Matematicas-Números Naturales y Cardinales-Guía Alumnos 2014
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LICEOS BICENTENARIO SECRETARA TCNICA
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Liceos Bicentenario Matemtica 2014
Nmeros Naturales y Cardinales
Material complementario para Sptimos Aos
Temas: - Caractersticas de los nmeros naturales
- Simbologa - Operatoria en N (+, -, , :) - Prioridad de las operaciones - Potencias de base y exponente natural - m.c.m y M.C.D. - par, impar, sucesor, antecesor - Ejercitacin
Versin: Estudiante
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Conjuntos numricos
La necesidad de contar, viene de tiempos inmemoriales. La humanidad cre entonces algunos sistemas que le permitieron
registrar la cantidad de objetos. Primeramente en forma muy rudimentaria, con los dedos, con piedritas, etc. Luego se volvi necesario
inventar un sistema ms estndar, ah nacen los sistemas numricos.
En nuestros das usamos el Sistema Numrico Decimal, cuyas caractersticas son:
1.- Este sistema o conjunto numrico conocido como el conjunto de los dgitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Como puedes ver, este conjunto tiene Cardinalidad= 10, pues son 10 elementos los que lo forman.
Las combinaciones que se pueden realizar con estos elementos dan origen a lo que conocemos como Sistema Numrico Decimal.
2.- Es posicional, es decir que cada cifra o dgito tiene un valor segn la posicin que ocupa.
Ejemplo: Los siguientes nmeros estn formados por tres Cifras o dgitos
Caso 1: 345
Caso 2: 534
Caso 3: 453
Miremos la cifra 4, en el primer Caso, corresponde a la posicin de las decenas, en el segundo caso corresponde a las unidades
y el tercer caso a las centenas. Es decir estos tres nmeros si los ordenamos de menor a mayor quedan de la siguiente forma:
345; 453; 543 Este es un ejemplo de cmo en nuestro Sistema Numrico Decimal es posicional.
Al cumplir la caracterstica de ser posicional, podemos establecer una Relacin de Orden entre los elementos que lo componen.
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Es decir, podemos usar los smbolos que conoces:
< : menor que
> : mayor que
A los nmeros formados por los dgitos se les llama Nmeros Naturales y son los que como su nombre indica, fueron usados por
nuestros antepasados humanos para contar los objetos que los rodeaban: vacas, piedras, rboles, etc.
Una forma de resumir la informacin en matemtica es escribindola con smbolos.
Sus caractersticas principales:
i) 1 , es el primero, no hay natural anterior al uno.
ii) Si a a 1 , esto presenta el concepto de Sucesor.
Observacin: El nmero 1 no tiene Antecesor en el conjunto de los Nmeros Naturales.
1, es el primer nmero de este conjunto, el sucesor de 1 es, 1 + 1 = 2, el sucesor de 2 es 2 + 1 = 3, y as sucesivamente,
por lo tanto:
1,2,3,4,5,6,... , los 3 puntos, , significan y as sucesivamente.
Simbologa
: nmeros naturales
: Pertenece a
=>: Implica o Entonces
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1 2 3 4 5 6 7 8
Los Naturales en la recta numrica
Operatoria en los naturales.
Lo ms probable es que en tiempos de la prehistoria humana, ya se conociera lo que hoy llamamos Adicin
(ms conocida como suma). Veamos algo de Teora de Conjuntos que nos puede explicar lo que es realmente lo que
llamamos suma:
A={ 8 vacas} y B={7 vacas} . Entonces si reunimos los elementos de los dos conjuntos tendremos la cantidad total:
A U B = {15 vacas} esta es una forma de expresar la suma, en forma de conjuntos.
Adicin (suma, su smbolo es el +)
La forma antes descrita de agregar elementos no es tan prctica por lo que se invent la Operacin Adicin (suma)
Ejemplo1: 2 + 5 = 7 2
+ 5
7
Ejemplo2: 279 + 68 = 347 279
+ 68
347
Observacin:
Los trminos de la adicin
son:
a
+ b C suma
sumandos
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Sustraccin (resta, su smbolo es el - ) La necesidad de quitar surge inmediatamente, es as como aparece la operacin sustraccin que es contraria a la operacin adicin.
Ejemplo1: 7 3 = 4 7
- 3
4
Ejemplo2: 683 58 = 625 683
- 58
625
Para Analizar:
Qu sucede si el Minuendo es menor que el Sustraendo?.
Respuesta: _____________________________________________________________
(Ms sobre este tipo de nmeros lo veremos en una prxima unidad: Nmeros Enteros)
Simbologa
: no pertenece a
Observacin:
Los trminos de la sustraccin son:
a minuendo
- b sustraendo C resta o diferencia
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Multiplicacin ( ) : si se quiere sumar ms de una vez, un mismo nmero, a lo que llamaremos suma iterada, estaremos en
presencia de la operacin Multiplicacin.
Ejemplo1: 7 + 7 + 7 + 7 = 7 4 = 28
Ejemplo2: 43 + 43 + 43 + 43 + 43 + 43 = 43 6 = 258
Divisin ( : ) Si se quiere repartir en partes iguales una cantidad, deberemos usar la operacin Divisin
Ejemplo1: 56 : 4 = 14
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0
Ejemplo2: 128 : 37= 3
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Observacin:
1) Slo usaremos el
smbolo para referirnos a la multiplicacin.
2)
factores producto
Observacin:
Los trminos de una divisin son:
a : b = d
c
a: dividendo b: divisor c: resto o residuo d: couciente o cociente
El smbolo indica que se ha terminado la divisin.
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Comprobacin de una divisin (Algoritmo de la divisin)
Para comprobar una divisin se debe multiplicar el Cuociente por el Divisor y a este producto se le suma el Resto. Si est correcto el
clculo, debera dar como resultado el dividendo.
Ejemplo1: Si comprobamos el Ejemplo anterior:
(3 37) + 17 = 128
111 + 17 = 128
128 = 128
Potencia: La potenciacin es una multiplicacin iterada, es decir un mismo nmero (base) se multiplica por s mismo,
un nmero de veces. Este nmero de veces se le llama exponente de la potencia.
Ejemplo: 75 = 7 7 7 7 7 = 16.807
Algoritmo de la divisin
a : b = d (d b) + c = a c
Smbolo: significa si y slo si
Observacin:
Los trminos de la Potenciacin son: exponente
an = b
base potencia(resultado)
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Prioridad de las operaciones
Al resolver expresiones aritmticas donde se empleen operaciones diferentes, deberemos tener presente la Prioridad de las operaciones.
1 Parntesis
2 Potencias
3 Multiplicacin o Divisin
4 Adicin o Sustraccin
Observaciones:
i) Si un ejercicio contempla parntesis anidados (uno dentro de otro), debers siempre realizar las operaciones desde el parntesis interior hacia el exterior.
ii) Si un ejercicio presenta dos operaciones del mismo nivel de prioridad, debers operar de izquierda a derecha segn aparezcan.
Ejemplo1: 45 : 9 3 = Ejemplo2: 8 + 2 - 7 =
5 3 = 10 -7 =
15 3
Ejemplo3: (5 + [8 4 17]) = (5 + [32 -17])
= (5 + 15)
= 20
Observacin:
Este orden debe respetado,
pues si cambias el orden
obtendrs un resultado errneo
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Notacin decimal de un nmero natural.
Veamos el siguiente nmero y su descomposicin aditiva:
72.456 = 7 10.000 + 2 1.000 + 4 100 + 5 10 + 6 1
Si te fijas hemos descompuesto este nmero mediante el uso de potencias de 10.
Veamos cmo queda si usamos la nomenclatura de potencias:
72.456 = 7 104 + 2 10
3 + 4 10
2 + 5 10
1 + 6 10
0
.
Algunas Potencias de 10
100 = 1
101
= 10
102 = 100
103 = 1.000
.
.
.
10n = 1000..........000
tantos ceros segn sea el exponente
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Ms sobre los Naturales
Sucesor: Si n , entonces n + 1, es el sucesor de n.
Antecesor: Si n , entonces n 1, es el antecesor de n, con n >1
Par: Si n , entonces 2n, es par
Nmeros pares = {2,4,6,8,10,}
Sucesor par: p pares p 2 , es sucesor par de p.
(Si a un nmero par le agregas 2, obtendrs su sucesor par.)
Antecesor par: p pares p 2 , es antecesor par de p; p > 2
(Si a un nmero par le quitas 2, obtendrs su antecesor par.)
Para Analizar:
1) El 2 tiene antecesor par?.
Respuesta: __________________________________________________________
Simbologa
: Para todo
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Impar: Si n , entonces 2n 1, es impar.
Nmero impares = {1,3,5,7,9,}
Sucesor impar: q impares q 2 , es impar sucesor de q.
(Si a un nmero natural impar le agregas 2 , obtendrs siempre su sucesor impar.)
Antecesor impar : q impares q 2 , es impar antecesor de q. q > 2
(Si a un nmero natural impar le quitas 2, obtendrs siempre su antecesor impar.)
Primos: Son aquellos nmeros que son distinto de 1 y se pueden dividir en forma exacta slo por s mismo.
Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..
Compuestos: Son aquellos que adems de dividirse por s mismo, tiene uno o ms divisores primos.
Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, .
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Mltiplo: a,b,c a b c c es mltiplo de a y de b.
Ejemplo: 4 3 = 12 => diremos que 12 es mltiplo de 4 y tambin es mltiplo de 3.
M(4) = {4,8,12,14,.} y M(3)= {3,6,9,12,15,.}
Divisores: a,b,c a b c a y b son divisores de c
Ejemplo: 12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Reglas de Divisibilidad
i) Todo nmero es divisible por 2, si su ltima cifra es cero par.
ii) Todo nmero es divisible por 3, si la suma de sus cifras es mltiplo de 3.
iii) Todo nmero es divisible por 4, si sus dos ltimas cifras son ceros o mltiplo de 4.
iv) Todo nmero es divisible por 5, si su ltima cifra es 0 5.
v) Todo nmero es divisible por 6, si lo es por 2 y 3 a la vez.
vi) Todo nmero es divisible por 8, si sus 3 ltimas cifras son ceros o la suma de las tres ltimas
cifras son mltiplos de 8.
vii) Todo nmero es divisible por 9, si la suma de sus cifras es mltiplo de 9.
Observacin:
Todas estas divisiones son
exactas, es decir el resto es
Cero.
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Observacin: Una de las reglas ms entretenidas es la divisibilidad por 7:
Un nmero es divis ible por 7 cuando la di ferencia entre el nmero s in la ci fra de las unidades y e l doble de la ci fra de las unidades es 0 un mlt iplo de 7.
Verifica usando la regla de divisibilidad del 7, si los siguientes nmeros son divisibles por 7:
i) 294 Respuesta: _____________________
ii) 423 Respuesta: _____________________
iii) 3.192 Respuesta: _____________________
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Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.)
Como el nombre lo indica, corresponde al menor mltiplo comn.
Ejemplo: Encontrar el m.c.m. entre 4, 6 y 8.
Usaremos una tabla
4 6 8 2
2 3 4 2
1 3 2 2
1 3 1 3
1 1 1
Otra forma de verlo es obtener la descomposicin prima de cada nmero
4 2 6 2 8 2 Entonces el m.c.m. corresponder al producto
2 2 3 3 4 2 de los factores comunes y no comunes de
1 1 2 2 mayor exponente. 23 3 = 24
1
2 2 2 3 = 24
Factores primos
22 23 23
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Mximo Comn Divisor (M.C.D.)
Como el nombre lo indica corresponde al mayor de los divisores comunes. Veamos un ejemplo:
18 2 24 2 30 2
9 3 12 2 15 3
3 3 6 2 5 5
1 3 3 1
1
El M.C.D. es el producto de las potencias comunes de menor exponente.
Entonces M.C.D. = 23 = 6
Cmo saber rpidamente la cantidad de divisores que tiene un nmero?
Respuesta:
Vemoslo con un ejemplo:
24 = 23 3 = 2
3 3
1, si tomamos los exponentes y cada uno le sumamos 1 y luego multiplicamos
los resultados, tendremos el nmero de divisores.
3 + 1 = 4
1 + 1 = 2
Entonces 4 2 = 8. Por lo tanto el 24 tiene 8 divisores.
2 32 23 3
235
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Nmeros Cardinales
Los mayas mucho antes que los rabes ya conocan el 0 (ao 36 a. C.), es el nmero que indica ausencia de objetos. El cero aparece en
nuestro sistema decimal y nos permite formar nmeros como: 1.000; 3.201; 500.006 etc.
Si vemos la representacin grfica de los conjuntos numricos hasta ahora estudiados, mediante un diagrama de Venn, tendremos:
El conjunto de los Cardinales, es decir, la unin entre Los Naturales y el conjunto que contiene al Cero nos permitir establecer nuevas
relaciones numricas.
Visto como recta numrica nos queda:
Observacin: El cero se considera nmero par ( Se encuentra entre dos impares y adems es un entero mltiplo de 2)
1, 5, 89, 2.000
34, 70
480.000
0 N U {0} = N0 = N*
N
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Notas para el Alumno:
- El espacio que queda en el costado derecho de este cuadernillo, le permitir a usted realizar sus clculos o tomar apuntes, si lo consideran necesario.
Ejercicios
I. Completa los cuadritos con el Sucesor y el Antecesor en cada caso:
(considera que los nmeros pedidos deben ser Nmeros Naturales)
i) 82 ii) 99
iii) 1.000 iv) 55
v) 349 vi) 9.999
vii) _________1 viii) 10
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II. Resuelve los siguientes ejercicios:
1) 77 + 33 = 2) 1.001 2 =
3) 90 + 101 = 4) 789 + 324 =
5) 99 + 11 = 6) 25 + 52 =
7) 333 111 = 8) 789 324 =
9) 111 91 = 10) 10.999 1.111 =
11) 888 666 = 12) 10.423 554 =
13) 15 + 13 27 = 14) 56 46 + 10 =
15) 11 + 22 19 = 16) 37 (12 + 18) =
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17) (65 + 35) 1 = 18) (23 + 42) 35 =
19) 12 13 + 4 = 20) 18 + 32 24 =
21) 44 + 55 77 = 22) 56 34 + 90 =
23) (23 + 32) 13 = 24) (47 23) + 16 =
25) (24 12 + 32) 11 = 26) 101 99 + 2 1 + 345 =
27) 278 178 + 100 199 =
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28) 10.900 900 1.000 1 =
29) 1.999.999 + 1 555.555 =
30) 999 + 1.000 + 10 =
III.- Resuelve los siguientes ejercicios:
1) 11 23 = 2) 32 7 =
3) 18 19 = 4) 27 12 =
5) 101 44 = 6) 54 8 =
7) 110 13 = 8) 700 800 =
9) 8 88 = 10) 66 78 =
Notas del estudiante
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11) 1.001 24 = 12) 790 11 =
IV.- Divide y anota en cada recuadro el cuociente y el resto:
13) 126 : 6 = cuociente resto
14) 88 : 22 = cuociente resto
15) 56 : 8 = cuociente resto
16) 27 : 6 = cuociente resto
17) 46 : 13 = cuociente resto
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18) 1.000 : 333 = cuociente resto
19) 500 : 25 = cuociente resto
20) 78 : 7 = cuociente resto
21) 59 : 5 = cuociente resto
22) 1.001 : 31 = cuociente resto
23) 10.000 : 225 = cuociente resto
24) 68 : 9 = cuociente resto
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V.- Calcula el valor de cada expresin:
25) 25 = 26) 3
4 =
27) 132 = 28) 20
3 =
29) 35 = 30) 2
6 =
31) 1002 = 32) 5
4 =
33) 1.0002 = 34) 7
4 =
35) 64 = 36) 8
4 =
Notas del estudiante
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37) 2 42 = 38) 3
3 9 =
39) 83 : 16 = 40) 7
3 : 7 =
41) 4 9 : 12 = 42) 24 : 4
2 =
43) 23 3
3 = 44) 24 4 3 =
45) 13 + 5 2 = 46) 3 15 : 9 =
47) 13 + 23 12 = 48) 23 + 33 =
49) 52 32 = 50) 132 3 20 =
51) 175 : 5 : 5 = 52) 5 4 4 =
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53) 64 : 4 : 4 : 4 = 54) 2 4 8 =
55) 16 + 16 + 16 = 56) 1.011 : 3 2 =
57) 2 + {2 + [2 + (2 + 2)]} =
58) 3 {3 + [32 (6 3)] 1} -1 =
59) {2 [24 8] 4 12} : 7 =
60) [3 42 : 8 -4] + {1000 : 4 5} =
61) 100 {33 2.000 : 1.000} =
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62) (128 : 4) (32 : 4) + (63 : 23) =
VI.- Encuentre todos los divisores de:
63) 48 es divisible por los siguientes nmeros
{ }
64) 17 es divisible por los siguientes nmeros
{ }
Qu tipo de nmero es ste?
65) 500 es divisible por los siguientes nmeros
{ }
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66) 204 es divisible por los siguientes nmeros
{ }
67) 45 es divisible por los siguientes nmeros
{ }
VII.- Calcula el Mmimo Comn Mltiplo (m.c.m.)
y Mximo Comn Divisor (M.C.D.)en los siguientes casos:
68)
Nmeros m.c.m. M.C.D.
8 y 12
3, 9 y 27
11 y 19
20, 30 y 40
39 y 65
24, 36, 18, 12 y 48
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VIII) Complete la tabla con los datos pedidos. (Recuerde que estamos en el conjunto de los nmeros Cardinales)
69)
Antecesor Par Antecesor
impar
Antecesor Nmero Sucesor Sucesor Par Sucesor Impar
7 8
14 16
18 20 21
99 101 102
1 3
0 1 2
999.998
999.999 1.000.000 1.000.001 1.000.001
Observacin:
Simbologa
: Existe
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IX) Escriba el resultado de los siguientes problemas en el recuadro:
70) El sucesor del sucesor de 14 es
71) El antecesor del antecesor de 27 es
72) El sucesor del antecesor de 100 es
73) El antecesor del sucesor de 78 es
74) El sucesor del antecesor par de 24 es
75) El sucesor impar del antecesor de 1.001 es
76) El sucesor del sucesor del sucesor de 0 es
77) El sucesor del antecesor del sucesor par de 8 es
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X) Resuelva los siguientes problemas. Anota tu resultado en el recuadro respectivo
1) La mam de Juan lo mand a comprar 1 kilo de pan que cuesta $1.150 y
un cuarto de jamn que cuesta $890. Cunto pag Juan por el total de la compra?
2) La edad de Anita en el ao 2.037 ser de 70 aos. Qu edad tiene actualmente
Anita?
3) Un agricultor produce 150 sacos de trigo. Si cada saco contiene 80 kilos de
trigo y cada kilo de trigo $640.
Cunto dinero obtendr si vende todos los sacos de trigo?
4) El sueldo de Jorge es de $1.790.000. Jorge paga el dividendo de su casa que
corresponden a $280.000, los gastos bsicos suman $145.000 y en alimentacin gasta
$200.000. Cunto dinero le quedar a Jorge para otros gastos?
Notas del estudiante
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5) Una abuelita dej una herencia de $57.896.000. Si los herederos son 4 y
se reparte en partes iguales la herencia. Cunto dinero recibir cada uno?
6) Un automvil viaja a una rapidez de 80 kilmetros por hora, cuntos
Kilmetros recorrer en 6 horas?
7) La distancia entre Santiago y Concepcin es 512 km., si Pedro viaja desde
Santiago a la ciudad de Concepcin en su auto a una rapidez de 64 km/h.
Entonces, Cuntas horas demorar en llegar?
8) Una bacteria triplica su cantidad cada 3 minutos. Al cabo de 15 minutos,
Cuntas bacterias habr, si al inicio haba una?
Notas del estudiante
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9) A los futbolistas les otorgan un premio por cada gol que anoten al equipo
contrario. Pepe fue contratado por $ 4.000.000 mensuales y por cada gol
le pagarn $ 60.000.Si en Marzo anot 12 goles, Cunto gan en ese mes?
10) Un profesor tiene 200 lpices para repartir en su curso de 45 alumnos.
Si los debe repartir de manera que a cada alumno le corresponda la misma
cantidad.
Cuntos lpices le sobrarn al repartirlo?
11) Un edificio tiene cuatro departamentos por piso. Cada departamento tiene
4 ventanales, a su vez los ventanales tienen 4 vidrios cada uno.
a) Cuntos vidrios hay en total, si el edificio consta de cuatro pisos?
b) Escriba su resultado en forma de potencia
Notas del estudiante
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Observaciones importantes
Estas tablas pueden resultarte prcticas cuando ests realizando clculos.
Tablas de multiplicacin Tabla de cuadrados y cubos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
Cuadrado Cubo
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 729
10 100 1000
11 121 1331
12 144 1728
-
LICEOS BICENTENARIO
SECRETARA TCNICA 2014
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