ! (i'rnpw11oM/t:Ui.AI6f!O>MthMi>drid.)

JComo iAI Il -r ~~ - ~-o ...... = ...... erom) U!~I lO: Ab) ILl~] - ~: A(z) ll-Lli -JO 7:/ - ~ f= y. 7Z) - ~ -+ = -7!'/ - ~ - + LHooiOI

a(o1 ~ la 1) 111 11(1 + 1) O.

1- _, '1 eJ ICI 1 -il J 9 O-..... o ~ - 1 - (1 -1)(1 o)(l-a) !lO+ 0-211 o)-0 + l\S-o)O-

- -to +lo' !6o -o1 lto- 1!2 - lk + ~ -h -a' lo1 -171+ U O PIIIOOIIO

- ~!~ --i.f --d4: b ~~) -++ -i-= < ~!iloui>t .. o l"'tmlh.losb.o.jo a 'lO km/hyonUnOIIe>IOUrib.o.

T EMA 1-4 .2. --Estudio de

F. jc rdcios r esue llos

un sistema lineal. Teorema de Ronch

l . :::.::.~-:::;1- ~~!Z.~ ll . l Sc- .. ---.;,-'"-1 -~ 0 : , 1 o[o- 1) - I ri'- o- l .

Sln/twtlo

p.,,, . J.

l'ora a UyVb: - : o:

Pan a f,b,.2:r 2,.l r ':ei.Ut

[ l.. J~- 4< - 1

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[,, .,, .. >+Y b q S>-lly S.-lb .!l' b-1

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! :-+,~ . 1' ~ !-: ~ 1~ : -:' ~ 'lo - y -' - (o' -l)y o(l

~ [: ~ 1 :~.~:~ ,+

A(>) l~:i:! l 9' Aq) l!~ =! l 6o t 9: Ml ~ l:::~l - ~ A() ~ . A(y) 6. .. 9 A(l) ~ ' * """"jAf * "J:"""a' * """"IA"I *~; - """"jAf- "):"""1

l..attolotiondo>olorr

1) PO1.,...fiOIM

Como A - A, .. oubmatriz dd

W l(o~01;(o1 ~+l) ;~:;: Lo$oolu

No!I : S.ha wprimKiolaprimarllodooklrrl

c-1~ :1 0 - 1 -10.

~ -w- ~ -;!:1~ - -~ 1 ~ 7::: ~ a(~~.~.~; u - la'(: .u.,; 1 ;

~ . -l'n . ~. IAI 1 11' ! 11' tao>oi-- -~Y la1(t+la1 ;1.< "'(;:,~ 1 ,patalo

eo...o [:.-/,~_~2 - o- [ :. ~~~;--;- .~ _ .,. 1,,, . _2 Por"""'iJuiente, IAI (a- l)(a' 1- 1) (a- l](a- l)(a 2) 11- l ~ (a + l )

Para a - l ya -1 tldenninan~

('' ') (''' ') A 111: A" 1111 . 111 1111 ~=~~~~Cid

A(y) ll !,! l 'l+o1 - o- o' - o a'-2a l (o - IJ';

A(

Al ..,....-ooodoolodrao 2ellilma ooolOiucin,pu

"(.l.i

l)Pora rodovalorrcald< o 7elrofll0dOhrc._,...,, . +,y l.z -f. l)Pan~todovolorrcald< o.Jflr>rrinonwnotimrn>lLI

S.ftluclilol-wn~e!A"I

Al11.: :l lI O.

1'' _, '11' '_, '1 11

~~:.::~ i>O

1' ''1 IA' I I- 11 -1 -5: a- 1 - ll [A' I - 1-.10 + U- 1) +o+ o+ 1 ~ + 61 16 -S. i(l -a).

Paraa lu ronaom

c-.o-: :1 - 1 -L -l,.O,Ioo'*"""

1!: !I Ib+l+l-l-l-b - b - 1:

1 ~ -! ll -..... b + o + 2 + 6 - - o - ...... + 4 - ..... (b - l); 1: - !!1 -lb+O+l+l-l-0 -lb+l -l(b-1).

Porab lloo!rdt. ol ....-r r" li,...,..acompotibleeindet

L&lsoloeionesooa -~o_.2 2 ,y . ~ 2- 6 ,< :=;.poro todo valor rul deo_,.l,paroto

Portont, ol oerr r' 2 n,dJillm>a a Hnpolibl

laosolucio ... son *Y ---ts 2) ::~~":~:'.~b~~ *ytodo..,lorreal

[;;::::::::;- .......... , ;:=u~ t,y u,e O- t-u b-t-u .lo<

I)P>to.-.,doo.bY

d

! ~: :; : :::- - ( .. + l) . 10( .. + 1) - 10~"'.'/1 .po.to m .. -2. ~ 0-IO(m+I) 0-,.+1 0-m - 1

,._ : ...;): A' {: -~ 1~) eo ... : ~~ 1 J - 10 -j" 0,

o.IDha d

.-..., .-. . oyl: :1 2-1 1 '1'0,e1rontodtlamoorilA.,r l.

Como~ : l ~ ~ 1 + l t 6 - l - ~ - 1 1 -.. 0,A' .. , l. Envinudrl+(lt:!a)ytl(o+I)I O

S. l};>rut~ 1 rtOOIe~ S.lllt.lliz.o.

Oavrolla-

4)Parotodolorrn!dca"'O,a "'IY "' lel u>ll"dclarnwitAr l. ComoA A1aoubomatril:dcA' A,:.,

TEMA I-4.3. -Sistemas homogneos

Ejercici os resue ltos

lfullod

Soluc in de los e je rc icios propucs 1os

S

S.tllla d+{O +I)J O

[ ..... +< O ..... . o

"~..:: : : ~ .. , ... ...

. , ;.~rr:.~.;: .. . o l>+O(O +l)y+(a+ J< O

!""'-'""'lo (hol>. 1'B!k1olat d< M-.!

1(0-0)o - S,+l< O

j) -(0+ &)1+9< 0 4 +(l- a)< O (l'ropw$ro t~ loU~i.dtA/i

IAI ~~ -~ -: -56+9. 1& -&- 12& 12 ~-)&. Paru +l dft

Sean&liefoti

o.,..,.,..q.,.r ... k ~ O,valorqUunaromn>o desi"""as(oohomottne

Corno 1: ~~ - 1 - O 1 U, el r_.,d

S.tri11&dtiJU.-.laioc

Coruld.,andocomo~,.,..rot.t " ;: ~~ -ll - - y - ll t-21 -IAI -o'+S'- lloll -1.&- Uf ' -u ll) (S.hadt$

Con~dcrandoriftl

p..., a ~! ya 1

::~ ... d-dolo-.ll .... ( ............... b) __ IUJ_

l'ortllloo,ocpuedai

A(>:) ll: Il blb + o'b-la'b-ob-b --o'btb b(l - o');

A()') 1 ~ ~~ : 1 ob t b O- ab- lab- U . -lab + b . b(l- la); A(!) 1 ~ : ~~ 1 2a'll b t 0 -ob -o'b-0 o'b-ob t b . b(o' - 1) '*T b:~ --.~~ b; ,.m. b~~ ~.~~, -T.W - b( ~ --.:'1 l..o>ool,.,.,.,..oon b.y b~l :.~~ blo'

1-_",,' l)"*"''odo....,.reol de

"'-IY *IY"*"'todoolorrcal

CotnofA f ~ O.Es

TEMA I-5.1. --Mtodo de Gauss

Ejercicios resue llos

y sistemas de ecuaciones lineales

l.Siol .. u:Enelpt

Comoindiuelejemplo.morior,para~I~M~.'tl"'llotio'tlotllodal""" ; :: : ~ ~ y-a 2

Enl

Cooaorlcltl.........,o

!~ ' 1 o l -: [ .. ' .... El'*--"'"'' :tr- 0

110

lo CJ - 1 o/ _, ~ 1 Eldo

[" ., _ .. ' ["" -.. ' - ,, 1> .- J ~ -})'. ll - 1, -l4>. - -J.I -ll< -19

Do:lai .. O

[,_,., _,

~ ~

Elranaodelam.aoriA :

z.~ :g::_ ,:~,E : J-[

- lz+ l lio - 16, - l0:t - 12y- Su 2,

- lz + U)y+ h 6u 2.

F.lrlll..-

[ .. , . .... - ty- ~ = ~

~l i""""""''"'Fneoequi .. l

TEMA I-5.2. - ----Dependencia lineal en R' Aplicaciones lineales

F.jcrclcios r esuellos =:,":'('",w-,.,.--tl. l,l). (l,l.IY ~.o,O),..,.,.__

Slloo""""' """"'.._ __ d< k1,ICIII~-~--- li ~ il-o~'-ll-o~ t -:J - o- [ : : ~ : ~o : .~ . :. l . V..lo..,.....tu...i.,.r k1,l1:1{A,J,

Solucin de los ejercicios p ropuesros

S.ootiOI(a,bj>(

w(a.b).,R1,11'),.,Rrw .,RI

4,;.for0Wiu,..lwelooiElranlo

Elrlq~;bleyUo.i~-=-~~l.~'".,."':":O~:.:f:"~':e"...'~;,rwoQUliodoA'IUI!i(\'Al

I.Otmoola>oiaoori--.r """ (l.l,l)A.porqo..>

[: ; -!'"' ' ' - - -!'""' ~ - " + ~ y - ~ fl - y /1 . y. Poroon>i.,irntt,quadoq .. B j o,,o,]

a) 11 f(o ~~ ~ f(,< , ''' +y,,,, + ol ~ (

b) 1) f(o ~ b) r,, + x1,y, + r,.,, + ., (fo, + 11 - (y, y1).{o, + o1) - (z, t .,JI

f(o)+f(b) f{,.Y, .1.>1 .,) (>:,-y,.o, -tl 1~ (.ludiorsiJOIIonoapli,) V.. ' - . y1 + l~. >, :

:, + >1 Yo + y1.>, + z,l

l(l,l,l) (l,4 , 5),1(0. l,l) (l,l,4)yi(O,O,I) (I,l ,l). (~ID .. taUI>. d< $anTfJ ioiD&tliusociad .. lo o~tiooalf: ~' 4 R1,rospccosCcrrnol:.:l -l-1 -l O.U {o 1,oJIUII.bls

l), - , - , - (1.0) - (0.1) (1,-1 ); - 0.0)+(0.1) (1.1).

=.,..R~mi>u>a ru6

l) El nolcltO> .. (>,r,>)fiR1 1aleo-f(> ,r, z) (0,0J.Porn,r,>J f(,y,z) f{I,O,O) + y f(O,I,O)+I f((I,O,I);

f(>,y, (I,O)>Y(-1,0),y,z).Esde',y ')d

TEMA II-1.1. - Ecuaciones de la recta y del plano

Ejercicios resueltos l. E;.oibI'/os~paramllriOnr

-:..:.,.~ d

Solucin de los ejercidos propuestos

_,,_, __ ,,.,_------H. - 2{y - 1) . 2( ~ l) - 2>' 2 - 2z + ~ 1 - -- 2

[- 2) Ecoociooesparamtuicu: 1 -~. -l.l..

[_,. _, - --.~. l) Ecuodnrcducido: -- ))o -

b.,._clo

Porpo<

< diiWltoAyloo_,or,.Aiy AC,"""'r:nitloo(pon. !OJ ........ , ..... plmo.

[ -~-~ --~ - - &uocnesparamtuicudtlpla""': y G +.~+O - oll y, .. o.o. ... ... . ..

l . o' 1- ....0-0'(-J-O+o'y' O. o.' E>dir,louocio...,...aldtlplanocs: o'o o'y + '- ' O- +y+ - 0.

""ordedi..rood

@ l'asaroloforllli.,.q .. f !IO

LI--~dtlar

@Oblcneflu_._dtlartaqLI

fureloooremo

61'lant ...... l.y.Ouy(lyi,SUO

.~OI>: Eotlejerci.;ttritlos-dtnO

Nooelll

TEMA n-1.2. ---Problemas de incidencia y de paralelismo

Eje rcidos resut:ltos l. HolkH- 1 - 1 o- JI ~-a J-o- 5) o~--3- J - ~ o~~ -f. -ly -l-t(y +l>-!) 0-l>-6>' + l-9-ly-U. + .fO O.

Loa:uocin/t.VIorlt>s-d''OI'Oidedit

Lao-.cloradedireoluo. U,.,_.,odelplallo'""" ""'"ocualquion de,.,.de lao r - 2)(-1-l) - (l'+ 2H1 +l)+(z- 1)(-1 + 4) 0~ 1 - L L 4. Si

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TEMA n-2-1. ---Producto escalar en el espacio tridimensional

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TEMA n-2.2 . --Producto vectorial y producto mixto

Ejercicios resueltos L. llo/IMI"I>I"""'df"ll

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Comolo."">tordirea..-U.I.li.Portonto,un...,ordodiroccil>ndclarto tpe4idaaol -=

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A>lpuos,la""'ociold

Crnoloov>~orparalelaallty,por~to.t)

l O. !lallatlu--o.ellroaoquopuaporeiPIIn

22.1.dtsiO>r10>rc a ly a loy>.quepa>apooll>tlarry potW-~&Iart o W..., .. o:; : : 1 t:: : :-1 fptiapooroow.Si olo

16. Da~-w--primaoy....,ndo.ocobtime:~ - 1. Smtiluy

~~~--porI.,....,

--- 1 - l -) 0-Zt + I0)' - 6>oll O-xt5y - l.t+6 0. -l o -1

PODionida,.elplano~' .

Notol!=El..aor~ - ( - fo-.fo-.*)-( fo-. fo-.-f) (--To-.o. -To) PQ (--fo-.o.--To)(I.-1.-J) --To- -o-To- - o:

PQ (-fo-.n.-1o-)tl.-l,-ll -fo--o+fo- o

27.H1llar laecuociftdt uoplanoqU< CB I ~16 iOOiunPIInt0 8dt lo r~or,talquelar

EJ...,.orA'I ',>>IOftido

Je.Dand;r,loi"'''Ort> ' lludcaoi

lZ.Siondooyb>O

TEMA II-3.1. ------Problemas mtricos 1

Ejercicios n :suc ltos j, Dfi,,.;..,, .wpooln9)-! :::: ~ : ::z.-_:9_ O.lopri'""''''6< 1l t : ] S."ito;olos

~-,..._ _ _........ .. ~., 1 ~"'-',~l-;!;!'o. c-o .. rtlblellll ;..,_r,\l;~-1 -l, ~~ _:1 -l O- ' l.

Portl,__oleRouo::W,aMrt--llllf-

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l.c.lculartuoadommrell

Por..,o,ladislancladdeloritcn ala rUr.,

dlO,rJ ++J: .. +r:; -m ~ . $.DnnoruorqlltOSB,CyOI .. coordenodood

""lafiJUto odjonu .. hor:Ji +{'ji u. SWias-.,oplio:andola<

IPG~~H I -~- ......-+i - fi): I GHI -~ fi - l

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I..Jdi>!ontiaonltlrf .,:

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Elpla~,.quc- .,,z.-T,-.Jf-.-o !'!Oili i.': Obsbvaequedplodll(r'),potl

1' _, '1 dpii-OIIIIl

di>t&Dciol

TEMA 11-3.2. ------Problemas mtricos 11

Ejercicios resue ltos I. :S...nhnp.I'"IL.O,OJ,a(O,l,O),C(O,O,J).iaf'IU'IOO .. . ~ Jy ~ 2z - 6 - o. UnV'

Solucin de los ejercidos propuestos

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Poroz Oc r 0: z 1- + r 1 - o+ o 1 - pontoA(O,O. 1~ p&rO> Orz O:y > > -1 00 - 1 -1-ponto B(0, - 1,0): p&roy Op O;. I r- 1 + 0 -0 1-pooooll(I.O,O) !:poato~A' .B'yO',oimttricood

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El-A',~IId-I

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La~do~qucpuopodolpurttOOda.doo.,"',(l,-8,-J),"' 1 (2,0,-I)JM1 (J,I,I),

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l.or.Uo1 yelpl&no~O

Elpo.!ntoB',liO>!srkodtlpo.!!ltoBt.,P

PresentacinProgramacin e ndiceI. Matrices y sistemasI-1.1. MatricesI-1.2. Multiplicacin de matricesI-2.1. Determinante de una matrizI-2.2. Propiedades de los determinantesI-3.1. Dependencia lineal. Rango de una matrizI-3.2. Matriz inversaI-4.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de CramerI-4.2. Estudio de un sistema lineal. Teorema de RouchI-4.3. Sistemas homogneos I-5.1. Mtodo de GAuss y sistemas de ecuaciones linealesI-5.2. Dependencia lienal en R3. Aplicaciones lineales

II. Espacios afn y eucldeo tridimensionalesII-1.1. Ecuaciones de la recta y del planoII-1.2. Problemas de incidencia y de paralelismoII-2.1. Producto escalar en el espacio tridimensionalII-2.2. Producto vectorial y producto mixtoII-3.1. Problemas mtricos III-3.2. Problemas mtricos II

Matematicas l COU. Problemas Resueltos. Tomo 1 [Edelvives]

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