MATEMATICAS´ para estudiantes de primer curso de ... · Tema 3 1 1. Ecuaciones de primer grado...

Universidad de Cadiz

Departamento de Matematicas

MATEMATICAS

para estudiantes de primer curso

de facultades y escuelas tecnicas

Tema 3

Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones

Elaborado por la Profesora Doctora Marıa Teresa Gonzalez Montesinos

Indice

1. Ecuaciones de primer grado 1

1.1. Ecuaciones e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Ecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Ecuaciones enteras de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Ecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . 31.6. Problemas de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Ecuaciones de segundo grado 6

2.1. Resolucion de la ecuacion general. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Suma y producto de las raıces. Forma canonica de una ecuacion de segundo grado . . 72.3. Descomposicion en factores de un trinomio de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Ecuaciones trinomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5. Resolucion de ecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Sistemas de ecuaciones de primer grado 11

3.1. Sistemas de primer grado con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.1. Metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2. Metodo de igualacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.3. Metodo de reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Sistemas de primer grado con tres incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Sistemas de ecuaciones de grado superior 14

4.1. Sistemas de segundo grado con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Sistemas de dos ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3. Problemas con dos o mas incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. Inecuaciones 17

5.1. Inecuaciones y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3. Sistemas de inecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.5. Inecuaciones polinomicas de grado superior al segundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.6. Inecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.7. Soluciones reales de una ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6. Ejercicios propuestos 25

Tema 3 1

1. Ecuaciones de primer grado

1.1. Ecuaciones e identidades

En primer lugar, tenemos que distinguir la identidad de la ecuacion propiamente dicha. Para masfacilidad, consideremos las siguientes igualdades:

6(x − 3) = 6x − 18, 5x − 2 = 3(x + 4).

Estas dos igualdades tienen un comportamiento muy distinto cuando se sustituye la letra x en sus dosmiembros:

6(x − 3) 6x − 18 5x − 2 3(x + 4)x = 1 −12 −12 3 15x = 2 −6 −6 8 18x = 3 0 0 13 21x = 4 6 6 18 24x = 5 12 12 23 27x = 6 18 18 28 30

x = 7 24 24 33 33x = 8 30 30 38 36

La primera igualdad se verifica para cualquier valor se de a x, mientras que la segunda solo se verificapara x = 7.

Diremos que la primera igualdad es una identidad, mientras que la segunda es una ecuacion.

Definicion 1.1 Una identidad es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de las letras

que la componen.

Una ecuacion es una igualdad literal que se verifica para valores especıficos o determinados de las

letras que la componen.

Resolver una ecuacion consiste en hallar estos valores particulares que, sustituidos en las incognitas,convierten las ecuaciones en identidades. A estos valores los llamaremos soluciones o raıces de laecuacion.

1.2. Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se tienen los siguientesprincipios de equivalencia:

Primer principio de equivalencia.– Si a los dos miembros de una ecuacion se les suma o restauna misma expresion algebraica, se obtiene una ecuacion equivalente.

De este principio se pueden deducir dos consecuencias importantes:

Si en una ecuacion se pasa un termino de un miembro al otro, cambiandole el signo, laecuacion que resulta es equivalente a la primera.

Si los dos miembros de una ecuacion tienen dos terminos iguales, y con el mismo signo, sepueden suprimir sin que varıen las soluciones.

Segundo principio de equivalencia.– Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacionpor un numero o una expresion distinta de cero, y que no contenga la incognita, se obtiene unaecuacion equivalente.

De este otro tambien se pueden deducir consecuencias fundamentales:

2 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas

Se puede cambiar el signo a todos los terminos de una ecuacion, pues equivale a multiplicarpor −1 sus dos miembros.

Dada una ecuacion con coeficientes racionales, se puede transformar en otra con coeficientesenteros, reduciendolos primero al mınimo denominador comun y, despues, multiplicando losdos miembros por este denominador comun.

Una ecuacion es entera cuando las incognitas no figuran en el denominador; en caso contrario, sellama fraccionaria.

El grado de una ecuacion entera con una incognita es el mayor exponente de la misma.

1.3. Ecuaciones enteras de primer grado con una incognita

Para la resolucion de una ecuacion entera de primer grado con una incognita nos limitaremos arecordar los pasos fundamentales:

a) Se suprimen los parentesis.

b) Se suprimen, igualmente, los denominadores, reduciendo previamente los dos miembros a denomi-nador comun.

c) Se hace la transposicion de terminos, pasando a un miembro todos los terminos que contengan laincognita y al otro miembro, los demas.

d) Se reducen los terminos semejantes.

e) Se despeja la incognita, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de la incognita.

Ejemplo 1.1

1)13 − 2x

6+

5x − 2

4= 1 − x + 1

12.

a) No tiene parentesis.

b) m.c.m.(6, 4, 12) = 12 =⇒ 2(13 − 2x) + 3(5x − 2)

12=

12 − (x + 1)

12.

Suprimir el 12 en los dos miembros es lo mismo que multiplicarlos por 12; ası,

26 − 4x + 15x − 6 = 12 − x − 1.

c) −4x + 15x + x = 12 − 1 − 26 + 6.

d) 12x = −9.

e) x = − 9

12= −3

4.

2)7x2 − 9

7− 2

(

x − 3

2

)2

=(x + 2)2

2− x.

a)7x2 − 9

7− x2 − 6x + 9

2=

x2 + 4x + 4

2− x.

b) m.c.d.(7, 2) = 14 =⇒ 2(7x2 − 9) − 7(x2 − 6x + 9)

14=

7(x2 + 4x + 4) − 14x

14.

c) 14x2 − 18 − 7x2 + 42x − 63 = 7x2 + 28x + 28 − 14x.

d) 14x2 − 7x2 − 7x2 + 42x − 28x + 14x = 28 + 18 + 63.

e) 28x = 109.

f) x =109

28.

Tema 3 3

1.4. Ecuaciones fraccionarias

El metodo para resolver las ecuaciones numericas fraccionarias es analogo al que hemos seguidopara las ecuaciones enteras; sin embargo, debemos tener presente que, para librar los terminos desus denominadores, debemos multiplicar los dos miembros por el mınimo denominador comun y estecontiene la incognita. En este caso, una vez halladas las soluciones, hemos de desechar las que anuleneste denominador comun pues, como sabemos, no se pueden multiplicar los dos miembros de unaecuacion por una expresion nula.

Ejemplo 1.2

1)3

x + 1− 4

x − 1=

2(x − 3)

x2 − 1.

El denominador comun es x2 − 1, que se anula para x = ±1. Ası,

3(x − 1) − 4(x + 1)

x2 − 1=

2(x − 3)

x2 − 1=⇒ 3x − 3 − 4x − 4 = 2x − 6 =⇒

=⇒ 3x − 4x − 2x = −6 + 3 + 4 =⇒ −3x = 1 =⇒ x = −1

3.

2)2(3x + 4)

x2 − 4− x + 3

x − 2=

4 − x

x + 2.

El denominador comun es x2 − 4, el cual se anula para x = ±2. Se tiene que

2(3x + 4) − (x + 2)(x + 3) = (x − 2)(4 − x) =⇒=⇒ 6x + 8 − x2 − 2x − 3x − 6 = 4x − 8 − x2 + 2x =⇒

=⇒ 6x − 2x − 3x − 4x − 2x = −8 − 8 + 6 =⇒ 5x = 10 =⇒ x = 2.

Como x = 2 es un valor que anula el denominador comun, no podemos considerarlo como solucionde la ecuacion.

1.5. Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado

Cuando tenemos una ecuacion formada por la igualacion a cero de un polinomio, esto es, P (x) = 0,y podemos descomponer P (x) en factores binomicos de primer grado, para buscar las soluciones de laecuacion, basta igualar a cero cada uno de los factores y hallar las raıces de cada ecuacion ası obtenida.

Ejemplo 1.3 Para la resolucion de la ecuacion x4 + 3x3 − x2 − 3x = 0, hacemos

P (x) = x4 + 3x3 − x2 − 3x = x(x − 1)(x + 1)(x + 3) = 0 =⇒

x = 0,x − 1 = 0 =⇒ x = 1,x + 1 = 0 =⇒ x = −1,x + 3 = 0 =⇒ x = −3.

En efecto, si P (x) = (a1x + b1)(a2x + b2) · · · (anx + bn), la ecuacion P (x) = 0 se convierte en

(a1x + b1)(a2x + b2) · · · (anx + bn) = 0 ⇐⇒

a1x + b1 =0,a2x + b2 =0,

...anx + bn =0.

Cada una de estas ecuaciones nos proporciona una raız de la ecuacion inicial.


Ejemplo 1.4 Para resolver la ecuacion 3ax − a + 6x2 − 2x = 0, hacemos

a(3x − 1) + 2x(3x − 1) = 0 ⇐⇒ (3x − 1)(a + 2x) = 0 ⇐⇒

⇐⇒

3x − 1 = 0 ⇐⇒ 3x = 1 ⇐⇒ x =1

3,

a + 2x = 0 ⇐⇒ 2x = −a ⇐⇒ x = −a

2.

1.6. Problemas de primer grado con una incognita

Una de las aplicaciones mas importantes del estudio de las ecuaciones es la resolucion de problemas.

En cualquier problema podemos distinguir unas cantidades conocidas, llamadas datos, y otrasdesconocidas que reciben el nombre de incognitas, y que representaremos, generalmente, por lasletras x, y, z, ...

Todo problema nos proporciona una serie de relaciones entre los datos y las incognitas, que setrataran de expresar mediante ecuaciones. Al resolver estas ecuaciones, obtendremos los valores de lasincognitas, que constituyen la solucion del problema, con la condicion de que cumplan todos losrequisitos de este, aun aquellos que no puedan ser traducidos en las ecuaciones.

Un problema se llama de primer grado cuando da lugar a una ecuacion de primer grado; de lamisma forma podrıamos hablar de problemas de segundo, tercer, cuarto grado, etc., segun que lasecuaciones matematicas sean de segundo, tercer, cuarto grado, etc.

Podemos resumir en el siguiente esquema los pasos que se precisan seguir en la resolucion de unproblema con una incognita:

a) Representar por una letra (en general, por x) la cantidad que ha de considerarse como incognita.

b) Expresar con una ecuacion la relacion entre los datos y la incognita: traducir en sımbolos o expre-siones matematicas lo que nos dice el enunciado del problema.

c) Resolver la ecuacion obtenida.

d) Comprobar si el resultado de la ecuacion cumple todas las condiciones expresadas en el enunciado.

Los dos primeros puntos son los mas importantes, los mas difıciles y los que requieren mas ejercicio.Es esencial tomar como incognita una cantidad clave, a partir de la cual podamos expresar matemati-camente el problema. Para ello, es aconsejable leer con atencion el enunciado del problema hasta quehayamos captado completamente su significado.

Para comprender el procedimiento que se sigue, veamos algunos ejemplos.

Problema 1 Hallar el numero cuyo quıntuplo, disminuido en los 3/4 del mismo, es igual al triple dela suma de dicho numero con cinco.

Sea x el numero pedido. Traduzcamos ahora el problema a una expresion matematica:

Enunciado Traduccion matematica

Hallar un numero xcuyo quıntuplo 5x

disminuido en los 3/4 5x − 3

4x

es igual al triple 5x − 3

4x = 3

de la suma de dicho numero mas cinco 5x − 3

4x = 3(x + 5)

Tema 3 5

Ası,

5x − 3

4x = 3(x + 5) ⇐⇒ 5x − 3

4x = 3x + 15 ⇐⇒ 20x − 3x

4= 3x + 15 ⇐⇒

⇐⇒ 17x = 4(3x + 15) ⇐⇒ 17x = 12x + 60 ⇐⇒ 17x − 12x = 60 ⇐⇒⇐⇒ 5x = 60 ⇐⇒ x = 12.

Problema 2 El area de un rectangulo aumenta 185 cm2 cuando la base y la altura se ven aumentadasen 5 cm cada una. Hallar las dimensiones del rectangulo sabiendo que la primera es triple de lasegunda.

Si la altura vale x, la base sera 3x.

El area sera 3x · x = 3x2.

El area aumentada en 185 cm2 sera 3x2 + 185.

El nuevo area se obtiene cuando las nuevas dimensiones son 3x + 5 y x + 5, es decir, dichoarea es igual a (3x + 5)(x + 5).

La ecuacion del problema sera pues

3x2 + 185 = (3x + 5)(x + 5),

cuya solucion es x = 8. Las dimensiones seran entonces base= 3 · 8 = 24 cm y altura= 8 cm.

Problema 3 Hallar dos numeros impares consecutivos tales que la mitad mas la cuarta parte delmenor sumen lo mismo que la mitad y la septima parte del mayor.

Sea x el menor. El mayor sera entonces x + 2.

La mitad y la cuarta parte del menor es igual ax

2+

x

4.

La mitad y la septima parte del mayor es igual ax + 2

2+

x + 2

7.

La ecuacion correspondiente a este problema viene dada por

x

2+

x

4=

x + 2

2+

x + 2

7.

La solucion de la ecuacion es x = 12, que no es solucion del problema, ya que su enunciado pidehallar numeros impares.

Problema 4 Un padre tiene 38 anos, su hijo, 10, y su hija mayor, 14. ¿Cuantos anos han de pasarpara que la edad del padre sea 3 veces la del hijo? ¿Y cuantos para que la edad del padre sea 3veces la de la hija?

Este problema se considerara como dos problemas distintos, con los mismos datos.

a) Sea x el numero de anos que han de pasar para que el padre tenga el triple de edad que elhijo. Entonces, al cabo de x anos, la edad del padre sera igual a 38 + x mientras que la delhijo sera 10 + x. La ecuacion del problema viene dada pues por

38 + x = 3(10 + x),

cuya solucion es x = 4 anos. De este modo, dentro de 4 anos, la edad del padre sera el triplede la edad del hijo. En efecto; 38 + 4 = 42, 10 + 4 = 14, 42 = 3 · 14.


b) Sea y el numero de anos que deben transcurrir para que el padre tenga triple edad que lahija. Transcurridos esos y anos, la edad del padre sera de 38 + y y la de la hija 14 + y. Laecuacion que se obtiene es entonces

38 + y = 3(14 + y),

cuya solucion es y = −2. Este valor negativo nos dice que hace dos anos que la edad delpadre fue el triple de la edad de la hija. Ası es; 38 − 2 = 36, 14 − 2 = 12, 36 = 3 · 12.

2. Ecuaciones de segundo grado

Una ecuacion entera es de segundo grado si el mayor exponente de la incognita es 2. Su formageneral completa, despues de quitar denominadores, parentesis y reducir terminos semejantes es

ax2 + bx + c = 0,

donde a es el coeficiente del termino de segundo grado, llamado tambien coeficiente cuadratico o primer

coeficiente; b es el coeficiente del termino de primer grado, tambien denominado coeficiente lineal; ces el termino independiente.

Cuando algun coeficiente de la ecuacion es nulo, diremos que la ecuacion es incompleta. Se puedenpresentar los casos siguientes:

1) Si a = 0 se obtiene la ecuacion de primer grado bx + c = 0, cuya solucion es

x = −c

b.

2) Si b = 0 obtenemos una ecuacion de segundo grado pura: ax2 + c = 0. Esta se puede resolver delmodo siguiente:

ax2 + c = 0 ⇐⇒ ax2 = −c ⇐⇒ x2 = − c

a⇐⇒ x = ±

√

− c

a.

Notese que, sic

a> 0, esta ecuacion no tendra solucion real, pues un numero al cuadrado, x2, no

puede ser igual a un numero negativo, − c

a.

3) Si c = 0 la ecuacion queda en la forma ax2 + bx = 0, de modo que se obtienen dos soluciones:

ax2 + bx = 0 ⇐⇒ x(ax + b) = 0 ⇐⇒{

x = 0,

ax + b = 0 ⇐⇒ x = − b

a.

4) Si b = 0 y c = 0 la ecuacion se reduce a ax2 = 0, que tiene como solucion doble x = 0.

2.1. Resolucion de la ecuacion general. Soluciones

Dada la ecuacion completa de segundo grado ax2 + bx + c = 0, sus soluciones vienen dadas por

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2a, x2 =

−b −√

b2 − 4ac

2a.

Tema 3 7

Ejemplo 2.1 Halla las soluciones de la ecuacion 3x2 − 2x − 1 = 0.

x =2 ±

√4 + 12

6=

2 ± 4

6=⇒

{

x1 =1,

x2 =−1

3.

A la expresion b2 − 4ac la denominaremos discriminante y se denotara por el sımbolo ∆.Notese que, segun los valores del discriminante, se pueden distinguir los casos siguientes:

Si ∆ > 0 se obtienen dos soluciones reales distintas.

Si ∆ = 0 se obtiene una raız doble.

Si ∆ < 0 la ecuacion no tiene soluciones reales, ya que los numeros negativos no tienen raızcuadrada real.

2.2. Suma y producto de las raıces. Forma canonica de una ecuacion de segundo grado

Dada una ecuacion de segundo grado ax2 + bx+ c = 0, se pueden conocer la suma y el producto desus raıces y expresarlas en funcion de los coeficientes a, b y c sin necesidad de conocer las soluciones.En efecto, si denotamos por s y p, respectivamente, a la suma y el producto de las raıces de la ecuacion,x1 y x2, se tiene que

s = x1 + x2 = − b

a, p = x1x2 =

c

a.

Ejemplo 2.2 Para la ecuacion 3x2 + 2x − 4 = 0, tenemos

s = x1 + x2 = −2

3, p = x1x2 = −4

3.

Dada la ecuacion de segundo grado ax2+bx+c = 0 y continuando con la notacion anterior, si dividimostodos los terminos por a, resulta

x2 +b

ax +

c

a= 0 ⇐⇒ x2 −

(

− b

a

)

x +c

a= 0,

es decir, se obtiene la ecuacionx2 − sx + p = 0,

llamada forma canonica de la ecuacion de segundo grado, y que nos da la ecuacion en funcion de lasuma y el producto de sus raıces.

Ejemplo 2.3 Hallar la forma canonica de la ecuacion3

x + 1− x

x − 1= 2.

El denominador comun es (x + 1)(x − 1) = x2 − 1, de modo que resulta

3(x − 1) − x(x + 1) = 2(x2 − 1) ⇐⇒ 3x − 3 − x2 − x = 2x2 − 2 ⇐⇒ −3x2 + 2x − 1 = 0.

Dividiendo entre −3, se obtiene la forma canonica:

x2 − 2

3x +

1

3= 0.

La forma canonica nos permite resolver dos problemas importantes:

Conociendo la suma y el producto de dos numeros, hallar dichos numeros.


a) Planteamos la ecuacion x2 − sx + p = 0.

b) Resolvemos la ecuacion y obtenemos las dos soluciones pedidas, x1 y x2.

Ejemplo 2.4 Halla dos numeros cuya suma sea −3

5y cuyo producto sea −2

5.

Dichos numeros seran las soluciones de la ecuacion x2 +3

5x − 2

5= 0. Ası,

x2 +3

5x − 2

5= 0 ⇐⇒ 5x2 + 3x − 2 = 0 ⇐⇒

⇐⇒ x =−3 ±

√9 + 40

10=

−3 ± 7

10=⇒

{

x1 =2

5,

x2 =−1.

Conocidas las raıces o soluciones, x1 y x2, construir la ecuacion de segundo grado. Para ellobasta hacer

s = x1 + x2, p = x1x2 =⇒ x2 − sx + p = 0.

Ejemplo 2.5 Formar una ecuacion de segundo grado cuyas raıces sean −3

2y 3.

s = −3

2+ 3 =

3

2, p = −3

23 = −9

2=⇒ x2 − 3

2x − 9

2= 0.

2.3. Descomposicion en factores de un trinomio de segundo grado

Considerese el polinomio P (x) = ax2+bx+c. Este trinomio de segundo grado se puede descomponeren factores, resolviendo la ecuacion asociada al trinomio: ax2 + bx + c = 0.

Sabemos que, si x1 y x2 son las dos raıces de esta ecuacion, podemos escribir

s = x1 + x2 = − b

a, p = x1x2 =

c

a.

Aplicando estas formulas a la descomposicion de P (x), tendremos que

P (x) = ax2 + bx + c = a

(

x2 +b

ax +

c

a

)

= a

[

x2 −(

− b

a

)

x +c

a

]

=

= a[

x2 − (x1 + x2)x + x1x2

]

= a(x2 − x1x − x2x + x1x2) =

= a [x(x − x1) − x2(x − x1)] = a(x − x1)(x − x2),

esto es,

P (x) = a(x − x1)(x − x2).

Ejemplo 2.6 Para descomponer el trinomio P (x) = 3x2 + 5x− 2, consideramos su ecuacion asociada,

3x2 +5x− 2 = 0, cuyas raıces son x1 =1

3y x2 = −2. Como las dos raıces son reales, podemos escribir

P (x) = 3x2 + 5x − 2 = 3

(

x − 1

3

)

(x + 2).

Tema 3 9

2.4. Ecuaciones trinomias

Una ecuacion trinomia es aquella que puede reducirse a la forma

ax2m + bxm + c = 0. (1)

Las ecuaciones trinomias en las que m = 2 se llaman ecuaciones bicuadradas.Para la resolucion de (1) hacemos y = xm, y obtenemos la ecuacion de segundo grado

ay2 + by + c = 0.

Una vez conocidas las soluciones de esta ecuacion, y1 e y2, debemos resolver

xm = y1, xm = y2.

Ejemplo 2.7

1) Para resolver la ecuacion x4−5x2−36 = 0, hacemos y = x2 obteniendo la ecuacion y2−5y−36 = 0,cuyas soluciones son y1 = 9 e y2 = −4. Ahora bien,

y1 = 9 = x2 =⇒ x = ±3 =⇒ x1 = −3, x2 = 3,

y2 = −4 = x2 =⇒ No se obtiene ninguna solucion real.

2) En la resolucion de la ecuacion 8x6 − 63x3 − 8 = 0, realizamos el cambio de variable y = x3; la

ecuacion resultante es 8y2 − 63y − 8 = 0, cuyas soluciones son y1 = −1

8e y2 = 8. Entonces

y1 = −1

8= x3 =⇒ x1 =

3

√

−1

8= −1

2,

y2 = 8 = x3 =⇒ x2 =3√

8 = 2.

2.5. Resolucion de ecuaciones irracionales

Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en las que alguna de las incognitas figura bajo elsigno radical.

Estudiaremos aquı solo las ecuaciones irracionales con radicales cuyo ındice es 2. Ası, son ecuacionesirracionales las siguientes:

√x − 3 = x,

√

x2 − 1 = 1, x =1√

x2 − 5.

La resolucion de ecuaciones irracionales se basa en el siguiente principio:

Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuacion, se obtiene otra ecuacion que,ademas de tener las soluciones de la primera, contiene las de una segunda, obtenida alcambiar de signo a uno de los miembros de la ecuacion dada.

Efectivamente; consideremos la ecuacion

A(x) = B(x). (2)

Elevando al cuadrado los dos miembros resulta la ecuacion

A(x)2 = B(x)2 ⇐⇒ A(x)2 − B(x)2 = 0, (3)


que es, en realidad, una diferencia de cuadrados:

[A(x) − B(x)] [A(x) + B(x)] = 0, (4)

cuyas soluciones vendran dadas por

{

A(x) − B(x) = 0 ⇐⇒ A(x) = B(x),A(x) + B(x) = 0 ⇐⇒ A(x) = −B(x).

De este modo, la ecuacion (4) y, por tanto, la ecuacion (3), contiene, ademas de las soluciones deA(x) = B(x), las de A(x) = −B(x), como se querıa demostrar.

Una consecuencia fundamental que se puede extraer de lo anterior es que siempre que la resolucionde una ecuacion exija elevar sus dos miembros al cuadrado, es preciso comprobar si las solucioneshalladas satisfacen la ecuacion propuesta.

Ejemplo 2.8

1) Resolver la ecuacion 18 −√

x + 10 = 2.

Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuacion, el radical no desaparece; para eliminarel radical, habra que aislarlo en uno de los dos miembros:

18 − 2 =√

x + 10.

Elevando al cuadrado los dos miembros resulta

256 = x + 10 =⇒ x = 246.

Comprobamos que la solucion obtenida es valida:

18 −√

246 + 10 = 18 − 16 = 2.

2) Para resolver la ecuacion√

4x + 1 −√

3x − 2 = 1, aislamos un radical y elevamos al cuadrado:

(√4x + 1

)2=(

1 +√

3x − 2)2 ⇐⇒

⇐⇒ 4x + 1 = 1 + 2√

3x − 2 + 3x − 2 ⇐⇒ 4x + 1 = 2√

3x − 2 + 3x − 1.

Aislamos el radical resultante y reducimos los terminos semejantes:

2√

3x − 2 = 4x + 1 − 3x + 1 ⇐⇒ 2√

3x − 2 = x + 2.

Elevamos entonces al cuadrado:

4(3x − 2) = x2 + 4x + 4 ⇐⇒ 12x − 8 = x2 + 4x + 4 ⇐⇒ x2 − 8x + 12 = 0.

Las soluciones de la ecuacion de segundo grado obtenida son x1 = 2 y x2 = 6. Comprobamos, porultimo, si estas son soluciones de la ecuacion irracional inicial:

√8 + 1 −

√6 − 2 =3 − 2 = 1,

√24 + 1 −

√18 − 2 =5 − 4 = 1.

Ambas soluciones son validas.

Tema 3 11

3. Sistemas de ecuaciones de primer grado

3.1. Sistemas de primer grado con dos incognitas

Un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas es de primer grado o lineal cuando las dosecuaciones que lo forman son de primer grado o lineales, y tendra la forma que sigue:

{

a1x + b1y =c1,a2x + b2y =c2,

donde a1, a2, b1, b2, c1, c2 son numeros reales. Llamamos solucion del sistema a todo par (x0, y0) quesatisfaga las dos ecuaciones del sistema.

Para su resolucion presentamos aquı los tres metodos mas conocidos: el de sustitucion, el deigualacion y el de reduccion.

3.1.1. Metodo de sustitucion

Dado el sistema{

a1x + b1y =c1,a2x + b2y =c2,

se despeja una de las incognitas de una de las ecuaciones, a ser posible, la que tenga como coeficiente1 o −1; en este caso, despejemos y de la primera ecuacion:

y =c1 − a1x

b1

.

A continuacion se sustituye este valor de y en la segunda ecuacion:

a2x + b2

c1 − a1x

b1

= c2.

Observese que la ecuacion ası obtenida solo posee una incognita y se puede resolver facilmente sin masque despejar x:

x =b1c2 − b2c1

a2b1 − a1b2

.

Una vez conocido el valor de x, lo sustituimos en la expresion de y.

Ejemplo 3.1 Considerese el sistema

{

5x − 2y = 4,3x + y = 9.

En la segunda ecuacion despejamos y,y = 9 − 3x,

y lo sustituimos en la primera ecuacion, obteniendo ası una ecuacion de primer grado cuya unicaincognita es x:

5x − 2(9 − 3x) = 4 ⇐⇒ 5x − 18 + 6x = 4 ⇐⇒ 11x = 22 ⇐⇒ x = 2.

Sustituyendo ahora el valor de x en la expresion de y se tiene que

y = 9 − 3 · 2 = 3.

Ası, la solucion del sistema es (2, 3).


3.1.2. Metodo de igualacion

Dado un sistema en su forma normal{

a1x + b1y =c1,a2x + b2y =c2,

podemos despejar la misma incognita en las dos ecuaciones; por ejemplo, x:

x =c1 − b1y

a1

, x =c2 − b2y

a2

.

Entonces debe serc1 − b1y

a1

=c2 − b2y

a2

,

esto es, se ha obtenido una ecuacion de primer grado en y. Una vez resuelta esta, sustituimos el valorde y en cualquiera de las expresiones obtenidas para x.

Ejemplo 3.2 Sea el sistema

3x + 4y

2= x − 2,

x

y=

1

y− 3

2.

Antes de resolverlo, transformemoslo en su for-

ma normal:

3x + 4y

2= x − 2

x

y=

1

y− 3

2

⇐⇒{

3x + 4y = 2x − 42x = 2 − 3y

⇐⇒{

x + 4y = −42x + 3y = 2

Despejando x en las dos ecuaciones obtenemos:

x = −4 − 4y, x =2 − 3y

2⇐⇒ −4 − 4y =

2 − 3y

2⇐⇒

⇐⇒ −8 − 8y = 2 − 3y ⇐⇒ −5y = 10 ⇐⇒ y = −2.

Sustituyendo en la primera expresion de x se obtiene finalmente

x = −4 − 4(−2) = 4.

3.1.3. Metodo de reduccion

Dado el sistema{

3x − 2y = 6,5x + 2y = 10,

podemos sumar las dos ecuaciones que lo forman, obteniendo ası una ecuacion en x:

3x − 2y = 6+ 5x + 2y = 10

8x = 16

de donde x = 2. Sustituyendo ahora este valor en cualquiera de las ecuaciones, se obtiene el valor dey; hagamoslo, por ejemplo, en la primera:

3 · 2 − 2y = 6 ⇐⇒ −2y = 0 ⇐⇒ y = 0.

La solucion del sistema es pues (2, 0).

Tema 3 13

Ejemplo 3.3 Resolver, por el metodo de reduccion, el sistema

{

2x − 3y = 5,3x + 4y = 7.

Lo que se pretende es eliminar una de las dos incognitas. Como los coeficientes de y tienen signoopuesto, basta con multiplicar por 4 la primera ecuacion y por 3 la segunda, sumando despues lasecuaciones resultantes:

2x − 3y = 5×4−−→ 8x − 12y = 20

3x + 4y = 7×3−−→ 9x + 12y = 21

17x = 41

de donde x =41

17. Para eliminar x, podemos multiplicar la primera ecuacion por −3 y la segunda por

2, sumando a continuacion:

2x − 3y = 5×−3−−−→ −6x + 9y = −15

3x + 4y = 7×2−−→ 6x + 8y = 14

17y = −1

con lo que y = − 1

17.

3.2. Sistemas de primer grado con tres incognitas

Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incognitas es de la forma

a1x + b1y + c1y =d1,a2x + b2y + c2y =d2,a3x + b3y + c3y =d3.

En una de las tres ecuaciones podremos despejar una incognita y sustituirla en las otras dos, obteniendoası un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, que podemos resolver utilizando cualquiera delos metodos estudiados anteriormente.

Las soluciones obtenidas se sustituyen en la expresion de la primera incognita despejada, hallandode este modo su valor.

Ejemplo 3.4 Resolver el sistema

3x − 4y − 2z = 2,x + 5y + 3z = 5,

2x + y − z = 11.

En la segunda ecuacion despejamos x:

x = 5 − 5y − 3z,

y sustituimos el valor de esta incognita en las otras dos ecuaciones:

{

3(5 − 5y − 3z) − 4y − 2z = 22(5 − 5y − 3z) + y − z = 11

⇐⇒{

−19y − 11z = −13−9y − 7z = 1

Resolvemos ahora este sistema de dos ecuaciones con dos incognitas:

−19y − 11z = −13−9−−→ 171y + 99z = 117

−9y − 7z = 119−→ −171y − 133z = 19

−34z = 136


con lo que z = −4. Por otro lado,

−19y − 11z = −13−7−−→ 133y + 77z = 91

−9y − 7z = 111−→ −99y − 77z = 11

34y = 102

de donde y = 3. Sustituyendo los valores de y y z en la expresion de x se obtiene finalmente

x = 5 − 5 · 3 − 3(−4) = 2,

de manera que la solucion del sistema es la terna (2, 3,−4).

4. Sistemas de ecuaciones de grado superior

4.1. Sistemas de segundo grado con dos incognitas

Como el grado de un sistema es el producto de los grados de las ecuaciones que lo componen, paraque un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas sea de segundo grado, debera estar formado poruna ecuacion de primer grado y otra segundo. Luego su forma normal es

{

ax + by = c,mx2 + ny2 + pxy + qx + ry + s = 0,

donde a, b, c,m, n, p, q, r, s son numeros reales.Para resolver un sistema de segundo grado, puede emplearse el metodo de sustitucion, despejando

una incognita en la ecuacion de primer grado y sustituyendo en la de segundo grado. Resulta ası unaecuacion de segundo grado con una incognita cuyas raıces, sustituidas en la expresion de la incognitadespejada, nos proporciona los valores correspondientes a esta.

Ejemplo 4.1

1) Resolver el sistema

{

3x + y = 5,x2 − y2 = 3.

Despejando y en la primera ecuacion y sustituyendo su expresion en la segunda se obtiene:

y = 5 − 3x =⇒ x2 − (5 − 3x)2 = 3 =⇒ 4x2 − 15x + 14 = 0.

Resolvemos ahora esta ecuacion de segundo grado:

x =15 ±

√225 − 224

8=

15 ± 1

8=⇒

x1 =2,

x2 =7

4.

Si x1 = 2 entonces y1 = 5 − 3 · 2 = −1. Si x2 =7

4entonces y2 = 5 − 3

7

4= −1

4. De este modo las

soluciones del sistema son x1 = 2, y1 = −1, x2 =7

4e y2 = −1

4.


{

x + y = 8,xy = 12.

Despejando x de la primera ecuacion y sustituyendo en la segunda se tiene que

x = 8 − y =⇒ (8 − y)y = 12 =⇒ y2 − 8y + 12 = 0 =⇒

=⇒ y =8 ±

√64 − 48

2=

8 ± 4

2=⇒

{

y1 =6,y2 =2.

Si y1 = 6 se tiene que x1 = 8− 6 = 2, y si y2 = 2 entonces x2 = 8− 2 = 6, de modo que las solucionesdel sistema son (2, 6) y (6, 2).

Tema 3 15

4.2. Sistemas de dos ecuaciones de segundo grado

Aplicando el metodo de sustitucion a un sistema de dos ecuaciones de segundo grado –cuandosea posible hacerlo sin demasiadas complicaciones–, se llega a ecuaciones de cuarto grado que solopodemos resolver en casos especiales –por ejemplo, si son bicuadradas–.

Ejemplo 4.2 Para resolver el sistema

{

2x2 + y2 = 17,xy = 6,

despejamos x en la segunda ecuacion y sus-

tituimos en la primera:

x =6

y,

2

(

6

y

)2

+ y2 = 17.

Resolviendo la segunda ecuacion:

72

y2+ y2 = 17 =⇒ y4 − 17y2 + 72 = 0 =⇒

=⇒ y2 =17 ±

√289 − 288

2=

17 ± 1

2=⇒

y2 = 8

{

y1 = 2√

2

y2 = −2√

2

y2 = 9

{

y3 = −3y4 = 3

De este modo,

y1 = 2√

2 =⇒ x1 =6

2√

2=

3√

2

2, y2 = −2

√2 =⇒ x2 =

6

−2√

2= −3

√2

2,

y3 = −3 =⇒ x3 =6

−3= −2, y4 = 3 =⇒ x4 =

6

3= 2.

De este modo, se han obtenido cuatro soluciones:

(

3√

2

2, 2√

2

)

,

(

−3√

2

2,−2

√2

)

, (−2,−3), (2, 3).

En otros sistemas resulta sencillo eliminar una de las incognitas empleando el metodo de reduccion.

Ejemplo 4.3 Resolver el sistema

{

x2 + 3y2 = 49/48x2 − y2 = −2

Usando el metodo de reduccion resulta:

x2 + 3y2 = 49/4×8−−→ 8x2 + 24y2 = 98

8x2 − y2 = −2×−1−−−→ −8x2 + y2 = 2

25y2 = 100

de donde se obtienen y1 = −2 e y2 = 2. Ahora bien, sustituyendo estos valores en la primera ecuaciondel sistema se obtiene:

y1 = −2 =⇒ x2 + 12 =49

4=⇒ x2 =

1

4=⇒ x = ±1

2,

y2 = 2 =⇒ x2 + 12 =49

4=⇒ x2 =

1

4=⇒ x = ±1

2,

con lo que las soluciones del sistema son los pares

(

1

2,−2

)

,

(

−1

2,−2

)

,

(

1

2, 2

)

,

(

−1

2, 2

)

.


4.3. Problemas con dos o mas incognitas

En ocasiones, en la resolucion de un problema, es bastante complicado encontrar una cantidadclave a partir de la cual podamos expresar matematicamente las relaciones de un problema. En esecaso se pueden considerar dos o mas incognitas, indicadas usualmente por x, y, z, . . . y, expresandolas relaciones existentes entre estas incognitas y los datos conocidos, formar tantas ecuaciones comoincognitas hayamos introducido.

El procedimiento seguido para este tipo de problemas es, sustancialmente, el que se ha establecidopara los problemas con una incognita. La unica diferencia reside en que, como hemos apuntado antes,se han de formar tantas ecuaciones como incognitas se hayan fijado. Consideremos varios ejemplos.

Problema 1.– Las dos cifras de un numero suman 12. Hallar dicho numero, sabiendo que si se invierteel orden de sus cifras, el numero disminuye en 36.

Recordemos que un numero de tres cifras, por ejemplo, 528, se puede expresar de la siguienteforma:

528 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8.

Ası, si x e y indican, respectivamente, las decenas y las unidades de un numero de dos cifras,dicho numero sera

10x + y;

mientras que el numero que se obtiene al invertir las cifras del anterior sera

10y + x.

Teniendo en cuenta los datos del problema, podemos establecer el sistema

{

x + y = 12,10x + y − 36 = 10y + x,

que tiene como solucion x = 8 e y = 4, con lo que el numero buscado es el 84.

Problema 2.– Si se aumenta la longitud de un campo rectangular en 5 m y la anchura en 7 m, lasuperficie aumenta en 830 m2; mientras que si se disminuye la longitud en 8 m y la anchura en4 m, la superficie disminuye en 700 m2. Calcular las dimensiones del campo.

y + 7 y y − 4

x − 8

x

x + 5

Tema 3 17

Si x e y representan, en metros, la longitud y la anchura, respectivamente, el area del camposera xy m2. El area aumentada sera xy + 830, mientras que las dimensiones aumentadas delcampo son x + 5 e y + 7, con lo que debe ser (x + 5)(y + 7) = xy + 830. El area disminuidasera xy−700, y las nuevas dimensiones son x−8 e y−4, de modo que (x−8)(y−4) = xy−700.De este modo, podemos escribir el sistema

{

(x + 5)(y + 7) =xy + 830,(x − 8)(y − 4) =xy − 700,

que, despues de simplificar, resulta

{

7x + 5y =795,4x + 8y =732,

cuya solucion es x = 75 e y = 54. Entonces

la longitud del campo es de 75 m y su anchura de 54 m.

Problema 3.– Dos trenes salen al mismo tiempo desde dos puntos distantes 576 km. Cuando van alencuentro, lo hacen en 4 horas. Cuando ambos van en la misma direccion, el mas veloz alcanzaal mas lento despues de 16 horas. Hallar las velocidades de los dos trenes.

| |

| |

A B576 kmv2 v2 v1

Sea v1 la velocidad del tren mas rapido y v2 la del mas lento.

El espacio recorrido por cada tren despues de 4 horas es 4v1 y 4v2, respectivamente, de dondela ecuacion que se obtiene es 4v1 + 4v2 = 576.

Por otro lado, despues de 16 horas, los espacios recorridos son 16v1 y 16v2, de manera que laecuacion es 16v1 = 16v2 + 576.

Tenemos ası las dos ecuaciones que resuelven el problema:{

4v1 + 4v2 = 576,6v1 = 16v2 + 576,

cuyas soluciones son v1 = 90 km/h y v2 = 54 km/h.

5. Inecuaciones

5.1. Inecuaciones y desigualdades

Escribir una desigualdad es expresar matematicamente que una expresion A es mayor o menorque otra B:

A > B o A < B.

A la expresion A la llamaremos primer miembro de la desigualdad, y a la expresion B, segundo

miembro.Cuando se desea expresar el conjunto de todos los numeros mayores que 8, se hace por medio de

la siguiente inecuacion:x > 8,

y en la recta real lo representamos por medio del intervalo infinito (8,+∞):


bc

8

R

Para indicar el conjunto de todos los numeros reales comprendidos entre 9 y 10, escribimos la inecuaciondoble 9 < x < 10, que geometricamente expresa el intervalo (9, 10):

bc bc

9 10

R

La inecuacion x ≤ a indica el conjunto de todos los numeros reales menores o iguales que a:

b

aR

Llamamos inecuacion a una desigualdad en la que aparece alguna variable en alguno de sus miembros.Resolver una inecuacion es determinar el conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.Mientras que una ecuacion se satisface solo para determinados valores de sus incognitas, las inecua-

ciones tienen infinitas soluciones, que son todos los numeros pertenecientes a determinados intervalos.Dos inecuaciones se dicen equivalentes si se satisfacen para los mismos valores.Los principios que rigen a las desigualdades son los siguientes:

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta la misma expresion, se obtiene unanueva desigualdad del mismo sentido:

a > b =⇒ a ± c > b ± c.

Ejemplo 5.1

8 > 5 =⇒{

8 + 3 > 5 + 3,8 − 7 > 5 − 7.

2) Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene una nueva des-igualdad del mismo sentido que las primeras:

a > b+ c > d

a + c > b + d

Ejemplo 5.2

3 < 5+ −7 < −2

−4 < 3

3) Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un numero positivo, obtenemosuna nueva desigualdad del mismo sentido. Si el numero es negativo, la desigualdad cambia desentido:

a > b =⇒ ac > bc, ∀ c > 0; a > b =⇒ ac < bc, ∀ c < 0.

Ejemplo 5.3

3 > 1 =⇒ 3 · 2 = 6 > 2 = 1 · 2, 3 > 1 =⇒ 3(−2) = −6 < −2 = 1(−2).

Tema 3 19

Consecuencias:

a) Si cambiamos de signo todos los terminos de una desigualdad, esta cambia de sentido, puesestamos multiplicando ambos miembros por −1.

b) Podemos eliminar los denominadores de una desigualdad, multiplicando todos los terminos porun multiplo del denominador comun, teniendo siempre en cuenta el signo de ese multiplo.

4) Si a y b tienen el mismo signo,

a < b =⇒ 1

a>

1

b.

Ejemplo 5.4

3 < 4 =⇒ 1

3>

1

4, −5 > −8 =⇒ −1

5< −1

8.

5) Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural impar,resulta una desigualdad del mismo sentido.

Ejemplo 5.5

−3 < −2 =⇒ (−3)3 < (−2)3.

6) Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural par,

a) el sentido de la desigualdad no cambia si los dos miembros son positivos;

Ejemplo 5.6

3 < 5 =⇒ 32 = 9 < 25 = 52;

b) se invierte el sentido de la desigualdad si los dos miembros son negativos;

Ejemplo 5.7

−7 < −2 =⇒ (−7)2 = 49 > 4 = (−2)2;

c) no se puede predecir el sentido de la desigualdad si los miembros tienen distinto signo.

Ejemplo 5.8

−5 < 2 =⇒ (−5)2 = 25 > 4 = 22, −2 < 3 =⇒ (−2)2 = 4 < 9 = 32.

Los principios expuestos para las desigualdades son perfectamente validos para las inecuaciones. Enefecto, si una vez resuelta la inecuacion, sustituimos en la variable uno de los valores hallados, obtene-mos una desigualdad en la que se cumplen todos estos principios; y esto para todo valor que satisfagala inecuacion.

5.2. Inecuaciones de primer grado

Una inecuacion es de primer grado si despues de realizar las operaciones necesarias para suprimirparentesis y denominadores, y reducir terminos semejantes, queda en la forma

ax > b.

Si a > 0 entonces x >b

a, y si a < 0 entonces x <

b

a.


Ejemplo 5.9 Para la resolucion de la inecuacion 3(x + 2) > 5 + 5x procedemos como sigue:

3x + 6 > 5 + 5x ⇐⇒ 3x − 5x > 5 − 6 ⇐⇒ −2x > −1 ⇐⇒ 2x < 1 ⇐⇒ x <1

2.

La representacion geometrica de esta solucion viene dada porbc

1

2

R

5.3. Sistemas de inecuaciones en una variable

Un sistema de inecuaciones en una variable esta formado por un conjunto de inecuaciones enla misma variable.

La solucion de tal sistema estara formada por el conjunto de numeros reales que verifiquen, ala vez, todas las inecuaciones. Para hallar esta solucion, se resuelven, por separado, cada una de lasinecuaciones y, a continuacion, se toman los valores comunes a todas estas soluciones.

Ejemplo 5.10


2x − 2

5+

5 − 2x

1< 1,

x + 2

3+

2x − 3

4>

3

4.

Resolviendo las dos inecuaciones por separado se tiene que{

6x − 6 + 25 − 10x < 154x + 8 − 6x + 9 > 9

=⇒{

−4x < −4−2x > −8

=⇒{

x > 1x < 4

bc

bc

1 4

x < 4

x > 1

1 < x < 4

Es facil observar que la solucion viene dada por la doble desigualdad 1 < x < 4.


13x − 2

12− 1 <

3x − 2

10+

x + 1

5,

(2x + 1)2 − 8 ≤ (2x − 1)2,(x + 1)(x − 1) > (x − 2)2 − 3.

Resolviendo separadamente las inecuaciones se tiene que

65x − 10 − 60 < 18x − 12 + 12x + 124x2 + 4x + 1 − 8 ≤ 4x2 − 4x + 1x2 − 1 > x2 − 4x + 4 − 3

=⇒

35x < 708x ≤ 84x > 2

=⇒

x < 2x ≤ 1

x >1

2

Tema 3 21

bc

bc

b

1

21 2

x > 1/2

x ≤ 1

x < 2

1

2< x ≤ 1

La solucion a este sistema es1

2< x ≤ 1.

5.4. Inecuaciones de segundo grado

Una inecuacion es de segundo grado si, aplicando los principios de las desigualdades, quedareducida a la forma

ax2 + bx + c ≶ 0.

Para la resolucion de esta inecuacion, es necesario estudiar el signo del trinomio de segundo grado

P (x) = ax2 + bx + c. Segun sea el valor del discriminante –recuerdese que este era ∆ = b2 − 4ac–, sepueden presentar tres casos:

Si ∆ > 0, la ecuacion asociada al trinomio tiene dos raıces reales y distintas, x1 y x2, quesupondremos x1 < x2. En este caso se tiene que

P (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Para conocer el signo del trinomio, nos bastara conocer el signo de los tres factores: a, x − x1 yx − x2.

Las raıces x1 y x2 dividen la recta real en tres intervalos, como aparecen en la siguiente figura:

| |

x1 x2

I1 I2 I3

R

Si x ∈ I1 entonces x < x1 y x < x2, es decir, x−x1 < 0 y x−x2 < 0, con lo que (x−x1)(x−x2) > 0.De este modo, el trinomio P (x) = a(x − x1)(x − x2) tendra el mismo signo que su primercoeficiente.

Si x ∈ I2, entonces x1 < x < x2 de donde x−x1 > 0 y x−x2 < 0, con lo que (x−x1)(x−x2) < 0.Ası, el trinomio P (x) tendra signo contrario al de a.

Cuando x ∈ I3 se tiene que x > x1 y x > x2, esto es, x − x1 > 0 y x − x2 > 0, de manera queP (x) tendra el mismo signo que el primer coeficiente.

Si ∆ = 0 entonces la ecuacion asociada al trinomio posee una raız doble y se tiene que

P (x) = a(x − x1)2.

Como las dos soluciones coinciden, el intervalo I2 se reduce al punto x1, quedando unicamentelos intervalos I1 e I3. Como (x−x1)

2 siempre es positivo, el signo del trinomio sera siempre igualal signo de su primer coeficiente, y se anula para el valor x = x1.


Si ∆ < 0, las raıces de la ecuacion no son reales, y puede probarse que (x − x1)(x − x2) > 0,∀x ∈ R. En este caso el signo del trinomio sera siempre igual al de su primer coeficiente y nuncase anulara.

Ejemplo 5.11

1) Resolver la inecuacion 6x2 + 5x + 1 > 0.

Los ceros del trinomio son x1 = −1

2y x2 = −1

3. Como tiene raıces distintas, el trinomio toma el

signo positivo –el de su primer coeficiente– en x < −1

2y x > −1

3, cuya representacion geometrica

viene dada por

bc bc

−1

2−1

3

x < −1

2x > −1

3R

2) Resolver la inecuacion3(x2 − 1)

4> 3x2 +

5

2.

Multiplicando los dos miembros por 4 obtenemos:

3(x2 − 1) > 12x2 + 10 ⇐⇒ −9x2 − 13 > 0 ⇐⇒ 9x2 + 13 < 0.

La ecuacion asociada a esta inecuacion es 9x2 + 13 = 0, la cual no posee raıces reales ya que9x2 + 13 > 0, ∀x ∈ R, de modo que la inecuacion no posee solucion alguna.

3) Hallar los valores de x que satisfacen la inecuacion

(3 + 2x)(x − 1)

3≤ (x − 1)2 − 1

4+ 1 − 1 + x

2

Quitando denominadores y reduciendo terminos semejantes se obtiene la inecuacion

5x2 + 16x − 18 ≤ 0.

Las raıces de la ecuacion asociada son x1 = −4 y x2 =4

5. El trinomio es negativo, esto es, posee

signo contrario al de su primer coeficiente, en −4 ≤ x ≤ 4

5, cuya representacion grafica es la que

sigue:

b b

−44

5

R

Tema 3 23

5.5. Inecuaciones polinomicas de grado superior al segundo

Una inecuacion polinomica de grado superior al segundo se presenta, en su forma normal, bajo laexpresion

P (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2x

n−2 + · · · + a1x + a0 ≶ 0.

Si P (x) se puede descomponer en factores de primer o segundo grado, la resolucion de la inecuacionse basara en la regla de los signos del producto, y resultara relativamente facil, como puede apreciarseen los siguientes ejemplos:

Ejemplo 5.12

1) Resolver la inecuacion x3 − x2 − 6x < 0.

Sacando x factor comun se tiene que x(x2 − x − 6) < 0, y descomponiendo el trinomio de segundogrado que va entre parentesis, se obtiene

x(x − 3)(x + 2) < 0.

Observese la figura siguiente:

bc

bc

bc

| ||−2 0 3

I II III IV

x + 2

x − 3

x

−

−

−

−

−

−

−

−

+

+ +

+

+

+

+

+

Aplicando la regla de los signos, se puede apreciar facilmente que la inecuacion propuesta se satisfaceen los intervalos x < −2 y 0 < x < 3, ya que en los cuatro intervalos los signos que intervienen son

I II III IV

− · − · − = − − · − · + = + + · − · + = − + · + · + = +

2) Resolver la inecuacion 4x2 − x3 − 10x + 12 ≥ 0.

Descomponiendo el polinomio en factores resulta

(x − 2)(−x2 + 2x − 6) ≥ 0

El primer factor es positivo para x > 2, mientras que el segundo esta formado por trinomio cuyodiscriminante es negativo, por lo que siempre tendra el signo negativo de su primer coeficiente.Representando los resultados como en el ejemplo anterior, tendremos la figura siguiente:


b

|2

I II

x − 2

−x2 + 2x − 6

−

−

−

−

+

+

La inecuacion se verifica para x ≤ 2 ya que

I II

− · − = + + · − = −

5.6. Inecuaciones fraccionarias

Una inecuacion es fraccionaria cuando la variable se encuentra en el denominador de una fraccion.En este caso no podemos quitar el denominador, ya que el denominador comun, que depende de laincognita, puede ser positivo, negativo o nulo, segun el valor de la variable. Lo que suele hacerse estransponer todos los terminos al primer miembro, reducir todo a comun denominador y estudiar elsigno de la expresion resultante.

Ejemplo 5.13 Hallar los valores de x para los que se verifica la inecuacion

3x − 2

x − 1− 1 ≥ 2x − 1

x + 1.

Tenemos que

3x − 2

x − 1− 1 ≥ 2x − 1

x + 1⇐⇒ 3x − 2

x − 1− 1 − 2x − 1

x + 1≥ 0 ⇐⇒

⇐⇒ 4x − 2

(x − 1)(x + 1)≥ 0 ⇐⇒ 2(2x − 1)

(x − 1)(x + 1)≥ 0.

Para que la fraccion sea positiva, no influye el 2 del numerador. Para que el numerador sea positivo,

debe ser x >1

2, y para que los factores del denominador sean positivos, tendremos que x > 1 y x > −1.

Utilizando la representacion acostumbrada, resulta

b

bc

bc

| | |−1

1

2 1I II III IV

x + 1

x − 1

2x − 1

−

−

−

−

−

−

−

−

+

+ +

+

+

+

+

+

Tema 3 25

La fraccion es positiva en los intervalos −1 < x ≤ 1

2y x > 1, ya que

I II III IV

− · − · − = − − · − · + = + + · − · + = − + · + · + = +

5.7. Soluciones reales de una ecuacion de segundo grado

Para que las soluciones de una ecuacion de segundo grado sean reales, es suficiente con que sudiscriminante sea positivo o nulo.

Si entre los coeficientes de la ecuacion se encuentra una variable, es necesario ver para que valoresde esa variable las raıces son reales. Las inecuaciones nos resuelven el problema, como se puede ver enestos ejemplos:

Ejemplo 5.14

1) Hallar los valores de k para que la ecuacion x2 − 2x + 3k = 0 tenga soluciones reales.

Para esto es necesario que el discriminante sea positivo o nulo:

4 − 12k ≥ 0 ⇐⇒ k ≤ 1

3.

Consecuentemente, para cualquier valor de k menor que1

3la ecuacion tiene dos raıces reales

distintas; para k igual a1

3el discriminante es nulo y la ecuacion tiene una raız doble.

2) Hallar los valores de m para que la ecuacion x2 − 2mx + (3m − 2) = 0 tenga raıces reales.

∆ = 4m2 − 12m + 8 ≥ 0 ⇐⇒ m2 − 3m + 2 ≥ 0 ⇐⇒

⇐⇒ m =3 ±

√9 − 8

2⇐⇒

{

m1 = 2m2 = 1

Como el trinomio tiene dos raıces reales distintas y su primer coeficiente es positivo, la inecuacionse verificara para m ≤ 1 y m ≥ 2.

6. Ejercicios propuestos

(1) Resuelve las siguientes ecuaciones enteras:

a)x − 3

2− x − 8

12=

5 − x

4− x

3;

b)3 − x

3+ 4

{

x − 2

[

x − 2

3− 3

(

1 − x

6

)

]

−(

x +1

2

)}

= 23;

c)1

2

(

2x + 5

3− x + 3

2

)

=1

5

[

5

4+

10x − 5

3− (2x − 3)

]

;

d)1 − x

1 − 3

4

x −

x +1

2

1 − 3

4

= (4x − 3)(3x − 4);

e)

(

x − 1

2

)2

−(

2x − 3

2− 1

)2

2=

2

3− 1

1

6− 1

2

.


(2) Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias:

a)3x

3x + 1+

2x − 1

2x + 2= 2;

b)(x − 1)2 − (x − 2)2

x2 − 1+

x + 1

x − 1=

x − 1

x + 1;

c)(x − 1)2 − (x + 2)2(

x − 1

2

)2

− (x + 1)2= 4;

d)3

x + 4− 1

1 − x+

7 + 5x

(x + 4)(1 − x)= 0;

e)

(

4

3+

x

2

)

−(

1 − 1

6x

)

3

4− x

3

+ 1 +x

x − 2

3

= 0.

(3) Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior reducibles a otras de primer grado:

a) (x2 − 6x + 9)(x2 − a2) = 0;

b) x4 − 5x2 + 4 = 0;

c) x3 − 2x2 + x = 0.

(4) Descompon el numero 133 en dos partes tales que, al dividir la parte mayor por la menor, nosde 4 de cociente y 8 de resto.

(5) Un hijo tiene 30 anos menos que su padre y este tiene 4 veces la edad del hijo. ¿Que edad tienecada uno?

(6) En un corral hay conejos y gallinas. En total suman 53 cabezas y 176 patas. ¿Cuantos conejos ygallinas hay?

(7) Halla un numero de dos cifras cuya suma es 10 y tal que el doble de dicho numero supera en unaunidad al numero obtenido invirtiendo sus cifras.

(8) Busca dos numeros consecutivos tales que, anadiendo al mayor la mitad del menor, el resultadoexcede en 13 a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor.

(9) Dos coches de lınea salen simultaneamente desde dos ciudades que distan entre sı 600 km. Si unolleva una velocidad de 56 km/h, y el otro de 64 km/h, ¿despues de cuanto tiempo y a que distanciade las dos ciudades se encontraran?

(10) En un triangulo rectangulo, un cateto mide 24 cm y la hipotenusa supera en 18 cm al otro cateto.Busca el perımetro y el area del triangulo.

(11) El perımetro de un trapecio isosceles mide 196 m y cada lado oblicuo mide 34 m. Halla las bases

y el area del trapecio, sabiendo que una base es3

5de la otra.

(12) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x2 − 32x = 0;

b) 12x2 − 18 = 0;

Tema 3 27

c) 21x − 100 = x2 + 21 − x;

d)2x2 − 1

2− x − 1

3=

1 − x

6;

e) (x −√

6)(x +√

6) =√

3(x + 1) − (x + 6);

f)6 − x

3− 3(x − 4)

6 + x=

x − 2

2;

g)2x − 1

x + 1− x − 7

x − 1= 4 − 3x − 1

x + 2;

h) 3−1(x + 4) − (7 − x)(x − 3)−1 = 9−1(4x + 7) − 1;

i)x + 1

x − 1− x + 12

x + 1− 1 +

x + 2

x − 2= 0.

(13) Escribe la forma canonica de las siguientes ecuaciones y halla la suma y el producto de sus raıces:

a) 3x2 + 2x − 5 = 0;

b) x + 2x2 − 5 = 0;

c) 3 = x2 − 2x;

d) (x − a)2 + 2 = x.

(14) Determina las ecuaciones de segundo grado que tienen por suma y producto de raıces los valoresque a continuacion se senalan:

a) s = 5, p = 6;

b) s = −5, p = 6;

c) s = −5

6, p = −1

6;

d) s =1

2, p = −1

9;

e) s =√

3 − 1, p = −√

3;

f) s =

√3 + 1√

3, p =

√3

3.

(15) Forma las ecuaciones cuyas raıces son:

a) x1 = −1, x2 = 4;

b) x1 = 3, x2 = 5;

c) x1 = −2, x2 = −3

2;

d) x1 = a − b, x2 = a + b;

e) x1 = 1 −√

3, x2 = 1 +√

3.

(16) Descompon en factores los siguientes polinomios:

a) P (x) = x2 − 5x + 6;

b) P (x) = 3x2 − 10x + 3;

c) P (x) = x3 − x2 − 12x;

d) P (x) = (x − 3)2 − 2(x − 4) − 1.

(17) Halla el valor de k para que las dos raıces de la ecuacion 3x2 − 8x − 3k = 0 sean iguales.


(18) Determina b en la ecuacion x2 + bx + 21 = 0, teniendo en cuenta que la diferencia de sus raıces es4.

(19) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) x4 − 29x2 + 100 = 0;

b) x4 − 5

4x2 +

1

4= 0;

c) 34 − x2 =225

x2;

d)x2(2x − 5)

x + 1=

9(1 − x)

2x + 5;

e)x −

√6√

3 + x=

√3 − x

2x2(x +√

6).

(20) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a)√

7 − 3x − x = 7;

b)√

x + 4 = 3 −√

x − 1;

c)√

2x − 1 +√

x + 4 = 6;

d) 2(2x − 1)1/2 = (6x − 5)1/2 + (2x − 9)1/2;

e) (2x − 1)1/2 + (2x + 1)1/2 = (2x − 1)−1/2;

f)21√

6x + 1−

√6x + 1 = 2

√3x.

(21) Halla dos numeros consecutivos cuyo producto sea 182.

(22) Halla tres numeros impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen 5051.

(23) Dentro de 11 anos, la edad de Pedro sera la mitad del cuadrado de la edad que tenıa hace 13 anos.Calcula la edad de Pedro.

(24) Las dos cifras de un numero suman 11 y el producto de dicho numero por el que se obtiene deinvertir sus cifras es 3154. Halla dicho numero.

(25) En un triangulo rectangulo, la hipotenusa mide 13 cm. Averigua las longitudes de los catetos,sabiendo que su diferencia es de 7cm.

(26) El perımetro de un triangulo rectangulo es 90 m y el cateto mayor tiene 3 m menos que lahipotenusa. Halla los tres lados del triangulo.

(27) Resuelve los siguientes sistemas:

a)

{

3x − 4y = −92x + y = 5

;

b)

{

x − (y + 1) = 3y + (x + 3) = 4

;

c)

{

10(x − 2) + y = 1x + 3(x − y) = 5

;

Tema 3 29

d)

x − y

2+

x − y

3= 5

x + y

7+ y = 3

;

e)

{

x − 2(x + y) = 3y − 2x

3+

y

2= 3

;

f)

3(x − y)

4=

2 + y

4− 5x − y

6

1 +2y − 7x

12=

x − y

2+

x

2

.

(28) Resuelve los siguientes sistemas con tres incognitas:

a)

x + y + z = 4x − 2y + 3z = 13x + 3y + 4z = 11

;

b)

x − 3y = 19y − z = 12x − z = 1

.

(29) Resuelve los siguientes sistemas:

a)

{

x2 + y2 = 290x + y = 24

;

b)

{

x − 2y2 = 0y + 5 = 3x

;

c)

{

x2 − xy + y2 = 7x + y = 5

;

d)

{

2x2 + 3y2 = 11xy = 2

;

e)

{

2x2 − 3y2 = −64x2 − y2 = 8

;

f)

{

4xy − 6y = 33x − 8y = 5

.

(30) Halla dos numeros cuya suma sea −2 y cuya diferencia sea 44.

(31) Dos motocicletas salen al mismo tiempo de dos lugares que distan 70 km entre sı. Halla la velocidadmedia de los dos, sabiendo que si van en direccion contraria, se cruzan despues de 40 minutos,mientras que si van en el mismo sentido, el mas veloz alcanza al otro despues de 4 h 40 m.

(32) Halla dos numeros tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4, la suma de loscocientes es 15, mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5, la suma de losproductos es 174.

(33) En un corral hay gallinas y conejos; si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuantosanimales hay de cada clase?

(34) El producto de dos numeros es 4, y la suma de sus cuadrados es 17. ¿Cuales son esos numeros?


(35) Cuando se divide un numero de dos cifras por el producto de las mismas, se obtiene un cocienteigual a 2; y al dividir el numero que resulta invirtiendo el orden de las cifras, por la suma de estas,el cociente obtenido es 7. ¿De que numero se trata?

(36) Descompon el numero 365 en dos sumandos, de tal modo que sean los cuadrados de dos numerosenteros consecutivos.

(37) La suma de un numero con su inverso es37

6. Halla el numero.

(38) El perımetro de un triangulo isosceles es 16 dm y la altura de 4 dm. Halla dos lados de dichotriangulo.

(39) Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y20 cm. Calcula la altura del trapecio.

(40) La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 dm. Si a las dos las aumentamos en 2 dm, elarea aumenta en 16 dm2. Busca las diagonales, el perımetro y el area de dicho rombo.

(41) Resuelve las siguientes inecuaciones, representando la solucion en la recta real:

a) 3 − x ≤ 6;

b) 2(x + 3) > 3(x + 2);

c)x − 1

4− x + 2

3>

3x − 1

6− x;

d) (4x − 3)(2 + x) > (3 − 2x)2;

e)

3 −[

x − 2

4+ x

(

x − 3

2− x

)]

2 − 3

2

≤ (x − 2)(x − 3).

(42) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado:

a)

{

2x − 3 > x − 23x − 7 < x − 1

;

b)

x − 1

3− x + 3

2≤ x

4x − 2

4− x − 1

3≥ x

;

c)

{

(x − 1)2 − (x + 3)2 ≤ 0x − 3(x − 1) ≥ 3

;

d)

(x − 1)2 + (x + 2)2 >(2x − 3)2

2(2x + 1)2 − (x − 3)2 < 3(x + 2)2

x − 1

3+ 1 > x

.

(43) Determina el signo de los trinomios siguientes:

a) x2 − 2x − 3;

b) x2 − 4;

c) 1 − x2;

Tema 3 31

d) 2x2 − 3x − 1.

(44) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a) x2 − x − 6 > 0;

b) x2 + 3x − 4 ≤ 0;

c) x2 − 18 ≤ 0;

d) 10(2x − 1)(1 − 3x) + 5(1 − 3x)(4x − 1) < 3(1 − 4x)(5x − 1);

e)

(

3x + 2

2+ 2

)2

+

(

x − 1

3− x

2

)(

x − 1

3− x

2

)

≥ 0;

f)(x − 1)(x − 2) + (x2 − 1)

1 − 3

4

≤ 5(1 − x).

(45) Resuelve las siguientes inecuaciones polinomicas:

a) x3 − 5x2 + 6x ≤ 0;

b) (x2 − 1)(x2 + 1) ≤ 0;

c) x3 − x2 − 4x + 4 < 0;

d) x(x2 + x + 3)(x − 1) ≤ 0.

(46) Resuelve las siguientes inecuaciones fraccionarias:

a)1

x − 3>

2

x + 3;

b)4 − x2

x2 − 9≤ 0;

c)x(x − 1)(x + 3)

(x2 − 4)(x + 5)≥ 0;

d)x2 + 4

x2 − 4− 1

x − 2>

x + 3

x + 2.

(47) Halla los valores de m para que las siguientes ecuaciones tengan raıces reales:

a) 3x2 − mx + 3 = 0;

b) 2mx2 − mx + 1 = 0;

c) (m − 2)x2 − 2(3 − 2m)x − m + 2 = 0.

(48) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

{

x2 − 3x > 0x − 3x2 < 0

;

b)

{

x2 − x − 2 > 012 + x − x2 ≥ 0

;

c)

{

x2 − 5x > 0x2 − x − 2 ≤ 0

.

MATEMATICAS´ para estudiantes de primer curso de ... · Tema 3 1 1. Ecuaciones de primer grado...

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